Seznam logaritmov z rešitvami - lahki ulomki. Logaritem. Lastnosti logaritma (seštevanje in odštevanje)

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in dnevnik a l. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

dnevnik a x+ dnevnik a l= dnevnik a (x · l);
dnevnik a x− dnevnik a l= dnevnik a (x : l).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Opomba: ključni trenutek tukaj - enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo »Kaj je logaritem«). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. Toda po preobrazbah se izkažejo precej normalne številke. Mnogi so zgrajeni na tem dejstvu testne naloge. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

To je enostavno opaziti zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:
[Napis k sliki]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

[Napis k sliki]

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih za seštevanje in odštevanje logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo dano logaritem dnevnik a x. Potem za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1 velja enakost:
[Napis k sliki]
Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:
[Napis k sliki]

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številski izrazi. Kako priročni so, je mogoče oceniti le z odločitvijo logaritemske enačbe in neenakosti.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

[Napis k sliki]

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

[Napis k sliki]

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

[Napis k sliki]

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se temu reče: osnovno logaritemska identiteta.

Pravzaprav, kaj se bo zgodilo, če bo številka b dvigniti na takšno moč, da število b tej moči daje število a? Tako je: dobite isto številko a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:
[Napis k sliki]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Upoštevanje pravil za množenje potenc s enaka osnova, dobimo:

[Napis k sliki]

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
dnevnik a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

glavne lastnosti.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

enake podlage

Log6 4 + log6 9.

Zdaj pa malo zapletimo nalogo.

Primeri reševanja logaritmov

Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če upoštevamo ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Prehod na novo podlago

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Poglej tudi:

Osnovne lastnosti logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovne lastnosti logaritmov

Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

4. Kje .

Primer 2. Poiščite x, če

Primer 3. Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne le od leve proti desni, ampak tudi obratno , tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem.

Logaritemske formule. Logaritmi primeri rešitve.

Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Pravzaprav, kaj se zgodi, če število b dvignemo na takšno potenco, da število b na to potenco da število a? Tako je: rezultat je enako število a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Poglej tudi:

Logaritem b na osnovi a označuje izraz. Izračunati logaritem pomeni najti potenco x (), pri kateri je enakost izpolnjena

Osnovne lastnosti logaritma

Zgornje lastnosti je treba poznati, saj so skoraj vsi problemi in primeri, povezani z logaritmi, rešeni na njihovi podlagi. Ostale eksotične lastnosti je mogoče izpeljati z matematičnimi manipulacijami s temi formulami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Pri izračunu formule za vsoto in razliko logaritmov (3.4) naletite precej pogosto. Ostali so nekoliko zapleteni, vendar so v številnih nalogah nepogrešljivi za poenostavitev kompleksnih izrazov in izračun njihovih vrednosti.

Pogosti primeri logaritmov

Nekateri pogosti logaritmi so tisti, pri katerih je osnova celo deset, eksponentna ali dve.
Logaritemu na osnovi deset se običajno reče decimalni logaritem in ga preprosto označimo z lg(x).

Iz posnetka je razvidno, da v posnetku niso zapisane osnove. Na primer

Naravni logaritem je logaritem, katerega osnova je eksponent (označen z ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Če si želite zapomniti eksponent, lahko preučite pravilo: eksponent je enak 2,7 in dvakratni letnici rojstva Leva Nikolajeviča Tolstoja. Če poznate to pravilo, boste vedeli tako natančno vrednost eksponenta kot datum rojstva Leva Tolstoja.

In še en pomemben logaritem z osnovo dve je označen z

Odvod logaritma funkcije je enak ena deljeno s spremenljivko

Integralni ali antiderivacijski logaritem je določen z razmerjem

Dano gradivo je dovolj za reševanje širokega razreda problemov, povezanih z logaritmi in logaritmi. Za lažje razumevanje gradiva bom navedel le nekaj običajnih primerov iz šolskega kurikuluma in univerz.

Primeri za logaritme

Logaritemski izrazi

Primer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Z uporabo lastnosti 3.5 izračunamo

2.
Z lastnostjo razlike logaritmov imamo

3.
Z uporabo lastnosti 3.5 najdemo

4. Kje .

Navidezno zapleten izraz je poenostavljen v obliki z uporabo številnih pravil

Iskanje vrednosti logaritmov

Primer 2. Poiščite x, če

rešitev. Za izračun uporabimo zadnji izraz 5 in 13 lastnosti

Zabeležimo in žalujemo

Ker sta bazi enaki, izraza enačimo

Logaritmi. Prva stopnja.

