Mnożenie licznika ułamków zwykłych 12. Mnożenie ułamków zwykłych: zasady, przykłady, rozwiązania
Omiń te prowizje JUŻ! 🙂
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są silni „nie bardzo. »
A dla tych, którzy „bardzo wyrównali. "")
Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Bo tak jest łatwiej. Przypominam: aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (to będzie licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:
Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie potrzebuje tego tutaj...
Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż je, czyli:
Jeśli mnożenie lub dzielenie z liczbami całkowitymi i ułamkami zostanie złapane, jest w porządku. Podobnie jak w przypadku dodawania, robimy ułamek z liczby całkowitej z jednostką w mianowniku - i gotowe! Na przykład:
W szkole średniej często masz do czynienia z frakcjami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:
Jak doprowadzić ten ułamek do przyzwoitej formy? Tak, bardzo łatwo! Użyj podziału przez dwa punkty:
Ale nie zapomnij o kolejności podziału! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale we frakcji trzypiętrowej łatwo popełnić błąd. Uwaga, na przykład:
W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):
W drugim (wyrażenie po prawej):
Poczuj różnicę? 4 i 1/9!
Jaka jest kolejność dzielenia? Albo nawiasy, albo (jak tutaj) długość kresek poziomych. Rozwijaj oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, na przykład:
następnie podziel-mnóż po kolei, od lewej do prawej!
I bardzo proste i ważna sztuczka. W akcjach ze stopniami przyda Ci się! Podzielmy jednostkę przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:
Strzał się odwrócił! I zawsze tak się dzieje. Podczas dzielenia 1 przez dowolny ułamek wynikiem jest ten sam ułamek, tylko odwrócony.
To wszystkie działania z ułamkami. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Zwróć uwagę na praktyczne rady, a będzie ich mniej (błędów)!
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! To nie są zwykłe słowa, nie są to dobre życzenia! To pilna potrzeba! Wykonaj wszystkie obliczenia na egzaminie jako pełnoprawne zadanie, z koncentracją i jasnością. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w szkicu niż mieszać w obliczeniach w głowie.
2. W przykładach z różne rodzaje ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.
3. Zmniejszamy wszystkie ułamki do końca.
4. Wielokondygnacyjny wyrażenia ułamkowe sprowadzamy do zwykłych stosując dzielenie przez dwa punkty (przestrzegamy kolejności dzielenia!).
Oto zadania, które musisz wykonać. Odpowiedzi udzielane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów z tego tematu i praktycznych porad. Oszacuj, ile przykładów możesz rozwiązać poprawnie. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnąć właściwe wnioski.
Zapamiętaj poprawną odpowiedź uzyskany za drugim (zwłaszcza trzecim) razem - nie liczy się! Takie jest ciężkie życie.
Więc, rozwiązać w trybie egzaminacyjnym ! Nawiasem mówiąc, to jest przygotowanie do egzaminu. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy, rozwiązujemy następujące. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.
Szukasz odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo zapisałem je w bałaganie, z dala od pokusy, że tak powiem. Oto one, odpowiedzi oddzielone średnikiem.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
A teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało - szczęśliwy dla Ciebie! Elementarne obliczenia z ułamkami to nie Twój problem! Możesz robić poważniejsze rzeczy. Jeśli nie.
Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale. Ten rozpuszczalny Problemy.
W sekcji specjalnej 555 „Ułamki” wszystkie te (i nie tylko!) przykłady są analizowane. Z szczegółowe wyjaśnienia co, dlaczego i jak. Taka analiza bardzo pomaga przy braku wiedzy i umiejętności!
Tak, a co do drugiego problemu, coś w tym jest.) Całkiem praktyczne porady, jak stać się bardziej uważnym. Tak tak! Porada, która może mieć zastosowanie każdy.
Oprócz wiedzy i uważności, do osiągnięcia sukcesu potrzebny jest pewien automatyzm. Gdzie go zdobyć? Słyszę ciężkie westchnienie... Tak, tylko w praktyce, nigdzie indziej.
Możesz przejść do strony 321start.ru na szkolenie. Tam, w opcji „Wypróbuj”, jest 10 przykładów do wykorzystania przez wszystkich. Z natychmiastową weryfikacją. Dla zarejestrowanych użytkowników - 34 przykłady od prostych do poważnych. To tylko dla ułamków.
Jeśli podoba Ci się ta strona.
Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)
Tutaj możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Ucz się z zainteresowaniem!
A tutaj możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Zasada nr 1
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, musisz pomnożyć jego licznik przez tę liczbę i pozostawić niezmieniony mianownik.
Zasada 2
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek:
1. znajdź iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków
2. Zapisz pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.
Zasada 3
Aby pomnożyć liczby mieszane, należy zapisać je jako ułamki niewłaściwe, a następnie skorzystać z reguły mnożenia ułamków zwykłych.
Zasada 4
Aby podzielić jeden ułamek przez inny, musisz pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Przykład 1
Oblicz
Przykład 2
Oblicz
Przykład 3
Oblicz
Przykład 4
Oblicz
Matematyka. Inne materiały
Podnoszenie liczby do potęgi wymiernej. (
Podnoszenie liczby do naturalnej potęgi. (
Uogólniona metoda przedziałowa do rozwiązywania nierówności algebraicznych (Autor Kolchanov A.V.)
Metoda zastępowania czynników w rozwiązywaniu nierówności algebraicznych (Autor Kolchanov A.V.)
Znaki podzielności (Lungu Alena)
Sprawdź się w temacie „Mnożenie i dzielenie ułamki zwykłe’
Mnożenie ułamków zwykłych
Rozważymy mnożenie ułamków zwykłych na kilka możliwych sposobów.
Mnożenie ułamka przez ułamek
Jest to najprostszy przypadek, w którym musisz użyć następującego zasady mnożenia ułamków.
Do pomnożyć ułamek przez ułamek, niezbędny:
Przed pomnożeniem liczników i mianowników sprawdź, czy ułamki można skrócić. Zmniejszenie ułamków w obliczeniach znacznie ułatwi obliczenia.
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Do frakcji pomnożyć przez liczbę naturalną musisz pomnożyć licznik ułamka przez tę liczbę i pozostawić mianownik ułamka bez zmian.
Jeśli wynik mnożenia nie jest Prawidłowa frakcja, nie zapomnij zamienić go na liczbę mieszaną, czyli wybierz całą część.
Mnożenie liczb mieszanych
Aby pomnożyć liczby mieszane, należy najpierw zamienić je na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z regułą mnożenia ułamków zwykłych.
Inny sposób na pomnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Czasami w obliczeniach wygodniej jest zastosować inną metodę mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, musisz podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.
Jak widać z przykładu, wygodniej jest użyć tej wersji reguły, jeśli mianownik ułamka jest podzielny bez reszty przez liczbę naturalną.
Dzielenie ułamka przez liczbę
Jak najszybciej podzielić ułamek przez liczbę? Przeanalizujmy teorię, wyciągnijmy wnioski i na przykładach zobaczmy, jak można wykonać dzielenie ułamka przez liczbę według nowej krótkiej reguły.
Zwykle dzielenie ułamka przez liczbę odbywa się zgodnie z zasadą dzielenia ułamków. Pierwsza liczba (ułamek) jest mnożona przez odwrotność drugiej. Ponieważ druga liczba jest liczbą całkowitą, jej odwrotnością jest ułamek, którego licznik jest równy jeden, a mianownik to podana liczba. Schematycznie dzielenie ułamka przez liczbę naturalną wygląda następująco:
Z tego wnioskujemy:
Aby podzielić ułamek przez liczbę, pomnóż mianownik przez tę liczbę i pozostaw licznik bez zmian. Regułę można sformułować jeszcze krócej:
Kiedy dzielisz ułamek przez liczbę, liczba idzie do mianownika.
Podziel ułamek przez liczbę:
Aby podzielić ułamek przez liczbę, przepisujemy licznik bez zmian i mnożymy mianownik przez tę liczbę. Zmniejszamy 6 i 3 o 3.
Dzieląc ułamek przez liczbę, przepisujemy licznik i mnożymy mianownik przez tę liczbę. Zmniejszamy 16 i 24 o 8.
Dzieląc ułamek przez liczbę, liczba przechodzi do mianownika, więc licznik pozostawiamy bez zmian i mnożymy mianownik przez dzielnik. Zmniejszamy 21 i 35 o 7.
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych działaniach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobre wieści jest to, że operacje te są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez wyróżnionej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki, musisz osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwróconą” drugą.
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek zwykły, wystarczy zamienić miejscami licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek zredukowany (i często powstaje) - oczywiście trzeba go pomniejszyć. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale to, czego dokładnie nie da się zrobić z mnożeniem, to sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, maksymalnych współczynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych z częścią całkowitą i ułamków ujemnych
Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je zamienić na niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie ze schematami przedstawionymi powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim występuje minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus razy minus daje minus;
- Dwa przeczenia dają odpowiedź twierdzącą.
- Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, usuwamy go z granic mnożenia. Otrzymujesz ułamek ujemny.
Do tej pory zasady te spotykano tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów jednocześnie:
Tłumaczymy wszystkie ułamki na niewłaściwe, a następnie usuwamy minusy poza granicami mnożenia. To, co pozostaje, mnoży się zgodnie ze zwykłymi zasadami. Otrzymujemy:
Przypomnę raz jeszcze, że minus przed ułamkiem z zaznaczoną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć też uwagę liczby ujemne: Po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Zmniejszanie ułamków w locie
Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
We wszystkich przykładach numery, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zredukowane. Jednostki pozostały na swoim miejscu, które w zasadzie można pominąć. W drugim przykładzie pełna redukcja nie było to możliwe do osiągnięcia, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.
Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Tutaj, spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje z powodu faktu, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie w iloczynie liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:
Jak widać poprawna odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie bądź ostrożny.
Dzielenie ułamków.
Dzielenie ułamka przez liczbę naturalną.
Przykłady dzielenia ułamka przez liczbę naturalną
Dzielenie liczby naturalnej przez ułamek.
Przykłady dzielenia liczby naturalnej przez ułamek
Dzielenie ułamków zwykłych.
Przykłady dzielenia ułamków zwykłych
Dzielenie liczb mieszanych.
- Aby podzielić jedną liczbę mieszaną przez drugą, potrzebujesz:
- zamień ułamki mieszane na niewłaściwe;
- pomnóż pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego;
- zmniejszyć uzyskaną frakcję;
- Jeśli otrzymasz ułamek niewłaściwy, zamień ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
- zamień ułamki mieszane na niewłaściwe;
- pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków;
- zmniejszamy ułamek;
- jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, to zamieniamy ułamek niewłaściwy na mieszany.
- Under-and not up to- Przerobiona piosenka "Spring Tango" (Nadchodzi czas - przylatują ptaki z południa) - muzyka. Valery Milyaev Źle usłyszałem, źle zrozumiałem, nie dogoniłem, w tym sensie, że nie zgadłem, napisałem wszystkie czasowniki z nie osobno, nie wiedziałem o przedrostku nedo-. Zdarza się, […]
- Page not found W trzecim czytaniu końcowym przyjęto pakiet dokumentów rządowych przewidujących utworzenie specjalnych regionów administracyjnych (SAR). W związku z wyjściem z Unii Europejskiej Wielka Brytania nie zostanie włączona do europejskiego obszaru VAT i […]
- Łączny komisja śledcza pojawi się jesienią Wspólny Komitet Śledczy pojawi się jesienią Śledztwo wszystkich organów ścigania zostanie zebrane pod jednym dachem przy czwartej próbie Już jesienią 2014 roku, według Izwiestii, prezydent Władimir Putin […]
- Patent algorytmu Jak wygląda patent algorytmu Jak przygotowywany jest patent algorytmu Przygotowanie technicznych opisów metod przechowywania, przetwarzania i przesyłania sygnałów i/lub danych specjalnie do celów patentowych zwykle nie jest szczególnie trudne, a […]
- CO WARTO WIEDZIEĆ O NOWYM PROJEKCIE O EMERYTURACH 12 grudnia 1993 KONSTYTUCJA FEDERACJI ROSYJSKIEJ Federacja Rosyjska w sprawie zmiany Konstytucji Federacji Rosyjskiej z dnia 30 grudnia 2008 r. N 6-FKZ, z dnia 30 grudnia 2008 r. N 7-FKZ, […]
- Czastuszki o emeryturze dla kobiety są fajne dla bohatera dnia mężczyźni dla bohatera dnia dla mężczyzny - w refrenie dla bohatera dnia dla kobiety - wtajemniczenie w emerytów kobiety są komiczne Konkursy dla emerytów będą ciekawe Gospodarz : Drodzy przyjaciele! Chwila uwagi! Uczucie! Tylko […]
Przykłady dzielenia liczb mieszanych
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Wszelkie obsceniczne komentarze będą usuwane, a ich autorzy umieszczani na czarnej liście!
Witamy w OnlineMSchool.
Nazywam się Dowżyk Michaił Wiktorowicz. Jestem właścicielem i autorem tej strony, napisałem cały materiał teoretyczny, a także opracowałem ćwiczenia on-line i kalkulatory, których możesz użyć do nauki matematyki.
Ułamki. Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
Mnożenie ułamka przez ułamek.
Aby pomnożyć ułamki zwykłe, należy pomnożyć licznik przez licznik (otrzymujemy licznik produktu) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik produktu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość zmniejszenia ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.
Notatka! Nie ma co szukać wspólnego mianownika!!
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek zwykły.
Dzielenie ułamka zwykłego przez ułamek wygląda następująco: odwracamy drugi ułamek (tj. zamieniamy miejscami licznik i mianownik), a następnie mnożymy ułamki.
Wzór na dzielenie ułamków zwykłych:
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną.
Notatka! Podczas mnożenia ułamka przez liczbę naturalną licznik ułamka jest mnożony przez naszą liczbę naturalną, a mianownik ułamka pozostaje ten sam. Jeśli wynikiem iloczynu jest ułamek niewłaściwy, pamiętaj o wybraniu całej części, zamieniając ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Dzielenie ułamków z wykorzystaniem liczby naturalnej.
To nie jest takie straszne, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania zamieniamy liczbę całkowitą na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków zwykłych (mieszane):
Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób mnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Bardziej wygodne jest użycie drugiej metody mnożenia ułamka zwykłego przez liczbę.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.
Z powyższego przykładu widać, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka dzieli się bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopoziomowe.
W liceum często spotyka się trzypiętrowe (lub więcej) frakcje. Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej postaci, stosuje się podział przez 2 punkty:
Notatka! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.
Notatka, Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynikiem będzie ten sam ułamek, tylko odwrócony:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków zwykłych:
1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj ostrożnie i dokładnie, skoncentrowanie i wyraźnie. Lepiej napisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż pogubić się w obliczeniach w głowie.
2. W zadaniach z różnymi typami ułamków przejdź do rodzaju ułamków zwykłych.
3. Skracamy wszystkie ułamki do momentu, gdy redukcja nie jest już możliwa.
4. Wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe wprowadzamy do zwykłych, stosując dzielenie przez 2 punkty.
Mnożenie liczby całkowitej przez ułamek to proste zadanie. Ale są subtelności, które prawdopodobnie rozumiałeś w szkole, ale od tamtej pory zapomniałeś.
Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek - kilka wyrazów
Jeśli pamiętasz, czym jest licznik i mianownik oraz czym różni się ułamek właściwy od niewłaściwego, pomiń ten akapit. To jest dla tych, którzy całkowicie zapomnieli teorię.
Licznik jest Górna część ułamki są tym, co dzielimy. Mianownik jest dolny. Tym się dzielimy.
