Uproszczenie wyrażeń logicznych. Jak uprościć wyrażenia algebraiczne

Wiadomo, że w matematyce nie można obejść się bez upraszczania wyrażeń. Jest to niezbędne do poprawnego i szybkiego rozwiązywania różnorodnych problemów, a także różnego rodzaju równań. Omawiane uproszczenie implikuje zmniejszenie liczby działań niezbędnych do osiągnięcia celu. Dzięki temu obliczenia są zauważalnie ułatwione, a czas znacznie zaoszczędzony. Ale jak uprościć wyrażenie? W tym celu stosuje się ustalone zależności matematyczne, często nazywane wzorami lub prawami, które pozwalają znacznie skrócić wyrażenia, upraszczając w ten sposób obliczenia.

Nie jest tajemnicą, że dziś nie jest trudno uprościć wyrażenie online. Oto linki do niektórych z bardziej popularnych:

Nie jest to jednak możliwe z każdym wyrażeniem. Dlatego bardziej szczegółowo rozważymy bardziej tradycyjne metody.

Wyjęcie wspólnego dzielnika

W przypadku, gdy w jednym wyrażeniu występują jednomiany, które mają te same współczynniki, można z nimi znaleźć sumę współczynników, a następnie pomnożyć przez wspólny dla nich czynnik. Ta operacja jest również znana jako „usuwanie wspólny dzielnik Konsekwentnie stosując tę metodę, czasami można znacznie uprościć wyrażenie. Algebra, ogólnie rzecz biorąc, opiera się na grupowaniu i przegrupowaniu czynników i dzielników.

Najprostsze wzory na skrócone mnożenie

Jedną z konsekwencji opisanej wcześniej metody są zredukowane formuły mnożenia. Jak uprościć wyrażenia za ich pomocą, jest znacznie jaśniejsze dla tych, którzy nawet nie nauczyli się tych formuł na pamięć, ale wiedzą, jak się je wyprowadza, czyli skąd pochodzą, a zatem ich matematyczną naturę. W zasadzie poprzednie stwierdzenie pozostaje aktualne w całej matematyce współczesnej, od pierwszej klasy do wyższych kierunków na wydziałach Mechaniki i Matematyki. Różnica kwadratów, kwadrat różnicy i sumy, suma i różnica sześcianów - wszystkie te wzory są szeroko stosowane w matematyce elementarnej, jak i wyższej, w przypadkach, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia w celu rozwiązania problemów . Przykłady takich przekształceń można łatwo znaleźć w każdym podręczniku szkolnym do algebry lub, jeszcze prościej, w ogromie ogólnoświatowej sieci.

Korzenie stopnia

Matematyka elementarna, jeśli spojrzysz na nią jako na całość, nie jest uzbrojona w wiele sposobów na uproszczenie wyrażenia. Stopnie i działania z nimi z reguły są stosunkowo łatwe dla większości studentów. Dopiero teraz wielu współczesnych uczniów i studentów ma znaczne trudności, gdy konieczne jest uproszczenie wyrażenia z korzeniami. I jest to całkowicie bezpodstawne. Dlatego matematyczny charakter korzenie nie różnią się od natury tymi samymi stopniami, z którymi z reguły jest znacznie mniej trudności. Wiadomo, że Pierwiastek kwadratowy od liczby, zmiennej lub wyrażenia to nic innego jak ta sama liczba, zmienna lub wyrażenie do potęgi połowy, pierwiastek sześcienny- to samo do stopnia „jednej trzeciej” i tak dalej zgodnie.

Upraszczanie wyrażeń z ułamkami

Rozważ także typowy przykład uproszczenia wyrażenia za pomocą ułamków. W przypadkach, gdy wyrażenia są frakcje naturalne, należy wybrać wspólny dzielnik z mianownika i licznika, a następnie zmniejszyć o niego ułamek. Gdy jednomiany mają te same mnożniki podniesione do potęgi, konieczne jest monitorowanie równości potęg podczas ich sumowania.

