Panuntunan para sa pagpaparami ng mga simpleng fraction na may iba't ibang denominator. Pagpaparami ng mga fraction, paghahati ng mga fraction

Sa kursong middle at high school, pinag-aralan ng mga estudyante ang paksang "Fractions". Gayunpaman, ang konseptong ito ay mas malawak kaysa sa ibinigay sa proseso ng pag-aaral. Ngayon, ang konsepto ng isang fraction ay madalas na nakatagpo, at hindi lahat ay maaaring kalkulahin ang anumang expression, halimbawa, multiply fractions.

Ano ang isang fraction?

Nangyari ito sa kasaysayan na lumitaw ang mga fractional na numero dahil sa pangangailangang sukatin. Tulad ng ipinapakita ng kasanayan, madalas na may mga halimbawa para sa pagtukoy ng haba ng isang segment, ang dami ng isang parihaba na parihaba.

Sa una, ang mga mag-aaral ay ipinakilala sa naturang konsepto bilang isang pagbabahagi. Halimbawa, kung hahatiin mo ang isang pakwan sa 8 bahagi, ang bawat isa ay makakakuha ng isang-ikawalo ng isang pakwan. Ang isang bahagi ng walo ay tinatawag na bahagi.

Ang isang bahagi na katumbas ng ½ ng anumang halaga ay tinatawag na kalahati; ⅓ - pangatlo; ¼ - isang quarter. Ang mga entry tulad ng 5/8, 4/5, 2/4 ay tinatawag na mga karaniwang fraction. Ang ordinaryong fraction ay nahahati sa numerator at denominator. Sa pagitan ng mga ito ay isang fractional line, o fractional line. Ang isang fractional bar ay maaaring iguhit bilang alinman sa isang pahalang o isang slanted na linya. Sa kasong ito, ito ay kumakatawan sa tanda ng dibisyon.

Ang denominator ay kumakatawan sa kung gaano karaming pantay na pagbabahagi ng halaga, ang bagay ay nahahati sa; at ang numerator ay kung gaano karaming pantay na bahagi ang kinuha. Ang numerator ay nakasulat sa itaas ng fractional bar, ang denominator sa ibaba nito.

Ito ay pinaka-maginhawa upang ipakita ang mga ordinaryong fraction sa coordinate beam. Kung ang isang solong segment ay nahahati sa 4 na pantay na bahagi, ang bawat bahagi ay itinalaga ng isang Latin na titik, kung gayon bilang isang resulta maaari kang makakuha ng isang mahusay biswal na materyal. Kaya, ang punto A ay nagpapakita ng bahagi na katumbas ng 1/4 ng buong bahagi ng yunit, at ang punto B ay nagmamarka ng 2/8 ng segment na ito.

Mga uri ng fraction

Ang mga fraction ay karaniwan, desimal, at halo-halong mga numero. Bilang karagdagan, ang mga praksiyon ay maaaring hatiin sa wasto at hindi wasto. Ang pag-uuri na ito ay mas angkop para sa mga ordinaryong fraction.

Ang wastong fraction ay isang numero na ang numerator ay mas mababa sa denominator. Alinsunod dito, ang improper fraction ay isang numero na ang numerator ay mas malaki kaysa sa denominator. Ang pangalawang uri ay karaniwang isinusulat bilang isang halo-halong numero. Ang nasabing expression ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fractional na bahagi. Halimbawa, 1½. 1 - integer na bahagi, ½ - fractional. Gayunpaman, kung kailangan mong magsagawa ng ilang manipulasyon gamit ang expression (paghahati o pagpaparami ng mga fraction, pagbabawas o pag-convert sa mga ito), ang pinaghalong numero ay isinasalin sa hindi wastong bahagi.

tama fractional expression ay palaging mas mababa sa isa, at ang mali ay palaging mas malaki sa o katumbas ng 1.

Tulad ng para sa expression na ito, naiintindihan nila ang isang talaan kung saan ang anumang numero ay kinakatawan, ang denominator ng fractional na expression na maaaring ipahayag sa pamamagitan ng isa na may ilang mga zero. Kung tama ang fraction, magiging zero ang bahagi ng integer sa decimal notation.

Upang magsulat ng decimal, kailangan mo munang isulat ang integer na bahagi, paghiwalayin ito mula sa fractional na may kuwit, at pagkatapos ay isulat ang fractional expression. Dapat tandaan na pagkatapos ng kuwit ang numerator ay dapat maglaman ng kasing dami ng mga numeric na character na may mga zero sa denominator.

Halimbawa. Katawan ang fraction 7 21 / 1000 sa decimal notation.

Algorithm para sa pag-convert ng hindi tamang fraction sa isang mixed number at vice versa

Hindi tama na isulat ang isang hindi wastong bahagi sa sagot ng problema, kaya dapat itong i-convert sa isang halo-halong numero:

• hatiin ang numerator sa umiiral na denominator;
• sa isang partikular na halimbawa, ang isang hindi kumpletong quotient ay isang integer;
• at ang natitira ay ang numerator ng fractional na bahagi, na ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. I-convert ang improper fraction sa mixed number: 47 / 5 .

Solusyon. 47: 5. Ang hindi kumpletong kusyente ay 9, ang natitira = 2. Samakatuwid, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Minsan kailangan mong katawanin ang isang halo-halong numero bilang isang hindi tamang fraction. Pagkatapos ay kailangan mong gamitin ang sumusunod na algorithm:

• ang integer na bahagi ay pinarami ng denominator ng fractional expression;
• ang nagresultang produkto ay idinagdag sa numerator;
• ang resulta ay nakasulat sa numerator, ang denominator ay nananatiling hindi nagbabago.

Halimbawa. Ipahayag ang bilang sa magkahalong anyo bilang di-wastong bahagi: 9 8 / 10 .

Solusyon. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 ang numerator.

Sagot: 98 / 10.

Pagpaparami ng mga ordinaryong fraction

Maaari kang magsagawa ng iba't ibang algebraic na operasyon sa mga ordinaryong fraction. Upang i-multiply ang dalawang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Bukod dito, ang pagpaparami ng mga fraction na may iba't ibang denominador ay hindi naiiba sa produkto ng mga fractional na numero na may parehong denominator.

Nangyayari na pagkatapos mahanap ang resulta, kailangan mong bawasan ang bahagi. SA walang sablay ang resultang expression ay dapat na gawing simple hangga't maaari. Siyempre, hindi masasabing isang pagkakamali ang improper fraction sa sagot, ngunit mahirap ding tawagin itong tamang sagot.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng dalawang ordinaryong fraction: ½ at 20/18.

