Vozlišče in nok dveh števil, evklidski algoritem. Najmanjši skupni večkratnik LCM


Največji skupni delilnik in najmanjši skupni večkratnik sta ključna pojma aritmetike, ki vam omogočata enostavno delovanje navadni ulomki. LCM in se najpogosteje uporabljata za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.

Osnovni pojmi

Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, s katerim se X deli brez ostanka. Na primer, delitelj 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Večkratnik celega števila X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15 in 6 je večkratnik 12.

Za vsak par števil lahko najdemo njihove skupne delitelje in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni večkratnik 18, skupni delitelj pa 3. Očitno imajo pari lahko več deliteljev in večkratnikov, zato se pri izračunih uporablja največji delitelj GCD in najmanjši večkratnik LCM.

Najmanjši delitelj je brez pomena, saj je za vsako število vedno ena. Tudi največji mnogokratnik je nesmiseln, saj gre zaporedje večkratnikov v neskončnost.

Iskanje gcd

Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:

  • zaporedno iskanje deliteljev, izbiranje skupnih za par in iskanje največjega med njimi;
  • razstavljanje števil na nedeljive faktorje;
  • Evklidski algoritem;
  • binarni algoritem.

Danes ob izobraževalne ustanove Najbolj priljubljeni sta metodi prafaktorizacije in evklidskega algoritma. Slednje pa se uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti razrešitve v celih številih.

Iskanje NOC

Najmanjši skupni večkratnik se določi tudi z zaporednim iskanjem ali razgradnjo na nedeljive faktorje. Poleg tega je enostavno najti LCM, če je največji delitelj že določen. Za števili X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Na primer, če je GCM(15,18) = 3, potem je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbolj očiten primer uporabe LCM je iskanje skupnega imenovalca, ki je najmanjši skupni večkratnik dani ulomki.

Kopraštevila

Če par števil nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje soprost. Gcd za take pare je vedno enaka ena, na podlagi povezave med delitelji in večkratniki pa je gcd za pare sopraprostih enak njihovemu produktu. Na primer, števili 25 in 28 sta relativno praštevili, ker nimata skupnih deliteljev, LCM(25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi števili bosta vedno relativno praštevili.

Skupni delitelj in večkratni kalkulator

Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število števil, med katerimi lahko izbirate. Naloge za računanje skupnih deliteljev in večkratnikov najdete v aritmetiki 5. in 6. razreda, GCD in LCM pa sta ključni pojmi matematiki in se uporabljajo v teoriji števil, planimetriji in komunikativni algebri.

Primeri iz resničnega življenja

Skupni imenovalec ulomkov

Najmanjši skupni večkratnik se uporablja pri iskanju skupnega imenovalca več ulomkov. Recimo, da morate v aritmetičnem problemu sešteti 5 ulomkov:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Če želite dodati ulomke, je treba izraz reducirati na skupni imenovalec, kar se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, izberite 5 številk v kalkulatorju in vnesite vrednosti imenovalcev v ustrezne celice. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate za vsak ulomek izračunati dodatne faktorje, ki so definirani kot razmerje med LCM in imenovalcem. Torej bi dodatni množitelji izgledali takole:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Po tem pomnožimo vse ulomke z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Takšne ulomke zlahka seštejemo in dobimo rezultat 159/360. Ulomek zmanjšamo za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.

Reševanje linearnih Diofantovih enačb

Linearne Diofantove enačbe so izrazi oblike ax + by = d. Če je razmerje d / gcd(a, b) celo število, potem je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb, da vidimo, ali imajo celoštevilsko rešitev. Najprej preverimo enačbo 150x + 8y = 37. S pomočjo kalkulatorja najdemo GCD (150,8) = 2. Razdelimo 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenov.

Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščite GCD(1320, 1760) = 440. Delite 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantova enačba rešljiva v celih koeficientih .

Zaključek

GCD in LCM igrata veliko vlogo v teoriji števil, koncepta sama pa se pogosto uporabljata na najrazličnejših področjih matematike. Za izračun uporabite naš kalkulator največji delitelji in najmanjši večkratniki poljubnega števila števil.