Uproszczenie najprostszych wyrażeń trygonometrycznych

Niektóre z nich to rozmowa o tym, jak uprościć wyrażenie trygonometryczne. Najszersza sekcja trygonometrii jest być może pierwszym etapem, na którym studenci matematyki napotkają nieco abstrakcyjne pojęcia, problemy i metody ich rozwiązywania. Oto odpowiadające im formuły, z których pierwszym jest podstawowa tożsamość trygonometryczna. Mając dostateczny matematyczny sposób myślenia, można prześledzić systematyczne wyprowadzanie z tej identyczności wszystkich głównych tożsamości i formuł trygonometrycznych, w tym formuł na różnicę i sumę argumentów, podwójnych, potrójnych argumentów, formuł redukcyjnych i wielu innych. Oczywiście nie należy tutaj zapominać o pierwszych metodach, takich jak wyjęcie wspólnego czynnika, które są w pełni wykorzystywane wraz z nowymi metodami i formułami.

Podsumowując, oto kilka ogólnych wskazówek dla czytelnika:

Wielomiany powinny być rozkładane na czynniki, to znaczy powinny być reprezentowane w postaci iloczynu pewnej liczby czynników - jednomianów i wielomianów. Jeśli istnieje taka możliwość, należy wyjąć z nawiasów czynnik wspólny.
Lepiej zapamiętać wszystkie skrócone wzory mnożenia bez wyjątku. Nie ma ich zbyt wiele, ale są podstawą upraszczania wyrażeń matematycznych. Nie należy również zapominać o sposobie zaznaczania pełnych kwadratów w trójmianach, czyli odwrotna akcja do jednego ze skróconych wzorów mnożenia.
Wszystkie istniejące ułamki w wyrażeniu powinny być zmniejszane tak często, jak to możliwe. Czyniąc to, nie zapominaj, że zmniejszane są tylko mnożniki. W przypadku, gdy mianownik i licznik ułamków algebraicznych są pomnożone przez tę samą liczbę, która różni się od zera, wartości ułamków nie ulegają zmianie.
Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie wyrażenia można przekształcić za pomocą działań lub łańcucha. Pierwsza metoda jest bardziej preferowana, ponieważ. łatwiej jest zweryfikować wyniki działań pośrednich.
Dość często w wyrażeniach matematycznych trzeba wydobyć pierwiastki. Należy pamiętać, że pierwiastki parzystych stopni można wydobyć tylko z nieujemnej liczby lub wyrażenia, a pierwiastki nieparzystych stopni można wydobyć całkowicie z dowolnych wyrażeń lub liczb.

Mamy nadzieję, że nasz artykuł pomoże Ci w przyszłości zrozumieć wzory matematyczne i nauczy Cię ich praktycznego zastosowania.

Za pomocą dowolnego języka możesz wyrazić te same informacje za pomocą różnych słów i fraz. Język matematyczny nie jest wyjątkiem. Ale to samo wyrażenie można równoważnie napisać na różne sposoby. A w niektórych sytuacjach jeden z wpisów jest prostszy. W tej lekcji porozmawiamy o uproszczeniu wyrażeń.

Ludzie komunikują się dalej inne języki. Dla nas ważnym porównaniem jest para „Język rosyjski - język matematyczny”. Te same informacje mogą być przekazywane w różnych językach. Ale poza tym może być inaczej wymawiane w jednym języku.

Na przykład: „Piotr jest przyjacielem Wasyi”, „Wasja przyjaźni się z Petyą”, „Piotr i Wasia są przyjaciółmi”. Mówiąc inaczej, ale jedno i to samo. Dzięki którymkolwiek z tych zwrotów zrozumielibyśmy, o co toczy się gra.

Spójrzmy na to zdanie: „Chłopiec Petya i chłopiec Wasia są przyjaciółmi”. Rozumiemy, o co toczy się gra. Jednak nie podoba nam się, jak brzmi to zdanie. Czy nie możemy tego uprościć, powiedzieć to samo, ale prościej? „Chłopiec i chłopiec” - możesz raz powiedzieć: „Chłopcy Petya i Vasya są przyjaciółmi”.

„Chłopcy”… Czy z ich imion nie wynika jasno, że nie są dziewczynami. Usuwamy „chłopców”: „Petya i Vasya są przyjaciółmi”. A słowo „przyjaciele” można zastąpić słowem „przyjaciele”: „Petya i Wasia są przyjaciółmi”. W rezultacie pierwsza, długa, brzydka fraza została zastąpiona równoważnym stwierdzeniem, które jest łatwiejsze do powiedzenia i łatwiejsze do zrozumienia. Uprościliśmy to zdanie. Upraszczać znaczy mówić łatwiej, ale nie tracić, nie zniekształcać sensu.

