Paano hindi bawasan ang mga fraction. Ang online na calculator para sa pagbabawas ng mga algebraic fraction na may isang detalyadong solusyon ay nagbibigay-daan sa iyo upang bawasan ang isang fraction at i-convert ang isang hindi wastong fraction sa isang tamang fraction

Ang mga fraction at ang pagbabawas nito ay isa pang paksa na magsisimula sa ika-5 baitang. Dito nabuo ang batayan ng aksyon na ito, at pagkatapos ang mga kasanayang ito ay hinila ng isang thread sa mas mataas na matematika. Kung hindi natuto ang mag-aaral, maaaring magkaroon siya ng mga problema sa algebra. Samakatuwid, ito ay mas mahusay na upang maunawaan ang ilang mga patakaran minsan at para sa lahat. At tandaan ang isang pagbabawal at huwag na huwag itong lalabag.

Fraction at ang pagbabawas nito

Ano ito, alam ng bawat estudyante. Anumang dalawang digit na matatagpuan sa pagitan ng pahalang na bar ay agad na itinuturing bilang isang fraction. Gayunpaman, hindi lahat ay nauunawaan na ang anumang numero ay maaaring maging ito. Kung ito ay isang integer, maaari itong palaging hatiin ng isa, pagkatapos ay makakakuha ka ng isang hindi tamang fraction. Ngunit higit pa sa na mamaya.

Ang simula ay palaging simple. Una kailangan mong malaman kung paano bawasan ang tamang fraction. Iyon ay, isa na ang numerator ay mas mababa sa denominator. Upang gawin ito, kailangan mong tandaan ang pangunahing pag-aari ng isang fraction. Ito ay nagsasaad na kapag pinarami (pati na rin ang paghahati) nito numerator at denominator sa parehong numero sa parehong oras, isang katumbas na orihinal na fraction ay nakuha.

Ang mga aksyong paghahati na ginagawa sa property na ito ay nagreresulta sa isang pagbawas. Iyon ay, ang maximum na pagpapasimple nito. Maaaring bawasan ang isang fraction hangga't may mga karaniwang salik sa itaas at ibaba ng linya. Kapag wala na sila, imposible ang pagbawas. At sinasabi nila na ang fraction na ito ay hindi mababawasan.

dalawang paraan

1.Hakbang-hakbang na pagbabawas. Gumagamit ito ng paraan ng paghula, kapag ang parehong mga numero ay hinati sa pinakamababang karaniwang kadahilanan na napansin ng mag-aaral. Kung pagkatapos ng unang pagbawas ay malinaw na hindi ito ang katapusan, kung gayon ang paghahati ay magpapatuloy. Hanggang sa ang fraction ay hindi na mababawasan.

2. Paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator. Ito ang pinakanakapangangatwiran na paraan upang mabawasan ang mga fraction. Ito ay nagsasangkot ng pagsasaliksik sa numerator at denominator sa mga pangunahing salik. Kabilang sa mga ito, pagkatapos ay kailangan mong piliin ang lahat ng pareho. Ang kanilang produkto ay magbibigay ng pinakamalaking karaniwang kadahilanan kung saan ang fraction ay nababawasan.

Ang parehong mga pamamaraan na ito ay katumbas. Inaanyayahan ang mag-aaral na master ang mga ito at gamitin ang isa na pinakagusto niya.

Paano kung may mga titik at operasyon ng pagdaragdag at pagbabawas?

Sa unang bahagi ng tanong, ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw. Ang mga titik ay maaaring paikliin tulad ng mga numero. Ang pangunahing bagay ay kumikilos sila bilang mga multiplier. Pero sa pangalawa, maraming nagkakaproblema.

Mahalagang tandaan! Maaari mo lamang bawasan ang mga numero na mga kadahilanan. Kung terms sila, imposible.

Upang maunawaan kung paano bawasan ang mga fraction na mukhang isang algebraic expression, kailangan mong matutunan ang panuntunan. Una, ipahayag ang numerator at denominator bilang isang produkto. Pagkatapos ay maaari mong bawasan kung may mga karaniwang kadahilanan. Para sa representasyon bilang multiplier, ang mga sumusunod na trick ay kapaki-pakinabang:

• pagpapangkat;
• bracketing;
• aplikasyon ng mga pinaikling pagkakakilanlan ng multiplikasyon.

