კვადრატული ფესვის განსაზღვრა. როგორ სწრაფად ამოიღოთ კვადრატული ფესვები

კალკულატორების წინ მოსწავლეებმა და მასწავლებლებმა ხელით გამოთვალეს კვადრატული ფესვები. რიცხვის კვადრატული ფესვის ხელით გამოსათვლელად რამდენიმე გზა არსებობს. ზოგი მათგანი მხოლოდ სავარაუდო გადაწყვეტას გვთავაზობს, ზოგი კი ზუსტ პასუხს იძლევა.

ნაბიჯები

ძირითადი ფაქტორიზაცია

რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად აქცევენ კვადრატულ რიცხვებს.რადიკალური რიცხვიდან გამომდინარე მიიღებთ სავარაუდო ან ზუსტ პასუხს. კვადრატული რიცხვები არის რიცხვები, რომლიდანაც შესაძლებელია მთელი რიცხვის ამოღება. Კვადრატული ფესვი. ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც გამრავლებისას იძლევა თავდაპირველ რიცხვს. მაგალითად, 8 რიცხვის ფაქტორები არის 2 და 4, ვინაიდან 2 x 4 = 8, რიცხვები 25, 36, 49 არის კვადრატული რიცხვები, ვინაიდან √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. კვადრატული ფაქტორები არის ფაქტორები, რომლებიც კვადრატული რიცხვებია. პირველ რიგში, შეეცადეთ რადიკალური რიცხვი კვადრატულ ფაქტორებად გადაანაწილოთ.

• მაგალითად, გამოთვალეთ 400-ის კვადრატული ფესვი (ხელით). ჯერ სცადეთ 400-ის ფაქტორინგი კვადრატულ ფაქტორებად. 400 არის 100-ის ჯერადი, ანუ იყოფა 25-ზე - ეს არის კვადრატული რიცხვი. 400-ის 25-ზე გაყოფა მოგცემთ 16. რიცხვი 16 ასევე კვადრატული რიცხვია. ამრიგად, 400 შეიძლება დარეგულირდეს 25 და 16 კვადრატულ ფაქტორებში, ანუ 25 x 16 = 400.
• ეს შეიძლება ჩაიწეროს შემდეგნაირად: √400 = √(25 x 16).

1. ზოგიერთი ტერმინის პროდუქტის კვადრატული ფესვი პროდუქტის ტოლი კვადრატული ფესვებითითოეული ტერმინიდან, ანუ √(a x b) = √a x √b. გამოიყენეთ ეს წესი, რომ აიღოთ თითოეული კვადრატული ფაქტორის კვადრატული ფესვი და გაამრავლოთ შედეგები პასუხის საპოვნელად.

   • ჩვენს მაგალითში აიღეთ 25-ისა და 16-ის ფესვი.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. თუ რადიკალური რიცხვი არ გაერთიანდება ორ კვადრატულ ფაქტორად (და ეს ხდება უმეტეს შემთხვევაში), თქვენ ვერ იპოვით ზუსტ პასუხს მთელი რიცხვის სახით. მაგრამ თქვენ შეგიძლიათ გაამარტივოთ პრობლემა რადიკალური რიცხვის კვადრატულ ფაქტორად და ჩვეულებრივ კოეფიციენტად დაშლით (რიცხვი, საიდანაც მთელი კვადრატული ფესვის აღება შეუძლებელია). შემდეგ თქვენ აიღებთ კვადრატული ფაქტორის კვადრატულ ფესვს და აიღებთ საერთო ფაქტორის ფესვს.

   • მაგალითად, გამოთვალეთ რიცხვის კვადრატული ფესვი 147. რიცხვი 147 არ შეიძლება გამრავლდეს ორ კვადრატულ ფაქტორად, მაგრამ შეიძლება გამრავლდეს შემდეგ ფაქტორებად: 49 და 3. ამოხსენით ამოცანა შემდეგნაირად:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. საჭიროების შემთხვევაში შეაფასეთ ფესვის ღირებულება.ახლა თქვენ შეგიძლიათ შეაფასოთ ფესვის მნიშვნელობა (იპოვეთ სავარაუდო მნიშვნელობა) მისი შედარებით კვადრატული რიცხვების ფესვების მნიშვნელობებთან, რომლებიც ყველაზე ახლოს არიან (რიცხვის ხაზის ორივე მხარეს) რადიკალურ რიცხვთან. თქვენ მიიღებთ ძირის მნიშვნელობას ათწილადის სახით, რომელიც უნდა გამრავლდეს ძირის ნიშნის უკან არსებულ რიცხვზე.