To samo dzieje się w języku matematycznym. To samo można powiedzieć inaczej. Co to znaczy uprościć wyrażenie? Oznacza to, że dla oryginalnego wyrażenia istnieje wiele równoważnych wyrażeń, to znaczy takich, które oznaczają to samo. I z całej tej mnogości musimy wybrać najprostszy naszym zdaniem lub najbardziej odpowiedni do naszych dalszych celów.

Rozważmy na przykład wyrażenie liczbowe. Będzie to odpowiednik .

Będzie również odpowiednikiem dwóch pierwszych: .

Okazuje się, że uprościliśmy nasze wyrażenia i znaleźliśmy najkrótszy odpowiednik.

W przypadku wyrażeń liczbowych zawsze musisz wykonać całą pracę i uzyskać równoważne wyrażenie jako pojedynczą liczbę.

Rozważ przykład wyrażenia dosłownego . Oczywiście będzie prostsze.

Upraszczając wyrażenia dosłowne, musisz wykonać wszystkie możliwe czynności.

Czy zawsze konieczne jest uproszczenie wyrażenia? Nie, czasami odpowiednik, ale dłuższy zapis będzie dla nas wygodniejszy.

Przykład: Odejmij liczbę od liczby.

Można to obliczyć, ale gdyby pierwsza liczba była reprezentowana przez jej odpowiednik: , to obliczenia byłyby natychmiastowe: .

Oznacza to, że uproszczone wyrażenie nie zawsze jest dla nas korzystne dla dalszych obliczeń.

Niemniej jednak bardzo często stajemy przed zadaniem, które brzmi jak „uprość wyrażenie”.

Uprość wyrażenie: .

Rozwiązanie

1) Wykonaj czynności w pierwszym i drugim nawiasie: .

2) Oblicz produkty: .

Oczywiście ostatnie wyrażenie ma prostszą formę niż początkowe. Uprościliśmy to.

Aby uprościć wyrażenie, należy je zastąpić odpowiednikiem (równym).

Aby określić równoważne wyrażenie, musisz:

1) wykonać wszystkie możliwe czynności,

2) wykorzystywać właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w celu uproszczenia obliczeń.

Własności dodawania i odejmowania:

1. Przemienność dodawania: suma nie zmienia się po przekształceniu wyrazów.

2. Asocjacyjna własność dodawania: aby dodać trzecią liczbę do sumy dwóch liczb, możesz dodać sumę drugiej i trzeciej liczby do pierwszej liczby.

3. Właściwość odejmowania sumy od liczby: aby odjąć sumę od liczby, możesz odjąć każdy termin z osobna.

Własności mnożenia i dzielenia

1. Przemienność mnożenia: iloczyn nie zmienia się z permutacji czynników.

2. Własność asocjacyjna: aby pomnożyć liczbę przez iloczyn dwóch liczb, możesz najpierw pomnożyć ją przez pierwszy czynnik, a następnie pomnożyć otrzymany iloczyn przez drugi czynnik.

3. Dystrybucyjna własność mnożenia: aby pomnożyć liczbę przez sumę, należy ją pomnożyć przez każdy wyraz z osobna.

Zobaczmy, jak faktycznie wykonujemy obliczenia umysłowe.

Oblicz:

Rozwiązanie

1) Wyobraź sobie jak

2) Przedstawmy pierwszy mnożnik jako sumę wyrazów bitowych i wykonajmy mnożenie:

3) możesz sobie wyobrazić, jak i wykonać mnożenie:

4) Zastąp pierwszy czynnik równoważną sumą:

Prawo podziału może być również użyte w odwrotnym kierunku: .

Wykonaj następujące kroki:

1) 2)

Rozwiązanie

1) Dla wygody możesz użyć prawa dystrybucji, po prostu użyj go w przeciwnym kierunku - usuń wspólny czynnik z nawiasów.

2) Wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów

Konieczne jest kupowanie linoleum w kuchni i przedpokoju. Część kuchenna - przedpokój. Istnieją trzy rodzaje linoleum: za i ruble za. Ile każdy z? trzy rodzaje linoleum? (rys. 1)

Ryż. 1. Ilustracja przedstawiająca stan problemu

Rozwiązanie

Metoda 1. Możesz osobno sprawdzić, ile pieniędzy potrzeba na zakup linoleum w kuchni, a następnie dodać je do przedpokoju i zsumować powstałe prace.

