İxtiyari üçbucaq sinus-kosinus teoremi. Sinus teoremi və kosinus teoremi
Riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanı verməyə hazırlaşan və kifayət qədər yüksək bal toplamaq istəyən məzunlar sinuslar və kosinuslar teoremindən istifadə edərək məsələlərin həlli prinsipini mütləq mənimsəməlidirlər. Çoxillik təcrübə göstərir ki, "Təyyarənin həndəsəsi" bölməsindəki oxşar tapşırıqlar sertifikatlaşdırma testi proqramının məcburi hissəsidir. Buna görə də, əgər sizin biri zəif nöqtələr kosinuslar və sinuslar teoreminə aid məsələlərdir, bu mövzuda əsas nəzəriyyəni mütləq təkrar etməyi tövsiyə edirik.
Shkolkovo təhsil portalı ilə imtahana hazır olun
Vahid Dövlət İmtahanını verməzdən əvvəl oxuyarkən bir çox məzun sinus və kosinus teoremindən istifadə edərək praktiki problemləri həll etmək üçün zəruri olan əsas nəzəriyyəni tapmaq problemi ilə qarşılaşır.
Dərslik həmişə lazımi anda əlinizdə olmur. Lazımi formulları tapmaq bəzən hətta İnternetdə olduqca problemli ola bilər.
Şkolkovo təhsil portalı ilə birlikdə sertifikatlaşdırma testinə hazırlıq ən yüksək keyfiyyət və səmərəli olacaqdır. Sinuslar və kosinuslar teoremi ilə bağlı problemləri asanlaşdırmaq üçün bu mövzuda bütün nəzəriyyəni nəzərdən keçirməyi məsləhət görürük. Mütəxəssislərimiz bu materialı geniş təcrübə əsasında hazırlamış və başa düşülən formada təqdim etmişlər. Siz onu “Nəzəri məlumat” bölməsində tapa bilərsiniz.
Əsas teoremləri və tərifləri bilmək, sertifikat imtahanından keçərkən uğurun yarısıdır. Müvafiq məşqlər nümunələrin həllində bacarıqlarınızı inkişaf etdirməyə imkan verir. Onları tapmaq üçün Şkolkovo təhsil saytındakı "Kataloq" bölməsinə daxil olmaq kifayətdir. Daim əlavə olunan və yenilənən müxtəlif çətinlik səviyyələrində tapşırıqların böyük bir siyahısı var.
Şagirdlər Moskvada və ya Rusiyanın hər hansı digər şəhərində olarkən onlayn olaraq riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanında tapılanlara bənzər sinus və kosinus teoremləri üzrə məsələləri həll edə bilərlər.
Lazım gələrsə, hər hansı bir məşq, məsələn, "Sevimlilər" bölməsində saxlanıla bilər. Bu, gələcəkdə düzgün cavabı tapmaq üçün alqoritmi bir daha təhlil etmək və məktəbdə müəllim və ya repetitorla müzakirə etmək üçün ona qayıtmağa imkan verəcəkdir.
Triqonometriya təkcə cəbr bölməsində - təhlilin başlanğıcında deyil, həm də həndəsədə geniş istifadə olunur. Bu baxımdan triqonometrik funksiyalara aid teoremlərin və onların sübutlarının mövcudluğunu güman etmək məqsədəuyğundur. Həqiqətən də, kosinusların və sinusların teoremləri üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasında çox maraqlı və ən əsası faydalı əlaqələr yaradır.
Bu düsturdan istifadə edərək üçbucağın hər hansı tərəfini əldə edə bilərsiniz:
Bəyanatın sübutu Pifaqor teoreminə əsaslanır: hipotenuzanın kvadratı məbləğinə bərabərdir ayaqların kvadratları.
İxtiyari ABC üçbucağını nəzərdən keçirək. C təpəsindən h hündürlüyünü rəqəmin əsasına endiririk, bu halda onun uzunluğu qətiyyən vacib deyil. İndi ixtiyari ACB üçbucağını nəzərə alsaq, onda C nöqtəsinin koordinatlarını cos və sin triqonometrik funksiyaları vasitəsilə ifadə edə bilərik.
Kosinusun tərifini xatırlayaq və ACD üçbucağının tərəflərinin nisbətini yazaq: cos α = AD/AC | bərabərliyin hər iki tərəfini AC ilə çarpın; AD = AC * cos α.
AC uzunluğunu b kimi qəbul edirik və C nöqtəsinin birinci koordinatı üçün ifadə alırıq:
x = b * cosα. Eynilə, C ordinatının qiymətini tapırıq: y = b * sin α. Sonra, Pifaqor teoremini tətbiq edirik və ACD və DCB üçbucağı üçün növbə ilə h ifadə edirik:
Aydındır ki, hər iki (1) və (2) ifadəsi bir-birinə bərabərdir. Sağ tərəfləri bərabərləşdirək və oxşarlarını təqdim edək:
Praktikada bu düstur verilmiş bucaqlardan üçbucağın naməlum tərəfinin uzunluğunu tapmağa imkan verir. Kosinus teoreminin üç nəticəsi var: üçbucağın düz, iti və küt bucaqları üçün.
cos α-nın qiymətini adi x dəyişəni ilə əvəz edək, onda ABC üçbucağının iti bucağı üçün əldə edirik:
Əgər bucaq düzgün olarsa, o zaman 2bx ifadədən silinəcək, çünki cos 90° = 0. Qrafik olaraq ikinci nəticə aşağıdakı kimi göstərilə bilər:
Küt bucaq vəziyyətində, düsturdakı ikiqat arqumentdən əvvəl "-" işarəsi "+" olaraq dəyişəcək:
İzahatdan da göründüyü kimi, münasibətlərdə mürəkkəb heç nə yoxdur. Kosinus teoremi Pifaqor teoreminin triqonometrik kəmiyyətlərə tərcüməsindən başqa bir şey deyil.
Teoremin praktiki tətbiqi
Məşq 1. Tərəfi BC = a = 4 sm, AC = b = 5 sm və cos α = ½ olan ABC üçbucağı verilmişdir. AB tərəfinin uzunluğunu tapmaq lazımdır.
Hesablamanı düzgün aparmaq üçün α bucağını təyin etmək lazımdır. Bunu etmək üçün triqonometrik funksiyalar üçün dəyərlər cədvəlinə müraciət etməlisiniz, buna görə qövs kosinusu 60 ° bucaq üçün 1/2-ə bərabərdir. Buna əsaslanaraq, teoremin birinci nəticəsinin düsturundan istifadə edirik:
Tapşırıq 2. ABC üçbucağı üçün bütün tərəflər məlumdur: AB =4√2,BC=5,AC=7. Fiqurun bütün bucaqlarını tapmaq lazımdır.
Bu vəziyyətdə, problemin şərtlərini çəkmədən edə bilməzsiniz.
Bucaq dəyərləri naməlum qaldığından istifadə etməlisiniz tam formula kəskin bucaq üçün.
Analoji olaraq, düsturlar yaratmaq və digər açıların dəyərlərini hesablamaq çətin deyil:
Üçbucağın üç bucağının cəmi 180° olmalıdır: 53 + 82 + 45 = 180, buna görə də həll tapıldı.
Sinuslar teoremi
Teorem ixtiyari üçbucağın bütün tərəflərinin əks bucaqların sinuslarına mütənasib olduğunu bildirir. Əlaqələr üçqat bərabərlik şəklində yazılır:
Bəyanatın klassik sübutu bir dairədə yazılmış bir fiqurun nümunəsindən istifadə etməklə həyata keçirilir.
Şəkildəki ABC üçbucağının nümunəsindən istifadə edərək ifadənin doğruluğunu yoxlamaq üçün 2R = BC / sin A olduğunu təsdiqləmək lazımdır. Sonra digər tərəflərin 2R və ya kimi əks bucaqların sinusları ilə əlaqəli olduğunu sübut edin. Bir dairənin D.
Bunun üçün çevrənin diametrini B təpəsindən çəkin. Dairəyə daxil edilmiş bucaqların xassəsindən ∠GCB düz xəttdir, ∠CGB isə ya ∠CAB, ya da (π - ∠CAB) bərabərdir. Sinus vəziyyətində, sonuncu vəziyyət əhəmiyyətli deyil, çünki sin (π –α) = sin α. Yuxarıdakı nəticələrə əsasən qeyd etmək olar ki:
sin ∠CGB = BC/ BG və ya sin A = BC/2R,
Şəklin digər bucaqlarını nəzərə alsaq, sinuslar teoremi üçün genişləndirilmiş düstur alırıq:
Sinus teoreminin tətbiqi üçün tipik tapşırıqlar üçbucağın naməlum tərəfini və ya bucağını tapmaqdan ibarətdir.
Nümunələrdən göründüyü kimi, belə məsələlərin həlli çətin deyil və riyazi hesablamaların aparılmasından ibarətdir.
Üçbucaqları öyrənərkən istər-istəməz onların tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqənin hesablanması məsələsi ortaya çıxır. Həndəsə və Sines bu problemi həll etmək üçün ən dolğun cavabı verir. Müxtəlif riyazi ifadə və düsturların, qanunların, teoremlərin və qaydaların bolluğunda qeyri-adi ahəngdarlığı, yığcamlığı və onlarda olan mənasın təqdim edilməsinin sadəliyi ilə seçilənlər var. Sinus teoremidir parlaq bir nümunədir oxşar riyazi formalaşdırma. Əgər şifahi şərhdə verilmiş riyazi qaydanın dərk edilməsində də müəyyən maneə varsa, riyazi düstura baxanda hər şey dərhal öz yerinə düşür.
Bu teorem haqqında ilk məlumat XIII əsrə aid Nasirəddin ət-Tusinin riyazi işi çərçivəsində sübut şəklində kəşf edilmişdir.
İstənilən üçbucaqda tərəflərin və bucaqların nisbətini nəzərdən keçirməyə yaxınlaşaraq, qeyd etmək lazımdır ki, sinuslar teoremi bizə kütləni həll etməyə imkan verir. riyazi problemlər, bu həndəsə qanunu tətbiqini taparkən müxtəlif növlər praktik insan fəaliyyəti.
Sinus teoreminin özü bildirir ki, hər hansı üçbucaq onun tərəflərinin əks bucaqların sinuslarına mütənasibliyi ilə xarakterizə olunur. Bu teoremin ikinci hissəsi də var ki, ona görə üçbucağın hər hansı tərəfinin əks bucağın sinusuna nisbəti sözügedən üçbucağın ətrafında təsvir edilənə bərabərdir.
Formula şəklində bu ifadə belə görünür
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
Sinus teoreminin bir sübutu var müxtəlif variantlar dərsliklər zəngin versiyalarda təklif olunur.
Nümunə olaraq teoremin birinci hissəsini izah edən sübutlardan birini nəzərdən keçirək. Bunun üçün ifadənin düzgünlüyünü sübut etməyi qarşımıza məqsəd qoymuşuq asinC= csinA.
İxtiyari ABC üçbucağında BH hündürlüyünü qururuq. Tikinti variantlarından birində H üçbucaqların təpələrindəki açıların ölçüsündən asılı olaraq AC seqmentində, digərində isə onun xaricində yerləşəcəkdir. Birinci halda hündürlüyü üçbucağın bucaqları və tərəfləri baxımından BH = a sinC və BH = c sinA kimi ifadə etmək olar ki, bu da tələb olunan sübutdur.
H nöqtəsi AC seqmentindən kənarda olduqda, aşağıdakı həlləri əldə edə bilərik:
VN = a sinC və VN = c sin(180-A)= c sinA;
və ya VN = a sin(180-C) = a sinC və VN = c sinA.
Gördüyümüz kimi, tikinti variantlarından asılı olmayaraq, biz çatırıq istənilən nəticə.
Teoremin ikinci hissəsinin sübutu bizdən üçbucağın ətrafında dairə çəkməyi tələb edəcək. Üçbucağın hündürlüklərindən birini istifadə edərək, məsələn B, dairənin diametrini qururuq. D dairəsində yaranan nöqtəni üçbucağın hündürlüklərindən birinə bağlayırıq, qoy üçbucağın A nöqtəsi olsun.
Yaranan ABD və ABC üçbucaqlarını nəzərə alsaq, C və D bucaqlarının bərabər olduğunu görərik (onlar eyni qövs üzərində dayanırlar). Və nəzərə alsaq ki, A bucağı doxsan dərəcəyə bərabərdir, onda sin D = c/2R və ya sin C = c/2R, sübut edilməli olan şeydir.
Sinus teoremi həll üçün başlanğıc nöqtəsidir geniş diapazon müxtəlif vəzifələr. Onun xüsusi cəlbediciliyi onun praktik tətbiqindədir; teorem nəticəsində biz üçbucağın tərəflərinin qiymətlərini, əks bucaqları və ətrafında təsvir edilən dairənin radiusunu (diametrini) bir-biri ilə əlaqələndirmək imkanı əldə edirik. üçbucaq. Bunu təsvir edən formulun sadəliyi və əlçatanlığı riyazi ifadə, bu teoremdən müxtəlif mexaniki hesablama cihazları, cədvəllər və s.-dən istifadə etməklə məsələləri həll etmək üçün geniş istifadə etməyə imkan verdi), lakin hətta güclü hesablama cihazlarının insanların xidmətində meydana çıxması bu teoremin aktuallığını azaltmadı.
Bu teorem təkcə orta məktəbin icbari həndəsə kursuna daxil edilmir, həm də sonradan praktik fəaliyyətin bəzi sahələrində istifadə olunur.
Dairəyə yazılmış ixtiyari üçbucaq quraq. Onu ABC kimi işarə edək.
Bütün teoremi sübut etmək üçün üçbucağın ölçüləri ixtiyari seçildiyi üçün bir ixtiyari tərəfin onun qarşısındakı bucağa nisbətinin 2R-ə bərabər olduğunu sübut etmək kifayətdir. 2R = a / sin α olsun, yəni rəsmdən 2R = BC / sin A alsaq.
Ətraflı dairə üçün BD diametrini hesablayaq. Nəticədə yaranan BCD üçbucağı düzbucaqlıdır, çünki onun hipotenuzası dairəvi dairənin diametrində yerləşir (dairəyə daxil edilmiş bucaqların xassəsi).
Bir dairəyə yazılmış və eyni qövsə söykənən bucaqlar bərabər olduğundan, CDB bucağı ya CAB bucağına bərabərdir (əgər A və D nöqtələri BC xəttinin eyni tərəfində yerləşirsə) və ya π - CAB-ə bərabərdir (əks halda) .
Triqonometrik funksiyaların xassələrinə müraciət edək. sin(π − α) = sin α olduğundan, üçbucağın qurulması üçün göstərilən variantlar yenə də eyni nəticəyə gətirib çıxaracaq.
2R = a / sin α qiymətini 2R = BC / sin A rəsminə uyğun olaraq hesablayaq. Bunun üçün sin A-nı düzbucaqlı üçbucağın uyğun tərəflərinin nisbəti ilə əvəz edin.
2R = BC / günah A
2R = BC / (BC / DB)
2R = DB
Və DB dairənin diametri kimi qurulduğuna görə bərabərlik təmin edilir.
Üçbucağın digər iki tərəfi üçün eyni məntiqi təkrarlasaq, əldə edirik: 
Sinus teoremi sübut edilmişdir.
Sinuslar teoremi
Qeyd. Bu, həndəsə məsələləri ilə dərsin bir hissəsidir (sinuslar bölməsi teoremi). Əgər burada olmayan həndəsə məsələsini həll etmək lazımdırsa, bu barədə forumda yazın. Tapşırıqlarda "kvadrat kök" simvolu əvəzinə sqrt () funksiyasından istifadə olunur, burada sqrt simvoldur kvadrat kök, və radikal ifadə mötərizədə göstərilir.
Sinuslar teoremi:
Üçbucağın tərəfləri əks bucaqların sinuslarına mütənasibdir və ya genişlənmiş formada:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R
burada R məhdud dairənin radiusudur
Nəzəriyyə üçün - teoremin tərtibi və sübutu üçün "Sinuslar teoremi" fəslində ətraflı baxın. .
Tapşırıq
XYZ üçbucağında bucaq X=30, bucaq Z=15. YQ-ya perpendikulyar XZ tərəfini XQ və QZ hissələrinə ayırır.QZ = 1,5 m olarsa XY-ni tapın.
Həll.
Hündürlük iki düzbucaqlı üçbucaq XYQ və ZYQ əmələ gətirdi.
Problemi həll etmək üçün sinuslar teoremindən istifadə edəcəyik.
QZ / sin(QYZ) = QY / sin(QZY)
QZY = 15 dərəcə, Müvafiq olaraq, QYZ = 180 - 90 - 15 = 75
Üçbucağın hündürlüyünün uzunluğu indi məlum olduğu üçün sinusların eyni teoremindən istifadə edərək XY-ni tapaq.
QY / sin(30) = XY / sin(90)
Bəzi triqonometrik funksiyaların cədvəl qiymətlərini nəzərə alaq:
- 30 dərəcə sinus sin(30) = 1/2 bərabərdir
- 90 dərəcə sinus sin(90) = 1-ə bərabərdir
QY = XY günah (30)
3/2 (√3 - 1) / (√3 + 1) = 1/2 XY
XY = 3 (√3 - 1) / (√3 + 1) ≈ 0,8 m
Cavab verin: 0,8 m və ya 3 (√3 - 1) / (√3 + 1)
Sinuslar teoremi (2-ci hissə)
Qeyd. Bu, həndəsə məsələləri ilə dərsin bir hissəsidir (sinuslar bölməsi teoremi). Əgər burada olmayan həndəsə məsələsini həll etmək lazımdırsa, bu barədə forumda yazın .
Nəzəriyyəyə "Sinüs teoremi" bölməsində ətraflı baxın. .
Tapşırıq
ABC üçbucağının AB tərəfi 16 sm-dir. A bucağı 30 dərəcədir. B bucağı 105 dərəcədir. BC tərəfinin uzunluğunu hesablayın. 
Həll.
Sinuslar qanununa görə, üçbucağın tərəfləri əks bucaqların sinuslarına mütənasibdir:
a / sin α = b / sin β = c / sin γ
Beləliklə
BC / sin α = AB / sin γ
Üçbucağın bucaqlarının cəminin 180 dərəcəyə bərabər olmasına əsaslanaraq C bucağının ölçüsünü tapırıq.
C = 180 - 30 -105 = 45 dərəcə.
Harada:
BC / günah 30 ° = 16 / günah 45 °
BC = 16 sin 30° / sin 45°
Triqonometrik funksiyalar cədvəlinə istinad edərək tapırıq:
BC = (16 * 1/2) / √2/2 = 16 / √2 ≈ 11,3 sm
Cavab verin: 16 / √2
Tapşırıq.
ABC üçbucağında bucaq A = α, bucaq C = β, BC = 7 sm, BN üçbucağın hündürlüyüdür.
AN tapın 