İfadələr, ifadələrin çevrilməsi

Güc ifadələri (güclü ifadələr) və onların çevrilməsi

Bu yazıda ifadələri güclərlə çevirmək haqqında danışacağıq. Birincisi, mötərizələrin açılması və oxşar terminlərin gətirilməsi kimi güc ifadələri də daxil olmaqla istənilən növ ifadələrlə həyata keçirilən transformasiyalara diqqət yetirəcəyik. Və sonra biz dərəcələri olan ifadələrə xas olan çevrilmələri təhlil edəcəyik: əsas və eksponent ilə işləmək, dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə etmək və s.

Səhifə naviqasiyası.

Güc ifadələri hansılardır?

termini " güc ifadələri"Məktəb riyaziyyat dərsliklərində praktiki olaraq tapılmır, lakin bu, məsələn, Vahid Dövlət İmtahanı və Vahid Dövlət İmtahanına hazırlıq üçün nəzərdə tutulan problemlər toplularında olduqca tez-tez rast gəlinir. Güc ifadələri ilə hər hansı bir hərəkəti yerinə yetirmək lazım olan tapşırıqları təhlil etdikdən sonra aydın olur ki, güc ifadələri onların girişlərində səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələr kimi başa düşülür. Beləliklə, özünüz üçün aşağıdakı tərifi qəbul edə bilərsiniz:

Tərif.

Güc ifadələri səlahiyyətləri ehtiva edən ifadələrdir.

verək güc ifadələrinə nümunələr. Üstəlik, onları dərəcədən dərəcəyə baxışların inkişafının necə baş verdiyinə görə təqdim edəcəyik. təbii göstərici həqiqi göstərici ilə bir dərəcəyə qədər.

Məlum olduğu kimi, ilk növbədə bu mərhələdə natural göstəricili ədədin gücü ilə tanış olur, 3 tipli ən sadə dərəcə ifadələri 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0.1); 4, 3 a 2 görünür −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 və s.

Bir az sonra tam eksponentli ədədin gücü öyrənilir ki, bu da tam ədədlərlə güc ifadələrinin yaranmasına səbəb olur. mənfi güclər, aşağıdakı kimi: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

Orta məktəbdə dərəcələrə qayıdırlar. Müvafiq güc ifadələrinin görünməsinə səbəb olan rasional eksponentli dərəcə təqdim olunur: , , və s. Nəhayət, irrasional göstəriciləri olan dərəcələr və onları ehtiva edən ifadələr nəzərdən keçirilir: , .

Məsələ sadalanan güc ifadələri ilə məhdudlaşmır: daha sonra dəyişən eksponentə nüfuz edir və məsələn, aşağıdakı ifadələr yaranır: 2 x 2 +1 və ya . Və ilə tanış olduqdan sonra gücü və loqarifmli ifadələr görünməyə başlayır, məsələn, x 2·lgx −5·x lgx.

Beləliklə, biz güc ifadələrinin nəyi təmsil etdiyi sualı ilə məşğul olduq. Sonra onları dəyişdirməyi öyrənəcəyik.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

Güc ifadələri ilə siz ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrindən hər hansı birini həyata keçirə bilərsiniz. Məsələn, mötərizələri aça, ədədi ifadələri onların qiymətləri ilə əvəz edə, oxşar terminlər əlavə edə və s. Təbii ki, bu halda hərəkətləri yerinə yetirmək üçün qəbul edilmiş prosedura riayət etmək lazımdır. Nümunələr verək.

Misal.

Güc ifadəsinin qiymətini hesablayın 2 3 ·(4 2 −12) .

Həll.

Hərəkətlərin yerinə yetirilmə sırasına uyğun olaraq əvvəlcə mötərizədə olan hərəkətləri yerinə yetirin. Orada, birincisi, 4 2 gücünü 16 qiyməti ilə əvəz edirik (lazım olduqda, bax), ikincisi, 16−12=4 fərqini hesablayırıq. bizdə var 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

Alınan ifadədə 2 3 gücünü onun qiyməti 8 ilə əvəz edirik, bundan sonra 8·4=32 hasilini hesablayırıq. Bu arzu olunan dəyərdir.

Belə ki, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Cavab:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Misal.

İfadələri güclərlə sadələşdirin 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Həll.

Aydındır ki, bu ifadədə oxşar 3·a 4 ·b −7 və 2·a 4 ·b −7 terminləri var və biz onları təqdim edə bilərik: .

Cavab:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Misal.

Gücləri olan ifadəni məhsul kimi ifadə edin.

Həll.

Tapşırığın öhdəsindən 9 rəqəmini 3 2 gücü kimi təqdim edərək və sonra qısaldılmış vurma formulundan istifadə edə bilərsiniz - kvadratların fərqi:

Cavab:

Nömrə də var şəxsiyyət çevrilmələri, xüsusilə güc ifadələrinə xasdır. Onları daha ətraflı təhlil edəcəyik.

Baza və eksponentlə işləmək

Elə dərəcələr var ki, onların bazası və/və ya eksponenti sadəcə ədədlər və ya dəyişənlər deyil, bəzi ifadələrdir. Nümunə olaraq (2+0,3·7) 5−3,7 və (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) girişlərini veririk.

Belə ifadələrlə işləyərkən həm dərəcə bazasındakı ifadəni, həm də eksponentdəki ifadəni onun dəyişənlərinin ODZ-də eyni bərabər ifadə ilə əvəz edə bilərsiniz. Başqa sözlə desək, bizə məlum olan qaydalara görə dərəcənin əsasını ayrı-ayrılıqda, göstəricini isə ayrıca çevirə bilərik. Aydındır ki, bu çevrilmə nəticəsində orijinala eyni şəkildə bərabər olan bir ifadə alınacaq.

Bu cür çevrilmələr bizə güclərlə ifadələri sadələşdirməyə və ya ehtiyac duyduğumuz digər məqsədlərə nail olmağa imkan verir. Məsələn, yuxarıda qeyd olunan güc ifadəsində (2+0,3 7) 5−3,7 baza və eksponentdəki rəqəmlərlə əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz ki, bu da 4,1 1,3 gücünə keçməyə imkan verəcək. Mötərizələri açıb oxşar şərtləri (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) dərəcə əsasına gətirdikdən sonra daha çox güc ifadəsi alırıq. sadə növü a 2·(x+1) .

Dərəcə Xüsusiyyətlərindən istifadə

İfadələri güclərlə çevirmək üçün əsas vasitələrdən biri əks etdirən bərabərliklərdir. Əsas olanları xatırlayaq. İstənilən müsbət a və b ədədləri və ixtiyari həqiqi r və s ədədləri üçün güclərin aşağıdakı xassələri doğrudur:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Nəzərə alın ki, natural, tam və müsbət göstəricilər üçün a və b rəqəmlərinə qoyulan məhdudiyyətlər o qədər də sərt olmaya bilər. Məsələn, m və n natural ədədləri üçün a m ·a n =a m+n bərabərliyi təkcə müsbət a üçün deyil, həm də mənfi a, a=0 üçün də doğrudur.