Wyrażenie algebraiczne, w zapisie którego oprócz operacji dodawania, odejmowania i mnożenia wykorzystuje również podział na wyrażenia dosłowne, nazywamy ułamkowym wyrażeniem algebraicznym. Takie są na przykład wyrażenia

Nazywamy to ułamkiem algebraicznym wyrażenie algebraiczne, który ma postać ilorazu dwóch całkowitych wyrażeń algebraicznych (na przykład jednomianów lub wielomianów). Takie są na przykład wyrażenia

trzecie z wyrażeń).

Przekształcenia tożsamościowe ułamkowych wyrażeń algebraicznych są w większości przeznaczone do reprezentowania ich w postaci ułamek algebraiczny. Aby znaleźć wspólny mianownik, stosuje się faktoryzację mianowników ułamków - terminów w celu znalezienia ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Podczas redukcji ułamków algebraicznych można naruszyć ścisłą tożsamość wyrażeń: konieczne jest wykluczenie wartości ilości, przy których znika czynnik, o który dokonano redukcji.

Oto kilka przykładów identyczne przekształcenia ułamkowe wyrażenia algebraiczne.

Przykład 1: Uprość wyrażenie

Wszystkie wyrazy można sprowadzić do wspólnego mianownika (wygodnie jest zmienić znak w mianowniku ostatniego wyrazu i znak przed nim):

Nasze wyrażenie jest równe jeden dla wszystkich wartości poza tymi wartościami, nie jest zdefiniowane, a redukcja ułamków jest nielegalna).

Przykład 2. Reprezentuj wyrażenie jako ułamek algebraiczny

Rozwiązanie. Wyrażenie może być traktowane jako wspólny mianownik. Znajdujemy kolejno:

Ćwiczenia

1. Znajdź wartości wyrażeń algebraicznych dla określonych wartości parametrów:

2. Faktoryzuj.

§ 1 Pojęcie uproszczenia wyrażenia dosłownego

W tej lekcji zapoznamy się z pojęciem „podobnych terminów” i na przykładach nauczymy się przeprowadzać redukcję podobnych terminów, upraszczając w ten sposób wyrażenia dosłowne.

Dowiedzmy się, co oznacza pojęcie „uproszczenia”. Słowo „uproszczenie” pochodzi od słowa „uprościć”. Upraszczać znaczy upraszczać, upraszczać. Dlatego uproszczenie wyrażenia dosłownego polega na skróceniu go przy minimalnej liczbie działań.

Rozważmy wyrażenie 9x + 4x. To jest dosłowne wyrażenie, które jest sumą. Terminy są tutaj przedstawione jako iloczyny liczby i litery. Współczynnik liczbowy takich terminów nazywa się współczynnikiem. W tym wyrażeniu współczynnikami będą liczby 9 i 4. Należy zauważyć, że mnożnik reprezentowany przez literę jest taki sam w obu kategoriach tej sumy.

Przypomnij sobie rozdzielcze prawo mnożenia:

Aby pomnożyć sumę przez liczbę, możesz pomnożyć każdy termin przez tę liczbę i dodać otrzymane iloczyny.

W ogólna perspektywa jest napisane w następujący sposób: (a + b) ∙ c \u003d ac + bc.

Prawo to obowiązuje w obu kierunkach ac + bc = (a + b) ∙ c

Zastosujmy to do naszego dosłownego wyrażenia: suma iloczynów 9x i 4x jest równa iloczynowi, którego pierwszy czynnik jest równa sumie 9 i 4, drugim czynnikiem jest x.

9 + 4 = 13 daje 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

Zamiast trzech czynności w wyrażeniu pozostała jedna czynność - mnożenie. Dlatego uprościliśmy nasze dosłowne wyrażenie, tj. uprościł to.

§ 2 Redukcja podobnych terminów

Wyrażenia 9x i 4x różnią się tylko współczynnikami – takie terminy nazywa się podobnymi. Część literowa podobnych terminów jest taka sama. Podobne terminy obejmują również liczby i terminy równe.

Na przykład w wyrażeniu 9a + 12 - 15 liczby 12 i -15 będą wyrazami podobnymi, a w sumie iloczynów 12 i 6a liczby 14 oraz iloczynów 12 i 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a), równe wyrazy reprezentowane przez iloczyn 12 i 6a.

Należy zauważyć, że terminy o równych współczynnikach i różnych czynnikach dosłownych nie są podobne, chociaż czasami przydatne jest zastosowanie do nich rozdzielczego prawa mnożenia, na przykład suma iloczynów 5x i 5y jest równa iloczynowi liczby 5 i sumy x i y

5x + 5y = 5(x + y).

Uprośćmy wyrażenie -9a + 15a - 4 + 10.

W tym przypadku terminy -9a i 15a są terminami podobnymi, ponieważ różnią się tylko współczynnikami. Mają ten sam mnożnik liter, a terminy -4 i 10 są również podobne, ponieważ są liczbami. Dodajemy podobne terminy:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Otrzymujemy: 6a + 6.

Upraszczając wyrażenie, znaleźliśmy sumy terminów podobnych, w matematyce nazywa się to redukcją terminów podobnych.

Jeśli przyniesienie takich terminów jest trudne, możesz wymyślić dla nich słowa i dodać przedmioty.

Rozważmy na przykład wyrażenie:

Dla każdej litery bierzemy własny obiekt: b-jabłko, c-gruszka, wtedy okaże się: 2 jabłka minus 5 gruszek plus 8 gruszek.

Czy możemy odjąć gruszki od jabłek? Oczywiście nie. Ale możemy dodać 8 gruszek do minus 5 gruszek.

Podajemy podobne terminy -5 gruszek + 8 gruszek. Terminy podobne mają tę samą część dosłowną, dlatego redukując terminy podobne, wystarczy dodać współczynniki i dodać część dosłowną do wyniku:

(-5 + 8) gruszki - otrzymujesz 3 gruszki.

Wracając do naszego dosłownego wyrażenia, mamy -5s + 8s = 3s. Zatem po zredukowaniu podobnych członów otrzymujemy wyrażenie 2b + 3c.

Tak więc w tej lekcji zapoznałeś się z pojęciem „podobnych terminów” i nauczyłeś się, jak uprościć wyrażenia dosłowne, wprowadzając podobne terminy.

Lista wykorzystanej literatury:

Matematyka. Klasa 6: konspekty lekcji do podręcznika autorstwa I.I. Zubareva, AG Mordkovich // autor-kompilator L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla uczniów instytucje edukacyjne. II Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013.
Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla instytucji edukacyjnych / G.V. Dorofiejew, I.F. Sharygin, S.B. Suworow i inni / pod redakcją G.V. Dorofeeva, I.F. Szarygin; Rosyjska Akademia Nauk, Rosyjska Akademia Edukacji. M.: "Oświecenie", 2010.
Matematyka. Klasa 6: podręcznik dla ogólnych instytucji edukacyjnych / N.Ya. Vilenkin, V.I. Żochow, A.S. Czesnokow, S.I. Schwarzburda. – M.: Mnemozina, 2013.
Matematyka. Klasa 6: podręcznik / G.K. Muravin, O.V. Mrówka. – M.: Drop, 2014.

Wykorzystane obrazy:

Rozważmy temat przekształcania wyrażeń z potęgami, ale najpierw zajmiemy się szeregiem przekształceń, które można przeprowadzić za pomocą dowolnych wyrażeń, w tym potęgowych. Nauczymy się otwierać nawiasy, podawać podobne terminy, pracować z podstawą i wykładnikiem, korzystać z własności stopni.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Co to są Power Expressions?

W kurs szkolny niewiele osób używa wyrażenia „ wyrażenia mocy”, ale ten termin stale znajduje się w zbiorach przygotowujących do egzaminu. W większości przypadków fraza oznacza wyrażenia, które w swoich hasłach zawierają stopnie. To właśnie uwzględnimy w naszej definicji.

Definicja 1

Ekspresja mocy to wyrażenie zawierające moce.

Podajmy kilka przykładów wyrażeń potęgowych, zaczynając od stopnia z wskaźnik naturalny a kończąc na dyplomie z rzeczywistym wykładnikiem.

Najprostsze wyrażenia potęgowe można traktować jako potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Jak również potęgi z wykładnikiem zerowym: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . I stopnie z liczbami całkowitymi negatywne moce: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Trochę trudniej jest pracować ze stopniem, który ma racjonalne i irracjonalne wykładniki: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a-1 6 · b 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Wskaźnik może być zmienną 3 x - 54 - 7 3 x - 58 lub logarytmem x 2 l g x − 5 x l g x.

Zajmowaliśmy się pytaniem, czym są wyrażenia mocy. Przyjrzyjmy się teraz ich transformacji.

Główne typy przekształceń wyrażeń mocy

Przede wszystkim rozważymy podstawowe przekształcenia tożsamościowe wyrażeń, które można wykonać za pomocą wyrażeń potęgowych.