Ułamek właściwy to taki, którego licznik jest mniejszy od mianownika. Ułamek niewłaściwy to ułamek, którego licznik jest większy lub równy mianownikowi.
Jak pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek
Zasada mnożenia liczby całkowitej przez ułamek jest bardzo prosta - mnożymy licznik przez liczbę całkowitą i nie dotykamy mianownika. Na przykład: dwa pomnożone przez jedną piątą - otrzymujemy dwie piąte. Cztery razy trzy szesnaste to dwanaście szesnastych.
Zmniejszenie
W drugim przykładzie uzyskaną frakcję można zredukować.
Co to znaczy? Zauważ, że zarówno licznik, jak i mianownik tego ułamka są podzielne przez cztery. Podziel obie liczby przez wspólny dzielnik i nazywa się - zmniejsz ułamek. Dostajemy trzy czwarte.
Ułamki niewłaściwe
Ale załóżmy, że pomnożymy cztery razy dwie piąte. Mam osiem piątych. To jest błędny ułamek.
Trzeba go dowieźć poprawna forma. Aby to zrobić, musisz wybrać z niego całą część.
Tutaj musisz użyć dzielenia z resztą. Dostajemy jeden i trzy w pozostałej części.
Jedna całość i trzy piąte to nasz ułamek właściwy.
Poprawianie trzydziestu pięciu ósemek jest nieco trudniejsze. Najbliższa trzydziestu siedmiu liczba podzielna przez osiem to trzydzieści dwa. Po podzieleniu otrzymujemy cztery. Od trzydziestu pięciu odejmujemy trzydzieści dwa - otrzymujemy trzy. Wynik: cztery całe i trzy ósemki.
Równość licznika i mianownika. A tutaj wszystko jest bardzo proste i piękne. Kiedy licznik i mianownik są równe, wynik jest tylko jeden.
W tym artykule przeanalizujemy mnożenie liczb mieszanych. Najpierw przedstawimy zasadę mnożenia liczb mieszanych i rozważymy zastosowanie tej reguły podczas rozwiązywania przykładów. Następnie porozmawiamy o mnożeniu liczby mieszanej i liczby naturalnej. Na koniec nauczymy się mnożyć liczbę mieszaną i ułamek zwykły.
Nawigacja po stronie.
Mnożenie liczb mieszanych.
Mnożenie liczb mieszanych można sprowadzić do mnożenia ułamków zwykłych. Aby to zrobić, wystarczy zamienić liczby mieszane na ułamki niewłaściwe.
Zapiszmy Reguła mnożenia dla liczb mieszanych:
- Po pierwsze, liczby mieszane, które mają zostać pomnożone, należy zastąpić ułamkami niewłaściwymi;
- Po drugie, musisz użyć zasady mnożenia ułamka przez ułamek.
Rozważ przykłady zastosowania tej zasady podczas mnożenia liczby mieszanej przez liczbę mieszaną.
Wykonaj mnożenie liczb mieszanych i .
Po pierwsze, pomnożone liczby mieszane przedstawiamy jako ułamki niewłaściwe: 
I 
. Teraz możemy zastąpić mnożenie liczb mieszanych mnożeniem ułamków zwykłych: 
. Stosując zasadę mnożenia ułamków, otrzymujemy 
. Otrzymany ułamek jest nieredukowalny (patrz ułamki redukowalne i nieredukowalne), ale jest niepoprawny (patrz ułamki zwykłe i niewłaściwe), dlatego aby uzyskać ostateczną odpowiedź, pozostaje wyodrębnienie części całkowitej z ułamka niewłaściwego: .
Zapiszmy całe rozwiązanie w jednym wierszu: .
.
Aby utrwalić umiejętności mnożenia liczb mieszanych, rozważ rozwiązanie innego przykładu.
Wykonaj mnożenie.
Śmieszne liczby i są równe odpowiednio ułamkom 13/5 i 10/9. Następnie 
. Na tym etapie należy pamiętać o redukcji ułamka: wszystkie liczby w ułamku zastąpimy ich rozwinięciami na czynniki pierwsze i przeprowadzimy redukcję tych samych czynników.
Mnożenie liczby mieszanej i liczby naturalnej
Po zastąpieniu liczby mieszanej ułamkiem niewłaściwym, mnożenie liczby mieszanej i liczby naturalnej sprowadza się do mnożenia ułamka zwykłego i liczby naturalnej.
Pomnóż liczbę mieszaną i liczbę naturalną 45 .
Zatem liczba mieszana to ułamek 
. Zastąpmy liczby w otrzymanym ułamku ich rozwinięciami na czynniki pierwsze, dokonajmy redukcji, po czym wybieramy część całkowitą: .
.
Mnożenie liczby mieszanej i liczby naturalnej jest czasami wygodnie wykonywane przy użyciu rozdzielczej właściwości mnożenia względem dodawania. W tym przypadku iloczyn liczby mieszanej i liczby naturalnej jest równy sumie iloczynów części całkowitej przez daną liczbę naturalną i części ułamkowej przez daną liczbę naturalną, czyli 
.
Oblicz produkt.
Liczbę mieszaną zastępujemy sumą części całkowitej i ułamkowej, po czym stosujemy rozdzielność mnożenia: .
Mnożenie liczby mieszanej i ułamka zwykłego najwygodniej jest sprowadzić do mnożenia ułamków zwykłych, przedstawiając pomnożoną liczbę mieszaną jako ułamek niewłaściwy.
Pomnóż liczbę mieszaną przez ułamek zwykły 4/15.
Zastępując liczbę mieszaną ułamkiem, otrzymujemy 
.
www.cleversstudents.ru
Mnożenie liczb ułamkowych
§ 140. Definicje. 1) Mnożenie liczby ułamkowej przez liczbę całkowitą definiuje się w taki sam sposób, jak mnożenie liczb całkowitych, a mianowicie: pomnożyć jakąś liczbę (mnożnik) przez liczbę całkowitą (czynnik) to zrobić sumę identycznych wyrazów, w której każdy wyraz jest równy mnożnikowi, a liczba wyrazów jest równa mnożnikowi.
Zatem pomnożenie przez 5 oznacza znalezienie sumy:
2) Pomnożyć pewną liczbę (mnożnik) przez ułamek (mnożnik) oznacza znaleźć ten ułamek mnożnika.
Zatem znalezienie ułamka z podany numer, które rozważaliśmy wcześniej, będziemy teraz nazywać mnożeniem przez ułamek.
3) Pomnożenie jakiejś liczby (mnożnika) przez liczbę mieszaną (czynnik) oznacza pomnożenie mnożnej najpierw przez liczbę całkowitą czynnika, następnie przez ułamek tego czynnika i dodanie wyników tych dwóch mnożeń razem.
Na przykład:
Liczba uzyskana po pomnożeniu jest we wszystkich tych przypadkach nazywana praca, tj. w taki sam sposób, jak przy mnożeniu liczb całkowitych.
Z tych definicji jasno wynika, że mnożenie liczb ułamkowych jest działaniem zawsze możliwym i zawsze jednoznacznym.
§ 141. Celowość tych definicji. Aby zrozumieć celowość wprowadzenia dwóch ostatnich definicji mnożenia do arytmetyki, rozważmy następujący problem:
Zadanie. Pociąg poruszający się ruchem jednostajnym jedzie z prędkością 40 km na godzinę; jak dowiedzieć się, ile kilometrów ten pociąg przejedzie w ciągu określonej liczby godzin?
Gdybyśmy pozostali przy tej jednej definicji mnożenia, na którą wskazuje arytmetyka liczb całkowitych (dodawanie wyrazów równych), to nasz problem miałby trzy różne rozwiązania, a mianowicie:
Jeśli podana liczba godzin jest liczbą całkowitą (na przykład 5 godzin), to aby rozwiązać problem, należy pomnożyć 40 km przez tę liczbę godzin.
