Pravilo za množenje bilo kojeg broja sa nulom. Školski kurs matematike: zašto u školi ne možete dijeliti sa nulom

Evgenij Širjajev, nastavnik i šef Matematičke laboratorije Politehničkog muzeja, rekao je AiF.ru o podjeli na nulu:

1. Nadležnost pitanja

Slažete se, ono što pravilo čini posebno provokativnim je zabrana. Kako to ne može da se uradi? Ko je zabranio? Šta je sa našim građanskim pravima?

Ni Ustav Ruske Federacije, ni Krivični zakonik, pa čak ni statut Vaše škole ne protive se intelektualnom djelovanju koje nas zanima. To znači da zabrana nema pravnu snagu i ništa vas ne sprječava da pokušate nešto podijeliti sa nulom upravo ovdje, na stranicama AiF.ru. Na primjer, hiljadu.

2. Podijelimo kako se uči

Zapamtite, kada ste prvi put naučili kako dijeliti, prvi primjeri su rješavani provjeravanjem množenja: rezultat pomnožen djeliteljem morao je biti isti kao i djeljiv. Ako se ne poklapa, nisu odlučili.

Primjer 1. 1000: 0 =...

Zaboravimo na trenutak zabranjeno pravilo i pokušajmo nekoliko puta da pogodimo odgovor.

Neispravni će biti odrezani čekom. Pokušajte sljedeće opcije: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Za svaku od njih provjera će dati isti rezultat:

100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10.000 0 = 0

Množenjem nule, sve se pretvara u sebe, a nikada u hiljadu. Zaključak je lako formulisati: nijedan broj neće proći test. To jest, nijedan broj ne može biti rezultat dijeljenja broja različitog od nule sa nulom. Takva podjela nije zabranjena, već jednostavno nema rezultata.

3. Nijansa

Zamalo smo propustili jednu priliku da pobijemo zabranu. Da, priznajemo da se broj različit od nule ne može podijeliti sa 0. Ali možda i sam 0 može?

Primjer 2. 0: 0 = ...

Koji su vaši prijedlozi za privatno? 100? Molimo: količnik 100 pomnožen sa djeliteljem 0 jednak je dividendi 0.

Više opcija! 1? Odgovara takođe. I −23, i 17, i to je to. U ovom primjeru, test će biti pozitivan za bilo koji broj. I da budem iskren, rješenje u ovom primjeru ne treba zvati broj, već skup brojeva. Svi. I ne treba dugo da se složimo da Alis nije Alis, već Meri En, i da su obe zečev san.

4. Šta je sa višom matematikom?

Problem je riješen, nijanse su uzete u obzir, tačke su stavljene, sve je postalo jasno - odgovor na primjer s dijeljenjem nulom ne može biti jedan broj. Rješavanje ovakvih problema je beznadežno i nemoguće. Što znači... zanimljivo! Uzmi dva.

Primjer 3. Smislite kako podijeliti 1000 sa 0.

Ali nema šanse. Ali 1000 se lako može podijeliti drugim brojevima. Pa, učinimo barem ono što možemo, čak i ako promijenimo zadatak. A onda se, vidite, zanesemo i odgovor će se pojaviti sam od sebe. Zaboravimo na nulu na minut i podijelimo sa sto:

Sto je daleko od nule. Napravimo korak ka tome smanjenjem djelitelja:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Dinamika je očigledna: što je djelitelj bliži nuli, to je veći količnik. Trend se može dalje promatrati prelaskom na razlomke i nastavkom smanjivanja brojilaca:

Ostaje napomenuti da se možemo približiti nuli koliko god želimo, čineći količnik velikim koliko želimo.

U ovom procesu nema nule i nema posljednjeg količnika. Naznačili smo kretanje prema njima tako što smo broj zamijenili nizom koji konvergira broju koji nas zanima:

Ovo podrazumijeva sličnu zamjenu za dividendu:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Nije uzalud što su strelice dvostrane: neke sekvence mogu konvergirati u brojeve. Tada možemo povezati niz s njegovim brojčanim ograničenjem.

Pogledajmo redoslijed količnika:

Neograničeno raste, ne teži ni jednom broju i ne nadmašuje bilo koji. Matematičari brojevima dodaju simbole ∞ da biste mogli staviti dvostranu strelicu pored takvog niza:

Poređenje s brojem nizova koji imaju ograničenje omogućava nam da predložimo rješenje za treći primjer:

Kada elementarno podijelimo niz koji konvergira do 1000 nizom pozitivnih brojeva koji konvergiraju do 0, dobivamo niz koji konvergira na ∞.