Bukod dito, ang huling paraan ay ginagawang posible upang agad na makakuha ng mga termino sa anyo ng mga kadahilanan. Samakatuwid, dapat itong palaging gamitin kung ang isang kilalang pattern ay nakikita.

Ngunit hindi pa ito nakakatakot, pagkatapos ay lilitaw ang mga gawain na may mga degree at ugat. Iyan ay kapag kailangan mong mag-ipon ng lakas ng loob at matuto ng ilang bagong panuntunan.

Pagpapahayag ng kapangyarihan

Maliit na bahagi. Ang produkto sa numerator at denominator. May mga letra at numero. At sila ay itinaas din sa isang kapangyarihan, na binubuo din ng mga termino o mga kadahilanan. May dapat ikatakot.

Upang malaman kung paano bawasan ang mga fraction na may mga kapangyarihan, kailangan mong matutunan ang dalawang puntos:

• kung mayroong isang kabuuan sa exponent, kung gayon maaari itong mabulok sa mga salik, na ang mga kapangyarihan ay magiging orihinal na mga termino;
• kung ang pagkakaiba, pagkatapos ay sa dibidendo at ang divisor, ang una sa antas ay mababawasan, ang pangalawa - ibawas.

Pagkatapos makumpleto ang mga hakbang na ito, makikita ang mga karaniwang multiplier. Sa ganitong mga halimbawa, hindi kinakailangang kalkulahin ang lahat ng kapangyarihan. Ito ay sapat na upang bawasan lamang ang mga degree na may parehong mga tagapagpahiwatig at base.

Upang sa wakas ay makabisado kung paano bawasan ang mga fraction na may mga kapangyarihan, kailangan mo ng maraming pagsasanay. Pagkatapos ng ilang halimbawa ng parehong uri, awtomatikong isasagawa ang mga pagkilos.

Paano kung ang expression ay naglalaman ng isang ugat?

Maaari rin itong paikliin. Muli, sundin lamang ang mga patakaran. Bukod dito, lahat ng inilarawan sa itaas ay totoo. Sa pangkalahatan, kung ang tanong ay kung paano bawasan ang isang bahagi na may mga ugat, pagkatapos ay kailangan mong hatiin.

Maaari rin itong hatiin sa mga hindi makatwirang ekspresyon. Iyon ay, kung ang numerator at denominator ay may parehong mga kadahilanan na nakapaloob sa ilalim ng root sign, maaari silang ligtas na mabawasan. Ito ay gawing simple ang expression at makakuha ng trabaho tapos na.

Kung, pagkatapos ng pagbawas, ang irrationality ay nananatili sa ilalim ng linya ng fraction, pagkatapos ay kailangan mong mapupuksa ito. Sa madaling salita, i-multiply dito ang numerator at denominator. Kung pagkatapos ng operasyong ito, lumitaw ang mga karaniwang kadahilanan, kakailanganin itong bawasan muli.

Iyon, marahil, ay tungkol sa kung paano bawasan ang mga fraction. Ilang mga patakaran, ngunit isang pagbabawal. Huwag kailanman bawasan ang mga tuntunin!

Dibisyon at ang numerator at denominator ng fraction sa kanilang karaniwang divisor , na iba sa pagkakaisa, ay tinatawag pagbawas ng fraction.

Upang bawasan ang isang karaniwang fraction, kailangan mong hatiin ang numerator at denominator nito sa parehong natural na numero.

Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng numerator at denominator ng ibinigay na fraction.

Posible ang mga sumusunod mga form ng rekord ng desisyon Mga halimbawa para sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction.

Ang mag-aaral ay may karapatang pumili ng anumang anyo ng pag-record.

Mga halimbawa. Pasimplehin ang mga fraction.

Bawasan ang fraction ng 3 (hatiin ang numerator sa 3;

hatiin ang denominator sa 3).

Binabawasan namin ang fraction ng 7.

Ginagawa namin ang ipinahiwatig na mga aksyon sa numerator at denominator ng fraction.

Ang resultang fraction ay nabawasan ng 5.

Bawasan natin ang fraction na ito 4) sa 5 7³- ang pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ng numerator at denominator, na binubuo ng mga karaniwang salik ng numerator at denominator na dinadala sa kapangyarihan na may pinakamaliit na exponent.

I-decompose natin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa mga simpleng salik.

Nakukuha namin: 756=2² 3³ 7 At 1176=2³ 3 7².

Tukuyin ang GCD (pinakamalaking karaniwang divisor) ng numerator at denominator ng fraction 5) .