Məktəbdə güc ifadələrini dəyişdirərkən əsas diqqət müvafiq xüsusiyyəti seçmək və onu düzgün tətbiq etmək bacarığıdır. Bu halda dərəcələrin əsasları adətən müsbət olur ki, bu da dərəcələrin xüsusiyyətlərindən məhdudiyyətsiz istifadə etməyə imkan verir. Eyni şey, səlahiyyətlərin əsaslarında dəyişənləri ehtiva edən ifadələrin çevrilməsinə də aiddir - dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonu adətən elədir ki, əsaslar onun üzərində yalnız müsbət dəyərlər alır, bu da səlahiyyətlərin xüsusiyyətlərindən sərbəst istifadə etməyə imkan verir. . Ümumiyyətlə, bu vəziyyətdə dərəcələrin hər hansı bir xüsusiyyətindən istifadə etmək mümkün olub-olmadığını özünüzdən daim soruşmalısınız, çünki xassələrin qeyri-dəqiq istifadəsi təhsil dəyərinin daralmasına və digər çətinliklərə səbəb ola bilər. Dərəcələrin xüsusiyyətlərindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi məqaləsində bu məqamlar ətraflı və misallarla müzakirə olunur. Burada bir neçə sadə nümunəni nəzərdən keçirməklə kifayətlənəcəyik.

Misal.

a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 ifadəsini a əsaslı qüvvə ilə ifadə edin.

Həll.

Birincisi, ikinci amili (a 2) −3-ü gücü gücə yüksəltmək xüsusiyyətindən istifadə edərək çeviririk: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Orijinal güc ifadəsi a 2.5 ·a −6:a −5.5 formasını alacaq. Aydındır ki, eyni əsasla güclərin vurma və bölgü xassələrindən istifadə etmək qalır, bizdə
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Cavab:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Güc ifadələrini çevirərkən səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri həm soldan sağa, həm də sağdan sola istifadə olunur.

Misal.

Güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll.

Sağdan sola tətbiq olunan (a·b) r =a r ·b r bərabərliyi bizə ilkin ifadədən formanın hasilinə və daha da irəli getməyə imkan verir. Və səlahiyyətləri ilə çarpan zaman eyni əsaslarla göstəricilər əlavə olunur: .

Orijinal ifadəni başqa bir şəkildə çevirmək mümkün idi:

Cavab:

.

Misal.

1.5 −a 0.5 −6 güc ifadəsini nəzərə alaraq, yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim edin.

Həll.

a 1,5 dərəcəsi 0,5 3 kimi göstərilə bilər və sonra sağdan sola tətbiq olunan dərəcənin (a r) s =a r s dərəcəsinə xassəsinə əsaslanaraq onu (a 0,5) 3 formasına çevirin. Beləliklə, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. İndi yeni t=a 0.5 dəyişənini təqdim etmək asandır, biz t 3 −t−6 alırıq.

Cavab:

t 3 −t−6 .

Gücləri ehtiva edən kəsrlərin çevrilməsi

Güc ifadələri səlahiyyətləri olan kəsrləri ehtiva edə və ya təmsil edə bilər. İstənilən növ kəsrlərə xas olan kəsrlərin əsas çevrilmələrindən hər hansı biri bu cür kəsrlərə tam tətbiq olunur. Yəni, səlahiyyətləri olan kəsrləri azaltmaq, yeni məxrəcə endirmək, onların payı ilə ayrı, məxrəclə ayrı işləmək və s. Bu sözləri göstərmək üçün bir neçə nümunənin həllini nəzərdən keçirin.

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Bu güc ifadəsi kəsirdir. Gəlin onun payı və məxrəci ilə işləyək. Hesabda mötərizələri açır və güclərin xassələrindən istifadə edərək yaranan ifadəni sadələşdiririk və məxrəcdə oxşar şərtləri təqdim edirik:

Həm də kəsrin qarşısına mənfi qoyaraq məxrəcin işarəsini dəyişdirək: .

Cavab:

.

Səlahiyyətləri olan kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi rasional kəsrlərin yeni məxrəcə endirilməsi ilə eyni şəkildə həyata keçirilir. Bu zaman əlavə amil də tapılır və kəsrin payı və məxrəci ona vurulur. Bu hərəkəti yerinə yetirərkən, yeni bir məxrəcə endirilmənin ODZ-nin daralmasına səbəb ola biləcəyini xatırlamaq lazımdır. Bunun baş verməsinin qarşısını almaq üçün orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün əlavə amilin sıfıra enməməsi lazımdır.

Misal.

Kəsrləri yeni məxrəcə endirin: a) məxrəc a, b) məxrəcə.

Həll.

a) Bu halda əlavə çarpanın nəyə nail olmağa kömək etdiyini anlamaq olduqca asandır istənilən nəticə. Bu, 0,3-ün çarpanıdır, çünki a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Qeyd edək ki, a dəyişəninin icazə verilən dəyərləri diapazonunda (bu, bütün müsbət həqiqi ədədlərin toplusudur) 0,3-ün gücü itmir, buna görə də verilmiş bir ədədin payını və məxrəcini çoxaltmaq hüququmuz var. bu əlavə faktora görə hissə:

b) Məxrəcə daha yaxından nəzər saldıqda bunu tapa bilərsiniz

və bu ifadəni vurmaq kubların cəmini verəcək və , yəni . Və bu, ilkin kəsri azaltmalı olduğumuz yeni məxrəcdir.

Əlavə faktoru belə tapdıq. X və y dəyişənlərinin icazə verilən dəyərləri diapazonunda ifadə itmir, buna görə də fraksiyanın payını və məxrəcini onunla çarpa bilərik:

Cavab:

A) , b) .

Tərkibində səlahiyyətləri olan fraksiyaların azaldılmasında da yeni bir şey yoxdur: pay və məxrəc bir sıra amillər kimi təmsil olunur və pay və məxrəcin eyni amilləri azaldılır.

Misal.

Kəsiri azaldın: a) , b).

Həll.

a) Birincisi, pay və məxrəci 15-ə bərabər olan 30 və 45 rəqəmləri ilə azaltmaq olar. Həmçinin açıq-aydın x 0,5 +1 və bir azalma həyata keçirmək mümkündür . Budur bizdə:

b) Bu halda pay və məxrəcdə eyni amillər dərhal görünmür. Onları əldə etmək üçün ilkin çevrilmələri yerinə yetirməli olacaqsınız. Bu halda, onlar kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəci faktorlara ayırmaqdan ibarətdir:

Cavab:

A)

b) .

