Uvod

to tečajno delo je zasnovan za:

1) utrdi, poglobi in razširi teoretično znanje s področja metod modeliranja površin in objektov, praktične spretnosti in veščine programske implementacije metod;

2) izboljšati veščine samostojnega dela;

3) razvijati sposobnost oblikovanja sodb in sklepov, njihovega logičnega, doslednega in dokazljivega podajanja.

Platonova telesa

Platonova telesa so konveksni poliedri, katerih vse ploskve so pravilni mnogokotniki. Vsi poliedrski koti pravilnega poliedra so skladni. Kot izhaja že iz izračuna vsote ravnih kotov pri oglišču, je konveksna pravilni poliedri ne več kot pet. Z uporabo spodaj navedene metode lahko dokažemo, da obstaja natanko pet pravilnih poliedrov (to je dokazal Evklid). So pravilni tetraeder, heksaeder (kocka), oktaeder, dodekaeder in ikozaeder. Imena teh pravilnih poliedrov prihajajo iz Grčije. Dobesedno prevedeno iz grščine "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder", "dodekaeder", "ikozaeder" pomeni: "tetraeder", "oktaeder", "heksaeder". "dodekaeder", "dvajset-eder".

Tabela št. 1

Tabela št. 2

ime:	Polmer okrogle krogle	Polmer včrtane krogle
Tetraeder
Heksaeder
Dodekaeder
Ikozaeder

Tetraeder- tetraeder, katerega vse ploskve so trikotniki, tj. trikotna piramida; pravilni tetraeder omejujejo štirje enakostranični trikotniki. (slika 1).

Kocka ali pravilni heksaeder- pravilno štirikotna prizma z enakimi robovi, omejeni s šestimi kvadratki. (slika 1).

oktaeder- oktaeder; telo, ki ga omejuje osem trikotnikov; pravilni oktaeder je omejen z osmimi enakostraničnimi trikotniki; eden od petih pravilnih poliedrov. (slika 1).

Dodekaeder- dodekaeder, telo, ki ga omejuje dvanajst mnogokotnikov; pravilni peterokotnik. (slika 1).

Ikozaeder- dvajseterostranik, telo, ki ga omejuje dvajset mnogokotnikov; Pravilni ikozaeder je omejen z dvajsetimi enakostraničnimi trikotniki. (slika 1).

Kocka in oktaeder sta dualna, tj. dobimo drug od drugega, če vzamemo težišča ploskev ene kot oglišča druge in obratno. Dodekaeder in ikozaeder sta podobno dvojna. Tetraeder je dualen sam sebi. Pravilni dodekaeder dobimo iz kocke tako, da na njenih ploskvah zgradimo "strehe" (evklidska metoda); oglišča tetraedra so katera koli štiri oglišča kocke, ki niso po parih sosednja po robu. Tako dobimo iz kocke vse druge pravilne poliedre. Presenetljivo je že samo dejstvo, da obstaja le pet zares pravilnih poliedrov - navsezadnje je pravilnih mnogokotnikov na ravnini neskončno veliko!

Vsi pravilni poliedri so bili znani že leta Antična grčija, njim pa je posvečena 13. knjiga Evklidovih Prvin. Imenujejo se tudi platonska telesa, ker. so zasedli pomembno mesto v Platonovem filozofskem konceptu zgradbe vesolja. Štirje poliedri so v njej poosebljali štiri esence ali »elemente«. Tetraeder je simboliziral ogenj, ker. njegov vrh je usmerjen navzgor; Ikozaeder? vodo, saj je najbolj "poenostavljen"; kocka - zemlja, kot najbolj "stabilna"; oktaeder? zraka, kot najbolj “zračnega”. Peti polieder, dodekaeder, je utelešal "vse, kar obstaja", simboliziral celotno vesolje in veljal za glavnega.

Stari Grki so harmonična razmerja smatrali za osnovo vesolja, zato so njihove štiri elemente povezovali z razmerjem: zemlja/voda = zrak/ogenj.

V zvezi s temi telesi bi bilo primerno reči, da je prvi sistem elementov, ki je obsegal štiri elemente? zemljo, vodo, zrak in ogenj – je kanoniziral Aristotel. Ti elementi so dolga stoletja ostali štirje temeljni kamni vesolja. Povsem mogoče jih je identificirati s štirimi znanimi stanji snovi - trdno, tekoče, plinasto in plazma.

Pravilni poliedri so zasedli pomembno mesto v sistemu harmonične strukture sveta I. Keplerja. Enako prepričanje v harmonijo, lepoto in matematično pravilno zgradbo vesolja je pripeljalo I. Keplerja do ideje, da ker je pravilnih poliedrov pet, jim ustreza le šest planetov. Po njegovem mnenju so sfere planetov med seboj povezane s platonskimi telesi, ki so vpisane v njih. Ker za vsak pravilni polieder središča včrtane in opisane sfere sovpadata, bo imel celoten model eno samo središče, v katerem bo Sonce.

Po opravljenem ogromnem računalniškem delu je leta 1596 I. Kepler objavil rezultate svojega odkritja v knjigi "Skrivnost vesolja". Vpiše kocko v sfero Saturnove orbite, v kocko? jupitrova sfera, tetraeder v jupitrovi sferi in tako naprej, ali se Marsova sfera zaporedno prilega ena v drugo? dodekaeder, krogla Zemlje? Ikozaeder, Venerina krogla? oktaeder, Merkurjeva krogla. Zdi se, da je skrivnost vesolja odprta.

Danes lahko z gotovostjo trdimo, da razdalje med planeti niso povezane z nobenimi poliedri. Vendar je možno, da brez "Skrivnosti vesolja", "Harmonije sveta" I. Keplerja, pravilnih poliedrov ne bi bilo treh znanih zakonov I. Keplerja, ki igrajo pomembno vlogo pri opisovanju gibanja planetov.

Kje drugje lahko vidite ta neverjetna telesa? V knjigi nemškega biologa z začetka prejšnjega stoletja E. Haeckela »Lepota oblik v naravi« lahko preberete naslednje vrstice: »Narava goji v svojem nedrju neizčrpno število neverjetnih bitij, ki v lepota in raznolikost daleč presegata vse oblike, ki jih ustvarja človeška umetnost.« Naravna bitja, prikazana v tej knjigi, so lepa in simetrična. To je neločljiva lastnost naravne harmonije. Toda ali so tukaj vidni tudi enocelični organizmi? feodaria, katerega oblika natančno odraža ikozaeder. Kaj povzroča to naravno geometrizacijo? Morda zaradi vseh poliedrov z enakim številom ploskev ima ikozaeder največji volumen in najmanjšo površino. Ta geometrijska lastnost pomaga morskemu mikroorganizmu premagati pritisk vodnega stolpca.

Zanimivo je tudi, da je bil prav ikozaeder v središču pozornosti biologov v njihovih sporih o obliki virusov. Virus ne more biti popolnoma okrogel, kot so mislili prej. Da bi ugotovili njegovo obliko, so vzeli različne poliedre in nanje usmerili svetlobo pod enakimi koti kot tok atomov na virus. Se je izkazalo, da samo en polieder daje popolnoma enako senco? ikozaeder Njegove geometrijske lastnosti, omenjene zgoraj, omogočajo shranjevanje genetskih informacij. Pravilni poliedri? najdonosnejše številke. In narava to izdatno izkorišča. Kristali nekaterih nam znanih snovi imajo obliko pravilnih poliedrov. Tako ima kocka obliko kristalov natrijevega klorida NaCl, monokristal aluminijevega kalijevega galuna (KAlSO4)2 · 12H2O ima obliko oktaedra, kristal žveplovega pirita FeS ima obliko dodekaedra, antimonov natrijev sulfat ima obliko tetraedra, bor pa obliko ikozaedra. Pravilni poliedri določajo obliko kristalnih mrež nekaterih kemičnih snovi.