Ito ang produkto ng mga karaniwang salik na kinuha sa pinakamaliit na exponent.

gcd(756; 1176)= 2² 3 7.

Hinahati namin ang numerator at denominator ng fraction na ito sa kanilang GCD, ibig sabihin, sa pamamagitan ng 2² 3 7 nakakakuha tayo ng irreducible fraction 9/14 .

At posible na isulat ang mga pagpapalawak ng numerator at denominator bilang isang produkto ng mga pangunahing kadahilanan, nang hindi gumagamit ng konsepto ng degree, at pagkatapos ay bawasan ang fraction sa pamamagitan ng pagtawid sa parehong mga kadahilanan sa numerator at denominator. Kapag walang natitira na magkaparehong salik, i-multiply natin ang natitirang mga salik nang hiwalay sa numerator at hiwalay sa denominator at isusulat ang resultang fraction. 9/14 .

At sa wakas, posible na bawasan ang fraction na ito 5) unti-unti, inilalapat ang mga palatandaan ng paghahati ng mga numero sa parehong numerator at denominator ng fraction. Mag-isip ng ganito: mga numero 756 At 1176 nagtatapos sa isang even na numero, kaya ang pareho ay nahahati ng 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Ang numerator at denominator ng bagong fraction ay mga numero 378 At 588 nahahati din sa 2 . Binabawasan namin ang fraction ng 2 . Napansin namin na ang numero 294 - kahit na, at 189 ay kakaiba, at ang pagbabawas ng 2 ay hindi na posible. Suriin natin ang tanda ng divisibility ng mga numero 189 At 294 sa 3 .

(1+8+9)=18 ay nahahati sa 3 at (2+9+4)=15 ay nahahati sa 3, kaya ang mga numero mismo 189 At 294 ay nahahati sa 3 . Binabawasan namin ang fraction ng 3 . Dagdag pa, 63 ay nahahati sa 3 at 98 - Hindi. Ulitin sa iba pang pangunahing salik. Ang parehong mga numero ay nahahati sa 7 . Binabawasan namin ang fraction ng 7 at makuha ang irreducible fraction 9/14 .

Nang hindi alam kung paano bawasan ang isang fraction, at pagkakaroon ng matatag na kasanayan sa paglutas ng mga ganitong halimbawa, napakahirap mag-aral ng algebra sa paaralan. Ang higit pa, mas maraming bagong impormasyon ang napapatong sa pangunahing kaalaman tungkol sa pagbabawas ng mga ordinaryong fraction. Una mayroong mga degree, pagkatapos ay mga kadahilanan, na sa kalaunan ay naging mga polynomial.

Paano hindi malito dito? Lubusang pagsamahin ang mga kasanayan sa mga nakaraang paksa at unti-unting maghanda para sa kaalaman kung paano bawasan ang isang fraction, na nagiging mas kumplikado taun-taon.

Pangunahing kaalaman

Kung wala ang mga ito, hindi posible na makayanan ang mga gawain sa anumang antas. Upang maunawaan, kailangan mong maunawaan ang dalawa mga simpleng sandali. Una, maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier. Lumalabas na napakahalaga ng nuance na ito kapag lumilitaw ang mga polynomial sa numerator o denominator. Pagkatapos ay kailangan mong malinaw na makilala kung saan ang multiplier, at kung saan ang termino.

Ang pangalawang punto ay nagsasabi na ang anumang numero ay maaaring katawanin bilang mga kadahilanan. Bukod dito, ang resulta ng pagbawas ay tulad ng isang fraction, ang numerator at denominator nito ay hindi na mababawasan.

Mga panuntunan para sa pagbabawas ng mga karaniwang fraction

Ang unang bagay na dapat suriin ay kung ang numerator ay mahahati ng denominator o kabaliktaran. Pagkatapos ito ay sa pamamagitan ng bilang na ito na kailangan mong bawasan. Ito ang pinakamadaling opsyon.

Ang pangalawa ay ang pagsusuri hitsura numero. Kung pareho silang nagtatapos sa isa o higit pang mga zero, maaari silang bawasan ng 10, 100, o isang libo. Dito mo makikita kung pantay ang mga numero. Kung gayon, maaari mong ligtas na mabawasan ng dalawa.

Ang ikatlong tuntunin kung paano bawasan ang isang fraction ay ang agnas sa prime factor ng numerator at denominator. Sa oras na ito, kailangan mong aktibong gamitin ang lahat ng kaalaman tungkol sa mga palatandaan ng divisibility ng mga numero. Matapos ang naturang agnas, nananatili lamang upang mahanap ang lahat ng mga paulit-ulit, i-multiply ang mga ito at bawasan ng nagresultang numero.

Paano kung ang fraction ay naglalaman ng isang algebraic expression?

Dito lumilitaw ang mga unang paghihirap. Dahil dito lumalabas ang mga termino, na maaaring magkapareho sa mga salik. Gusto ko talaga silang putulin, pero hindi ko magawa. Bago bawasan ang isang algebraic fraction, dapat itong i-convert upang magkaroon ito ng mga salik.

Mangangailangan ito ng ilang hakbang. Maaaring kailanganin mong dumaan sa lahat ng ito, o marahil ang una ay magbibigay ng angkop na opsyon.

Suriin kung ang numerator at denominator o anumang ekspresyon sa mga ito ay naiiba sa pamamagitan ng senyas. Sa kasong ito, kailangan mo lamang alisin ang mga bracket na minus one. Nagreresulta ito sa magkaparehong multiplier na maaaring mabawasan.

Tingnan kung ang karaniwang salik ay maaaring i-bracket out sa polynomial. Marahil ito ay magiging isang bracket, na maaari ding bawasan, o ito ay isang kinuha na monomial.

Subukang magsagawa ng pagpapangkat ng mga monomial upang makakuha ng isang karaniwang kadahilanan sa mga ito. Pagkatapos nito, maaaring lumabas na mayroong mga kadahilanan na maaaring mabawasan, o muling i-bracket ang mga karaniwang elemento.

Subukang isaalang-alang sa pagsulat ang formula ng pinaikling multiplikasyon. Sa kanilang tulong, magiging madaling i-convert ang isang polynomial sa mga kadahilanan.

Pagkakasunud-sunod ng mga aksyon na may mga fraction na may kapangyarihan

Upang madaling maunawaan ang tanong kung paano bawasan ang isang bahagi na may mga degree, kailangan mong maingat na tandaan ang mga pangunahing aksyon sa kanila. Ang una sa kanila ay konektado sa pagpaparami ng mga kapangyarihan. Sa kasong ito, kung ang mga base ay pareho, ang mga tagapagpahiwatig ay dapat idagdag.

Ang pangalawa ay dibisyon. Muli, para sa mga may parehong base, ang mga tagapagpahiwatig ay kailangang ibawas. Bukod dito, kailangan mong ibawas mula sa numero na nasa dibidendo, at hindi kabaliktaran.

Ang pangatlo ay exponentiation. Sa sitwasyong ito, ang mga tagapagpahiwatig ay pinarami.

Ang matagumpay na pagbabawas ay mangangailangan din ng kakayahang bawasan ang mga antas sa ang parehong mga batayan. Iyon ay, upang makita na ang apat ay dalawang parisukat. O 27 ay ang kubo ng tatlo. Dahil mahirap ang pagputol ng 9 squared at 3 cubed. Ngunit kung babaguhin natin ang unang expression bilang (3 2) 2 , magtatagumpay ang pagbabawas.

Sa unang tingin, ang mga algebraic fraction ay tila napakakomplikado, at maaaring isipin ng isang hindi handa na mag-aaral na imposibleng gumawa ng anuman sa kanila. Ang pagtatambak ng mga variable, numero, at kahit na kapangyarihan ay nagbibigay inspirasyon sa takot. Gayunpaman, upang bawasan ang karaniwan (halimbawa, 15/25) at algebraic fractions ang parehong mga patakaran ay ginagamit.

Mga hakbang

Pagbawas ng fraction

Tingnan ang mga hakbang para sa mga simpleng fraction. Ang mga operasyong may ordinaryong at algebraic na mga praksiyon ay magkatulad. Halimbawa, kunin ang fraction na 15/35. Upang gawing simple ang fraction na ito, maghanap ng karaniwang divisor. Ang parehong mga numero ay nahahati sa lima, kaya maaari naming kunin ang 5 sa numerator at denominator:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Kaya mo na ngayon bawasan ang karaniwang mga kadahilanan, ibig sabihin, ekis ang 5 sa numerator at denominator. Bilang resulta, nakakakuha tayo ng pinasimple na fraction 3/7 . SA algebraic expression karaniwang mga kadahilanan ay nakikilala sa parehong paraan tulad ng sa mga ordinaryong. Sa nakaraang halimbawa, madali naming nakuha ang 5 sa 15 - ang parehong prinsipyo ay nalalapat sa mas kumplikadong mga expression tulad ng 15x - 5. Hanapin natin ang karaniwang salik. Sa kasong ito, ito ay magiging 5, dahil ang parehong mga termino (15x at -5) ay mahahati ng 5. Tulad ng dati, pipiliin namin ang karaniwang kadahilanan at inililipat ito pa-kaliwa.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Upang suriin kung tama ang lahat, sapat na upang i-multiply ang expression sa mga bracket sa pamamagitan ng 5 - ang resulta ay ang parehong mga numero na noong una. Ang mga kumplikadong termino ay maaaring makilala sa parehong paraan tulad ng mga simple. Para sa mga algebraic fraction, ang parehong mga prinsipyo ay nalalapat tulad ng para sa mga ordinaryong fraction. Ito ang pinakamadaling paraan upang mabawasan ang isang fraction. Isaalang-alang ang sumusunod na bahagi:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Tandaan na ang numerator (itaas) at denominator (ibaba) ay may termino (x+2), kaya maaari itong bawasan sa parehong paraan tulad ng karaniwang salik 5 sa 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Bilang resulta, nakakakuha tayo ng pinasimpleng expression: (x-3)/(x+10)

Pagbawas ng mga algebraic fraction

Hanapin ang karaniwang kadahilanan sa numerator, iyon ay, sa tuktok ng fraction. Kapag binabawasan ang isang algebraic fraction, ang unang hakbang ay gawing simple ang parehong bahagi nito. Magsimula sa numerator at subukang i-decompose ito sa pinakamarami hangga't maaari higit pa mga multiplier. Isaalang-alang sa seksyong ito ang sumusunod na bahagi:

9x-3 15x+6

Magsimula tayo sa numerator: 9x - 3. Para sa 9x at -3, ang karaniwang salik ay ang numero 3. Kunin natin ang 3 mula sa mga bracket, tulad ng ginagawa natin sa mga ordinaryong numero: 3 * (3x-1). Bilang resulta ng pagbabagong ito, ang sumusunod na bahagi ay makukuha:

3(3x-1) 15x+6

Hanapin ang karaniwang salik sa numerator. Ipagpatuloy natin ang pagpapatupad ng halimbawa sa itaas at isulat ang denominator: 15x+6. Tulad ng dati, makikita natin sa kung anong bilang ang parehong bahagi ay nahahati. At sa kasong ito ang karaniwang kadahilanan ay 3, kaya maaari naming isulat: 3 * (5x +2). Isulat muli natin ang fraction sa sumusunod na anyo:

3(3x-1) 3(5x+2)

Bawasan ang magkaparehong termino. Sa hakbang na ito, maaari mong gawing simple ang fraction. Kanselahin ang parehong mga termino sa numerator at denominator. Sa aming halimbawa, ang numerong ito ay 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Tukuyin kung ano ang mayroon ang isang fraction pinakasimpleng anyo. Ang isang fraction ay ganap na pinasimple kapag walang karaniwang mga kadahilanan na natitira sa numerator at denominator. Tandaan na hindi mo maaaring paikliin ang mga terminong iyon na nasa loob ng mga bracket - sa halimbawa sa itaas, walang paraan upang kunin ang x mula sa 3x at 5x, dahil ang (3x -1) at (5x + 2) ay mga ganap na miyembro. Kaya, ang fraction ay hindi pumayag sa higit pang pagpapasimple, at ang huling sagot ay ang mga sumusunod:

(3x-1)(5x+2)

Magsanay sa pagbawas ng mga fraction sa iyong sarili. Ang pinakamahusay na paraan matutunan ang paraan ay upang malayang malutas ang mga problema. Ang mga tamang sagot ay ibinigay sa ibaba ng mga halimbawa.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Sagot:(x=13)

2x 2-x 5x

Sagot:(2x-1)/5

Mga Espesyal na Paggalaw

Alisin ang negatibong sign palabas ng fraction. Ipagpalagay na binibigyan tayo ng sumusunod na bahagi:

3(x-4) 5(4x)

Tandaan na ang (x-4) at (4-x) ay "halos" magkapareho, ngunit hindi sila maaaring kanselahin nang direkta dahil sila ay "na-flip". Gayunpaman, ang (x - 4) ay maaaring isulat bilang -1 * (4 - x), tulad ng (4 + 2x) ay maaaring isulat bilang 2 * (2 + x). Ito ay tinatawag na "sign reversal".

-1*3(4-x) 5(4x)

Ngayon ay maaari mong bawasan ang parehong mga termino (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Kaya narito ang huling sagot: -3/5 . Matutong kilalanin ang pagkakaiba ng mga parisukat. Ang pagkakaiba ng mga parisukat ay kapag ang parisukat ng isang numero ay ibinawas mula sa parisukat ng isa pang numero, tulad ng sa expression (a 2 - b 2). Ang pagkakaiba ng perpektong mga parisukat ay maaaring palaging mabulok sa dalawang bahagi - ang kabuuan at pagkakaiba ng katumbas parisukat na ugat. Pagkatapos ang expression ay kukuha ng sumusunod na anyo:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ang trick na ito ay lubhang kapaki-pakinabang kapag naghahanap ng mga karaniwang termino sa algebraic fractions.

• Suriin kung tama mong nai-factor ito o ang expression na iyon. Upang gawin ito, i-multiply ang mga kadahilanan - ang resulta ay dapat na parehong expression.
• Upang ganap na gawing simple ang isang fraction, palaging piliin ang pinakamalaking mga kadahilanan.

Kung kailangan nating hatiin ang 497 sa 4, pagkatapos kapag hinati, makikita natin na ang 497 ay hindi mahahati sa 4, i.e. nananatiling natitirang bahagi ng dibisyon. Sa ganitong mga kaso, ito ay sinabi na paghahati sa natitira, at ang solusyon ay nakasulat tulad ng sumusunod:
497: 4 = 124 (1 natitira).

Ang mga bahagi ng paghahati sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay tinatawag na kapareho ng sa paghahati nang walang nalalabi: 497 - dibidendo, 4 - divider. Ang resulta ng paghahati kapag ang paghahati sa isang natitira ay tinatawag hindi kumpletong pribado. Sa aming kaso, ang numerong ito ay 124. At sa wakas, ang huling bahagi, na wala sa karaniwang dibisyon, ay natitira. Kapag walang natitira, ang isang numero ay sinasabing nahahati sa isa pa. walang bakas, o ganap. Ito ay pinaniniwalaan na sa gayong dibisyon, ang natitira ay zero. Sa aming kaso, ang natitira ay 1.

Ang natitira ay palaging mas mababa kaysa sa divisor.

Maaari mong suriin kapag naghahati sa pamamagitan ng pagpaparami. Kung, halimbawa, mayroong isang pagkakapantay-pantay 64: 32 = 2, kung gayon ang tseke ay maaaring gawin tulad nito: 64 = 32 * 2.

Kadalasan sa mga kaso kung saan ang paghahati sa isang natitira ay ginaganap, ito ay maginhawa upang gamitin ang pagkakapantay-pantay
a \u003d b * n + r,
kung saan ang a ay ang dibidendo, ang b ay ang divisor, n ay ang partial quotient, ang r ay ang natitira.

Ang quotient ng dibisyon ng mga natural na numero ay maaaring isulat bilang isang fraction.

Ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo, at ang denominator ay ang divisor.

Dahil ang numerator ng isang fraction ay ang dibidendo at ang denominator ay ang divisor, naniniwala na ang linya ng isang fraction ay nangangahulugan ng aksyon ng paghahati. Minsan ito ay maginhawa upang isulat ang dibisyon bilang isang fraction nang hindi gumagamit ng ":" sign.

Ang quotient ng dibisyon ng mga natural na numero m at n ay maaaring isulat bilang isang fraction \(\frac(m)(n) \), kung saan ang numerator m ay ang dibidendo, at ang denominator n ay ang divisor:
\(m:n = \frac(m)(n) \)

Ang mga sumusunod na patakaran ay tama:

Upang makakuha ng fraction \(\frac(m)(n) \), kailangan mong hatiin ang unit sa n pantay na bahagi (shares) at kunin ang m ganoong mga bahagi.

Upang makuha ang fraction \(\frac(m)(n) \), kailangan mong hatiin ang numerong m sa numero n.

Upang mahanap ang isang bahagi ng isang kabuuan, kailangan mong hatiin ang bilang na tumutugma sa kabuuan sa pamamagitan ng denominator at i-multiply ang resulta sa numerator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Upang makahanap ng isang buo sa pamamagitan ng bahagi nito, kailangan mong hatiin ang numero na naaayon sa bahaging ito sa pamamagitan ng numerator at i-multiply ang resulta sa denominator ng fraction na nagpapahayag ng bahaging ito.

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay pinarami ng parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
\(\malaki \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Kung ang numerator at denominator ng isang fraction ay hinati sa parehong numero (maliban sa zero), ang halaga ng fraction ay hindi magbabago:
\(\malaki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ang ari-arian na ito ay tinatawag na pangunahing katangian ng isang fraction.

Ang huling dalawang pagbabago ay tinatawag pagbawas ng fraction.

Kung ang mga fraction ay kailangang katawanin bilang mga fraction na may parehong denominator, kung gayon ang naturang aksyon ay tinatawag pagbabawas ng mga fraction sa isang karaniwang denominator.

Wasto at hindi wastong mga praksiyon. magkahalong numero

Alam mo na na ang isang fraction ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng isang kabuuan sa pantay na mga bahagi at pagkuha ng ilang mga bahagi. Halimbawa, ang fraction na \(\frac(3)(4) \) ay nangangahulugan ng tatlong-ikaapat na bahagi ng isa. Sa marami sa mga problema sa nakaraang seksyon, ang mga fraction ay ginamit upang tukuyin ang bahagi ng isang kabuuan. Idinidikta ng sentido komun na ang bahagi ay dapat palaging mas mababa kaysa sa kabuuan, ngunit paano naman ang mga fraction tulad ng \(\frac(5)(5) \) o \(\frac(8)(5) \)? Malinaw na hindi na ito bahagi ng unit. Ito marahil ang dahilan kung bakit ang mga naturang fraction, kung saan ang numerator ay mas malaki kaysa o katumbas ng denominator, ay tinatawag na mga hindi wastong fraction. Ang natitirang mga praksiyon, i.e., mga praksiyon kung saan ang numerator ay mas mababa sa denominator, ay tinatawag na wastong fractions.

Tulad ng alam mo, anumang ordinaryong fraction, parehong wasto at hindi wasto, ay maaaring ituring bilang resulta ng paghahati ng numerator sa denominator. Samakatuwid, sa matematika, hindi tulad sa ordinaryong wika, ang terminong "improper fraction" ay hindi nangangahulugan na may nagawa tayong mali, ngunit ang fraction na ito ay may numerator na mas malaki o katumbas ng denominator nito.

Kung ang isang numero ay binubuo ng isang integer na bahagi at isang fraction, kung gayon ang ganyan Ang mga fraction ay tinatawag na halo-halong.

Halimbawa:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 ang integer na bahagi at ang \(\frac(2)(3) \) ay ang fractional na bahagi.

Kung ang numerator ng fraction \(\frac(a)(b) \) ay nahahati sa natural na numero n, kung gayon upang hatiin ang fraction na ito sa n, ang numerator nito ay dapat na hatiin sa numerong ito:
\(\malaki \frac(a)(b): n = \frac(a:n)(b) \)

Kung ang numerator ng fraction \(\frac(a)(b) \) ay hindi nahahati sa natural na numero n, pagkatapos ay upang hatiin ang fraction na ito sa n, kailangan mong i-multiply ang denominator nito sa numerong ito:
\(\malaki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Tandaan na ang pangalawang tuntunin ay wasto din kapag ang numerator ay nahahati sa n. Samakatuwid, magagamit natin ito kapag mahirap sa unang tingin upang matukoy kung ang numerator ng isang fraction ay nahahati sa n o hindi.

Mga aksyon na may mga fraction. Pagdaragdag ng mga fraction.

Sa mga fractional na numero, tulad ng sa mga natural na numero, maaari kang magsagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika. Tingnan muna natin ang pagdaragdag ng mga fraction. Madaling magdagdag ng mga fraction parehong denominador. Hanapin, halimbawa, ang kabuuan ng \(\frac(2)(7) \) at \(\frac(3)(7) \). Madaling maunawaan na \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Upang magdagdag ng mga fraction na may parehong denominator, kailangan mong idagdag ang kanilang mga numerator, at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagdaragdag ng mga fraction na may parehong denominator ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Kung gusto mong magdagdag ng mga fraction sa iba't ibang denominador, pagkatapos ay kailangan muna silang bawasan sa isang karaniwang denominator. Halimbawa:
\(\malaki \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Para sa mga fraction, gayundin para sa mga natural na numero, ang commutative at associative na katangian ng karagdagan ay wasto.

Pagdaragdag ng mga pinaghalong fraction

Ang mga recording gaya ng \(2\frac(2)(3) \) ay tinatawag pinaghalong fraction. Ang numero 2 ay tinatawag buong bahagi mixed fraction, at ang numerong \(\frac(2)(3) \) ay nito praksyonal na bahagi. Ang entry na \(2\frac(2)(3) \) ay binabasa nang ganito: "two and two thirds".

Ang paghahati ng numero 8 sa numero 3 ay nagbibigay ng dalawang sagot: \(\frac(8)(3) \) at \(2\frac(2)(3) \). Nagpapahayag sila ng parehong fractional number, ibig sabihin, \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3) \)

Kaya, ang hindi wastong fraction \(\frac(8)(3) \) ay kinakatawan bilang isang mixed fraction \(2\frac(2)(3) \). Sa ganitong mga kaso, sinasabi nila iyon mula sa isang hindi wastong bahagi iniisa-isa ang kabuuan.

Pagbabawas ng mga fraction (fractional number)

Pagbabawas mga fractional na numero, pati na rin ang mga natural, ay tinutukoy batay sa pagpapatakbo ng karagdagan: ang pagbabawas ng isa pa mula sa isang numero ay nangangahulugan ng paghahanap ng isang numero na, kapag idinagdag sa pangalawa, ay nagbibigay ng una. Halimbawa:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) mula noong \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9) \)

Ang panuntunan para sa pagbabawas ng mga fraction na may mga katulad na denominator ay katulad ng panuntunan para sa pagdaragdag ng mga naturang fraction:
Upang mahanap ang pagkakaiba sa pagitan ng mga fraction na may parehong denominator, ibawas ang numerator ng pangalawang fraction mula sa numerator ng unang fraction, at iwanan ang denominator na pareho.

Gamit ang mga titik, ang panuntunang ito ay isinulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Pagpaparami ng mga fraction

Upang i-multiply ang isang fraction sa isang fraction, kailangan mong i-multiply ang kanilang mga numerator at denominator at isulat ang unang produkto bilang numerator at ang pangalawa bilang denominator.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa pagpaparami ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Gamit ang formulated rule, posibleng i-multiply ang isang fraction sa natural na numero, sa mixed fraction, at paramihin din ang mixed fractions. Upang gawin ito, kailangan mong magsulat ng natural na numero bilang isang fraction na may denominator na 1, isang mixed fraction bilang isang hindi tamang fraction.

Ang resulta ng multiplikasyon ay dapat na gawing simple (kung maaari) sa pamamagitan ng pagbabawas ng fraction at pag-highlight sa integer na bahagi ng hindi tamang fraction.

Para sa mga fraction, pati na rin para sa natural na mga numero, ang commutative at associative na katangian ng multiplikasyon ay wasto, pati na rin ang distributive property ng multiplication na may kinalaman sa karagdagan.

Dibisyon ng mga fraction

Kunin ang fraction \(\frac(2)(3) \) at "i-flip" ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng numerator at denominator. Nakukuha namin ang fraction \(\frac(3)(2) \). Ang fraction na ito ay tinatawag reverse mga fraction \(\frac(2)(3) \).

Kung "reverse" natin ngayon ang fraction \(\frac(3)(2) \), pagkatapos ay makukuha natin ang orihinal na fraction \(\frac(2)(3) \). Samakatuwid, ang mga fraction tulad ng \(\frac(2)(3) \) at \(\frac(3)(2) \) ay tinatawag magkabaligtaran.

Halimbawa, ang mga fraction na \(\frac(6)(5) \) at \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) at \(\frac (18 )(7) \).

Gamit ang mga titik, ang magkabaligtaran na mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: \(\frac(a)(b) \) at \(\frac(b)(a) \)

Ito ay malinaw na ang produkto ng mga reciprocal fraction ay 1. Halimbawa: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Gamit ang mga reciprocal fraction, ang paghahati ng mga fraction ay maaaring bawasan sa multiplikasyon.

Ang panuntunan para sa paghahati ng isang fraction sa isang fraction:
Upang hatiin ang isang bahagi sa isa pa, kailangan mong i-multiply ang dibidendo sa pamamagitan ng kapalit ng divisor.

Gamit ang mga titik, ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
\(\malaki \frac(a)(b): \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Kung ang dibidendo o divisor ay natural na numero o pinaghalong fraction, kung gayon, upang magamit ang panuntunan para sa paghahati ng mga fraction, kailangan muna itong irepresenta bilang isang hindi wastong fraction.