Kəsrləri yeni məxrəcə çevirmək və kəsrləri azaltmaq, əsasən, kəsrlərlə iş görmək üçün istifadə olunur. Hərəkətlər məlum qaydalara uyğun həyata keçirilir. Kəsrləri toplayanda (çıxarkən) onlar ümumi məxrəcə endirilir, bundan sonra saylar əlavə olunur (çıxılır), lakin məxrəc eyni qalır. Nəticə kəsrdir ki, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir. Kəsrə bölmə onun tərsinə vurmaqdır.

Misal.

Addımları izləyin .

Həll.

Əvvəlcə mötərizədə kəsrləri çıxarırıq. Bunun üçün biz onları ortaq məxrəcə gətiririk, yəni , bundan sonra sayları çıxarırıq:

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

Aydındır ki, x 1/2 gücü ilə azaltmaq mümkündür, bundan sonra bizdə var .

Siz həmçinin kvadratların fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: .

Cavab:

Misal.

Güc ifadəsini sadələşdirin .

Həll.

Aydındır ki, bu kəsr (x 2.7 +1) 2 ilə azaldıla bilər, bu kəsr verir. . Aydındır ki, X-in səlahiyyətləri ilə başqa bir şey etmək lazımdır. Bunun üçün yaranan fraksiyanı məhsula çeviririk. Bu, bizə eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə etmək imkanı verir: . Və prosesin sonunda biz son məhsuldan fraksiyaya keçirik.

Cavab:

.

Və onu da əlavə edək ki, göstəricinin işarəsini dəyişdirərək mənfi göstəriciləri olan amilləri saydan məxrəcə və ya məxrəcdən paya köçürmək mümkündür və bir çox hallarda arzuolunandır. Bu cür çevrilmələr çox vaxt sadələşdirir əlavə tədbirlər. Məsələn, güc ifadəsi ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Çox vaxt bəzi çevrilmələrin tələb olunduğu ifadələrdə səlahiyyətlərlə yanaşı kəsr göstəriciləri olan köklər də olur. Belə bir ifadəni çevirmək üçün düzgün tip, əksər hallarda yalnız köklərə və ya yalnız güclərə getmək kifayətdir. Amma səlahiyyətlərlə işləmək daha əlverişli olduğundan onlar adətən kökdən güclərə keçirlər. Bununla belə, orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ-i modula müraciət etmədən və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmədən kökləri səlahiyyətlərlə əvəz etməyə imkan verdikdə belə bir keçidin həyata keçirilməsi məqsədəuyğundur (bunu ətraflı müzakirə etdik. artiklin köklərdən güclərə və geriyə keçidi Rasional göstərici ilə dərəcə ilə tanış olduqdan sonra irrasional göstəricili dərəcə təqdim olunur ki, bu da ixtiyari real göstəricili dərəcə haqqında danışmağa imkan verir məktəbdə oxuyub. eksponensial funksiya, əsası ədəd, göstəricisi isə dəyişən olan qüvvə ilə analitik olaraq verilmişdir. Beləliklə, biz güc bazasında ədədlər, eksponentdə isə dəyişənli ifadələr olan güc ifadələri ilə qarşılaşırıq və təbii olaraq belə ifadələrin çevrilməsini həyata keçirmək zərurəti yaranır.

Qeyd etmək lazımdır ki, göstərilən tipli ifadələrin çevrilməsi adətən həll edildikdə həyata keçirilməlidir eksponensial tənliklər Və eksponensial bərabərsizliklər, və bu çevrilmələr olduqca sadədir. Əksər hallarda, onlar dərəcənin xüsusiyyətlərinə əsaslanır və əksər hallarda gələcəkdə yeni bir dəyişən təqdim etməyə yönəldilmişdir. Tənlik bizə onları nümayiş etdirməyə imkan verəcək 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Birincisi, eksponentlərində müəyyən bir dəyişənin (və ya dəyişənlərlə ifadənin) və bir ədədin cəmi olan səlahiyyətlər məhsullarla əvəz olunur. Bu, sol tərəfdəki ifadənin ilk və son şərtlərinə aiddir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Sonra, bərabərliyin hər iki tərəfi 7 2 x ifadəsi ilə bölünür, orijinal tənlik üçün x dəyişəninin ODZ-də yalnız müsbət qiymətlər alır (bu, bu tip tənliklərin həlli üçün standart bir texnikadır, biz deyilik. İndi bu barədə danışarkən, güclərlə ifadələrin sonrakı çevrilməsinə diqqət yetirin ):

İndi səlahiyyətləri olan kəsrləri ləğv edə bilərik, bu da verir .

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik güclərin nisbəti münasibətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur, nəticədə tənlik əldə edilir. , ekvivalentdir . Edilən transformasiyalar həlli orijinala endirən yeni dəyişən təqdim etməyə imkan verir eksponensial tənlik kvadrat tənliyin həlli üçün

I. V. Boykov, L. D. Romanova Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün tapşırıqlar toplusu. 1-ci hissə. Penza 2003.

İfadələrin güclərlə çevrilməsi mövzusunu nəzərdən keçirək, lakin əvvəlcə güc ifadələri də daxil olmaqla istənilən ifadələrlə həyata keçirilə bilən bir sıra transformasiyalar üzərində dayanaq. Mötərizənin açılmasını, oxşar terminlərin əlavə edilməsini, əsaslar və göstəricilərlə işləməyi, gücün xassələrindən istifadə etməyi öyrənəcəyik.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Güc ifadələri hansılardır?

IN məktəb kursu Az adam "güc ifadələri" ifadəsini istifadə edir, lakin bu terminə Vahid Dövlət İmtahanına hazırlaşmaq üçün kolleksiyalarda daim rast gəlinir. Əksər hallarda, bir ifadə girişlərində dərəcələri ehtiva edən ifadələri bildirir. Bunu tərifimizdə əks etdirəcəyik.

Tərif 1

Güc ifadəsi səlahiyyətləri ehtiva edən ifadədir.

Təbii göstəricisi olan qüvvə ilə başlayıb həqiqi göstəricisi olan qüvvə ilə bitən güc ifadələrinə bir neçə nümunə verək.

Ən sadə güc ifadələrini təbii göstəricisi olan ədədin dərəcələri hesab etmək olar: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . Həm də sıfır eksponentli güclər: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. Və mənfi tam gücə malik güclər: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Rasional və irrasional göstəriciləri olan dərəcə ilə işləmək bir az daha çətindir: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Göstərici 3 x - 54 - 7 3 x - 58 dəyişəni və ya loqarifm ola bilər. x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Biz güc ifadələrinin nə olduğu sualı ilə məşğul olmuşuq. İndi onları çevirməyə başlayaq.

