Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremi sübut edin. "oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti"

Oxşar üçbucaqların tərifi və xassələri

a 1 , a 2 , a 3 , …, a n ədədlərinə b 1 , b 2 , b 3 , …, b n ədədlərinə mütənasib deyilir: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, burada k mütənasiblik əmsalı adlanan müəyyən bir ədəddir.

Misal. Nömrə 6; 7.5 və 15 -4 rəqəmlərinə mütənasibdir; 5 və 10. Mütənasiblik əmsalı -1,5 sayıdır, çünki

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Ədədlərin mütənasibliyi o zaman baş verir ki, bu ədədlər nisbətlə əlaqələndirilir.

Məlumdur ki, nisbət ən azı dörd ədəddən ibarət ola bilər, ona görə də mütənasiblik anlayışı ən azı dörd ədədə şamil edilir (bir cüt ədəd digər cütə mütənasibdir və ya ədədlərin bir üçlüyü digər üçlüyə mütənasibdir, və s.).

Gəlin baxaq düyü. 1 bərabər cüt bucaqlı iki ABC və A 1 B 1 C 1 üçbucağı: A = A 1, B = B 1, C = C 1.

Hər iki üçbucağın bərabər cüt bucaqlarının əksi olan tərəflər adlanır oxşar. Bəli, açıq düyü. 1 AB və A 1 B 1, AC və A 1 C 1, BC və B 1 C 1 tərəfləri oxşardır, çünki onlar ABC və A 1 B 1 C 1 üçbucaqlarının müvafiq olaraq bərabər bucaqları qarşısında yerləşirlər.

Oxşar üçbucaqları təyin edək:

İki üçbucaq deyilir oxşar, əgər onların bucaqları qoşa bərabərdirsə və oxşar tərəflər mütənasibdirsə.

Oxşar üçbucaqların oxşar tərəflərinin nisbətinə deyilir oxşarlıq əmsalı.

Oxşar üçbucaqlar aşağıdakı kimi işarələnir: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1.

Beləcə düyü. 2 bizdə: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

bucaqlar A = A 1, B = B 1, C = C 1 və AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, burada k oxşarlıq əmsalıdır. From düyü. 2 aydındır ki, oxşar üçbucaqlar eyni nisbətlərə malikdir və onlar yalnız miqyasda fərqlənirlər.

Qeyd 1: Bərabər üçbucaqlar 1 faktoru ilə oxşardır.

Qeyd 2: Oxşar üçbucaqları təyin edərkən onların təpələri elə düzülməlidir ki, onların bucaqları cüt-cüt bərabər olsun. Məsələn, Şəkil 2-də göstərilən üçbucaqlar üçün Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 demək düzgün deyil. Təpələrin düzgün sırasını müşahidə edərək, rəsmə istinad etmədən üçbucaqların oxşar tərəflərini birləşdirən nisbəti yazmaq rahatdır: müvafiq nisbətlərin payı və məxrəcində oxşarların təyin edilməsində eyni mövqeləri tutan təpə cütləri olmalıdır. üçbucaqlar. Məsələn, “Δ ABC ~ Δ KNL” qeydindən belə çıxır ki, bucaqlar A = K, B = N, C = L və AB/KN = BC/NL = AC/KL olur.

Qeyd 3: Oxşar üçbucaqların tərifində sadalanan tələblər lazımsızdır. Oxşar üçbucaqlar üçün daha az tələblər ehtiva edən üçbucaqlar üçün oxşarlıq meyarlarını bir az sonra sübut edəcəyik.

Gəlin formalaşdıraq oxşar üçbucaqların xüsusiyyətləri:

Oxşar üçbucaqların uyğun xətti elementlərinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalına bərabərdir. Bənzər üçbucaqların belə elementlərinə uzunluq vahidləri ilə ölçülən elementlər daxildir. Bunlar, məsələn, üçbucağın tərəfi, perimetri, medianıdır. Bucaq və ya sahə bu cür elementlərə aid edilmir.
Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti onların oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

ABC və A 1 B 1 C 1 üçbucaqları k əmsalı ilə oxşar olsun (Şəkil 2).