Pravilni poliedri so nam torej razkrili poskuse znanstvenikov, da bi se približali skrivnosti svetovne harmonije, in pokazali neustavljivo privlačnost in lepoto teh geometrijske oblike.

Stakhov A.P.

“Da Vincijeva šifra”, Platonova in Arhimedova telesa, kvazikristali, fulereni, Penrosove mreže in umetniški svet mame Teje Krashek

opomba

Delo slovenske umetnice Matjuške Teje Krašek je rusko govorečemu bralcu malo znano. Obenem ga na Zahodu imenujejo »vzhodnoevropski escher« in »slovensko darilo« svetovni kulturni javnosti. Njene umetniške kompozicije se zgledujejo po najnovejših znanstvenih odkritjih (fulereni, kvazikristali Dana Shechtmana, Penrose ploščice), ki temeljijo na pravilnih in polpravilnih poligonih (Platonova in Arhimedova telesa), zlatem rezu in Fibonaccijevih številih.

Kaj je Da Vincijeva šifra?

Zagotovo je vsak človek večkrat pomislil na vprašanje, zakaj je narava sposobna ustvariti tako neverjetne harmonične strukture, ki navdušujejo in navdušujejo oko. Zakaj umetniki, pesniki, skladatelji, arhitekti iz stoletja v stoletje ustvarjajo neverjetna umetniška dela. Kakšna je skrivnost njihove harmonije in kateri zakoni so osnova teh harmoničnih bitij?

Iskanje teh zakonov, »zakonov harmonije vesolja«, se je začelo v starodavni znanosti. V tem obdobju človeške zgodovine so znanstveniki prišli do številnih neverjetna odkritja, ki prežemajo celotno zgodovino znanosti. Prvi od njih se upravičeno šteje za čudovito matematično sorazmerje, ki izraža harmonijo. Imenuje se drugače: »zlati delež«, »zlato število«, »zlato povprečje«, »zlati rez« in celo "božansko razmerje" Zlati rez se imenuje tudi številko PHI v čast velikemu starogrškemu kiparju Phidiasu, ki je to številko uporabljal v svojih skulpturah.

Triler "Da Vincijeva šifra", ki ga je napisal priljubljeni angleški pisatelj Dan Brown, je postal uspešnica 21. stoletja. Toda kaj pomeni Da Vincijeva šifra? Na to vprašanje obstajajo različni odgovori. Znano je, da je bil predmet znameniti »zlati rez«. velika pozornost in hobiji Leonarda da Vincija. Še več, samo ime »zlati rez« je v evropsko kulturo uvedel Leonardo da Vinci. Na Leonardovo pobudo je slavni italijanski matematik in znanstveni menih Luca Pacioli, prijatelj in znanstveni svetovalec Leonarda da Vincija, izdal knjigo »Divina Proportione«, prvo matematično delo v svetovni literaturi o zlatem rezu, ki ga je avtor poimenoval »Božansko«. Razmerje«. Znano je tudi, da je to znamenito knjigo ilustriral sam Leonardo, ki je zanjo narisal 60 čudovitih risb. Prav ta dejstva, ki niso dobro znana širši znanstveni skupnosti, nam dajejo pravico, da postavimo hipotezo, da je "Da Vincijeva šifra" nič drugega kot "zlati rez". In potrditev te hipoteze je mogoče najti v predavanju za študente na univerzi Harvard, ki spominja glavna oseba knjige "Da Vincijeva šifra" prof. Langdon:

»Kljub svojemu skoraj mističnemu izvoru je številka PHI igrala edinstveno vlogo na svoj način. Vloga opeke pri gradnji vsega življenja na zemlji. Vse rastline, živali in celo ljudje so obdarjeni s fizičnimi razmerji, ki so približno enaka korenu razmerja števila PHI proti 1. Ta vseprisotnost PHI v naravi ... kaže na povezanost vseh živih bitij. Prej je veljalo, da je številko PHI vnaprej določil Stvarnik vesolja. Znanstveniki iz antike so eno piko šeststo osemnajsttisočin imenovali »božanski delež«.

Tako je znano iracionalno število PHI = 1,618, ki ga je Leonardo da Vinci poimenoval »zlati rez«, »Da Vincijeva šifra«!

Drugo matematično odkritje starodavne znanosti je pravilni poliedri ki so bili imenovani "Platonova telesa" in "polpravilni poliedri", poklical "Arhimedova telesa". Te osupljivo lepe prostorske geometrijske figure so osnova dveh največjih znanstvenih odkritij 20. stoletja - kvazikristali(avtor odkritja je izraelski fizik Dan Shekhtman) in fulereni(Nobelova nagrada 1996). Ti dve odkritji sta najpomembnejša potrditev dejstva, da je prav zlati delež univerzalni kodeks narave (»Da Vincijeva šifra«), ki je osnova vesolja.

Odkritje kvazikristalov in fulerenov je navdihnilo številne sodobne umetnike za ustvarjanje del, ki v likovni obliki prikazujejo najpomembnejša fizikalna odkritja 20. stoletja. Eden od teh umetnikov je slovenski umetnik Mati Teia Krashek.Članek predstavlja umetniški svet mame Teje Krashek skozi prizmo najnovejših znanstvenih odkritij.

Platonova telesa

Človek kaže zanimanje za pravilne mnogokotnike in poliedre skozi celotno zavestno dejavnost - od dveletnega otroka, ki se igra z lesenimi kockami, do zrelega matematika. Nekaj ​​pravilnih in pol prava telesa pojavljajo v naravi v obliki kristalov, drugi - v obliki virusov, ki si jih lahko ogledate z uporabo elektronski mikroskop.

Kaj je pravilni polieder? Pravilni polieder je tak polieder, katerega vse ploskve so med seboj enake (ali skladne) in so hkrati pravilni mnogokotniki. Koliko je pravilnih poliedrov? Na prvi pogled je odgovor na to vprašanje zelo preprost – pravilnih mnogokotnikov je toliko, kolikor jih je. Vendar pa ni. V Evklidovih Elementih najdemo strog dokaz, da obstaja samo pet konveksnih pravilnih poliedrov, njihove ploskve pa so lahko samo tri vrste pravilnih mnogokotnikov: trikotniki, kvadrati in peterokotniki (pravilni peterokotniki).

Veliko knjig je posvečenih teoriji poliedrov. Ena najbolj znanih je knjiga angleškega matematika M. Wennigerja »Modeli poliedrov«. To knjigo je v ruskem prevodu izdala založba Mir leta 1974. Epigraf knjige je izjava Bertranda Russella: »Matematika nima samo resnice, ampak tudi visoko lepoto – lepoto, ki je izostrena in stroga, vzvišeno čista in stremeča k resnični popolnosti, kar je značilno le za največje primere umetnosti.«

Knjiga se začne z opisom t.i pravilni poliedri, to je poliedrov, ki jih tvorijo najpreprostejši pravilni mnogokotniki iste vrste. Ti poliedri se običajno imenujejo Platonova telesa(slika 1) , poimenovan po starogrškem filozofu Platonu, ki je v svoji uporabi pravilne poliedre kozmologija.

Slika 1. Platonova telesa: (a) oktaeder (»ogenj«), (b) heksaeder ali kocka (»zemlja«),

(c) oktaeder (»zrak«), (d) ikozaeder (»voda«), (e) dodekaeder (»univerzalni um«)

Obravnavo bomo začeli z pravilni poliedri, katerih obrazi so enakostranični trikotniki. Prvi je tetraeder(slika 1-a). V tetraedru se trije enakostranični trikotniki stikajo v enem oglišču; hkrati tvorita njuni osnovi nov enakostranični trikotnik. Tetraeder ima najmanjše število ploskev med Platonovimi telesi in je tridimenzionalni analog ravnega pravilnega trikotnika, ki ima najmanjše število strani med pravilnimi poligoni.