Güc ifadələrinin çevrilmələrinin əsas növləri

İlk növbədə, güc ifadələri ilə yerinə yetirilə bilən ifadələrin əsas şəxsiyyət çevrilmələrinə baxacağıq.

Misal 1

Güc ifadəsinin dəyərini hesablayın 2 3 (4 2 − 12).

Həll

Biz bütün dəyişiklikləri tədbirlər sırasına uyğun olaraq həyata keçirəcəyik. Bu halda, mötərizədə hərəkətləri yerinə yetirməklə başlayacağıq: dərəcəni rəqəmsal dəyərlə əvəz edəcəyik və iki ədədin fərqini hesablayacağıq. bizdə var 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Etməli olduğumuz yeganə şey dərəcəsini dəyişdirməkdir 2 3 onun mənası 8 və məhsulu hesablayın 8 4 = 32. Cavabımız budur.

Cavab: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Misal 2

Güclərlə ifadəni sadələşdirin 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Həll

Problem ifadəsində bizə verilən ifadədə verə biləcəyimiz oxşar terminlər var: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Cavab: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Misal 3

9 - b 3 · π - 1 2 səlahiyyətləri olan ifadəni hasil kimi ifadə edin.

Həll

Gəlin 9 rəqəmini güc kimi təsəvvür edək 3 2 və qısaldılmış vurma düsturunu tətbiq edin:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Cavab: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1.

İndi xüsusi olaraq güc ifadələrinə tətbiq oluna bilən şəxsiyyət çevrilmələrinin təhlilinə keçək.

Baza və eksponentlə işləmək

Baza və ya eksponentdəki dərəcə rəqəmlər, dəyişənlər və bəzi ifadələrə malik ola bilər. Misal üçün, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Və . Belə qeydlərlə işləmək çətindir. Dərəcə bazasındakı ifadəni və ya eksponentdəki ifadəni eyni dərəcədə bərabər ifadə ilə əvəz etmək çox asandır.

Dərəcə və eksponent çevrilmələri bir-birindən ayrı olaraq bizə məlum olan qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir. Ən əsası odur ki, çevrilmə nəticəsində orijinal ifadə ilə eynilik yaranır.

Transformasiyaların məqsədi orijinal ifadəni sadələşdirmək və ya problemin həllini əldə etməkdir. Məsələn, yuxarıda verdiyimiz nümunədə (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 dərəcəyə keçmək üçün addımları izləyə bilərsiniz. 4 , 1 1 , 3 . Mötərizələri açmaqla güc əsasına oxşar şərtləri təqdim edə bilərik (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) və daha sadə formanın güc ifadəsini əldə edin a 2 (x + 1).

Dərəcə Xüsusiyyətlərindən istifadə

Bərabərlik şəklində yazılan səlahiyyətlərin xassələri səlahiyyətlərlə ifadələrin çevrilməsi üçün əsas vasitələrdən biridir. Bunu nəzərə alaraq əsas olanları burada təqdim edirik a Və b istənilən müsbət ədədlərdir və r Və s- ixtiyari real ədədlər:

Tərif 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s .

Təbii, tam, müsbət eksponentlərlə məşğul olduğumuz hallarda a və b rəqəmlərinə məhdudiyyətlər daha az sərt ola bilər. Beləliklə, məsələn, bərabərliyi nəzərə alsaq a m · a n = a m + n, Harada m Və n natural ədədlərdirsə, o, həm müsbət, həm mənfi, həm də a-nın istənilən dəyəri üçün doğru olacaqdır a = 0.

Səlahiyyətlərin xüsusiyyətləri, səlahiyyətlərin əsasları müsbət olduqda və ya icazə verilən dəyərlər diapazonu əsasların yalnız müsbət dəyərləri qəbul etdiyi dəyişənləri ehtiva etdiyi hallarda məhdudiyyətsiz istifadə edilə bilər. Əslində, məktəb riyaziyyat kurikulumunda şagirdin vəzifəsi uyğun xassə seçmək və onu düzgün tətbiq etməkdir.

Universitetlərə daxil olmağa hazırlaşarkən, xassələrin qeyri-dəqiq tətbiqinin DL-nin daralmasına və həllində digər çətinliklərə səbəb olacağı problemlərlə qarşılaşa bilərsiniz. Bu bölmədə biz yalnız iki belə halı araşdıracağıq. Mövzu ilə bağlı daha çox məlumatı "Güclərin xassələrindən istifadə edərək ifadələrin çevrilməsi" mövzusunda tapa bilərsiniz.

Misal 4

ifadəsini təsəvvür edin a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5əsaslı bir güc şəklində a.

Həll

Birincisi, eksponentasiya xüsusiyyətindən istifadə edirik və ondan istifadə edərək ikinci amili çeviririk (a 2) − 3. Sonra eyni əsasla güclərin vurma və bölmə xüsusiyyətlərindən istifadə edirik:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

Cavab: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Güc ifadələrinin səlahiyyətlərin xassəsinə görə çevrilməsi həm soldan sağa, həm də əks istiqamətdə həyata keçirilə bilər.

Misal 5

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 güc ifadəsinin qiymətini tapın.

Həll

Bərabərliyi tətbiq etsək (a · b) r = a r · b r, sağdan sola 3 · 7 1 3 · 21 2 3 və sonra 21 1 3 · 21 2 3 şəklində hasil alırıq. Eyni əsaslarla dərəcələri vurarkən göstəriciləri əlavə edək: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Transformasiyanı həyata keçirməyin başqa bir yolu var:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Cavab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Misal 6

Güc ifadəsi verilir a 1, 5 − a 0, 5 − 6, yeni dəyişən daxil edin t = a 0,5.

Həll

Gəlin dərəcəsini təsəvvür edək a 1, 5 Necə 0,5 3. Dərəcədən dərəcəyə xassəsindən istifadə (a r) s = a r · s sağdan sola və biz (a 0, 5) 3 alırıq: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Yaranan ifadəyə asanlıqla yeni dəyişən təqdim edə bilərsiniz t = a 0,5: alırıq t 3 − t − 6.

Cavab: t 3 − t − 6 .

Gücləri ehtiva edən kəsrlərin çevrilməsi

Tipik olaraq biz kəsrlərlə güc ifadələrinin iki versiyası ilə məşğul oluruq: ifadə gücü olan bir kəsri təmsil edir və ya belə bir kəsri ehtiva edir. Kəsrin bütün əsas çevrilmələri bu cür ifadələrə məhdudiyyətsiz tətbiq olunur. Onlar azaldıla, yeni məxrəcə gətirilə və ya pay və məxrəclə ayrıca işlənə bilər. Bunu misallarla izah edək.