Jeśli dana liczba godzin jest wyrażona jako ułamek (na przykład godziny), wówczas będziesz musiał znaleźć wartość tego ułamka z 40 km.
Wreszcie, jeśli podana liczba godzin jest mieszana (na przykład godziny), to trzeba będzie pomnożyć 40 km przez liczbę całkowitą zawartą w liczbie mieszanej i dodać do wyniku taki ułamek z 40 km, jaki jest w pomieszane numery.
Podane przez nas definicje pozwalają na to wszystko możliwe przypadki podaj jedną ogólną odpowiedź:
40 km należy pomnożyć przez określoną liczbę godzin, jakakolwiek by ona nie była.
Tak więc, jeśli zadanie jest przedstawione w ogólna perspektywa Więc:
Pociąg poruszający się ruchem jednostajnym jedzie v km na godzinę. Ile kilometrów przejedzie pociąg w ciągu t godzin?
wtedy niezależnie od liczb v i t możemy wyrazić jedną odpowiedź: pożądaną liczbę wyraża wzór v · t.
Notatka. Znalezienie jakiegoś ułamka danej liczby, zgodnie z naszą definicją, oznacza to samo, co pomnożenie danej liczby przez ten ułamek; dlatego np. znalezienie 5% (tj. pięciu setnych) danej liczby oznacza to samo, co pomnożenie danej liczby przez lub przez; znalezienie 125% danej liczby jest równoznaczne z pomnożeniem tej liczby przez lub przez , itd.
§ 142. Uwaga, kiedy liczba rośnie, a kiedy maleje od mnożenia.
Z pomnożenia przez ułamek właściwy liczba maleje, a z pomnożenia przez ułamek niewłaściwy liczba rośnie, jeśli ten ułamek niewłaściwy jest większy od jeden, i pozostaje bez zmian, jeśli jest równy jeden.
Komentarz. Podczas mnożenia liczb ułamkowych, a także liczb całkowitych, iloczyn jest równy zeru, jeśli którykolwiek z czynników jest równy zeru, więc.
§ 143. Wyprowadzanie reguł mnożenia.
1) Mnożenie ułamka przez liczbę całkowitą. Niech ułamek zostanie pomnożony przez 5. Oznacza to zwiększenie o 5 razy. Aby zwiększyć ułamek o 5, wystarczy zwiększyć jego licznik lub zmniejszyć mianownik 5 razy (§ 127).
Dlatego:
Zasada nr 1. Aby pomnożyć ułamek przez liczbę całkowitą, musisz pomnożyć licznik przez tę liczbę całkowitą i pozostawić ten sam mianownik; zamiast tego możesz również podzielić mianownik ułamka przez podaną liczbę całkowitą (jeśli to możliwe) i pozostawić licznik bez zmian.
Komentarz. Iloczyn ułamka i jego mianownika jest równy jego licznikowi.
Więc:
Zasada 2. Aby pomnożyć liczbę całkowitą przez ułamek, musisz pomnożyć liczbę całkowitą przez licznik ułamka i uczynić ten iloczyn licznikiem, a mianownik danego ułamka podpisać jako mianownik.
Zasada 3. Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugim mianownikiem iloczynu.
Komentarz. Regułę tę można również zastosować do mnożenia ułamka przez liczbę całkowitą i liczby całkowitej przez ułamek, jeśli tylko liczbę całkowitą traktujemy jako ułamek o mianowniku równym jeden. Więc:
Tak więc trzy wymienione teraz zasady są zawarte w jednej, co można ogólnie wyrazić w następujący sposób:
4) Mnożenie liczb mieszanych.
Zasada 4. Aby pomnożyć liczby mieszane, należy je zamienić na ułamki niewłaściwe, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadami mnożenia ułamków zwykłych. Na przykład:
§ 144. Zmniejszenie mnożenia. Podczas mnożenia ułamków, jeśli to możliwe, należy przeprowadzić wstępną redukcję, jak widać z poniższych przykładów:
Takiej redukcji można dokonać, ponieważ wartość ułamka nie zmieni się, jeśli licznik i mianownik zmniejszymy tyle samo razy.
§ 145. Zmiana produktu ze zmianą czynników. Kiedy zmieniają się czynniki, iloczyn liczb ułamkowych zmieni się dokładnie w taki sam sposób, jak iloczyn liczb całkowitych (§ 53), a mianowicie: jeśli zwiększysz (lub zmniejszysz) dowolny czynnik kilka razy, wówczas iloczyn wzrośnie (lub zmniejszy się) o tę samą kwotę.
Jeśli więc w przykładzie:
aby pomnożyć kilka ułamków, należy pomnożyć ich liczniki między sobą i mianowniki między sobą i uczynić pierwszy iloczyn licznikiem, a drugim mianownikiem iloczynu.
Komentarz. Regułę tę można również zastosować do iloczynów, w których niektóre czynniki liczby są całkowite lub mieszane, jeśli tylko potraktujemy liczbę całkowitą jako ułamek o mianowniku równym jeden, a liczby mieszane zamienimy na ułamki niewłaściwe. Na przykład:
§ 147. Podstawowe własności mnożenia. Te własności mnożenia, które wskazaliśmy dla liczb całkowitych (§ 56, 57, 59), należą również do mnożenia liczb ułamkowych. Określmy te właściwości.
1) Produkt nie zmienia się od zmiany miejsca czynników.
Na przykład:
Rzeczywiście, zgodnie z zasadą z poprzedniego akapitu, pierwszy produkt jest równy ułamkowi, a drugi jest równy ułamkowi. Ale te ułamki są takie same, ponieważ ich elementy różnią się tylko kolejnością czynników całkowitych, a iloczyn liczb całkowitych nie zmienia się, gdy czynniki zamieniają się miejscami.
2) Produkt nie zmieni się, jeśli jakakolwiek grupa czynników zostanie zastąpiona przez ich produkt.
Na przykład:
Wyniki są takie same.
Z tej własności mnożenia można wywnioskować następujący wniosek:
aby pomnożyć jakąś liczbę przez iloczyn, możesz pomnożyć tę liczbę przez pierwszy czynnik, pomnożyć wynikową liczbę przez drugi i tak dalej.
Na przykład:
3) Dystrybucyjne prawo mnożenia (w odniesieniu do dodawania). Aby pomnożyć sumę przez jakąś liczbę, możesz pomnożyć każdy wyraz przez tę liczbę z osobna i dodać wyniki.
Prawo to zostało przez nas wyjaśnione (§ 59) w odniesieniu do liczb całkowitych. Pozostaje to prawdą bez żadnych zmian dla liczb ułamkowych.
Pokażmy w istocie, że równość
(a + b + do + .) m = am + bm + cm + .
(prawo rozdzielności mnożenia w odniesieniu do dodawania) pozostaje prawdziwe nawet wtedy, gdy litery oznaczają liczby ułamkowe. Rozpatrzmy trzy przypadki.
1) Załóżmy najpierw, że czynnik m jest liczbą całkowitą, na przykład m = 3 (a, b, c są dowolnymi liczbami). Zgodnie z definicją mnożenia przez liczbę całkowitą można zapisać (ograniczając się dla uproszczenia do trzech wyrazów):
(za + b + do) * 3 = (za + b + do) + (za + b + do) + (za + b + do).
Na podstawie łącznego prawa dodawania możemy pominąć wszystkie nawiasy po prawej stronie; stosując przemienne prawo dodawania, a następnie ponownie prawo asocjacyjne, możemy oczywiście przepisać prawa strona Więc:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(za + b + do) * 3 = za * 3 + b * 3 + do * 3.
Zatem prawo rozdzielności w tym przypadku jest potwierdzone.
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych działaniach było sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika.
Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są nawet łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez wyróżnionej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki, musisz osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwróconą” drugą.