Tulad ng makikita mula sa halimbawa, pagkatapos mahanap ang produkto, ang isang reducible fractional notation ay nakuha. Parehong ang numerator at ang denominator sa kasong ito ay nahahati sa 4, at ang resulta ay ang sagot na 5/9.

Pagpaparami ng mga decimal fraction

Ang produkto ng mga decimal fraction ay medyo naiiba sa produkto ng mga ordinaryong fraction sa prinsipyo nito. Kaya, ang pagpaparami ng mga fraction ay ang mga sumusunod:

• dalawang decimal fraction ay dapat na nakasulat sa ilalim ng bawat isa upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa ilalim ng isa;
• kailangan mong i-multiply ang mga nakasulat na numero, sa kabila ng mga kuwit, iyon ay, bilang natural na mga numero;
• bilangin ang bilang ng mga digit pagkatapos ng kuwit sa bawat isa sa mga numero;
• sa resultang nakuha pagkatapos ng multiplikasyon, kailangan mong bilangin ang bilang ng maraming mga digital na character sa kanan na nilalaman sa kabuuan sa parehong mga kadahilanan pagkatapos ng decimal point, at maglagay ng separating sign;
• kung may mas kaunting mga digit sa produkto, napakaraming mga zero ang dapat isulat sa harap ng mga ito upang masakop ang numerong ito, maglagay ng kuwit at magtalaga ng integer na bahagi na katumbas ng zero.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng dalawang decimal: 2.25 at 3.6.

Solusyon.

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction

Upang kalkulahin ang produkto ng dalawang magkahalong fraction, kailangan mong gamitin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction:

• i-convert ang mga pinaghalong numero sa mga hindi wastong fraction;
• hanapin ang produkto ng mga numerator;
• hanapin ang produkto ng mga denominador;
• isulat ang resulta;
• pasimplehin ang expression hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 4½ at 6 2/5.

Pagpaparami ng numero sa isang fraction (mga fraction sa isang numero)

Bilang karagdagan sa paghahanap ng produkto ng dalawang fraction, halo-halong mga numero, may mga gawain kung saan kailangan mong i-multiply sa isang fraction.

Kaya, upang mahanap ang trabaho decimal fraction at isang natural na numero, kailangan mo:

• isulat ang numero sa ilalim ng fraction upang ang pinakakanang mga digit ay isa sa itaas ng isa;
• hanapin ang trabaho, sa kabila ng kuwit;
• sa resultang nakuha, paghiwalayin ang integer na bahagi mula sa fractional na bahagi gamit ang isang kuwit, binibilang sa kanan ang bilang ng mga character na pagkatapos ng decimal point sa fraction.

Upang i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isang numero, dapat mong hanapin ang produkto ng numerator at ang natural na kadahilanan. Kung ang sagot ay isang reducible fraction, dapat itong i-convert.

Halimbawa. Kalkulahin ang produkto ng 5 / 8 at 12.

Solusyon. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Sagot: 7 1 / 2.

Tulad ng nakikita mo mula sa nakaraang halimbawa, kinakailangan upang bawasan ang resultang resulta at i-convert ang maling fractional expression sa isang halo-halong numero.

Gayundin, ang pagpaparami ng mga praksiyon ay nalalapat din sa paghahanap ng produkto ng isang numero sa magkahalong anyo at isang natural na salik. Upang i-multiply ang dalawang numerong ito, dapat mong i-multiply ang integer na bahagi ng mixed factor sa numero, i-multiply ang numerator sa parehong halaga, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Kung kinakailangan, kailangan mong gawing simple ang resulta hangga't maaari.

Halimbawa. Hanapin ang produkto ng 9 5/6 at 9.

Solusyon. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 \u003d 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Sagot: 88 1 / 2.

Multiplikasyon sa pamamagitan ng mga salik 10, 100, 1000 o 0.1; 0.01; 0.001

Ang sumusunod na tuntunin ay sumusunod mula sa nakaraang talata. Upang i-multiply ang isang decimal fraction sa pamamagitan ng 10, 100, 1000, 10000, atbp., kailangan mong ilipat ang kuwit sa kanan ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero sa multiplier pagkatapos ng isa.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 0.065 at 1000.

Solusyon. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

Sagot: 65.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 3.9 at 1000.

Solusyon. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

Sagot: 3900.

Kung kailangan mong magparami natural na numero at 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001, atbp., dapat mong ilipat ang kuwit sa kaliwa sa resultang produkto ng kasing dami ng mga digit na character dahil may mga zero bago ang isa. Kung kinakailangan, ang isang sapat na bilang ng mga zero ay nakasulat sa harap ng isang natural na numero.

Halimbawa 1. Hanapin ang produkto ng 56 at 0.01.

Solusyon. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

Sagot: 0,56.

Halimbawa 2. Hanapin ang produkto ng 4 at 0.001.

Solusyon. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

Sagot: 0,004.

Kaya, ang paghahanap ng produkto ng iba't ibang mga fraction ay hindi dapat maging sanhi ng mga paghihirap, maliban marahil sa pagkalkula ng resulta; Sa kasong ito, hindi mo magagawa nang walang calculator.

Nilalaman ng aralin

Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator

Ang pagdaragdag ng mga fraction ay may dalawang uri:

1. Pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Magsimula tayo sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa, idagdag natin ang mga fraction at . Idinaragdag namin ang mga numerator, at iiwan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung magdagdag ka ng pizza sa pizza, makakakuha ka ng pizza:

Halimbawa 2 Magdagdag ng mga fraction at .

Ang sagot ay isang improper fraction. Kung ang pagtatapos ng gawain ay dumating, pagkatapos ay kaugalian na mapupuksa ang mga hindi wastong fraction. Upang mapupuksa ang isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito. Sa aming kaso, ang bahagi ng integer ay madaling ilalaan - dalawang hinati sa dalawa ay katumbas ng isa:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa dalawang bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza:

Halimbawa 3. Magdagdag ng mga fraction at .

Muli, idagdag ang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung magdagdag ka ng higit pang mga pizza sa pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 4 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Ang mga numerator ay dapat idagdag at ang denominator ay iwanang hindi nagbabago:

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza at magdagdag ng higit pang mga pizza, makakakuha ka ng 1 buong pizza at higit pang mga pizza.

Tulad ng nakikita mo, ang pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay hindi mahirap. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;

Pagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Ngayon ay matututunan natin kung paano magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Kapag nagdadagdag ng mga fraction, ang mga denominator ng mga fraction na iyon ay dapat na pareho. Ngunit hindi sila palaging pareho.

Halimbawa, maaari ding magdagdag ng mga fraction dahil mayroon sila parehong denominador.

