Ang pamamaraang Gaussian ay Baliktarin ang pamamaraan ng Gauss
Dito maaari mong lutasin ang isang sistema ng mga linear equation nang libre Gauss na pamamaraan online malalaking sukat sa mga kumplikadong numero na may napakadetalyadong solusyon. Ang aming calculator ay maaaring malutas online pareho ang karaniwang tiyak at hindi tiyak na sistema ng mga linear equation gamit ang Gaussian method, na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, sa sagot makakatanggap ka ng pagtitiwala ng ilang mga variable sa pamamagitan ng iba, libre. Maaari mo ring suriin ang sistema ng mga equation para sa compatibility online gamit ang Gaussian solution.
Tungkol sa pamamaraan
Kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation online na pamamaraan Ginagawa ni Gauss ang mga sumusunod na hakbang.
- Sinusulat namin ang augmented matrix.
- Sa katunayan, ang solusyon ay nahahati sa pasulong at paatras na mga hakbang ng pamamaraang Gaussian. Ang direktang paglipat ng pamamaraang Gauss ay tinatawag na pagbabawas ng matrix sa isang stepped form. Ang reverse move ng Gauss method ay ang pagbabawas ng isang matrix sa isang espesyal na stepped form. Ngunit sa pagsasagawa, mas maginhawang agad na i-zero out kung ano ang nasa itaas at ibaba ng elementong pinag-uusapan. Eksaktong ginagamit ng aming calculator ang diskarteng ito.
- Mahalagang tandaan na kapag nilulutas sa pamamaraang Gauss, ang presensya sa matrix ng hindi bababa sa isang zero row na may nonzero kanang bahagi(column ng mga libreng miyembro) ay nagpapahiwatig ng hindi pagkakatugma ng system. Solusyon linear na sistema sa kasong ito ay hindi umiiral.
Upang mas maunawaan kung paano gumagana ang Gaussian algorithm online, maglagay ng anumang halimbawa, piliin ang "napaka detalyadong solusyon at hanapin ang kanyang solusyon online.
1. Sistema ng mga linear algebraic equation
1.1 Ang konsepto ng isang sistema ng mga linear algebraic equation
Ang isang sistema ng mga equation ay isang kondisyon na binubuo ng sabay-sabay na pagpapatupad ng ilang mga equation sa ilang mga variable. Ang isang sistema ng mga linear algebraic equation (mula rito ay tinutukoy bilang SLAE) na naglalaman ng mga m equation at n hindi alam ay isang sistema ng anyo:
kung saan ang mga numero a ij ay tinatawag na mga coefficient ng system, ang mga numero b i ay mga libreng miyembro, aij At b i(i=1,…, m; b=1,…, n) ay ilang kilalang numero, at x 1 ,…, x n- hindi kilala. Sa notasyon ng mga coefficient aij ang unang index i ay tumutukoy sa bilang ng equation, at ang pangalawang index j ay ang bilang ng hindi alam kung saan nakatayo ang koepisyent na ito. Napapailalim sa paghahanap ng numero x n . Maginhawang isulat ang gayong sistema sa isang compact na form ng matrix: AX=B. Narito ang A ay ang matrix ng mga coefficient ng system, na tinatawag na pangunahing matrix;
ay isang column vector ng hindi kilalang xj. ay isang column vector ng mga libreng miyembro na bi.
Ang produkto ng mga matrice A * X ay tinukoy, dahil mayroong maraming mga haligi sa matrix A bilang may mga hilera sa matrix X (n piraso).
Ang pinalawig na matrix ng system ay ang matrix A ng system, na pupunan ng isang column ng mga libreng termino
1.2 Solusyon ng isang sistema ng mga linear algebraic equation
Ang solusyon ng isang sistema ng mga equation ay isang nakaayos na hanay ng mga numero (mga halaga ng mga variable), kapag pinapalitan ang mga ito sa halip na mga variable, ang bawat isa sa mga equation ng system ay nagiging isang tunay na pagkakapantay-pantay.
Ang solusyon ng system ay n mga halaga ng hindi alam na x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, na pinapalitan kung saan ang lahat ng mga equation ng system ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay. Ang anumang solusyon ng system ay maaaring isulat bilang isang matrix-column
Ang isang sistema ng mga equation ay tinatawag na pare-pareho kung mayroon itong hindi bababa sa isang solusyon, at hindi pare-pareho kung wala itong mga solusyon.
Ang magkasanib na sistema ay tinatawag na tiyak kung mayroon itong natatanging solusyon, at hindi tiyak kung mayroon itong higit sa isang solusyon. Sa huling kaso, ang bawat isa sa mga solusyon nito ay tinatawag na isang partikular na solusyon ng system. Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon ay tinatawag na pangkalahatang solusyon.
Upang malutas ang isang sistema ay nangangahulugan na malaman kung ito ay pare-pareho o hindi pare-pareho. Kung tugma ang system, hanapin ang pangkalahatang solusyon nito.
Dalawang sistema ay tinatawag na katumbas (katumbas) kung mayroon silang parehong pangkalahatang solusyon. Sa madaling salita, ang mga sistema ay katumbas kung ang bawat solusyon sa isa sa mga ito ay solusyon sa isa pa, at kabaliktaran.
Isang pagbabagong-anyo, ang aplikasyon nito ay nagiging sistema bagong sistema, katumbas ng orihinal, ay tinatawag na katumbas o katumbas na pagbabago. Ang mga sumusunod na pagbabagong-anyo ay maaaring magsilbi bilang mga halimbawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo: pagpapalit ng dalawang equation ng system, pagpapalit ng dalawang hindi alam kasama ng mga coefficient ng lahat ng equation, pagpaparami ng parehong bahagi ng anumang equation ng system sa isang non-zero na numero.
Ang isang sistema ng mga linear na equation ay tinatawag na homogenous kung ang lahat ng mga libreng termino ay katumbas ng zero:
Ang isang homogenous na sistema ay palaging pare-pareho, dahil ang x1=x2=x3=…=xn=0 ay isang solusyon sa system. Ang solusyon na ito ay tinatawag na null o trivial.
2. Paraan ng pag-aalis ng Gaussian
2.1 Ang kakanyahan ng paraan ng pag-aalis ng Gaussian
Ang klasikal na pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng linear algebraic equation ay ang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam - Pamamaraan ng Gauss(Tinatawag din itong Gaussian elimination method). Ito ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga variable, kapag, sa tulong ng mga elementarya na pagbabago, ang isang sistema ng mga equation ay nabawasan sa isang katumbas na sistema ng isang stepped (o triangular) na anyo, kung saan ang lahat ng iba pang mga variable ay matatagpuan nang sunud-sunod, simula sa huling (ayon sa bilang) mga variable.
Ang proseso ng solusyon sa Gaussian ay binubuo ng dalawang yugto: pasulong at paatras na paggalaw.
1. Direktang galaw.
Sa unang yugto, ang tinatawag na direktang paglipat ay isinasagawa, kapag, sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago sa mga hilera, ang sistema ay dinadala sa isang hakbang-hakbang o hugis tatsulok, o itatag na ang sistema ay hindi naaayon. Ibig sabihin, kabilang sa mga elemento ng unang hanay ng matrix, isang nonzero ang pipiliin, inilipat ito sa pinakamataas na posisyon sa pamamagitan ng pag-permute ng mga hilera, at ang unang hilera na nakuha pagkatapos ng permutasyon ay ibabawas mula sa natitirang mga hilera, na pinarami ito ng isang halaga na katumbas ng ratio ng unang elemento ng bawat isa sa mga hilera na ito sa unang elemento ng unang hilera, sa gayon ay zeroing ang column sa ibaba nito.
Matapos magawa ang mga ipinahiwatig na pagbabago, ang unang hilera at ang unang hanay ay itatawid sa isip at magpapatuloy hanggang sa mananatili ang isang zero-size na matrix. Kung sa ilan sa mga pag-ulit sa mga elemento ng unang hanay ay hindi natagpuan ang isang di-zero, pagkatapos ay pumunta sa susunod na hanay at magsagawa ng katulad na operasyon.
Sa unang yugto (pasulong na pagtakbo), ang sistema ay nabawasan sa isang stepped (sa partikular, triangular) na anyo.
Ang sistema sa ibaba ay hakbang-hakbang:
,
Ang mga coefficients aii ay tinatawag na pangunahing (nangungunang) elemento ng system.
(kung a11=0, muling ayusin ang mga hilera ng matrix upang a 11 ay hindi katumbas ng 0. Ito ay palaging posible, dahil kung hindi ang matrix ay naglalaman ng isang zero na haligi, ang determinant nito ay katumbas ng zero at ang sistema ay hindi pare-pareho).Binabago namin ang system sa pamamagitan ng pag-aalis ng hindi kilalang x1 sa lahat ng equation maliban sa una (gamit ang elementarya na pagbabago ng system). Upang gawin ito, i-multiply ang magkabilang panig ng unang equation sa pamamagitan ng
at magdagdag ng termino sa pamamagitan ng termino sa pangalawang equation ng system (o mula sa pangalawang equation ay ibawas natin ang termino sa pamamagitan ng term ang unang pinarami ng ). Pagkatapos ay i-multiply natin ang parehong bahagi ng unang equation sa at idagdag ito sa ikatlong equation ng system (o ibawas ang unang pinarami ng ikatlong termino sa termino). Kaya, sunud-sunod naming pinarami ang unang hilera sa isang numero at idinagdag sa i-ika-linya, para sa i= 2, 3, …,n.Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, nakukuha namin ang katumbas na sistema:
– mga bagong halaga ng mga coefficient para sa mga hindi alam at libreng termino sa huling m-1 equation ng system, na tinutukoy ng mga formula: Kaya, sa unang hakbang, ang lahat ng mga coefficient sa ilalim ng unang nangungunang elemento a 11 ay nawasak
0, sinisira ng pangalawang hakbang ang mga elemento sa ilalim ng pangalawang nangungunang elemento a 22 (1) (kung isang 22 (1) 0), at iba pa. Sa pagpapatuloy ng prosesong ito, sa wakas ay babawasan natin ang orihinal na sistema sa isang triangular na sistema sa (m-1) na hakbang.Kung, sa proseso ng pagbabawas ng system sa isang stepwise form, lilitaw ang mga zero equation, i.e. equalities ng form 0=0, itinatapon ang mga ito. Kung mayroong isang equation ng form
Ipinapahiwatig nito ang hindi pagkakatugma ng system. Kinukumpleto nito ang direktang kurso ng pamamaraang Gauss.
2. Baliktarin ang paggalaw.
Sa ikalawang yugto, ang tinatawag na reverse move ay isinasagawa, ang kakanyahan nito ay upang ipahayag ang lahat ng mga nagresultang pangunahing mga variable sa mga tuntunin ng mga di-basic at bumuo ng isang pangunahing sistema ng mga solusyon, o, kung ang lahat ng mga variable ay basic, pagkatapos ay ipahayag sa numero ang tanging solusyon ng sistema ng mga linear na equation.
Ang pamamaraang ito ay nagsisimula sa huling equation, kung saan ang kaukulang pangunahing variable ay ipinahayag (ito ay isa lamang sa loob nito) at pinapalitan sa mga nakaraang equation, at iba pa, na umaakyat sa "mga hakbang" sa itaas.
Ang bawat linya ay tumutugma sa eksaktong isang pangunahing variable, kaya sa bawat hakbang, maliban sa huli (pinakamataas), eksaktong inuulit ng sitwasyon ang kaso ng huling linya.
Tandaan: sa pagsasagawa, mas maginhawang magtrabaho hindi sa system, ngunit kasama ang pinahabang matrix nito, na gumaganap ng lahat ng elementarya na pagbabago sa mga hilera nito. Maginhawa na ang coefficient a11 ay katumbas ng 1 (muling ayusin ang mga equation, o hatiin ang magkabilang panig ng equation sa a11).
2.2 Mga halimbawa ng paglutas ng SLAE sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss
Sa seksyong ito, tatlo iba't ibang halimbawa Ipakita natin kung paano malulutas ang SLAE sa pamamaraang Gauss.
Halimbawa 1. Lutasin ang SLAE ng 3rd order.
Itakda ang mga coefficient sa zero sa
sa pangalawa at pangatlong linya. Upang gawin ito, i-multiply ang mga ito sa 2/3 at 1, ayon sa pagkakabanggit, at idagdag ang mga ito sa unang linya:
Hayaang magbigay ng isang sistema ng mga linear algebraic equation, na dapat lutasin (hanapin ang mga halaga ng mga hindi alam na хi na nagiging equation ng system sa isang pagkakapantay-pantay).
Alam namin na ang isang sistema ng mga linear algebraic equation ay maaaring:
1) Walang mga solusyon (maging hindi magkatugma).
2) Magkaroon ng walang katapusang maraming solusyon.
3) Magkaroon ng natatanging solusyon.
Tulad ng naaalala natin, ang panuntunan ni Cramer at pamamaraan ng matrix ay hindi angkop sa mga kaso kung saan ang sistema ay may walang katapusang maraming solusyon o hindi pare-pareho. Pamamaraan ng Gauss – ang pinakamakapangyarihan at maraming nalalaman na tool para sa paghahanap ng mga solusyon sa anumang sistema ng mga linear equation, alin sa bawat kaso humantong kami sa sagot! Ang algorithm ng pamamaraan sa lahat ng tatlong mga kaso ay gumagana sa parehong paraan. Kung ang mga pamamaraan ng Cramer at matrix ay nangangailangan ng kaalaman sa mga determinant, kung gayon ang aplikasyon ng pamamaraang Gauss ay nangangailangan ng kaalaman lamang sa mga operasyong aritmetika, na ginagawang naa-access kahit na sa mga mag-aaral sa elementarya.
Pinahabang pagbabago ng matrix ( ito ang matrix ng system - isang matrix na binubuo lamang ng mga coefficient ng mga hindi alam, kasama ang isang column ng mga libreng termino) mga sistema ng linear algebraic equation sa Gauss method:
1) Sa troky matrice Pwede muling ayusin mga lugar.
2) kung ang matrix ay may (o may) proporsyonal (bilang espesyal na kaso ay pareho) mga string, pagkatapos ay sumusunod tanggalin mula sa matrix, lahat ng mga row na ito maliban sa isa.
3) kung ang isang zero na hilera ay lumitaw sa matrix sa panahon ng mga pagbabagong-anyo, pagkatapos ay sumusunod din ito tanggalin.
4) ang hilera ng matrix ay maaaring multiply (divide) sa anumang numero maliban sa zero.
5) sa hilera ng matrix, maaari mong magdagdag ng isa pang string na pinarami ng isang numero, iba sa zero.
Sa pamamaraang Gauss, hindi binabago ng mga pagbabagong elementarya ang solusyon ng sistema ng mga equation.
Ang pamamaraang Gauss ay binubuo ng dalawang yugto:
- "Direct move" - gamit ang elementary transformations, dalhin ang extended matrix ng system ng linear algebraic equation sa isang "triangular" stepped form: ang mga elemento ng extended matrix na matatagpuan sa ibaba ng pangunahing diagonal ay katumbas ng zero (top-down na paglipat ). Halimbawa, sa ganitong uri:
Upang gawin ito, gawin ang mga sumusunod na hakbang:
1) Isaalang-alang natin ang unang equation ng isang sistema ng linear algebraic equation at ang coefficient sa x 1 ay katumbas ng K. Ang pangalawa, pangatlo, atbp. binabago namin ang mga equation bilang mga sumusunod: hinahati namin ang bawat equation (coefficients para sa mga hindi alam, kabilang ang mga libreng termino) sa pamamagitan ng coefficient para sa hindi kilalang x 1, na nasa bawat equation, at i-multiply sa K. Pagkatapos nito, ibawas ang una mula sa pangalawang equation ( coefficients para sa mga hindi alam at libreng termino). Nakukuha natin sa x 1 sa pangalawang equation ang coefficient 0. Mula sa ikatlong transformed equation ay ibawas natin ang unang equation, kaya hanggang sa lahat ng equation maliban sa una, na may hindi kilalang x 1, ay hindi magkakaroon ng coefficient 0.
2) Lumipat sa susunod na equation. Hayaang ito ang pangalawang equation at ang koepisyent sa x 2 ay katumbas ng M. Sa lahat ng "subordinate" na equation, magpapatuloy tayo gaya ng inilarawan sa itaas. Kaya, "sa ilalim" ng hindi kilalang x 2 sa lahat ng mga equation ay magiging mga zero.
3) Dumaan kami sa susunod na equation at iba pa hanggang sa mananatili ang isang huling hindi alam at binagong libreng termino.
- Ang "reverse move" ng Gauss method ay upang makakuha ng solusyon sa isang sistema ng linear algebraic equation (ang "bottom-up" move). Mula sa huling "mas mababang" equation makakakuha tayo ng isang unang solusyon - ang hindi kilalang x n. Upang gawin ito, lutasin namin ang elementary equation A * x n \u003d B. Sa halimbawa sa itaas, x 3 \u003d 4. Pinapalitan namin ang nahanap na halaga sa "itaas" na susunod na equation at lutasin ito na may paggalang sa susunod na hindi alam. Halimbawa, x 2 - 4 \u003d 1, i.e. x 2 \u003d 5. At iba pa hanggang sa mahanap namin ang lahat ng hindi alam.
Halimbawa.
Niresolba namin ang sistema ng mga linear na equation gamit ang Gauss method, gaya ng payo ng ilang may-akda:
Isinulat namin ang pinahabang matrix ng system at, gamit ang mga elementarya na pagbabago, dalhin ito sa isang hakbang na form:
Tinitingnan namin ang itaas na kaliwang "hakbang". Doon tayo dapat magkaroon ng unit. Ang problema ay walang sinuman sa unang hanay, kaya walang malulutas sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga hilera. Sa ganitong mga kaso, dapat ayusin ang yunit gamit ang elementarya na pagbabago. Ito ay karaniwang maaaring gawin sa maraming paraan. Gawin natin ito ng ganito:
1 hakbang
. Sa unang linya idinagdag namin ang pangalawang linya, na pinarami ng -1. Iyon ay, pinarami namin sa isip ang pangalawang linya sa -1 at isinagawa ang pagdaragdag ng una at pangalawang linya, habang ang pangalawang linya ay hindi nagbago.
Ngayon sa itaas na kaliwang "minus one", na ganap na nababagay sa amin. Ang sinumang gustong makakuha ng +1 ay maaaring magsagawa ng karagdagang pagkilos: i-multiply ang unang linya sa -1 (palitan ang sign nito).
2 hakbang . Ang unang linya na pinarami ng 5 ay idinagdag sa pangalawang linya. Ang unang linya na pinarami ng 3 ay idinagdag sa ikatlong linya.
3 hakbang . Ang unang linya ay pinarami ng -1, sa prinsipyo, ito ay para sa kagandahan. Ang tanda ng ikatlong linya ay binago din at inilipat sa pangalawang lugar, kaya, sa pangalawang "hakbang, mayroon kaming nais na yunit.
4 na hakbang . Sa ikatlong linya, idagdag ang pangalawang linya, na pinarami ng 2.
5 hakbang . Ang ikatlong linya ay nahahati sa 3.
Ang isang palatandaan na nagpapahiwatig ng isang error sa mga kalkulasyon (mas madalas na isang typo) ay isang "masamang" ilalim na linya. Iyon ay, kung nakakuha tayo ng isang bagay tulad ng (0 0 11 |23) sa ibaba, at, nang naaayon, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, pagkatapos ay may malaking bahagi probabilidad, ito ay maaaring argued na ang isang error ay ginawa sa kurso ng elementarya pagbabagong-anyo.
Nagsasagawa kami ng reverse move, sa disenyo ng mga halimbawa, ang system mismo ay madalas na hindi muling isinulat, at ang mga equation ay "direktang kinuha mula sa ibinigay na matrix". Ang reverse move, ipinaalala ko sa iyo, ay gumagana "mula sa ibaba pataas." Sa halimbawang ito, lumabas ang regalo:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, samakatuwid x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d -1
Sagot:x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Lutasin natin ang parehong sistema gamit ang iminungkahing algorithm. Nakukuha namin
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Hatiin ang pangalawang equation sa pamamagitan ng 5 at ang pangatlo sa pamamagitan ng 3. Nakukuha namin ang:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
I-multiply ang pangalawa at pangatlong equation sa pamamagitan ng 4, nakukuha natin ang:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Ibawas ang unang equation mula sa pangalawa at pangatlong equation, mayroon tayong:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Hatiin ang ikatlong equation sa pamamagitan ng 0.64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
I-multiply ang ikatlong equation sa 0.4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Ibawas ang pangalawang equation mula sa ikatlong equation, makuha natin ang "stepped" augmented matrix:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Kaya, dahil ang isang error ay naipon sa proseso ng mga kalkulasyon, nakakakuha kami ng x 3 \u003d 0.96, o humigit-kumulang 1.
x 2 \u003d 3 at x 1 \u003d -1.
Ang paglutas sa ganitong paraan, hindi ka malito sa mga kalkulasyon at, sa kabila ng mga pagkakamali sa pagkalkula, makukuha mo ang resulta.
Ang pamamaraang ito ng paglutas ng isang sistema ng mga linear algebraic equation ay madaling i-program at hindi isinasaalang-alang tiyak na mga tampok coefficients para sa mga hindi alam, dahil sa pagsasanay (sa pang-ekonomiya at teknikal na mga kalkulasyon) ang isa ay kailangang harapin ang mga non-integer coefficient.
Nais kong tagumpay ka! Sa muling pagkikita sa klase! Tutor Dmitry Aistrakhanov.
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.
Sa artikulong ito, ang pamamaraan ay itinuturing bilang isang paraan upang malutas ang mga sistema ng linear equation (SLAE). Ang pamamaraan ay analytical, iyon ay, pinapayagan ka nitong magsulat ng isang algorithm ng solusyon pangkalahatang pananaw, at pagkatapos ay palitan ang mga halaga mula sa mga partikular na halimbawa doon. Hindi tulad ng pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, kapag nilulutas ang isang sistema ng mga linear na equation gamit ang pamamaraang Gauss, maaari ka ring makipagtulungan sa mga may walang katapusang maraming solusyon. O wala sila nito.
Ano ang ibig sabihin ng Gauss?
Una kailangan mong isulat ang aming sistema ng mga equation sa Mukhang ganito. Ang sistema ay kinuha:
Ang mga coefficient ay nakasulat sa anyo ng isang talahanayan, at sa kanan sa isang hiwalay na hanay - mga libreng miyembro. Ang column na may mga libreng miyembro ay pinaghihiwalay para sa kaginhawahan. Ang matrix na kinabibilangan ng column na ito ay tinatawag na extended.
Dagdag pa, ang pangunahing matrix na may mga coefficient ay dapat na bawasan sa itaas na hugis-triangular na hugis. Ito ang pangunahing punto ng paglutas ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss. Sa madaling salita, pagkatapos ng ilang mga manipulasyon, ang matrix ay dapat magmukhang ganito, upang mayroon lamang mga zero sa ibabang kaliwang bahagi nito:
Pagkatapos, kung isusulat mo muli ang bagong matrix bilang isang sistema ng mga equation, mapapansin mo na ang huling hilera ay naglalaman na ng halaga ng isa sa mga ugat, na pagkatapos ay pinapalitan sa equation sa itaas, isa pang ugat ang matatagpuan, at iba pa.
Ang paglalarawang ito ng solusyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss sa karamihan sa mga pangkalahatang tuntunin. At ano ang mangyayari kung biglang walang solusyon ang sistema? O mayroon bang walang katapusang bilang ng mga ito? Upang masagot ang mga ito at marami pang mga katanungan, kinakailangang isaalang-alang nang hiwalay ang lahat ng mga elementong ginamit sa solusyon ng pamamaraang Gauss.
Matrices, ang kanilang mga katangian
Walang nakatagong kahulugan sa matris. Simple lang maginhawang paraan pagtatala ng data para sa mga kasunod na operasyon sa kanila. Kahit na ang mga mag-aaral ay hindi dapat matakot sa kanila.
Ang matrix ay palaging hugis-parihaba, dahil ito ay mas maginhawa. Kahit na sa paraan ng Gauss, kung saan ang lahat ay bumababa sa pagbuo ng isang tatsulok na matrix, isang parihaba ang lilitaw sa entry, na may mga zero lamang sa lugar kung saan walang mga numero. Maaaring tanggalin ang mga zero, ngunit ipinahiwatig ang mga ito.
Ang matrix ay may sukat. Ang "lapad" nito ay ang bilang ng mga hilera (m), ang "haba" nito ay ang bilang ng mga hanay (n). Pagkatapos ay ang laki ng matrix A (kadalasang ginagamit ang malalaking letrang Latin para sa kanilang pagtatalaga) ay ilalarawan bilang A m×n . Kung m=n, kung gayon ang matrix na ito ay parisukat, at m=n ang pagkakasunud-sunod nito. Alinsunod dito, ang anumang elemento ng matrix A ay maaaring tukuyin ng bilang ng row at column nito: a xy ; x - row number, pagbabago , y - column number, pagbabago .
Ang B ay hindi ang pangunahing punto ng solusyon. Sa prinsipyo, ang lahat ng mga operasyon ay maaaring isagawa nang direkta sa mga equation mismo, ngunit ang notasyon ay magiging mas masalimuot, at magiging mas madaling malito dito.
Determinant
Ang matrix ay mayroon ding determinant. Ito ay lubhang mahalagang katangian. Ang paghahanap ng kahulugan nito ngayon ay hindi katumbas ng halaga, maaari mo lamang ipakita kung paano ito kinakalkula, at pagkatapos ay sabihin kung anong mga katangian ng matrix ang tinutukoy nito. Ang pinakamadaling paraan upang mahanap ang determinant ay sa pamamagitan ng mga diagonal. Ang mga haka-haka na diagonal ay iginuhit sa matris; ang mga elemento na matatagpuan sa bawat isa sa kanila ay pinarami, at pagkatapos ay idinagdag ang mga nagresultang produkto: mga diagonal na may slope sa kanan - na may "plus" sign, na may slope sa kaliwa - na may "minus" sign.
Napakahalagang tandaan na ang determinant ay maaari lamang kalkulahin para sa isang square matrix. Para sa isang parihabang matrix, magagawa mo ang sumusunod: piliin ang pinakamaliit sa bilang ng mga row at ang bilang ng mga column (hayaan itong k), at pagkatapos ay random na markahan ang k column at k row sa matrix. Ang mga elementong matatagpuan sa intersection ng mga napiling column at row ay bubuo ng bagong square matrix. Kung ang determinant ng naturang matrix ay isang numero maliban sa zero, kung gayon ito ay tinatawag na batayang minor ng orihinal na hugis-parihaba na matrix.
Bago magpatuloy sa solusyon ng sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss, hindi masakit na kalkulahin ang determinant. Kung ito ay naging zero, pagkatapos ay maaari nating agad na sabihin na ang matrix ay may alinman sa isang walang katapusang bilang ng mga solusyon, o wala sa lahat. Sa ganitong malungkot na kaso, kailangan mong pumunta pa at alamin ang tungkol sa ranggo ng matrix.
Pag-uuri ng system
Mayroong isang bagay bilang ranggo ng isang matrix. Ito ang pinakamataas na pagkakasunud-sunod ng non-zero determinant nito (pag-alala sa batayang menor, maaari nating sabihin na ang ranggo ng isang matrix ay ang pagkakasunud-sunod ng batayang menor).
Ayon sa kung paano ang mga bagay ay may ranggo, ang SLAE ay maaaring hatiin sa:
- Pinagsama. Sa ng magkasanib na mga sistema, ang ranggo ng pangunahing matrix (na binubuo lamang ng mga coefficient) ay tumutugma sa ranggo ng pinalawig (na may isang haligi ng mga libreng miyembro). Ang ganitong mga sistema ay may isang solusyon, ngunit hindi kinakailangan isa, samakatuwid, ang magkasanib na mga sistema ay karagdagang nahahati sa:
- - tiyak- pagkakaroon ng natatanging solusyon. Sa ilang mga sistema, ang ranggo ng matrix at ang bilang ng mga hindi alam (o ang bilang ng mga haligi, na parehong bagay) ay pantay;
- - walang katiyakan - na may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Ang ranggo ng mga matrice para sa mga naturang sistema ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga hindi alam.
- Hindi magkatugma. Sa tulad ng mga sistema, ang mga ranggo ng pangunahing at pinalawig na matrice ay hindi nag-tutugma. Ang mga hindi katugmang sistema ay walang solusyon.
Ang pamamaraan ng Gauss ay mabuti dahil pinapayagan nito ang isa na makakuha ng alinman sa isang hindi malabo na patunay ng hindi pagkakapare-pareho ng system (nang hindi kinakalkula ang mga determinant ng malalaking matrice) o isang pangkalahatang solusyon para sa isang sistema na may walang katapusang bilang ng mga solusyon sa panahon ng solusyon.
Mga pagbabago sa elementarya
Bago magpatuloy nang direkta sa solusyon ng system, posible na gawin itong mas mahirap at mas maginhawa para sa mga kalkulasyon. Ito ay nakakamit sa pamamagitan ng elementarya na pagbabago - na ang kanilang pagpapatupad ay hindi nagbabago sa panghuling sagot sa anumang paraan. Dapat pansinin na ang ilan sa mga pagbabagong elementarya sa itaas ay may bisa lamang para sa mga matrice, ang pinagmulan nito ay ang SLAE. Narito ang isang listahan ng mga pagbabagong ito:
- String permutation. Malinaw na kung babaguhin natin ang pagkakasunud-sunod ng mga equation sa talaan ng system, hindi ito makakaapekto sa solusyon sa anumang paraan. Dahil dito, posible ring magpalitan ng mga hilera sa matrix ng sistemang ito, hindi nalilimutan, siyempre, ang tungkol sa hanay ng mga libreng miyembro.
- Pagpaparami ng lahat ng elemento ng isang string sa pamamagitan ng ilang kadahilanan. Napakalaking tulong! Maaari itong gamitin upang paikliin malalaking numero sa matrix o alisin ang mga zero. Ang hanay ng mga solusyon, gaya ng dati, ay hindi magbabago, at magiging mas maginhawang magsagawa ng karagdagang mga operasyon. Ang pangunahing bagay ay ang koepisyent ay hindi katumbas ng zero.
- Tanggalin ang mga row na may proportional coefficient. Ito ay bahagyang sumusunod mula sa nakaraang talata. Kung ang dalawa o higit pang mga hilera sa matrix ay may mga proporsyonal na koepisyent, kung gayon kapag ang pag-multiply / paghahati ng isa sa mga hilera sa pamamagitan ng koepisyent ng proporsyonalidad, dalawa (o, muli, higit pa) ganap na magkaparehong mga hilera ay nakuha, at maaari mong alisin ang mga dagdag, iiwan lamang isa.
- Tinatanggal ang null line. Kung sa kurso ng mga pagbabagong-anyo ang isang string ay nakuha sa isang lugar kung saan ang lahat ng mga elemento, kabilang ang libreng miyembro, ay zero, kung gayon ang naturang string ay maaaring tawaging zero at itinapon sa labas ng matrix.
- Pagdaragdag sa mga elemento ng isang hilera ng mga elemento ng isa pa (sa kaukulang mga haligi), na pinarami ng isang tiyak na koepisyent. Ang pinaka malabo at pinakamahalagang pagbabago sa lahat. Ito ay nagkakahalaga ng pag-iisip tungkol dito nang mas detalyado.
Pagdaragdag ng isang string na pinarami ng isang kadahilanan
Para sa kadalian ng pag-unawa, sulit na i-disassembling ang prosesong ito nang sunud-sunod. Dalawang hilera ang kinuha mula sa matrix:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
isang 21 isang 22 ... isang 2n | b 2
Ipagpalagay na kailangan mong idagdag ang una sa pangalawa, na pinarami ng koepisyent na "-2".
a" 21 \u003d a 21 + -2 × a 11
a" 22 \u003d a 22 + -2 × a 12
a" 2n \u003d a 2n + -2 × a 1n
Pagkatapos sa matrix ang pangalawang hilera ay pinalitan ng bago, at ang una ay nananatiling hindi nagbabago.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Dapat tandaan na ang multiplication factor ay maaaring mapili sa paraang, bilang resulta ng pagdaragdag ng dalawang string, ang isa sa mga elemento ng bagong string ay katumbas ng zero. Samakatuwid, posibleng makakuha ng equation sa system, kung saan magkakaroon ng hindi gaanong kilala. At kung nakakuha ka ng dalawang tulad na mga equation, pagkatapos ay ang operasyon ay maaaring gawin muli at makakuha ng isang equation na naglalaman na ng dalawang mas kaunting hindi alam. At kung sa bawat oras na magiging zero ang isang koepisyent para sa lahat ng mga hilera na mas mababa kaysa sa orihinal, maaari tayong, tulad ng mga hakbang, bumaba sa pinakailalim ng matrix at makakuha ng isang equation na may isang hindi alam. Ito ay tinatawag na paglutas ng sistema gamit ang Gaussian method.
Sa pangkalahatan
Magkaroon ng sistema. Mayroon itong m equation at n hindi kilalang ugat. Maaari mong isulat ito tulad nito:
Ang pangunahing matrix ay pinagsama-sama mula sa mga coefficient ng system. Ang isang column ng mga libreng miyembro ay idinagdag sa pinalawig na matrix at pinaghihiwalay ng isang bar para sa kaginhawahan.
- ang unang hilera ng matrix ay pinarami ng koepisyent k = (-a 21 / a 11);
- ang unang binagong hilera at ang pangalawang hilera ng matris ay idinagdag;
- sa halip na ang pangalawang hilera, ang resulta ng karagdagan mula sa nakaraang talata ay ipinasok sa matrix;
- ngayon ang unang koepisyent sa bagong pangalawang hilera ay isang 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Ngayon ang parehong serye ng mga pagbabagong-anyo ay ginaganap, ang una at ikatlong mga hanay lamang ang kasangkot. Alinsunod dito, sa bawat hakbang ng algorithm, ang elementong a 21 ay pinalitan ng isang 31 . Pagkatapos ang lahat ay paulit-ulit para sa isang 41 , ... a m1 . Ang resulta ay isang matrix kung saan ang unang elemento sa mga hilera ay katumbas ng zero. Ngayon kailangan nating kalimutan ang tungkol sa numero unong linya at isagawa ang parehong algorithm simula sa pangalawang linya:
- koepisyent k \u003d (-a 32 / a 22);
- ang pangalawang binagong linya ay idinagdag sa "kasalukuyang" linya;
- ang resulta ng karagdagan ay pinapalitan sa ikatlo, ikaapat, at iba pa na mga linya, habang ang una at pangalawa ay nananatiling hindi nagbabago;
- sa mga hilera ng matrix, ang unang dalawang elemento ay katumbas na ng zero.
Dapat na ulitin ang algorithm hanggang lumitaw ang coefficient k = (-a m,m-1 /a mm). Nangangahulugan ito na ang huling beses na naisakatuparan ang algorithm ay para lamang sa mas mababang equation. Ngayon ang matrix ay mukhang isang tatsulok, o may isang stepped na hugis. Ang ilalim na linya ay naglalaman ng pagkakapantay-pantay a mn × x n = b m . Ang koepisyent at libreng termino ay kilala, at ang ugat ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga ito: x n = b m /a mn. Ang resultang ugat ay pinapalitan sa itaas na hilera upang mahanap ang x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . At iba pa sa pamamagitan ng pagkakatulad: sa bawat susunod na linya mayroong isang bagong ugat, at, na naabot ang "tuktok" ng system, maaari kang makahanap ng maraming mga solusyon. Ito ay magiging isa lamang.
Kapag walang solusyon
Kung sa isa sa mga hilera ng matrix ang lahat ng mga elemento, maliban sa libreng termino, ay katumbas ng zero, kung gayon ang equation na naaayon sa hilera na ito ay mukhang 0 = b. Wala itong solusyon. At dahil ang naturang equation ay kasama sa system, kung gayon ang hanay ng mga solusyon ng buong sistema ay walang laman, iyon ay, ito ay degenerate.
Kapag mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon
Maaaring lumabas na sa pinababang triangular matrix ay walang mga hilera na may isang elemento-ang koepisyent ng equation, at isa - isang libreng miyembro. Mayroon lamang mga string na, kapag muling isinulat, ay magmumukhang isang equation na may dalawa o higit pang mga variable. Nangangahulugan ito na ang sistema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon. Sa kasong ito, ang sagot ay maaaring ibigay sa anyo ng isang pangkalahatang solusyon. Paano ito gagawin?
Ang lahat ng mga variable sa matrix ay nahahati sa basic at libre. Basic - ito ang mga nakatayo "sa gilid" ng mga hilera sa stepped matrix. Ang natitira ay libre. Sa pangkalahatang solusyon, ang mga pangunahing variable ay nakasulat sa mga tuntunin ng mga libre.
Para sa kaginhawahan, ang matrix ay unang muling isinulat pabalik sa isang sistema ng mga equation. Pagkatapos sa huli sa kanila, kung saan eksaktong isang pangunahing variable lamang ang natitira, nananatili ito sa isang panig, at lahat ng iba pa ay inililipat sa isa pa. Ginagawa ito para sa bawat equation na may isang pangunahing variable. Pagkatapos, sa iba pang mga equation, kung posible, sa halip na ang pangunahing variable, ang expression na nakuha para dito ay pinapalitan. Kung, bilang isang resulta, muling lilitaw ang isang expression na naglalaman lamang ng isang pangunahing variable, muli itong ipinahayag mula doon, at iba pa, hanggang sa ang bawat pangunahing variable ay isulat bilang isang expression na may mga libreng variable. Ito ang pangkalahatang solusyon ng SLAE.
Maaari mo ring mahanap ang pangunahing solusyon ng system - bigyan ang mga libreng variable ng anumang mga halaga, at pagkatapos ay para sa partikular na kaso kalkulahin ang mga halaga ng mga pangunahing variable. Mayroong walang katapusang maraming partikular na solusyon.
Solusyon na may mga tiyak na halimbawa
Narito ang sistema ng mga equation.
Para sa kaginhawahan, mas mahusay na agad na lumikha ng matrix nito
Ito ay kilala na kapag ang paglutas sa pamamagitan ng Gauss method, ang equation na tumutugma sa unang hilera ay mananatiling hindi nagbabago sa dulo ng mga pagbabagong-anyo. Samakatuwid, ito ay magiging mas kumikita kung ang kaliwa nangungunang elemento ang matrix ang magiging pinakamaliit - pagkatapos ang mga unang elemento ng natitirang mga hilera pagkatapos ng mga operasyon ay magiging zero. Nangangahulugan ito na sa pinagsama-samang matrix ay magiging kapaki-pakinabang na ilagay ang pangalawa sa lugar ng unang hilera.
ikalawang linya: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 \u003d a 21 + k × a 11 \u003d 3 + (-3) × 1 \u003d 0
a" 22 \u003d a 22 + k × a 12 \u003d -1 + (-3) × 2 \u003d -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b "2 \u003d b 2 + k × b 1 \u003d 12 + (-3) × 12 \u003d -24
ikatlong linya: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b "3 \u003d b 3 + k × b 1 \u003d 3 + (-5) × 12 \u003d -57
Ngayon, upang hindi malito, kinakailangan na isulat ang matrix na may mga intermediate na resulta ng mga pagbabagong-anyo.
Malinaw na ang gayong matrix ay maaaring gawing mas maginhawa para sa pang-unawa sa tulong ng ilang mga operasyon. Halimbawa, maaari mong alisin ang lahat ng "minus" mula sa pangalawang linya sa pamamagitan ng pagpaparami ng bawat elemento sa "-1".
Dapat ding tandaan na sa ikatlong hilera ang lahat ng mga elemento ay multiple ng tatlo. Pagkatapos ay maaari mong paikliin ang string sa pamamagitan ng numerong ito, na i-multiply ang bawat elemento sa "-1/3" (minus - sa parehong oras, upang alisin mga negatibong halaga).
Mukhang mas maganda. Ngayon kailangan nating iwanan ang unang linya at magtrabaho kasama ang pangalawa at pangatlo. Ang gawain ay upang idagdag ang pangalawang hilera sa ikatlong hilera, na pinarami ng isang kadahilanan na ang elementong a 32 ay naging katumbas ng zero.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 karaniwang fraction, at pagkatapos lamang, kapag natanggap na ang mga sagot, magpasya kung i-round up at isasalin sa ibang anyo ng record)
a" 32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 \u003d a 33 + k × a 23 \u003d 6 + (-3/7) × 11 \u003d -9/7
b "3 \u003d b 3 + k × b 2 \u003d 19 + (-3/7) × 24 \u003d -61/7
Ang matrix ay isinulat muli na may mga bagong halaga.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Tulad ng makikita mo, ang resultang matrix ay mayroon nang stepped form. Samakatuwid, ang mga karagdagang pagbabago ng sistema sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay hindi kinakailangan. Ang maaaring gawin dito ay alisin mula sa ikatlong linya pangkalahatang ratio "-1/7".
Ngayon ang lahat ay maganda. Ang punto ay maliit - isulat muli ang matrix sa anyo ng isang sistema ng mga equation at kalkulahin ang mga ugat
x + 2y + 4z = 12(1)
7y + 11z = 24 (2)
Ang algorithm kung saan matatagpuan ang mga ugat ay tinatawag na reverse move sa Gauss method. Ang equation (3) ay naglalaman ng halaga ng z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
At ang unang equation ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4x(61/9) - 2x(-65/9) = -6/9 = -2/3
May karapatan tayong tawagan ang naturang sistemang magkasanib, at maging tiyak, iyon ay, pagkakaroon ng natatanging solusyon. Ang tugon ay nakasulat sa sumusunod na anyo:
x 1 \u003d -2/3, y \u003d -65/9, z \u003d 61/9.
Isang halimbawa ng isang hindi tiyak na sistema
Ang variant ng paglutas ng isang tiyak na sistema sa pamamagitan ng paraan ng Gauss ay nasuri, ngayon ay kinakailangan na isaalang-alang ang kaso kung ang sistema ay hindi tiyak, iyon ay, walang hanggan maraming mga solusyon ang matatagpuan para dito.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Ang mismong anyo ng system ay nakakaalarma na, dahil ang bilang ng mga hindi alam ay n = 5, at ang ranggo ng matrix ng system ay eksaktong mas mababa kaysa sa numerong ito, dahil ang bilang ng mga hilera ay m = 4, iyon ay, ang pinakamalaking pagkakasunod-sunod ng square determinant ay 4. Nangangahulugan ito na mayroong walang katapusang bilang ng mga solusyon, at kinakailangang hanapin ang pangkalahatang anyo nito. Ang paraan ng Gauss para sa mga linear na equation ay ginagawang posible na gawin ito.
Una, tulad ng dati, ang augmented matrix ay pinagsama-sama.
Pangalawang linya: koepisyent k = (-a 21 / a 11) = -3. Sa ikatlong linya, ang unang elemento ay bago ang mga pagbabagong-anyo, kaya hindi mo kailangang hawakan ang anumang bagay, kailangan mong iwanan ito bilang ito ay. Ikaapat na linya: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Ang pagpaparami ng mga elemento ng unang hilera sa bawat isa sa kanilang mga coefficient sa turn at pagdaragdag ng mga ito sa nais na mga hilera, nakakakuha kami ng isang matrix ng sumusunod na anyo:
Tulad ng nakikita mo, ang pangalawa, pangatlo at ikaapat na hanay ay binubuo ng mga elemento na proporsyonal sa bawat isa. Ang pangalawa at ikaapat ay karaniwang pareho, kaya ang isa sa mga ito ay maaaring alisin kaagad, at ang natitira ay pinarami ng koepisyent na "-1" at makakuha ng numero ng linya 3. At muli, iwanan ang isa sa dalawang magkaparehong linya.
Ito ay naging tulad ng isang matrix. Ang sistema ay hindi pa naisulat, kinakailangan dito upang matukoy ang mga pangunahing variable - nakatayo sa mga coefficient ng isang 11 \u003d 1 at isang 22 \u003d 1, at libre - lahat ng iba pa.
Ang pangalawang equation ay mayroon lamang isang pangunahing variable - x 2 . Kaya, maaari itong ipahayag mula roon, pagsulat sa pamamagitan ng mga variable x 3 , x 4 , x 5 , na libre.
Pinapalitan namin ang nagresultang expression sa unang equation.
Ito ay naging isang equation kung saan ang tanging pangunahing variable ay x 1. Gawin natin ito tulad ng sa x 2 .
Ang lahat ng mga pangunahing variable, kung saan mayroong dalawa, ay ipinahayag sa mga tuntunin ng tatlong libre, ngayon ay maaari mong isulat ang sagot sa isang pangkalahatang anyo.
Maaari mo ring tukuyin ang isa sa mga partikular na solusyon ng system. Para sa mga ganitong kaso, bilang panuntunan, ang mga zero ay pinili bilang mga halaga para sa mga libreng variable. Pagkatapos ang sagot ay:
16, 23, 0, 0, 0.
Isang halimbawa ng hindi tugmang sistema
Ang solusyon ng mga hindi pantay na sistema ng mga equation sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay ang pinakamabilis. Nagtatapos ito sa sandaling sa isa sa mga yugto ay nakuha ang isang equation na walang solusyon. Iyon ay, ang yugto na may pagkalkula ng mga ugat, na medyo mahaba at nakakapagod, ay nawawala. Ang sumusunod na sistema ay isinasaalang-alang:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Gaya ng dati, ang matrix ay pinagsama-sama:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
At ito ay nabawasan sa isang stepped form:
k 1 \u003d -2k 2 \u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Pagkatapos ng unang pagbabago, ang ikatlong linya ay naglalaman ng isang equation ng form
walang solusyon. Samakatuwid, ang sistema ay hindi pare-pareho, at ang sagot ay ang walang laman na hanay.
Mga kalamangan at kawalan ng pamamaraan
Kung pipiliin mo kung aling paraan upang malutas ang SLAE sa papel na may panulat, kung gayon ang pamamaraan na isinasaalang-alang sa artikulong ito ay mukhang pinaka-kaakit-akit. Sa elementarya na pagbabago, mas mahirap malito kaysa sa mangyayari kung kailangan mong manual na hanapin ang determinant o ilang nakakalito na inverse matrix. Gayunpaman, kung gumagamit ka ng mga programa para sa pagtatrabaho sa data ng ganitong uri, halimbawa, mga spreadsheet, lumalabas na ang mga naturang programa ay naglalaman na ng mga algorithm para sa pagkalkula ng mga pangunahing parameter ng mga matrice - determinant, menor de edad, kabaligtaran, at iba pa. At kung sigurado ka na kakalkulahin mismo ng makina ang mga halagang ito at hindi magkakamali, mas kapaki-pakinabang na gamitin ang pamamaraan ng matrix o mga formula ng Cramer, dahil ang kanilang aplikasyon ay nagsisimula at nagtatapos sa pagkalkula ng mga determinant at inverse matrice.
Aplikasyon
Dahil ang Gaussian solution ay isang algorithm, at ang matrix ay, sa katunayan, isang two-dimensional array, maaari itong magamit sa programming. Ngunit dahil inilalagay ng artikulo ang sarili bilang isang gabay "para sa mga dummies", dapat sabihin na ang pinakamadaling lugar upang ilagay ang pamamaraan ay mga spreadsheet, halimbawa, Excel. Muli, ang anumang SLAE na ipinasok sa isang talahanayan sa anyo ng isang matrix ay ituturing ng Excel bilang isang two-dimensional na array. At para sa mga operasyon sa kanila, maraming magagandang utos: karagdagan (maaari ka lamang magdagdag ng mga matrice ng parehong laki!), Pagpaparami sa isang numero, pagpaparami ng matrix (kasama rin ang ilang mga paghihigpit), paghahanap ng mga inverse at transposed matrice at, pinaka-mahalaga , pagkalkula ng determinant. Kung ang gawaing ito na nakakalipas ng oras ay pinalitan ng isang utos, mas mabilis na matukoy ang ranggo ng isang matrix at, samakatuwid, upang maitaguyod ang pagiging tugma o hindi pagkakapare-pareho nito.
Hayaang ibigay ang sistema, ∆≠0. (1)Pamamaraan ng Gauss ay isang paraan ng sunud-sunod na pag-aalis ng mga hindi alam.
Ang kakanyahan ng pamamaraang Gauss ay ang pagbabagong-anyo (1) sa isang sistema na may isang tatsulok na matrix, kung saan ang mga halaga ng lahat ng hindi alam ay pagkatapos ay sunud-sunod (reversely) nakuha. Isaalang-alang natin ang isa sa mga computational scheme. Ang circuit na ito ay tinatawag na single division circuit. Kaya tingnan natin ang diagram na ito. Hayaan ang isang 11 ≠0 (nangungunang elemento) na hatiin sa isang 11 ang unang equation. Kunin
(2)
Gamit ang equation (2), madaling ibukod ang hindi kilalang x 1 mula sa natitirang mga equation ng system (para dito, sapat na upang ibawas ang equation (2) mula sa bawat equation na preliminarily na pinarami ng kaukulang coefficient sa x 1), iyon ay , sa unang hakbang na nakuha namin
.
Sa madaling salita, sa hakbang 1, ang bawat elemento ng kasunod na mga hilera, simula sa pangalawa, ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng orihinal na elemento at ang produkto ng "projection" nito sa unang hanay at ang unang (nabagong) hilera.
Kasunod nito, iiwan ang unang equation, magsasagawa kami ng katulad na pagbabago sa natitirang mga equation ng system na nakuha sa unang hakbang: pumili kami mula sa kanila ng isang equation na may isang nangungunang elemento at ginagamit ito upang ibukod ang x 2 mula sa natitirang mga equation (hakbang 2).
Pagkatapos ng n hakbang, sa halip na (1) nakakakuha tayo ng katumbas na sistema 
(3)
Kaya, sa unang yugto, makakakuha tayo ng isang triangular na sistema (3). Ang hakbang na ito ay tinatawag na pasulong.
Sa ikalawang yugto (reverse move) ay sunud-sunod nating hinahanap mula sa (3) ang mga halaga x n , x n -1 , …, x 1 .
Tukuyin natin ang nakuhang solusyon bilang x 0 . Pagkatapos ang pagkakaiba ε=b-A x 0 ay tinatawag na residual.
Kung ε=0, kung gayon ang nahanap na solusyon x 0 ay tama.
Ang mga kalkulasyon sa pamamagitan ng pamamaraang Gauss ay isinasagawa sa dalawang yugto:
- Ang unang yugto ay tinatawag na direktang kurso ng pamamaraan. Sa unang yugto, ang orihinal na sistema ay na-convert sa isang tatsulok na anyo.
- Ang pangalawang yugto ay tinatawag na reverse. Sa ikalawang yugto, isang tatsulok na sistema na katumbas ng orihinal ay malulutas.
Sa bawat hakbang, ipinapalagay na ang nangungunang elemento ay iba sa zero. Kung hindi ito ang kaso, kung gayon ang anumang iba pang elemento ay maaaring gamitin bilang isang pinuno, na parang muling pagsasaayos ng mga equation ng system.
Layunin ng pamamaraang Gauss
Ang pamamaraang Gauss ay inilaan para sa paglutas ng mga sistema ng mga linear na equation. Tumutukoy sa mga direktang paraan ng solusyon.Mga uri ng pamamaraang Gauss
- Klasikong pamamaraan ng Gauss;
- Mga pagbabago sa pamamaraang Gauss. Ang isa sa mga pagbabago ng pamamaraang Gaussian ay ang circuit na may pagpili ng pangunahing elemento. Ang isang tampok ng pamamaraang Gauss na may pagpili ng pangunahing elemento ay tulad ng isang permutasyon ng mga equation upang sa k-th step ang nangungunang elemento ay ang pinakamalaking elemento sa k-th column.
- Paraan ng Jordan-Gauss;
Ilarawan ang pagkakaiba Paraan ng Jordan-Gauss mula sa pamamaraang Gauss sa mga halimbawa.
Halimbawa ng solusyon sa Gauss
Lutasin natin ang sistema: 
Para sa kaginhawaan ng mga kalkulasyon, pinapalitan namin ang mga linya: 
I-multiply ang 2nd row sa (2). Idagdag ang 3rd line sa 2nd 
I-multiply ang 2nd row sa (-1). Idagdag ang 2nd row sa 1st 
Mula sa unang linya ipinapahayag namin ang x 3:
Mula sa ika-2 linya ipinapahayag namin ang x 2:
Mula sa ika-3 linya ipinapahayag namin ang x 1:
Isang halimbawa ng solusyon sa pamamaraang Jordan-Gauss
Lutasin natin ang parehong SLAE gamit ang pamamaraang Jordano-Gauss. 
Sunud-sunod naming pipiliin ang elemento ng paglutas ng RE, na nasa pangunahing dayagonal ng matrix.
Ang elementong nagpapagana ay katumbas ng (1).
NE \u003d SE - (A * B) / RE
RE - elemento ng pagpapagana (1), A at B - mga elemento ng matrix na bumubuo ng isang parihaba na may mga elemento ng STE at RE.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
Ang elementong nagpapagana ay katumbas ng (3).
Sa lugar ng paglutas ng elemento, nakakakuha kami ng 1, at sa column mismo nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ng matrix, kabilang ang mga elemento ng column B, ay tinutukoy ng rectangle rule.
Upang gawin ito, pumili ng apat na numero na matatagpuan sa vertices ng rectangle at palaging isama ang nagpapagana na elemento ng RE.
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
Ang nagpapagana na elemento ay (-4).
Sa lugar ng paglutas ng elemento, nakakakuha kami ng 1, at sa column mismo nagsusulat kami ng mga zero.
Ang lahat ng iba pang elemento ng matrix, kabilang ang mga elemento ng column B, ay tinutukoy ng rectangle rule.
Upang gawin ito, pumili ng apat na numero na matatagpuan sa vertices ng rectangle at palaging isama ang nagpapagana na elemento ng RE.
Ipakita natin ang pagkalkula ng bawat elemento sa anyo ng isang talahanayan:
| x 1 | x2 | x 3 | B |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Sagot: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1