   • დავუბრუნდეთ ჩვენს მაგალითს. რადიკალური რიცხვია 3. მასთან ყველაზე ახლოს კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 1 (√1 = 1) და 4 (√4 = 2). ამრიგად, √3-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 1-სა და 2-ს შორის. ვინაიდან √3-ის მნიშვნელობა ალბათ უფრო ახლოს არის 2-თან, ვიდრე 1-თან, ჩვენი შეფასებაა: √3 = 1.7. ჩვენ ვამრავლებთ ამ მნიშვნელობას ძირის ნიშნის რიცხვზე: 7 x 1.7 = 11.9. თუ მათემატიკას გააკეთებთ კალკულატორზე, მიიღებთ 12.13, რაც საკმაოდ ახლოსაა ჩვენს პასუხთან.
     • ეს მეთოდი ასევე მუშაობს დიდი რაოდენობით. მაგალითად, განიხილეთ √35. რადიკალური რიცხვია 35. მასთან უახლოესი კვადრატული რიცხვები იქნება რიცხვები 25 (√25 = 5) და 36 (√36 = 6). ამრიგად, √35-ის მნიშვნელობა მდებარეობს 5-სა და 6-ს შორის. ვინაიდან √35-ის მნიშვნელობა ბევრად უფრო ახლოს არის 6-თან, ვიდრე 5-თან (რადგან 35 არის მხოლოდ 1-ით ნაკლები 36-ზე), შეგვიძლია ვთქვათ, რომ √35 ოდნავ ნაკლებია 6-ზე. კალკულატორის შემოწმება გვაძლევს პასუხს 5.92 - ჩვენ მართალი ვიყავით.

4. კიდევ ერთი გზაა რადიკალური რიცხვის ფაქტორებად გადაყვანა პირველ ფაქტორებად.მარტივი ფაქტორები არის რიცხვები, რომლებიც იყოფა მხოლოდ 1-ზე და საკუთარ თავზე. ჩაწერეთ პირველი ფაქტორები სერიებში და იპოვეთ იდენტური ფაქტორების წყვილი. ასეთი ფაქტორების ამოღება შესაძლებელია ძირეული ნიშნიდან.

   • მაგალითად, გამოვთვალოთ 45-ის კვადრატული ფესვი. რადიკალურ რიცხვს ვანაწილებთ მარტივ ფაქტორებად: 45 = 9 x 5 და 9 = 3 x 3. ამრიგად, √45 = √(3 x 3 x 5). 3 შეიძლება ამოღებულ იქნას ძირის ნიშნად: √45 = 3√5. ახლა შეგვიძლია შევაფასოთ √5.
   • ვნახოთ კიდევ ერთი მაგალითი: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). თქვენ მიიღეთ 2-ის სამი მამრავლი; აიღეთ რამდენიმე მათგანი და გადაიტანეთ ისინი ძირეული ნიშნის მიღმა.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. ახლა შეგიძლიათ შეაფასოთ √2 და √11 და იპოვოთ სავარაუდო პასუხი.

   კვადრატული ფესვის ხელით გამოთვლა

   გრძელი გაყოფის გამოყენება

   1. ეს მეთოდი მოიცავს ხანგრძლივი დაყოფის მსგავს პროცესს და იძლევა ზუსტ პასუხს.ჯერ დახაზეთ ვერტიკალური ხაზი, რომელიც ყოფს ფურცელს ორ ნაწილად, შემდეგ კი მარჯვნივ და ოდნავ ქვემოთ ზედა ზღვარიფურცელი ვერტიკალურ ხაზამდე, დახაზეთ ჰორიზონტალური ხაზი. ახლა დაყავით რადიკალური რიცხვი რიცხვების წყვილებად, დაწყებული წილადი ნაწილით ათობითი წერტილის შემდეგ. ასე რომ, ნომერი 79520789182.47897 იწერება როგორც "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • მაგალითად, გამოვთვალოთ 780.14 რიცხვის კვადრატული ფესვი. დახაზეთ ორი ხაზი (როგორც სურათზეა ნაჩვენები) და ჩაწერეთ მოცემული რიცხვი ფორმაში „7 80, 14“ ზედა მარცხენა მხარეს. ნორმალურია, რომ მარცხნიდან პირველი ციფრი დაუწყვილებელი ციფრია. პასუხი (ძირი მოცემული ნომერი) თქვენ დაწერთ ზედა მარჯვნივ.

   2. რიცხვების პირველი წყვილისთვის (ან ერთი რიცხვი) მარცხნიდან, იპოვეთ უდიდესი მთელი რიცხვი n, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია მოცემული რიცხვების (ან ერთი რიცხვის) წყვილზე. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, იპოვეთ კვადრატული რიცხვი, რომელიც ყველაზე ახლოსაა, მაგრამ უფრო მცირეა, ვიდრე მარცხნიდან რიცხვების პირველ წყვილთან (ან ერთ რიცხვთან) და აიღეთ ამ კვადრატული რიცხვის კვადრატული ფესვი; თქვენ მიიღებთ რიცხვს n. დაწერეთ n, რომელიც იპოვეთ ზედა მარჯვნივ, და ჩაწერეთ n-ის კვადრატი ქვედა მარჯვენა კუთხეში.

      • ჩვენს შემთხვევაში, მარცხნივ პირველი რიცხვი იქნება 7. შემდეგი, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. გამოაკლეთ n რიცხვის კვადრატი, რომელიც ახლახან იპოვნეთ მარცხნივ მდებარე რიცხვების პირველ წყვილს (ან ერთ რიცხვს).ჩაწერეთ გამოთვლის შედეგი ქვეტრასენდის ქვეშ (n რიცხვის კვადრატი).

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 4 7-ს და მივიღოთ 3.

   4. ამოიღეთ რიცხვების მეორე წყვილი და ჩაწერეთ წინა საფეხურზე მიღებული მნიშვნელობის გვერდით.შემდეგ გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ „_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში რიცხვების მეორე წყვილი არის "80". ჩაწერეთ "80" 3-ის შემდეგ. შემდეგ, გაორმაგებული რიცხვი ზედა მარჯვნივ იძლევა 4-ს. ჩაწერეთ "4_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   5. შეავსეთ ცარიელი ადგილები მარჯვნივ.

      • ჩვენს შემთხვევაში, თუ ტირეების ნაცვლად დავსვამთ რიცხვს 8, მაშინ 48 x 8 = 384, რაც მეტია 380-ზე. ამიტომ, 8 არის ძალიან დიდი რიცხვი, მაგრამ 7 იქნება. ტირეების ნაცვლად დაწერეთ 7 და მიიღეთ: 47 x 7 = 329. ჩაწერეთ 7 ზედა მარჯვნივ - ეს არის მეორე ციფრი 780.14 რიცხვის სასურველ კვადრატულ ფესვში.

   6. გამოვაკლოთ მიღებული რიცხვი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს.ჩაწერეთ წინა საფეხურის შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვის ქვეშ, იპოვეთ განსხვავება და ჩაწერეთ ქვეტრაჰენდის ქვეშ.

      • ჩვენს მაგალითში გამოვაკლოთ 329 380-ს, რაც უდრის 51-ს.

   7. გაიმეორეთ ნაბიჯი 4.თუ გადატანილი რიცხვების წყვილი არის თავდაპირველი რიცხვის წილადი ნაწილი, მაშინ ჩადეთ გამყოფი (მძიმით) მთელ და წილად ნაწილებს შორის საჭირო კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვენა კუთხეში. მარცხნივ ჩამოწიეთ რიცხვების შემდეგი წყვილი. გააორმაგეთ რიცხვი ზედა მარჯვენა კუთხეში და ჩაწერეთ შედეგი ქვედა მარჯვნივ "_×_="-ის დამატებით.

      • ჩვენს მაგალითში, რიცხვების შემდეგი წყვილი, რომელიც უნდა მოიხსნას, იქნება 780.14 რიცხვის წილადი ნაწილი, ამიტომ მოათავსეთ მთელი და წილადი ნაწილების გამყოფი სასურველ კვადრატულ ფესვში ზედა მარჯვნივ. ამოიღეთ 14 და ჩაწერეთ ქვედა მარცხენა ნაწილში. ორმაგი რიცხვი ზედა მარჯვნივ (27) არის 54, ასე რომ ჩაწერეთ "54_×_=" ქვედა მარჯვენა მხარეს.

   8. გაიმეორეთ ნაბიჯები 5 და 6.იპოვე ერთი უდიდესი რიცხვიტირეების ნაცვლად მარჯვნივ (ტირეების ნაცვლად თქვენ უნდა შეცვალოთ იგივე რიცხვი) ისე, რომ გამრავლების შედეგი იყოს მარცხნივ მიმდინარე რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი.

      • ჩვენს მაგალითში, 549 x 9 = 4941, რაც ნაკლებია მარცხნივ არსებულ რიცხვზე (5114). ჩაწერეთ 9 ზევით მარჯვნივ და გამოაკელით გამრავლების შედეგი მარცხნივ მიმდინარე რიცხვს: 5114 - 4941 = 173.

   9. თუ კვადრატული ფესვისთვის მეტი ათობითი ადგილების პოვნა გჭირდებათ, ჩაწერეთ რამდენიმე ნული მიმდინარე რიცხვის მარცხნივ და გაიმეორეთ ნაბიჯები 4, 5 და 6. გაიმეორეთ ნაბიჯები, სანამ არ მიიღებთ პასუხის სიზუსტეს (ათწილადების რაოდენობას) საჭიროება.

      პროცესის გაგება

      1. ამ მეთოდის დასაუფლებლად, წარმოიდგინეთ რიცხვი, რომლის კვადრატული ფესვი უნდა იპოვოთ, როგორც კვადრატის S ფართობი. ამ შემთხვევაში, თქვენ მოძებნით ასეთი კვადრატის L გვერდის სიგრძეს. ჩვენ ვიანგარიშებთ L-ის მნიშვნელობას ისე, რომ L² = S.