Naslednje telo, ki ga tvorijo enakostranični trikotniki, se imenuje oktaeder(Slika 1-b). V oktaedru se štirje trikotniki stikajo v enem oglišču; rezultat je piramida s štirikotno osnovo. Če dve takšni piramidi povežete z njunima osnovama, dobite simetrično telo z osmimi trikotnimi ploskvami - oktaeder.

Zdaj lahko poskusite povezati pet enakostraničnih trikotnikov v eno točko. Rezultat bo figura z 20 trikotnimi obrazi - ikozaeder(Slika 1-d).

Naslednja oblika pravilnega mnogokotnika je: kvadrat.Če na eni točki povežemo tri kvadrate in nato dodamo še tri, dobimo popolno obliko s šestimi stranicami, imenovano heksaeder oz kocka(Slika 1-c).

Končno obstaja še ena možnost konstruiranja pravilnega poliedra, ki temelji na uporabi naslednjega pravilnega mnogokotnika - Pentagon. Če zberemo 12 peterokotnikov tako, da se v vsaki točki srečajo trije peterokotniki, dobimo še eno Platonovo telo, imenovano dodekaeder(Slika 1-e).

Naslednji pravilni mnogokotnik je šesterokotnik. Če pa na eni točki povežemo tri šesterokotnike, dobimo ploskev, torej iz šestkotnikov ni mogoče zgraditi tridimenzionalne figure. Kateri koli drugi pravilni mnogokotnik nad šesterokotnikom sploh ne more tvoriti teles. Iz teh premislekov sledi, da je samo pet pravilnih poliedrov, katerih ploskve so lahko le enakostranični trikotniki, kvadrati in peterokotniki.

Med vsemi obstajajo neverjetne geometrijske povezave pravilni poliedri. na primer kocka(Slika 1-b) in oktaeder(slika 1-c) so dvojne, tj. dobimo drug od drugega, če vzamemo težišča ploskev ene kot oglišča druge in obratno. Podobno dvojno ikozaeder(Slika 1-d) in dodekaeder(Slika 1-e) . Tetraeder(slika 1-a) je dvojna sama sebi. Dodekaeder dobimo iz kocke tako, da na njenih ploskvah zgradimo »strehe« (evklidska metoda); oglišča tetraedra so poljubna štiri oglišča kocke, ki niso po parih sosednja po robu, to pomeni, da so lahko vsi ostali pravilni poliedri pridobljeno iz kocke. Presenetljivo je že samo dejstvo, da obstaja le pet zares pravilnih poliedrov - navsezadnje je pravilnih mnogokotnikov na ravnini neskončno veliko!

Numerične značilnosti Platonovih teles

Glavne numerične značilnosti Platonova telesa je število stranic obraza m,število ploskev, ki se srečajo na vsaki točki, m,število obrazov G, število vozlišč IN,število reber R in število ravnih kotov U na površini poliedra je Euler odkril in dokazal znamenito formulo

B P + G = 2,

povezovalno število oglišč, robov in ploskev poljubnega konveksnega poliedra. Zgornje numerične značilnosti so podane v tabeli. 1.

Tabela 1

Numerične značilnosti Platonovih teles

Polieder	Število robnih stranic m	Število ploskev, ki se srečajo na točki n	Število obrazov	Število oglišč	Število reber	Število ravnih kotov na površini
Tetraeder
Heksaeder (kocka)
Ikozaeder
Dodekaeder

Zlati rez v dodekaedru in ikozaedru

Dodekaeder in njegov dvojni ikozaeder (sl. 1-d,e) zavzemata posebno mesto med Platonova telesa. Najprej je treba poudariti, da je geometrija dodekaeder in ikozaeder neposredno povezana z zlatim rezom. Res, robovi dodekaeder(Slika 1-d) so peterokotniki, tj. pravilni peterokotniki, ki temeljijo na zlatem rezu. Če natančno pogledate ikozaeder(Sl. 1-d), potem lahko vidite, da se pet trikotnikov steka v vsakem od njegovih vrhov, zunanje strani katera oblika peterokotnik. Samo ta dejstva so dovolj, da nas prepričajo, da ima zlati rez pomembno vlogo pri oblikovanju teh dveh Platonova telesa.

Toda obstajajo globlji matematični dokazi o temeljni vlogi zlatega reza pri ikozaeder in dodekaeder. Znano je, da imajo ta telesa tri specifične sfere. Prva (notranja) krogla je vpisana v telo in se dotika njegovih ploskev. Označimo polmer te notranje krogle z R i. Druga ali srednja krogla se dotika njegovih reber. Označimo polmer te krogle z Rm. Končno je tretja (zunanja) krogla opisana okoli telesa in poteka skozi njegova oglišča. Njegov polmer označimo z Rc. V geometriji je bilo dokazano, da so vrednosti polmerov navedenih krogel za dodekaeder in ikozaeder, ki ima rob enotske dolžine, je izražen z zlatim deležem t (tabela 2).

tabela 2

Zlati rez v sferah dodekaedra in ikozaedra

Ikozaeder
Dodekaeder

Upoštevajte, da je razmerje polmerov = enako kot za ikozaeder, in za dodekaeder. Torej, če dodekaeder in ikozaeder imata enaki včrtani sferi, potem sta tudi njuni opisani sferi med seboj enaki. Dokaz tega matematičnega rezultata je podan v Začetki Evklid.

V geometriji so znane druge relacije dodekaeder in ikozaeder, kar potrjuje njihovo povezavo z zlatim rezom. Na primer, če vzamemo ikozaeder in dodekaeder z dolžino roba, ki je enaka ena, in izračunamo njihovo zunanjo ploščino in prostornino, nato pa jih izrazimo z zlatim razmerjem (tabela 3).

Tabela 3

Zlati rez v zunanji površini in prostornini dodekaedra in ikozaedra

	Ikozaeder	Dodekaeder
Zunanje območje

Tako obstaja ogromno razmerij, ki so jih pridobili stari matematiki in potrjujejo izjemno dejstvo, da točno Zlati rez je glavni delež dodekaedra in ikozaedra, to dejstvo pa je še posebej zanimivo z vidika t.i "dodekaedrsko-ikozaedrična doktrina" ki si jih bomo ogledali v nadaljevanju.

Platonova kozmologija

Zgoraj obravnavani pravilni poliedri se imenujejo Platonova telesa, saj so zasedli pomembno mesto v Platonovem filozofskem konceptu zgradbe vesolja.

Platon (427-347 pr. n. št.)

Štirje poliedri so v njej poosebljali štiri esence ali »elemente«. Tetraeder simbolizirano Ogenj, saj je njegov vrh usmerjen navzgor; Ikozaeder — voda, saj je najbolj "poenostavljen" polieder; Kocka — Zemlja, kot najbolj "stabilen" polieder; oktaeder — zrak, kot najbolj "zračen" polieder. Peti polieder Dodekaeder, je utelešal »vse stvari«, »Univerzalni um«, simboliziral celotno vesolje in veljal za glavna geometrijska figura vesolja.

Stari Grki so harmonična razmerja smatrali za osnovo vesolja, zato so njihove štiri elemente povezovali z razmerjem: zemlja/voda = zrak/ogenj. Atome »elementov« je Platon uglasil v popolnih sozvočjih, kot so štiri strune lire. Spomnimo se, da je sozvočje prijetno sozvočje. V zvezi s temi telesi bi veljalo povedati, da je tak sistem elementov, ki je obsegal štiri elemente – zemljo, vodo, zrak in ogenj, kanoniziral Aristotel. Ti elementi so dolga stoletja ostali štirje temeljni kamni vesolja. Povsem mogoče jih je identificirati s štirimi znanimi agregatnimi stanji: trdno, tekoče, plinasto in plazma.