Naj bo podana vrednost logaritmov

Izračunajte log(x), če

Rešitev: Vzemimo logaritem spremenljivke, da zapišemo logaritem skozi vsoto njenih členov

To je šele začetek našega spoznavanja logaritmov in njihovih lastnosti. Vadite računanje, obogatite svoje praktične spretnosti - pridobljeno znanje boste kmalu potrebovali za reševanje logaritemskih enačb. Ko smo preučili osnovne metode reševanja takšnih enačb, bomo vaše znanje razširili na drugo, enako pomembno temo - logaritemske neenakosti ...

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: logax in logay. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log6 4 + log6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log3 135 − log3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log7 496.

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta točni potenci: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log2 7. Ker je log2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem logax. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log5 16 log2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log25 64 = log5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

logaa = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
loga 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je a0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Izhaja iz njegove definicije. In tako logaritem števila b temelji na A je definiran kot eksponent, na katerega je treba dvigniti število a da dobiš številko b(logaritem obstaja samo za pozitivna števila).

Iz te formulacije sledi, da je izračun x=log a b, je enako reševanju enačbe a x =b. na primer dnevnik 2 8 = 3 Ker 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogoča utemeljitev, da če b=a c, nato logaritem števila b temelji na a enako z. Jasno je tudi, da je tema logaritmov tesno povezana s temo potenc števila.

Z logaritmi, kot z drugimi številkami, lahko storite operacije seštevanja, odštevanja in preobraziti na vse možne načine. Ker pa logaritmi niso povsem običajna števila, veljajo tu svoja posebna pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Seštevanje in odštevanje logaritmov.

Vzemimo dva logaritma z enakimi osnovami: log a x in prijavite se. Potem je mogoče izvajati operacije seštevanja in odštevanja:

log a x+ log a y= log a (x·y);

log a x - log a y = log a (x:y).

dnevnik a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k.

Od izrek o logaritemskem kvocientu Dobimo lahko še eno lastnost logaritma. Splošno znano je, da log a 1 = 0, torej

dnevnik a 1 /b= dnevnik a 1 - dnevnik a b= -log a b.

To pomeni, da obstaja enakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dveh vzajemnih števil iz istega razloga se bodo med seboj razlikovali samo po predznaku. Torej:

Dnevnik 3 9= - dnevnik 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritem števila b (b > 0) na osnovo a (a > 0, a ≠ 1)– eksponent, na katerega je treba dvigniti število a, da dobimo b.

Logaritem z osnovo 10 od b lahko zapišemo kot log(b), in logaritem na osnovi e (naravni logaritem) je ln(b).

Pogosto se uporablja pri reševanju problemov z logaritmi:

Lastnosti logaritmov

Obstajajo štiri glavne lastnosti logaritmov.

Naj velja a > 0, a ≠ 1, x > 0 in y > 0.

Lastnost 1. Logaritem produkta

Logaritem produkta enaka vsoti logaritmi:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Lastnost 2. Logaritem količnika

Logaritem količnika enako razliki logaritmov:

log a (x / y) = log a x – log a y

Lastnost 3. Logaritem moči

Logaritem stopnje enako zmnožku potence na logaritem:

Če je osnova logaritma v stopinjah, potem velja druga formula:

Lastnost 4. Logaritem korena

To lastnost lahko dobimo iz lastnosti logaritma potence, saj je n-ti koren potence enak potenci 1/n:

Formula za pretvorbo iz logaritma z eno osnovo v logaritem z drugo osnovo

Ta formula se pogosto uporablja tudi pri reševanju različnih nalog o logaritmih:

Poseben primer:

Primerjanje logaritmov (neenakosti)

Naj imamo 2 funkciji f(x) in g(x) pod logaritmi z enakimi osnovami in med njima je znak neenakosti:

Če jih želite primerjati, morate najprej pogledati osnovo logaritmov a:

Če je a > 0, potem je f(x) > g(x) > 0
Če je 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Kako rešiti probleme z logaritmi: primeri

Težave z logaritmi vključen v Enotnem državnem izpitu iz matematike za 11. razred v nalogi 5 in nalogi 7, lahko najdete naloge z rešitvami na naši spletni strani v ustreznih razdelkih. Tudi naloge z logaritmi najdemo v nalogni banki za matematiko. Vse primere lahko najdete z iskanjem po spletnem mestu.

Kaj je logaritem

Logaritmi so bili vedno upoštevani kompleksna tema V šolski tečaj matematika. Obstaja veliko različnih definicij logaritma, vendar iz neznanega razloga večina učbenikov uporablja najbolj zapleteno in neuspešno od njih.

Logaritem bomo definirali preprosto in jasno. Če želite to narediti, ustvarimo tabelo:

Torej, imamo moči dvojke.

Logaritmi - lastnosti, formule, kako jih rešiti

Če vzamete številko iz spodnje vrstice, zlahka najdete moč, na katero boste morali dvigniti dve, da dobite to številko. Na primer, če želite dobiti 16, morate dvigniti dve na četrto potenco. In da bi dobili 64, morate dve dvigniti na šesto potenco. To je razvidno iz tabele.

In zdaj - pravzaprav definicija logaritma:

osnova a argumenta x je potenca, na katero je treba dvigniti število a, da dobimo število x.

Oznaka: log a x = b, kjer je a osnova, x je argument, b je tisto, čemur je dejansko enak logaritem.

Na primer, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (osnovni logaritem 2 od 8 je tri, ker je 2 3 = 8). Z enakim uspehom zapišite 2 64 = 6, saj je 2 6 = 64.

Imenuje se operacija iskanja logaritma števila na dano osnovo. Torej, dodajmo novo vrstico v našo tabelo:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	dnevnik 2 4 = 2	dnevnik 2 8 = 3	dnevnik 2 16 = 4	dnevnik 2 32 = 5	dnevnik 2 64 = 6

Na žalost ni vseh logaritmov mogoče izračunati tako preprosto. Na primer, poskusite najti log 2 5. Števila 5 ni v tabeli, vendar logika narekuje, da bo logaritem ležal nekje na intervalu. Ker 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Takšna števila imenujemo iracionalna: števila za decimalno vejico lahko pišemo ad infinitum in se nikoli ne ponavljajo. Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, ga je bolje pustiti tako: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Pomembno je razumeti, da je logaritem izraz z dvema spremenljivkama (osnova in argument). Marsikdo sprva zamenjuje, kje je osnova in kje argument. Da bi se izognili nadležnim nesporazumom, samo poglejte sliko:

Pred nami ni nič drugega kot definicija logaritma. Ne pozabite: logaritem je potenca, v katerega je treba vgraditi osnovo, da dobimo argument. To je osnova, ki je dvignjena na potenco - na sliki je označena z rdečo. Izkazalo se je, da je osnova vedno na dnu! Svojim učencem povem to čudovito pravilo že na prvi lekciji - in ne pride do zmede.

Kako šteti logaritme

Ugotovili smo definicijo - ostalo je le, da se naučimo šteti logaritme, tj. znebite se znaka "hlod". Za začetek opozorimo, da iz definicije izhajata dve pomembni dejstvi:

Argument in osnova morata biti vedno večja od nič. To izhaja iz definicije stopnje z racionalnim eksponentom, na katerega se reducira definicija logaritma.
Osnova mora biti drugačna od ene, saj eno v kateri koli meri še vedno ostaja eno. Zaradi tega je vprašanje, »na kakšno moč se je treba povzdigniti, da dobiš dva«, nesmiselno. Te diplome ni!

Takšne omejitve se imenujejo razpon sprejemljivih vrednosti(ODZ). Izkazalo se je, da je ODZ logaritma videti takole: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Upoštevajte, da ni nobenih omejitev za število b (vrednost logaritma). Na primer, logaritem je lahko negativen: log 2 0,5 = −1, ker 0,5 = 2 −1.

Vendar pa zdaj obravnavamo samo numerične izraze, kjer ni potrebno poznati VA logaritma. Vse omejitve so avtorji problemov že upoštevali. Ko pa pridejo v poštev logaritemske enačbe in neenakosti, bodo zahteve DL postale obvezne. Navsezadnje lahko osnova in argument vsebujeta zelo močne konstrukcije, ki ne ustrezajo nujno zgornjim omejitvam.

Zdaj pa si poglejmo splošno shemo za izračun logaritmov. Sestavljen je iz treh korakov:

Izrazite osnovo a in argument x kot potenco z najmanjšo možno osnovo, večjo od ena. Spotoma se je bolje znebiti decimalk;
Rešite enačbo za spremenljivko b: x = a b ;
Dobljeno število b bo odgovor.

To je vse! Če se izkaže, da je logaritem iracionalen, bo to vidno že v prvem koraku. Zahteva, da je osnova večja od ena, je zelo pomembna: to zmanjša verjetnost napake in močno poenostavi izračune. Enako z decimalke: če jih takoj pretvoriš v običajne, bo veliko manj napak.

Oglejmo si, kako ta shema deluje na konkretnih primerih:

Naloga. Izračunajte logaritem: log 5 25

Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila pet: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Sestavimo in rešimo enačbo:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Prejeli smo odgovor: 2.

Naloga. Izračunajte logaritem:

Naloga. Izračunaj logaritem: log 4 64

Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
Sestavimo in rešimo enačbo:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Prejeli smo odgovor: 3.

Naloga. Izračunajte logaritem: log 16 1

Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco dvojke: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0;
Sestavimo in rešimo enačbo:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Prejeli smo odgovor: 0.

Naloga. Izračunaj logaritem: log 7 14

Predstavljajmo si osnovo in argument kot potenco števila sedem: 7 = 7 1 ; 14 ni mogoče predstaviti kot potenco števila sedem, saj je 7 1< 14 < 7 2 ;
Iz prejšnjega odstavka sledi, da logaritem ne šteje;
Odgovor je brez sprememb: dnevnik 7 14.

Majhna opomba k zadnjemu primeru. Kako ste lahko prepričani, da število ni natančna potenca drugega števila? Zelo preprosto je - samo faktorizirajte ga na prafaktorje. Če ima razširitev vsaj dva različna faktorja, število ni natančna potenca.

Naloga. Ugotovi, ali so števila točne potence: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - natančna stopnja, ker obstaja samo en množitelj;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ni natančna potenca, saj sta faktorja dva: 3 in 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - natančna stopnja;
35 = 7 · 5 - spet ni natančna potenca;
14 = 7 · 2 - spet ni natančna stopnja;

Naj še opozorimo, da smo sami praštevila so vedno natančne stopnje zase.

Decimalni logaritem

Nekateri logaritmi so tako pogosti, da imajo posebno ime in simbol.

argumenta x je logaritem na osnovo 10, tj. Potenca, na katero je treba dvigniti število 10, da dobimo število x. Oznaka: lg x.

Na primer, dnevnik 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - itd.

Ko se odslej v učbeniku pojavi stavek, kot je "Najdi lg 0,01", vedite, da to ni tipkarska napaka. To je decimalni logaritem. Če pa niste seznanjeni s tem zapisom, ga lahko vedno prepišete:
log x = log 10 x

Vse, kar velja za navadne logaritme, velja tudi za decimalne logaritme.

Naravni logaritem

Obstaja še en logaritem, ki ima svojo oznako. Na nek način je celo pomembnejši od decimalke. Govorimo o naravnem logaritmu.

argumenta x je logaritem na osnovo e, tj. potenco, na katero je treba dvigniti število e, da dobimo število x. Oznaka: ln x.

Marsikdo se bo vprašal: kaj je število e? To je iracionalno število, njegove natančne vrednosti ni mogoče najti in zapisati. Navedel bom le prve številke:
e = 2,718281828459…

Ne bomo se spuščali v podrobnosti o tem, kaj je ta številka in zakaj je potrebna. Samo zapomnite si, da je e osnova naravnega logaritma:
ln x = log e x

Tako je ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - itd. Po drugi strani pa je ln 2 iracionalno število. Na splošno je naravni logaritem katerega koli racionalnega števila iracionalen. Razen seveda enega: ln 1 = 0.

Za naravni logaritmi veljajo vsa pravila, ki veljajo za navadne logaritme.

Poglej tudi:

Logaritem. Lastnosti logaritma (potenca logaritma).

Kako predstaviti število kot logaritem?

Uporabljamo definicijo logaritma.

Logaritem je eksponent, na katerega je treba dvigniti osnovo, da dobimo število pod znakom logaritma.

Torej, da bi določeno število c predstavili kot logaritem z osnovo a, morate pod znak logaritma postaviti potenco z isto osnovo kot osnova logaritma in to število c zapisati kot eksponent:

Absolutno katero koli število je mogoče predstaviti kot logaritem - pozitivno, negativno, celo število, delno, racionalno, iracionalno:

Da ne bi zamenjali a in c v stresnih pogojih testa ali izpita, lahko uporabite naslednje pravilo pomnjenja:

kar je spodaj gre dol, kar je zgoraj gre gor.

Na primer, število 2 morate predstaviti kot logaritem na osnovo 3.

Imamo dve števili - 2 in 3. Ti števili sta osnova in eksponent, ki ju bomo zapisali pod znakom logaritma. Ostaja še ugotoviti, katero od teh številk je treba zapisati navzdol, do osnove stopnje, in katero - navzgor, do eksponenta.

Osnova 3 v zapisu logaritma je na dnu, kar pomeni, da ko dve predstavimo kot logaritem osnovi 3, bomo tudi 3 zapisali navzdol.

2 je višje od treh. In v zapisu stopnje dve pišemo nad trojko, to je kot eksponent:

Logaritmi. Prva stopnja.

Logaritmi

Logaritem pozitivno število b temelji na a, Kje a > 0, a ≠ 1, se imenuje eksponent, na katerega je treba število dvigniti a, Za pridobitev b.

Definicija logaritma lahko na kratko zapišemo takole:

Ta enakost velja za b > 0, a > 0, a ≠ 1. Ponavadi se imenuje logaritemska identiteta.
Dejanje iskanja logaritma števila se imenuje z logaritmom.

Lastnosti logaritmov:

Logaritem produkta:

Logaritem količnika:

Zamenjava osnove logaritma:

Logaritem stopnje:

Logaritem korena:

Logaritem s potenco:

Decimalni in naravni logaritmi.

Decimalni logaritemštevilke pokličejo logaritem tega števila na osnovo 10 in zapišejo lg b
Naravni logaritemštevila imenujemo logaritem tega števila na osnovo e, Kje e- iracionalno število, približno enako 2,7. Hkrati pišejo ln b.

Druge opombe o algebri in geometriji

Osnovne lastnosti logaritmov

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in log a y. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x − log a y = log a (x: y).

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo "Kaj je logaritem"). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Potem lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar si ga je vseeno bolje zapomniti - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Kako rešiti logaritme

To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Prehod na novo podlago

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Naj jih oblikujemo v obliki izreka:

Naj bo podan logaritem log a x. Potem za vsako število c, tako da je c > 0 in c ≠ 1, velja enakost:

Zlasti, če nastavimo c = x, dobimo:

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo.

V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru postane število n eksponent v argumentu. Število n je lahko karkoli, saj je le logaritemska vrednost.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Tako se imenuje: .

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

log a a = 1 je. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem katere koli baze a te same baze je enak ena.
log a 1 = 0 je. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker je 0 = 1 neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Vsi poznamo enačbe osnovni razredi. Tam smo se tudi naučili reševati najpreprostejše primere in priznati moramo, da najdejo svojo uporabo tudi v višji matematiki. Z enačbami je vse preprosto, vključno s kvadratnimi enačbami. Če imate težave s to temo, toplo priporočamo, da jo pregledate.

Verjetno ste tudi že šli skozi logaritme. Vendar se nam zdi pomembno povedati, kaj je za tiste, ki še ne vedo. Logaritem je enačen s potenco, na katero je treba dvigniti osnovo, da dobimo število desno od znaka logaritma. Naj navedemo primer, na podlagi katerega vam bo vse jasno.

Če dvignete 3 na četrto potenco, dobite 81. Sedaj zamenjajte števila po analogiji in končno boste razumeli, kako se rešujejo logaritmi. Zdaj ostane le še združiti oba obravnavana koncepta. Na začetku se zdi situacija izjemno zapletena, a ob natančnejšem pregledu teža pade na svoje mesto. Prepričani smo, da po tem kratkem članku ne boste imeli težav pri tem delu enotnega državnega izpita.

Danes obstaja veliko načinov za rešitev takšnih struktur. Povedali vam bomo o najpreprostejših, najučinkovitejših in najbolj uporabnih v primeru nalog enotnega državnega izpita. Reševanje logaritemskih enačb je treba začeti od samega začetka. preprost primer. Najenostavnejše logaritemske enačbe so sestavljene iz funkcije in ene spremenljivke v njej.

Pomembno je vedeti, da je x znotraj argumenta. A in b morata biti številki. V tem primeru lahko preprosto izrazite funkcijo s številom na potenco. Izgleda takole.

Seveda vas bo reševanje logaritemske enačbe s to metodo pripeljalo do pravilnega odgovora. Težava velike večine študentov v tem primeru je, da ne razumejo, od kod prihaja. Posledično se morate sprijazniti z napakami in ne dobiti želenih točk. Najbolj žaljiva napaka bo, če pomešate črke. Če želite enačbo rešiti na ta način, si morate zapomniti to standardno šolsko formulo, ker jo je težko razumeti.

Da bi bilo lažje, se lahko zatečete k drugi metodi - kanonični obliki. Ideja je izjemno preprosta. Obrnite pozornost nazaj na problem. Ne pozabite, da je črka a število, ne funkcija ali spremenljivka. A ni enak ena in ni večji od nič. Za b ni nobenih omejitev. Sedaj pa si od vseh formul zapomnimo eno. B lahko izrazimo na naslednji način.

Iz tega sledi, da lahko vse izvirne enačbe z logaritmi predstavimo v obliki:

Zdaj lahko spustimo logaritme. Rezultat je preprost dizajn, ki smo ga že videli.

Priročnost te formule je, da jo je mogoče uporabiti v večini različne primere, in ne samo za najpreprostejše modele.

Ne skrbite za OOF!

Številni izkušeni matematiki bodo opazili, da domeni definicije nismo posvetili pozornosti. Pravilo se skrči na dejstvo, da je F(x) nujno večji od 0. Ne, tega nismo spregledali. Zdaj govorimo o še eni resni prednosti kanonične oblike.

Tu ne bo dodatnih korenin. Če se bo spremenljivka pojavila samo na enem mestu, potem obseg ni potreben. Izvaja se samodejno. Da preverite to sodbo, poskusite rešiti več preprostih primerov.

Kako rešiti logaritemske enačbe z različnimi bazami

To so že kompleksne logaritemske enačbe, pristop k njihovemu reševanju pa mora biti poseben. Tu se redko lahko omejimo na razvpito kanonično obliko. Začnimo našo podrobno zgodbo. Imamo naslednjo konstrukcijo.

Bodite pozorni na ulomek. Vsebuje logaritem. Če to vidite v nalogi, si je vredno zapomniti en zanimiv trik.

Kaj to pomeni? Vsak logaritem lahko predstavimo kot količnik dveh logaritmov s priročno osnovo. In ta formula ima poseben primer, kar velja za ta primer (kar pomeni, če c=b).

Točno to je frakcija, ki jo vidimo v našem primeru. torej.

V bistvu smo ulomek obrnili in dobili bolj priročen izraz. Zapomnite si ta algoritem!

Zdaj je potrebno, da logaritemska enačba ne vsebuje različnih baz. Osnovo predstavimo kot ulomek.

V matematiki obstaja pravilo, na podlagi katerega lahko iz osnove izpelješ diplomo. Naslednji rezultati gradnje.

Zdi se, kaj nam preprečuje, da bi svoj izraz zdaj spremenili v kanonično obliko in ga preprosto rešili? Ni tako preprosto. Pred logaritmom ne sme biti ulomkov. Popravimo to situacijo! Ulomke je dovoljeno uporabljati kot stopinje.

Oziroma.

Če sta osnovi enaki, lahko odstranimo logaritme in enačimo same izraze. Tako bo situacija postala veliko enostavnejša, kot je bila. Ostala bo elementarna enačba, ki jo je vsak izmed nas znal rešiti že v 8. ali celo 7. razredu. Izračune lahko naredite sami.

Dobili smo edini pravilni koren te logaritemske enačbe. Primeri reševanja logaritemske enačbe so čisto preprosti, kajne? Zdaj se boste lahko sami spopadli tudi z najtežjimi težavami. kompleksne naloge za pripravo in opravljanje enotnega državnega izpita.

Kakšen je rezultat?

V primeru katere koli logaritemske enačbe izhajamo iz zelo ene pomembno pravilo. Treba je delovati tako, da pride do izraza do maksimuma preprost pogled. V tem primeru boste imeli večjo možnost, da nalogo ne le pravilno rešite, ampak jo tudi naredite na čim bolj preprost in logičen način. Točno tako matematiki vedno delajo.

Močno vam ne priporočamo, da iščete težke poti, še posebej v tem primeru. Zapomni si jih nekaj preprosta pravila, ki vam bo omogočil preoblikovanje katerega koli izraza. Na primer, zmanjšajte dva ali tri logaritme na isto osnovo ali izpeljite potenco iz osnove in na tem zmagajte.

Prav tako si velja zapomniti, da reševanje logaritemskih enačb zahteva stalno prakso. Postopoma se boste premikali k vedno več kompleksne strukture, in to vas bo vodilo do samozavestnega reševanja vseh variant problemov na Enotnem državnem izpitu. Vnaprej se pripravite na izpite in srečno!