Przykład 1

Oblicz wartość wyrażenia potęgowego 2 3 (4 2 − 12).

Rozwiązanie

Wszystkie przekształcenia przeprowadzimy zgodnie z kolejnością działań. W tym przypadku zaczniemy od wykonania czynności w nawiasach: zastąpimy stopień wartością cyfrową i obliczymy różnicę między tymi dwiema liczbami. Mamy 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Pozostaje nam wymienić stopień 2 3 znaczenie tego 8 i oblicz produkt 8 4 = 32. Oto nasza odpowiedź.

Odpowiadać: 2 3 (4 2 − 12) = 32 .

Przykład 2

Uprość ekspresję za pomocą uprawnień 3 za 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7.

Rozwiązanie

Wyrażenie dane nam w stanie problemu zawiera podobne terminy, które możemy przynieść: 3 za 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7 = 5 za 4 b − 7 − 1.

Odpowiadać: 3 za 4 b − 7 − 1 + 2 za 4 b − 7 = 5 za 4 b − 7 − 1 .

Przykład 3

Wyraź wyrażenie o potęgach 9 - b 3 · π - 1 2 jako iloczyn.

Rozwiązanie

Przedstawmy liczbę 9 jako potęgę 3 2 i zastosuj skróconą formułę mnożenia:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Odpowiadać: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1 .

A teraz przejdźmy do analizy identycznych przekształceń, które można zastosować konkretnie do wyrażeń potęgowych.

Praca z podstawą i wykładnikiem

Stopień w podstawie lub wykładniku może zawierać liczby, zmienne i niektóre wyrażenia. Na przykład, (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 oraz . Praca z takimi płytami jest trudna. O wiele łatwiej jest zastąpić wyrażenie w podstawie stopnia lub wyrażenie w wykładniku identycznie równym wyrażeniem.

Przekształcenia stopnia i wskaźnika są przeprowadzane według znanych nam zasad oddzielnie od siebie. Najważniejsze jest to, że w wyniku przekształceń uzyskuje się wyrażenie identyczne z pierwotnym.

Celem przekształceń jest uproszczenie pierwotnego wyrażenia lub uzyskanie rozwiązania problemu. Na przykład w powyższym przykładzie (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 możesz wykonać operacje, aby przejść do stopnia 4 , 1 1 , 3 . Otwierając nawiasy możemy wprowadzić podobne terminy do podstawy stopnia (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) i skończ z ekspresją mocy prosta forma 2 (x + 1).

Korzystanie z właściwości zasilania

Własności stopni, zapisane jako równości, są jednym z głównych narzędzi do przekształcania wyrażeń za pomocą stopni. Przedstawiamy tutaj najważniejsze, biorąc pod uwagę to a oraz b są liczbami dodatnimi i r oraz s- dowolne liczby rzeczywiste:

Definicja 2

a r za s = r + s ;
a r: a s = a r − s ;
(a b) r = a r b r ;
(a:b) r = a r: br ;
(a r) s = a r s .

W przypadkach, w których mamy do czynienia z naturalnymi, całkowitymi, dodatnimi wykładnikami, ograniczenia dotyczące liczb a i b mogą być znacznie mniej rygorystyczne. Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę równość za m za n = za m + n, gdzie m oraz n – liczby całkowite, wtedy będzie to prawdziwe dla dowolnych wartości a , zarówno dodatnich, jak i ujemnych, oraz dla a = 0.

Możesz zastosować właściwości stopni bez ograniczeń w przypadkach, gdy podstawy stopni są dodatnie lub zawierają zmienne, których zakres dopuszczalnych wartości jest taki, że podstawy przyjmują na nim tylko wartości dodatnie. W rzeczywistości w ramach szkolnego programu nauczania z matematyki zadaniem ucznia jest wybór odpowiedniej właściwości i jej prawidłowe zastosowanie.

Przygotowując się do przyjęcia na uczelnie, mogą pojawić się zadania, w których niedokładne zastosowanie nieruchomości doprowadzi do zawężenia ODZ i innych trudności z rozwiązaniem. W tej sekcji rozważymy tylko dwa takie przypadki. Więcej informacji na ten temat można znaleźć w temacie "Przekształcanie wyrażeń przy użyciu właściwości wykładnika".

Przykład 4

Reprezentuj wyrażenie a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 jako stopień z podstawą a.

Rozwiązanie

Na początek korzystamy z potęgi potęgowania i za jej pomocą przekształcamy drugi czynnik (a 2) − 3. Następnie korzystamy z własności mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie:

a 2, 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) = 2 .

Odpowiadać: a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 = a 2 .

Transformację wyrażeń mocy zgodnie z właściwością stopni można wykonać zarówno od lewej do prawej, jak i w przeciwnym kierunku.

Przykład 5

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Rozwiązanie

Jeśli zastosujemy równość (a b) r = a r b r, od prawej do lewej, to otrzymujemy iloczyn postaci 3 7 1 3 21 2 3 , a następnie 21 1 3 21 2 3 . Dodajemy wykładniki podczas mnożenia potęg przez te same podstawy: 21 1 3 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21 .

Jest inny sposób na dokonanie transformacji:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Odpowiadać: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Przykład 6

Biorąc pod uwagę ekspresję mocy a 1 , 5 − a 0 , 5 − 6, wprowadź nową zmienną t = 0 , 5.

Rozwiązanie

Wyobraź sobie stopień 1 , 5 Jak 0 , 5 3. Korzystanie z właściwości degree w stopniu (a r) s = a r s od prawej do lewej i otrzymaj (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . W wynikowym wyrażeniu możesz łatwo wprowadzić nową zmienną t = 0 , 5: Dostawać t 3 − t − 6.

Odpowiadać: t 3 − t − 6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Zwykle mamy do czynienia z dwoma wariantami wyrażeń potęgowych z ułamkami: wyrażenie jest ułamkiem ze stopniem lub zawiera taki ułamek. Wszystkie podstawowe przekształcenia ułamkowe mają zastosowanie do takich wyrażeń bez ograniczeń. Można je redukować, sprowadzać do nowego mianownika, pracować osobno z licznikiem i mianownikiem. Zilustrujmy to przykładami.

Przykład 7

Uprość wyrażenie potęgowe 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Rozwiązanie

Mamy do czynienia z ułamkiem, więc przeprowadzimy przekształcenia zarówno w liczniku, jak i mianowniku:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Umieść minus przed ułamkiem, aby zmienić znak mianownika: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Odpowiadać: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ułamki zawierające potęgi sprowadza się do nowego mianownika w taki sam sposób, jak ułamki wymierne. Aby to zrobić, musisz znaleźć dodatkowy czynnik i pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka. Konieczne jest dobranie dodatkowego czynnika w taki sposób, aby nie zniknął on dla żadnych wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład 8

Przenieś ułamki do nowego mianownika: a) a + 1 a 0, 7 do mianownika a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 16 + 4 y 1 3 do mianownika x + 8 y 1 2 .

Rozwiązanie

a) Wybieramy czynnik, który pozwoli nam zredukować do nowego mianownika. za 0 , 7 za 0 , 3 = za 0 , 7 + 0 , 3 = za , dlatego jako dodatkowy czynnik przyjmujemy 0 , 3. Zakres dopuszczalnych wartości zmiennej a obejmuje zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych. W tym obszarze stopień 0 , 3 nie spada do zera.

Pomnóżmy licznik i mianownik ułamka przez 0 , 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Zwróć uwagę na mianownik:

x 2 3 - 2 x 1 3 rok 1 6 + 4 rok 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 rok 1 6 + 2 rok 1 6 2

Pomnóż to wyrażenie przez x 1 3 + 2 · y 1 6 , otrzymamy sumę sześcianów x 1 3 i 2 · y 1 6 , czyli x + 8 · y 1 2 . To jest nasz nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić pierwotny ułamek.

Więc znaleźliśmy dodatkowy czynnik x 1 3 + 2 · y 1 6 . W zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x oraz tak wyrażenie x 1 3 + 2 y 1 6 nie znika, więc możemy przez nie pomnożyć licznik i mianownik ułamka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 lat 1 6 + 4 lat 1 3 = = x 1 3 + 2 lat 1 6 x 1 3 + 2 lat 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 lat 1 6 + 4 lat 1 3 = = x 1 3 + 2 rok 1 6 x 1 3 3 + 2 rok 1 6 3 = x 1 3 + 2 rok 1 6 x + 8 rok 1 2

Odpowiadać: a) a + 1 a 0,7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 1 2 .