Druga številka: b=

Ločilo tisočic Brez ločila presledkov "´

rezultat:

Največji skupni delitelj gcd( a,b)=6

Najmanjši skupni večkratnik LCM( a,b)=468

Največji naravno število, s katerim sta števili a in b deljeni brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj(GCD) teh številk. Označeno z gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) ali hcf(a,b).

Najmanjši skupni večkratnik LCM dveh celih števil a in b je najmanjše naravno število, ki je deljivo z a in b brez ostanka. Označeno z LCM(a,b) ali lcm(a,b).

Celi števili a in b se imenujeta medsebojno prime, če nimata skupnih deliteljev, razen +1 in −1.

Največji skupni delitelj

Naj sta podani dve pozitivni števili a 1 in a 2 1). Najti je treba skupni delitelj teh števil, tj. najti tako številko λ , ki deli števila a 1 in a 2 hkrati. Opišimo algoritem.

1) V tem članku bomo besedo številka razumeli kot celo število.

Pustiti a 1 ≥ a 2 in pustite

Kje m 1 , a 3 je nekaj celih števil, a 3 <a 2 (ostanek delitve a 1 na a 2 mora biti manj a 2).

Pretvarjajmo se, da λ deli a 1 in a 2 potem λ deli m 1 a 2 in λ deli a 1 −m 1 a 2 =a 3 (2. trditev članka »Deljivost števil. Preizkus deljivosti«). Iz tega sledi, da vsak skupni delitelj a 1 in a 2 je skupni delitelj a 2 in a 3. Tudi obratno velja, če λ skupni delilnik a 2 in a 3 potem m 1 a 2 in a 1 =m 1 a 2 +a 3 je tudi deljivo s λ . Torej skupni delitelj a 2 in a 3 je tudi skupni delitelj a 1 in a 2. Ker a 3 <a 2 ≤a 1, potem lahko rečemo, da je rešitev problema iskanja skupnega delitelja števil a 1 in a 2 zmanjšana na enostavnejši problem iskanja skupnega delitelja števil a 2 in a 3 .

če a 3 ≠0, potem lahko delimo a 2 naprej a 3. Potem

,

Kje m 1 in a 4 je nekaj celih števil, ( a 4 ostanek pri deljenju a 2 naprej a 3 (a 4 <a 3)). S podobnim razmišljanjem pridemo do zaključka, da so skupni delitelji števil a 3 in a 4 sovpada s skupnimi delitelji števil a 2 in a 3, pa tudi s skupnimi delilniki a 1 in a 2. Ker a 1 , a 2 , a 3 , a 4, ... so števila, ki nenehno padajo, in ker je med njimi končno število celih števil a 2 in 0, nato na nekem koraku n, ostanek delitve a n naprej a n+1 bo enako nič ( a n+2 =0).

.

Vsak skupni delitelj λ številke a 1 in a 2 je tudi delitelj števil a 2 in a 3 , a 3 in a 4 , .... a n in a n+1 . Velja tudi obratno, skupni delitelji števil a n in a n+1 so tudi delitelji števil a n−1 in a n, ...., a 2 in a 3 , a 1 in a 2. Toda skupni delitelj števil a n in a n+1 je število a n+1, ker a n in a n+1 so deljivi s a n+1 (zapomni si to a n+2 =0). Zato a n+1 je tudi delitelj števil a 1 in a 2 .

Upoštevajte, da je številka a n+1 je največji delitelj števil a n in a n+1 , saj je največji delitelj a n+1 je sam a n+1 . če a n+1 lahko predstavimo kot zmnožek celih števil, potem so ta števila tudi običajni delitelji števil a 1 in a 2. številka a n+1 se imenuje največji skupni deliteljštevilke a 1 in a 2 .

Številke a 1 in a 2 so lahko pozitivna ali negativna števila. Če je eno od števil enako nič, potem bo največji skupni delitelj teh števil enak absolutni vrednosti drugega števila. Največji skupni delitelj števil nič je nedefiniran.

Pokliče se zgornji algoritem Evklidski algoritem najti največji skupni delitelj dveh celih števil.

Primer iskanja največjega skupnega delitelja dveh števil

Poiščite največji skupni delitelj dveh števil 630 in 434.

  • Korak 1. Število 630 delite s 434. Ostanek je 196.
  • Korak 2. Število 434 delite s 196. Ostanek je 42.
  • Korak 3. Število 196 razdelite na 42. Ostanek je 28.
  • Korak 4. Število 42 delite z 28. Ostanek je 14.
  • Korak 5. Število 28 delite s 14. Ostanek je 0.

V 5. koraku je ostanek deljenja 0. Zato je največji skupni delitelj števil 630 in 434 14. Upoštevajte, da sta števili 2 in 7 tudi delitelja števil 630 in 434.

Kopraštevila

Opredelitev 1. Naj bo največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 je enako ena. Nato se pokličejo te številke soprosta števila, ki nima skupnega delitelja.

Izrek 1. če a 1 in a 2 soprosti števili in λ neko število, nato poljuben skupni delitelj števil λa 1 in a 2 je tudi skupni delitelj števil λ in a 2 .

Dokaz. Razmislite o evklidskem algoritmu za iskanje največjega skupnega delitelja števil a 1 in a 2 (glej zgoraj).

.

Iz pogojev izreka sledi, da je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2 in zato a n in a n+1 je 1. To je a n+1 =1.

Pomnožimo vse te enakosti z λ , Potem

.

Naj skupni delilec a 1 λ in a 2 da δ . Potem δ je vključen kot množitelj v a 1 λ , m 1 a 2 λ in v a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (glej "Deljivost števil", trditev 2). Nadalje δ je vključen kot množitelj v a 2 λ in m 2 a 3 λ , in je zato dejavnik pri a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Če tako razmišljamo, smo prepričani, da δ je vključen kot množitelj v a n−1 λ in m n−1 a n λ , torej v a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Ker a n+1 =1, torej δ je vključen kot množitelj v λ . Zato število δ je skupni delitelj števil λ in a 2 .

Oglejmo si posebne primere izreka 1.

Posledica 1. Pustiti a in c Praštevila so relativna b. Nato njihov izdelek ac je praštevilo glede na b.

res. Iz izreka 1 ac in b imajo enake skupne delitelje kot c in b. Ampak številke c in b razmeroma preprosto, tj. imajo en sam skupni delitelj 1. Potem ac in b imajo tudi en sam skupni delitelj 1. Zato ac in b medsebojno preprosta.

Posledica 2. Pustiti a in b soprosta števila in pustimo b deli ak. Potem b deli in k.

res. Iz pogoja odobritve ak in b imajo skupni delitelj b. Na podlagi izreka 1, b mora biti skupni delitelj b in k. Zato b deli k.

Posledico 1 lahko posplošimo.

Posledica 3. 1. Naj številke a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m so praštevila glede na število b. Potem a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m, je produkt teh števil praštevil glede na število b.

2. Naj imamo dve vrstici številk

tako, da je vsako število v prvem nizu praštevilo v razmerju vsakega števila v drugem nizu. Nato izdelek

Poiskati morate števila, ki so deljiva z vsakim od teh števil.

Če je število deljivo z a 1, potem ima obliko sa 1 kje s neko število. če q je največji skupni delitelj števil a 1 in a 2, torej

Kje s 1 je neko celo število. Potem

je najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2 .

a 1 in a 2 so relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 in a 2:

Najti moramo najmanjši skupni večkratnik teh števil.

Iz zgoraj navedenega sledi, da vsak večkratnik števil a 1 , a 2 , a 3 mora biti večkratnik številk ε in a 3 in nazaj. Najmanjši skupni večkratnik števil ε in a 3 da ε 1. Nato večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 , a 4 mora biti večkratnik številk ε 1 in a 4. Najmanjši skupni večkratnik števil ε 1 in a 4 da ε 2. Tako smo ugotovili, da so vsi večkratniki števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sovpadajo z večkratniki določenega števila ε n, ki se imenuje najmanjši skupni večkratnik danih števil.

V posebnem primeru, ko so številke a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m relativno praštevila, potem najmanjši skupni večkratnik števil a 1 , a 2, kot je prikazano zgoraj, ima obliko (3). Naprej, saj a 3 praštevila glede na števila a 1 , a 2 potem a 3 praštevilo a 1 · a 2 (posledica 1). Pomeni najmanjši skupni večkratnik števil a 1 ,a 2 ,a 3 je številka a 1 · a 2 · a 3. Če sklepamo na podoben način, pridemo do naslednjih trditev.

Izjava 1. Najmanjši skupni večkratnik soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je enak njihovemu produktu a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Izjava 2. Vsako število, ki je deljivo z vsakim od soprostih števil a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m je tudi deljiv z njihovim produktom a 1 · a 2 · a 3 ··· a m.

Nadaljujmo pogovor o najmanjšem skupnem večkratniku, ki smo ga začeli v razdelku "LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri." V tej temi si bomo ogledali načine, kako najti LCM za tri ali več števil, in preučili bomo vprašanje, kako najti LCM negativnega števila.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD

Razmerje med najmanjšim skupnim večkratnikom in največjim skupnim deliteljem smo že ugotovili. Zdaj pa se naučimo, kako določiti LCM prek GCD. Najprej ugotovimo, kako to narediti za pozitivna števila.

Definicija 1

Najmanjši skupni večkratnik lahko poiščete prek največjega skupnega delitelja z uporabo formule LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b).

Primer 1

Najti morate LCM števil 126 in 70.

rešitev

Vzemimo a = 126, b = 70. Nadomestimo vrednosti v formulo za izračun najmanjšega skupnega večkratnika skozi največji skupni delitelj LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Poišče gcd števil 70 in 126. Za to potrebujemo evklidski algoritem: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, torej GCD (126 , 70) = 14 .

Izračunajmo LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

odgovor: LCM(126, 70) = 630.

Primer 2

Poišči število 68 in 34.

rešitev

GCD v tem primeru ni težko najti, saj je 68 deljivo s 34. Izračunajmo najmanjši skupni večkratnik po formuli: LCM (68, 34) = 68 34 : NTO (68, 34) = 68 34 : 34 = 68.

odgovor: LCM(68, 34) = 68.

V tem primeru smo uporabili pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika pozitivnih celih števil a in b: če je prvo število deljivo z drugim, bo LCM teh števil enak prvemu številu.

Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje

Zdaj pa si poglejmo metodo iskanja LCM, ki temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje.

Definicija 2

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik, moramo opraviti nekaj preprostih korakov:

  • sestavimo zmnožek vseh prafaktorjev števil, za katera moramo najti LCM;
  • iz njihovih produktov izključimo vse prafaktorje;
  • zmnožek, dobljen po izločitvi skupnih prafaktorjev, bo enak LCM danih števil.

Ta metoda iskanja najmanjšega skupnega večkratnika temelji na enakosti LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b). Če pogledate formulo, bo postalo jasno: produkt števil a in b je enak produktu vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razgradnji teh dveh števil. V tem primeru je gcd dveh števil enak produktu vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v faktorizacijah teh dveh števil.

Primer 3

Imamo dve številki 75 in 210. Lahko jih faktoriziramo na naslednji način: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Če sestavite produkt vseh faktorjev obeh izvirnih števil, dobite: 2 3 3 5 5 5 7.

Če izločimo faktorje, ki so skupni številkama 3 in 5, dobimo produkt naslednje oblike: 2 3 5 5 7 = 1050. Ta izdelek bo naš LCM za številki 75 in 210.

Primer 4

Poiščite LCM števil 441 in 700 , pri čemer obe števili razložimo na prafaktorje.

rešitev

Poiščimo vse prafaktorje števil, navedenih v pogoju:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Dobimo dve verigi števil: 441 = 3 3 7 7 in 700 = 2 2 5 5 7.

Produkt vseh faktorjev, ki so sodelovali pri razgradnji teh števil, bo imel obliko: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Poiščimo skupne dejavnike. To je številka 7. Izključimo ga iz celotnega izdelka: 2 2 3 3 5 5 7 7. Izkazalo se je, da NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

odgovor: LOC(441, 700) = 44.100.

Dajmo še eno formulacijo metode za iskanje LCM z razgradnjo števil na prafaktorje.

Definicija 3

Prej smo iz skupnega števila faktorjev izključili skupne obema številkama. Zdaj bomo to storili drugače:

  • Razložimo obe števili na prafaktorje:
  • zmnožku prafaktorjev prvega števila prišteti manjkajoče faktorje drugega števila;
  • dobimo produkt, ki bo želeni LCM dveh števil.

Primer 5

Vrnimo se k številkama 75 in 210, za katera smo LCM iskali že v enem od prejšnjih primerov. Razčlenimo jih na preproste dejavnike: 75 = 3 5 5 in 210 = 2 3 5 7. Zmnožku faktorjev 3, 5 in 5 številki 75 seštejte manjkajoče faktorje 2 in 7 številke 210. Dobimo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . To je LCM števil 75 in 210.

Primer 6

Izračunati je treba LCM števil 84 in 648.

rešitev

Razložimo števila iz pogoja na preproste faktorje: 84 = 2 2 3 7 in 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Zmnožku prištejmo faktorje 2, 2, 3 in 7 števila 84 manjkajoči faktorji 2, 3, 3 in
3 številke 648. Dobimo izdelek 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. To je najmanjši skupni večkratnik 84 in 648.

odgovor: LCM(84, 648) = 4,536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Ne glede na to, s koliko številkami imamo opravka, bo algoritem naših dejanj vedno enak: zaporedno bomo našli LCM dveh števil. Za ta primer obstaja izrek.

1. izrek

Predpostavimo, da imamo cela števila a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k ta števila se najdejo z zaporednim izračunom m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Zdaj pa poglejmo, kako lahko izrek uporabimo za reševanje specifičnih problemov.

Primer 7

Izračunati morate najmanjši skupni večkratnik štirih števil 140, 9, 54 in 250 .

rešitev

Uvedemo zapis: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Začnimo z izračunom m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Uporabimo evklidski algoritem za izračun GCD števil 140 in 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Dobimo: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 9: GCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Zato je m 2 = 1,260.

Zdaj pa izračunajmo z istim algoritmom m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Med izračuni dobimo m 3 = 3 780.

Izračunati moramo le m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Delujemo po istem algoritmu. Dobimo m 4 = 94 500.

LCM štirih števil iz vzorčnega pogoja je 94500.

odgovor: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Kot lahko vidite, so izračuni preprosti, a precej delovno intenzivni. Če želite prihraniti čas, lahko greste drugače.

Definicija 4

Ponujamo vam naslednji algoritem dejanj:

  • vsa števila razstavimo na prafaktorje;
  • zmnožku faktorjev prvega števila prištejemo manjkajoče faktorje iz zmnožka drugega števila;
  • produktu, dobljenemu na prejšnji stopnji, dodamo manjkajoče faktorje tretje številke itd.;
  • dobljeni produkt bo najmanjši skupni večkratnik vseh števil iz pogoja.

Primer 8

Najti morate LCM petih števil 84, 6, 48, 7, 143.

rešitev

Razštejmo vseh pet števil na prafaktorje: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. Praštevil, ki je število 7, ni mogoče razložiti na praštevila. Takšna števila sovpadajo z njihovo razgradnjo na prafaktorje.

Zdaj pa vzemimo produkt prafaktorjev 2, 2, 3 in 7 števila 84 in jim prištejmo manjkajoče faktorje drugega števila. Število 6 smo razstavili na 2 in 3. Ti faktorji so že v produktu prve številke. Zato jih izpuščamo.

Nadaljujemo z dodajanjem manjkajočih množiteljev. Pojdimo k številu 48, od produkta prafaktorjev katerega vzamemo 2 in 2. Nato dodamo prafaktor 7 iz četrtega števila ter faktorja 11 in 13 iz petega. Dobimo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. To je najmanjši skupni večkratnik prvotnih petih števil.

odgovor: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil

Da bi našli najmanjši skupni večkratnik negativnih števil, je treba ta števila najprej zamenjati s števili z nasprotnim predznakom, nato pa izvesti izračune z zgornjimi algoritmi.

Primer 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) in LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Takšna dejanja so dopustna zaradi dejstva, da če to sprejmemo a in − a– nasprotna števila,
nato množica večkratnikov števila a se ujema z množico večkratnikov števila − a.

Primer 10

Izračunati je treba LCM negativnih števil − 145 in − 45 .

rešitev

Zamenjajmo številke − 145 in − 45 nasprotnim številkam 145 in 45 . Sedaj z uporabo algoritma izračunamo NKT (145, 45) = 145 · 45: NKT (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305, pri čemer smo predhodno določili NKT z evklidskim algoritmom.

Dobimo, da je LCM števil − 145 in − 45 enako 1 305 .

odgovor: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Opredelitev. Največje naravno število, s katerim delimo števili a in b brez ostanka, imenujemo največji skupni delitelj (GCD) te številke.

Poiščimo največji skupni delitelj števil 24 in 35.
Delitelji števila 24 so števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji števila 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata števili 24 in 35 le en skupni delitelj - število 1. Takšni števili se imenujeta medsebojno prime.

Opredelitev. Naravna števila imenujemo medsebojno prime, če je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) lahko najdete, ne da bi izpisali vse delitelje danih števil.

Če števili 48 in 36 faktoriziramo, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Izmed dejavnikov, vključenih v razširitev prvega od teh števil, prečrtamo tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila (tj. dve dvojki).
Preostala faktorja sta 2 * 2 * 3. Njun produkt je enak 12. To število je največji skupni delitelj števil 48 in 36. Najden je tudi največji skupni delitelj treh ali več števil.

Najti največji skupni delitelj

2) izmed dejavnikov, vključenih v razširitev enega od teh števil, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa dana števila deljiva z enim od njih, potem je to število deljivo največji skupni delitelj podane številke.
Na primer, največji skupni delitelj števil 15, 45, 75 in 180 je število 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) naravni števili a in b je najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil 75 in 60 je mogoče najti, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Da bi to naredili, faktorizirajmo 75 in 60 na prafaktorje: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, vključene v razširitev prvega od teh števil, in jim prištejmo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve drugega števila (torej faktorje združimo).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60.

Poiščejo tudi najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil.

Za poiščite najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razložite na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razširitev enega od števil;
3) dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih števil;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh števil deljivo z vsemi drugimi števili, potem je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik števil 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljivo z vsemi temi števili.

Pitagora (VI. stol. pr. n. št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Popolno število so imenovali število, ki je enako vsoti vseh svojih deliteljev (brez števila samega). Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. e. Petega - 33.550.336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih števil. Toda znanstveniki še vedno ne vedo, ali obstajajo liha popolna števila ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je vsako število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, tj. praštevila so kot opeke, iz katerih so zgrajena ostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno - v nekaterih delih niza jih je več, v drugih - manj. Toda dlje kot se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (3. stoletje pr. n. št.) je v svoji knjigi Elementi, ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je praštevil neskončno veliko, tj. za vsakim praštevilom stoji še večje praštevilo. število.
Da bi našli praštevila, je drug grški matematik iz istega časa, Eratosten, prišel do te metode. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal eno, ki ni ne praštevilo ne sestavljeno število, nato pa prečrtal skozi 1 vsa števila, ki prihajajo za 2 (števila, ki so večkratniki 2, tj. 4, 6, 8 itd.). Prva preostala številka po 2 je bila 3. Nato so bile po dve prečrtane vse številke za 3 (števila, ki so bila večkratnika 3, tj. 6, 9, 12 itd.). na koncu so ostala samo praštevila neprečrtana.

Matematični izrazi in naloge zahtevajo veliko dodatnega znanja. NOC je eden glavnih, še posebej pogosto se uporablja v Tema se preučuje v srednji šoli in ni posebej težko razumeti snovi; oseba, ki pozna potence in tabelo množenja, ne bo imela težav pri prepoznavanju potrebnih števil in odkrivanju rezultat.

Opredelitev

Skupni večkratnik je število, ki ga lahko v celoti razdelimo na dve števili hkrati (a in b). Najpogosteje se to število dobi z množenjem prvotnih števil a in b. Število mora biti deljivo z obema številoma hkrati, brez odstopanj.

NOC je kratko ime, sprejeto za oznako, zbrano iz prvih črk.

Načini za pridobitev številke

Metoda množenja števil ni vedno primerna za iskanje LCM, veliko bolj primerna je za preprosta enomestna ali dvomestna števila. Običajno je razdelitev na faktorje; večje kot je število, več faktorjev bo.

Primer #1

Za najpreprostejši primer šole običajno uporabljajo praštevila, eno- ali dvomestna števila. Na primer, rešiti morate naslednjo nalogo, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 7 in 3, rešitev je precej preprosta, samo ju pomnožite. Kot rezultat, obstaja številka 21, manjše številke preprosto ni.

Primer št. 2

Druga različica naloge je veliko težja. Podani sta številki 300 in 1260, iskanje LOC je obvezno. Za rešitev težave se predvidevajo naslednji ukrepi:

Razstavljanje prvega in drugega števila na enostavne faktorje. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je končana.

Druga stopnja vključuje delo z že pridobljenimi podatki. Vsaka od prejetih številk mora sodelovati pri izračunu končnega rezultata. Za vsak faktor je največje število pojavitev vzeto iz prvotnih števil. LCM je splošno število, zato je treba faktorje števil v njem ponoviti, vsakega posebej, tudi tiste, ki so prisotni v enem izvodu. Obe začetni števili vsebujeta števila 2, 3 in 5, v različnih potencah, 7 je prisotna samo v enem primeru.

Če želite izračunati končni rezultat, morate vsako število vzeti na največjo potenco, predstavljeno v enačbi. Ostane le še množenje in odgovor; če je pravilno izpolnjena, je naloga brez razlage razdeljena na dva koraka:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je celotna težava, če poskušate izračunati zahtevano število z množenjem, potem odgovor zagotovo ne bo pravilen, saj je 300 * 1260 = 378.000.

Pregled:

6300 / 300 = 21 - pravilno;

6300 / 1260 = 5 - pravilno.

Pravilnost dobljenega rezultata ugotovimo s preverjanjem - deljenjem LCM z obema izvirnima številoma; če je število v obeh primerih celo število, je odgovor pravilen.

Kaj pomeni NOC v matematiki?

Kot veste, v matematiki ni niti ene neuporabne funkcije, ta ni izjema. Najpogostejši namen tega števila je reduciranje ulomkov na skupni imenovalec. Kaj se običajno uči v 5.-6. razredu srednje šole. Dodatno je tudi skupni delitelj za vse večkratnike, če so taki pogoji prisotni v problemu. Tak izraz lahko najde večkratnik ne samo dveh števil, ampak tudi veliko večjega števila - tri, pet itd. Več številk, več dejanj v nalogi, vendar se kompleksnost ne poveča.

Na primer, glede na številke 250, 600 in 1500 morate najti njihov skupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ta primer podrobno opisuje faktorizacijo brez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sestavo izraza je treba navesti vse faktorje, v tem primeru so podani 2, 5, 3 - za vsa ta števila je treba določiti največjo stopnjo.

Pozor: vse faktorje je treba pripeljati do popolne poenostavitve, če je le možno, dekomponirati na nivo enomestnosti.

Pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - pravilno;

2) 3000 / 600 = 5 - drži;

3) 3000 / 1500 = 2 - pravilno.

Ta metoda ne zahteva nobenih trikov ali sposobnosti na genialni ravni, vse je preprosto in jasno.

Še en način

V matematiki je marsikaj povezano, marsikaj se da rešiti na dva ali več načinov, enako velja za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika LCM. Naslednjo metodo lahko uporabimo v primeru preprostih dvomestnih in enomestnih števil. Sestavi se tabela, v katero se navpično vnese množitelj, vodoravno množitelj, zmnožek pa se navede v sekajočih se celicah stolpca. Tabelo lahko odražate s črto, vzamete številko in zapišete rezultate množenja te številke s celimi števili, od 1 do neskončnosti, včasih je dovolj 3-5 točk, druga in naslednja števila so podvržena istemu računskemu postopku. Vse se dogaja, dokler se ne najde skupni večkratnik.

Glede na številke 30, 35, 42 morate najti LCM, ki povezuje vse številke:

1) Večkratniki števila 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Večkratniki števila 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Večkratniki 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Opaziti je, da so vse številke precej različne, edina skupna številka med njimi je 210, torej bo NOK. Med procesi, vključenimi v ta izračun, je tudi največji skupni delitelj, ki se izračuna po podobnih principih in se pogosto pojavlja pri sosednjih problemih. Razlika je majhna, a precejšnja, LCM vključuje izračun števila, ki je deljeno z vsemi danimi začetnimi vrednostmi, GCD pa izračun največje vrednosti, s katero so deljena prvotna števila.

@ 2024 wowway.ru - Diete in prehrana. Diagnostika in testi. Zdravila. holesterol. ateroskleroza