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek zwykły, wystarczy zamienić miejscami licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek zredukowany (i często powstaje) - oczywiście trzeba go pomniejszyć. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Ale to, czego dokładnie nie da się zrobić z mnożeniem, to sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, maksymalnych współczynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych z częścią całkowitą i ułamków ujemnych
Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je zamienić na niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie ze schematami przedstawionymi powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim występuje minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus razy minus daje minus;
- Dwa przeczenia dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory zasady te spotykano tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów jednocześnie:
- Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, usuwamy go z granic mnożenia. Otrzymujesz ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Tłumaczymy wszystkie ułamki na niewłaściwe, a następnie usuwamy minusy poza granicami mnożenia. To, co pozostaje, mnoży się zgodnie ze zwykłymi zasadami. Otrzymujemy:
Przypomnę raz jeszcze, że minus przed ułamkiem z zaznaczoną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Zmniejszanie ułamków w locie
Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach numery, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zredukowane. Jednostki pozostały na swoim miejscu, które w zasadzie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć całkowitej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.
Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Tutaj, spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje z powodu faktu, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie w iloczynie liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc poprawne rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda następująco:
Jak widać poprawna odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie bądź ostrożny.
Mnożenie ułamków zwykłych.
Aby poprawnie pomnożyć ułamek przez ułamek lub ułamek przez liczbę, musisz wiedzieć proste zasady. Przeanalizujemy teraz szczegółowo te zasady.
Mnożenie ułamka przez ułamek.
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, musisz obliczyć iloczyn liczników i iloczyn mianowników tych ułamków.
Rozważ przykład:
Mnożymy licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a także mnożymy mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka.
Mnożenie ułamka przez liczbę.
Zacznijmy od reguły dowolną liczbę można przedstawić jako ułamek \(\bf n = \frac \) .
Użyjmy tej reguły do mnożenia.
Ułamek niewłaściwy \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) został przekształcony w ułamek mieszany.
Innymi słowy, Mnożąc liczbę przez ułamek, należy pomnożyć liczbę przez licznik, a mianownik pozostawić bez zmian. Przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Aby pomnożyć ułamki mieszane, musisz najpierw przedstawić każdy ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy, a następnie użyć reguły mnożenia. Licznik jest mnożony przez licznik, a mianownik przez mianownik.
Mnożenie ułamków odwrotnych i liczb.
Powiązane pytania:
Jak pomnożyć ułamek przez ułamek?
Odpowiedź: iloczyn zwykłych ułamków to pomnożenie licznika przez licznik, mianownika przez mianownik. Aby otrzymać iloczyn ułamków mieszanych, należy je zamienić na ułamek niewłaściwy i pomnożyć zgodnie z zasadami.
Jak pomnożyć ułamki o różnych mianownikach?
Odpowiedź: nie ma znaczenia, czy są takie same, czy różne mianowniki dla ułamków mnożenie odbywa się zgodnie z zasadą znajdowania iloczynu licznika z licznikiem, mianownika z mianownikiem.
Jak mnożyć ułamki mieszane?
Odpowiedź: przede wszystkim należy zamienić ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, a następnie znaleźć iloczyn zgodnie z zasadami mnożenia.
Jak pomnożyć liczbę przez ułamek?
Odpowiedź: Mnożymy liczbę przez licznik, a mianownik pozostawiamy bez zmian.
Przykład 1:
Oblicz iloczyn: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Przykład nr 2:
Oblicz iloczyn liczby i ułamka: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
Przykład nr 3:
Napisz odwrotność ułamka \(\frac \)?
Odpowiedź: \(\frac = 3\)
Przykład 4:
Oblicz iloczyn dwóch odwrotności: a) \(\frac \times \frac \)
Przykład 5:
Czy ułamki wzajemnie odwrotne mogą być:
a) oba ułamki właściwe;
b) jednocześnie ułamki niewłaściwe;
c) liczby naturalne w tym samym czasie?
Rozwiązanie:
a) Posłużmy się przykładem, aby odpowiedzieć na pierwsze pytanie. Ułamek \(\frac \) jest poprawny, jego odwrotność będzie równa \(\frac \) - ułamek niewłaściwy. Odpowiedź: nie.
b) w prawie wszystkich wyliczeniach ułamków ten warunek nie jest spełniony, ale są liczby, które jednocześnie spełniają warunek bycia ułamkiem niewłaściwym. Na przykład ułamek niewłaściwy to \(\frac \) , jego odwrotność to \(\frac \). Otrzymujemy dwa ułamki niewłaściwe. Odpowiedź: nie zawsze pod pewnymi warunkami, gdy licznik i mianownik są równe.
c) liczby naturalne to liczby, których używamy podczas liczenia, na przykład 1, 2, 3, .... Jeśli weźmiemy liczbę \(3 = \frac \), to jej odwrotnością będzie \(\frac \). Ułamek \(\frac \) nie jest liczbą naturalną. Jeśli przejrzymy wszystkie liczby, odwrotność jest zawsze ułamkiem, z wyjątkiem 1. Jeśli weźmiemy liczbę 1, to jej odwrotność będzie równać się \(\frac = \frac = 1\). Liczba 1 jest liczbą naturalną. Odpowiedź: mogą być jednocześnie liczbami naturalnymi tylko w jednym przypadku, jeśli ta liczba wynosi 1.
Przykład nr 6:
Wykonaj iloczyn ułamków mieszanych: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Rozwiązanie:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
Przykład 7:
Czy dwie liczby odwrotne mogą istnieć jednocześnie? liczby mieszane?
Spójrzmy na przykład. Weźmy ułamek mieszany \(1\frac \), znajdź jego odwrotność, w tym celu tłumaczymy go na ułamek niewłaściwy \(1\frac = \frac \) . Jego odwrotność będzie równa \(\frac \) . Ułamek \(\frac \) jest ułamkiem właściwym. Odpowiedź: Dwa wzajemnie odwrotne ułamki nie mogą być jednocześnie liczbami mieszanymi.
Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną
Prezentacja na lekcję
Uwaga! Podgląd slajdu służy wyłącznie celom informacyjnym i może nie odzwierciedlać pełnego zakresu prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
- W zabawny sposób wprowadź uczniów w zasadę mnożenia ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną, przez jednostkę bitową oraz zasadę wyrażania ułamka dziesiętnego w procentach. Wykształcenie umiejętności zastosowania zdobytej wiedzy w rozwiązywaniu przykładów i problemów.
- Wykształcenie i uaktywnienie logicznego myślenia uczniów, umiejętności rozpoznawania wzorców i ich uogólniania, wzmacniania pamięci, umiejętności współpracy, udzielania pomocy, oceniania swojej pracy i pracy siebie nawzajem.
- Rozwijanie zainteresowania matematyką, aktywnością, mobilnością, umiejętnością komunikowania się.
Sprzęt: tablica interaktywna, plakat z szyfrogramem, plakaty z wypowiedziami matematyków.
- Organizowanie czasu.
- Liczenie ustne to uogólnienie wcześniej przestudiowanego materiału, przygotowanie do badania nowego materiału.
- Wyjaśnienie nowego materiału.
- Praca domowa.
- Matematyczne wychowanie fizyczne.
- Uogólnienie i usystematyzowanie zdobytej wiedzy w zabawny sposób przy pomocy komputera.
- Cieniowanie.
2. Kochani, dzisiejsza lekcja będzie nieco nietypowa, ponieważ nie spędzę jej sama, ale z koleżanką. A mój przyjaciel też jest niezwykły, teraz go zobaczysz. (Na ekranie pojawia się rysunkowy komputer.) Mój przyjaciel ma imię i może mówić. Jak masz na imię, przyjacielu? Komposza odpowiada: „Nazywam się Komposza”. Czy jesteś gotów mi dzisiaj pomóc? TAK! No to zacznijmy lekcję.
Dzisiaj otrzymałem zaszyfrowany szyfrogram, chłopaki, który musimy wspólnie rozwiązać i rozszyfrować. (Na tablicy widnieje plakat z liczenie ustne do dodawania i odejmowania ułamków dziesiętnych, w wyniku czego chłopaki otrzymują następujący kod 523914687. )
Komposha pomaga rozszyfrować otrzymany kod. W wyniku dekodowania uzyskuje się słowo MULTIPLIKACJA. Mnożenie jest słowo kluczowe tematy dzisiejszej lekcji. Temat lekcji jest wyświetlany na monitorze: „Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną”
Chłopaki, wiemy, jak się robi mnożenie liczby naturalne. Dzisiaj rozważymy mnożenie liczb dziesiętnych przez liczbę naturalną. Mnożenie ułamka dziesiętnego przez liczbę naturalną można uznać za sumę wyrazów, z których każdy jest równy temu ułamkowi dziesiętnemu, a liczba wyrazów jest równa tej liczbie naturalnej. Na przykład: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Więc 5,21 3 = 15,63. Reprezentując 5,21 jako zwykły ułamek liczby naturalnej, otrzymujemy
I w tym przypadku otrzymaliśmy ten sam wynik 15,63. Teraz, ignorując przecinek, weźmy liczbę 521 zamiast liczby 5,21 i pomnóżmy ją przez podaną liczbę naturalną. Tutaj musimy pamiętać, że w jednym z czynników przecinek jest przesunięty o dwa miejsca w prawo. Mnożąc liczby 5, 21 i 3, otrzymujemy iloczyn równy 15,63. Teraz w tym przykładzie przesuniemy przecinek w lewo o dwie cyfry. Tak więc, o ile razy jeden z czynników został zwiększony, produkt został zmniejszony o tyle razy. Na podstawie podobnych punktów tych metod wyciągamy wniosek.
Mnożyć dziesiętny do liczby naturalnej potrzebujesz:
1) ignorując przecinek, wykonaj mnożenie liczb naturalnych;
2) w otrzymanym produkcie oddzielić przecinkiem z prawej strony tyle znaków, ile jest w ułamku dziesiętnym.
Na monitorze wyświetlane są następujące przykłady, które analizujemy razem z Komposzą i chłopakami: 5,21 3 = 15,63 i 7,624 15 = 114,34. Po pokazaniu mnożenia przez okrągłą liczbę 12,6 50 \u003d 630. Następnie przechodzę do mnożenia ułamka dziesiętnego przez jednostkę bitową. Pokazuję następujące przykłady: 7,423 · 100 \u003d 742,3 i 5,2 · 1000 \u003d 5200. Wprowadzam więc zasadę mnożenia ułamka dziesiętnego przez jednostkę bitową:
Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez jednostki bitowe 10, 100, 1000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo w tym ułamku o tyle cyfr, ile jest zer w zapisie jednostki bitowej.
Wyjaśnienie zakończę wyrażeniem ułamka dziesiętnego w procentach. Wpisuję regułę:
Aby wyrazić ułamek dziesiętny w procentach, pomnóż go przez 100 i dodaj znak %.
Podaję przykład na komputerze 0,5 100 = 50 lub 0,5 = 50%.
4. Na koniec wyjaśnienia daję chłopakom Praca domowa, który jest również wyświetlany na monitorze komputera: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Aby chłopaki trochę odpoczęli, utrwalili temat, robimy razem z Komposzą sesję matematycznego wychowania fizycznego. Wszyscy wstają, pokazują klasie rozwiązane przykłady i muszą odpowiedzieć, czy przykład jest poprawny, czy nie. Jeśli przykład zostanie rozwiązany poprawnie, podnoszą ręce nad głowy i klaszczą w dłonie. Jeśli przykład nie zostanie rozwiązany poprawnie, chłopaki wyciągają ręce na boki i ugniatają palce.
6. A teraz masz trochę odpoczynku, możesz rozwiązać zadania. Otwórz podręcznik na stronie 205, № 1029. w tym zadaniu należy obliczyć wartości wyrażeń:
Zadania pojawiają się na komputerze. Po ich rozwiązaniu pojawia się obrazek z wizerunkiem łodzi, która po całkowitym złożeniu odpływa.
Rozwiązując to zadanie na komputerze, rakieta stopniowo się rozwija, rozwiązując ostatni przykład, rakieta odlatuje. Nauczyciel udziela uczniom krótkiej informacji: „Każdego roku z ziemi kazachskiej z kosmodromu Bajkonur leć do gwiazd statki kosmiczne. W pobliżu Bajkonuru Kazachstan buduje swój nowy kosmodrom Baiterek.
Jaką odległość przejedzie samochód w ciągu 4 godzin, jeśli jego prędkość wynosi 74,8 km/h.
Bon podarunkowy Nie wiesz, co podarować bliskiej osobie, przyjaciołom, pracownikom, bliskim? Skorzystaj z naszej oferty specjalnej: „Bon podarunkowy Hotelu Blue Osoka Country”.Certyfikat […]
Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
Dodawanie ułamków jest dwojakiego rodzaju:
- Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach
- Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Zacznijmy od dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić niezmieniony mianownik. Na przykład dodajmy ułamki i . Dodajemy liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli dodasz pizzę do pizzy, otrzymasz pizzę:
Przykład 2 Dodaj ułamki i .
Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Jeśli nadejdzie koniec zadania, zwyczajowo pozbywa się ułamków niewłaściwych. Aby pozbyć się ułamka niewłaściwego, musisz wybrać w nim całą część. W naszym przypadku część całkowitą przydziela się łatwo - dwa podzielone przez dwa równa się jeden:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na dwie części. Jeśli dodasz więcej pizz do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę:
Przykład 3. Dodaj ułamki i .
Ponownie dodaj liczniki i pozostaw mianownik bez zmian:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli dodasz więcej pizz do pizzy, otrzymasz pizze:
Przykład 4 Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Liczniki należy dodać, a mianownik pozostawić bez zmian:
Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli dodasz pizze do pizzy i dodasz więcej pizz, otrzymasz 1 całą pizzę i więcej pizz.
Jak widać, dodawanie ułamków o tych samych mianownikach nie jest trudne. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby dodać ułamki o tym samym mianowniku, musisz dodać ich liczniki i pozostawić niezmieniony mianownik;
Dodawanie ułamków o różnych mianownikach
Teraz nauczymy się dodawać ułamki o różnych mianownikach. Podczas dodawania ułamków mianowniki tych ułamków muszą być takie same. Ale nie zawsze są takie same.
Na przykład ułamki można również dodawać, ponieważ mają same mianowniki.
Ale ułamków nie można dodawać od razu, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Istnieje kilka sposobów sprowadzenia ułamków do tego samego mianownika. Dzisiaj rozważymy tylko jedną z nich, ponieważ pozostałe metody mogą wydawać się skomplikowane dla początkującego.
Istota tej metody polega na tym, że poszukuje się pierwszego (LCM) mianownika obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik. To samo robią z drugim ułamkiem - LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik.
Następnie liczniki i mianowniki ułamków mnoży się przez ich dodatkowe czynniki. W wyniku tych działań ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak dodawać takie ułamki.
Przykład 1. Dodaj ułamki i
Przede wszystkim znajdujemy najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 6
LCM (2 i 3) = 6
Wróćmy teraz do ułamków i . Najpierw dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka i otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Podziel 6 przez 3, otrzymamy 2.
Wynikowa liczba 2 jest pierwszym dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do pierwszego ułamka. Aby to zrobić, wykonujemy małą ukośną linię nad ułamkiem i zapisujemy nad nim znaleziony dodatkowy czynnik:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka i otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik. LCM to liczba 6, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 2. Podziel 6 przez 2, otrzymamy 3.
Wynikowa liczba 3 jest drugim dodatkowym czynnikiem. Zapisujemy to do drugiego ułamka. Ponownie tworzymy małą ukośną linię nad drugą frakcją i piszemy nad nią znaleziony dodatkowy czynnik:
Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do dodania. Pozostaje pomnożyć liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki:
Przyjrzyj się uważnie, do czego doszliśmy. Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych mianownikach. I już wiemy, jak dodawać takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:
Tak kończy się przykład. Aby dodać, okazuje się.
Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli dodasz pizze do pizzy, otrzymasz jedną całą pizzę i kolejną szóstą pizzy:
Sprowadzanie ułamków do tego samego (wspólnego) mianownika można również przedstawić za pomocą rysunku. Sprowadzając ułamki i do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te dwie frakcje będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy. Jedyną różnicą będzie to, że tym razem zostaną one podzielone na równe części (sprowadzone do tego samego mianownika).
Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (cztery kawałki z sześciu), a drugi obraz przedstawia ułamek (trzy kawałki z sześciu). Łącząc te elementy, otrzymujemy (siedem elementów z sześciu). Ten ułamek jest niepoprawny, więc podkreśliliśmy w nim część całkowitą. Rezultatem była (jedna cała pizza i kolejna szósta pizza).
Zauważ, że namalowaliśmy ten przykład zbyt szczegółowo. W instytucje edukacyjne nie jest w zwyczaju pisać w tak szczegółowy sposób. Musisz być w stanie szybko znaleźć LCM obu mianowników i dodatkowych do nich czynników, a także szybko pomnożyć dodatkowe czynniki znalezione przez twoje liczniki i mianowniki. W szkole musielibyśmy napisać ten przykład w następujący sposób:
Ale jest też tylna strona medale. Jeśli na pierwszych etapach nauki matematyki nie robi się szczegółowych notatek, to tego rodzaju pytania „Skąd ta liczba?”, „Dlaczego ułamki nagle zamieniają się w zupełnie inne ułamki? «.
Aby ułatwić dodawanie ułamków o różnych mianownikach, możesz skorzystać z następujących instrukcji krok po kroku:
- Znajdź LCM mianowników ułamków;
- Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdego ułamka;
- Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez ich dodatkowe czynniki;
- Dodaj ułamki, które mają te same mianowniki;
- Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz całą jego część;
Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia 
.
Skorzystajmy z instrukcji powyżej.
Krok 1. Znajdź LCM mianowników ułamków
Znajdź LCM mianowników obu ułamków. Mianownikami ułamków są liczby 2, 3 i 4
Krok 2. Podziel LCM przez mianownik każdego ułamka i uzyskaj dodatkowy mnożnik dla każdego ułamka
Podziel LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 2. Dzieląc 12 przez 2, otrzymujemy 6. Mamy pierwszy dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Otrzymaliśmy drugi dodatkowy czynnik 4. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz dzielimy LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 4. Dzielimy 12 przez 4, otrzymujemy 3. Otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:
Krok 3. Pomnóż liczniki i mianowniki ułamków przez dodatkowe czynniki
Mnożymy liczniki i mianowniki przez nasze dodatkowe czynniki:
Krok 4. Dodaj ułamki o tych samych mianownikach
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. Pozostaje dodać te ułamki. dodać:
Dodanie nie zmieściło się w jednym wierszu, więc pozostałe wyrażenie przenieśliśmy do następnego wiersza. To jest dozwolone w matematyce. Gdy wyrażenie nie mieści się w jednym wierszu, jest przenoszone do następnego wiersza i konieczne jest postawienie znaku równości (=) na końcu pierwszego wiersza i na początku nowego wiersza. Znak równości w drugim wierszu wskazuje, że jest to kontynuacja wyrażenia znajdującego się w pierwszym wierszu.
Krok 5. Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, wybierz w nim całą część
Nasza odpowiedź to ułamek niewłaściwy. Musimy wyróżnić całą jego część. Wyróżniamy:
Mam odpowiedź
Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
Istnieją dwa rodzaje odejmowania ułamków:
- Odejmowanie ułamków o tych samych mianownikach
- Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Najpierw nauczmy się odejmować ułamki o tych samych mianownikach. Tutaj wszystko jest proste. Aby odjąć inny ułamek od jednego ułamka, musisz odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić ten sam mianownik.
Na przykład znajdźmy wartość wyrażenia . Aby rozwiązać ten przykład, należy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka i pozostawić niezmieniony mianownik. Zróbmy to:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na cztery części. Jeśli wycinasz pizze z pizzy, otrzymujesz pizze:
Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia .
Ponownie od licznika pierwszego ułamka odejmij licznik drugiego ułamka i pozostaw mianownik niezmieniony:
Ten przykład można łatwo zrozumieć, jeśli pomyślimy o pizzy podzielonej na trzy części. Jeśli wycinasz pizze z pizzy, otrzymujesz pizze:
Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia 
Ten przykład jest rozwiązany dokładnie w taki sam sposób, jak poprzednie. Od licznika pierwszego ułamka należy odjąć liczniki pozostałych ułamków:
Jak widać, nie ma nic skomplikowanego w odejmowaniu ułamków o tych samych mianownikach. Wystarczy zrozumieć następujące zasady:
- Aby odjąć inny ułamek od jednego ułamka, należy od licznika pierwszego ułamka odjąć licznik drugiego ułamka, a mianownik pozostawić niezmieniony;
- Jeśli odpowiedź okazała się ułamkiem niewłaściwym, musisz wybrać w nim całą część.
Odejmowanie ułamków o różnych mianownikach
Na przykład ułamek można odjąć od ułamka, ponieważ ułamki te mają te same mianowniki. Ale ułamka nie można odjąć od ułamka, ponieważ ułamki te mają różne mianowniki. W takich przypadkach ułamki należy sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Wspólny mianownik znajduje się zgodnie z tą samą zasadą, której użyliśmy przy dodawaniu ułamków o różnych mianownikach. Przede wszystkim znajdź LCM mianowników obu ułamków. Następnie LCM dzieli się przez mianownik pierwszego ułamka i uzyskuje się pierwszy dodatkowy czynnik, który jest zapisywany na pierwszym ułamku. Podobnie LCM dzieli się przez mianownik drugiego ułamka i uzyskuje się drugi dodatkowy czynnik, który jest zapisywany na drugim ułamku.
Ułamki są następnie mnożone przez ich dodatkowe czynniki. W wyniku tych operacji ułamki o różnych mianownikach zamieniają się w ułamki o tych samych mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki.
Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia:
Te ułamki mają różne mianowniki, więc musisz sprowadzić je do tego samego (wspólnego) mianownika.
Najpierw znajdujemy LCM mianowników obu ułamków. Mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 12
LCM (3 i 4) = 12
Wróćmy teraz do ułamków i
Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik pierwszego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 12 przez 3, otrzymujemy 4. Zapisujemy cztery nad pierwszym ułamkiem:
To samo robimy z drugim ułamkiem. Dzielimy LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 12, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 4. Podziel 12 przez 4, otrzymamy 3. Napisz potrójną część na drugim ułamku:
Teraz wszyscy jesteśmy gotowi do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki. Uzupełnijmy ten przykład do końca:
Mam odpowiedź
Spróbujmy przedstawić nasze rozwiązanie za pomocą obrazu. Jeśli kroisz pizzę z pizzy, otrzymujesz pizze.
To jest szczegółowa wersja rozwiązania. Będąc w szkole, musielibyśmy rozwiązać ten przykład w krótszy sposób. Takie rozwiązanie wyglądałoby tak:
Redukcję ułamków zwykłych i do wspólnego mianownika można również przedstawić za pomocą obrazu. Sprowadzając te ułamki do wspólnego mianownika, otrzymujemy ułamki i . Te ułamki będą reprezentowane przez te same kawałki pizzy, ale tym razem zostaną podzielone na te same ułamki (sprowadzone do tego samego mianownika):
Pierwszy rysunek przedstawia ułamek (osiem sztuk z dwunastu), a drugi rysunek przedstawia ułamek (trzy sztuki z dwunastu). Odcinając trzy kawałki z ośmiu kawałków, otrzymujemy pięć kawałków z dwunastu. Ułamek opisuje te pięć kawałków.
Przykład 2 Znajdź wartość wyrażenia 
Te ułamki mają różne mianowniki, więc najpierw trzeba je sprowadzić do tego samego (wspólnego) mianownika.
Znajdź LCM mianowników tych ułamków.
Mianownikami ułamków są liczby 10, 3 i 5. Najmniejszą wspólną wielokrotnością tych liczb jest 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Teraz znajdujemy dodatkowe czynniki dla każdej frakcji. Aby to zrobić, dzielimy LCM przez mianownik każdego ułamka.
Znajdźmy dodatkowy czynnik dla pierwszego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem pierwszego ułamka jest liczba 10. Dzieląc 30 przez 10, otrzymujemy pierwszy dodatkowy czynnik 3. Zapisujemy go nad pierwszym ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla drugiego ułamka. Podziel LCM przez mianownik drugiego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem drugiego ułamka jest liczba 3. Dzieląc 30 przez 3, otrzymujemy drugi dodatkowy czynnik 10. Zapisujemy go nad drugim ułamkiem:
Teraz znajdujemy dodatkowy czynnik dla trzeciego ułamka. Podziel LCM przez mianownik trzeciego ułamka. LCM to liczba 30, a mianownikiem trzeciego ułamka jest liczba 5. Dzieląc 30 przez 5, otrzymujemy trzeci dodatkowy czynnik 6. Zapisujemy go nad trzecim ułamkiem:
Teraz wszystko jest gotowe do odejmowania. Pozostaje pomnożyć ułamki przez ich dodatkowe czynniki:
Doszliśmy do wniosku, że ułamki o różnych mianownikach zamieniły się w ułamki o tych samych (wspólnych) mianownikach. I wiemy już, jak odejmować takie ułamki. Zakończmy ten przykład.
Kontynuacja przykładu nie zmieści się w jednej linii, więc przenosimy kontynuację do następnej linii. Nie zapomnij o znaku równości (=) w nowej linii:
Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem i wszystko wydaje się nam pasować, ale jest to zbyt uciążliwe i brzydkie. Powinniśmy to ułatwić. Co można zrobić? Możesz zmniejszyć ten ułamek.
Aby skrócić ułamek, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez (gcd) liczby 20 i 30.
Tak więc znajdujemy NWD liczb 20 i 30:
Teraz wracamy do naszego przykładu i dzielimy licznik i mianownik ułamka przez znaleziony NWD, czyli przez 10
Mam odpowiedź
Mnożenie ułamka przez liczbę
Aby pomnożyć ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć licznik danego ułamka przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian.
Przykład 1. Pomnóż ułamek przez liczbę 1.
Pomnóż licznik ułamka przez liczbę 1
Wejście można rozumieć jako zajęcie połowy 1 raz. Na przykład, jeśli weźmiesz pizzę 1 raz, dostaniesz pizzę
Z praw mnożenia wiemy, że jeśli zamienimy mnożnik i mnożnik, to iloczyn się nie zmieni. Jeśli wyrażenie jest zapisane jako , to iloczyn nadal będzie równy . Ponownie działa zasada mnożenia liczby całkowitej i ułamka:
Wpis ten można rozumieć jako zajęcie połowy jednostki. Na przykład, jeśli jest 1 cała pizza i weźmiemy połowę, to będziemy mieli pizzę:
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik ułamka przez 4
Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:
Wyrażenie można rozumieć jako zabieranie dwóch ćwiartek 4 razy. Na przykład, jeśli weźmiesz pizze 4 razy, otrzymasz dwie całe pizze.
A jeśli zamienimy miejscami mnożnik i mnożnik, otrzymamy wyrażenie. Będzie to również równe 2. To wyrażenie można rozumieć jako wzięcie dwóch pizz z czterech całych pizz:
Mnożenie ułamków zwykłych
Aby pomnożyć ułamki, musisz pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Jeśli odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy, musisz zaznaczyć w nim całą część.
Przykład 1 Znajdź wartość wyrażenia .
Mam odpowiedź. Pożądane jest zmniejszenie tej frakcji. Ułamek można zmniejszyć o 2. Wtedy ostateczne rozwiązanie przybierze następującą postać:
Wyrażenie można rozumieć jako wzięcie pizzy z połowy pizzy. Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Jak wziąć dwie trzecie z tej połowy? Najpierw musisz podzielić tę połowę na trzy równe części:
I weź dwa z tych trzech kawałków:
Dostaniemy pizzę. Przypomnij sobie, jak wygląda pizza podzielona na trzy części:
Jeden kawałek tej pizzy i dwa kawałki, które wzięliśmy, będą miały takie same wymiary:
Innymi słowy, mówimy o tym samym rozmiarze pizzy. Dlatego wartość wyrażenia wynosi
Przykład 2. Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedzią jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą jego część:
Przykład 3 Znajdź wartość wyrażenia
Pomnóż licznik pierwszego ułamka przez licznik drugiego ułamka, a mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego ułamka:
Odpowiedź okazała się poprawnym ułamkiem, ale dobrze będzie, jeśli zostanie zmniejszony. Aby zmniejszyć ten ułamek, musisz podzielić licznik i mianownik tego ułamka przez największy wspólny dzielnik (NWD) liczb 105 i 450.
Znajdźmy więc NWD liczb 105 i 450:
Teraz dzielimy licznik i mianownik naszej odpowiedzi na NWD, którą teraz znaleźliśmy, czyli przez 15
Reprezentowanie liczby całkowitej jako ułamka
Każdą liczbę całkowitą można przedstawić w postaci ułamka. Na przykład liczbę 5 można przedstawić jako . Od tego pięć nie zmieni swojego znaczenia, ponieważ wyrażenie oznacza „liczbę pięć podzieloną przez jeden”, a to, jak wiecie, jest równe pięciu:
Odwróć liczby
Teraz się zapoznamy interesujący temat w matematyce. Nazywa się to „liczbami odwróconymi”.
Definicja. Odwróć do numeruA jest liczbą, która pomnożona przezA daje jednostkę.
Podstawmy w tej definicji zamiast zmiennej A numer 5 i spróbuj przeczytać definicję:
Odwróć do numeru 5 jest liczbą, która pomnożona przez 5 daje jednostkę.
Czy można znaleźć liczbę, która po pomnożeniu przez 5 daje jeden? Okazuje się, że możesz. Przedstawmy pięć jako ułamek:
Następnie pomnóż ten ułamek przez siebie, po prostu zamień licznik i mianownik. Innymi słowy, pomnóżmy ułamek sam przez siebie, tylko odwrócony:
Co z tego wyniknie? Jeśli będziemy kontynuować rozwiązywanie tego przykładu, otrzymamy jeden:
Oznacza to, że odwrotność liczby 5 jest liczbą, ponieważ po pomnożeniu 5 przez jeden otrzymuje się jeden.
Odwrotność można również znaleźć dla dowolnej innej liczby całkowitej.
Możesz także znaleźć odwrotność dla dowolnego innego ułamka. Aby to zrobić, wystarczy go odwrócić.
Dzielenie ułamka przez liczbę
Powiedzmy, że mamy pół pizzy:
Podzielmy to równo między dwie osoby. Ile pizzy dostanie każdy?
Można zauważyć, że po podzieleniu połowy pizzy otrzymano dwa równe kawałki, z których każdy składa się na pizzę. Więc każdy dostaje pizzę.
Dzielenie ułamków odbywa się za pomocą odwrotności. Odwrotności pozwalają zastąpić dzielenie mnożeniem.
Aby podzielić ułamek przez liczbę, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika.
Korzystając z tej zasady, zapiszemy podział naszej połowy pizzy na dwie części.
Musisz więc podzielić ułamek przez liczbę 2. Tutaj dzielna to ułamek, a dzielnik to 2.
Aby podzielić ułamek przez liczbę 2, musisz pomnożyć ten ułamek przez odwrotność dzielnika 2. Odwrotność dzielnika 2 to ułamek. Więc musisz pomnożyć przez