Tako so stari Grki povezovali idejo harmonije obstoja »od konca do konca« z njenim utelešenjem v platonskih telesih. Vplival je tudi vpliv slavnega grškega misleca Platona Začetki Evklid. Ta knjiga, ki je bila stoletja edini učbenik o geometriji, opisuje »idealne« črte in »idealne« figure. Najbolj “idealna” linija je naravnost, najbolj “idealen” poligon pa je pravilni mnogokotnik, z enakimi stranicami in enakimi koti. Upoštevamo lahko najpreprostejši pravilni mnogokotnik enakostranični trikotnik, saj ima najmanjše število stranic, ki lahko omejujejo del ravnine. Sprašujem se kaj Začetki Evklid začne z opisom konstrukcije navaden trikotnik in končati s študijem petih Platonova telesa. obvestilo, to Platonova telesa zadnja, torej 13. knjiga je posvečena Začelo se je Evklid. Mimogrede, to dejstvo, torej umestitev teorije pravilnih poliedrov v zadnjo (torej kot najpomembnejšo) knjigo Začelo se je Evklid, je starogrškega matematika Prokla, ki je bil komentator Evklida, spodbudil, da je postavil zanimivo hipotezo o resničnih ciljih, ki jih je Evklid zasledoval, ko je ustvarjal svojo Začetki. Po Proklu je Evklid ustvaril Začetki ne z namenom predstavitve geometrije kot take, temveč podati popolno sistematizirano teorijo konstrukcije "idealnih" figur, zlasti petih Platonova telesa, ki hkrati poudarja nekatere najnovejše dosežke v matematiki!

Ni naključje, da eden od avtorjev odkritja fulerenov, Nobelov nagrajenec Harold Kroto, v svojem Nobelovem predavanju začne zgodbo o simetriji kot »osnovi našega dojemanja fizičnega sveta« in njeni »vlogi pri poskusih razlage to celovito« prav z Platonova telesa in "elementi vseh stvari": »Koncept strukturne simetrije sega v staro antiko ...« Najbolj znane primere lahko seveda najdemo v Platonovem Timaju, kjer v razdelku 53, ki se nanaša na Elemente, piše: »Najprej vsakemu (! ) »seveda je jasno, da so ogenj in zemlja, voda in zrak telesa in vsako telo je trdno« (!!) Platon razpravlja o problemih kemije v jeziku teh štirih elementov in jih povezuje s štirimi platonskimi trdne snovi (takrat le štiri, dokler Hiparh ni odkril pete - dodekaedra). Čeprav se na prvi pogled takšna filozofija zdi nekoliko naivna, kaže na globoko razumevanje, kako narava dejansko deluje.«

Arhimedova telesa

Polpravilni poliedri

Znanih je veliko bolj popolnih teles, imenovanih polpravilni poliedri oz Arhimedova telesa. Imajo tudi vse poliedrske kote enake in vse ploskve so pravilni mnogokotniki, vendar več različnih vrst. Obstaja 13 polpravilnih poliedrov, odkritje katerih pripisujejo Arhimedu.

Arhimed (287 pr. n. št. – 212 pr. n. št.)

Kup Arhimedova telesa lahko razdelimo v več skupin. Prvi od njih je sestavljen iz petih poliedrov, ki so pridobljeni iz Platonova telesa kot posledica njihovega okrnitev. Prisekano telo je telo z odrezanim vrhom. Za Platonova telesa prirezovanje lahko izvedemo tako, da bodo tako nastale nove ploskve kot tudi preostali deli starih pravilni mnogokotniki. npr. tetraeder(sl. 1-a) lahko okrajšamo tako, da se njegove štiri trikotne ploskve spremenijo v štiri šesterokotne, dodamo pa jim štiri pravilne trikotne ploskve. Na ta način jih je mogoče dobiti pet Arhimedova telesa: prisekan tetraeder, prisekan heksaeder (kocka), prisekan oktaeder, prisekan dodekaeder in prisekan ikozaeder(slika 2).

(A)	(b)	(V)

(G)	(d)

Slika 2. Arhimedova telesa: (a) prisekan tetraeder, (b) prisekan kocka, (c) prisekan oktaeder, (d) prisekan dodekaeder, (e) prisekan ikozaeder

Ameriški znanstvenik Smalley, eden od avtorjev eksperimentalnega odkritja fulerenov, v svojem Nobelovem predavanju govori o Arhimedu (287-212 pr. n. št.) kot prvem raziskovalcu prisekanih poliedrov, zlasti prisekan ikozaeder, vendar z opozorilom, da si morda za to pripisuje zasluge Arhimed in so morda ikozaedre okrnili že dolgo pred njim. Dovolj je omeniti tiste, najdene na Škotskem in datirane okoli 2000 pr. na stotine kamnitih predmetov (očitno za obredne namene) v obliki krogel in razn poliedri(telesa z vseh strani omejena z ravnim robovi), vključno z ikozaedri in dodekaedri. Izvirno Arhimedovo delo na žalost ni preživelo in njegovi rezultati so prišli k nam, kot pravijo, iz "druge roke". V času renesanse vse Arhimedova telesa eden za drugim so bili znova »odkriti«. Navsezadnje je Kepler leta 1619 v svoji knjigi "Svetovna harmonija" ("Harmonice Mundi") podal izčrpen opis celotnega niza Arhimedovih teles - poliedrov, katerih vsaka stran predstavlja pravilni mnogokotnik, in vse vrhovi so v enakovrednem položaju (kot atomi ogljika v molekuli C 60). Arhimedova telesa so sestavljena iz vsaj dveh različnih vrst poligonov, v nasprotju s 5 Platonova telesa, katerih vse ploskve so enake (kot na primer pri molekuli C 20 ).

Slika 3. Konstrukcija Arhimedovega prisekanega ikozaedra
iz platonskega ikozaedra

Torej, kako oblikovati Arhimedov prisekani ikozaeder od Platonov ikozaeder? Odgovor je ponazorjen s sl. 3. Dejansko, kot je razvidno iz tabele. 1, 5 ploskev konvergira v kateri koli od 12 oglišč ikozaedra. Če na vsakem oglišču z ravnino odrežemo 12 delov ikozaedra, potem nastane 12 novih peterokotnih ploskev. Skupaj z obstoječimi 20 ploskvami, ki so po takem rezanju iz trikotne postale šesterokotne, bodo sestavljale 32 ploskev prisekanega ikozaedra. V tem primeru bo 90 robov in 60 oglišč.

Druga skupina Arhimedova telesa sestoji iz dveh teles, imenovanih kvazi-pravilen poliedri. »Kvazi« delec poudarja, da so ploskve teh poliedrov pravilni poligoni le dveh vrst, pri čemer je vsaka ploskev ene vrste obdana s poligoni druge vrste. Ti dve telesi se imenujeta rombikuboktaeder in ikozidodekaeder(slika 4).

Slika 5. Arhimedova telesa: (a) rombokuboktaeder, (b) rombikozidodekaeder

Končno obstajata dve tako imenovani "snub" modifikaciji - ena za kocko ( snub cube), drugo za dodekaeder ( snub dodekaeder) (slika 6).

(A)	(b)

Slika 6. Arhimedova telesa: (a) nagnjena kocka, (b) nagnjen dodekaeder

V prej omenjeni Wennigerjevi knjigi Modeli poliedrov (1974) lahko bralec najde 75 različnih modelov pravilnih poliedrov. "Teorija poliedrov, zlasti konveksnih poliedrov, je eno najbolj fascinantnih poglavij geometrije" to je mnenje ruskega matematika L.A. Lyusternak, ki je veliko naredil na tem področju matematike. Razvoj te teorije je povezan z imeni izjemnih znanstvenikov. Johannes Kepler (1571-1630) je veliko prispeval k razvoju teorije poliedrov. Nekoč je napisal skeč "O snežinki", v katerem je podal naslednjo pripombo: "Med običajnimi telesi je prvi, začetek in prednik ostalih kocka, in njen, če lahko tako rečem, zakonec je oktaeder, kajti oktaeder ima toliko kotov, kolikor ima kocka ploskev." Kepler je prvi objavil popoln seznam trinajstih Arhimedova telesa in jim dal imena, po katerih so znani danes.