         პასუხის თითოეულ რიცხვზე მიეცით ასო. A-ით ავღნიშნოთ L მნიშვნელობის პირველი ციფრი (სასურველი კვადრატული ფესვი). B იქნება მეორე ციფრი, C მესამე და ასე შემდეგ.

         მიუთითეთ ასო პირველი ციფრის თითოეული წყვილისთვის. S-ით ავღნიშნოთ S-ის მნიშვნელობის პირველი წყვილი ციფრები, S b-ით მეორე წყვილი და ა.შ.

         გაიგეთ კავშირი ამ მეთოდსა და ხანგრძლივ დაყოფას შორის.ისევე, როგორც გაყოფისას, სადაც ჩვენ გვაინტერესებს მხოლოდ იმ რიცხვის შემდეგი ციფრი, რომელსაც ყოველ ჯერზე ვყოფთ, კვადრატული ფესვის გამოთვლისას, ჩვენ ვმუშაობთ წყვილი ციფრების მიხედვით (რომ მივიღოთ შემდეგი ციფრი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობაში) .

      2. განვიხილოთ S რიცხვის Sa-ს პირველი წყვილი (ჩვენს მაგალითში Sa = 7) და იპოვეთ მისი კვადრატული ფესვი.ამ შემთხვევაში, სასურველი კვადრატული ფესვის მნიშვნელობის პირველი ციფრი A იქნება ციფრი, რომლის კვადრატი ნაკლებია ან ტოლია S a-ზე (ანუ ჩვენ ვეძებთ A-ს ისე, რომ უტოლობა A² ≤ Sa.< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • ვთქვათ, უნდა გავყოთ 88962 7-ზე; აქ პირველი ნაბიჯი მსგავსი იქნება: განვიხილავთ გამყოფი რიცხვის 88962 (8) პირველ ციფრს და ვირჩევთ უდიდეს რიცხვს, რომელიც 7-ზე გამრავლებისას იძლევა 8-ზე ნაკლები ან ტოლი მნიშვნელობას. ანუ, ჩვენ ვეძებთ. რიცხვი d, რომლისთვისაც უტოლობა მართალია: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. გონებრივად წარმოიდგინეთ კვადრატი, რომლის ფართობიც უნდა გამოთვალოთ.თქვენ ეძებთ L-ს, ანუ კვადრატის გვერდის სიგრძეს, რომლის ფართობი უდრის S. A, B, C არის რიცხვები L რიცხვში. შეგიძლიათ სხვაგვარად დაწეროთ: 10A + B = L (ამისთვის ორნიშნა რიცხვი) ან 100A + 10B + C = L (სამნიშნა რიცხვისთვის) და ა.შ.

         • დაე (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². გახსოვდეთ, რომ 10A+B არის რიცხვი, რომელშიც B ციფრი დგას ერთეულებზე, ხოლო A ციფრი ათეულებზე. მაგალითად, თუ A=1 და B=2, მაშინ 10A+B უდრის რიცხვს 12-ს. (10A+B)²არის მთელი მოედნის ფართობი, 100A²- დიდი შიდა მოედნის ფართობი, B²- პატარა შიდა მოედნის ფართობი, 10A×B- ორი მართკუთხედიდან თითოეულის ფართობი. აღწერილი ფიგურების ფართობების დამატებით, თქვენ იპოვით ორიგინალური კვადრატის ფართობს.

სტუდენტები ყოველთვის სვამენ კითხვას: „რატომ არ შემიძლია კალკულატორის გამოყენება მათემატიკის გამოცდაზე? როგორ ამოვიღოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი კალკულატორის გარეშე? შევეცადოთ ამ კითხვაზე პასუხის გაცემა.

როგორ ამოვიღოთ რიცხვის კვადრატული ფესვი კალკულატორის გარეშე?

მოქმედება კვადრატული ფესვიკვადრატის მოქმედების შებრუნებული.

√81= 9 9 2 =81

თუ დადებითი რიცხვის კვადრატულ ფესვს აიღებთ და შედეგის კვადრატში მიიღებთ იგივე რიცხვს.

მცირე რიცხვებიდან, რომლებიც სრულყოფილი კვადრატებია ნატურალური რიცხვები, მაგალითად 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 კვადრატული ფესვის ამოღება შესაძლებელია პერორალურად. ჩვეულებრივ სკოლაში ასწავლიან ოცამდე ნატურალური რიცხვების კვადრატების ცხრილს. ამ ცხრილის ცოდნით, ადვილია კვადრატული ფესვების ამოღება რიცხვებიდან 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. 400-ზე მეტი რიცხვებიდან შეგიძლიათ ამოიღოთ ისინი შერჩევის მეთოდის გამოყენებით რამდენიმე რჩევის გამოყენებით. შევეცადოთ შევხედოთ ამ მეთოდს მაგალითით.

მაგალითი: ამოიღეთ 676 რიცხვის ფესვი.

ჩვენ ვამჩნევთ, რომ 20 2 = 400 და 30 2 = 900, რაც ნიშნავს 20-ს< √676 < 900.