Misal 7

Güc ifadəsini sadələşdirin 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

Həll

Biz kəsrlə məşğul oluruq, ona görə də həm pay, həm də məxrəcdə transformasiyalar aparacağıq:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Məxrəcin işarəsini dəyişmək üçün kəsrin qarşısına mənfi işarə qoyun: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Cavab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Tərkibində səlahiyyətləri olan kəsrlər rasional kəsrlərlə eyni şəkildə yeni məxrəcə endirilir. Bunun üçün əlavə əmsal tapmaq və kəsrin payını və məxrəcini ona vurmaq lazımdır. Orijinal ifadə üçün ODZ dəyişənlərindən dəyişənlərin heç bir dəyəri üçün sıfıra getməməsi üçün əlavə bir amil seçmək lazımdır.

Misal 8

Kəsrləri yeni məxrəcə endirin: a) məxrəcə a + 1 a 0, 7 a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 məxrəcə x + 8 · y 1 2 .

Həll

a) Yeni məxrəcə endirməyə imkan verəcək əmsalı seçək. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, ona görə də əlavə amil kimi götürəcəyik a 0, 3. a dəyişəninin icazə verilən dəyərlərinin diapazonuna bütün müsbət real ədədlər dəsti daxildir. Bu sahədə dərəcə a 0, 3 sıfıra düşmür.

Kəsirin payını və məxrəcini vuraq a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Məxrəcə diqqət yetirək:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Bu ifadəni x 1 3 + 2 · y 1 6-ya vuraq, x 1 3 və 2 · y 1 6 kublarının cəmini alırıq, yəni. x + 8 · y 1 2 . Bu, bizim yeni məxrəcimizdir, ona ilkin fraksiyanı azaltmalıyıq.

X 1 3 + 2 · y 1 6 əlavə əmsalını belə tapdıq. Dəyişənlərin icazə verilən dəyərlərinin diapazonunda x Və y x 1 3 + 2 y 1 6 ifadəsi itmir, ona görə də kəsrin payını və məxrəcini ona vura bilərik:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Cavab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Misal 9

Kəsri azaldın: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Həll

a) Biz payı və məxrəci azalda biləcəyimiz ən böyük ortaq məxrəcdən (GCD) istifadə edirik. 30 və 45 nömrələri üçün 15-dir. Biz də azalma edə bilərik x0,5+1 və x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 üzərində.

Biz əldə edirik:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Burada eyni amillərin mövcudluğu aydın deyil. Numerator və məxrəcdə eyni amilləri əldə etmək üçün bəzi çevrilmələr etməli olacaqsınız. Bunu etmək üçün kvadratlar fərqi düsturundan istifadə edərək məxrəci genişləndiririk:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Cavab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x) 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Kəsrlərlə əsas əməliyyatlara fraksiyaları yeni məxrəcə çevirmək və kəsrləri azaltmaq daxildir. Hər iki hərəkət bir sıra qaydalara uyğun olaraq həyata keçirilir. Kəsrlərin toplanması və çıxılması zamanı əvvəlcə kəsrlər ortaq məxrəcə endirilir, bundan sonra ədədlərlə əməliyyatlar (toplama və ya çıxma) yerinə yetirilir. Məxrəc eyni qalır. Hərəkətlərimizin nəticəsi yeni kəsrdir, onun payı sayların hasili, məxrəci isə məxrəclərin hasilidir.

Misal 10

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 addımlarını yerinə yetirin.

Həll

Mötərizədə olan kəsrləri çıxmaqla başlayaq. Onları ortaq məxrəcə gətirək:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Sayları çıxaraq:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

İndi kəsrləri çoxaldırıq:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Bir güclə azaldaq x 1 2, biz 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 alırıq.

Əlavə olaraq, kvadratların fərqindən istifadə edərək məxrəcdəki güc ifadəsini sadələşdirə bilərsiniz: kvadratlar: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

Cavab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Misal 11

X 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 güc qanunu ifadəsini sadələşdirin.
Həll

Kəsiri ilə azalda bilərik (x 2 , 7 + 1) 2. x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kəsrini alırıq.

Gəlin x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 güclərinin çevrilməsinə davam edək. İndi eyni əsaslarla səlahiyyətlərin bölünməsi xüsusiyyətindən istifadə edə bilərsiniz: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Son məhsuldan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 fraksiyasına keçirik.

Cavab: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Əksər hallarda göstəricinin işarəsini dəyişdirərək mənfi göstəriciləri olan amilləri paydan məxrəcə və arxaya köçürmək daha rahatdır. Bu hərəkət növbəti qərarı sadələşdirməyə imkan verir. Bir misal verək: güc ifadəsi (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 x 3 · (x + 1) 0, 2 ilə əvəz edilə bilər.

Kökləri və gücləri olan ifadələrin çevrilməsi

Məsələlərdə yalnız kəsr göstəriciləri olan gücləri deyil, kökləri də ehtiva edən güc ifadələri var. Bu cür ifadələri yalnız köklərə və ya yalnız güclərə azaltmaq məsləhətdir. Onlarla işləmək daha asan olduğu üçün dərəcələrə getməyə üstünlük verilir. Orijinal ifadə üçün dəyişənlərin ODZ moduluna daxil olmaq və ya ODZ-ni bir neçə intervala bölmək ehtiyacı olmadan kökləri güclərlə əvəz etməyə imkan verdiyi zaman bu keçid xüsusilə üstünlük təşkil edir.

Misal 12

x 1 9 · x · x 3 6 ifadəsini qüvvə ilə ifadə edin.

Həll

İcazə verilən dəyişən dəyərlərin diapazonu x iki bərabərsizliklə müəyyən edilir x ≥ 0 və x x 3 ≥ 0, çoxluğu müəyyən edir [ 0 , + ∞) .

Bu dəstdə köklərdən güclərə keçmək hüququmuz var:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Güclərin xassələrindən istifadə edərək, yaranan güc ifadəsini sadələşdiririk.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Cavab: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Eksponentdə dəyişənlərlə səlahiyyətlərin çevrilməsi

Dərəcənin xüsusiyyətlərindən düzgün istifadə etsəniz, bu çevrilmələri etmək olduqca asandır. Misal üçün, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Göstəriciləri bəzi dəyişənlərin və bir ədədin cəmi olan güclərin hasili ilə əvəz edə bilərik. Sol tərəfdə bu ifadənin sol tərəfinin ilk və son şərtləri ilə edilə bilər:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

İndi bərabərliyin hər iki tərəfini bölək 7 2 x. x dəyişəni üçün bu ifadə yalnız müsbət qiymətlər alır:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Kesrləri güclərlə azaldaq, alırıq: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Nəhayət, eyni eksponentlərə malik güclərin nisbəti nisbətlərin səlahiyyətləri ilə əvəz olunur, nəticədə 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tənliyi alınır ki, bu da 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-ə bərabərdir. - 2 = 0.

Orijinal eksponensial tənliyin həllini həllə endirən yeni t = 5 7 x dəyişənini təqdim edək. kvadrat tənlik 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Güc və loqarifmlərlə ifadələrin çevrilməsi

Məsələlərdə gücü və loqarifmləri olan ifadələrə də rast gəlinir. Belə ifadələrə misal olaraq: 1 4 1 - 5 · log 2 3 və ya log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Bu cür ifadələrin çevrilməsi yuxarıda müzakirə edilən loqarifmlərin yanaşmalarından və xassələrindən istifadə etməklə həyata keçirilir ki, biz bunu “Loqarifmik ifadələrin çevrilməsi” mövzusunda ətraflı müzakirə etdik.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Toplama, çıxma və vurma əməliyyatları ilə yanaşı hərf ifadələrinə bölmənin də istifadə olunduğu cəbri ifadə kəsr cəbri ifadə adlanır. Bunlar, məsələn, ifadələrdir

Biz cəbri kəsr deyirik cəbri ifadə, iki tam cəbri ifadənin (məsələn, monomiyallar və ya çoxhədlilər) bölünməsinin bölünməsi formasına malikdir. Bunlar, məsələn, ifadələrdir

İfadələrin üçüncüsü).

Kəsr cəbri ifadələrin eyni çevrilmələri əksər hallarda onları formada təmsil etmək üçün nəzərdə tutulub. cəbri kəsr. Ortaq məxrəci tapmaq üçün kəsrlərin məxrəclərinin faktorlaşdırılmasından istifadə olunur - onların ən kiçik ortaq qatını tapmaq üçün terminlər. Cəbri fraksiyaları azaldarkən, ifadələrin ciddi eyniliyi pozula bilər: azalmanın aparıldığı amilin sıfıra çevrildiyi kəmiyyətlərin dəyərlərini istisna etmək lazımdır.

Kəsir cəbri ifadələrin eyni çevrilmələrinə misallar verək.

Misal 1: İfadəni sadələşdirin

Bütün şərtlər ümumi məxrəcə endirilə bilər (sonuncu terminin məxrəcindəki işarəni və qarşısındakı işarəni dəyişdirmək rahatdır):

İfadəmiz bu dəyərlərdən başqa bütün dəyərlər üçün birə bərabərdir, o, qeyri-müəyyəndir və kəsri azaltmaq qanunsuzdur).

Misal 2. İfadəni cəbri kəsr kimi təqdim edin

Həll. İfadə ümumi məxrəc kimi götürülə bilər. Biz ardıcıl olaraq tapırıq:

Məşqlər

1. Göstərilən parametr dəyərləri üçün cəbri ifadələrin qiymətlərini tapın:

2. Faktorlara ayırın.

Cəbri ifadələrin sadələşdirilməsi onlardan biridir əsas məqamlar cəbri öyrənmək və bütün riyaziyyatçılar üçün son dərəcə faydalı bir bacarıq. Sadələşdirmə mürəkkəb və ya uzun ifadəni işləmək asan olan sadə ifadəyə endirməyə imkan verir. Sadələşdirmənin əsas bacarıqları hətta riyaziyyata həvəsi olmayanlar üçün də yaxşıdır. Bir neçə sadə qaydaya əməl etməklə siz heç bir xüsusi riyazi bilik olmadan ən çox yayılmış cəbri ifadə növlərinin çoxunu sadələşdirə bilərsiniz.

Addımlar

Vacib təriflər

1. Oxşar üzvlər. Bunlar eyni sıralı dəyişənə malik üzvlər, eyni dəyişənlərə malik üzvlər və ya sərbəst üzvlərdir (dəyişən olmayan üzvlər). Başqa sözlə, oxşar terminlər eyni dərəcədə eyni dəyişəni ehtiva edir, eyni dəyişənlərdən bir neçəsini ehtiva edir və ya ümumiyyətlə dəyişən daxil etmir. İfadədəki terminlərin sırasının əhəmiyyəti yoxdur.

   • Məsələn, 3x 2 və 4x 2 oxşar terminlərdir, çünki onlar ikinci dərəcəli (ikinci dərəcəyə) "x" dəyişənini ehtiva edir. Bununla belə, x və x2 oxşar terminlər deyil, çünki onlar müxtəlif sıraların (birinci və ikinci) “x” dəyişənini ehtiva edirlər. Eyni şəkildə, -3yx və 5xz oxşar terminlər deyil, çünki onların tərkibində müxtəlif dəyişənlər var.

2. Faktorizasiya. Bu, məhsulu orijinal nömrəyə aparan nömrələri tapmaqdır. İstənilən orijinal nömrənin bir neçə amili ola bilər. Məsələn, 12 rəqəmini parçalamaq olar növbəti sıra amillər: 1 × 12, 2 × 6 və 3 × 4, beləliklə deyə bilərik ki, 1, 2, 3, 4, 6 və 12 rəqəmləri 12 rəqəminin amilləridir. Faktorlar bölənlərlə eynidir, yəni orijinal nömrənin bölündüyü nömrələr.

   • Məsələn, 20 rəqəmini çarpanlaşdırmaq istəyirsinizsə, bunu belə yazın: 4×5.
   • Qeyd edək ki, faktorinq zamanı dəyişən nəzərə alınır. Məsələn, 20x = 4(5x).
   • Sadə ədədləri faktorlara ayırmaq olmaz, çünki onlar yalnız özlərinə və 1-ə bölünürlər.

3. Səhvlərdən qaçınmaq üçün əməliyyatların ardıcıllığını xatırlayın və əməl edin.

   • Mötərizələr
   • Dərəcə
   • Vurma
   • Bölmə
   • Əlavə
   • Çıxarma

   Bənzər üzvlərin gətirilməsi

   1. İfadəsini yazın. Sadə cəbri ifadələri (kesrləri, kökləri və s. ehtiva etməyənlər) bir neçə addımda həll etmək (sadələşdirmək) olar.

      • Məsələn, ifadəni sadələşdirin 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Oxşar terminləri müəyyənləşdirin (eyni dəyişənli terminlər, eyni dəyişənli terminlər və ya sərbəst şərtlər).

      • Bu ifadədə oxşar terminləri tapın. 2x və 4x terminləri eyni sıralı dəyişəni (birinci) ehtiva edir. Həmçinin, 1 və -3 sərbəst şərtlərdir (dəyişən yoxdur). Beləliklə, bu ifadədə terminlər 2x və 4x oxşar və üzvləridir 1 və -3 da oxşardırlar.

   3. Bənzər üzvlər verin. Bu, onları toplamaq və ya çıxmaq və ifadəni sadələşdirmək deməkdir.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Verilmiş şərtləri nəzərə alaraq ifadəni yenidən yazın. Daha az şərtlərlə sadə bir ifadə alacaqsınız. Yeni ifadə orijinala bərabərdir.

      • Bizim nümunəmizdə: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, yəni orijinal ifadə sadələşdirilmiş və onunla işləmək daha asandır.

   5. Bənzər üzvləri gətirərkən əməliyyatların ardıcıllığına əməl edin. Bizim nümunəmizdə oxşar şərtləri təmin etmək asan idi. Lakin terminlərin mötərizə daxilində, kəsr və köklərin olduğu mürəkkəb ifadələrdə isə belə terminləri gətirmək o qədər də asan deyil. Bu hallarda əməliyyatların ardıcıllığına əməl edin.

      • Məsələn, 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x ifadəsini nəzərdən keçirək. Burada 3x və 2x-i dərhal oxşar terminlər kimi müəyyən edib təqdim etmək səhv olardı, çünki əvvəlcə mötərizələri açmaq lazımdır. Buna görə də, əməliyyatları onların əmrinə uyğun yerinə yetirin.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. İndi, ifadədə yalnız toplama və çıxma əməliyyatları olduqda, oxşar terminlər gətirə bilərsiniz.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Multiplikatorun mötərizədən çıxarılması

   1. İfadənin bütün əmsallarının ən böyük ortaq bölənini (GCD) tapın. GCD edir ən böyük rəqəm, ifadənin bütün əmsallarının bölündüyü.

      • Məsələn, 9x 2 + 27x - 3 tənliyini nəzərdən keçirək. Bu halda, GCD = 3, çünki bu ifadənin istənilən əmsalı 3-ə bölünür.

   2. İfadənin hər bir terminini gcd-ə bölün. Nəticə şərtlərdə orijinal ifadədən daha kiçik əmsallar olacaq.

      • Bizim nümunəmizdə ifadədəki hər bir termini 3-ə bölün.
        • 9x 2 /3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Nəticə bir ifadə oldu 3x 2 + 9x - 1. Orijinal ifadə ilə bərabər deyil.

   3. Orijinal ifadəni belə yazın məhsula bərabərdir Nəticə ifadənin GCD-si. Yəni, yaranan ifadəni mötərizələrə daxil edin və gcd-ni mötərizədən çıxarın.

      • Bizim nümunəmizdə: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Amili mötərizədən çıxarmaqla kəsr ifadələrinin sadələşdirilməsi. Nə üçün daha əvvəl edildiyi kimi çarpanı mötərizədən çıxarın? Sonra, kəsr ifadələri kimi mürəkkəb ifadələri sadələşdirməyi öyrənmək. Bu halda əmsalın mötərizədə çıxarılması kəsrdən (məxrəcdən) xilas olmağa kömək edə bilər.

      • Məsələn, düşünün kəsr ifadəsi(9x 2 + 27x - 3)/3. Bu ifadəni sadələşdirmək üçün faktorinqdən istifadə edin.
        • 3 amilini mötərizədən çıxarın (əvvəllər etdiyiniz kimi): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Diqqət yetirin ki, indi həm payda, həm də məxrəcdə 3 var: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Məxrəcdə 1 rəqəmi olan hər hansı bir kəsr sadəcə saya bərabər olduğundan, orijinal kəsr ifadəsi sadələşir: 3x 2 + 9x - 1.

   Əlavə sadələşdirmə üsulları

4. Sadə bir misala baxaq: √(90). 90 rəqəmi aşağıdakı amillərə bölünə bilər: 9 və 10 və 9-dan çıxarılır Kvadrat kök(3) və kök altından 3 çıxarın.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Güclərlə ifadələrin sadələşdirilməsi. Bəzi ifadələrdə hədləri ilə çoxalma və ya bölmə əməliyyatları var. Şərtlər eyni əsasla vurulduqda onların səlahiyyətləri əlavə edilir; eyni əsaslı terminlər bölündükdə onların dərəcələri çıxarılır.

   • Məsələn, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) ifadəsini nəzərdən keçirək. Çoxalma halında səlahiyyətləri əlavə edin, bölmə zamanı isə onları çıxarın.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Aşağıda terminlərin səlahiyyətlərə vurulması və bölünməsi qaydalarının izahı verilmişdir.
     • Şərtləri güclərlə vurmaq, şərtləri özlərinə vurmağa bərabərdir. Məsələn, x 3 = x × x × x və x 5 = x × x × x × x × x olduğundan, x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x ×) x) və ya x 8.
     • Eynilə, terminləri dərəcələrə bölmək, terminləri özlərinə bölməyə bərabərdir. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Həm payda, həm də məxrəcdə olan oxşar terminləri azaltmaq mümkün olduğundan, iki “x” və ya x 2-nin hasili payda qalır.

• Həmişə ifadənin şərtlərindən əvvəlki işarələri (artı və ya mənfi) xatırlayın, çünki bir çox insanlar düzgün işarəni seçməkdə çətinlik çəkirlər.
• Lazım gələrsə kömək istəyin!
• Cəbri ifadələri sadələşdirmək o qədər də asan deyil, amma bir dəfə onu mənimsədikdən sonra bu, ömrünüzün sonuna qədər istifadə edə biləcəyiniz bir bacarıqdır.

BÖLÜM 5 İFADƏLƏR VƏ TƏNLİKLƏR

Bu bölmədə öyrənəcəksiniz:

ü o ifadələr və onların sadələşdirilməsi;

ü bərabərliklərin xassələri hansılardır;

ü bərabərliklərin xassələri əsasında tənliklərin həlli yollarını;

ü tənliklərdən istifadə etməklə hansı növ məsələlər həll olunur; perpendikulyar xətlər nədir və onları necə qurmaq olar;

ü hansı xətlər paralel adlanır və onların necə qurulacağı;

ü koordinat müstəvisi nədir?

ü müstəvidə nöqtənin koordinatlarını necə təyin etmək olar;

ü kəmiyyətlər arasındakı əlaqənin qrafiki nədir və onun necə qurulacağı;

ü öyrənilən materialı praktikada necə tətbiq etmək olar

§ 30. İFADƏLƏR VƏ ONLARIN SADƏLƏŞMƏSİ

Siz artıq hərf ifadələrinin nə olduğunu bilirsiniz və toplama və vurma qanunlarından istifadə edərək onları necə sadələşdirməyi bilirsiniz. Məsələn, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Alınan ifadədə -8 rəqəmi ifadənin əmsalı adlanır.

İfadə edir CD əmsal? Belə ki. 1-ə bərabərdir, çünki cd - 1 ∙ cd .

Xatırladaq ki, mötərizəli ifadənin mötərizəsiz ifadəyə çevrilməsinə mötərizələrin genişləndirilməsi deyilir. Məsələn: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Bu nümunədəki əks hərəkət ümumi faktoru mötərizədə çıxarmaqdır.

Tərkibində eyni hərf faktorları olan terminlər oxşar terminlər adlanır. Mötərizədə ümumi amili çıxarmaqla oxşar terminlər qaldırılır:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Mötərizənin açılması qaydaları

1. Mötərizənin qarşısında “+” işarəsi varsa, o zaman mötərizələr açılarkən mötərizədə olan terminlərin işarələri saxlanılır;

2. Mötərizədə mötərizələrin qarşısında “-” işarəsi varsa, mötərizələr açıldıqda mötərizədə olan terminlərin işarələri əksinə dəyişir.

Tapşırıq 1. İfadəni sadələşdirin:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Həll yolları. 1. Mötərizənin qarşısında “+” işarəsi var, ona görə də mötərizələri açarkən bütün terminlərin işarələri saxlanılır:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Mötərizənin qarşısında “-” işarəsi var, ona görə də mötərizələri açarkən: bütün terminlərin işarələri tərsinə çevrilir:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Mötərizələri açmaq üçün vurmanın paylayıcı xassəsindən istifadə edin: a( b + c ) = ab + ac. Əgər a > 0 olarsa, onda şərtlərin işarələri b və dəyişməyin. Əgər a< 0, то знаки слагаемых b və əksinə dəyişdirin.

Tapşırıq 2. İfadəni sadələşdirin:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Həll yolları. 1. Mötərizənin qarşısındakı 2 amili müsbətdir, ona görə də mötərizələri açarkən bütün terminlərin işarələrini qoruyuruq: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Mötərizənin qarşısındakı -5 əmsalı mənfi olduğu üçün mötərizələri açarkən bütün terminlərin işarələrini əksinə dəyişirik:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Ətraflı məlumat əldə edin

1. “Cəm” sözü Latın dilindən gəlir yekun , “ümumi”, “ümumi məbləğ” deməkdir.

2. “Plus” sözü latın dilindən gəlir plus "daha çox" deməkdir və "minus" sözü latın dilindəndir mənfi "Az" nə deməkdir? “+” və “-” işarələri toplama və çıxma əməliyyatlarını göstərmək üçün istifadə olunur. Bu işarələr çex alimi Y.Vidman tərəfindən 1489-cu ildə “Bütün tacirlər üçün sürətli və xoş hesab” kitabında təqdim edilmişdir.(Şəkil 138).

düyü. 138

ƏHƏMİYYƏTİ UNUTMA

1. Hansı terminlər oxşar adlanır? Bənzər terminlər necə qurulur?

2. Qarşısında “+” işarəsi olan mötərizələri necə açmaq olar?

3. Qarşısında “-” işarəsi olan mötərizələri necə açmaq olar?

4. Qarşısında müsbət amil olan mötərizələri necə açmaq olar?

5. Qarşısında mənfi amil olan mötərizələr necə açılır?

1374". İfadənin əmsalını adlandırın:

1)12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Yalnız əmsalla fərqlənən terminləri adlandırın:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

Bu terminlər nə adlanır?

1376". İfadədə oxşar terminlər varmı:

1)11a+10a; 3)6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". İfadədəki mötərizələri açaraq mötərizədə olan terminlərin işarələrini dəyişdirmək lazımdırmı:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. İfadəni sadələşdirin və əmsalın altını çəkin:

1379°. İfadəni sadələşdirin və əmsalın altını çəkin:

1380°. Oxşar terminləri birləşdirin:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Oxşar terminləri birləşdirin:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Mötərizədə ümumi faktoru çıxarın:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Mötərizədə ümumi faktoru çıxarın:

1) 6a-12 b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Mötərizələri açın və oxşar terminləri birləşdirin;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Mötərizələri açın və oxşar terminləri birləşdirin:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Mötərizələri açın və ifadənin mənasını tapın:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Mötərizələri açın və ifadənin mənasını tapın:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Açıq mötərizə:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Açıq mötərizə:

1) 2.2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. İfadəsini sadələşdirin:

1391. İfadəsini sadələşdirin:

1392. Oxşar terminləri birləşdirin:

1393. Oxşar terminləri birləşdirin:

1394. İfadəsini sadələşdirin:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. İfadəsini sadələşdirin:

1396. İfadənin mənasını tapın;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), əgər a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), əgər = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. İfadənin mənasını tapın:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), əgər x = -0,25;

1398*. Həlldə səhvi tapın:

1)5- (a-2.4)-7 ∙ (-a+ 1.2) = 5a - 12-7a + 8.4 = -2a-3.6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Mötərizələri açın və ifadəni sadələşdirin:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Düzgün bərabərliyi əldə etmək üçün mötərizələri düzün:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. İstənilən a və rəqəmləri üçün bunu sübut edin b əgər a > b , onda bərabərlik yerinə yetirilir:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Bu bərabərlik düzgün olarmı, əgər: a) a< b ; b) a = 6?

1402*. Hər kəs üçün bunu sübut edin natural ədədəvvəlki və sonrakı ədədlərin arifmetik ortası isə a rəqəminə bərabərdir.

BUNU TƏCRÜBƏ EDİN

1403. Üç nəfərlik meyvəli desert hazırlamaq üçün sizə lazımdır: 2 alma, 1 portağal, 2 banan və 1 kivi. Qonaqlar üçün desert hazırlamaq üçün lazım olan meyvə miqdarını təyin etmək üçün hərf ifadəsini necə yaratmaq olar? Marinə nə qədər meyvə almalı olduğunu hesablamağa kömək edin, əgər: 1) 5 dost onu ziyarətə gəlsə; 2) 8 dost.

1404. Riyaziyyatdan ev tapşırığınızı yerinə yetirmək üçün tələb olunan vaxtı müəyyən etmək üçün hərf ifadəsi yaradın, əgər:

1) problemlərin həllinə bir dəqiqə sərf edildi; 2) ifadələrin sadələşdirilməsi məsələlərin həllindən 2 dəfə çoxdur. Tamamlanması nə qədər çəkdi ev tapşırığı Vasilko, problemləri həll etməyə 15 dəqiqə sərf etsəydi?

1405. Məktəb yeməkxanasında nahar salat, borş, kələm rulonları və kompotdan ibarətdir. Salatın qiyməti - 20%, borsch - 30%, kələm rulonları - 45%, kompot - 5% ümumi xərc sadəcə nahar. Məktəb yeməkxanasında naharın qiymətini tapmaq üçün ifadə yazın. Salatın qiyməti 2 UAH olarsa, nahar nə qədərdir?

PROBLEMLƏRİ BAXIN

1406. Tənliyi həll edin:

1407. Tanya dondurmaya sərf etdibütün mövcud pul və konfet üçün -istirahət. Tanyada nə qədər pul qalıb?

konfet 12 UAH-a başa gəlirsə?