5. A evo nijanse sa dvije nule

Koji je rezultat dijeljenja dva niza pozitivnih brojeva koji konvergiraju nuli? Ako su isti, onda je jedinica identična. Ako niz dividendi brže konvergira na nulu, tada u kvocijentu niz ima nultu granicu. A kada se elementi djelitelja smanjuju mnogo brže od elemenata dividende, slijed kvocijenta će jako rasti:

Neizvjesna situacija. I to se zove: nesigurnost tipa 0/0 . Kada matematičari vide nizove koji odgovaraju takvoj nesigurnosti, ne žure da dijele dva identična broja jedan s drugim, već shvate koji od nizova ide brže do nule i kako točno. I svaki primjer će imati svoj konkretan odgovor!

6. U životu

Ohmov zakon povezuje struju, napon i otpor u kolu. Često se piše u ovom obliku:

Dozvolimo sebi da zanemarimo pažljivo fizičko razumijevanje i formalno pogledamo desna strana kao količnik dva broja. Zamislimo da rješavamo školski problem na struju. Uvjet daje napon u voltima i otpor u omima. Pitanje je očigledno, rešenje je u jednoj akciji.

Pogledajmo sada definiciju supravodljivosti: ovo je svojstvo nekih metala da imaju nulti električni otpor.

Pa, hajde da riješimo problem za supravodljivo kolo? Samo ga namjesti R= 0 neće uspjeti, povraća fizika zanimljiv zadatak, iza kojeg očigledno stoji naučno otkriće. A ljudi koji su uspjeli podijeliti sa nulom u ovoj situaciji dobili su Nobelovu nagradu. Korisno je moći zaobići sve zabrane!

“Ne možete dijeliti sa nulom!” - većina školaraca nauči ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju šta je „ne možeš“ i šta će se dogoditi ako na to upitaš: „Zašto?“ Ali u stvari, veoma je zanimljivo i važno znati zašto ne možeš.

Stvar je u tome da su četiri aritmetičke operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao validna - sabiranje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje se na ovaj ili onaj način grade od ove dvije.

Na primjer, pogledat ćemo oduzimanje. Šta znači 5 - 3? Na ovo će učenik jednostavno odgovoriti: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, postoji samo sabiranje. Dakle, oznaka 5 - 3 znači broj koji će, kada se doda broju 3, dati broj 5. To jest, 5 - 3 je jednostavno skraćeni zapis jednačine: x 3 = 5. Nema oduzimanja u ovu jednačinu. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i sa množenjem i dijeljenjem. Unos 8:4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti, to je samo skraćeni oblik jednačine 4 * x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) podijeliti sa nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 * x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži sa 0, uvijek dobijemo 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, striktno govoreći, dio njegove definicije.

Ne postoji takav broj koji kada se pomnoži sa 0 daje nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenje. (Da, to se dešava; nema svaki problem rešenje.) To znači da unos 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju, i jednostavno ne znači ništa, pa stoga nema nikakvo značenje. Besmislenost ovog unosa je ukratko izražena rekavši da se ne može dijeliti sa nulom.

Najpažljiviji čitaoci na ovom mjestu sigurno će se zapitati: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? U stvari, jednadžba 0 * x = 0 može se sigurno riješiti. Na primjer, možemo uzeti x = 0, a onda ćemo dobiti 0 * 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobijamo 0 * 1 = 0. zar ne? Dakle 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0:0. A ako je tako, onda smo primorani priznati da i ovaj unos nema smisla. Ispada da se čak ni nula ne može podijeliti sa nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uslova problema može dati prednost jednom od moguće opcije rješenja jednadžbe 0 * x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o „otključavanju nesigurnosti“, ali se takvi slučajevi ne javljaju u aritmetici. To je posebnost operacije divizije. Preciznije, operacija množenja i broj pridružen njoj imaju nulu.

Pa, oni najpedantniji, čitajući ovo daleko, mogu se zapitati: zašto se dešava da ne možete podijeliti sa nulom, ali možete oduzeti nulu? U određenom smislu, ovdje počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate sa formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se to iz nekog razloga ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na fakultetu, prije svega, naučit će vas upravo tome.

Zašto ne možete podijeliti sa nulom? "Ne možete podijeliti sa nulom!" - Većina školaraca nauči ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju šta je "ne možete" i šta će se dogoditi ako na to odgovorite: "Zašto?" Ali u stvari, vrlo je zanimljivo i važno znati zašto to nije moguće. Stvar je u tome da su četiri aritmetičke operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao validna - sabiranje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje se na ovaj ili onaj način grade od ove dvije. Razmotrite, na primjer, oduzimanje. Šta znači 5 – 3? Na ovo će učenik jednostavno odgovoriti: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, postoji samo sabiranje. Dakle, oznaka 5 – 3 znači broj koji će, kada se doda broju 3, dati broj 5. To jest, 5 – 3 je jednostavno skraćeni zapis jednačine: x + 3 = 5. Nema oduzimanja u ovoj jednačini. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.Isto je i sa množenjem i dijeljenjem. Unos 8:4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali to je zapravo samo skraćeni oblik jednačine 4 x = 8.Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) podijeliti sa nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži sa 0, rezultat je uvijek 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, striktno govoreći, dio njegove definicije.Ne postoji takav broj koji kada se pomnoži sa 0 daje nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenje. (Da, to se dešava; nema svaki problem rješenje.) To znači da unos 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju, i jednostavno ne znači ništa i stoga nema značenje. Besmislenost ovog unosa je ukratko izražena rekavši da se ne može dijeliti sa nulom.Najpažljiviji čitaoci na ovom mjestu sigurno će se zapitati: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom? Zaista, jednadžba 0 x = 0 može se sigurno riješiti. Na primjer, možemo uzeti x = 0, a onda ćemo dobiti 0 · 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobijamo 0 · 1 = 0. Tačno? Dakle 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0. A ako je tako, onda smo primorani priznati da ni ovaj unos nema smisla. Ispada da se čak ni nula ne može podijeliti sa nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uslova problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednačine 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o „otkrivanju nesigurnosti“, ali takva slučajevi se ne javljaju u aritmetici.) To je posebnost operacije divizije. Preciznije, operacija množenja i broj pridružen njoj imaju nulu. Pa, oni najpedantniji, čitajući ovo daleko, mogu se zapitati: zašto se dešava da ne možete podijeliti sa nulom, ali možete oduzeti nulu? U određenom smislu, ovdje počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate sa formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se to iz nekog razloga ne uči u školi. Ali na predavanjima matematike na univerzitetu, to je ono što će vas prije svega učiti.

Deljenje sa nulom u matematici, dijeljenje u kojem je djelitelj nula. Takva podjela se formalno može napisati ⁄ 0, gdje je dividenda.

U običnoj aritmetici (sa realnim brojevima), ovaj izraz nema smisla, jer:

• za ≠ 0 ne postoji broj koji kada se pomnoži sa 0 daje, stoga se nijedan broj ne može uzeti kao količnik ⁄ 0;
• pri = 0, podjela nulom je također nedefinirana, jer bilo koji broj kada se pomnoži sa 0 daje 0 i može se uzeti kao količnik 0 ⁄ 0.

Istorijski gledano, jedna od prvih referenci na matematičku nemogućnost dodjeljivanja vrijednosti ⁄ 0 sadržana je u kritici infinitezimalnog računa Georgea Berkeleya.

Logičke greške

Budući da kada pomnožimo bilo koji broj sa nulom, uvijek dobijemo nulu kao rezultat, kada podijelimo oba dijela izraza × 0 = × 0, što je tačno bez obzira na vrijednost i, sa 0 dobijamo pogrešan u slučaj proizvoljno dat varijabilni izraz= . Pošto se nula može specificirati ne eksplicitno, već u obliku prilično složenog matematički izraz, na primjer, u obliku razlike dvije vrijednosti svedene jedna na drugu algebarske transformacije, takva podjela može biti prilično neočigledna greška. Neprimjetno uvođenje takve podjele u proces dokazivanja kako bi se pokazao identitet očito različitih veličina, čime bi se dokazala svaka apsurdna tvrdnja, jedna je od varijanti matematičkog sofizma.

U informatici

U programiranju, u zavisnosti od programskog jezika, tipa podataka i vrijednosti dividende, pokušaj dijeljenja sa nulom može imati različite posljedice. Posljedice dijeljenja nulom u cjelobrojnoj i realnoj aritmetici su fundamentalno različite:

• Pokušaj cijeli broj deljenje sa nulom je uvek kritična greška koja onemogućava dalje izvršavanje programa. On ili izbacuje izuzetak (koji program može sam podnijeti, čime se izbjegava pad), ili uzrokuje da se program odmah zaustavi, prikazujući neispravljivu poruku o grešci i eventualno sadržaj steka poziva. U nekim programskim jezicima, kao što je Go, dijeljenje cijelog broja nultom konstantom smatra se sintaksičkom greškom i uzrokuje nenormalno prevođenje programa.
• IN pravi aritmetičke posljedice mogu biti različite na različitim jezicima:

• bacanje izuzetka ili zaustavljanje programa, kao kod dijeljenja cijelih brojeva;
• dobijanje posebne nenumeričke vrijednosti kao rezultat operacije. U tom slučaju se proračuni ne prekidaju, a njihov rezultat naknadno može interpretirati sam program ili korisnik kao smislenu vrijednost ili kao dokaz netačnih proračuna. Široko korišten princip je da kada se dijeli kao ⁄ 0, gdje je ≠ 0 broj s pomičnim zarezom, rezultat je jednak pozitivnoj ili negativnoj (u zavisnosti od predznaka dividende) beskonačnosti - ili, a kada je = 0 rezultat je posebna vrijednost NaN (skraćeno . od engleskog “not a number” - “ne a number”). Ovaj pristup je usvojen u standardu IEEE 754, koji mnogi podržavaju savremenim jezicima programiranje.

Slučajno dijeljenje sa nula in kompjuterski program ponekad uzrokuje skupe ili opasne kvarove u opremi koju kontrolira program. Na primjer, 21. septembra 1997., kao rezultat podjele sa nulom u kompjuterizovanom sistemu upravljanja krstarice američke mornarice USS Yorktown (CG-48), isključila se sva elektronska oprema u sistemu, što je uzrokovalo da se pogonski sistem broda prestati sa radom.

vidi takođe

Bilješke

Funkcija = 1 ⁄ . Kada teži nuli s desne strane, teži ka beskonačnosti; kada teži nuli s lijeve strane, teži minus beskonačnosti

Ako bilo koji broj podijelite sa nulom na običnom kalkulatoru, dobit ćete slovo E ili riječ Error, odnosno "greška".

U sličnom slučaju, kompjuterski kalkulator piše (u Windows XP): "Deljenje sa nulom je zabranjeno."

Sve je u skladu sa pravilom poznatim iz škole da se ne može dijeliti sa nulom.

Hajde da shvatimo zašto.

Deljenje je matematička operacija inverzna množenju. Podjela se utvrđuje množenjem.

Podijelite broj a(djeljivo, na primjer 8) brojem b(djelitelj, na primjer broj 2) - znači pronalaženje takvog broja x(kvocijent), kada se pomnoži sa djeliteljem b ispada dividenda a(4 2 = 8), tj a podijeliti po b znači rješavanje jednačine x · b = a.

Jednačina a: b = x je ekvivalentna jednačini x · b = a.

Zamjenjujemo dijeljenje množenjem: umjesto 8: 2 = x pišemo x · 2 = 8.

8: 2 = 4 je ekvivalentno 4 2 = 8

18: 3 = 6 je ekvivalentno 6 3 = 18

20: 2 = 10 je ekvivalentno 10 2 = 20

Rezultat dijeljenja uvijek se može provjeriti množenjem. Rezultat množenja djelitelja s količnikom mora biti dividenda.

Pokušajmo podijeliti sa nulom na isti način.

Na primjer, 6: 0 = ... Moramo pronaći broj koji će, kada se pomnoži sa 0, dati 6. Ali znamo da kada se pomnoži sa nulom, uvijek dobijemo nulu. Ne postoji broj koji, kada se pomnoži sa nulom, daje nešto drugo osim nule.

Kada kažu da je dijeljenje nulom nemoguće ili zabranjeno, misle da ne postoji broj koji odgovara rezultatu takvog dijeljenja (dijeljenje nulom je moguće, ali dijeljenje nije :)).

Zašto u školi kažu da se ne može dijeliti sa nulom?

Stoga u definicija operacija dijeljenja a sa b odmah naglašava da je b ≠ 0.

Ako vam se sve gore napisano činilo previše komplikovano, pokušajte: Dijeliti 8 sa 2 znači saznati koliko dvojki trebate uzeti da biste dobili 8 (odgovor: 4). Podijeliti 18 sa 3 znači saznati koliko trojki trebate uzeti da biste dobili 18 (odgovor: 6).

Deljenje 6 sa nulom znači saznanje koliko nula treba da uzmete da biste dobili 6. Bez obzira koliko nula uzmete, i dalje ćete dobiti nulu, ali nikada nećete dobiti 6, tj. deljenje sa nulom je nedefinisano.

Zanimljiv rezultat se dobija ako pokušate podijeliti broj s nulom na Android kalkulatoru. Na ekranu će se prikazati ∞ (beskonačnost) (ili - ∞ ako se dijeli negativan broj). Ovaj rezultat je netačan jer broj ∞ ne postoji. Očigledno, programeri su pobrkali potpuno različite operacije - dijeljenje brojeva i pronalaženje granice numerički niz n/x, gdje je x → 0. Prilikom dijeljenja nule sa nulom, upisuje se NaN (Nije broj).

"Ne možete podijeliti sa nulom!" - Većina školaraca nauči ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju šta je "ne možete" i šta će se dogoditi ako na to odgovorite: "Zašto?" Ali u stvari, vrlo je zanimljivo i važno znati zašto to nije moguće.

Stvar je u tome da su četiri aritmetičke operacije - sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao validna: sabiranje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključeni su u samu definiciju pojma broja. Sve ostale radnje se na ovaj ili onaj način grade od ove dvije.

Razmotrite, na primjer, oduzimanje. Šta znači 5 - 3 ? Na ovo će učenik jednostavno odgovoriti: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, postoji samo sabiranje. Stoga unos 5 - 3 znači broj koji, kada se doda broju 3 će dati broj 5 . To je 5 - 3 je jednostavno kratka verzija jednadžbe: x + 3 = 5. U ovoj jednačini nema oduzimanja.

Deljenje sa nulom

Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i sa množenjem i dijeljenjem. Zapis 8: 4 može se shvatiti kao rezultat podjele osam predmeta na četiri jednake gomile. Ali u stvarnosti ovo je samo skraćeni oblik jednačine 4 x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) podijeliti sa nulom. Zapis 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. Odnosno, ovaj zadatak je pronaći broj koji se pomnoži sa 0 će dati 5 . Ali to znamo kada se pomnoži sa 0 uvek uspe 0 . Ovo je inherentno svojstvo nule, striktno govoreći, dio njegove definicije.

Takav broj, kada se pomnoži sa 0 će dati nešto drugo osim nule, jednostavno ne postoji. Odnosno, naš problem nema rješenje. (Da, ovo se dešava; nema svaki problem rešenje.) Što znači zapisi 5: 0 ne odgovara nekom konkretnom broju, i jednostavno ne znači ništa i stoga nema nikakvo značenje. Besmislenost ovog unosa je ukratko izražena rekavši da se ne može dijeliti sa nulom.

Najpažljiviji čitaoci na ovom mjestu sigurno će se zapitati: da li je moguće podijeliti nulu sa nulom?

Zaista, jednačina 0 x = 0 uspješno riješeno. Na primjer, možete uzeti x = 0, a onda dobijamo 0 0 = 0. Ispostavilo se 0: 0=0 ? Ali nemojmo žuriti. Hajde da probamo da uzmemo x = 1. Dobijamo 0 1 = 0. zar ne? znači, 0: 0 = 1 ? Ali možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 itd.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0: 0 . A ako je tako, onda smo primorani priznati da i ovaj unos nema smisla. Ispada da se čak ni nula ne može podijeliti sa nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uslova zadatka može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednačine 0 x = 0; U takvim slučajevima matematičari govore o „neizvjesnosti koja se razvija“, ali se takvi slučajevi ne javljaju u aritmetici.)

To je posebnost operacije divizije. Preciznije, operacija množenja i broj pridružen njoj imaju nulu.

Pa, oni najpedantniji, čitajući ovo daleko, mogu se zapitati: zašto se dešava da ne možete podijeliti sa nulom, ali možete oduzeti nulu? U određenom smislu, ovdje počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate sa formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali se to iz nekog razloga ne uči u školi. Ali na predavanjima matematike na univerzitetu, to je ono što će vas prije svega učiti.

Funkcija dijeljenja nije definirana za raspon u kojem je djelitelj nula. Možete podijeliti, ali rezultat nije siguran

Ne možete podijeliti sa nulom. Matematika 2. razred srednje škole.

Ako me pamćenje ne vara, onda se nula može predstaviti kao beskonačno mala vrijednost, tako da će postojati beskonačnost. A škola "nula - ništa" je samo pojednostavljenje, toliko ih je u školskoj matematici). Ali bez njih je nemoguće, sve će se desiti u svoje vreme.

Prijavite se da napišete odgovor

Deljenje sa nulom

Kvocijent od podjela sa nulom nema drugog broja osim nule.

Obrazloženje je sljedeće: budući da u ovom slučaju nijedan broj ne može zadovoljiti definiciju količnika.

Napišimo npr.

Koji god broj pokušali (recimo, 2, 3, 7), on nije prikladan jer:

\[ 2 0 = 0 \]

\[ 3 0 = 0 \]

\[ 7 0 = 0 \]

Šta se događa ako podijelite sa 0?

itd., ali morate dobiti 2,3,7 u proizvodu.

Možemo reći da problem dijeljenja broja različitog od nule sa nulom nema rješenja. Međutim, broj različit od nule može se podijeliti brojem koji je bliži nuli po želji, a što je djelitelj bliži nuli, to je količnik veći. Dakle, ako podijelimo 7 sa

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

tada dobijamo količnike 70, 700, 7000, 70.000, itd., koji rastu bez ograničenja.

Stoga često kažu da je količnik 7 podijeljen sa 0 „beskonačno velik“, ili „jednak beskonačnosti“, i pišu

\[ 7: 0 = \infin \]

Značenje ovog izraza je da ako se djelitelj približi nuli, a dividenda ostane jednaka 7 (ili se približi 7), tada se količnik neograničeno povećava.

Vrlo često se mnogi ljudi pitaju zašto se dijeljenje nulom ne može koristiti? U ovom članku ćemo detaljno govoriti o tome odakle dolazi ovo pravilo, kao i koje radnje se mogu izvršiti s nulom.

U kontaktu sa

Zero se može nazvati jednom od najjačih zanimljivi brojevi. Ovaj broj nema značenje, to znači prazninu u pravom smislu te riječi. Međutim, ako se pored bilo kojeg broja stavi nula, tada će vrijednost ovog broja postati nekoliko puta veća.

Sam broj je veoma misteriozan. Opet sam ga koristio drevni ljudi Mayan. Za Maje, nula je značila "početak" i brojanje kalendarskih dana takođe je počeo od nule.

Veoma zanimljiva činjenica je da su predznak nule i predznak nesigurnosti bili slični. Ovim su Maje htjele pokazati da je nula isti identičan znak kao i neizvjesnost. U Evropi se oznaka nula pojavila relativno nedavno.

Mnogi ljudi također znaju zabranu povezanu s nulom. Svako će to reći ne možete podijeliti sa nulom. To kažu nastavnici u školi, a djeca im obično vjeruju na riječ. Obično djeca ili jednostavno nisu zainteresirana za to, ili znaju šta će se dogoditi ako, čuvši važnu zabranu, odmah upitaju: „Zašto ne možete podijeliti sa nulom?“ Ali kada starite, budi se vaš interes i želite da saznate više o razlozima ove zabrane. Međutim, postoje razumni dokazi.

Akcije sa nulom

Prvo morate odrediti koje se radnje mogu izvršiti s nulom. Postoji nekoliko vrsta radnji:

• Addition;
• množenje;
• Oduzimanje;
• Podjela (nula po broju);
• Eksponencijacija.

Bitan! Ako dodate nulu bilo kojem broju tokom sabiranja, onda će ovaj broj ostati isti i neće promijeniti svoju numeričku vrijednost. Ista stvar se dešava ako od bilo kojeg broja oduzmete nulu.

Kod množenja i dijeljenja stvari su malo drugačije. Ako pomnožite bilo koji broj sa nulom, tada će proizvod također postati nula.

Pogledajmo primjer:

Napišimo ovo kao dodatak:

Ukupno ima pet nula, tako da ispada

Pokušajmo pomnožiti jedan sa nulom. Rezultat će također biti nula.

Nula se također može podijeliti sa bilo kojim drugim brojem koji joj nije jednak. U ovom slučaju, rezultat će biti , čija će vrijednost također biti nula. Isto pravilo vrijedi i za negativne brojeve. Ako je nula podijeljena negativnim brojem, rezultat je nula.

Također možete konstruirati bilo koji broj na nulti stepen. U ovom slučaju, rezultat će biti 1. Važno je zapamtiti da je izraz „nula na stepen nule“ apsolutno besmislen. Ako pokušate podići nulu na bilo koji stepen, dobićete nulu. primjer:

Koristimo pravilo množenja i dobijemo 0.

Dakle, da li je moguće podijeliti sa nulom?

Dakle, dolazimo do glavnog pitanja. Da li je moguće podijeliti sa nulom? uopšte? A zašto ne možemo broj podijeliti sa nulom, s obzirom da sve druge radnje s nulom postoje i primjenjuju se? Za odgovor na ovo pitanje potrebno je obratiti se višoj matematici.

Počnimo s definicijom pojma, šta je nula? Školski nastavnici kažu da je nula ništa. Praznina. Odnosno, kada kažete da imate 0 ručki, to znači da uopće nemate ručke.

U višoj matematici, koncept „nule“ je širi. To uopšte ne znači prazninu. Ovdje se nula naziva nesigurnošću jer ako malo istražimo, ispostavilo se da kada podijelimo nulu sa nulom, možemo završiti s bilo kojim drugim brojem, koji ne mora nužno biti nula.

Jeste li znali da one jednostavne računske operacije koje ste učili u školi nisu toliko jednake jedna drugoj? Najosnovnije radnje su sabiranje i množenje.

Za matematičare, koncepti “” i “oduzimanje” ne postoje. Recimo: ako od pet oduzmete tri, ostat će vam dva. Ovako izgleda oduzimanje. Međutim, matematičari bi to zapisali ovako:

Dakle, ispada da je nepoznata razlika određeni broj koji treba dodati na 3 da bi se dobilo 5. To jest, ne trebate ništa oduzimati, samo trebate pronaći odgovarajući broj. Ovo pravilo se odnosi na sabiranje.

Stvari su malo drugačije sa pravila množenja i dijeljenja. Poznato je da množenje sa nulom dovodi do nultog rezultata. Na primjer, ako je 3:0=x, onda ako obrnete unos, dobićete 3*x=0. A broj koji je pomnožen sa 0 daće nulu u proizvodu. Ispostavilo se da ne postoji broj koji bi dao bilo koju vrijednost osim nule u proizvodu s nulom. To znači da je dijeljenje nulom besmisleno, odnosno da se uklapa u naše pravilo.

Ali šta se dešava ako pokušate da podelite nulu samu? Uzmimo neki neodređeni broj kao x. Rezultirajuća jednačina je 0*x=0. Može se riješiti.

Ako pokušamo uzeti nulu umjesto x, dobićemo 0:0=0. Činilo bi se logičnim? Ali ako pokušamo uzeti bilo koji drugi broj, na primjer, 1, umjesto x, na kraju ćemo dobiti 0:0=1. Ista situacija će se dogoditi ako uzmemo bilo koji drugi broj i ubacite u jednačinu.

U ovom slučaju, ispada da možemo uzeti bilo koji drugi broj kao faktor. Rezultat će biti beskonačan broj različiti brojevi. Ponekad dijeljenje sa 0 u višoj matematici još uvijek ima smisla, ali tada se obično pojavi određeni uvjet, zahvaljujući kojem još uvijek možemo izabrati jedan odgovarajući broj. Ova radnja se zove "otkrivanje nesigurnosti". U običnoj aritmetici, dijeljenje nulom će opet izgubiti smisao, jer nećemo moći izabrati jedan broj iz skupa.

Bitan! Ne možete podijeliti nulu sa nulom.

Nula i beskonačnost

Beskonačnost se vrlo često može naći u višoj matematici. Kako školarcima jednostavno nije važno da znaju da postoje i matematičke operacije sa beskonačnošću, nastavnici ne mogu pravilno objasniti djeci zašto je nemoguće dijeliti nulom.

Studenti počinju da uče osnovne matematičke tajne tek na prvoj godini instituta. Viša matematika pruža veliki kompleks problema koji nemaju rješenja. Najpoznatiji problemi su problemi sa beskonačnošću. Mogu se riješiti korištenjem matematička analiza.

Može se primijeniti i na beskonačnost elementarne matematičke operacije: sabiranje, množenje brojem. Obično koriste i oduzimanje i dijeljenje, ali se na kraju ipak svode na dvije jednostavne operacije.