ნატურალური რიცხვების ზუსტი კვადრატები მთავრდება 0-ით; 1; 4; 5; 6; 9.
რიცხვი 6 მოცემულია 4 2-ით და 6 2-ით.
ეს ნიშნავს, რომ თუ ფესვი აღებულია 676-დან, მაშინ ის არის 24 ან 26.

რჩება შემოწმება: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

პასუხი: √676 = 26 .

მეტი მაგალითი: √6889 .

ვინაიდან 80 2 = 6400 და 90 2 = 8100, მაშინ 80< √6889 < 90.
რიცხვი 9 მოცემულია 3 2-ით და 7 2-ით, შემდეგ √6889 უდრის 83-ს ან 87-ს.

მოდით შევამოწმოთ: 83 2 = 6889.

პასუხი: √6889 = 83 .

თუ გაგიჭირდებათ ამოხსნა შერჩევის მეთოდის გამოყენებით, შეგიძლიათ რადიკალური გამოხატულების ფაქტორირება.

Მაგალითად, იპოვე √893025.

მოდი 893025 რიცხვი გავამრავლოთ, დაიმახსოვრეთ, ეს მეექვსე კლასში გააკეთეთ.

ჩვენ ვიღებთ: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

მეტი მაგალითი: √20736. შევადგინოთ რიცხვი 20736:

ჩვენ ვიღებთ √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

რა თქმა უნდა, ფაქტორიზაცია მოითხოვს გაყოფის ნიშნების ცოდნას და ფაქტორიზაციის უნარს.

და ბოლოს, არსებობს კვადრატული ფესვების ამოღების წესი. მოდით გავეცნოთ ამ წესს მაგალითებით.

გამოთვალეთ √279841.

მრავალნიშნა რიცხვის ფესვის ამოსაღებად, ჩვენ მას მარჯვნიდან მარცხნივ ვყოფთ 2 ციფრის შემცველ სახეებად (მარცხნივ კიდე შეიძლება შეიცავდეს ერთ ციფრს). ჩვენ ვწერთ ასე: 27’98’41

ფესვის (5) პირველი ციფრის მისაღებად, ჩვენ ვიღებთ კვადრატულ ფესვს ყველაზე დიდი სრულყოფილი კვადრატისა, რომელიც შეიცავს მარცხნივ პირველ სახეზე (27).
შემდეგ ფესვის (25) პირველი ციფრის კვადრატს აკლდება პირველი სახე და შემდეგი სახე (98) ემატება სხვაობას (გამოკლდება).
მიღებული რიცხვი 298 მარცხნივ ჩაწერეთ ფესვის ორნიშნა რიცხვი (10), გაყავით მასზე ადრე მიღებული რიცხვის ყველა ათეულის რაოდენობა (29/2 ≈ 2), შეამოწმეთ კოეფიციენტი (102 ∙ 2 = 204). უნდა იყოს არაუმეტეს 298) და ჩაწერეთ (2) ფესვის პირველი ციფრის შემდეგ.
შემდეგ მიღებული კოეფიციენტი 204 აკლდება 298-ს და შემდეგი ზღვარი (41) ემატება სხვაობას (94).
მიღებული რიცხვი 9441 მარცხნივ ჩაწერეთ ფესვის ციფრების ორმაგი ნამრავლი (52 ∙2 = 104), გაყავით 9441 რიცხვის ყველა ათეულის რიცხვი (944/104 ≈ 9) ამ ნამრავლზე, შეამოწმეთ კოეფიციენტი (1049 ∙9 = 9441) უნდა იყოს 9441 და ჩაწერეთ (9) ფესვის მეორე ციფრის შემდეგ.

მივიღეთ პასუხი √279841 = 529.

ამონაწერი ანალოგიურად ათობითი წილადების ფესვები. მხოლოდ რადიკალური რიცხვი უნდა დაიყოს სახეებად ისე, რომ მძიმით იყოს სახეებს შორის.

მაგალითი. იპოვეთ მნიშვნელობა √0.00956484.

თქვენ უბრალოდ უნდა გახსოვდეთ, რომ თუ ათობითიაქვს ათობითი ადგილების უცნაური რაოდენობა, მისგან კვადრატული ფესვის ამოღება ზუსტად შეუძლებელია.

ასე რომ, ახლა თქვენ ნახეთ ფესვის ამოღების სამი გზა. აირჩიე ის, რომელიც ყველაზე მეტად მოგწონს და ივარჯიშე. იმისათვის, რომ ისწავლოთ პრობლემების გადაჭრა, თქვენ უნდა გადაჭრათ ისინი. და თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები, დარეგისტრირდით ჩემს გაკვეთილებზე.

ვებსაიტზე, მასალის სრულად ან ნაწილობრივ კოპირებისას საჭიროა წყაროს ბმული.

მრავალ ცოდნას შორის, რომელიც წიგნიერების ნიშანია, ანბანი პირველ ადგილზეა. შემდეგი, თანაბრად „ნიშნის“ ელემენტია შეკრება-გამრავლების უნარები და მათთან მიმდებარე, მაგრამ მნიშვნელობით საპირისპირო, გამოკლება-გაყოფის არითმეტიკული მოქმედებები. შორეულ სასკოლო ბავშვობაში შესწავლილი უნარები ერთგულად ემსახურება დღე და ღამე: ტელევიზორი, გაზეთი, SMS და ყველგან ვკითხულობთ, ვწერთ, ვითვლით, ვამატებთ, ვაკლებთ, ვამრავლებთ. და, მითხარი, ხშირად გიწევდათ ფესვების ამოღება თქვენს ცხოვრებაში, გარდა დაჩისა? მაგალითად, ისეთი გასართობი პრობლემა, როგორიც არის 12345 რიცხვის კვადრატული ფესვი... ჯერ კიდევ არის დენთი კოლბებში? შეგვიძლია გავუმკლავდეთ მას? არაფერი არ შეიძლება იყოს უფრო მარტივი! სად არის ჩემი კალკულატორი... და მის გარეშე ხელჩართული ბრძოლა სუსტია?

ჯერ განვმარტოთ, რა არის ეს - რიცხვის კვადრატული ფესვი. ზოგადად რომ ვთქვათ, „რიცხვის ძირის აღება“ ნიშნავს არითმეტიკული მოქმედების შესრულებას ხარისხამდე აწევის საპირისპიროდ - აქ თქვენ გაქვთ დაპირისპირებების ერთიანობა ცხოვრებისეულ გამოყენებაში. ვთქვათ, კვადრატი არის რიცხვის თავისთავად გამრავლება, ანუ, როგორც სკოლაში ასწავლიდნენ, X * X = A ან სხვა აღნიშვნით X2 = A, და სიტყვებით - "X კვადრატი უდრის A". მაშინ შებრუნებული ამოცანა ასე ჟღერს: A რიცხვის კვადრატული ფესვი არის X რიცხვი, რომელიც კვადრატში უდრის A-ს.

კვადრატული ფესვის აღება

დან სკოლის კურსიარითმეტიკამ იცის გამოთვლების მეთოდები "სვეტში", რომელიც ეხმარება ნებისმიერი გამოთვლების შესრულებას პირველი ოთხი არითმეტიკული მოქმედების გამოყენებით. ვაი... კვადრატული და არა მარტო კვადრატული ფესვებისთვის ასეთი ალგორითმები არ არსებობს. და ამ შემთხვევაში, როგორ ამოიღოთ კვადრატული ფესვი კალკულატორის გარეშე? კვადრატული ფესვის განსაზღვრებიდან გამომდინარე, არსებობს მხოლოდ ერთი დასკვნა - აუცილებელია შედეგის მნიშვნელობის შერჩევა იმ რიცხვების თანმიმდევრული ჩამოთვლით, რომელთა კვადრატი უახლოვდება რადიკალური გამოხატვის მნიშვნელობას. Სულ ეს არის! სანამ ერთი ან ორი საათი გავა, შეგიძლიათ კარგად გამოთვალოთ ცნობილი ტექნიკასვეტის გამრავლება, ნებისმიერი კვადრატული ფესვი. თუ თქვენ გაქვთ უნარები, ამას მხოლოდ რამდენიმე წუთი დასჭირდება. კალკულატორის ან კომპიუტერის არც თუ ისე მოწინავე მომხმარებელსაც კი შეუძლია ამის გაკეთება ერთი დარტყმით - პროგრესი.

მაგრამ სერიოზულად, კვადრატული ფესვის გამოთვლა ხშირად ხორციელდება "არტილერიის ჩანგლის" ტექნიკის გამოყენებით: ჯერ აიღეთ რიცხვი, რომლის კვადრატი დაახლოებით შეესაბამება რადიკალურ გამოხატვას. უმჯობესია, თუ "ჩვენი მოედანი" ამ გამოთქმაზე ოდნავ პატარაა. შემდეგ რიცხვს საკუთარი ოსტატობისა და გაგების მიხედვით ასწორებენ, მაგალითად, ამრავლებენ ორზე და... ისევ კვადრატში. თუ შედეგი მეტი ნომერიფესვის ქვეშ, თანმიმდევრულად ასწორებს თავდაპირველ რიცხვს, თანდათან უახლოვდება მის "კოლეგას" ფესვის ქვეშ. როგორც ხედავთ - არ არის კალკულატორი, მხოლოდ "სვეტში" დათვლის შესაძლებლობა. რა თქმა უნდა, არსებობს მრავალი მეცნიერულად დადასტურებული და ოპტიმიზებული ალგორითმი კვადრატული ფესვების გამოსათვლელად, მაგრამ " სახლის გამოყენება„ზემოხსენებული ტექნიკა იძლევა 100%-იან ნდობას შედეგში.

დიახ, კინაღამ დამავიწყდა, ჩვენი გაზრდილი წიგნიერების დასადასტურებლად, გამოვთვალოთ ადრე მითითებული რიცხვის კვადრატული ფესვი 12345. ამას ვაკეთებთ ეტაპობრივად:

1. ავიღოთ, წმინდა ინტუიციურად, X=100. გამოვთვალოთ: X * X = 10000. ინტუიცია საუკეთესოა - შედეგი 12345-ზე ნაკლებია.

2. ვცადოთ, ასევე წმინდა ინტუიციურად, X = 120. შემდეგ: X * X = 14400. და ისევ, ინტუიცია წესრიგშია - შედეგი 12345-ზე მეტია.

3. ზემოთ მივიღეთ „ჩანგალი“ 100 და 120. მოდით ავირჩიოთ ახალი რიცხვები - 110 და 115. ვიღებთ, შესაბამისად, 12100 და 13225 - ჩანგალი ვიწროვდება.

4. ვცადოთ „იქნებ“ X=111. ვიღებთ X * X = 12321. ეს რიცხვი უკვე საკმაოდ ახლოსაა 12345-თან. საჭირო სიზუსტის შესაბამისად, „შეწყობა“ შეიძლება გაგრძელდეს ან შეჩერდეს მიღებულ შედეგზე. Სულ ეს არის. როგორც დაგპირდით - ყველაფერი ძალიან მარტივია და კალკულატორის გარეშე.

სულ ცოტა ისტორია...

პითაგორაელებმა, სკოლის მოსწავლეებმა და პითაგორას მიმდევრებმა, კვადრატული ფესვების გამოყენების იდეა ჩვ.წ. შემდეგ კი რიცხვების სფეროში ახალ აღმოჩენებს "გავეყარეთ". და ეს საიდან გაჩნდა?

1. ძირის ამოღების ამოცანის ამოხსნა იძლევა შედეგს ახალი კლასის რიცხვების სახით. მათ უწოდეს ირაციონალური, სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, "არაგონივრული", რადგან. ისინი არ იწერება როგორც სრული რიცხვი. ამ ტიპის ყველაზე კლასიკური მაგალითია 2-ის კვადრატული ფესვი. ეს შემთხვევა შეესაბამება კვადრატის დიაგონალის გამოთვლას 1-ის ტოლი გვერდით - ეს არის პითაგორას სკოლის გავლენა. აღმოჩნდა, რომ სამკუთხედში, რომელსაც აქვს გვერდების ძალიან კონკრეტული ერთეული ზომა, ჰიპოტენუზას აქვს ზომა, რომელიც გამოიხატება რიცხვით, რომელსაც "ბოლო არ აქვს". ასე გამოჩნდნენ მათემატიკაში

2. ცნობილია, რომ აღმოჩნდა, რომ ეს მათემატიკური ოპერაცია შეიცავს კიდევ ერთ დაჭერას - ფესვის ამოღებისას არ ვიცით რომელი რიცხვი, დადებითი თუ უარყოფითი, არის რადიკალური გამოხატვის კვადრატი. ეს გაურკვევლობა, ერთი ოპერაციის ორმაგი შედეგი, დაფიქსირებულია ამ გზით.

ამ ფენომენთან დაკავშირებული პრობლემების შესწავლა გახდა მათემატიკის მიმართულება, რომელსაც ეწოდება რთული ცვლადების თეორია, რომელსაც აქვს დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობამათემატიკური ფიზიკაში.

საინტერესოა, რომ იგივე ყველგანმყოფმა ი. ნიუტონმა გამოიყენა ფესვის აღნიშვნა - რადიკალური - თავის "უნივერსალურ არითმეტიკაში" და ზუსტად. თანამედროვე სახეფესვის აღნიშვნა ცნობილია 1690 წლიდან ფრანგი როლის წიგნიდან "ალგებრას სახელმძღვანელო".

დადებითი რიცხვის არაუარყოფითი კვადრატული ფესვი ეწოდება არითმეტიკული კვადრატული ფესვიდა აღინიშნება რადიკალური ნიშნის გამოყენებით.

რთული რიცხვები

რთული რიცხვების ველზე ყოველთვის არის ორი ამონახსნი, რომლებიც განსხვავდება მხოლოდ ნიშნით (გარდა ნულის კვადრატული ფესვისა). რთული რიცხვის ფესვი ხშირად აღინიშნება როგორც , მაგრამ ეს აღნიშვნა ფრთხილად უნდა იქნას გამოყენებული. გავრცელებული შეცდომა:

რთული რიცხვის კვადრატული ფესვის გამოსატანად მოსახერხებელია რთული რიცხვის ჩაწერის ექსპონენციალური ფორმის გამოყენება: თუ

სადაც მოდულის ფესვი გაგებულია არითმეტიკული მნიშვნელობის გაგებით და k-ს შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები k=0 და k=1, ასე რომ პასუხი მთავრდება ორი განსხვავებული შედეგით.