Przykład 9

Zmniejsz ułamek: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Rozwiązanie

a) Użyj największego wspólnego mianownika (NWD), o który można zmniejszyć licznik i mianownik. Dla liczb 30 i 45 jest to 15 . Możemy również zredukować x 0 , 5 + 1 i na x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Otrzymujemy:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tutaj obecność identycznych czynników nie jest oczywista. Będziesz musiał wykonać kilka przekształceń, aby uzyskać te same współczynniki w liczniku i mianowniku. Aby to zrobić, rozszerzamy mianownik za pomocą wzoru na różnicę kwadratów:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Odpowiadać: a) 30 x 3 (x 0,5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0,5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Główne operacje na ułamkach to redukcja do nowego mianownika i redukcja ułamków. Obie czynności wykonywane są zgodnie z szeregiem zasad. Podczas dodawania i odejmowania ułamków ułamki są najpierw redukowane do wspólnego mianownika, po czym wykonywane są operacje (dodawanie lub odejmowanie) z licznikami. Mianownik pozostaje ten sam. Wynikiem naszych działań jest nowy ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik iloczynem mianowników.

Przykład 10

Wykonaj kroki x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Rozwiązanie

Zacznijmy od odjęcia ułamków znajdujących się w nawiasach. Sprowadźmy je do wspólnego mianownika:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odejmijmy liczniki:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Teraz mnożymy ułamki:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmniejszmy się o stopień x 1 2 otrzymujemy 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Dodatkowo możesz uprościć wyrażenie potęgowe w mianowniku, używając wzoru na różnicę kwadratów: kwadraty: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Odpowiadać: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Przykład 11

Uprość wyrażenie potęgowe x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Rozwiązanie

Możemy zmniejszyć ułamek o (x 2 , 7 + 1) 2. Otrzymujemy ułamek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Kontynuujmy transformacje x potęg x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Teraz możesz użyć własności dzielenia potęg przy tych samych podstawach: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Przechodzimy od ostatniego produktu do ułamka x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Odpowiadać: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

W większości przypadków wygodniej jest przenieść mnożniki z ujemnymi wykładnikami z licznika na mianownik i odwrotnie, zmieniając znak wykładnika. To działanie upraszcza dalszą decyzję. Podajmy przykład: wyrażenie potęgowe (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 można zastąpić przez x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

W zadaniach istnieją wyrażenia potęgowe, które zawierają nie tylko stopnie z wykładnikami ułamkowymi, ale także pierwiastki. Pożądane jest sprowadzenie takich wyrażeń tylko do korzeni lub tylko do potęg. Preferowane jest przejście na stopnie, ponieważ łatwiej się z nimi pracuje. Takie przejście jest szczególnie korzystne, gdy DPV zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności dostępu do modułu lub dzielenia DPV na kilka przedziałów.

Przykład 12

Wyraź wyrażenie x 1 9 x x 3 6 jako potęgę.

Rozwiązanie

Prawidłowy zakres zmiennej x wyznaczają dwie nierówności x ≥ 0 oraz x · x 3 ≥ 0 , które definiują zbiór [ 0 , + ∞) .

Na tym zestawie mamy prawo przejść od korzeni do potęg:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Korzystając z właściwości stopni, upraszczamy wynikowe wyrażenie potęgowe.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Odpowiadać: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Zamiana potęg ze zmiennymi w wykładniku

Te przekształcenia są dość proste do wykonania, jeśli poprawnie użyjesz właściwości stopnia. Na przykład, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Możemy zastąpić iloczyn stopnia, w jakim znajduje się suma pewnej zmiennej i liczby. Po lewej stronie można to zrobić za pomocą pierwszego i ostatniego wyrazu po lewej stronie wyrażenia:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0 , 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Podzielmy teraz obie strony równania przez 7 2x. To wyrażenie na ODZ zmiennej x przyjmuje tylko wartości dodatnie:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0,5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmniejszmy ułamki przez potęgi, otrzymujemy: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Ostatecznie stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami stosunków, co prowadzi do równania 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , co jest równoważne 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Wprowadźmy nową zmienną t = 5 7 x , która redukuje rozwiązanie oryginału równanie wykładnicze do decyzji równanie kwadratowe 5 t 2 − 3 t − 2 = 0 .

Zamiana wyrażeń z potęgami i logarytmami

W problemach można również znaleźć wyrażenia zawierające potęgi i logarytmy. Przykładami takich wyrażeń są: 1 4 1 - 5 log 2 3 lub log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformacja takich wyrażeń odbywa się przy użyciu powyższych podejść i właściwości logarytmów, które szczegółowo przeanalizowaliśmy w temacie „Transformacja wyrażeń logarytmicznych”.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter