Prizma. Paralelepiped

Prizma je polieder, katerega ploskvi sta enaka n-kotnika (baze) , ki ležijo v vzporednih ravninah, preostalih n ploskev pa so paralelogrami (stranski obrazi) . Bočno rebro Stranico prizme, ki ne pripada osnovici, imenujemo stranica prizme.

Imenuje se prizma, katere stranski robovi so pravokotni na ravnine baz naravnost prizma (slika 1). Če stranski robovi niso pravokotni na ravnine baz, se imenuje prizma nagnjen . Pravilno Prizma je prava prizma, katere osnove so pravilni mnogokotniki.

Višina prizma je razdalja med ravninama baz. Diagonala Prizma je segment, ki povezuje dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi. Diagonalni odsek imenujemo presek prizme z ravnino, ki poteka skozi dva stranska robova, ki ne pripadata isti ploskvi. Pravokotni prerez imenujemo prerez prizme z ravnino, pravokotno na stranski rob prizme.

Bočna površina prizme je vsota ploščin vseh stranskih ploskev. Skupna površina imenujemo vsota ploščin vseh ploskev prizme (tj. vsota ploščin stranskih ploskev in ploščin baz).

Za poljubno prizmo veljajo naslednje formule::

Kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p

Q

S stran

S poln

S osnova– površina baz;

V– prostornina prizme.

Za ravno prizmo so pravilne naslednje formule:

Kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H- višina.

paralelopiped imenujemo prizma, katere osnova je paralelogram. Paralelepiped, katerega stranski robovi so pravokotni na osnove, se imenuje neposredno (slika 2). Če stranski robovi niso pravokotni na osnove, se imenuje paralelepiped nagnjen . Pravilni paralelepiped, katerega osnova je pravokotnik, se imenuje pravokotne. Imenuje se pravokoten paralelepiped, pri katerem so vsi robovi enaki kocka

Imenujemo ploskve paralelepipeda, ki nimajo skupnih oglišč nasprotje . Imenujejo se dolžine robov, ki izhajajo iz enega oglišča meritve paralelopiped. Ker je paralelepiped prizma, so njegovi glavni elementi definirani na enak način, kot so definirani za prizme.

Izreki.

1. Diagonali paralelepipeda se sekata v eni točki in ga razpolovita.

2. V pravokotnem paralelopipedu je kvadrat dolžine diagonale enaka vsoti kvadrati njegovih treh dimenzij:

3. Vse štiri diagonale pravokotnega paralelopipeda so med seboj enake.

Za poljuben paralelepiped veljajo naslednje formule:

Kje l– dolžina stranskega rebra;

H- višina;

p– obod pravokotnega prereza;

Q– pravokotna površina prečnega prereza;

S stran– bočna površina;

S poln– skupna površina;

S osnova– površina baz;

V– prostornina prizme.

Za pravi paralelepiped so pravilne naslednje formule:

Kje str– osnovni obod;

l– dolžina stranskega rebra;

H– višina pravilnega paralelepipeda.

Za pravokotni paralelepiped so pravilne naslednje formule:

(3)

Kje str– osnovni obod;

H- višina;

d- diagonalno;

a,b,c– meritve paralelepipeda.

Za kocko so pravilne naslednje formule:

Kje a- dolžina reber;

d- diagonala kocke.

Primer 1. Diagonala pravokotnega paralelepipeda je 33 dm, njegove mere pa so v razmerju 2 : 6 : 9. Poišči mere paralelepipeda.

rešitev. Za iskanje dimenzij paralelopipeda uporabimo formulo (3), tj. s tem, da je kvadrat hipotenuze kvadra enak vsoti kvadratov njegovih dimenzij. Označimo z k faktor sorazmernosti. Potem bo dimenzija paralelepipeda enaka 2 k, 6k in 9 k. Zapišimo formulo (3) za podatke problema:

Rešitev te enačbe za k, dobimo:

To pomeni, da so mere paralelepipeda 6 dm, 18 dm in 27 dm.

odgovor: 6 dm, 18 dm, 27 dm.

Primer 2. Poiščite prostornino nagnjene trikotne prizme, katere osnova je enakostranični trikotnik s stranico 8 cm, če je stranski rob enak stranici osnove in je nagnjen pod kotom 60º na osnovo.

rešitev . Naredimo risbo (slika 3).

Da bi našli prostornino nagnjene prizme, morate poznati površino njene osnove in višino. Območje osnove te prizme je območje enakostraničnega trikotnika s stranico 8 cm. Izračunajmo ga:

Višina prizme je razdalja med njenima osnovama. Z vrha A 1 zgornje podlage, spustite pravokotno na ravnino spodnje podlage A 1 D. Njegova dolžina bo višina prizme. Razmislite o D A 1 AD: ker je to kot naklona stranskega roba A 1 A na osnovno ravnino, A 1 A= 8 cm Iz tega trikotnika najdemo A 1 D:

Zdaj izračunamo prostornino s formulo (1):

odgovor: 192 cm 3.

Primer 3. Stranski rob pravilne šestkotne prizme je 14 cm, površina največjega diagonalnega odseka je 168 cm 2. Poiščite celotno površino prizme.

rešitev. Naredimo risbo (slika 4)

Največji diagonalni del je pravokotnik A.A. 1 DD 1 od diagonale AD pravilni šesterokotnik ABCDEF je največji. Za izračun bočne površine prizme je potrebno poznati stran podlage in dolžino stranskega roba.

Če poznamo površino diagonalnega odseka (pravokotnik), najdemo diagonalo baze.

Od takrat

Od takrat AB= 6 cm.

Potem je obseg baze:

Najdemo površino stranske površine prizme:

Ploščina pravilnega šesterokotnika s stranico 6 cm je:

Poiščite celotno površino prizme:

odgovor:

Primer 4. Osnova pravilnega paralelepipeda je romb. Ploščini diagonalnih prerezov sta 300 cm2 in 875 cm2. Poiščite površino stranske površine paralelopipeda.

rešitev. Naredimo risbo (slika 5).

Stranico romba označimo z A, diagonale romba d 1 in d 2, višina paralelepipeda h. Če želite najti površino stranske površine desnega paralelopipeda, je treba obseg osnove pomnožiti z višino: (formula (2)). Osnovni obod p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Ker ABCD- romb H = AA 1 = h. to. Treba najti A in h.

Razmislimo o diagonalnih odsekih. AA 1 SS 1 – pravokotnik, katerega ena stran je diagonala romba AC = d 1, drugi – stranski rob AA 1 = h, Potem

Podobno za razdelek BB 1 DD 1 dobimo:

Z uporabo lastnosti paralelograma, da je vsota kvadratov diagonal enaka vsoti kvadratov vseh njegovih stranic, dobimo enakost. Dobimo naslednje.

Opredelitev.

To je šesterokotnik, katerega osnova sta dva enaka kvadrata, stranske ploskve pa enaki pravokotniki.

Stransko rebro- je skupna stranica dveh sosednjih stranskih ploskev

Višina prizme- to je segment, pravokoten na osnove prizme

Diagonala prizme- segment, ki povezuje dve točki baz, ki ne pripadata isti ploskvi

Diagonalna ravnina- ravnina, ki poteka skozi diagonalo prizme in njene stranske robove

Diagonalni odsek- meje presečišča prizme in diagonalne ravnine. Diagonalni presek pravilne štirikotne prizme je pravokotnik

Pravokoten prerez (pravokotni prerez)- to je presečišče prizme in ravnine, narisane pravokotno na njene stranske robove

Elementi pravilne štirikotne prizme

Slika prikazuje dve pravilni štirikotni prizmi, ki sta označeni z ustreznima črkama:

• Osnovici ABCD in A 1 B 1 C 1 D 1 sta med seboj enaki in vzporedni
• Stranske ploskve AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C in CC 1 D 1 D, od katerih je vsaka pravokotnik
• Bočna površina - vsota površin vseh stranskih ploskev prizme
• Skupna površina - vsota površin vseh osnov in stranskih ploskev (vsota površine stranske površine in osnov)
• Stranska rebra AA 1, BB 1, CC 1 in DD 1.
• Diagonala B 1 D
• Osnovna diagonala BD
• Diagonalni prerez BB 1 D 1 D
• Pravokotni prerez A 2 B 2 C 2 D 2.

Lastnosti pravilne štirikotne prizme

• Osnovi sta dva enaka kvadrata
• Podstavki sta med seboj vzporedni
• Stranske ploskve so pravokotniki
• Stranski robovi so med seboj enaki
• Stranske ploskve so pravokotne na osnove
• Bočna rebra so med seboj vzporedna in enaka
• Pravokotni prerez, pravokoten na vsa stranska rebra in vzporeden z osnovami
• Koti pravokotnega odseka - ravni
• Diagonalni presek pravilne štirikotne prizme je pravokotnik
• Pravokoten (pravokoten odsek), vzporeden z osnovami

Formule za pravilno štirikotno prizmo

Navodila za reševanje problemov

Pri reševanju problemov na temo " pravilna štirikotna prizma" pomeni, da:

Pravilna prizma- prizma, na dnu katere leži pravilen mnogokotnik, stranski robovi pa so pravokotni na ravnine baze. To pomeni, da pravilna štirikotna prizma vsebuje na svojem dnu kvadrat. (glej lastnosti pravilne štirikotne prizme zgoraj) Opomba. To je del lekcije z geometrijskimi problemi (razdelek stereometrija - prizma). Tukaj so težave, ki jih je težko rešiti. Če morate rešiti geometrijski problem, ki ga ni tukaj, pišite o tem na forumu. Za označevanje dejanja pridobivanja kvadratni koren simbol se uporablja pri reševanju problemov√ .

Naloga.

V pravilni štirikotni prizmi je osnovna ploščina 144 cm 2, višina pa 14 cm Poiščite diagonalo prizme in celotno površino.

rešitev.
Pravilni štirikotnik je kvadrat.
V skladu s tem bo stran baze enaka

√144 = 12 cm.
Od kje bo enaka diagonala osnove pravilne pravokotne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonala pravilna prizma tvori pravokotni trikotnik z diagonalo osnove in višino prizme. V skladu s Pitagorejskim izrekom bo diagonala dane pravilne štirikotne prizme enaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Naloga

Določite celotno površino pravilne štirikotne prizme, če je njena diagonala 5 cm, diagonala stranske ploskve pa 4 cm.

rešitev.
Ker je osnova pravilne štirikotne prizme kvadrat, poiščemo stranico osnove (označeno z a) s pomočjo Pitagorovega izreka:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Višina stranske ploskve (označene s h) bo potem enaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Skupna površina bo enaka vsoti stranske površine in dvakratne osnovne površine

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

V prostorski geometriji pri reševanju problemov s prizmami pogosto nastane problem pri izračunu površine stranic ali ploskev, ki tvorijo te volumetrične figure. Ta članek je posvečen vprašanju določanja površine osnove prizme in njene stranske površine.

Figura prizma

Preden nadaljujete z obravnavo formul za osnovno površino in površino prizme ene ali druge vrste, morate razumeti, o kakšni figuri govorimo.

Prizma v geometriji je prostorski lik, sestavljen iz dveh med seboj enakih vzporednih mnogokotnikov in več štirikotnikov ali paralelogramov. Število slednjih je vedno enako številu oglišč enega poligona. Na primer, če je lik sestavljen iz dveh vzporednih n-kotnikov, bo število paralelogramov n.

Paralelogrami, ki povezujejo n-kotnike, se imenujejo stranske stranice prizme, njihova skupna površina pa je površina stranske površine figure. Sami n-kotniki se imenujejo baze.

Zgornja slika prikazuje primer prizme iz papirja. Rumeni pravokotnik je njegova zgornja osnova. Figura stoji na drugi podobni podlagi. Rdeči in zeleni pravokotnik sta stranski ploskvi.

Katere vrste prizem obstajajo?

Obstaja več vrst prizem. Vsi se med seboj razlikujejo le po dveh parametrih:

• vrsta n-kotnika, ki tvori osnovo;
• kot med n-kotnikom in stranskimi ploskvami.

Na primer, če so osnove trikotniki, se prizma imenuje trikotna, če je štirikotna, kot na prejšnji sliki, se figura imenuje štirikotna prizma in tako naprej. Poleg tega je n-kotnik lahko konveksen ali konkaven, potem je ta lastnost dodana tudi imenu prizme.

Kot med stranskimi ploskvami in podstavkom je lahko raven, oster ali top. V prvem primeru govorijo o pravokotni prizmi, v drugem - o nagnjeni ali poševni.

Pravilne prizme uvrščamo med posebne vrste figur. Imajo največjo simetrijo med drugimi prizmami. Pravilen bo le, če je pravokoten in ima osnovo pravilni n-kotnik. Spodnja slika prikazuje niz pravilnih prizem, v katerih se število stranic n-kotnika spreminja od tri do osem.

Površina prizme

Površino obravnavane figure poljubnega tipa razumemo kot množico vseh točk, ki pripadajo ploskvam prizme. Površino prizme je priročno preučevati s preučevanjem njenega razvoja. Spodaj je primer takšnega razvoja za trikotno prizmo.

Vidimo, da celotno površino tvorita dva trikotnika in trije pravokotniki.

V primeru prizme splošni tip njegova površina bo sestavljena iz dveh n-kotnih osnov in n štirikotnikov.

Oglejmo si podrobneje vprašanje izračuna površine prizem različni tipi.

Osnovna površina pravilne prizme

Morda je najpreprostejša težava pri delu s prizmami težava iskanja območja osnove pravilne figure. Ker ga tvori n-kotnik, katerega koti in stranice so enaki, ga lahko vedno razdelimo na enake trikotnike, katerih koti in stranice so znani. Skupna površina trikotnikov bo površina n-kotnika.

Drug način za določitev deleža površine prizme (osnove) je uporaba dobro znane formule. Videti je takole:

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

To pomeni, da je ploščina S n n-kotnika enolično določena na podlagi poznavanja dolžine njegove stranice a. Nekaj ​​težav pri izračunu s formulo je lahko izračun kotangensa, zlasti če je n>4 (pri n≤4 so vrednosti kotangensa tabelarični podatki). Za določitev te trigonometrične funkcije je priporočljivo uporabiti kalkulator.

Ko postavljate geometrijski problem, bodite previdni, saj boste morda morali najti območje baze prizme. Potem je treba vrednost, dobljeno iz formule, pomnožiti z dvema.

Osnovna površina trikotne prizme

Na primeru trikotne prizme poglejmo, kako lahko najdete površino osnove te figure.

Najprej razmislimo o preprostem primeru - navadni prizmi. Površina baze se izračuna po formuli, navedeni v zgornjem odstavku, vanjo morate nadomestiti n = 3. Dobimo:

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Ostaja, da nadomestimo specifične vrednosti dolžine stranice a enakostraničnega trikotnika v izraz, da dobimo površino ene baze.

Zdaj pa predpostavimo, da obstaja prizma, katere osnova je poljuben trikotnik. Znani sta njeni stranici a in b ter kot med njima α. Ta slika je prikazana spodaj.

Kako v tem primeru najti površino osnove trikotne prizme? Ne smemo pozabiti, da je površina katerega koli trikotnika enaka polovici produkta stranice in višine, spuščene na to stran. Na sliki je višina h narisana na stranico b. Dolžina h ustreza zmnožku sinusa kota alfa in dolžine stranice a. Potem je površina celotnega trikotnika:

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

To je osnovna površina prikazane trikotne prizme.

Stranska površina

Pogledali smo, kako najti površino baze prizme. Stranska površina te figure je vedno sestavljena iz paralelogramov. Za ravne prizme postanejo paralelogrami pravokotniki, zato je njihovo skupno površino enostavno izračunati:

S = ∑ i=1 n (a i *b)

Tu je b dolžina stranskega roba, a i je dolžina stranice i-tega pravokotnika, ki sovpada z dolžino stranice n-kotnika. V primeru pravilne n-kotne prizme dobimo preprost izraz:

Če je prizma nagnjena, je treba za določitev površine njene stranske površine narediti pravokotni rez, izračunati njen obseg P sr in ga pomnožiti z dolžino stranskega roba.

Zgornja slika prikazuje, kako je treba ta rez narediti za nagnjeno peterokotno prizmo.

Različne prizme se med seboj razlikujejo. Hkrati imata veliko skupnega. Če želite najti območje baze prizme, boste morali razumeti, kakšno vrsto ima.

Splošna teorija

Prizma je vsak polieder, katerega stranica ima obliko paralelograma. Poleg tega je njegova osnova lahko kateri koli polieder - od trikotnika do n-kotnika. Poleg tega sta osnovici prizme med seboj vedno enaki. Kar ne velja za stranske ploskve, je, da se lahko zelo razlikujejo po velikosti.

Pri reševanju problemov se ne srečuje le območje baze prizme. Morda bo zahtevalo poznavanje stranske površine, torej vseh ploskev, ki niso baze. Celotna površina bo združitev vseh ploskev, ki sestavljajo prizmo.

Včasih so težave povezane z višino. Je pravokotna na baze. Diagonala poliedra je odsek, ki v paru povezuje poljubni dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi.

Upoštevati je treba, da osnovno območje ravne ali nagnjene prizme ni odvisno od kota med njimi in stranskimi ploskvami. Če imata enake figure na zgornji in spodnji ploskvi, bosta njuni površini enaki.

Trikotna prizma

Na svojem dnu ima lik s tremi oglišči, to je trikotnik. Kot veste, je lahko drugače. Če je tako, je dovolj, da se spomnite, da je njegova površina določena s polovico produkta nog.

Matematični zapis je videti takole: S = ½ av.

Če želite izvedeti območje baze v splošni pogled, bodo uporabne formule: Heron in tista, pri kateri je polovica stranice vzeta na narisano višino.

Prvo formulo je treba zapisati na naslednji način: S = √(р (р-а) (р-в) (р-с)). Ta zapis vsebuje polobod (p), to je vsoto treh strani, deljeno z dva.

Drugič: S = ½ n a * a.

Če želite ugotoviti površino osnove trikotne prizme, ki je pravilna, potem se izkaže, da je trikotnik enakostranični. Za to obstaja formula: S = ¼ a 2 * √3.

Štirikotna prizma

Njegova osnova je kateri koli od znanih štirikotnikov. Lahko je pravokotnik ali kvadrat, paralelopiped ali romb. V vsakem primeru boste za izračun površine osnove prizme potrebovali svojo formulo.

Če je osnova pravokotnik, potem je njegova površina določena na naslednji način: S = ab, kjer sta a, b stranice pravokotnika.

Ko gre za štirikotno prizmo, se površina osnove pravilne prizme izračuna po formuli za kvadrat. Ker je on tisti, ki leži v temelju. S = a 2.

V primeru, da je osnova paralelepiped, bo potrebna naslednja enakost: S = a * n a. Zgodi se, da sta podana stranica paralelepipeda in eden od kotov. Nato boste za izračun višine morali uporabiti dodatno formulo: n a = b * sin A. Poleg tega kot A meji na stran "b", višina n pa nasproti tega kota.

Če je na dnu prizme romb, boste za določitev njegovega območja potrebovali isto formulo kot za paralelogram (ker je njegov poseben primer). Lahko pa uporabite tudi to: S = ½ d 1 d 2. Tukaj sta d 1 in d 2 dve diagonali romba.

Pravilna peterokotna prizma

V tem primeru gre za razdelitev mnogokotnika na trikotnike, katerih območja je lažje ugotoviti. Čeprav se zgodi, da imajo lahko figure različno število oglišč.

Ker je osnova prizme pravilen peterokotnik, jo lahko razdelimo na pet enakostraničnih trikotnikov. Potem je površina osnove prizme enaka površini enega takega trikotnika (formulo lahko vidite zgoraj), pomnoženo s pet.

Pravilna šesterokotna prizma

Z uporabo principa, opisanega za peterokotno prizmo, je možno šesterokotnik osnove razdeliti na 6 enakostraničnih trikotnikov. Formula za osnovno površino takšne prizme je podobna prejšnji. Le pomnožiti ga je treba s šest.

Formula bo videti takole: S = 3/2 a 2 * √3.

Naloge

1. Glede na pravilno ravno črto je njena diagonala 22 cm, višina poliedra 14 cm Izračunajte površino osnove prizme in celotno površino.

rešitev. Osnova prizme je kvadrat, vendar njena stranica ni znana. Njegovo vrednost lahko ugotovite iz diagonale kvadrata (x), ki je povezana z diagonalo prizme (d) in njeno višino (h). x 2 = d 2 - n 2. Po drugi strani pa je ta segment "x" hipotenuza v trikotniku, katerega noge so enake strani kvadrata. To pomeni, da je x 2 = a 2 + a 2. Tako se izkaže, da je a 2 = (d 2 - n 2)/2.

Zamenjajte številko 22 namesto d in zamenjajte "n" z njegovo vrednostjo - 14, se izkaže, da je stranica kvadrata 12 cm, zdaj pa samo ugotovite površino osnove: 12 * 12 = 144 cm 2.

Če želite izvedeti površino celotne površine, morate dvakrat dodati osnovno površino in štirikrat povečati stransko površino. Slednje je mogoče zlahka najti s formulo za pravokotnik: pomnožite višino poliedra in stranico osnove. To je 14 in 12, to število bo enako 168 cm 2. Skupna površina prizme se izkaže za 960 cm 2.

Odgovori. Površina osnove prizme je 144 cm 2. Celotna površina je 960 cm 2.

2. Podano Na dnu je trikotnik s stranico 6 cm.V tem primeru je diagonala stranske ploskve 10 cm.Izračunaj ploščini: osnove in stranske ploskve.

rešitev. Ker je prizma pravilna, je njena osnova enakostranični trikotnik. Zato se izkaže, da je njegova ploščina enaka 6 na kvadrat, pomnoženo z ¼ in kvadratnim korenom iz 3. Preprost izračun vodi do rezultata: 9√3 cm 2. To je površina ene baze prizme.

Vse stranske ploskve so enake in so pravokotniki s stranicami 6 in 10 cm, za izračun njihovih površin pa le pomnožite ta števila. Nato jih pomnožite s tri, saj ima prizma točno toliko stranskih ploskev. Nato se površina stranske površine rane izkaže za 180 cm 2.

Odgovori. Območja: osnova - 9√3 cm 2, stranska površina prizme - 180 cm 2.

V šolskem učnem načrtu za tečaj stereometrije se preučevanje tridimenzionalnih figur običajno začne s preprostim geometrijskim telesom - poliedrom prizme. Vlogo njegovih baz opravljata 2 enaka poligona, ki ležita v vzporednih ravninah. Poseben primer je pravilna štirikotna prizma. Njegove osnove so 2 enaka pravilna štirikotnika, na katere so stranice pravokotne in imajo obliko paralelogramov (ali pravokotnikov, če prizma ni nagnjena).

Kako izgleda prizma?

Pravilna štirikotna prizma je šesterokotnik, katerega osnovi sta 2 kvadrata, stranske ploskve pa so predstavljene s pravokotniki. Drugo ime za to geometrijski lik- ravni paralelopiped.

Spodaj je prikazana risba, ki prikazuje štirikotno prizmo.

Vidite tudi na sliki bistveni elementi, iz katerega je sestavljena geometrijsko telo . Tej vključujejo:

Včasih lahko v geometrijskih problemih naletite na koncept odseka. Definicija bo zvenela takole: odsek so vse točke volumetričnega telesa, ki pripadajo rezalni ravnini. Odsek je lahko pravokoten (seka robove figure pod kotom 90 stopinj). Za pravokotno prizmo se upošteva tudi diagonalni prerez ( največji znesek odseki, ki jih je mogoče zgraditi - 2), ki potekajo skozi 2 robova in diagonali baze.

Če je prerez narisan tako, da sekalna ravnina ni vzporedna ne z osnovami ne s stranskimi ploskvami, je rezultat prisekana prizma.

Za iskanje reduciranih prizmatičnih elementov se uporabljajo različne relacije in formule. Nekateri od njih so znani iz tečaja planimetrije (na primer, če želite najti površino osnove prizme, je dovolj, da se spomnite formule za površino kvadrata).

Površina in prostornina

Če želite določiti prostornino prizme s formulo, morate poznati površino njene osnove in višine:

V = Sbas h

Ker je osnova pravilne tetraedrske prizme kvadrat s stranico a, Formulo lahko zapišete v podrobnejši obliki:

V = a²·h

Če govorimo o kocki - navadni prizmi z enake dolžine, širina in višina, se prostornina izračuna na naslednji način:

Da bi razumeli, kako najti stransko površino prizme, si morate predstavljati njen razvoj.

Iz risbe je razvidno, da je stranska ploskev sestavljena iz 4 enakih pravokotnikov. Njegova površina se izračuna kot zmnožek obsega osnove in višine figure:

Sstran = Posn h

Ob upoštevanju, da je obseg kvadrata enak P = 4a, formula ima obliko:

Sstran = 4a h

Za kocko:

S stran = 4a²

Če želite izračunati skupno površino prizme, morate stranski površini dodati 2 osnovni površini:

Polna = Sstran + 2Sglavna

Glede na štirikotno pravilno prizmo je formula videti takole:

Skupaj = 4a h + 2a²

Za površino kocke:

Polno = 6a²

Če poznate prostornino ali površino, lahko izračunate posamezne elemente geometrijskega telesa.

Iskanje elementov prizme

Pogosto so problemi, pri katerih je podana prostornina ali je znana vrednost bočne ploskve, kjer je treba določiti dolžino stranice baze ali višino. V takih primerih je mogoče izpeljati formule:

• dolžina osnovne stranice: a = S stran / 4h = √(V / h);
• višina ali dolžina stranskega rebra: h = S stran / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• stransko območje obraza: Stran gr = Sstran / 4.

Če želite ugotoviti, koliko površine ima diagonalni odsek, morate poznati dolžino diagonale in višino figure. Za kvadrat d = a√2. Zato:

Sdiag = ah√2

Za izračun diagonale prizme uporabite formulo:

dnagrada = √(2a² + h²)

Če želite razumeti, kako uporabiti dane odnose, lahko vadite in rešite več preprostih nalog.

Primeri problemov z rešitvami

Tukaj je nekaj nalog, ki jih najdemo na državnem maturi iz matematike.

1. vaja.

Pesek se nasuje v škatlo v obliki pravilne štirikotne prizme. Višina njegove gladine je 10 cm.Kolikšna bo gladina peska, če jo premaknete v posodo enake oblike, vendar z dvakrat daljšim dnom?

To je treba obrazložiti na naslednji način. Količina peska v prvi in ​​drugi posodi se ni spremenila, to pomeni, da je njegova prostornina v njih enaka. Dolžino osnove lahko označite z a. V tem primeru bo za prvo škatlo prostornina snovi:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugo škatlo je dolžina osnove 2a, vendar višina gladine peska ni znana:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Zaradi V₁ = V₂, lahko enačimo izraze:

10a² = 4ha²

Po zmanjšanju obeh strani enačbe za a² dobimo:

Kot rezultat nova raven pesek bo h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Naloga 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Znano je, da je BD = AB₁ = 6√2. Poiščite skupno površino telesa.

Da bi lažje razumeli, kateri elementi so znani, lahko narišete sliko.

Ker govorimo o pravilni prizmi, lahko sklepamo, da je na dnu kvadrat z diagonalo 6√2. Diagonala stranske ploskve je enake velikosti, zato ima tudi stranska ploskev obliko kvadrata, ki je enaka osnovi. Izkazalo se je, da so vse tri dimenzije - dolžina, širina in višina - enake. Sklepamo lahko, da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dolžina katerega koli roba je določena z znano diagonalo:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Celotno površino dobimo s formulo za kocko:

Polno = 6a² = 6 6² = 216

Naloga 3.

Sobo prenavljajo. Znano je, da ima njegova tla obliko kvadrata s površino 9 m². Višina sobe je 2,5 m. Kakšna je najnižja cena tapetiranja sobe, če 1 m² stane 50 rubljev?

Ker so tla in strop kvadrati, torej pravilni štirikotniki, stene pa so pravokotne na vodoravne površine, lahko sklepamo, da gre za pravilno prizmo. Treba je določiti površino njegove stranske površine.

Dolžina sobe je a = √9 = 3 m.

Območje bo prekrito s tapetami Sstran = 4 3 2,5 = 30 m².

Najnižji stroški ozadja za to sobo bodo 50·30 = 1500 rubljev

Tako je za reševanje problemov, ki vključujejo pravokotno prizmo, dovolj, da znamo izračunati površino in obseg kvadrata in pravokotnika, pa tudi poznati formule za iskanje prostornine in površine.

Kako najti območje kocke