Produkt koordinat. Navzkrižni produkt vektorjev. Mešani produkt vektorjev

Enotski vektor- To vektor, absolutna vrednost(modul), ki je enak ena. Za označevanje enotskega vektorja bomo uporabili indeks e. Torej, če je vektor podan A, potem bo njegov enotski vektor vektor A e. To enotski vektor je usmerjen v isto smer kot sam vektor A, njen modul pa je enak ena, to je a e = 1.

očitno, A= a A e (a - vektorski modul A). To izhaja iz pravila, po katerem se izvaja operacija množenja skalarja z vektorjem.

Enotski vektorji pogosto povezana s koordinatnimi osmi koordinatnega sistema (zlasti z osmi kartezičnega koordinatnega sistema). Smeri teh vektorji sovpadajo s smermi ustreznih osi, njihova izhodišča pa so pogosto združena z izhodiščem koordinatnega sistema.

Naj vas spomnim na to Kartezični koordinatni sistem v prostoru se tradicionalno imenuje trio medsebojno pravokotnih osi, ki se sekajo v točki, imenovani koordinatni izvor. Koordinatne osi so običajno označene s črkami X, Y, Z in se imenujejo abscisna os, ordinatna os in aplicirana os. Sam Descartes je uporabljal samo eno os, na kateri so bile narisane abscise. Zasluga uporabe sistemi sekire pripada njegovim učencem. Zato fraza Kartezični koordinatni sistem zgodovinsko napačno. Bolje je govoriti pravokotne koordinatni sistem oz pravokotni koordinatni sistem. Vendar ne bomo spreminjali tradicij in bomo v prihodnosti domnevali, da sta kartezični in pravokotni (ortogonalni) koordinatni sistem eno in isto.

Enotski vektor, usmerjeno vzdolž osi X, je označeno jaz, enotski vektor, usmerjeno vzdolž osi Y, je označeno j, A enotski vektor, usmerjeno vzdolž osi Z, je označeno k. Vektorji jaz, j, k se imenujejo orts(slika 12, levo), imajo posamezne module, tj
i = 1, j = 1, k = 1.

Sekire in enotski vektorji pravokotni koordinatni sistem v nekaterih primerih imajo različna imena in oznake. Tako lahko abscisno os X imenujemo tangentna os, njen enotski vektor pa označimo τ (grška mala črka tau), ordinatna os je normalna os, njen enotski vektor je označen n, aplicirana os je binormalna os, njen enotski vektor je označen b. Zakaj bi spreminjali imena, če bistvo ostaja isto?

Dejstvo je, da se na primer v mehaniki pri proučevanju gibanja teles zelo pogosto uporablja pravokotni koordinatni sistem. Torej, če je sam koordinatni sistem stacionaren in se v tem stacionarnem sistemu spremlja sprememba koordinat premikajočega se predmeta, potem so osi običajno označene z X, Y, Z in njihovimi enotski vektorji oz jaz, j, k.

Toda pogosto, ko se predmet premika po nekakšni krivulji (na primer v krogu), je bolj priročno upoštevati mehanske procese v koordinatnem sistemu, ki se premika s tem predmetom. Za tak gibljiv koordinatni sistem se uporabljajo druga imena osi in njihovih enotskih vektorjev. Tako pač je. V tem primeru je os X usmerjena tangencialno na trajektorijo v točki, na kateri ta trenutek ta objekt se nahaja. In potem se ta os ne imenuje več os X, ampak tangentna os, njen enotski vektor pa ni več označen jaz, A τ . Os Y je usmerjena vzdolž polmera ukrivljenosti trajektorije (v primeru gibanja v krogu - v središče kroga). In ker je polmer pravokoten na tangento, se os imenuje normalna os (pravokotna in normalna sta ista stvar). Enotski vektor te osi ni več označen j, A n. Tretja os (prej Z) je pravokotna na prejšnji dve. To je binormalno z ortom b(slika 12, desno). Mimogrede, v tem primeru tako pravokotni koordinatni sistem pogosto imenovani "naravni" ali naravni.

