Logarytm jest poprzedzony liczbą. Co to jest logarytm? Rozwiązanie logarytmów. Przykłady. Własności logarytmów

Co to jest logarytm?

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie "nie bardzo..."
I dla tych, którzy "bardzo...")

Co to jest logarytm? Jak rozwiązywać logarytmy? Te pytania dezorientują wielu absolwentów. Tradycyjnie temat logarytmów jest uważany za złożony, niezrozumiały i przerażający. Szczególnie - równania z logarytmami.

To absolutnie nieprawda. Absolutnie! Nie wierzysz? Dobrze. Teraz przez jakieś 10 - 20 minut:

1. Zrozum co to jest logarytm?.

2. Naucz się rozwiązywać całą klasę równania wykładnicze. Nawet jeśli o nich nie słyszałeś.

3. Naucz się obliczać proste logarytmy.

Co więcej, do tego wystarczy znać tabliczkę mnożenia i sposób podniesienia liczby do potęgi ...

Czuję, że wątpisz… Cóż, miej czas! Iść!

Najpierw rozwiąż w umyśle następujące równanie:

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Nawiasem mówiąc, mam dla ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

274. Uwagi.

a) Jeśli wyrażenie do oceny zawiera suma lub różnica liczby, to należy je znaleźć bez pomocy tabel przez zwykłe dodawanie lub odejmowanie. Na przykład:

log (35 + 7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.

b) Wiedząc, jak logarytmować wyrażenia, możemy odwrotnie, przez ten wynik logarytm, aby znaleźć wyrażenie, z którego uzyskano ten wynik; więc jeśli

dziennik X= log a+log b- 3 logi Z,

łatwo to sobie wyobrazić

w) Zanim przejdziemy do rozważenia struktury tablic logarytmicznych, wskażemy niektóre własności logarytmów dziesiętnych, tj. te, w których za podstawę przyjmuje się liczbę 10 (do obliczeń używa się tylko takich logarytmów).

Rozdział drugi.

Własności logarytmów dziesiętnych.

275 . a) Ponieważ 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 itd., to log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4 itd.

Oznacza, logarytm liczby całkowitej reprezentowanej przez jednostkę z zerami jest dodatnią liczbą całkowitą zawierającą tyle jedynek, ile jest zer w reprezentacji liczby.

W ten sposób: log 100 000 = 5, dziennik 1000 000 = 6 itp.

b) Dlatego

log 0,1 = -l; log 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; log 0,0001 = - 4, itp.

Oznacza, Logarytm ułamka dziesiętnego, reprezentowanego przez jednostkę z wiodącymi zerami, jest ujemną liczbą całkowitą zawierającą tyle jednostek ujemnych, ile jest zer na obrazie ułamka, w tym 0 liczb całkowitych.

W ten sposób: log 0,00001= - 5, log 0,00001 = -6, itp.

w) Weźmy na przykład liczbę całkowitą, która nie jest reprezentowana przez jednostkę z zerami. 35 lub liczbę całkowitą z ułamkiem, np. 10.7. Logarytm takiej liczby nie może być liczbą całkowitą, ponieważ podnosząc 10 do potęgi z wykładnikiem całkowitym (dodatnim lub ujemnym), otrzymujemy 1 z zerami (po lub przed 1). Załóżmy teraz, że logarytm takiej liczby to jakiś ułamek a / b . Wtedy mielibyśmy równouprawnienia

Ale te równości są niemożliwe, ponieważ 10a to 1 z zerami, a potęgi 35b oraz 10,7b brak wskaźnika b nie może dać 1 z zerami. Dlatego nie można na to pozwolić log 35 oraz log 10,7 były równe ułamkom. Ale z właściwości funkcji logarytmicznej wiemy (), że każda liczba dodatnia ma logarytm; dlatego każda z liczb 35 i 10,7 ma swój własny logarytm, a ponieważ nie może być liczbą całkowitą ani ułamkową, jest liczbą niewymierną i dlatego nie można jej wyrazić dokładnie za pomocą liczb. Zwykle irracjonalne logarytmy są wyrażane w przybliżeniu jako ułamek dziesiętny z kilkoma miejscami dziesiętnymi. Liczba całkowita tego ułamka (nawet jeśli była to „0 liczb całkowitych”) nazywa się Charakterystyka, a część ułamkowa to mantysa logarytmu. Jeśli, na przykład, logarytm jest 1,5441 , to jego cechą jest 1 , a mantysa to 0,5441 .

G) Weźmy na przykład jakąś liczbę całkowitą lub mieszaną. 623 lub 623,57 . Logarytm takiej liczby składa się z cechy i mantysy. Okazuje się, że logarytmy dziesiętne mają tę wygodę, że: zawsze możemy znaleźć ich charakterystykę według jednego rodzaju liczby . Aby to zrobić, liczymy, ile cyfr znajduje się w danej liczbie całkowitej lub w części całkowitej pomieszane numery, W naszych przykładach tych liczb 3 . Dlatego każda z liczb 623 oraz 623,57 więcej niż 100, ale mniej niż 1000; co oznacza, że ​​logarytm każdego z nich jest większy log 100, czyli więcej 2 , ale mniej log 1000, czyli mniej 3 (pamiętaj, że większa liczba ma też większy logarytm). W konsekwencji, log 623 = 2,..., oraz log 623,57 = 2,... (punkty zastępują nieznane mantysy).

W ten sposób znajdujemy:

10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,...

1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 log 8634 = 3,...

Niech w ogólności dana liczba całkowita lub część całkowita danej liczby mieszanej zawiera m cyfry. Ponieważ najmniejsza liczba całkowita zawierająca m cyfry, tam 1 Z m - 1 końcowe zera, to (oznaczające podaną liczbę) N) możemy zapisać nierówności:

i stąd

m - 1 < log N < m ,

log N = ( m- 1) + ułamek dodatni.

Tak więc charakterystyka logN = m - 1 .

Widzimy w ten sposób, że charakterystyka logarytmu liczby całkowitej lub mieszanej zawiera tyle cyfr dodatnich, ile jest cyfr w części całkowitej liczby bez jedynki.

Mając to na uwadze, możemy bezpośrednio napisać:

log 7205 = 0,...; log83 = 1,...; log 720,4 = 2,... itp.

mi) Weźmy kilka ułamków dziesiętnych mniejszych niż 1 (tj. posiadanie 0 liczby całkowite): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, itp.

Tak więc każdy z tych logarytmów jest zawarty między dwiema ujemnymi liczbami całkowitymi, które różnią się o jeden; więc każda z nich jest równa mniejszej z tych liczb ujemnych powiększonej o jakiś ułamek dodatni. Na przykład, log0.0056= -3 + ułamek dodatni. Załóżmy, że ten ułamek wynosi 0,7482. Oznacza to, że:

log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).

Kwoty takie jak - 3 + 0,7482 , składający się z ujemnej liczby całkowitej i dodatniego ułamka dziesiętnego, zgodził się zapisać skrót w obliczeniach logarytmicznych w następujący sposób: 3 ,7482 (Taka liczba brzmi: 3 z minusem, 7482 dziesięciotysięczne.), tj. umieszczają znak minus nad cechą, aby pokazać, że odnosi się ona tylko do tej cechy, a nie do mantysy, która pozostaje dodatnia. Tak więc z powyższej tabeli widać, że

log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2 ,...; log 0,0008 = 4 ,....

Niech w ogóle . istnieje ułamek dziesiętny, w którym pierwsza cyfra znacząca α koszty m zera, w tym 0 liczb całkowitych. Wtedy jest oczywiste, że

- m < log A < - (m- 1).

Ponieważ z dwóch liczb całkowitych:- m oraz - (m- 1) jest mniej m , następnie

log A = - m+ ułamek dodatni,

a zatem charakterystyka log A = - m (z pozytywną mantysą).

W ten sposób, charakterystyka logarytmu ułamka dziesiętnego mniejszego niż 1 zawiera tyle jedynek ujemnych, ile jest zer na obrazie ułamka dziesiętnego przed pierwszą cyfrą znaczącą, w tym zerowych liczb całkowitych; mantysa takiego logarytmu jest dodatnia.

mi) Pomnóż pewną liczbę N(całkowity lub ułamkowy - to nie ma znaczenia) przez 10, przez 100 przez 1000..., generalnie o 1 z zerami. Zobaczmy, jak to się zmieni log N. Od logarytmu iloczynu jest równa sumie logarytmy czynników, to

log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;

log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;

log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; itp.

Kiedy log N dodajemy jakąś liczbę całkowitą, wtedy zawsze możemy tę liczbę dodać do charakterystyki, a nie do mantysy.

Tak więc, jeśli log N = 2,7804, to 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801 itd.;

lub jeśli log N = 3,5649, to 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649 itd.

Od pomnożenia liczby przez 10, 100, 1000, .., generalnie przez 1 z zerami, mantysa logarytmu nie zmienia się, a charakterystyka wzrasta o tyle jednostek, ile jest zer w mnożniku .

Podobnie biorąc pod uwagę, że logarytm ilorazu jest równy logarytmowi dzielnej bez logarytmu dzielnika, otrzymujemy:

log N / 10 = log N - log 10 = log N -1;

log N/100 = log N - log 100 = log N -2;

log N / 1000 = log N - log 1000 = log N -3; itp.

Jeśli zgodzimy się, odejmując liczbę całkowitą od logarytmu, odejmować tę liczbę zawsze od cechy, a mantysę pozostawić niezmienioną, to możemy powiedzieć:

Po podzieleniu liczby przez 1 przez zera mantysa logarytmu nie zmienia się, a charakterystyka zmniejsza się o tyle jednostek, ile jest zer w dzielniku.

276. Konsekwencje. Z nieruchomości ( mi) możemy wywnioskować dwa następstwa:

a) Mantysa logarytmu liczby dziesiętnej nie zmienia się z przesunięcia w liczbie o przecinek , ponieważ przesunięcie przecinka jest równoznaczne z mnożeniem lub dzieleniem przez 10, 100, 1000 itd. Zatem logarytmy liczb:

0,00423, 0,0423, 4,23, 423

różnią się tylko cechami, ale nie mantysami (pod warunkiem, że wszystkie mantysy są pozytywne).

b) Mantysy liczb mających to samo znaczna część, ale różniące się tylko zerami na końcu, są takie same: więc logarytmy liczb: 23, 230, 2300, 23 000 różnią się tylko cechami.

Komentarz. Z tych własności logarytmów dziesiętnych widać, że możemy znaleźć charakterystykę logarytmu liczby całkowitej i ułamka dziesiętnego bez pomocy tabel (jest to wielka wygoda logarytmów dziesiętnych); w rezultacie tylko jedna mantysa jest umieszczana w tablicach logarytmicznych; ponadto, ponieważ znalezienie logarytmów ułamków sprowadza się do znalezienia logarytmów liczb całkowitych (logarytm ułamka \u003d logarytm licznika bez logarytmu mianownika), mantysy logarytmów tylko liczb całkowitych są umieszczane w tabele.

Rozdział trzeci.

Urządzenie i zastosowanie tablic czterocyfrowych.

277. Systemy logarytmów. System logarytmów to zbiór logarytmów obliczonych dla szeregu kolejnych liczb całkowitych o tej samej podstawie. Stosowane są dwa systemy: system logarytmów zwykłych lub dziesiętnych, w którym za podstawę przyjmuje się liczbę 10 , oraz system tzw. logarytmów naturalnych, w którym za podstawę przyjmuje się liczbę niewymierną (z pewnych powodów, które są zrozumiałe w innych działach matematyki) 2,7182818 ... Do obliczeń używa się logarytmów dziesiętnych, ze względu na udogodnienia, które wskazaliśmy, wymieniając właściwości takich logarytmów.

logarytmy naturalne zwany także Neperovs, na cześć wynalazcy logarytmów, szkockiego matematyka Nepera(1550-1617) i logarytmy dziesiętne - przez Brigga imienia profesora brygga(współczesny i przyjaciel Napiera), który jako pierwszy zestawił tablice tych logarytmów.

278. Przekształcenie logarytmu ujemnego w logarytm dodatni z mantysą i przekształcenie odwrotne. Widzieliśmy, że logarytmy liczb mniejszych niż 1 są ujemne. W związku z tym składają się z negatywnej cechy i negatywnej mantysy. Takie logarytmy zawsze można przekształcić tak, aby ich mantysa była dodatnia, a charakterystyka pozostała ujemna. Aby to zrobić, wystarczy dodać do mantysy jednostkę dodatnią, a do charakterystyki ujemną (z której oczywiście wartość logarytmu się nie zmieni).

Jeśli na przykład mamy logarytm - 2,0873 , wtedy możesz napisać:

- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,

lub w skrócie:

I odwrotnie, każdy logarytm o charakterystyce ujemnej i mantysie dodatniej można zamienić na ujemną. Aby to zrobić, wystarczy dołączyć ujemną jednostkę do pozytywnej mantysy, a pozytywną do negatywnej cechy: możesz więc napisać:

279. Opis tabel czterocyfrowych. Do rozwiązania większości praktycznych problemów wystarczą czterocyfrowe tabele, których obsługa jest bardzo prosta. Tabele te (z ich „logarytmami” na górze) są umieszczone na końcu tej książki, a niewielka ich część (w celu wyjaśnienia lokalizacji) jest wydrukowana na tej stronie.

Logarytmy.

logarytmy wszystkich liczb całkowitych z 1 zanim 9999 włącznie, obliczane z dokładnością do czterech miejsc po przecinku, przy czym ostatnie z tych miejsc po przecinku zwiększa się o 1 we wszystkich przypadkach, w których piąte miejsce po przecinku musiałoby wynosić 5 lub więcej niż 5; dlatego 4-cyfrowe tabele podają przybliżone mantysy do 1 / 2 część dziesięciotysięczna (z niedoborem lub z nadmiarem).

Ponieważ możemy bezpośrednio scharakteryzować logarytm liczby całkowitej lub ułamka dziesiętnego na podstawie własności logarytmów dziesiętnych, musimy wziąć z tabel tylko mantysę; jednocześnie należy pamiętać, że położenie przecinka w liczbie dziesiętnej, a także liczba zer na końcu liczby nie wpływają na wartość mantysy. Dlatego przy znalezieniu mantysy przez podany numer odrzucamy przecinek w tej liczbie, a także zera na jej końcu, jeśli są, i znajdujemy mantysę liczby całkowitej utworzonej po niej. W takim przypadku mogą wystąpić następujące przypadki.

1) Liczba całkowita składa się z 3 cyfr. Na przykład znajdźmy mantysę logarytmu liczby 536. Pierwsze dwie cyfry tej liczby, czyli 53, znajdują się w tabelach w pierwszej pionowej kolumnie po lewej stronie (patrz tabela). Po znalezieniu liczby 53 przechodzimy od niej wzdłuż poziomej linii w prawo, aż ta linia przetnie się z pionową kolumną przechodzącą przez jedną z liczb 0, 1, 2, 3, ... 9, ustawioną na górze (i na dole) tabeli, która reprezentuje 3 cyfrę tej liczby, czyli w naszym przykładzie liczbę 6. Na przecięciu otrzymujemy mantysę 7292 (czyli 0,7292), która należy do logarytmu liczby 536. Podobnie, dla liczby 508 znajdujemy mantysę 0,7059, dla liczby 500 znajdujemy 0,6990 itd.

2) Liczba całkowita składa się z 2 lub 1 cyfry. Następnie w myślach przypisujemy tej liczbie jedno lub dwa zera i znajdujemy mantysę dla tak utworzonej liczby trzycyfrowej. Na przykład przypisujemy jedno zero do liczby 51, z której otrzymujemy 510 i znajdujemy mantysę 7070; przypisujemy 2 zera do liczby 5 i znajdujemy mantysę 6990 itd.

3) Liczba całkowita jest wyrażona za pomocą 4 cyfr. Na przykład musisz znaleźć mantysę logu 5436. Następnie najpierw znajdujemy w tabelach, jak właśnie wskazano, mantysę dla liczby pokazanej przez pierwsze 3 cyfry tej liczby, tj. dla 543 (ta mantysa będzie 7348 ); następnie przechodzimy od znalezionej mantysy wzdłuż poziomej linii w prawo (na prawą stronę stołu, znajdującą się za grubą pionową linią) aż do przecięcia z pionową kolumną przechodzącą przez jedną z liczb: 1, 2 3, . .. 9, stojąc na górze (i na dole ) tej części tabeli, która reprezentuje 4 cyfrę danej liczby, czyli w naszym przykładzie liczbę 6. Na skrzyżowaniu znajdujemy poprawkę (liczba 5), które należy zastosować w umyśle do mantysy 7348, aby uzyskać mantysę o liczbie 5436; w ten sposób otrzymamy mantysę 0,7353.

4) Liczba całkowita jest wyrażona przez 5 lub więcej cyfr. Następnie odrzucamy wszystkie cyfry, z wyjątkiem pierwszych 4, i bierzemy przybliżoną czterocyfrową liczbę i zwiększamy ostatnią cyfrę tej liczby o 1. przypadek, gdy odrzucona piąta cyfra liczby to 5 lub więcej niż 5. Czyli zamiast 57842 bierzemy 5784, zamiast 30257 bierzemy 3026, zamiast 583263 bierzemy 5833 itd. Dla tej zaokrąglonej czterocyfrowej liczby znajdujemy mantysę, jak to teraz wyjaśniono.

Kierując się tymi instrukcjami, znajdziemy np. logarytmy następujących liczb:

36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.

Przede wszystkim, nie odwołując się na razie do tabel, sporządźmy kilka cech, zostawiając miejsce na mantysy, o których piszemy po:

log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3 ,....

log 804.7 = 2,.... log 7.2634 = 0,....

log 0,26 = 1 ,.... log 3456,86 = 3,....

log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;

log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;

log 0,26 = 1,4150; log 3456,86 = 3,5387.

280. Uwaga. W niektórych czterocyfrowych tabelach (na przykład w tabelach V. Lorchenko i N. Ogloblin, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) korekty na 4 cyfrę tej liczby nie są umieszczane. W przypadku takich tabel poprawki te należy znaleźć za pomocą prostego obliczenia, którego można dokonać w oparciu o następującą prawdę: jeśli liczby są większe niż 100, a różnice między nimi są mniejsze niż 1, to bez czułości błąd można założyć, że różnice między logarytmami są proporcjonalne do różnic między odpowiadającymi im liczbami . Niech na przykład musimy znaleźć mantysę odpowiadającą liczbie 5367. Ta mantysa jest oczywiście taka sama jak dla liczby 536,7. W tabelach dla liczby 536 znajdujemy mantysę 7292. Porównując tę ​​mantysę z mantysą 7300 znajdującą się po prawej stronie, odpowiadającą liczbie 537, zauważamy, że jeśli liczba 536 wzrośnie o 1, to jej mantysa wzrośnie o 8 dziesięć -tysięczne (8 to tzw. różnica tabelaryczna między dwiema sąsiednimi mantysami); jeśli liczba 536 wzrośnie o 0,7, to jej mantysa wzrośnie nie o 8 dziesięciotysięcznych, ale o jakąś mniejszą liczbę X dziesięciotysięczne, które zgodnie z dozwoloną proporcjonalnością muszą odpowiadać proporcji:

X :8=0,7:1; gdzie X = 8 07 = 5,6,

co jest zaokrąglane do 6 dziesięciotysięcznych. Oznacza to, że mantysa dla liczby 536,7 (a zatem dla liczby 5367) będzie wynosić: 7292 + 6 = 7298.

Zauważ, że znajdowanie liczby pośredniej przez dwie sąsiednie liczby w tabelach nazywa się interpolacja. Opisana tutaj interpolacja nosi nazwę proporcjonalny, ponieważ opiera się na założeniu, że zmiana logarytmu jest proporcjonalna do zmiany liczby. Nazywa się ją również liniową, ponieważ zakłada, że ​​graficznie zmiana funkcji logarytmicznej wyraża się linią prostą.

281. Granica błędu przybliżonego logarytmu. Jeżeli liczba, której logarytm jest poszukiwany, jest liczbą dokładną, to za granicę błędu jej logarytmu znalezioną w 4-cyfrowych tablicach możemy, jak powiedzieliśmy, przyjąć 1 / 2 dziesięciotysięczna akcja. Jeżeli podana liczba nie jest dokładna, to do tego marginesu błędu należy dodać jeszcze granicę innego błędu wynikającego z niedokładności samej liczby. Udowodniono (pomijamy ten dowód), że za taką granicę można przyjąć iloczyn

a(d +1) dziesięć tysięcznych.,

w którym a jest marginesem błędu najbardziej niedokładnej liczby, zakładając, że 3 cyfry są brane w jego części całkowitej, a d tabelaryczna różnica mantys odpowiadających dwóm kolejnym liczbom trzycyfrowym, pomiędzy którymi zawarta jest ta niedokładna liczba. Zatem granica błędu końcowego logarytmu będzie wtedy wyrażona wzorem:

1 / 2 + a(d +1) dziesięć tysięcznych

Przykład. Znajdź dziennik π , biorąc za π przybliżona liczba 3,14, z dokładnością do 1 / 2 setny.

Przesuwając przecinek po 3 cyfrze w liczbie 3,14, licząc od lewej, otrzymujemy trzycyfrowy numer 314, z dokładnością do 1 / 2 jednostki; oznacza to, że margines błędu niedokładnej liczby, czyli tego, co oznaczyliśmy literą a , jeśli 1 / 2 Z tabelek znajdujemy:

log 3,14 = 0,4969.

Różnica tabelaryczna d między mantysami liczb 314 i 315 jest 14, więc błąd znalezionego logarytmu będzie mniejszy

1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 dziesięciotysięcznych.

Ponieważ nie wiemy, czy logarytm z 0,4969 jest poniżej, czy powyżej, możemy jedynie zagwarantować, że logarytm dokładny π wynosi od 0,4969 - 0,0008 do 0,4969 + 0,0008, czyli 0,4961< log π < 0,4977.

282. Znajdź liczbę z podanego logarytmu. Aby znaleźć liczbę zgodnie z danym logarytmem, można użyć tych samych tabel, według których znajdują się mantysy tych liczb; ale wygodniej jest skorzystać z innych tabel, w których umieszcza się tzw. antylogarytmy, czyli liczby odpowiadające danym mantysom. Tabele te, oznaczone na górze „antylogarytmami”, są umieszczone na końcu tej książki, za tablicami logarytmów, niewielka ich część jest umieszczona na tej stronie (dla wyjaśnienia).

Niech zostanie podana 4-cyfrowa mantysa 2863 (nie zwracamy uwagi na charakterystykę) i wymagane jest znalezienie odpowiadającej liczby całkowitej. Następnie, mając tablice antylogarytmów, musimy ich użyć w dokładnie taki sam sposób, jak wyjaśniono wcześniej przy znajdowaniu mantysy dla danej liczby, a mianowicie: znajdujemy pierwsze 2 cyfry mantysy w pierwszej lewej kolumnie. Następnie przechodzimy od tych liczb wzdłuż poziomej linii w prawo aż do przecięcia z pionową kolumną wychodzącą z 3 cyfry mantysy, której należy szukać w górnej (lub dolnej) linii. Na przecięciu znajdujemy czterocyfrową liczbę 1932, odpowiadającą mantysie 286. Następnie od tej liczby przesuwamy się dalej wzdłuż poziomej linii w prawo aż do przecięcia z pionową kolumną wychodzącą z czwartej cyfry mantysy, która musi znaleźć się na górze (lub na dole) wśród liczb 1, 2 tam umieścić , 3,... 9. Na skrzyżowaniu znajdujemy poprawkę 1, którą należy zastosować (w myślach) do znalezionej wcześniej liczby 1032 w celu uzyskania liczby odpowiadającej mantysie 2863.

Tak więc numer będzie 1933. Następnie, zwracając uwagę na charakterystykę, należy umieścić zajętego w odpowiednim miejscu w numerze 1933. Na przykład:

jeśli dziennik x = 3,2863, to X = 1933,

„ dziennik x= 1,2863, „ X = 19,33,

, dziennik x = 0,2&63, „ X = 1,933,

„ dziennik x = 2 ,2863, „ X = 0,01933

Oto więcej przykładów:

dziennik x = 0,2287, X = 1,693,

dziennik x = 1 ,7635, X = 0,5801,

dziennik x = 3,5029, X = 3184,

dziennik x = 2 ,0436, X = 0,01106.

Jeśli mantysa zawiera 5 lub więcej cyfr, bierzemy tylko pierwsze 4 cyfry, odrzucając resztę (i zwiększając czwartą cyfrę o 1, jeśli piąta cyfra to pięć lub więcej). Na przykład zamiast mantysy 35478 bierzemy 3548, zamiast 47562 bierzemy 4756.

283. Uwaga. Poprawkę na czwartą i kolejne cyfry mantysy można również znaleźć przez interpolację. Tak więc, jeśli mantysa to 84357, to po znalezieniu liczby 6966 odpowiadającej mantysie 843 możemy dalej rozumować w następujący sposób: jeśli mantysa wzrośnie o 1 (tys.), tj. 844 jest wykonane, to liczba, jak może widać z tabel, wzrośnie o 16 jednostek; jeśli mantysa wzrośnie nie o 1 (tysięczny), ale o 0,57 (tysięczny), to liczba wzrośnie o X jednostki i X powinien spełniać proporcje:

X : 16 = 0,57: 1, skąd x = 16 0,57 = 9,12.

Oznacza to, że pożądana liczba to 6966 + 9.12 = 6975.12 lub (ograniczone do czterech cyfr) 6975.

284. Granica błędu znalezionej liczby. Udowodniono, że w przypadku, gdy w znalezionej liczbie przecinek znajduje się po trzeciej cyfrze od lewej, czyli gdy charakterystyka logarytmu wynosi 2, sumę można przyjąć jako margines błędu

gdzie a jest marginesem błędu logarytmu (wyrażonego w dziesięciotysięcznych), o który liczba została znaleziona, oraz d - różnica między mantysami dwóch kolejnych trzycyfrowych liczb, między którymi znajduje się znaleziona liczba (z przecinkiem po trzeciej cyfrze od lewej). Gdy charakterystyka to nie 2, ale inna, to w znalezionej liczbie przecinek będzie musiał zostać przesunięty w lewo lub w prawo, tj. podzielić lub pomnożyć liczbę przez pewną potęgę 10. W tym przypadku błąd wynik zostanie również podzielony lub pomnożony przez tę samą potęgę 10.

Niech na przykład znajdziemy liczbę przez logarytm 1,5950 , który jest znany z dokładności do 3 tysięcznych; i wtedy a = 3 . Liczba odpowiadająca temu logarytmowi, znaleziona w tablicy antylogarytmów, to 39,36 . Przesuwając przecinek po 3 cyfrze z lewej strony, otrzymamy liczbę 393,6 pomiędzy 393 oraz 394 . Z tablic logarytmów widzimy, że różnica między mantysami odpowiadającymi tym dwóm liczbom wynosi 11 dziesięciotysięczne; oznacza d = 11 . Błąd liczby 393,6 będzie mniejszy

Więc błąd liczby 39,36 będzie mniej 0,05 .

285. Działania na logarytmach o charakterystyce ujemnej. Dodawanie i odejmowanie logarytmów nie nastręcza żadnych trudności, co widać na poniższych przykładach:

Nie ma też trudności z pomnożeniem logarytmu przez liczbę dodatnią, na przykład:

W ostatnim przykładzie pozytywna mantysa jest mnożona oddzielnie przez 34, następnie ujemna cecha jest mnożona przez 34.

Jeżeli logarytm cechy ujemnej i mantysy dodatniej mnoży się przez liczbę ujemną, to działają one dwojako: albo wcześniej podany logarytm staje się ujemny, albo mantysę i cechę mnoży się oddzielnie i sumuje wyniki, na przykład przykład:

3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;

3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.

Podczas dzielenia istnieją dwa przypadki: 1) ujemna charakterystyka jest podzielona i 2) nie jest podzielna przez dzielnik. W pierwszym przypadku charakterystykę i mantysę oddziela się osobno:

10 ,3784: 5 = 2 ,0757.

W drugim przypadku do charakterystyki dodaje się tak wiele ujemnych jednostek, że wynikowa liczba jest podzielna przez dzielnik; taka sama liczba jednostek dodatnich jest dodawana do mantysy:

3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.

Ta transformacja musi być dokonana w umyśle, więc akcja układa się w ten sposób:

286. Zastępowanie odejmowanych logarytmów terminami. Przy obliczaniu jakiegoś wyrażenia złożonego za pomocą logarytmów musisz dodać kilka logarytmów, odjąć inne; w takim razie, kiedy zwyczajny sposób wykonując czynności, znajdują oddzielnie sumę wyrazów logarytmów, następnie sumę odjętych i odejmują drugą od pierwszej sumy. Na przykład, jeśli mamy:

dziennik X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,

wtedy zwykłe wykonanie działań będzie zlokalizowane w następujący sposób:

Możliwe jest jednak zastąpienie odejmowania dodawaniem. Więc:

Teraz możesz ułożyć obliczenia w ten sposób:

287. Przykłady obliczeń.

Przykład 1. Oceń wyrażenie:

jeśli A \u003d 0,8216, B \u003d 0,04826, C \u003d 0,005127 oraz D = 7,246.

Logarytmujemy to wyrażenie:

dziennik X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D

Teraz, aby uniknąć niepotrzebnej straty czasu i ograniczyć możliwość wystąpienia błędów, w pierwszej kolejności wszystkie obliczenia układamy bez ich wykonywania, a więc bez odwoływania się do tabel:

Następnie bierzemy tabele i zapisujemy logarytmy w pustych miejscach po lewej stronie:

Granica błędu. Najpierw znajdźmy granicę błędu liczby x 1 = 194,5 , równy:

Przede wszystkim musisz znaleźć a , czyli margines błędu przybliżonego logarytmu, wyrażony w dziesięciotysięcznych. Załóżmy, że te liczby A, B, C oraz D wszystkie są dokładne. Wtedy błędy w poszczególnych logarytmach będą wyglądały następująco (w dziesięciotysięcznych):

w logA.......... 1 / 2

w 1/3 log A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3

( 1 / 2 dodane, ponieważ dzieląc przez 3 logarytmy 1,9146, zaokrągliliśmy iloraz odrzucając jego 5 cyfrę, a zatem popełniliśmy kolejny błąd, mniej 1 / 2 dziesięć tysięcznych).

Teraz znajdujemy margines błędu logarytmu:

a = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (dziesięć tysięcznych).

Zdefiniujmy dalej d . Dlatego x 1 = 194,5 , a następnie 2 kolejne liczby całkowite pomiędzy którymi jest x 1 będzie 194 oraz 195 . Różnica tabelaryczna d między mantysami odpowiadającymi tym liczbom jest równa 22 . Tak więc margines błędu liczby x 1 jest:

Dlatego x = x 1 : 10, to margines błędu w liczbie x równa się 0,3:10 = 0,03 . Tak więc liczba, którą znaleźliśmy 19,45 różni się od dokładnej liczby o mniej niż 0,03 . Ponieważ nie wiemy, czy nasze przybliżenie zostało znalezione z niedoborem, czy z nadmiarem, możemy tylko zagwarantować, że

19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 , tj.

19,48 > X > 19,42 ,

a zatem, jeśli zaakceptujemy X =19,4 , wtedy będziemy mieli przybliżenie z wadą do 0,1.

Przykład 2 Oblicz:

X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .

Dlatego liczby ujemne nie mamy logarytmów, najpierw znajdujemy:

X" = (2,31) 3 5 √72

przez rozkład:

dziennik X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.

Po obliczeniu będzie:

X" = 28,99 ;

W konsekwencji,

x = - 28,99 .

Przykład 3. Oblicz:

Nie można tutaj zastosować logarytmu ciągłego, ponieważ pod znakiem korzenia stoi y m m a. W takich przypadkach formułę oblicza się w częściach.

Najpierw znajdujemy N = 5 √8 , po N 1 = 4 √3 ; Następnie przez proste dodawanie określamy N+ N 1 i wreszcie oblicz 3 √N+ N 1 ; okaże się:

N = 1,514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .

dziennik x= log 3 √ 2,830 = 1 / 3 log 2,830 = 0,1506 ;

x = 1,415 .

Rozdział czwarty.

Równania wykładnicze i logarytmiczne.

288. Równanie wykładnicze to takie, w którym niewiadoma jest zawarta w wykładniku, a logarytmiczny- te, w których nieznane wchodzi pod znakiem dziennik. Takie równania można rozwiązywać tylko w szczególnych przypadkach i trzeba opierać się na własnościach logarytmów i na zasadzie, że jeśli liczby są równe, to ich logarytmy są równe i odwrotnie, jeśli logarytmy są równe, to odpowiedni liczby są równe.

Przykład 1 Rozwiązać równanie: 2 x = 1024 .

Logarytmujemy obie strony równania:

Przykład 2 Rozwiązać równanie: a 2x - a x = 1 . Oddanie a x = w , dostajemy równanie kwadratowe:

tak 2 - w - 1 = 0 ,

Dlatego 1-√5 < 0 , to ostatnie równanie jest niemożliwe (funkcja a x zawsze jest liczba dodatnia), a pierwsza daje:

Przykład 3 Rozwiązać równanie:

dziennik( a + x) + log ( b + x) = log ( c + x) .

Równanie można zapisać w następujący sposób:

dziennik[( a + x) (b + x)] = log ( c + x) .

Z równości logarytmów wnioskujemy o równości liczb:

(a + x) (b + x) = c + x .

Jest to równanie kwadratowe, którego rozwiązanie nie jest trudne.

Rozdział piąty.

Odsetki składane, płatności terminowe i pilne składki.

289. Główny problem odsetek składanych. Jaka jest kwota kapitału? a rubli, podane we wzroście wg R odsetki składane po t lat ( t jest liczbą całkowitą)?

Mówi się, że kapitał jest wydawany na procent składany, jeśli brane są pod uwagę tzw. zwiększać ją z zainteresowaniem w kolejnych latach.

Każdy oddany rubel kapitału R %, w ciągu roku przyniesie zysk p / 100 rubel, a co za tym idzie, każdy rubel kapitału w ciągu 1 roku zamieni się w 1 + p / 100 rubel (na przykład, jeśli stolica jest podana dla 5 %, to każdy rubel w ciągu roku zamieni się w 1 + 5 / 100 , czyli in 1,05 rubel).

Oznaczanie dla zwięzłości ułamka p / 100 jedna litera, na przykład, r można powiedzieć, że każdy rubel kapitału w ciągu roku zamieni się w 1 + r ruble; W konsekwencji, a ruble za rok zamienią się w a (1 + r ) pocierać. Rok później, czyli 2 lata po rozpoczęciu wzrostu, każdy z nich rubel a (1 + r ) pocierać. wróci do 1 + r pocierać.; Oznacza to, że cały kapitał zostanie zamieniony na a (1 + r ) 2 pocierać. W ten sam sposób dowiadujemy się, że po trzech latach stolica będzie a (1 + r ) 3 , za cztery lata będzie a (1 + r ) 4 ,... w ogóle przez t lat, jeśli t jest liczbą całkowitą, zmieni się w a (1 + r ) t pocierać. Tak więc, oznaczając ALE kapitał końcowy, będziemy mieli następującą formułę procentu składanego:

ALE = a (1 + r ) t gdzie r = p / 100 .

Przykład. Wynajmować a =2 300 rubli, p = 4, t=20 lata; wtedy formuła daje:

r = 4 / 100 = 0,04 ; \u003d 2 300 (1,04) 20.

Liczyć ALE, używamy logarytmów:

dziennik a = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.

A=5031 rubel.

Komentarz. W tym przykładzie mieliśmy log 1,04 pomnożyć przez 20 . Od liczby 0,0170 jest przybliżenie log 1,04 aż do 1 / 2 część dziesięciotysięczna, to iloczyn tej liczby przez 20 będzie tylko do 1 / 2 20, tj. do 10 dziesięciotysięcznych \u003d 1 tysięczna. Dlatego w sumie 3,7017 nie możemy ręczyć nie tylko za liczbę dziesięciotysięcznych, ale także za liczbę tysięcznych. Aby uzyskać większą dokładność w takich przypadkach, lepiej dla liczby 1 + r weź logarytmy nie 4-cyfrowe, ale z duża liczba numery, np. 7 cyfr. W tym celu przedstawiamy małą tabelkę, w której dla najczęściej używanych wartości wypisane są 7-cyfrowe logarytmy. R .

290. Główne zadanie dla pilnych płatności. Ktoś wziął a rubli za R % z warunkiem spłaty zadłużenia wraz z należnymi odsetkami, w t lat, płacąc taką samą kwotę na koniec każdego roku. Jaka powinna być ta kwota?

Suma x wypłacana corocznie na takich warunkach nazywana jest płatnością pilną. Przyjrzyjmy się jeszcze raz r roczne odsetki od 1 rubla, czyli od liczby p / 100 . Następnie pod koniec pierwszego roku dług a wzrasta do a (1 + r ), Po zapłacie X rubli to będzie zrobione a (1 + r )-X .

Do końca drugiego roku każdy rubel tej kwoty ponownie zamieni się w 1 + r rubli, a zatem dług wyniesie [ a (1 + r )-X ](1 + r ) = a (1 + r ) 2 - x (1 + r ) i za opłatą x ruble będą: a (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - X . W ten sam sposób upewnimy się, że do końca 3 roku dług będzie

a (1 + r ) 3 - x (1 + r ) 2 - x (1 + r ) - x ,

i ogólnie i koniec t -tego roku będzie to:

a (1 + r ) t - x (1 + r ) t-1 - x (1 + r ) t-2 ... - x (1 + r ) - x , lub

a (1 + r ) t - x [ 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 2 + ...+ (1 + r ) t-2 + (1 + r ) t-1 ]

Wielomian wewnątrz nawiasów reprezentuje sumę wyrazów postęp geometryczny; który ma pierwszego członka 1 , ostatni ( 1 + r ) t-1 i mianownik ( 1 + r ). Zgodnie ze wzorem na sumę członków ciągu geometrycznego (sekcja 10 rozdział 3 § 249) znajdujemy:

a kwota zadłużenia po t -ta płatność wyniesie:

W zależności od stanu problemu, dług na końcu t -ty rok powinien być równy 0 ; dlatego:

gdzie

Przy obliczaniu tego pilne formuły płatności używając logarytmów musimy najpierw znaleźć liczbę pomocniczą N = (1 + r ) t logarytmem: logN= t log (1 + r) ; odkrycie N, odejmij od niego 1, to otrzymujemy mianownik wzoru na X, po czym przez logarytm wtórny znajdujemy:

dziennik X= log a+ log N + log r - log (N - 1).

291. Główne zadanie dla pilnych kontrybucji. Ktoś wpłaca do banku taką samą kwotę na początku każdego roku a pocierać. Określ, jaki kapitał powstaje z tych wkładów po t lat, jeśli bank płaci R procent składany.

Oznaczając przez r roczne odsetki od 1 rubla, tj. p / 100 , argumentujemy następująco: do końca pierwszego roku stolica będzie a (1 + r );

na początku drugiego roku kwota ta zostanie doliczona a ruble; Oznacza to, że w tym czasie stolica będzie a (1 + r ) + a . Pod koniec drugiego roku będzie a (1 + r ) 2 + a (1 + r );

na początku 3 roku ponownie wprowadza się a ruble; Oznacza to, że w tym czasie stolica będzie a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) + a ; pod koniec trzeciego będzie a (1 + r ) 3 + a (1 + r ) 2 + a (1 + r ) Kontynuując te rozważania dalej, stwierdzamy, że pod koniec t rok wymagany kapitał A będzie:

Jest to wzór na składki terminowe wnoszone na początku każdego roku.

Ten sam wzór można uzyskać w następujący sposób: pierwsza rata w a rubli w banku t lat, zamieni się według wzoru na procent składany w a (1 + r ) t pocierać. Druga rata, będąc w banku o rok krócej, tj. t - 1 lat, kontakt a (1 + r ) t-1 pocierać. Podobnie trzecia rata da a (1 + r ) t-2 itd., a wreszcie ostatnia rata, będąc w banku tylko 1 rok, zamieni się na a (1 + r ) pocierać. Więc ostateczna stolica A pocierać. będzie:

A= a (1 + r ) t + a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ),

co po uproszczeniu daje wzór podany powyżej.

Obliczając za pomocą logarytmów tego wzoru, musisz zrobić to samo, co przy obliczaniu wzoru na pilne płatności, tj. Najpierw znajdź liczbę N = ( 1 + r ) t zgodnie z jego logarytmem: logN= t dziennik(1 + r ), następnie liczba N-1 a następnie weź logarytm ze wzoru:

log A = log a+ log (1 + r) + log (N - 1) - 1ogr

Komentarz. Jeśli pilny wkład do a pocierać. została dokonana nie na początku, ale pod koniec każdego roku (jak np. dokonywana jest pilna wypłata) X spłacić dług), a następnie, argumentując podobnie jak poprzedni, okazuje się, że pod koniec t rok wymagany kapitał ALE" pocierać. będzie (w tym ostatnia rata a rub., nieoprocentowane):

A"= a (1 + r ) t-1 + a (1 + r ) t-2 + . . . + a (1 + r ) + a

co jest równe:

tj. ALE" pojawia się w ( 1 + r ) razy mniej ALE, czego należało się spodziewać, skoro każdy rubel kapitału ALE" leży w banku przez rok krócej niż odpowiedni rubel kapitału ALE.

Logarytm liczby dodatniej b o podstawie a (a>0, a nie jest równe 1) jest liczbą c taką, że a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Zauważ, że logarytm liczby niedodatniej nie jest zdefiniowany. Ponadto podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, nie równą 1. Na przykład, jeśli podniesiemy kwadrat -2, otrzymamy liczbę 4, ale to nie znaczy, że logarytm o podstawie -2 z 4 wynosi 2.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Ważne jest, aby dziedziny definicji prawej i lewej części tego wzoru były różne. Lewa strona jest zdefiniowany tylko dla b>0, a>0 i a ≠ 1. Prawa strona jest zdefiniowana dla dowolnego b iw ogóle nie zależy od a. Zatem zastosowanie podstawowej logarytmicznej „tożsamości” w rozwiązywaniu równań i nierówności może prowadzić do zmiany DPV.

Dwie oczywiste konsekwencje definicji logarytmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a 1) (4)

Rzeczywiście, podnosząc liczbę a do potęgi pierwszej, otrzymujemy tę samą liczbę, a podnosząc ją do potęgi zerowej, otrzymujemy jeden.

Logarytm iloczynu i logarytm ilorazu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Przestrzegam uczniów przed bezmyślnym stosowaniem tych formuł przy rozwiązywaniu równania logarytmiczne i nierówności. Kiedy są używane „od lewej do prawej”, ODZ zwęża się, a przechodząc od sumy lub różnicy logarytmów do logarytmu produktu lub ilorazu, ODZ rozszerza się.

Rzeczywiście, wyrażenie log a(f(x)g(x)) jest zdefiniowane w dwóch przypadkach: gdy obie funkcje są ściśle dodatnie lub gdy f(x) i g(x) są mniejsze od zera.

Przekształcając to wyrażenie w sumę log a f (x) + log a g (x) , jesteśmy zmuszeni ograniczyć się tylko do przypadku, gdy f(x)>0 i g(x)>0. Następuje zawężenie zakresu dopuszczalnych wartości, co jest kategorycznie niedopuszczalne, gdyż może prowadzić do utraty rozwiązań. Podobny problem występuje we wzorze (6).

Stopień można wyciągnąć ze znaku logarytmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I znowu chciałbym apelować o dokładność. Rozważmy następujący przykład:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lewa strona równości jest oczywiście zdefiniowana dla wszystkich wartości f(x) oprócz zera. Prawa strona jest tylko dla f(x)>0! Wyjmując potęgę z logarytmu, ponownie zawężamy ODZ. Procedura odwrotna prowadzi do rozszerzenia zakresu dopuszczalnych wartości. Wszystkie te uwagi dotyczą nie tylko potęgi 2, ale także każdej parzystej potęgi.

Formuła przejścia do nowej bazy

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten rzadki przypadek, gdy ODZ nie zmienia się podczas konwersji. Jeśli mądrze wybrałeś bazę c (pozytywną, a nie równą 1), formuła przejścia do nowej bazy jest całkowicie bezpieczna.

Jeśli wybierzemy liczbę b jako nową bazę c, otrzymamy ważną szczególny przypadek wzory (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Kilka prostych przykładów z logarytmami

Przykład 1 Oblicz: lg2 + lg50.
Rozwiązanie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Użyliśmy wzoru na sumę logarytmów (5) i definicję logarytmu dziesiętnego.

Przykład 2 Oblicz: lg125/lg5.
Rozwiązanie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Użyliśmy nowego wzoru przejścia bazowego (8).

Tabela wzorów związanych z logarytmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Wyjaśnijmy to łatwiej. Na przykład \(\log_(2)(8)\) jest równa potędze \(2\) musi zostać podniesiona, aby uzyskać \(8\). Z tego jasno wynika, że ​​\(\log_(2)(8)=3\).

Przykłady:		\(\log_(5)(25)=2\)		dlatego \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		dlatego \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		dlatego \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i podstawa logarytmu

Każdy logarytm ma następującą „anatomię”:

Argument logarytmu jest zwykle zapisywany na jego poziomie, a podstawa jest zapisywana w indeksie dolnym bliżej znaku logarytmu. A ten wpis czyta się tak: „logarytm z dwudziestu pięciu do podstawy piątej”.

Jak obliczyć logarytm?

Aby obliczyć logarytm, należy odpowiedzieć na pytanie: do jakiego stopnia należy podnieść podstawę, aby uzyskać argument?

Na przykład, oblicz logarytm: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Do jakiej potęgi trzeba \(4\) podnieść, aby uzyskać \(16\)? Oczywiście drugi. Dlatego:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(5)\), aby uzyskać \(1\)? A w jakim stopniu każda liczba jest jednostką? Oczywiście zero!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Do jakiej potęgi należy podnieść \(\sqrt(7)\), aby uzyskać \(\sqrt(7)\)? W pierwszym - dowolna liczba w pierwszym stopniu jest sobie równa.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Do jakiej potęgi należy podnieść \(3\), aby uzyskać \(\sqrt(3)\)? Od wiemy, że jest to potęga ułamkowa, co oznacza Pierwiastek kwadratowy jest stopniem \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Przykład : Oblicz logarytm \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Rozwiązanie :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Musimy znaleźć wartość logarytmu, oznaczmy ją jako x. Użyjmy teraz definicji logarytmu: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Leftrightarrow\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Co łączy \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dwa, ponieważ obie liczby mogą być reprezentowane przez dwójki: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Po lewej używamy właściwości stopnia: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cpunkt n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Podstawy są równe, przechodzimy do równości wskaźników
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnóż obie strony równania przez \(\frac(2)(5)\)
		Otrzymany pierwiastek jest wartością logarytmu

Odpowiadać : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Dlaczego wynaleziono logarytm?

Aby to zrozumieć, rozwiążmy równanie: \(3^(x)=9\). Po prostu dopasuj \(x\), aby równość działała. Oczywiście \(x=2\).

Teraz rozwiąż równanie: \(3^(x)=8\).Ile równa się x? O to chodzi.

Najbardziej pomysłowy powie: „X to trochę mniej niż dwa”. Jak dokładnie należy zapisać ten numer? Aby odpowiedzieć na to pytanie, wymyślili logarytm. Dzięki niemu odpowiedź tutaj można zapisać jako \(x=\log_(3)(8)\).

Chcę podkreślić, że \(\log_(3)(8)\), a także dowolny logarytm to tylko liczba. Tak, wygląda nietypowo, ale jest krótki. Bo gdybyśmy chcieli zapisać go jako ułamek dziesiętny, to wyglądałoby to tak: \(1.892789260714.....\)

Przykład : Rozwiąż równanie \(4^(5x-4)=10\)

Rozwiązanie :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) nie mogą być zredukowane do tej samej podstawy. Więc tutaj nie możesz się obejść bez logarytmu. Użyjmy definicji logarytmu: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Odwróć równanie tak, aby x był po lewej stronie
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Przed nami. Przesuń \(4\) w prawo. I nie bój się logarytmu, traktuj go jak zwykłą liczbę.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podziel równanie przez 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Oto nasz korzeń. Tak, wygląda to nietypowo, ale odpowiedź nie jest wybrana.

Odpowiadać : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logarytmy dziesiętne i naturalne

Jak stwierdzono w definicji logarytmu, jego podstawą może być dowolna liczba dodatnia z wyjątkiem jednej \((a>0, a\neq1)\). A wśród wszystkich możliwych podstaw są dwie, które występują tak często, że wynaleziono z nimi specjalną krótką notację dla logarytmów:

Logarytm naturalny: logarytm, którego podstawą jest liczba Eulera \(e\) (równa w przybliżeniu \(2.7182818…\)), a logarytm jest zapisany jako \(\ln(a)\).

To znaczy, \(\ln(a)\) to to samo co \(\log_(e)(a)\)

Logarytm dziesiętny: logarytm o podstawie 10 zapisywany jest \(\lg(a)\).

To znaczy, \(\lg(a)\) to to samo co \(\log_(10)(a)\), gdzie \(a\) to pewna liczba.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Logarytmy mają wiele właściwości. Jeden z nich nazywa się „Main tożsamość logarytmiczna' i wygląda tak:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ta właściwość wynika bezpośrednio z definicji. Zobaczmy, jak dokładnie pojawiła się ta formuła.

Przypomnijmy krótką definicję logarytmu:

jeśli \(a^(b)=c\), to \(\log_(a)(c)=b\)

Oznacza to, że \(b\) jest tym samym co \(\log_(a)(c)\). Następnie możemy zapisać \(\log_(a)(c)\) zamiast \(b\) we wzorze \(a^(b)=c\) . Okazało się, że \(a^(\log_(a)(c))=c\) - główna tożsamość logarytmiczna.

Możesz znaleźć resztę właściwości logarytmów. Za ich pomocą możesz uprościć i obliczyć wartości wyrażeń z logarytmami, które trudno obliczyć bezpośrednio.

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(36^(\log_(6)(5))\)

Rozwiązanie :

Odpowiadać : \(25\)

Jak zapisać liczbę jako logarytm?

Jak wspomniano powyżej, każdy logarytm to tylko liczba. Prawdą jest również odwrotność: dowolną liczbę można zapisać jako logarytm. Na przykład wiemy, że \(\log_(2)(4)\) jest równe dwa. Następnie możesz napisać \(\log_(2)(4)\) zamiast dwóch.

Ale \(\log_(3)(9)\) jest również równe \(2\), więc możesz również napisać \(2=\log_(3)(9)\) . Podobnie z \(\log_(5)(25)\), oraz z \(\log_(9)(81)\) itd. Oznacza to, że okazuje się

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Tak więc, jeśli trzeba, możemy zapisać te dwa jako logarytm z dowolną podstawą w dowolnym miejscu (nawet w równaniu, nawet w wyrażeniu, nawet w nierówności) - po prostu zapisujemy kwadratową podstawę jako argument.

Podobnie jest z trójką - można ją zapisać jako \(\log_(2)(8)\), lub jako \(\log_(3)(27)\), lub jako \(\log_(4)( 64) \) ... Tutaj piszemy bazę w kostce jako argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

A z czterema:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

A z minusem jeden:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

A z jedną trzecią:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Dowolna liczba \(a\) może być reprezentowana jako logarytm o podstawie \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Przykład : Znajdź wartość wyrażenia \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Rozwiązanie :

Odpowiadać : \(1\)

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i konwertować w każdy możliwy sposób. Ale ponieważ logarytmy nie są zwykłymi liczbami, istnieją tutaj reguły, które nazywają się podstawowe właściwości.

Zasady te muszą być znane - bez nich nie da się rozwiązać żadnego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważ dwa logarytmy o tej samej podstawie: log a x i loguj a tak. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. dziennik a x+log a tak= log a (x · tak);
2. dziennik a x−log a tak= log a (x : tak).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest logarytmem ilorazu. Notatka: kluczowy moment tutaj - te same podstawy. Jeśli bazy są różne, te zasady nie działają!

Te formuły pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie są brane pod uwagę jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

log 6 4 + log 6 9.

Ponieważ podstawy logarytmów są takie same, używamy wzoru sumy:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 2 48 − log 2 3.

Bazy są takie same, stosujemy wzór różnicy:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 3 135 − log 3 5.

Znowu podstawy są takie same, więc mamy:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, które nie są rozpatrywane oddzielnie. Ale po przemianach okazuje się dość normalne liczby. Opierając się na tym fakcie, wielu papiery testowe. Tak, kontrola - podobne wyrażenia z całą powagą (czasami - praktycznie bez zmian) są oferowane na egzaminie.

Usunięcie wykładnika z logarytmu

Teraz trochę skomplikujmy zadanie. A jeśli w podstawie lub argumencie logarytmu jest stopień? Następnie wykładnik tego stopnia można wyciągnąć ze znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo to zauważyć ostatnia zasada następuje po pierwszych dwóch. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli przestrzegany jest logarytm ODZ: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie formuły nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie, tj. możesz wprowadzić liczby przed znakiem logarytmu do samego logarytmu. To jest najczęściej wymagane.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 7 49 6 .

Pozbądźmy się stopnia w argumencie według pierwszej formuły:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

[Podpis pod rysunkiem]

Zauważ, że mianownik jest logarytmem, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Mamy:

[Podpis pod rysunkiem]

Myślę, że ostatni przykład wymaga wyjaśnienia. Gdzie podziały się logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawili podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci stopni i wyjęli wskaźniki – otrzymali ułamek „trzypiętrowy”.

Spójrzmy teraz na główną frakcję. Licznik i mianownik mają tę samą liczbę: log 2 7. Ponieważ log 2 7 ≠ 0, możemy zmniejszyć ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co zostało zrobione. Rezultatem jest odpowiedź: 2.

Przejście do nowej fundacji

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko z tymi samymi podstawami. A jeśli bazy są różne? A co, jeśli nie są to dokładne potęgi o tej samej liczbie?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia do nowej bazy. Formułujemy je w postaci twierdzenia:

Niech to będzie dane logarytm logarytmu a x. Następnie dla dowolnej liczby c takie, że c> 0 i c≠ 1, równość jest prawdziwa:

[Podpis pod rysunkiem]

W szczególności, jeśli umieścimy c = x otrzymujemy:

[Podpis pod rysunkiem]

Z drugiej formuły wynika, że ​​można zamienić podstawę i argument logarytmu, ale w tym przypadku całe wyrażenie jest „odwrócone”, tj. logarytm jest w mianowniku.

Te formuły są rzadko spotykane w zwykłych wyrażenia liczbowe. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Są jednak zadania, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeniesiemy się do nowej fundacji. Rozważmy kilka z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 5 16 log 2 25.

Zauważ, że argumenty obu logarytmów są dokładnymi wykładnikami. Wyjmijmy wskaźniki: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2 log 2 5;

Teraz odwróćmy drugi logarytm:

[Podpis pod rysunkiem]

Ponieważ iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery i dwa, a następnie obliczyliśmy logarytmy.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log 9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są dokładne potęgi. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

[Podpis pod rysunkiem]

Pozbądźmy się teraz logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

[Podpis pod rysunkiem]

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania wymagane jest przedstawienie liczby jako logarytmu do danej podstawy. W takim przypadku pomogą nam formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Numer n może być absolutnie wszystkim, ponieważ jest to tylko wartość logarytmu.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Nazywa się to podstawową tożsamością logarytmiczną.

Rzeczywiście, co się stanie, jeśli liczba b wznieść się do władzy, aby b w tym zakresie daje liczbę a? Zgadza się: to ten sam numer a. Przeczytaj uważnie ten akapit ponownie - wiele osób „wisi” na nim.

Podobnie jak nowe formuły konwersji bazowej, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:

[Podpis pod rysunkiem]

Zauważ, że log 25 64 = log 5 8 - po prostu wyjąłem kwadrat z podstawy i argument logarytmu. Biorąc pod uwagę zasady mnożenia potęg przez ta sama baza otrzymujemy:

[Podpis pod rysunkiem]

Jeśli ktoś nie wie, to było prawdziwe zadanie z egzaminu :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Na zakończenie podam dwie tożsamości, które trudno nazwać własnościami - są to raczej konsekwencje definicji logarytmu. Ciągle znajdują się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet „zaawansowanym” studentom.

1. dziennik a a= 1 to jednostka logarytmiczna. Pamiętaj raz na zawsze: logarytm do dowolnej podstawy a z tej bazy sama jest równa jeden.
2. dziennik a 1 = 0 to zero logarytmiczne. Baza a może być cokolwiek, ale jeśli argument jest jeden, logarytm wynosi zero! dlatego a 0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć wprowadzanie ich w życie! Pobierz ściągawkę na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż problemy.