Sübut edək ki, S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Oxşar üçbucaqların bucaqları cütlükdə bərabər olduğundan, yəni A = A 1 və bərabər bucaqlı üçbucaqların sahələrinin nisbəti teoreminə əsasən, biz:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1.

AB/A 1 B 1 = k və AC/A 1 C 1 = k üçbucaqlarının oxşarlığına görə,

buna görə də S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Qeyd: Yuxarıdakı oxşar üçbucaqların xassələri ixtiyari fiqurlar üçün də etibarlıdır.

Üçbucaqların oxşarlıq əlamətləri

Tərifinə görə oxşar üçbucaqlara qoyulan tələblər (bunlar açıların bərabərliyi və tərəflərin mütənasibliyidir) lazımsızdır. Daha az sayda elementdən istifadə etməklə üçbucaqların oxşarlığını müəyyən etmək mümkündür.

Beləliklə, problemlərin həlli zamanı üçbucaqların oxşarlığının birinci meyarından ən çox istifadə olunur ki, bu da iki üçbucağın oxşar olması üçün onların bucaqlarının bərabərliyinin kifayət olduğunu bildirir:

Üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti (iki bucaqla): Bir üçbucağın iki bucağı müvafiq olaraq ikinci üçbucağın iki bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqlar oxşardır. (Şəkil 3).

Bucaqları A = A 1, B = B 1 olan Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1 üçbucaqları verilsin. Sübut etmək lazımdır ki, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Sübut.

1) Üçbucağın bucaqlarının cəminə dair teoremə görə, bizdə:

bucaq C = 180° (bucaq A + bucaq B) = 180° (bucaq A 1 + bucaq B 1) = bucaq C 1.

2) Bucaqları bərabər olan üçbucaqların sahələrinin nisbəti teoreminə görə,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1) · B 1 C 1).

3) (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, AC/A 1 C 1 = BC /B 1 C 1.

4) (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, AB/A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

Beləliklə, ABC və A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1 və AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 üçbucaqları.

5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, yəni oxşar tərəflər mütənasibdir. Bu o deməkdir ki, tərifinə görə Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1.

Proporsional seqmentlər haqqında teorem. Verilmiş nisbətdə bir seqmentin bölünməsi

Mütənasib seqment teoremi Thales teoreminin ümumiləşdirilməsidir.

Thales teoremindən istifadə etmək üçün verilmiş iki xətti kəsən paralel xətlərin onlardan birində bərabər seqmentləri kəsmək lazımdır. Thalesin ümumiləşdirilmiş teoremində deyilir ki, əgər paralel xətlər verilmiş iki xətti kəsirsə, bir xəttdə onların kəsdiyi seqmentlər ikinci xəttdə kəsilmiş seqmentlərə mütənasibdir.

Mütənasib seqmentlər haqqında teorem Thales teoreminə bənzər şəkildə sübut olunur (burada yalnız üçbucaqların bərabərliyi əvəzinə onların oxşarlığından istifadə olunur).

Proporsional seqmentlər haqqında teorem (ümumiləşdirilmiş Thales teoremi): Verilmiş iki xətti kəsən paralel xətlər onların üzərindəki mütənasib seqmentləri kəsir.

Üçbucağın medianlarının xassəsi

Üçbucaqların oxşarlığının birinci meyarı üçbucağın medianlarının xassəsini sübut etməyə imkan verir:

Üçbucağın medianlarının xassələri:Üçbucağın medianları bir nöqtədə kəsişir və təpədən hesablanaraq bu nöqtəyə 2:1 nisbətində bölünür. (Şəkil 4).

Medianların kəsişmə nöqtəsi adlanır mərkəzüçbucaq.

AA 1, BB 1, CC 1 medianları olan Δ ABC verilsin, əlavə olaraq AA 1 ∩CC 1 = O. BB 1 ∩ CC 1 = O və AO/OA 1 = VO olduğunu sübut etmək lazımdır. /OB 1 = CO/OS 1 = 2.

Sübut.

1) A 1 C 1 orta xəttini çəkin. haqqında teoremlə orta xəttüçbucağı A 1 C 1 || AC və A 1 C 1 = AC/2.

2) AOC və A 1 OC 1 üçbucaqları iki bucaq baxımından oxşardır (AOC bucağı = şaquli olaraq A 1 OC 1, A 1 C 1 || AC və kəsici AA 1 ilə daxili çarpaz uzanan bucaq OAC = bucaq OA 1 C 1 kimi ), buna görə də oxşar üçbucaqların tərifinə görə AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.

3) BB 1 ∩CC 1 = O 1 olsun. 1 və 2-ci bəndlərə bənzər şəkildə sübut oluna bilər ki, VO/O 1 B 1 = CO 1 /O 1 C = 2. Lakin CC 1 seqmentində onu CO: OS 1 nisbətində bölən tək O nöqtəsi var. = 2: 1, onda O və O 1 nöqtələri üst-üstə düşür. Bu o deməkdir ki, üçbucağın bütün medianları bir nöqtədə kəsişir, hər birini təpədən hesabla 2: 1 nisbətində bölür.

Həndəsə kursunda “çoxbucaqlıların sahəsi” mövzusunda medianın bölünməsi faktı sübut olunur. ixtiyari üçbucaq iki bərabər hissəyə. Bundan əlavə, üçbucağın üç medianı kəsişdikdə altı bərabər üçbucaq əmələ gəlir.

Hələ suallarınız var? Üçbucaq kimi problemləri necə həll edəcəyinizi bilmirsiniz?
Tərbiyəçidən kömək almaq üçün -.
İlk dərs ödənişsizdir!

blog.site, materialı tam və ya qismən kopyalayarkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.

Proporsional seqmentlər

Oxşarlıq anlayışını təqdim etmək üçün əvvəlcə mütənasib seqmentlər anlayışını xatırlatmaq lazımdır. İki seqmentin nisbətinin tərifini də xatırlayaq.

Tərif 1

İki seqmentin nisbəti onların uzunluqlarının nisbətidir.

Seqmentlərin mütənasibliyi anlayışı da tətbiq edilir daha çox seqmentlər. Məsələn, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, sonra

Yəni $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ seqmentləri $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$ seqmentləri ilə mütənasibdir.

Oxşar üçbucaqlar

Əvvəlcə oxşarlıq anlayışının ümumiyyətlə nəyi ifadə etdiyini xatırlayaq.

Tərif 3

Rəqəmlər eyni formaya, lakin müxtəlif ölçülərə malikdirsə, oxşar adlanır.

İndi oxşar üçbucaqlar anlayışını anlayaq. Şəkil 1-i nəzərdən keçirin.

Şəkil 1. İki üçbucaq

Qoy bu üçbucaqlar $\bucaq A=\bucaq A_1,\ \bucaq B=\bucaq B_1,\ \bucaq C=\bucaq C_1$ olsun. Aşağıdakı tərifi təqdim edək:

Tərif 4

İki üçbucağın tərəfləri, bu üçbucaqların bərabər bucaqlarının əksinə yerləşirsə, oxşar adlanır.

Şəkil 1-də $AB$ və $A_1B_1$, $BC$ və $B_1C_1$, $AC$ və $A_1C_1$ tərəfləri oxşardır. İndi oxşar üçbucaqların tərifini təqdim edək.

Tərif 5

Bir üçbucağın bütün bucaqlarının bucaqları müvafiq olaraq digərinin və üçbucağın bucaqlarına bərabərdirsə və bu üçbucağın bütün oxşar tərəfləri mütənasibdirsə, iki üçbucaq oxşar adlanır, yəni.

\[\bucaq A=\bucaq A_1,\ \bucaq B=\bucaq B_1,\ \bucaq C=\bucaq C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Şəkil 1 oxşar üçbucaqları göstərir.

Təyinat: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Oxşarlıq anlayışı üçün oxşarlıq əmsalı anlayışı da var.

Tərif 6

Oxşar fiqurların oxşar tərəflərinin nisbətinə bərabər olan $k$ ədədi bu rəqəmlərin oxşarlıq əmsalı adlanır.

Oxşar üçbucaqların sahələri

İndi oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremi nəzərdən keçirək.

Teorem 1

İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir, yəni

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Sübut.

İki oxşar üçbucağı nəzərdən keçirək və onların sahələrini müvafiq olaraq $S$ və $S_1$ kimi qeyd edək (şək. 2).

Şəkil 2.

Bu teoremi sübut etmək üçün aşağıdakı teoremi xatırlayın:

Teorem 2

Bir üçbucağın bucağı ikinci üçbucağın bucağına bərabərdirsə, onda onların sahələri bu bucağa bitişik tərəflərin hasili kimi əlaqələndirilir.

$ABC$ və $A_1B_1C_1$ üçbucaqları oxşar olduğundan, tərifinə görə, $\angle A=\angle A_1$. Sonra 2-ci teoremlə bunu əldə edirik

$\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$ olduğundan, alırıq

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucaq oxşarlığı anlayışı ilə bağlı məsələlər

Misal 1

$ABC$ və $A_1B_1C_1 oxşar üçbucaqlar verilmişdir. Birinci üçbucağın tərəfləri $AB=2,\ BC=5,\ AC=6$-dır. Bu üçbucaqların oxşarlıq əmsalı $k=2$-dır. İkinci üçbucağın tərəflərini tapın.

Həll.

Bu problemin iki mümkün həlli var.

Qoy $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Sonra $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Beləliklə, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Qoy $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Sonra $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Buna görə də, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.

Misal 2

$ABC$ və $A_1B_1C_1 oxşar üçbucaqlarını nəzərə alsaq. Birinci üçbucağın tərəfi $AB=2$, ikinci üçbucağın uyğun tərəfi $A_1B_1=6$-dır. Birinci üçbucağın hündürlüyü $CH=4$-dır. İkinci üçbucağın sahəsini tapın.

Həll.

$ABC$ və $A_1B_1C_1$ üçbucaqları oxşar olduğundan, $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Birinci üçbucağın sahəsini tapaq.

Teorem 1-ə görə bizdə:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \

Dərs 34. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teorem. TEOREM. İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir. burada k - oxşarlıq əmsalıdır. İki oxşar üçbucağın perimetrlərinin nisbəti oxşarlıq əmsalına bərabərdir. V. A. S. R. M. K. Məsələlərin həlli: No 545, 549. Ev tapşırığı: səh.56-58, No 544, 548.

Slayd 6 təqdimatdan “Həndəsə “Oxşar üçbucaqlar””. Təqdimatla birlikdə arxivin ölçüsü 232 KB-dır.

Həndəsə 8 sinif

xülasə digər təqdimatlar

"Oxsal simmetriyanın tərifi" - Təbiətdəki simmetriya. İpucu. Simmetriya oxları. Bir nöqtə çəkin. Bir nöqtənin qurulması. Üçbucağın qurulması. Bir seqmentin qurulması. Xalqlar. Şeirdə simmetriya. Eksenel simmetriyaya malik olmayan fiqurlar. İki simmetriya oxu olan fiqurlar. Düzbucaqlı. Simmetriya. Düz. Nöqtələri çəkin. Eksenel simmetriya. Xətt seqmenti. Simmetriya oxu. İki düz xətt çəkin. Eyni perpendikulyar üzərində uzanan nöqtələr. Proporsionallıq.

"Paralleloqramın sahəsini tapmaq" - Paraleloqramın sahəsini tapın. Paraleloqramın sahəsi. Hündürlük. Kvadratın sahəsini tapın. Kvadratın sahəsi. Paraleloqramın hündürlükləri. Üçbucağın sahəsini tapın. Düzbucaqlı üçbucaqların bərabərliyinin əlamətləri. Düzbucaqlının sahəsini tapın. Paraleloqramın hündürlüyünün təyini. Baza. Üçbucağın sahəsi. Kvadratın perimetrini tapın. Ərazilərin xüsusiyyətləri. Şifahi məşqlər.

"Sahə tapmaq üzrə tapşırıqlar" - Dərs - "Power point" təqdimatı şəklində hazırlanmış yeni materialın izahı. Əsas məqsəd. "Paralleloqramın sahəsi." "Trapezoidin sahəsi." ÖYRƏNİLƏN MATERİALIN YOXLANMASI. Problemi həll edin. İş dəftəri No 42, öyrənilən bütün düsturları təkrarlayın. Düzbucaqlı, paraleloqram, trapesiya və üçbucağın sahələri üçün düsturlar çıxarın. Sahənin ölçülməsi ilə bağlı anlayışınızı genişləndirin və dərinləşdirin. Şagirdlər arasında ərazi anlayışını formalaşdırmaq.

“Həndəsə “Oxşar üçbucaqlar”” - İki üçbucaq oxşar adlanır. Bucağın tərəflərinin mütənasibliyi. Sinus, kosinus və tangensin dəyərləri. Üçbucaqların oxşarlığının ilk əlaməti. Düzbucaqlı üçbucaqda mütənasib seqmentlər. Üçbucağın bissektrisasının xassəsi. Riyazi diktant. İkitərəfli düzbucaqlı üçbucağın sahəsini tapın. Proporsional seqmentlər. 30°, 45°, 60° açılar üçün sinus, kosinus və tangens dəyərləri.

"Dördbucaqlılar" - Kişi. Qarşı tərəflər. Düzbucaqlının tərəfi. Düzbucaqlının nağılı. Düzbucaqlının tərəfləri. Həyatda düzbucaqlı. Düzbucaqlının perimetri. Düzbucaqlı. Diaqonallar. Rəsmlər. Diaqonal. Tərif. Düzbucaqlının sahəsi.

“Dördbucaqlının sahəsi” 8-ci sinif” - Kölgəli kvadratın sahəsi. Düzbucaqlıların hər birinin tərəfləri. ABCD və DСМК kvadratlardır. AB tərəfində paraleloqram qurulur. Sahənin ölçü vahidləri. Kvadratın sahəsini tapın. Düzbucaqlının sahəsi. ABCD paraleloqramdır. Ərazilərin xüsusiyyətləri. Dördbucaqlının sahəsini tapın. Düzbucaqlının kənarlarında tikilmiş kvadratların sahələri. Otağın döşəməsi düzbucaqlı şəklindədir. Kvadratın sahəsi onun tərəfinin kvadratına bərabərdir.

Dərsin məqsədi: oxşar üçbucaqların tərifini verin, oxşar üçbucaqların əlaqəsinə dair teoremi sübut edin.

Dərsin məqsədləri:

Təhsil:Şagirdlər oxşar üçbucaqların tərifini, oxşar üçbucaqların əlaqəsi haqqında teoremi bilməli, onları məsələlərin həlli zamanı tətbiq etməyi bacarmalı, cəbr və fizika ilə fənlərarası əlaqələri həyata keçirməlidir.
Təhsil: zəhmətkeşliyi, diqqətliliyi, əməksevərliyi, şagird davranış mədəniyyətini tərbiyə etmək.
Təhsil:şagirdlərin diqqətinin inkişafı, düşünmə, məntiqi düşünmə, nəticə çıxarma qabiliyyətinin inkişafı, şagirdlərin səriştəli riyazi nitq və təfəkkürünün inkişafı, özünü təhlil və müstəqillik bacarıqlarının inkişafı.
Sağlamlığa qənaət: sanitar-gigiyenik normalara uyğunluq, dərsdə fəaliyyət növlərinin dəyişdirilməsi.

Avadanlıq: kompüter, proyektor, didaktik material: müstəqil və test sənədləri 8-ci sinif üçün cəbr və həndəsə A.P. Erşova və s.

Dərsin növü: yeni material öyrənmək.

Dərslər zamanı

I. Təşkilati məqam(salamlaşma, dərsə hazırlığı yoxlamaq).

II. Dərs mövzusu mesajı.

Müəllim: IN Gündəlik həyat Eyni formalı, lakin müxtəlif ölçülü obyektlər var.

Misal: futbol və tennis topları.

Həndəsədə eyni formalı fiqurlar oxşar adlanır: istənilən iki dairə, istənilən iki kvadrat.

Oxşar üçbucaqlar anlayışını təqdim edək.

Tərif: Bucaqları müvafiq olaraq bərabərdirsə və bir üçbucağın tərəfləri digərinin oxşar tərəflərinə mütənasibdirsə, iki üçbucaq oxşar adlanır.

Nömrə k, oxşar üçbucaqların oxşar tərəflərinin nisbətinə bərabər olana oxşarlıq əmsalı deyilir. ΔABC ~ A 1 B 1 C 1

1. Şifahi:Üçbucaqlar oxşardırmı? Niyə? (ekranda hazırlanmış rəsm).

a) ABC üçbucağı və üçbucağı A 1 B 1 C 1, əgər AB = 7, BC = 5, AC = 4, ∠A = 46˚, ∠C = 84˚, ∠A 1 = 46˚, ∠B 1 = 50 ˚, A 1 B 1 = 10,5, B 1 C 1 = 7,5, A 1 C 1 = 6.

b) İkitərəfli üçbucağın birində təpə bucağı 24˚, digər ikitərəfli üçbucaqda isə əsas bucaq 78˚-dir.

Uşaqlar! Bucaqları bərabər olan üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremi xatırlayaq.

Teorem: Bir üçbucağın bucağı digər üçbucağın bucağına bərabərdirsə, bu üçbucaqların sahələri bərabər bucaqları əhatə edən tərəflərin məhsulu kimi əlaqələndirilir.

2. Yazılı iş hazırlanmış çertyojlara uyğun olaraq.

Ekrandakı rəsm:

a) Verilmiş: BN: NC = 1:2,

BM = 7 sm, AM = 3 sm,

S MBN = 7 sm 2 .

Tapın: S ABC

(Cavab: 30 sm 2.)

b) Verilmiş: AE = 2 sm,

S AEK = 8 sm 2.

Tapın: S ABC

(Cavab: 56 sm 2.)

3. Oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremi sübut edək ( Şagird teoremi lövhədə sübut edir, bütün sinif kömək edir).

Teorem:İki oxşar üçbucağın nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir.

4. Biliklərin yenilənməsi.

Problemin həlli:

1. İki oxşar üçbucağın sahələri 75 sm 2 və 300 sm 2-dir. İkinci üçbucağın tərəflərindən biri 9 sm-dir. Birinci üçbucağın ona bənzər tərəfini tapın. ( Cavab: 4,5 sm)

2. Oxşar üçbucaqların oxşar tərəfləri 6 sm və 4 sm, sahələrinin cəmi isə 78 sm 2-dir. Bu üçbucaqların sahələrini tapın. ( Cavab: 54 sm 2 və 24 sm 2.)

Vaxtın varsa müstəqil iş təhsil xarakterlidir.

Seçim 1

Oxşar üçbucaqların oxşar tərəfləri 7 sm və 35 sm-ə bərabərdir.

Birinci üçbucağın sahəsi 27 sm 2-dir.

İkinci üçbucağın sahəsini tapın. ( Cavab: 675 sm 2.)

Seçim 2

Oxşar üçbucaqların sahələri 17 sm 2 və 68 sm 2-dir. Birinci üçbucağın tərəfi 8 sm-dir. İkinci üçbucağın oxşar tərəfini tapın. ( Cavab: 4 sm)

5. Ev tapşırığı: həndəsə dərsliyi 7-9 L.S. Atanasyan və başqaları, paraqraflar 57, 58, No 545, 547.

6. Dərsin yekunlaşdırılması.

Proporsional seqmentlər

Oxşarlıq anlayışını təqdim etmək üçün əvvəlcə mütənasib seqmentlər anlayışını xatırlatmaq lazımdır. İki seqmentin nisbətinin tərifini də xatırlayaq.

Tərif 1

İki seqmentin nisbəti onların uzunluqlarının nisbətidir.

Seqmentlərin mütənasibliyi anlayışı daha çox sayda seqmentə də aiddir. Məsələn, $AB=2$, $CD=4$, $A_1B_1=1$, $C_1D_1=2$, $A_2B_2=4$, $C_2D_2=8$, sonra

Yəni $AB$, $A_1B_1$, $\A_2B_2$ seqmentləri $CD$, $C_1D_1$, $C_2D_2$ seqmentləri ilə mütənasibdir.

Oxşar üçbucaqlar

Əvvəlcə oxşarlıq anlayışının ümumiyyətlə nəyi ifadə etdiyini xatırlayaq.

Tərif 3

Rəqəmlər eyni formaya, lakin müxtəlif ölçülərə malikdirsə, oxşar adlanır.

İndi oxşar üçbucaqlar anlayışını anlayaq. Şəkil 1-i nəzərdən keçirin.

Şəkil 1. İki üçbucaq

Qoy bu üçbucaqlar $\bucaq A=\bucaq A_1,\ \bucaq B=\bucaq B_1,\ \bucaq C=\bucaq C_1$ olsun. Aşağıdakı tərifi təqdim edək:

Tərif 4

İki üçbucağın tərəfləri, bu üçbucaqların bərabər bucaqlarının əksinə yerləşirsə, oxşar adlanır.

Şəkil 1-də $AB$ və $A_1B_1$, $BC$ və $B_1C_1$, $AC$ və $A_1C_1$ tərəfləri oxşardır. İndi oxşar üçbucaqların tərifini təqdim edək.

Tərif 5

\[\bucaq A=\bucaq A_1,\ \bucaq B=\bucaq B_1,\ \bucaq C=\bucaq C_1,\] \[\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C) _1)=\frac(AC)(A_1C_1)\]

Şəkil 1 oxşar üçbucaqları göstərir.

Təyinat: $ABC\sim A_1B_1C_1$

Oxşarlıq anlayışı üçün oxşarlıq əmsalı anlayışı da var.

Tərif 6

Oxşar fiqurların oxşar tərəflərinin nisbətinə bərabər olan $k$ ədədi bu rəqəmlərin oxşarlıq əmsalı adlanır.

Oxşar üçbucaqların sahələri

İndi oxşar üçbucaqların sahələrinin nisbəti haqqında teoremi nəzərdən keçirək.

Teorem 1

İki oxşar üçbucağın sahələrinin nisbəti oxşarlıq əmsalının kvadratına bərabərdir, yəni

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\]

Sübut.

İki oxşar üçbucağı nəzərdən keçirək və onların sahələrini müvafiq olaraq $S$ və $S_1$ kimi qeyd edək (şək. 2).

Şəkil 2.

Bu teoremi sübut etmək üçün aşağıdakı teoremi xatırlayın:

Teorem 2

Bir üçbucağın bucağı ikinci üçbucağın bucağına bərabərdirsə, onda onların sahələri bu bucağa bitişik tərəflərin hasili kimi əlaqələndirilir.

$ABC$ və $A_1B_1C_1$ üçbucaqları oxşar olduğundan, tərifinə görə, $\angle A=\angle A_1$. Sonra 2-ci teoremlə bunu əldə edirik

$\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(AC)(A_1C_1)=k$ olduğundan, alırıq

Teorem sübut edilmişdir.

Üçbucaq oxşarlığı anlayışı ilə bağlı məsələlər

Misal 1

Həll.

Bu problemin iki mümkün həlli var.

Qoy $k=\frac(A_1B_1)(AB)=\frac((B_1C)_1)(BC)=\frac(A_1C_1)(AC)$.

Sonra $A_1B_1=kAB,\ (B_1C)_1=kBC,\ A_1C_1=kAC$.

Beləliklə, $A_1B_1=4,\ (B_1C)_1=10,\ A_1C_1=12$

Qoy $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(BC)((B_1C)_1)=\frac(AC)(A_1C_1)$

Sonra $A_1B_1=\frac(AB)(k),\ (B_1C)_1=\frac(BC)(k),\ A_1C_1=\frac(AC)(k)$.

Buna görə də, $A_1B_1=1,\ (B_1C)_1=2.5,\ \ A_1C_1=3$.

Misal 2

Həll.

$ABC$ və $A_1B_1C_1$ üçbucaqları oxşar olduğundan, $k=\frac(AB)(A_1B_1)=\frac(1)(3)$.

Birinci üçbucağın sahəsini tapaq.

Teorem 1-ə görə bizdə:

\[\frac(S_(ABC))(S_(A_1B_1C_1))=k^2\] \[\frac(4)(S_(A_1B_1C_1))=\frac(1)(9)\] \