Ngunit ang mga fraction ay hindi maaaring idagdag nang sabay-sabay, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Mayroong ilang mga paraan upang bawasan ang mga fraction sa parehong denominator. Ngayon ay isasaalang-alang lamang natin ang isa sa mga ito, dahil ang natitirang mga pamamaraan ay maaaring mukhang kumplikado para sa isang baguhan.

Ang kakanyahan ng pamamaraang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang una (LCM) ng mga denominador ng parehong mga fraction ay hinahanap. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha. Ganoon din ang ginagawa nila sa pangalawang fraction - ang LCM ay hinati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik.

Pagkatapos ang mga numerator at denominator ng mga fraction ay pinarami ng kanilang karagdagang mga kadahilanan. Bilang resulta ng mga pagkilos na ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction.

Halimbawa 1. Magdagdag ng mga fraction at

Una sa lahat, nakita namin ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ng mga denominator ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 2. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 6

LCM (2 at 3) = 6

Ngayon bumalik sa fractions at . Una, hinahati natin ang LCM sa denominator ng unang fraction at makuha ang unang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 6 sa 3, makakakuha tayo ng 2.

Ang resultang numero 2 ay ang unang karagdagang kadahilanan. Isulat namin ito hanggang sa unang bahagi. Upang gawin ito, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng fraction at isulat ang nahanap na karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi at makuha ang pangalawang karagdagang salik. Ang LCM ay ang numero 6, at ang denominator ng pangalawang bahagi ay ang numero 2. Hatiin ang 6 sa 2, makakakuha tayo ng 3.

Ang resultang numero 3 ay ang pangalawang karagdagang kadahilanan. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi. Muli, gumawa kami ng isang maliit na pahilig na linya sa itaas ng pangalawang bahagi at isulat ang natagpuang karagdagang kadahilanan sa itaas nito:

Ngayon ay handa na tayong magdagdag. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang kadahilanan:

Tingnang mabuti kung ano ang aming narating. Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano magdagdag ng mga ganitong fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Kaya nagtatapos ang halimbawa. Upang idagdag ito ay lumalabas.

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung magdagdag ka ng mga pizza sa isang pizza, makakakuha ka ng isang buong pizza at isa pang ikaanim ng isang pizza:

Ang pagbabawas ng mga fraction sa parehong (karaniwang) denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Dinadala ang mga fraction at sa isang karaniwang denominator, nakukuha natin ang mga fraction at . Ang dalawang fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza. Ang pagkakaiba lamang ay sa pagkakataong ito ay mahahati sila sa pantay na bahagi (binawasan sa parehong denominator).

Ang unang drawing ay nagpapakita ng fraction (apat na piraso sa anim) at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng fraction (tatlong piraso sa anim). Ang pagsasama-sama ng mga pirasong ito ay makukuha natin (pitong piraso sa anim). Mali ang fraction na ito, kaya na-highlight namin ang bahaging integer dito. Ang resulta ay (isang buong pizza at isa pang ikaanim na pizza).

Tandaan na ipininta namin ang halimbawang ito nang masyadong detalyado. SA institusyong pang-edukasyon hindi kaugalian na magsulat sa ganoong detalye. Kailangan mong mabilis na mahanap ang LCM ng parehong mga denominator at karagdagang mga kadahilanan sa kanila, pati na rin mabilis na i-multiply ang mga karagdagang kadahilanan na makikita ng iyong mga numerator at denominator. Habang nasa paaralan, kailangan nating isulat ang halimbawang ito tulad ng sumusunod:

Pero meron din likurang bahagi mga medalya. Kung ang mga detalyadong tala ay hindi ginawa sa mga unang yugto ng pag-aaral ng matematika, pagkatapos ay mga tanong ng uri "Saan nagmula ang bilang na iyon?", "Bakit ang mga fraction ay biglang nagiging ganap na magkakaibang mga fraction? «.

Upang gawing mas madaling magdagdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator, maaari mong gamitin ang sumusunod na sunud-sunod na mga tagubilin:

1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction;
2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction;
3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa pamamagitan ng kanilang mga karagdagang salik;
4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator;
5. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi nito;

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression .

Gamitin natin ang mga tagubilin sa itaas.

Hakbang 1. Hanapin ang LCM ng mga denominador ng mga fraction

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng parehong mga fraction. Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 2, 3 at 4

Hakbang 2. Hatiin ang LCM sa denominator ng bawat fraction at makakuha ng karagdagang multiplier para sa bawat fraction

Hatiin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 2. Hatiin ang 12 sa 2, makuha namin ang 6. Nakuha namin ang unang karagdagang kadahilanan 6. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makuha namin ang 4. Nakuha namin ang pangalawang karagdagang kadahilanan 4. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon hinati namin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makuha namin ang 3. Nakuha namin ang ikatlong karagdagang kadahilanan 3. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Hakbang 3. I-multiply ang mga numerator at denominator ng mga fraction sa iyong mga karagdagang salik

Pinaparami namin ang mga numerator at denominator sa aming mga karagdagang salik:

Hakbang 4. Magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. Ito ay nananatiling idagdag ang mga fraction na ito. Magdagdag ng:

Ang karagdagan ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inilipat namin ang natitirang expression sa susunod na linya. Ito ay pinapayagan sa matematika. Kapag ang isang expression ay hindi magkasya sa isang linya, ito ay dinadala sa susunod na linya, at ito ay kinakailangan upang maglagay ng pantay na tanda (=) sa dulo ng unang linya at sa simula ng isang bagong linya. Ang equal sign sa pangalawang linya ay nagpapahiwatig na ito ay isang pagpapatuloy ng expression na nasa unang linya.

Hakbang 5. Kung ang sagot ay naging isang hindi tamang bahagi, pagkatapos ay piliin ang buong bahagi dito

Ang aming sagot ay isang improper fraction. Dapat nating isa-isa ang buong bahagi nito. I-highlight namin:

Nakakuha ng sagot

Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator

Mayroong dalawang uri ng pagbabawas ng fraction:

1. Pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator
2. Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Una, alamin natin kung paano ibawas ang mga fraction na may parehong denominator. Simple lang ang lahat dito. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa, hanapin natin ang halaga ng expression . Upang malutas ang halimbawang ito, kinakailangan na ibawas ang numerator ng pangalawang bahagi mula sa numerator ng unang bahagi, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Gawin natin ito:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa apat na bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng expression.

Muli, mula sa numerator ng unang fraction, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago:

Ang halimbawang ito ay madaling maunawaan kung iisipin natin ang isang pizza na nahahati sa tatlong bahagi. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang halimbawang ito ay nalutas nang eksakto sa parehong paraan tulad ng mga nauna. Mula sa numerator ng unang fraction, kailangan mong ibawas ang mga numerator ng natitirang mga fraction:

Tulad ng nakikita mo, walang kumplikado sa pagbabawas ng mga fraction na may parehong denominator. Ito ay sapat na upang maunawaan ang mga sumusunod na patakaran:

1. Upang ibawas ang isa pa mula sa isang fraction, kailangan mong ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na hindi nagbabago;
2. Kung ang sagot ay naging isang hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi dito.

Pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator

Halimbawa, ang isang fraction ay maaaring ibawas mula sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may parehong denominator. Ngunit ang isang fraction ay hindi maaaring ibawas sa isang fraction, dahil ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator. Sa ganitong mga kaso, ang mga fraction ay dapat na bawasan sa parehong (karaniwang) denominator.

Ang karaniwang denominator ay matatagpuan ayon sa parehong prinsipyo na ginamit namin kapag nagdaragdag ng mga fraction na may iba't ibang denominator. Una sa lahat, hanapin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Pagkatapos ang LCM ay hinati sa denominator ng unang fraction at ang unang karagdagang kadahilanan ay nakuha, na nakasulat sa unang fraction. Katulad nito, ang LCM ay hinahati sa denominator ng pangalawang fraction at nakuha ang pangalawang karagdagang salik, na isinulat sa pangalawang fraction.

Ang mga fraction ay pagkatapos ay i-multiply sa kanilang mga karagdagang kadahilanan. Bilang resulta ng mga operasyong ito, ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay nagiging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng isang expression:

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mong dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Una, makikita natin ang LCM ng mga denominador ng parehong mga fraction. Ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 12

LCM (3 at 4) = 12

Ngayon bumalik sa fractions at

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Para magawa ito, hinati namin ang LCM sa denominator ng unang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 12 sa 3, makakakuha tayo ng 4. Isinulat namin ang apat sa unang bahagi:

Ginagawa namin ang parehong sa pangalawang bahagi. Hinahati namin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 12, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 4. Hatiin ang 12 sa 4, makakakuha tayo ng 3. Sumulat ng triple sa pangalawang fraction:

Ngayon ay handa na kaming lahat para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Kumpletuhin natin ang halimbawang ito hanggang sa wakas:

Nakakuha ng sagot

Subukan nating ilarawan ang ating solusyon gamit ang isang larawan. Kung maghiwa ka ng mga pizza mula sa isang pizza, makakakuha ka ng mga pizza.

Ito ang detalyadong bersyon ng solusyon. Sa pagiging nasa paaralan, kailangan nating lutasin ang halimbawang ito sa mas maikling paraan. Ang ganitong solusyon ay magiging ganito:

Ang pagbabawas ng mga fraction at sa isang karaniwang denominator ay maaari ding ilarawan gamit ang isang larawan. Ang pagdadala ng mga fraction na ito sa isang common denominator, makukuha natin ang mga fraction at . Ang mga fraction na ito ay kakatawanin ng parehong mga hiwa ng pizza, ngunit sa pagkakataong ito ay hahatiin ang mga ito sa parehong mga fraction (babawasan sa parehong denominator):

Ang unang guhit ay nagpapakita ng isang fraction (walong piraso sa labindalawa), at ang pangalawang larawan ay nagpapakita ng isang fraction (tatlong piraso sa labindalawa). Sa pamamagitan ng pagputol ng tatlong piraso mula sa walong piraso, makakakuha tayo ng limang piraso sa labindalawa. Inilalarawan ng fraction ang limang pirasong ito.

Halimbawa 2 Hanapin ang halaga ng isang expression

Ang mga fraction na ito ay may iba't ibang denominator, kaya kailangan mo munang dalhin ang mga ito sa parehong (karaniwang) denominator.

Hanapin ang LCM ng mga denominator ng mga fraction na ito.

Ang mga denominator ng mga fraction ay ang mga numero 10, 3 at 5. Ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito ay 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang mga kadahilanan para sa bawat fraction. Para magawa ito, hinahati namin ang LCM sa denominator ng bawat fraction.

Maghanap tayo ng karagdagang salik para sa unang bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng unang fraction ay ang numero 10. Hatiin ang 30 sa 10, makuha namin ang unang karagdagang salik 3. Isinulat namin ito sa unang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang kadahilanan para sa pangalawang bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng pangalawang fraction. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng pangalawang fraction ay ang numero 3. Hatiin ang 30 sa 3, makuha namin ang pangalawang karagdagang salik 10. Isinulat namin ito sa pangalawang bahagi:

Ngayon ay nakahanap kami ng karagdagang salik para sa ikatlong bahagi. Hatiin ang LCM sa denominator ng ikatlong bahagi. Ang LCM ay ang numero 30, at ang denominator ng ikatlong bahagi ay ang numero 5. Hatiin ang 30 sa 5, makuha namin ang ikatlong karagdagang salik 6. Isinulat namin ito sa ikatlong bahagi:

Ngayon ang lahat ay handa na para sa pagbabawas. Ito ay nananatiling upang i-multiply ang mga fraction sa pamamagitan ng kanilang karagdagang mga kadahilanan:

Nakarating kami sa konklusyon na ang mga fraction na may iba't ibang denominator ay naging mga fraction na may parehong (karaniwang) denominator. At alam na natin kung paano ibawas ang mga naturang fraction. Tapusin natin ang halimbawang ito.

Ang pagpapatuloy ng halimbawa ay hindi magkasya sa isang linya, kaya inililipat namin ang pagpapatuloy sa susunod na linya. Huwag kalimutan ang tungkol sa equal sign (=) sa bagong linya:

Ang sagot ay naging isang tamang bahagi, at ang lahat ay tila nababagay sa amin, ngunit ito ay masyadong masalimuot at pangit. Dapat nating gawing mas madali. Ano ang maaaring gawin? Maaari mong bawasan ang fraction na ito.

Upang bawasan ang isang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa (gcd) sa mga numerong 20 at 30.

Kaya, nakita namin ang GCD ng mga numero 20 at 30:

Ngayon ay bumalik tayo sa ating halimbawa at hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa nahanap na GCD, iyon ay, sa pamamagitan ng 10

Nakakuha ng sagot

Pagpaparami ng fraction sa isang numero

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng ibinigay na fraction sa numerong ito, at iwanan ang denominator na pareho.

Halimbawa 1. I-multiply ang fraction sa numero 1.

I-multiply ang numerator ng fraction sa numero 1

Ang entry ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahating 1 beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 1 beses, makakakuha ka ng pizza

Mula sa mga batas ng pagpaparami, alam natin na kung ang multiplican at ang multiplier ay ipinagpalit, kung gayon ang produkto ay hindi magbabago. Kung ang expression ay nakasulat bilang , kung gayon ang produkto ay magiging katumbas pa rin ng . Muli, gumagana ang panuntunan para sa pagpaparami ng integer at fraction:

Ang entry na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng kalahati ng yunit. Halimbawa, kung mayroong 1 buong pizza at kunin namin ang kalahati nito, magkakaroon kami ng pizza:

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng fraction sa 4

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang quarters 4 na beses. Halimbawa, kung kukuha ka ng pizza ng 4 na beses, makakakuha ka ng dalawang buong pizza.

At kung ipagpalit natin ang multiplicand at ang multiplier sa mga lugar, makukuha natin ang expression. Katumbas din ito ng 2. Ang expression na ito ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng dalawang pizza mula sa apat na buong pizza:

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang mga fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator. Kung ang sagot ay hindi wastong bahagi, kailangan mong piliin ang buong bahagi nito.

Halimbawa 1 Hanapin ang halaga ng expression.

Nakakuha ng sagot. Ito ay kanais-nais na bawasan ang fraction na ito. Ang fraction ay maaaring bawasan ng 2. Pagkatapos ang huling solusyon ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Ang expression ay maaaring maunawaan bilang pagkuha ng isang pizza mula sa kalahati ng isang pizza. Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Paano kumuha ng dalawang-katlo mula sa kalahating ito? Una kailangan mong hatiin ang kalahati sa tatlong pantay na bahagi:

At kumuha ng dalawa sa tatlong pirasong ito:

Kukuha tayo ng pizza. Tandaan kung ano ang hitsura ng pizza na nahahati sa tatlong bahagi:

Ang isang slice mula sa pizza na ito at ang dalawang hiwa na kinuha namin ay magkakaroon ng parehong sukat:

Sa madaling salita, pinag-uusapan natin ang parehong laki ng pizza. Samakatuwid, ang halaga ng expression ay

Halimbawa 2. Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Ang sagot ay isang improper fraction. Kunin natin ang isang buong bahagi nito:

Halimbawa 3 Hanapin ang halaga ng isang expression

I-multiply ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction:

Tamang fraction pala ang sagot, pero maganda kung babawasan. Upang bawasan ang fraction na ito, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa pinakamalaki karaniwang divisor(gcd) mga numero 105 at 450.

Kaya, hanapin natin ang GCD ng mga numero 105 at 450:

Ngayon hinati namin ang numerator at denominator ng aming sagot sa GCD na natagpuan namin ngayon, iyon ay, sa pamamagitan ng 15

Kinakatawan ang isang integer bilang isang fraction

Anumang buong numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction. Halimbawa, ang numero 5 ay maaaring katawanin bilang . Mula dito, hindi mababago ng lima ang kahulugan nito, dahil ang ekspresyon ay nangangahulugang "ang bilang ng limang hinati ng isa", at ito, tulad ng alam mo, ay katumbas ng lima:

Baliktarin ang mga numero

Ngayon ay magkakakilala tayo kawili-wiling paksa sa matematika. Ito ay tinatawag na "reverse number".

Kahulugan. Baliktarin sa numeroa ay ang bilang na, kapag pinarami nga nagbibigay ng unit.

Palitan natin ang kahulugang ito sa halip na isang variable a numero 5 at subukang basahin ang kahulugan:

Baliktarin sa numero 5 ay ang bilang na, kapag pinarami ng 5 nagbibigay ng unit.

Posible bang makahanap ng isang numero na, kapag pinarami ng 5, ay nagbibigay ng isa? Kaya mo pala. Katawanin natin ang lima bilang isang fraction:

Pagkatapos ay i-multiply ang fraction na ito sa kanyang sarili, palitan lamang ang numerator at denominator. Sa madaling salita, i-multiply natin ang fraction sa sarili nito, baligtad lamang:

Ano ang magiging resulta nito? Kung patuloy nating lutasin ang halimbawang ito, makakakuha tayo ng isa:

Nangangahulugan ito na ang kabaligtaran ng numero 5 ay ang numero, dahil kapag ang 5 ay pinarami ng isa, ang isa ay nakuha.

Ang reciprocal ay maaari ding matagpuan para sa anumang iba pang integer.

Maaari mo ring mahanap ang reciprocal para sa anumang iba pang fraction. Upang gawin ito, sapat na upang ibalik ito.

Dibisyon ng isang fraction sa pamamagitan ng isang numero

Sabihin nating mayroon tayong kalahating pizza:

Hatiin natin ito ng pantay sa dalawa. Ilang pizza ang makukuha ng bawat isa?

Makikita na pagkatapos hatiin ang kalahati ng pizza, dalawang pantay na piraso ang nakuha, na bawat isa ay bumubuo ng isang pizza. Kaya lahat ay nakakakuha ng pizza.

Ang paghahati ng mga fraction ay ginagawa gamit ang reciprocals. Hinahayaan ka ng mga reciprocal na palitan ang paghahati ng multiplikasyon.

Upang hatiin ang isang fraction sa isang numero, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa pamamagitan ng reciprocal ng divisor.

Gamit ang panuntunang ito, isusulat namin ang paghahati ng aming kalahati ng pizza sa dalawang bahagi.

Kaya, kailangan mong hatiin ang fraction sa numero 2. Dito ang dibidendo ay isang fraction at ang divisor ay 2.

Upang hatiin ang isang fraction sa numero 2, kailangan mong i-multiply ang fraction na ito sa reciprocal ng divisor 2. Ang reciprocal ng divisor 2 ay isang fraction. Kaya kailangan mong magparami

Upang wastong i-multiply ang isang fraction sa isang fraction o isang fraction sa isang numero, kailangan mong malaman simpleng tuntunin. Susuriin natin ngayon nang detalyado ang mga patakarang ito.

Pagpaparami ng fraction sa fraction.

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga numerator at ang produkto ng mga denominator ng mga fraction na ito.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Isaalang-alang ang isang halimbawa:
Pina-multiply natin ang numerator ng unang fraction sa numerator ng pangalawang fraction, at pinaparami rin natin ang denominator ng unang fraction sa denominator ng pangalawang fraction.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ beses 3)(7 \beses 3) = \frac(4)(7)\\\)

Ang fraction \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) ay nabawasan ng 3.

Pagpaparami ng fraction sa isang numero.

Magsimula tayo sa panuntunan anumang numero ay maaaring katawanin bilang isang fraction \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Gamitin natin ang panuntunang ito para sa pagpaparami.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Hindi wastong fraction \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) ay na-convert sa halo-halong bahagi.

Sa ibang salita, Kapag nagpaparami ng numero sa isang fraction, i-multiply ang numero sa numerator at iwanan ang denominator na hindi nagbabago. Halimbawa:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Pagpaparami ng mga pinaghalong fraction.

Upang i-multiply ang mga mixed fraction, kailangan mo munang katawanin ang bawat mixed fraction bilang isang hindi tamang fraction, at pagkatapos ay gamitin ang multiplication rule. Ang numerator ay pinarami sa numerator, ang denominator ay pinarami sa denominator.

Halimbawa:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Pagpaparami ng reciprocal fraction at numero.

Ang fraction \(\bf \frac(a)(b)\) ay ang kabaligtaran ng fraction \(\bf \frac(b)(a)\), na ibinigay a≠0,b≠0.
Ang mga fraction na \(\bf \frac(a)(b)\) at \(\bf \frac(b)(a)\) ay tinatawag na reciprocals. Ang produkto ng mga reciprocal fraction ay 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Halimbawa:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Mga kaugnay na tanong:
Paano i-multiply ang isang fraction sa isang fraction?
Sagot: ang produkto ng mga ordinaryong fraction ay ang multiplikasyon ng numerator sa numerator, ang denominator na may denominator. Upang makuha ang produkto ng mga mixed fraction, kailangan mong i-convert ang mga ito sa isang hindi tamang fraction at i-multiply ayon sa mga panuntunan.

Paano i-multiply ang mga fraction na may iba't ibang denominator?
Sagot: hindi mahalaga kung ang mga denominator ng mga praksiyon ay pareho o naiiba, ang pagpaparami ay nangyayari ayon sa panuntunan para sa paghahanap ng produkto ng numerator sa numerator, ang denominator na may denominator.

Paano i-multiply ang mixed fractions?
Sagot: una sa lahat, kailangan mong i-convert ang mixed fraction sa isang hindi tamang fraction at pagkatapos ay hanapin ang produkto ayon sa mga patakaran ng multiplikasyon.

Paano i-multiply ang isang numero sa isang fraction?
Sagot: I-multiply natin ang numero sa numerator, at iiwan ang denominator na pareho.

Halimbawa #1:
Kalkulahin ang produkto: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Solusyon:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( pula) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Halimbawa #2:
Kalkulahin ang produkto ng isang numero at isang fraction: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Solusyon:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Halimbawa #3:
Isulat ang kapalit ng \(\frac(1)(3)\)?
Sagot: \(\frac(3)(1) = 3\)

Halimbawa #4:
Kalkulahin ang produkto ng dalawang reciprocal fraction: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Solusyon:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Halimbawa #5:
Maaaring magkabaligtaran ang mga fraction na:
a) parehong wastong fraction;
b) sabay-sabay na mga hindi wastong fraction;
c) natural na mga numero sa parehong oras?

Solusyon:
a) Gumamit tayo ng isang halimbawa upang sagutin ang unang tanong. Ang fraction na \(\frac(2)(3)\) ay wasto, ang reciprocal nito ay magiging katumbas ng \(\frac(3)(2)\) - isang improper fraction. Sagot: hindi.

b) sa halos lahat ng enumerasyon ng mga praksyon, ang kundisyong ito ay hindi natutugunan, ngunit may ilang bilang na tumutupad sa kundisyon ng pagiging isang hindi wastong fraction sa parehong oras. Halimbawa, ang improper fraction ay \(\frac(3)(3)\) , ang reciprocal nito ay \(\frac(3)(3)\). Nakakakuha tayo ng dalawang hindi tamang fraction. Sagot: hindi palaging sa ilalim ng ilang mga kundisyon, kapag ang numerator at denominator ay pantay.

c) ang mga natural na numero ay ang mga numerong ginagamit natin kapag nagbibilang, halimbawa, 1, 2, 3, .... Kung kukunin natin ang numerong \(3 = \frac(3)(1)\), kung gayon ang kapalit nito ay magiging \(\frac(1)(3)\). Ang fraction na \(\frac(1)(3)\) ay hindi isang natural na numero. Kung susuriin natin ang lahat ng mga numero, ang reciprocal ay palaging isang fraction, maliban sa 1. Kung kukunin natin ang numero 1, kung gayon ang kapalit nito ay magiging \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Ang numero 1 ay isang natural na numero. Sagot: maaari silang magkasabay na natural na mga numero lamang sa isang kaso, kung ang numerong ito ay 1.

Halimbawa #6:
Gawin ang produkto ng mga pinaghalong fraction: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Solusyon:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Halimbawa #7:
Maaari bang magkasabay na magkahalong mga numero ang dalawang reciprocal na numero?

Tingnan natin ang isang halimbawa. Kumuha tayo ng halo-halong fraction \(1\frac(1)(2)\), hanapin ang kapalit nito, para dito isinasalin natin ito sa hindi tamang fraction \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Ang kapalit nito ay magiging katumbas ng \(\frac(2)(3)\) . Ang fraction na \(\frac(2)(3)\) ay isang proper fraction. Sagot: Ang dalawang magkabaligtaran na fraction ay hindi maaaring pinaghalong mga numero nang sabay.

Ang isa pang operasyon na maaaring isagawa sa mga ordinaryong fraction ay multiplikasyon. Susubukan naming ipaliwanag ang mga pangunahing tuntunin nito kapag nilulutas ang mga problema, ipakita kung paano pinarami ang isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero at kung paano tama ang pagpaparami ng tatlo o higit pang ordinaryong fraction.

Isulat muna natin ang pangunahing tuntunin:

Kahulugan 1

Kung magpaparami tayo ng isang karaniwang fraction, ang numerator ng resultang fraction ay magiging ay katumbas ng produkto numerator ng orihinal na mga fraction, at ang denominator - ang produkto ng kanilang mga denominator. Sa literal na anyo, para sa dalawang fraction na a / b at c / d, ito ay maaaring ipahayag bilang a b · c d = a · c b · d.

Tingnan natin ang isang halimbawa kung paano ilapat nang tama ang panuntunang ito. Sabihin nating mayroon tayong parisukat na ang panig ay katumbas ng isang numerical unit. Pagkatapos ang lugar ng figure ay magiging 1 square. yunit. Kung hahatiin natin ang parisukat sa pantay na mga parihaba na may mga gilid na katumbas ng 1 4 at 1 8 ng numerical unit, makukuha natin na ito ngayon ay binubuo ng 32 parihaba (dahil 8 4 = 32). Alinsunod dito, ang lugar ng bawat isa sa kanila ay magiging katumbas ng 1 32 ng lugar ng buong figure, i.e. 1 32 sq. mga yunit.

Mayroon kaming shaded na fragment na may mga gilid na katumbas ng 5 8 numerical units at 3 4 numerical units. Alinsunod dito, upang makalkula ang lugar nito, kinakailangan upang i-multiply ang unang bahagi ng pangalawa. Ito ay magiging katumbas ng 5 8 3 4 metro kuwadrado. mga yunit. Ngunit maaari lamang nating bilangin kung gaano karaming mga parihaba ang kasama sa fragment: mayroong 15 sa kanila, na nangangahulugan na ang kabuuang lugar ay 1532 square units.

Dahil 5 3 = 15 at 8 4 = 32 maaari nating isulat ang sumusunod na equation:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Ito ay isang kumpirmasyon ng panuntunan na aming binuo para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction, na ipinahayag bilang a b · c d = a · c b · d. Pareho itong gumagana para sa parehong wasto at hindi wastong mga fraction; Maaari itong magamit upang i-multiply ang mga fraction na may magkaiba at magkaparehong denominator.

Suriin natin ang mga solusyon ng ilang mga problema para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction.

Halimbawa 1

I-multiply ang 7 11 sa 9 8 .

Solusyon

Upang magsimula, kinakalkula namin ang produkto ng mga numerator ng ipinahiwatig na mga praksyon sa pamamagitan ng pagpaparami ng 7 sa 9. Nakakuha kami ng 63. Pagkatapos ay kalkulahin natin ang produkto ng mga denominador at makuha ang: 11 8 = 88 . Buuin natin ang sagot mula sa dalawang numero: 63 88.

Ang buong solusyon ay maaaring isulat tulad nito:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Sagot: 7 11 9 8 = 63 88 .

Kung sa sagot ay nakakuha tayo ng reducible fraction, kailangan nating kumpletuhin ang kalkulasyon at gawin ang pagbabawas nito. Kung makakakuha tayo ng hindi wastong bahagi, kailangan nating piliin ang buong bahagi mula dito.

Halimbawa 2

Kalkulahin ang produkto ng mga fraction 4 15 at 55 6 .

Solusyon

Ayon sa tuntunin na pinag-aralan sa itaas, kailangan nating i-multiply ang numerator sa numerator, at ang denominator sa denominator. Ang entry ng solusyon ay magiging ganito:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Nakakuha kami ng pinababang bahagi, i.e. isa na may tanda ng divisibility ng 10.

Bawasan natin ang fraction: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Bilang isang resulta, nakakuha kami ng isang hindi wastong bahagi, kung saan pipiliin namin ang buong bahagi at nakakuha ng isang halo-halong numero: 22 9 \u003d 2 4 9.

Sagot: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Para sa kaginhawahan ng pagkalkula, maaari din nating bawasan ang mga orihinal na fraction bago isagawa ang pagpaparami, kung saan kailangan nating dalhin ang fraction sa anyong a · c b · d. Binubulok namin ang mga halaga ng mga variable sa simpleng mga kadahilanan at kanselahin ang pareho.

Ipaliwanag natin kung ano ang hitsura nito gamit ang data ng isang partikular na problema.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang produkto 4 15 55 6 .

Solusyon

Isulat natin ang mga kalkulasyon batay sa tuntunin ng multiplikasyon. Aming makakaya na:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Dahil bilang 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 at 6 = 2 3 , pagkatapos ay 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Sagot: 4 15 55 6 = 2 4 9 .

Numeric na expression, kung saan nagaganap ang multiplikasyon ng mga ordinaryong fraction, ay may commutative property, iyon ay, kung kinakailangan, maaari nating baguhin ang pagkakasunud-sunod ng mga salik:

a b c d = c d a b = a c b d

Paano i-multiply ang isang fraction na may natural na numero

Isulat natin kaagad ang pangunahing tuntunin, at pagkatapos ay subukang ipaliwanag ito sa pagsasanay.

Kahulugan 2

Upang i-multiply ang isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero, kailangan mong i-multiply ang numerator ng fraction na ito sa numerong ito. Sa kasong ito, ang denominator ng huling fraction ay magiging katumbas ng denominator ng orihinal na ordinaryong fraction. Ang pagpaparami ng ilang fraction a b sa natural na bilang n ay maaaring isulat bilang formula a b · n = a · n b .

Madaling maunawaan ang formula na ito kung naaalala mo na ang anumang natural na numero ay maaaring katawanin bilang isang ordinaryong fraction na may denominator na katumbas ng isa, iyon ay:

a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b

Ipaliwanag natin ang ating ideya gamit ang mga konkretong halimbawa.

Halimbawa 4

Compute the product of 2 27 by 5 .

Solusyon

Bilang resulta ng pagpaparami ng numerator ng orihinal na fraction sa pangalawang kadahilanan, makakakuha tayo ng 10. Sa bisa ng tuntunin sa itaas, makakakuha tayo ng 10 27 bilang resulta. Ang buong solusyon ay ibinigay sa post na ito:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Sagot: 2 27 5 = 10 27

Kapag pina-multiply natin ang isang natural na numero na may karaniwang fraction, kadalasan kailangan nating bawasan ang resulta o kinakatawan ito bilang isang mixed number.

Halimbawa 5

Kundisyon: Kalkulahin ang produkto ng 8 beses 5 12 .

Solusyon

Ayon sa panuntunan sa itaas, pinarami namin ang isang natural na numero ng numerator. Bilang resulta, nakukuha natin na 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Ang huling bahagi ay may mga palatandaan ng divisibility ng 2, kaya kailangan nating bawasan ito:

LCM (40, 12) \u003d 4, kaya 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3

Ngayon kailangan lang nating piliin ang bahaging integer at isulat ang natapos na sagot: 10 3 = 3 1 3.

Sa entry na ito, makikita mo ang buong solusyon: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .

Maaari rin nating bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pag-factor ng numerator at denominator sa prime factor, at ang resulta ay magiging eksaktong pareho.

Sagot: 5 12 8 = 3 1 3 .

Ang isang numeric na expression kung saan ang isang natural na numero ay na-multiply sa isang fraction ay mayroon ding katangian ng displacement, iyon ay, ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi nakakaapekto sa resulta:

a b n = n a b = a n b

Paano magparami ng tatlo o higit pang karaniwang mga praksyon

Maaari nating pahabain sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction ang parehong mga katangian na katangian ng pagpaparami ng mga natural na numero. Ito ay sumusunod mula sa mismong kahulugan ng mga konseptong ito.

Salamat sa kaalaman sa mga katangian ng associative at commutative, posible na i-multiply ang tatlo o higit pang mga ordinaryong fraction. Pinahihintulutan na muling ayusin ang mga salik sa mga lugar para sa higit na kaginhawahan o ayusin ang mga bracket sa paraang magpapadali sa pagbilang.

Magpakita tayo ng isang halimbawa kung paano ito ginagawa.

Halimbawa 6

I-multiply ang apat na karaniwang praksiyon 1 20 , 12 5 , 3 7 at 5 8 .

Solusyon: Una, itala natin ang gawain. Nakukuha natin ang 1 20 12 5 3 7 5 8 . Kailangan nating i-multiply ang lahat ng numerator at lahat ng denominator nang magkasama: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .

Bago natin simulan ang multiplikasyon, maaari nating gawing mas madali para sa ating sarili ang ilang mga numero at gawing pangunahing mga kadahilanan para sa karagdagang pagbabawas. Ito ay magiging mas madali kaysa sa pagbabawas ng natapos na fraction na nagreresulta mula dito.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Sagot: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.

Halimbawa 7

Multiply 5 numero 7 8 12 8 5 36 10 .

Solusyon

Para sa kaginhawahan, maaari nating pangkatin ang fraction 7 8 na may numero 8 at ang numero 12 na may fraction 5 36 , dahil magiging malinaw sa atin ang mga pagbabawas sa hinaharap. Bilang resulta, makakakuha tayo ng:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 3 10 = 7 3 = 5 30 3 116 2 3

Sagot: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .

Kung may napansin kang pagkakamali sa text, mangyaring i-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter

Pagpaparami ng mga ordinaryong fraction

Isaalang-alang ang isang halimbawa.

Hayaang mayroong $\frac(1)(3)$ na bahagi ng mansanas sa plato. Kailangan nating hanapin ang $\frac(1)(2)$ na bahagi nito. Ang kinakailangang bahagi ay ang resulta ng pagpaparami ng mga fraction na $\frac(1)(3)$ at $\frac(1)(2)$. Ang resulta ng pagpaparami ng dalawang karaniwang fraction ay isang karaniwang fraction.

Pagpaparami ng dalawang karaniwang fraction

Panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

Ang resulta ng pagpaparami ng isang fraction sa isang fraction ay isang fraction na ang numerator ay katumbas ng produkto ng mga numerator ng multiplied fractions, at ang denominator ay katumbas ng produkto ng mga denominator:

Halimbawa 1

I-multiply ang mga ordinaryong fraction na $\frac(3)(7)$ at $\frac(5)(11)$.

Solusyon.

Gamitin natin ang tuntunin ng pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Sagot:$\frac(15)(77)$

Kung bilang isang resulta ng pagpaparami ng mga fraction ay nakuha ang isang nakansela o hindi wastong fraction, kung gayon kinakailangan na gawing simple ito.

Halimbawa 2

I-multiply ang mga fraction na $\frac(3)(8)$ at $\frac(1)(9)$.

Solusyon.

Ginagamit namin ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Bilang resulta, nakakuha kami ng reducible fraction (batay sa paghahati sa $3$. Hatiin ang numerator at denominator ng fraction sa $3$, makuha namin ang:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Maikling solusyon:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Sagot:$\frac(1)(24).$

Kapag nagpaparami ng mga fraction, maaari mong bawasan ang mga numerator at denominator upang mahanap ang kanilang produkto. Sa kasong ito, ang numerator at denominator ng fraction ay nabubulok sa mga simpleng salik, pagkatapos nito ang mga paulit-ulit na salik ay nababawasan at ang resulta ay natagpuan.

Halimbawa 3

Kalkulahin ang produkto ng mga fraction na $\frac(6)(75)$ at $\frac(15)(24)$.

Solusyon.

Gamitin natin ang formula para sa pagpaparami ng mga ordinaryong fraction:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Malinaw, ang numerator at denominator ay naglalaman ng mga numero na maaaring bawasan sa mga pares ng mga numerong $2$, $3$, at $5$. Binubulok namin ang numerator at denominator sa mga simpleng salik at ginagawa ang pagbabawas:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Sagot:$\frac(1)(20).$

Kapag nagpaparami ng mga fraction, maaaring ilapat ang commutative law:

Pagpaparami ng fraction sa natural na numero

Ang panuntunan para sa pagpaparami ng isang ordinaryong fraction sa isang natural na numero:

Ang resulta ng pagpaparami ng fraction sa natural na numero ay isang fraction kung saan ang numerator ay katumbas ng produkto ng numerator ng multiplied na fraction sa natural na numero, at ang denominator ay katumbas ng denominator ng multiplied fraction:

kung saan ang $\frac(a)(b)$ ay isang karaniwang fraction, ang $n$ ay isang natural na numero.

Halimbawa 4

I-multiply ang fraction na $\frac(3)(17)$ sa $4$.

Solusyon.

Gamitin natin ang panuntunan ng pagpaparami ng ordinaryong fraction sa natural na numero:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Sagot:$\frac(12)(17).$

Huwag kalimutan ang tungkol sa pagsuri sa resulta ng multiplikasyon para sa contractibility ng isang fraction o para sa isang hindi tamang fraction.

Halimbawa 5

I-multiply ang fraction na $\frac(7)(15)$ sa $3$.

Solusyon.

Gamitin natin ang formula para sa pagpaparami ng fraction sa natural na numero:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Sa pamamagitan ng criterion ng paghahati sa bilang na $3$), matutukoy na ang resultang fraction ay maaaring bawasan:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Ang resulta ay isang hindi tamang fraction. Kunin natin ang buong bahagi:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Maikling solusyon:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Posible rin na bawasan ang mga fraction sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numero sa numerator at denominator ng mga pagpapalawak ng mga ito sa prime factor. Sa kasong ito, ang solusyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Sagot:$1\frac(2)(5).$

Kapag nagpaparami ng fraction sa natural na numero, maaari mong gamitin ang commutative law:

Dibisyon ng mga ordinaryong fraction

Ang operasyon ng paghahati ay ang kabaligtaran ng multiplikasyon at ang resulta nito ay isang fraction, kung saan kailangan mong i-multiply ang isang kilalang fraction upang makakuha ng sikat na gawain dalawang fraction.

Dibisyon ng dalawang karaniwang fraction

Ang panuntunan para sa paghahati ng mga ordinaryong fraction: Malinaw, ang numerator at denominator ng resultang fraction ay maaaring mabulok sa mga simpleng salik at mabawasan:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Bilang resulta, nakakuha kami ng hindi tamang fraction, kung saan pipiliin namin ang integer na bahagi:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Sagot:$1\frac(5)(9).$