განზოგადებები

კვადრატული ფესვები შემოტანილია, როგორც სხვა ობიექტების ფორმის განტოლებების ამონახსნები: მატრიცები, ფუნქციები, ოპერატორები და ა.შ. საკმაოდ თვითნებური მრავლობითი ოპერაციები შეიძლება გამოყენებულ იქნას როგორც ოპერაცია, მაგალითად, სუპერპოზიცია.

კვადრატული ფესვი კომპიუტერულ მეცნიერებაში

ბევრ ფუნქციის დონის პროგრამირების ენაში (ისევე როგორც მარკირების ენებში, როგორიცაა LaTeX), კვადრატული ფესვის ფუნქცია იწერება როგორც სqrt(ინგლისურიდან კვადრატული ფესვი"Კვადრატული ფესვი").

კვადრატული ფესვის პოვნის ალგორითმები

მოცემული რიცხვის კვადრატული ფესვის პოვნა ან გამოთვლა ეწოდება მოპოვება(კვადრატული ფესვი.

ტეილორის სერიის გაფართოება

არითმეტიკული კვადრატული ფესვი

რიცხვების კვადრატებისთვის მართებულია შემდეგი ტოლობები:

ანუ, შეგიძლიათ გაიგოთ რიცხვის კვადრატული ფესვის მთელი ნაწილი, გამოკლებით მისგან ყველა კენტი რიცხვის თანმიმდევრობით, სანამ ნაშთი ნაკლები იქნება შემდეგ გამოკლებულ რიცხვზე ან ნულის ტოლი და შესრულებული მოქმედებების რაოდენობის დათვლით. მაგალითად, ასე:

დასრულებულია 3 ნაბიჯი, 9-ის კვადრატული ფესვი არის 3.

ამ მეთოდის მინუსი ის არის, რომ თუ ამოღებული ფესვი არ არის მთელი რიცხვი, მაშინ შეგიძლიათ გაიგოთ მხოლოდ მისი მთელი ნაწილი, მაგრამ არა უფრო ზუსტად. ამავდროულად, ეს მეთოდი საკმაოდ ხელმისაწვდომია ბავშვებისთვის, რომლებსაც შეუძლიათ მარტივი პრობლემების გადაჭრა. მათემატიკური პრობლემები, რომელიც მოითხოვს კვადრატული ფესვის მოპოვებას.

Უხეში შეფასება

მრავალი ალგორითმი დადებითი რეალური რიცხვის კვადრატული ფესვების გამოსათვლელად სმოითხოვს თავდაპირველ მნიშვნელობას. თუ საწყისი მნიშვნელობა ძალიან შორს არის ფესვის რეალური მნიშვნელობიდან, გამოთვლები ნელდება. აქედან გამომდინარე, სასარგებლოა უხეში შეფასება, რომელიც შეიძლება იყოს ძალიან არაზუსტი, მაგრამ ადვილი გამოსათვლელია. თუ ს≥ 1, მოდით დიქნება ციფრების რაოდენობა სათობითი წერტილის მარცხნივ. თუ ს < 1, пусть დიქნება თანმიმდევრული ნულების რიცხვი ათწილადის წერტილის მარჯვნივ, აღებული მინუს ნიშნით. მაშინ უხეში შეფასება ასე გამოიყურება:

თუ დუცნაური, დ = 2ნ+ 1, შემდეგ გამოიყენეთ თუ დთუნდაც, დ = 2ნ+ 2, შემდეგ გამოიყენეთ

ორი და ექვსი გამოიყენება იმიტომ და

ორობით სისტემაში მუშაობისას (როგორც კომპიუტერების შიგნით), უნდა იქნას გამოყენებული განსხვავებული შეფასება (აქ დარის ორობითი ციფრების რაოდენობა).

გეომეტრიული კვადრატული ფესვი

ფესვის ხელით ამოსაღებად გამოიყენება გრძელი გაყოფის მსგავსი აღნიშვნა. ჩაწერილია რიცხვი, რომლის ფესვსაც ვეძებთ. მის მარჯვნივ ჩვენ თანდათან მივიღებთ სასურველი ფესვის ნომრებს. ავიღოთ რიცხვის ფესვი ათწილადების სასრული რაოდენობით. დასაწყისისთვის, გონებრივად ან ნიშნებით, ჩვენ ვყოფთ N რიცხვს ორნიშნა ჯგუფებად მარცხნივ და მარჯვნივ ათობითი წერტილიდან. საჭიროების შემთხვევაში, ჯგუფები ივსება ნულებით - მარცხნივ ივსება მთელი რიცხვი, მარჯვნივ - წილადი. ასე რომ, 31234.567 შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც 03 12 34. 56 70. გაყოფისგან განსხვავებით, დანგრევა ხდება ასეთ 2-ნიშნა ჯგუფებში.

ალგორითმის ვიზუალური აღწერა: