Formula aksijalnog presjeka. Kako pronaći površinu cilindra

Cilindar je figura koja se sastoji od cilindrične površine i dva paralelna kruga. Izračunavanje površine cilindra je problem u geometrijskoj grani matematike, koji se može vrlo jednostavno riješiti. Postoji nekoliko metoda za njegovo rješavanje, koje se na kraju uvijek svode na jednu formulu.

Kako pronaći površinu cilindra - pravila izračuna

• Da biste saznali površinu cilindra, trebate dodati dvije površine baze s površinom bočne površine: S = Sside + 2Sbase. U detaljnijoj verziji ova formula izgleda ovako: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočna površina datog geometrijskog tijela može se izračunati ako su poznati njegova visina i polumjer kružnice koja leži u njegovoj osnovi. U ovom slučaju možete izraziti polumjer iz obima, ako je dat. Visina se može pronaći ako je vrijednost generatora navedena u uvjetu. U ovom slučaju, generatriksa će biti jednaka visini. Formula bočne površine dato telo izgleda ovako: S= 2 π rh.
• Površina baze se izračunava pomoću formule za pronalaženje površine kruga: S osn= π r 2 . U nekim problemima, radijus možda nije naveden, ali se može dati obim. Ovom formulom polumjer se izražava prilično lako. S=2π r, r= S/2π. Također morate zapamtiti da je radijus polovina prečnika.
• Prilikom svih ovih proračuna, broj π se obično ne prevodi u 3,14159... Samo ga treba dodati uz brojčanu vrijednost koja je dobivena kao rezultat proračuna.
• Zatim samo trebate pomnožiti pronađenu površinu baze sa 2 i rezultirajućem broju dodati izračunatu površinu bočne površine figure.
• Ako problem pokazuje da cilindar ima aksijalni presjek i da je pravougaonik, tada će rješenje biti malo drugačije. U ovom slučaju, širina pravokutnika bit će promjer kruga koji leži na dnu tijela. Dužina figure će biti jednaka generatrisi ili visini cilindra. Treba izračunati tražene vrijednosti i zamijenite ga u već poznatu formulu. U ovom slučaju, širina pravokutnika mora biti podijeljena sa dva da bi se pronašla površina baze. Da bi se pronašla bočna površina, dužina se množi sa dva poluprečnika i brojem π.
• Možete izračunati površinu datog geometrijskog tijela kroz njegovu zapreminu. Da biste to učinili, trebate izvesti vrijednost koja nedostaje iz formule V=π r 2 h.
• Nema ništa komplicirano u izračunavanju površine cilindra. Vi samo trebate znati formule i biti u mogućnosti da iz njih izvedete količine potrebne za izvođenje proračuna.

Cilindar je simetrična prostorna figura čija se svojstva razmatraju u srednjoj školi u okviru stereometrije. Za njegovo opisivanje koriste se linearne karakteristike kao što su visina i osnovni polumjer. U ovom članku ćemo razmotriti pitanja o tome što je aksijalni presjek cilindra i kako izračunati njegove parametre kroz osnovne linearne karakteristike figure.

Geometrijska figura

Prvo, definirajmo brojku o kojoj će biti riječi u članku. Cilindar je površina nastala paralelnim kretanjem segmenta fiksne dužine duž određene krivulje. Glavni uslov za ovo kretanje je da segment ne pripada ravnini krive.

Na slici ispod prikazan je cilindar čija je kriva (vodič) elipsa.

Ovdje je segment dužine h njegov generator i visina.

Vidi se da se cilindar sastoji od dva identične osnove(u ovom slučaju elipse), koje leže u paralelnim ravnima i bočnoj površini. Potonji pripada svim tačkama formirajućih linija.

Prije nego što pređemo na razmatranje aksijalnog presjeka cilindara, reći ćemo vam koje vrste ovih figura postoje.

Ako je generirajuća linija okomita na osnove figure, onda govorimo o ravnom cilindru. U suprotnom će cilindar biti nagnut. Ako spojite središnje točke dvije baze, rezultirajuća ravna linija naziva se osa figure. Slika ispod prikazuje razliku između ravnih i kosih cilindara.

Može se vidjeti da se za pravu figuru dužina generirajućeg segmenta poklapa sa vrijednošću visine h. Za nagnuti cilindar visina, odnosno rastojanje između baza, uvijek je manja od dužine generatrične linije.

Aksijalni presjek pravog cilindra

Aksijalni je bilo koji dio cilindra koji sadrži njegovu osu. Ova definicija znači da će aksijalni presjek uvijek biti paralelan sa generatricom.

U ravnom cilindru, os prolazi središtem kružnice i okomita je na njegovu ravninu. To znači da će se krug koji se razmatra sijeći duž svog prečnika. Na slici je prikazana polovina cilindra, koja je rezultat presjeka figure s ravninom koja prolazi kroz os.

Nije teško razumjeti da je aksijalni presjek ravnog kružnog cilindra pravougaonik. Njegove stranice su prečnik d osnove i visina h figure.

Napišimo formule za aksijalnu površinu poprečnog presjeka cilindra i dužinu h d njegove dijagonale:

Pravougaonik ima dve dijagonale, ali su obe jedna drugoj jednake. Ako je polumjer baze poznat, onda nije teško prepisati ove formule kroz nju, s obzirom da je pola prečnika.

Aksijalni presjek kosog cilindra

Na gornjoj slici prikazan je kosi cilindar napravljen od papira. Ako napravite njegov aksijalni presjek, više nećete dobiti pravougaonik, već paralelogram. Njegove strane su poznate veličine. Jedan od njih, kao iu slučaju poprečnog presjeka ravnog cilindra, jednak je promjeru d baze, drugi je dužina segmenta koji se formira. Označimo to b.

Da bi se nedvosmisleno odredili parametri paralelograma, nije dovoljno znati dužine njegovih stranica. Potreban je drugi ugao između njih. Pretpostavimo da je oštar ugao između vodilice i baze α. Ovo će također biti ugao između stranica paralelograma. Tada se formula za aksijalnu površinu poprečnog presjeka nagnutog cilindra može napisati na sljedeći način:

Dijagonale aksijalnog presjeka kosog cilindra je nešto teže izračunati. Paralelogram ima dvije dijagonale različite dužine. Predstavljamo izraze bez izvođenja koji nam omogućavaju da izračunamo dijagonale paralelograma koristeći poznate stranice i oštar ugao između njih:

l 1 = √(d 2 + b 2 - 2*b*d*cos(α));

l 2 = √(d 2 + b 2 + 2*b*d*cos(α))

Ovdje su l 1 i l 2 dužine male i velike dijagonale, respektivno. Ove formule se mogu dobiti nezavisno ako svaku dijagonalu posmatramo kao vektor uvođenjem pravougaonog koordinatnog sistema na ravan.

Problem ravnog cilindra

Pokazat ćemo vam kako iskoristiti stečeno znanje za rješavanje sljedećeg problema. Neka nam je dat okrugli pravi cilindar. Poznato je da je aksijalni poprečni presjek cilindra kvadrat. Kolika je površina ovog odsječka ako je cijela figura 100 cm 2?

Da biste izračunali potrebnu površinu, morate pronaći polumjer ili promjer baze cilindra. Da bismo to učinili, koristimo formulu za ukupnu površinu S f na slici:

Pošto je aksijalni presjek kvadrat, to znači da je polumjer r osnove polovina visine h. Uzimajući ovo u obzir, gornju jednakost možemo prepisati kao:

S f = 2*pi*r*(r + 2*r) = 6*pi*r 2

Sada možemo izraziti poluprečnik r, imamo:

Budući da je stranica kvadratnog presjeka jednaka promjeru osnove figure, za izračunavanje njegove površine S vrijedi sljedeća formula:

S = (2*r) 2 = 4*r 2 = 2*S f / (3*pi)

Vidimo da je tražena površina jedinstveno određena površinom cilindra. Zamjenom podataka u jednakost dolazimo do odgovora: S = 21,23 cm 2.

Kako izračunati površinu cilindra je tema ovog članka. Na bilo koji matematički problem potrebno je početi od unosa podataka, odrediti šta je poznato i čime ćete u budućnosti raditi, pa tek onda preći direktno na proračun.

Ovo volumetrijsko tijelo je geometrijska figura cilindričnog oblika, omeđenog odozgo i odozdo sa dve paralelne ravni. Ako primijenite malo mašte, to možete vidjeti geometrijsko tijelo nastaje rotacijom pravougaonika oko ose, pri čemu je os jedna od njegovih strana.

Iz toga slijedi da će krivulja opisana iznad i ispod cilindra biti krug, čiji je glavni pokazatelj polumjer ili promjer.

Površina cilindra - online kalkulator

Ova funkcija konačno pojednostavljuje proces izračunavanja, a sve se svodi na automatsku zamjenu navedenih vrijednosti za visinu i polumjer (promjer) osnove figure. Jedino što je potrebno je precizno odrediti podatke i ne praviti greške prilikom unosa brojeva.

Bočna površina cilindra

Prvo morate zamisliti kako skeniranje izgleda u dvodimenzionalnom prostoru.

Ovo nije ništa drugo do pravougaonik čija je jedna strana jednaka obimu. Njegova formula je poznata od pamtivijeka - 2π*r, Gdje r- radijus kruga. Druga strana pravougaonika jednaka je visini h. Pronalaženje onoga što tražite neće biti teško.

Sstrana= 2π *r*h,

gdje je broj π = 3,14.

Ukupna površina cilindra

Da biste pronašli ukupnu površinu cilindra, morate koristiti rezultat S strana dodajte površine dva kruga, vrha i dna cilindra, koji se izračunavaju pomoću formule S o =2π * r 2 .

Konačna formula izgleda ovako:

Ssprat= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Površina cilindra - formula kroz prečnik

Da bi se olakšali proračuni, ponekad je potrebno izvršiti proračune kroz prečnik. Na primjer, postoji komad šuplje cijevi poznatog promjera.

Ne zamarajući se nepotrebnim proračunima, imamo gotovu formulu. Algebra 5. razreda dolazi u pomoć.

Sspol = 2π*r 2 + 2 π * r * h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Umjesto r V puna formula potrebno je ubaciti vrijednost r =d/2.

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Naoružani znanjem, počnimo s vježbanjem.

Primjer 1. Potrebno je izračunati površinu skraćenog komada cijevi, odnosno cilindra.

Imamo r = 24 mm, h = 100 mm. Morate koristiti formulu kroz radijus:

S pod = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Konvertujemo u uobičajeni m2 i dobijemo 0,01868928, otprilike 0,02 m2.

Primjer 2. Treba znati područje unutrašnja površina azbestna cijev za peć, čiji su zidovi obloženi vatrostalnim ciglama.

Podaci su sljedeći: prečnik 0,2 m; visina 2 m. Koristimo formulu u smislu prečnika:

S sprat = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Primjer 3. Kako saznati koliko je materijala potrebno za šivanje torbe, r = 1 m i 1 m visine.

U jednom trenutku, postoji formula:

S strana = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Zaključak

Na kraju članka se postavilo pitanje: jesu li svi ti proračuni i konverzije jedne vrijednosti u drugu zaista potrebni? Zašto je sve ovo potrebno i najvažnije, kome? Ali nemojte zanemariti i zaboraviti jednostavne formule iz srednje škole.

Svijet je stajao i stajaće na elementarnom znanju, uključujući matematiku. I, počevši od nekih važan posao, nikada nije loša ideja osvježiti pamćenje ovih proračuna primjenom ih u praksi sa velikim efektom. Tačnost - uljudnost kraljeva.

Površina svake baze cilindra je π r 2, površina obje baze će biti 2π r 2 (sl.).

Površina bočne površine cilindra jednaka je površini pravokutnika čija je osnova 2π r, a visina je jednaka visini cilindra h, tj. 2π rh.

Ukupna površina cilindra će biti: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Površina bočne površine cilindra se uzima kao sweep area njegove bočne površine.

Dakle, površina bočne površine pravog kružnog cilindra jednaka je površini odgovarajućeg pravokutnika (sl.) i izračunava se po formuli

S b.c. = 2πRH, (1)

Ako površine njegove dvije baze dodamo površini bočne površine cilindra, dobićemo površinu puna površina cilindar

S puna =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Zapremina pravog cilindra

Teorema. Zapremina pravog cilindra jednak proizvodu površine njegove osnove do visine , tj.

gdje je Q površina baze, a H visina cilindra.

Pošto je površina osnove cilindra Q, tada postoje nizovi opisanih i upisanih poligona sa površinama Q n i Q' n takav da

\(\lim_(n \desno \infty)\) Q n= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q’ n= Q.

Konstruirajmo niz prizmi čije su osnove gore opisani i upisani poligoni, a čije su bočne ivice paralelne generatrisi datog cilindra i imaju dužinu H. Ove prizme su opisane i upisane za dati cilindar. Njihove zapremine se nalaze po formulama

V n=Q n H i V' n= Q' n H.

dakle,

V= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \strelica desno \infty)\) Q’ n H = QH.

Posljedica.
Zapremina desnog kružnog cilindra izračunava se po formuli

V = π R 2 H

gdje je R polumjer baze, a H visina cilindra.

Pošto je osnova kružnog cilindra kružnica poluprečnika R, onda je Q = π R 2, pa prema tome

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvjema paralelnim ravnima i cilindričnom površinom. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: gornju, bazu i bočnu površinu.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje zamislili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena limenka koja nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnom zidu od vrha do dna limenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon što se dobijena staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je krug, a znamo da se obim izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.

Kada se bočna stijenka cilindra potpuno otvori, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – poluprečnik cilindra, h – visina cilindra

Primjeri izračunavanja površine cilindra

Da bismo razumjeli gornje formule, pokušajmo izračunati površinu cilindra koristeći primjere.

1. Poluprečnik osnove cilindra je 2, visina 3. Odredite površinu bočne površine cilindra.

Ukupna površina se izračunava pomoću formule: S strana. = 2πrh

S strana = 2 * 3,14 * 2 * 3

S strana = 6,28 * 6

S strana = 37,68

Bočna površina cilindra je 37,68.

2. Kako pronaći površinu cilindra ako je visina 4, a polumjer 6?

Ukupna površina se izračunava pomoću formule: S = 2πr 2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 6 2 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24