7.1. Opredelitev navzkrižnega produkta

Trije nekoplanarni vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desnosučni trojček, če je s konca tretjega vektorja c najkrajši obrat od prvega vektorja a do drugega vektorja b viden biti v nasprotni smeri urinega kazalca in levosučni trojček, če je v smeri urinega kazalca (glej sliko 16).

Vektorski produkt vektorja a in vektorja b imenujemo vektor c, ki:

1. Pravokotno na vektorja a in b, tj. c ^ a in c ^ b ;

2. Ima dolžino, ki je numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a inb kot na straneh (glej sliko 17), tj.

3. Vektorji a, b in c tvorijo desnosučno trojko.

Vektorska umetnina označeno z a x b ali [a,b]. Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta, j in k(glej sliko 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo npr i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, vendar | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorji i, j in k tvorijo desno trojko (glej sliko 16).

7.2. Lastnosti navzkrižnega produkta

1. Pri preurejanju faktorjev vektorski produkt spremeni predznak, tj. in xb =(b xa) (glej sliko 19).

Vektorja a xb in b xa sta kolinearna, imata enake module (ploščina paralelograma ostane nespremenjena), vendar sta nasprotno usmerjena (trojke a, b, a xb in a, b, b x a nasprotne orientacije). To je axb = -(b xa).

2. Vektorski produkt ima kombinirano lastnost glede na skalarni faktor, tj. l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Naj bo l >0. Vektor l (a xb) je pravokoten na vektorja a in b. Vektor ( l a)x b je tudi pravokotna na vektorja a in b(vektorji a, l vendar ležijo v isti ravnini). To pomeni, da vektorji l(a xb) in ( l a)x b kolinearni. Očitno je, da se njihove smeri ujemajo. Imajo enako dolžino:

Zato l(a xb)= l a xb. Na podoben način je dokazano za l<0.

3. Dva neničelna vektorja a in b so kolinearne, če in samo če je njihov vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, tj. a ||b<=>in xb =0.

Zlasti i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski produkt ima lastnost porazdelitve:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Sprejeli bomo brez dokazov.

7.3. Izražanje navzkrižnega produkta s koordinatami

Uporabili bomo tabelo navzkrižnega produkta vektorjev i, j in k:

če smer najkrajše poti od prvega vektorja do drugega sovpada s smerjo puščice, je produkt enak tretjemu vektorju; če ne sovpada, se tretji vektor vzame z znakom minus.

Naj sta podana vektorja a =a x i +a y j+a z k in b =b x jaz+b l j+b z k. Poiščimo vektorski produkt teh vektorjev tako, da jih pomnožimo kot polinome (glede na lastnosti vektorskega produkta):

Nastalo formulo lahko zapišemo še bolj na kratko:

saj desna stran enačbe (7.1) ustreza razširitvi determinante tretjega reda glede na elemente prve vrstice Enakost (7.2) si je lahko zapomniti.

7.4. Nekatere uporabe navzkrižnega produkta

Ugotavljanje kolinearnosti vektorjev

Iskanje ploščine paralelograma in trikotnika

Po definiciji vektorskega produkta vektorjev A in b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parov = |a x b |. In zato je D S =1/2|a x b |.

Določanje momenta sile na točko

Naj na točko A deluje sila F = AB naj gre O- neka točka v prostoru (glej sliko 20).

Iz fizike je znano, da moment sile F glede na točko O imenujemo vektor M, ki poteka skozi točko O in:

1) pravokotno na ravnino, ki poteka skozi točke O, A, B;

2) številčno enak produktu sile na roko

3) tvori desno trojko z vektorjema OA in A B.

Zato je M = OA x F.

Iskanje linearne hitrosti vrtenja

Hitrost v točke M trdna, ki se vrti s kotno hitrostjo w okoli fiksne osi, je določena z Eulerjevo formulo v =w xr, kjer je r =OM, kjer je O neka fiksna točka osi (glej sliko 21).

Opredelitev Urejena zbirka (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih števil se imenuje n-razsežni vektor, in števila x i (i = ) - komponente, oz koordinate,

Primer. Če mora na primer neka avtomobilska tovarna proizvesti 50 avtomobilov, 100 tovornjakov, 10 avtobusov, 50 kompletov rezervnih delov za avtomobile in 150 kompletov za tovorna vozila in avtobuse na izmeno, potem lahko proizvodni program te tovarne zapišemo kot vektor (50, 100, 10, 50, 150), ki ima pet komponent.

Notacija. Vektorji so označeni s krepkimi malimi črkami ali črkami s prečko ali puščico na vrhu, npr. a oz. Dva vektorja se imenujeta enaka, če imata enako število komponent in sta njuni pripadajoči komponenti enaki.

Vektorskih komponent ni mogoče zamenjati, na primer (3, 2, 5, 0, 1) in (2, 3, 5, 0, 1) različni vektorji.
Operacije na vektorjih. Delo x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) z realnim številomλ imenujemo vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Znesekx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) in l= (y 1 , y 2 , ... ,y n) imenujemo vektor x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vektorski prostor. n -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kot množica vseh n-dimenzionalnih vektorjev, za katere sta definirani operaciji množenja z realnimi števili in seštevanja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnega vektorskega prostora: prostor blaga (blaga). Spodaj blaga razumeli bomo blago ali storitev, ki gre v prodajo ob določenem času na določenem mestu. Recimo, da obstaja končno število n razpoložljivih dobrin; količine vsakega od njih, ki jih kupi potrošnik, so označene z nizom blaga

x= (x 1, x 2, ..., x n),

kjer x i označuje količino i-te dobrine, ki jo kupi potrošnik. Predpostavili bomo, da ima vse blago lastnost poljubne deljivosti, tako da je mogoče kupiti vsako nenegativno količino vsakega od njih. Potem so vse možne množice blaga vektorji prostora blaga C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna neodvisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e imenujemo m n-razsežne vektorje linearno odvisen, če obstajajo takšne številkeλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od katerih je vsaj ena različna od nič, tako da velja enakostλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; drugače se ta sistem vektorjev imenuje linearno neodvisen, to pomeni, da je navedena enakost možna le v primeru, ko so vsi . Geometrijski pomen linearne odvisnosti vektorjev v R 3, interpretirani kot usmerjeni segmenti, razložite naslednje izreke.

1. izrek. Sistem, sestavljen iz enega vektorja, je linearno odvisen, če in samo če je ta vektor nič.

2. izrek. Da sta dva vektorja linearno odvisna, je nujno in dovolj, da sta kolinearna (vzporedna).

Izrek 3 . Da so trije vektorji linearno odvisni, je nujno in dovolj, da so komplanarni (ležijo v isti ravnini).

Levi in desni trojček vektorjev. Trojka nekoplanarnih vektorjev a, b, c klical prav, če opazovalec iz njihovega skupnega izhodišča obide konce vektorjev a, b, c v danem vrstnem redu se zdi, da se zgodi v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru a, b, c -levo tri. Imenujejo se vse desne (ali leve) trojke vektorjev enako usmerjeno.

Osnova in koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarni vektorji v R 3 se imenuje osnova, in sami vektorji e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Kateri koli vektor a je mogoče enolično razširiti v bazne vektorje, to je predstaviti v obliki

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

imenujemo števila x 1 , x 2 , x 3 v razširitvi (1.1). koordinatea v osnovi e 1, e 2 , e 3 in so označeni a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormirana osnova. Če vektorji e 1, e 2 , e 3 so po paru pravokotne in je dolžina vsakega od njih enaka ena, potem se osnova imenuje ortonormalno, in koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravokotne. Bazične vektorje ortonormirane baze bomo označili z i, j, k.

Predpostavili bomo, da v vesolju R 3 izbran je desni sistem kartezičnih pravokotnih koordinat (0, i, j, k}.

Vektorska umetnina. Vektorska umetnina A v vektor b imenujemo vektor c, ki je določen z naslednjimi tremi pogoji:

1. Dolžina vektorja c numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a in b, tj.
c= |a||b| greh( a^b).

2. Vektor c pravokotno na vsakega od vektorjev a in b.

3. Vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desno trojko.

Za navzkrižni izdelek c uvedena je oznaka c =[ab] oz
c = a × b.

Če vektorji a in b so kolinearni, potem sin( a^b) = 0 in [ ab] = 0, zlasti [ aa] = 0. Vektorski produkti enotskih vektorjev: [ ij]=k, [jk] = jaz, [ki]=j.

Če vektorji a in b določeno v osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), potem

Mešano delo. Če je vektorski produkt dveh vektorjev A in b skalarno pomnoženo s tretjim vektorjem c, potem se tak produkt treh vektorjev imenuje mešano delo in je označen s simbolom a b c.

Če vektorji a, b in c v osnovi i, j, k podane z njihovimi koordinatami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), potem

Mešani produkt ima preprosto geometrijsko razlago - je skalar, ki je v absolutni vrednosti enak volumnu paralelopipeda, zgrajenega na treh danih vektorjih.

Če vektorji tvorijo desno trojko, potem je njihov mešani produkt pozitivno število, ki je enako navedenemu volumnu; če je trojka a, b, c - levo, torej a b c<0 и V = - a b c, torej V =|a b c|.

Predpostavlja se, da so koordinate vektorjev, na katere naletimo v problemih prvega poglavja, podane glede na desno ortonormirano bazo. Enotski vektor sosmeren z vektorjem A, označen s simbolom A O. Simbol r=OM označena z radij vektorjem točke M, simboli a, AB oz|a|, | AB|označeni so moduli vektorjev A in AB.

Primer 1.2. Poiščite kot med vektorjema a= 2m+4n in b= m-n, Kje m in n- enotski vektorji in kot med njimi m in n enako 120 o.

rešitev. Imamo: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, kar pomeni a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, kar pomeni b = . Končno imamo: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Primer 1.3.Poznavanje vektorjev AB(-3, -2,6) in B.C.(-2,4,4),izračunaj dolžino višine AD trikotnika ABC.

rešitev. Če območje trikotnika ABC označimo s S, dobimo:
S = 1/2 pr. Kr. Potem AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, kar pomeni vektor A.C. ima koordinate
. .

Primer 1.4 . Podana sta dva vektorja a(11,10,2) in b(4,0,3). Poiščite enotski vektor c, pravokoten na vektorje a in b in usmerjena tako, da je urejena trojka vektorjev a, b, c je imel prav.

rešitev.Označimo koordinate vektorja c glede na dano pravo ortonormirano osnovo glede na x, y, z.

Zaradi c ⊥ a, c ⊥b, To ca= 0,cb= 0. V skladu s pogoji problema je zahtevano, da je c = 1 in a b c >0.

Imamo sistem enačb za iskanje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve in druge enačbe sistema dobimo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Če nadomestimo y in z v tretjo enačbo, dobimo: x 2 = 36/125, od koder
x =± . Uporaba pogoja a b c > 0, dobimo neenakost

Ob upoštevanju izrazov za z in y prepišemo nastalo neenakost v obliki: 625/6 x > 0, kar pomeni, da je x>0. Torej, x = , y = - , z =- .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Preden podamo koncept vektorskega produkta, se posvetimo vprašanju orientacije urejene trojke vektorjev a →, b →, c → v tridimenzionalnem prostoru.

Za začetek odložimo vektorje a → , b → , c → iz ene točke. Usmerjenost trojke a → , b → , c → je lahko desna ali leva, odvisno od smeri samega vektorja c →. Vrsto trojke a → , b → , c → bomo določili iz smeri, v kateri je narejen najkrajši obrat od vektorja a → do b → od konca vektorja c → .

Če je najkrajši obrat izveden v nasprotni smeri urinega kazalca, se trojka vektorjev a → , b → , c → imenuje prav, če v smeri urinega kazalca – levo.

Nato vzemite dva nekolinearna vektorja a → in b →. Nato iz točke A narišemo vektorja A B → = a → in A C → = b →. Konstruirajmo vektor A D → = c →, ki je hkrati pravokoten na A B → in A C →. Tako lahko pri konstruiranju samega vektorja A D → = c → naredimo dve stvari, tako da mu damo eno ali nasprotno smer (glej sliko).

Urejena trojka vektorjev a → , b → , c → je lahko, kot smo ugotovili, desna ali leva, odvisno od smeri vektorja.

Iz zgornjega lahko uvedemo definicijo vektorskega produkta. Ta definicija je podana za dva vektorja, definirana v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora.

Definicija 1

Vektorski produkt dveh vektorjev a → in b → bomo imenovali tak vektor, definiran v pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora, tako da:

če sta vektorja a → in b → kolinearna, bo nič;
pravokoten bo tako na vektor a → kot na vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
njegova dolžina je določena s formulo: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
trojka vektorjev a → , b → , c → ima enako orientacijo kot dani koordinatni sistem.

Vektorski produkt vektorjev a → in b → ima naslednji zapis: a → × b →.

Koordinate vektorskega produkta

Ker ima vsak vektor določene koordinate v koordinatnem sistemu, lahko uvedemo drugo definicijo vektorskega produkta, ki nam bo omogočila, da poiščemo njegove koordinate z uporabo danih koordinat vektorjev.

Definicija 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu tridimenzionalnega prostora vektorski produkt dveh vektorjev a → = (a x ; a y ; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) se imenuje vektor c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , kjer so i → , j → , k → koordinatni vektorji.

Vektorski produkt lahko predstavimo kot determinanto kvadratne matrike tretjega reda, kjer prva vrstica vsebuje vektorske vektorje i → , j → , k → , druga vrstica vsebuje koordinate vektorja a → , tretja vrstica pa koordinate vektorja a → . vsebuje koordinate vektorja b → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu je ta determinanta matrike videti takole: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

Če to determinanto razširimo na elemente prve vrstice, dobimo enakost: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → = = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

Lastnosti navzkrižnega produkta

Znano je, da je vektorski produkt v koordinatah predstavljen kot determinanta matrike c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z , nato pa na osnovi lastnosti matrične determinante prikazano je naslednje lastnosti vektorskega produkta:

antikomutativnost a → × b → = - b → × a → ;
porazdelitev a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ali a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
asociativnost λ a → × b → = λ a → × b → ali a → × (λ b →) = λ a → × b →, kjer je λ poljubno realno število.

Te lastnosti imajo preproste dokaze.

Kot primer lahko dokažemo antikomutativnost vektorskega produkta.

Dokaz antikomutativnosti

Po definiciji je a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z in b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. In če se dve vrstici matrike zamenjata, se mora vrednost determinante matrike spremeniti v nasprotno, torej a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x a y a z = - b → × a → , kar in dokazuje, da je vektorski produkt antikomutativen.

Vektorski izdelek - primeri in rešitve

V večini primerov gre za tri vrste težav.

Pri nalogah prvega tipa sta običajno podani dolžini dveh vektorjev in kot med njima, pri čemer morate najti dolžino vektorskega produkta. V tem primeru uporabite naslednjo formulo c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

Primer 1

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev a → in b →, če poznate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

rešitev

Z določitvijo dolžine vektorskega produkta vektorjev a → in b → rešimo ta problem: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

odgovor: 15 2 2 .

Problemi druge vrste so povezani s koordinatami vektorjev, v njih vektorski produkt, njegova dolžina itd. iščemo po znanih koordinatah danih vektorjev a → = (a x; a y; a z) in b → = (b x ; b y ; b z) .

Za to vrsto problema lahko rešite veliko možnosti naloge. Na primer, ne moremo določiti koordinat vektorjev a → in b →, temveč njihove razširitve v koordinatne vektorje oblike b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → in c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → ali vektorja a → in b → lahko podate s koordinatami njihovega začetka in končne točke.

Razmislite o naslednjih primerih.

Primer 2

V pravokotnem koordinatnem sistemu sta podana dva vektorja: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Poiščite njihov navzkrižni produkt.

rešitev

Po drugi definiciji najdemo vektorski produkt dveh vektorjev v danih koordinatah: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + ( a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Če vektorski produkt zapišemo skozi determinanto matrike, je rešitev tega primera videti takole: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Primer 3

Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev i → - j → in i → + j → + k →, kjer so i →, j →, k → enotski vektorji pravokotnega kartezičnega koordinatnega sistema.

rešitev

Najprej poiščimo koordinate danega vektorskega produkta i → - j → × i → + j → + k → v danem pravokotnem koordinatnem sistemu.

Znano je, da imata vektorja i → - j → in i → + j → + k → koordinate (1; - 1; 0) oziroma (1; 1; 1). Poiščemo dolžino vektorskega produkta z determinanto matrike, potem imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Zato ima vektorski produkt i → - j → × i → + j → + k → koordinate (- 1 ; - 1 ; 2) v danem koordinatnem sistemu.

Dolžino vektorskega produkta poiščemo s formulo (glej poglavje o iskanju dolžine vektorja): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Primer 4

V pravokotnem kartezičnem koordinatnem sistemu so podane koordinate treh točk A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Poiščite vektor, pravokoten na A B → in A C → hkrati.

rešitev

Vektorja A B → in A C → imata naslednje koordinate (- 1 ; 2 ; 2) oziroma (0 ; 4 ; 1). Ko smo našli vektorski produkt vektorjev A B → in A C →, je očitno, da je po definiciji pravokoten vektor na A B → in A C →, kar pomeni, da je rešitev našega problema. Poiščimo ga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

odgovor: - 6 i → + j → - 4 k → . - enega od pravokotnih vektorjev.

Problemi tretje vrste so osredotočeni na uporabo lastnosti vektorskega produkta vektorjev. Po uporabi katere bomo dobili rešitev danega problema.

Primer 5

Vektorja a → in b → sta pravokotna in njuni dolžini sta 3 oziroma 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

rešitev

Z distribucijsko lastnostjo vektorskega produkta lahko zapišemo 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Z lastnostjo asociativnosti izvzamemo numerične koeficiente iz predznaka vektorskih produktov v zadnjem izrazu: 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · (- 2) · a → × b → + (- 1) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorska produkta a → × a → in b → × b → sta enaka 0, saj je a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 in b → × b → = b → · b → · sin 0 = 0, potem 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

Iz antikomutativnosti vektorskega produkta sledi - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

Z uporabo lastnosti vektorskega produkta dobimo enakost 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Po pogoju sta vektorja a → in b → pravokotna, to pomeni, da je kot med njima enak π 2. Zdaj ostane le še zamenjava najdenih vrednosti v ustrezne formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dolžina vektorskega produkta vektorjev je po definiciji enaka a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Ker je že znano (iz šolski tečaj), da je ploščina trikotnika enaka polovici produkta dolžin njegovih dveh strani, pomnoženega s sinusom kota med tema stranicama. Posledično je dolžina vektorskega produkta enaka površini paralelograma - podvojenega trikotnika, in sicer produkta stranic v obliki vektorjev a → in b →, položenih iz ene točke, s sinusom kot med njima sin ∠ a →, b →.

To je geometrijski pomen vektorskega produkta.

Fizični pomen vektorskega produkta

V mehaniki, eni od vej fizike, lahko zahvaljujoč vektorskemu produktu določite trenutek sile glede na točko v prostoru.

Definicija 3

Pod momentom sile F →, ki deluje na točko B, glede na točko A, bomo razumeli naslednji vektorski produkt A B → × F →.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Opredelitev. Vektorski produkt vektorja a (množnika) in nekolinearnega vektorja (množnika) je tretji vektor c (množek), ki je sestavljen na naslednji način:

1) njegov modul je številčno enak površini paralelograma na sl. 155), zgrajen na vektorjih, tj. je enak smeri, pravokotni na ravnino omenjenega paralelograma;

3) v tem primeru izberemo smer vektorja c (izmed dveh možnih) tako, da vektorja c tvorita desni sistem (§ 110).

Oznaka: oz

Dodatek k definiciji. Če so vektorji kolinearni, potem je glede na to, da je slika (pogojno) paralelogram, naravno dodeliti ničelno površino. Zato velja, da je vektorski produkt kolinearnih vektorjev enak ničelnemu vektorju.

Ker je ničelnemu vektorju mogoče dodeliti katero koli smer, ta dogovor ni v nasprotju z odstavkoma 2 in 3 definicije.

Opomba 1. V izrazu "vektorski produkt" prva beseda nakazuje, da je rezultat dejanja vektor (v nasprotju s skalarnim produktom; prim. § 104, opomba 1).

Primer 1. Poiščite vektorski produkt, kjer so glavni vektorji desnega koordinatnega sistema (slika 156).

1. Ker so dolžine glavnih vektorjev enake eni merilni enoti, je površina paralelograma (kvadrata) številčno enaka eni. To pomeni, da je modul vektorskega produkta enak ena.

2. Ker je pravokotnica na ravnino os, je želeni vektorski produkt vektor kolinearen vektorju k; in ker imata oba modul 1, je želeni vektorski produkt enak k ali -k.

3. Od teh dveh možnih vektorjev je treba izbrati prvega, saj vektorja k tvorita desni sistem (vektorji pa levosučni).

Primer 2. Poiščite navzkrižni produkt

rešitev. Tako kot v primeru 1 sklepamo, da je vektor enak k ali -k. Zdaj pa moramo izbrati -k, saj vektorji tvorijo desni sistem (vektorji pa levičarskega). Torej,

Primer 3. Vektorji imajo dolžine enake 80 oziroma 50 cm in tvorijo kot 30°. Če vzamemo meter kot enoto za dolžino, poiščite dolžino vektorskega produkta a

rešitev. Ploščina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, je enaka Dolžina želenega vektorskega produkta je enaka

Primer 4. Poiščite dolžino vektorskega produkta istih vektorjev, pri čemer za enoto za dolžino vzamete centimetre.

rešitev. Ker je površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, enaka, je dolžina vektorskega produkta enaka 2000 cm, tj.

Iz primerjave primerov 3 in 4 je razvidno, da dolžina vektorja ni odvisna samo od dolžin faktorjev, temveč tudi od izbire dolžinske enote.

Fizični pomen vektorskega produkta. Od številnih fizikalnih veličin, ki jih predstavlja vektorski produkt, bomo upoštevali samo moment sile.

Naj bo točka uporabe sile A. Trenutek sile glede na točko O imenujemo vektorski produkt. Ker je modul tega vektorskega produkta numerično enak površini paralelograma (slika 157), potem je modul momenta je enak zmnožku osnove in višine, to je sila, pomnožena z razdaljo od točke O do premice, vzdolž katere deluje sila.

V mehaniki je dokazano, da je za togo telo v ravnotežju potrebno, da ni le vsota vektorjev, ki predstavljajo sile, ki delujejo na telo, enaka nič, ampak tudi vsota momentov sil. V primeru, da so vse sile vzporedne z eno ravnino, lahko seštevanje vektorjev, ki predstavljajo momente, nadomestimo s seštevanjem in odštevanjem njihovih velikosti. Toda pri poljubnih smereh sil je taka zamenjava nemogoča. V skladu s tem je vektorski produkt definiran ravno kot vektor in ne kot število.