Kepler je prvi proučeval t.i zvezdasti poliedri, ki so za razliko od Platonovih in Arhimedovih teles pravilni konveksni poliedri. V začetku prejšnjega stoletja je francoski matematik in mehanik L. Poinsot (1777-1859), katerega geometrijska dela so se nanašala na zvezdaste poliedre, razvil Keplerjevo delo in odkril obstoj še dveh vrst pravilnih nekonveksnih poliedrov. Tako so po zaslugi dela Keplerja in Poinsota postale znane štiri vrste takih figur (slika 7). Leta 1812 je O. Cauchy dokazal, da drugih pravilnih zvezdastih poliedrov ni.

Slika 7. Pravilni zvezdasti poliedri (Poinsotova telesa)

Mnogi bralci se lahko vprašajo: »Zakaj sploh preučevati pravilne poliedre? Kakšna je njihova korist? Na to vprašanje je mogoče odgovoriti: »Kakšna je korist od glasbe ali poezije? Je vse lepo uporabno? Modeli poliedrov, prikazani na sl. 1-7 na nas naredijo predvsem estetski vtis in jih lahko uporabimo kot okrasne dekoracije. Toda v resnici je razširjena pojavnost pravilnih poliedrov v naravnih strukturah povzročila ogromno zanimanje za to vejo geometrije v sodobni znanosti.

Skrivnost egipčanskega koledarja

Kaj je koledar?

Ruski pregovor pravi: "Čas je oko zgodovine." Vse, kar obstaja v Vesolju: Sonce, Zemlja, zvezde, planeti, znani in neznani svetovi ter vse, kar obstaja v naravi živih in neživih bitij, vse ima prostorsko-časovno dimenzijo. Čas se meri z opazovanjem periodično ponavljajočih se procesov določenega trajanja.

Že v starih časih so ljudje opazili, da se dan vedno umakne noči in letni časi potekajo v strogem zaporedju: za zimo pride pomlad, za pomladjo pride poletje, za poletjem pride jesen. Človek je v iskanju rešitve teh pojavov pozoren na nebesna telesa - Sonce, Luno, zvezde - in na strogo periodičnost njihovega gibanja po nebu. To so bila prva opazovanja, ki so bila pred rojstvom ene najstarejših znanosti - astronomije.

Astronomija temelji merjenje časa na gibanju nebesnih teles, ki odraža tri dejavnike: vrtenje Zemlje okoli svoje osi, kroženje Lune okoli Zemlje in gibanje Zemlje okoli Sonca. Različni koncepti časa so odvisni od tega, na katerem od teh pojavov temelji merjenje časa. Astronomija ve zvezdniškočas, sončnočas, lokalničas, pasčas, porodniški dopustčas, atomskočas itd.

Sonce, tako kot vsa druga svetila, sodeluje pri gibanju po nebu. Poleg dnevnega gibanja ima Sonce tako imenovano letno gibanje, celotno pot letnega gibanja Sonca po nebu pa imenujemo ekliptika.Če na primer opazimo lego ozvezdij ob določeni večerni uri in nato to opazovanje ponovimo vsak mesec, potem se bo pred nami pokazala drugačna slika neba. Videz zvezdnatega neba se nenehno spreminja: vsak letni čas ima svoj vzorec večernih ozvezdij in vsak tak vzorec se vsako leto ponovi. Posledično se Sonce po enem letu vrne na prvotno mesto glede na zvezde.

Za lažjo orientacijo v zvezdnem svetu so astronomi celotno nebo razdelili na 88 ozvezdij. Vsak od njih ima svoje ime. Od 88 ozvezdij zavzemajo v astronomiji posebno mesto tista, skozi katera poteka ekliptika. Ta ozvezdja imajo poleg lastnih imen tudi splošno ime - zodiak(iz grške besede "zoop" = žival), kot tudi simboli (znaki), splošno znani po vsem svetu, in različne alegorične podobe, vključene v koledarske sisteme.

Znano je, da Sonce v procesu premikanja vzdolž ekliptike prečka 13 ozvezdij. Vendar so astronomi ugotovili, da je treba pot Sonca razdeliti ne na 13, ampak na 12 delov, pri čemer so ozvezdja Škorpijona in Ophiuchusa združili v eno samo pod splošnim imenom Škorpijon (zakaj?).

S problemi merjenja časa se ukvarja posebna veda, imenovana kronologija. Je osnova vseh koledarskih sistemov, ki jih je ustvarilo človeštvo. Izdelava koledarjev je bila v starih časih ena najpomembnejših nalog astronomije.

Kaj je »koledar« in katere vrste obstajajo? koledarski sistemi? Beseda koledar izvira iz latinske besede koledar, kar dobesedno pomeni »dolžna knjiga«; v takih knjigah so bili navedeni prvi dnevi vsakega meseca - kalende, pri katerem so v starem Rimu dolžniki plačevali obresti.

Od antičnih časov v državah vzhodne in Jugovzhodna Azija Pri sestavljanju koledarjev je bil velik pomen pripisan periodičnosti gibanja Sonca, Lune in tudi Jupiter in Saturn, dva velikanska planeta sončnega sistema. Obstaja razlog za domnevo, da je ideja o ustvarjanju Jovijanski koledar z nebesno simboliko 12-letnega živalskega cikla, povezanega z vrtenjem Jupiter okoli Sonca, ki naredi popolno revolucijo okoli Sonca v približno 12 letih (11,862 let). Po drugi strani pa je drugi velikanski planet sončnega sistema Saturn naredi popolno revolucijo okoli Sonca v približno 30 letih (29,458 let). V želji po uskladitvi ciklov gibanja planetov velikanov so stari Kitajci prišli na idejo, da bi uvedli 60-letni cikel sončnega sistema. V tem ciklu Saturn naredi 2 polna obrata okoli Sonca, Jupiter pa 5 obratov.

Pri izdelavi letnih koledarjev se uporabljajo astronomski pojavi: menjava dneva in noči, sprememba lunine faze in sprememba letnih časov. Uporaba različnih astronomskih pojavov je povzročila nastanek treh vrst koledarjev med različnimi ljudstvi: lunarni, na podlagi gibanja lune, sončno, temelji na gibanju Sonca in lunisolar.

Struktura egipčanskega koledarja

Eden prvih sončnih koledarjev je bil egipčansko, nastala v 4. tisočletju pr. Prvotno egipčansko koledarsko leto je sestavljalo 360 dni. Leto je bilo razdeljeno na 12 mesecev po točno 30 dni. Kasneje pa so ugotovili, da ta dolžina koledarskega leta ne ustreza astronomski. In potem so Egipčani koledarskemu letu dodali še 5 dni, ki pa niso bili dnevi v mesecu. To je bilo 5 praznikov, ki povezujejo sosednja koledarska leta. Tako je imelo egipčansko koledarsko leto naslednjo strukturo: 365 = 12ґ 30 + 5. Upoštevajte, da je egipčanski koledar prototip sodobnega koledarja.

Postavlja se vprašanje: zakaj so Egipčani koledarsko leto razdelili na 12 mesecev? Navsezadnje so obstajali koledarji z različnim številom mesecev v letu. Na primer, v majevskem koledarju je bilo leto sestavljeno iz 18 mesecev z 20 dnevi na mesec. Naslednje vprašanje glede egipčanskega koledarja: zakaj je imel vsak mesec točno 30 dni (natančneje dni)? Nekaj ​​vprašanj se lahko pojavi tudi glede egiptovskega sistema merjenja časa, zlasti glede izbire takšnih časovnih enot, kot so ura, minuta, sekunda. Predvsem se postavlja vprašanje: zakaj je bila urna enota izbrana tako, da ustreza točno 24-krat v dnevu, torej zakaj je 1 dan = 24 (2½ 12) ur? Naprej: zakaj je 1 ura = 60 minut in 1 minuta = 60 sekund? Ista vprašanja veljajo za izbiro enot kotnih veličin, zlasti: zakaj je krog razdeljen na 360°, torej zakaj 2p =360° =12ґ 30°? Tem vprašanjem se dodajo še druga, predvsem: zakaj se je astronomom zdelo smotrno verjeti, da jih je 12 zodiak znamenja, čeprav v resnici Sonce med svojim gibanjem po ekliptiki prečka 13 ozvezdij? In še eno "čudno" vprašanje: zakaj je imel babilonski sistem številk zelo nenavadno osnovo - številko 60?

Povezava med egipčanskim koledarjem in numeričnimi značilnostmi dodekaedra

Če analiziramo egipčanski koledar, pa tudi egipčanske sisteme za merjenje časa in kotnih vrednosti, ugotovimo, da se štiri števila ponavljajo z neverjetno stalnostjo: 12, 30, 60 in iz njih izpeljano število 360 = 12ґ 30. Postavlja se vprašanje: ali je ali obstaja kakšna temeljna znanstvena ideja, ki bi lahko ponudila preprosto in logično razlago za uporabo teh števil v egiptovskih sistemih?

Da bi odgovorili na to vprašanje, se še enkrat obrnemo na dodekaeder, prikazano na sl. 1-d. Spomnimo se, da vsa geometrijska razmerja dodekaedra temeljijo na zlatem rezu.

Ali so Egipčani poznali dodekaeder? Zgodovinarji matematike priznavajo, da so stari Egipčani imeli podatke o pravilnih poliedrih. Toda ali so sploh poznali vseh pet pravilnih poliedrov dodekaeder in ikozaeder Katere so najtežje? Starogrški matematik Proklo pripisuje gradnjo pravilnih poliedrov Pitagori. Toda številni matematični izreki in rezultati (zlasti Pitagorov izrek) Pitagora si je izposodil od starih Egipčanov med svojim zelo dolgim ​​»poslovnim potovanjem« v Egipt (po nekaterih podatkih je Pitagora živel v Egiptu 22 let!). Zato lahko domnevamo, da si je Pitagora morda izposodil tudi znanje o pravilnih poliedrih od starih Egipčanov (in morda od starih Babiloncev, saj je po legendi Pitagora živel v stari Babilon 12 let). Toda obstajajo drugi, bolj prepričljivi dokazi, da so Egipčani imeli informacije o vseh petih pravilnih poliedrih. Zlasti Britanski muzej hrani matrico iz ptolemajske dobe, ki ima obliko ikozaeder, to je »platonsko telo«, dvojno dodekaeder. Vsa ta dejstva nam dajejo pravico, da postavimo hipotezo, da Dodekaeder so poznali Egipčani. In če je temu tako, potem iz te hipoteze izhaja zelo skladen sistem, ki nam omogoča pojasniti nastanek egipčanskega koledarja, hkrati pa nastanek egipčanskega sistema merjenja časovnih intervalov in geometrijskih kotov.

Prej smo ugotovili, da ima dodekaeder na površini 12 ploskev, 30 robov in 60 ravnih kotov (tabela 1). Na podlagi hipoteze, da so Egipčani vedeli dodekaeder in njegove numerične značilnosti so 12, 30. 60, kakšno je bilo njihovo presenečenje, ko so ugotovili, da enaka števila izražajo cikle sončnega sistema, in sicer 12-letni cikel Jupitra, 30-letni cikel Saturna in, končno 60-letni poletni cikel sončnega sistema. Tako med tako popolno prostorsko figuro, kot je dodekaeder, In solarni sistem, obstaja globoka matematična povezava! Ta zaključek so naredili starodavni znanstveniki. To je privedlo do dejstva, da dodekaeder je bil sprejet kot "glavna figura", ki je simbolizirala Harmonija vesolja. In potem so se Egipčani odločili, da morajo vsi njihovi glavni sistemi (koledarski sistem, sistem merjenja časa, sistem merjenja kotov) ustrezati numeričnim parametrom dodekaeder! Ker je bilo po starodavnih prepričanjih gibanje Sonca po ekliptiki strogo krožno, so Egipčani z izbiro 12 znamenj zodiaka, med katerimi je bila ločna razdalja natanko 30°, presenetljivo lepo uskladili letno gibanje Sonca. vzdolž ekliptike s strukturo njihovega koledarskega leta: en mesec je ustrezal gibanju Sonca po ekliptiki med dvema sosednjima znakoma Zodiaka! Poleg tega je premik Sonca za eno stopinjo ustrezal enemu dnevu v egiptovskem koledarskem letu! V tem primeru je bila ekliptika samodejno razdeljena na 360°. Ko so Egipčani vsak dan razdelili na dva dela po dodekaedru, so nato vsako polovico dneva razdelili na 12 delov (12 obrazov). dodekaeder) in s tem uveden uro- najpomembnejša enota časa. Delitev ene ure na 60 minut (60 ravninskih kotov na površini dodekaeder), so Egipčani uvedli na ta način minuta– naslednja pomembna enota časa. Na enak način so predstavili daj mi sekundo- najmanjša časovna enota za to obdobje.

Tako, izbira dodekaeder Egipčanom kot glavni »harmonični« figuri vesolja in striktno po numeričnih značilnostih dodekaedra 12, 30, 60 uspelo zgraditi izjemno harmoničen koledar ter sisteme za merjenje časa in kotnih vrednosti. Ti sistemi so bili popolnoma skladni z njihovo "teorijo harmonije", ki je temeljila na zlatem razmerju, saj je to razmerje tisto, ki je osnova dodekaeder.

To so presenetljivi zaključki, ki izhajajo iz primerjave: dodekaeder s sončnim sistemom. In če je naša hipoteza pravilna (naj jo kdo poskusi ovreči), potem iz tega sledi, da človeštvo že več tisočletij živi pod znakom zlatega reza! In vsakič, ko pogledamo na številčnico naše ure, ki prav tako temelji na uporabi numeričnih karakteristik dodekaeder 12, 30 in 60 se dotaknemo glavne "Skrivnosti vesolja" - zlatega reza, ne da bi se tega sploh zavedali!

Kvazikristali Dana Shekhtmana

Izraelski fizik Dan Shechtman je 12. novembra 1984 v prestižni reviji Physical Review Letters objavil kratek članek, ki je ponudil eksperimentalne dokaze za obstoj kovinske zlitine z izjemnimi lastnostmi. Pri proučevanju z metodami elektronske difrakcije je ta zlitina pokazala vse znake kristala. Njegov uklonski vzorec je sestavljen iz svetlih in enakomerno razporejenih pik, tako kot kristal. Vendar pa je za to sliko značilna prisotnost "ikozaedrične" ali "pentangonalne" simetrije, ki je v kristalu iz geometrijskih razlogov strogo prepovedana. Tako nenavadne zlitine so bile imenovane kvazikristali. V manj kot letu dni je bilo odkritih še veliko drugih tovrstnih zlitin. Bilo jih je toliko, da se je kvazikristalno stanje izkazalo za veliko pogostejše, kot bi si lahko predstavljali.

Izraelski fizik Dan Shechtman

Koncept kvazikristala je temeljnega pomena, ker posplošuje in dopolnjuje definicijo kristala. Teorija, ki temelji na tem konceptu, nadomešča prastaro idejo o "strukturni enoti, ki se ponavlja v prostoru na strogo periodičen način" s ključnim konceptom red na dolge razdalje. Kot je v članku "Kvazikristali" poudaril slavni fizik D. Gratia, »Ta koncept je privedel do razširitve kristalografije, katere na novo odkrito bogastvo šele začenjamo raziskovati. Njegov pomen v svetu mineralov lahko primerjamo z dodajanjem koncepta iracionalnih števil k racionalnim številom v matematiki."

Kaj je kvazikristal? Kakšne so njegove lastnosti in kako ga lahko opišemo? Kot je navedeno zgoraj, glede na osnovni zakon kristalografije Za kristalno strukturo veljajo stroge omejitve. Po klasičnih predstavah je kristal ad infinitum sestavljen iz ene same celice, ki naj tesno (iz oči v oči) »pokriva« celotno ravnino brez kakršnih koli omejitev.

Kot je znano, se lahko gosto polnjenje letala izvede z uporabo trikotniki(slika 7-a), kvadrati(Slika 7-b) in šesterokotniki(Slika 7-d). Z uporabo peterokotniki (Petkotniki) takšno polnjenje ni mogoče (slika 7-c).

A)	b)	V)	G)

Slika 7. Gosto zapolnitev ravnine lahko izvedemo s trikotniki (a), kvadrati (b) in šesterokotniki (d)

To so bili kanoni tradicionalne kristalografije, ki je obstajala pred odkritjem nenavadne zlitine aluminija in mangana, imenovane kvazikristal. Takšna zlitina nastane z ultra hitrim ohlajanjem taline s hitrostjo 10 6 K na sekundo. Poleg tega se med študijo difrakcije takšne zlitine na zaslonu pojavi urejen vzorec, značilen za simetrijo ikozaedra, ki ima znane prepovedane simetrijske osi 5. reda.

V naslednjih nekaj letih je več znanstvenih skupin po vsem svetu preučevalo to nenavadno zlitino z uporabo elektronske mikroskopije visoke ločljivosti. Vsi so potrdili idealno homogenost snovi, v kateri je bila ohranjena simetrija 5. reda v makroskopskih območjih z dimenzijami blizu atomov (nekaj deset nanometrov).

Po sodobnih pogledih je bil razvit naslednji model za pridobitev kristalne strukture kvazikristala. Ta model temelji na konceptu "osnovnega elementa". Po tem modelu je notranji ikozaeder atomov aluminija obdan z zunanjim ikozaedrom atomov mangana. Ikozaedre povezujejo oktaedri atomov mangana. "Bazni element" vsebuje 42 atomov aluminija in 12 atomov mangana. Med procesom strjevanja pride do hitrega oblikovanja »osnovnih elementov«, ki se med seboj hitro povežejo s togimi oktaedričnimi »mostovi«. Spomnimo se, da so ploskve ikozaedra enakostranični trikotniki. Za nastanek oktaedričnega manganovega mostu je potrebno, da se dva takšna trikotnika (po en v vsaki celici) dovolj približata in postavita vzporedno. Kot rezultat takšnega fizičnega procesa nastane kvazikristalna struktura z "ikozaedrično" simetrijo.

V zadnjih desetletjih je bilo odkritih veliko vrst kvazikristalnih zlitin. Poleg tistih, ki imajo "ikozaedrično" simetrijo (5. red), obstajajo tudi zlitine z deseterokotno simetrijo (10. red) in dodekagonalno simetrijo (12. red). Fizikalne lastnosti kvazikristalov so začeli preučevati šele pred kratkim.

Kakšna je praktični pomen odkritje kvazikristalov? Kot je navedeno v zgoraj omenjenem članku Gratia, »mehanska trdnost kvazikristalnih zlitin se močno poveča; odsotnost periodičnosti vodi do upočasnitve širjenja dislokacij v primerjavi z običajnimi kovinami ... Ta lastnost je velikega praktičnega pomena: uporaba ikozaedrične faze bo omogočila pridobivanje lahkih in zelo močnih zlitin z uvedbo drobni delci kvazikristalov v aluminijasto matrico."

Kakšen je metodološki pomen odkritja kvazikristalov? Prvič, odkritje kvazikristalov je trenutek velikega zmagoslavja »dodekaedrsko-ikozaedrske doktrine«, ki prežema celotno zgodovino naravoslovja in je vir globokih in uporabnih znanstvenih idej. Drugič, kvazikristali so uničili tradicionalno predstavo o nepremostljivi ločnici med svetom mineralov, v katerem je bila "pentagonalna" simetrija prepovedana, in svetom žive narave, kjer je "pentagonalna" simetrija ena najpogostejših. In ne smemo pozabiti, da je glavni delež ikozaedra "zlati rez". In odkritje kvazikristalov je še ena znanstvena potrditev, da je morda prav »zlati delež«, ki se kaže tako v svetu žive narave kot v svetu mineralov, glavni delež vesolja.

Ploščice Penrose

Ko je Dan Shekhtman eksperimentalno dokazal obstoj kvazikristalov z ikozaedrična simetrija, fiziki v iskanju teoretične razlage za pojav kvazikristalov, so opozorili na matematično odkritje, do katerega je pred 10 leti prišel angleški matematik Roger Penrose. Kot "ploski analog" kvazikristalov smo izbrali Penrose ploščice, ki so aperiodične pravilne strukture, ki jih tvorijo "debeli" in "tanki" rombovi, ki se držijo proporcev "zlatega reza". točno tako Penrose ploščice so sprejeli kristalografi za razlago pojava kvazikristali. Hkrati pa vlogo Penrose diamanti v prostoru treh dimenzij začel igrati ikozaedri, s pomočjo katerega se izvaja gosto polnjenje tridimenzionalnega prostora.

Oglejmo si peterokotnik na sl. 8.

Slika 8. Pentagon

Po risanju diagonal v njem lahko prvotni pentagon predstavimo kot niz treh vrst geometrijskih likov. V središču je nov peterokotnik, ki ga tvorijo presečišča diagonal. Poleg tega je Pentagon na sl. 8 vključuje pet enakokrakih trikotnikov, obarvanih z rumena, in pet enakokrakih trikotnikov, obarvanih rdeče. Rumeni trikotniki so »zlati«, ker je razmerje med bokom in osnovo enako zlatemu rezu; na vrhu imajo ostre kote 36°, na dnu pa ostre kote 72°. Rdeči trikotniki so tudi "zlati", saj je razmerje med bokom in osnovo enako zlatemu rezu; na vrhu imajo top kot 108°, na dnu pa oster kot 36°.

Sedaj povežimo dva rumena trikotnika in dva rdeča trikotnika z njunima osnovama. Kot rezultat dobimo dva "zlati" romb. Prva od njih (rumena) ima ostri kot 36° in top kot 144° (slika 9).

(A)	(b)

Slika 9." Zlati" rombi: a) "tanek" romb; (b) "debel" romb

Diamant na sl. Imenovali ga bomo 9 tanek romb, in romb na sl. 9-b – debel romb.

Angleški matematik in fizik Rogers Penrose je uporabil "zlate" diamante na sl. 9 za izdelavo “zlatega” parketa, ki so ga poimenovali Penrose ploščice. Ploščice Penrose so kombinacija debelih in tankih diamantov, prikazanih na sl. 10.

Slika 10. Penrose ploščice

Pomembno je poudariti, da Penrose ploščice imajo “pentagonalno” simetrijo ali simetrijo 5. reda, razmerje med številom debelih in tankih rombov pa teži k zlatemu razmerju!

fulereni

Zdaj pa se pogovorimo o še enem izjemnem sodobnem odkritju na področju kemije. To odkritje je bilo narejeno leta 1985, torej nekaj let po kvazikristalih. Govorimo o tako imenovanih "fulerenih". Izraz "fulereni" se nanaša na zaprte molekule tipa C 60, C 70, C 76, C 84, v katerih so vsi ogljikovi atomi nameščeni na sferični ali sferoidni površini. V teh molekulah so atomi ogljika razporejeni na vrhovih pravilnih šesterokotnikov ali peterokotnikov, ki pokrivajo površino krogle ali sferoida. Osrednje mesto med fulereni zavzema molekula C 60, za katero je značilna največja simetrija in posledično največja stabilnost. V tej molekuli, ki spominja na pnevmatiko nogometne žoge in ima strukturo pravilnega prisekanega ikozaedra (sl. 2-e in sl. 3), se atomi ogljika nahajajo na sferični površini v ogliščih 20 pravilnih šesterokotnikov in 12 pravilnih peterokotnikov tako, da je vsak šesterokotnik obrobljen s tremi šesterokotniki in tremi peterokotniki, vsak peterokotnik pa je obrobljen s šesterokotniki.

Izraz "fuleren" izvira iz imena ameriškega arhitekta Buckminsterja Fullerja, ki je, kot se je izkazalo, uporabljal takšne strukture pri gradnji kupol zgradb (še ena uporaba prisekanega ikozaedra!).

"Fulereni" so v bistvu "umetne" strukture, ki izhajajo iz temeljnih fizikalnih raziskav. Prva sta jih sintetizirala znanstvenika G. Croto in R. Smalley (ki sta leta 1996 za to odkritje prejela Nobelovo nagrado). Toda nepričakovano so jih odkrili v kamninah predkambrijskega obdobja, to je izkazalo se je, da fulereni niso le "umetne", ampak naravne tvorbe. Fulerene zdaj intenzivno preučujejo v laboratorijih. različne države, poskuša ugotoviti pogoje njihovega nastanka, strukturo, lastnosti in možna področja uporabe. Najbolj natančno raziskan predstavnik družine fuleren je fuleren-60 (C 60) (včasih ga imenujejo Buckminster fuleren. Znana sta tudi fulerena C 70 in C 84. Fuleren C 60 se pridobiva z izparevanjem grafita v atmosferi helija. Pri tem nastane fin, sajam podoben prah, ki vsebuje 10 % ogljika; ko ga raztopimo v benzenu, dobi prah rdečo raztopino, iz katere zrastejo kristali C 60. Fulereni imajo nenavadne kemične in fizične lastnosti. Ja, kdaj visok krvni pritisk Od 60 postane trda kot diamant. Njegove molekule tvorijo kristalno strukturo, kot da je sestavljena iz popolnoma gladkih kroglic, ki se prosto vrtijo v kubični mreži s središčem obraza. Zahvaljujoč tej lastnosti se lahko C 60 uporablja kot trdno mazivo. Fulereni imajo tudi magnetne in superprevodne lastnosti.

Ruski znanstveniki A.V. Eletsky in B.M. Smirnov v svojem članku "Fulereni", objavljenem v reviji "Uspekhi Fizicheskikh Nauk" (1993, zvezek 163, št. 2), ugotavlja, da »fuleren, katerih obstoj je ugotovljen sredi 80-ih in učinkovita tehnologija izolacije, za katero je bila razvita leta 1990, je zdaj postala predmet intenzivnih raziskav več deset znanstvenih skupin. Podjetja za uporabo natančno spremljajo rezultate teh študij. Ker je ta modifikacija ogljika za znanstvenike postavila vrsto presenečenj, bi bilo nespametno razpravljati o napovedih in možnih posledicah proučevanja fulerenov v naslednjem desetletju, vendar je treba biti pripravljen na nova presenečenja.«

Umetniški svet slovenske umetnice Matjuške Teje Krašek

Matjuška Teja Krasek je diplomirala iz slikarstva na Visoki šoli za vizualne umetnosti (Ljubljana, Slovenija) in je svobodna umetnica. Živi in ​​dela v Ljubljani. Njeno teoretično in praktično delo se osredotoča na simetrijo kot premostitveni koncept med umetnostjo in znanostjo. Njena umetniška dela so bila predstavljena na številnih mednarodnih razstavah in objavljena v mednarodnih revijah (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Krašek na razstavi Kalejdoskopske dišave, Ljubljana, 2005

Umetniška ustvarjalnost mame Teie Krashek je povezana z različnimi vrstami simetrije, Penrose ploščicami in rombi, kvazikristali, zlatim rezom kot glavnim elementom simetrije, Fibonaccijevimi števili itd. S pomočjo refleksije, domišljije in intuicije poskuša izberite nove odnose, nove ravni strukture, nove in različne vrste reda v teh elementih in strukturah. V svojih delih široko uporablja računalniško grafiko kot zelo koristno zdravilo ustvariti umetniško delo, ki premošča vrzel med znanostjo, matematiko in umetnostjo.

Na sl. 11 prikazuje kompozicijo T.M. Krashek v zvezi s Fibonaccijevimi števili. Če izberemo eno od Fibonaccijevih števil (na primer 21 cm) za stransko dolžino diamanta Penrose v tej otipljivo nestabilni kompoziciji, lahko opazimo, kako dolžine nekaterih segmentov v kompoziciji tvorijo Fibonaccijevo zaporedje.

Slika 11. Mati Teia Krashek "Fibonaccijeva števila", platno, 1998.

Veliko število umetnikovih umetniških kompozicij je posvečenih Shechtmanovim kvazikristalom in Penroseovim mrežam (slika 12).

(A)	(b)

(V)	(G)

Slika 12. Svet Teje Krashek: (a) Svet kvazikristalov. Računalniška grafika, 1996.
(b) Zvezde. Računalniška grafika, 1998 (c) 10/5. Platno, 1998 (d) Kvazikocka. Platno, 1999

Skladba Biogenesis, 2005 (slika 13) matere Theie Krashek in Clifforda Piccoverja prikazuje deseterokotnik, sestavljen iz diamantov Penrose. Opazimo lahko razmerja med Petrosejevimi rombi; Vsaka dva sosednja Penrose diamanta tvorita peterokotno zvezdo.

Slika 13. Mati Theia Krashek in Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.

Na sliki Dvojna zvezda GA(Slika 14) vidimo, kako se Penrosove ploščice združujejo v dvodimenzionalno predstavitev potencialno hiperdimenzionalnega predmeta z deseterokotno osnovo. Pri upodabljanju slike je umetnik uporabil metodo togih robov, ki jo je predlagal Leonardo da Vinci. Ta metoda upodobitve vam omogoča, da vidite sliko v projekciji na ravnino. velika številka pentagonov in pentaklov, ki jih tvorijo projekcije posameznih robov Penroseovih rombov. Poleg tega v projekciji slike na ravnino vidimo desetkotnik, ki ga tvorijo robovi 10 sosednjih Penroseovih rombov. V bistvu je na tej sliki mama Teia Krashek našla nov pravilni polieder, ki zelo verjetno dejansko obstaja v naravi.

Slika 14. Mati Teia Krashek. Dvojna zvezda GA

V Krashekovi kompoziciji "Zvezde za Donalda" (sl. 15) lahko opazimo neskončno interakcijo Penroseovih rombov, pentagramov, peterokotnikov, ki se zmanjšujejo proti središču kompozicije. Razmerja zlatega reza predstavljajo številni različne poti na različnih lestvicah.

Slika 15. Mati Theia Krashek "Zvezde za Donalda", računalniška grafika, 2005.

Umetniške kompozicije matere Teje Krashek so pritegnile veliko pozornost predstavnikov znanosti in umetnosti. Njeno umetnost enačijo z umetnostjo Mauritsa Escherja, slovensko umetnico pa imenujejo »vzhodnoevropski Escher« in »slovensko darilo« svetovni umetnosti.

Stakhov A.P. "Da Vincijeva šifra", Platonova in Arhimedova telesa, kvazikristali, fulereni, Penrosove mreže in umetniški svet matere Teie Krashek // "Akademija trinitarizma", M., El št. 77-6567, izdaja 12561, 7.11. 2005

Vsakdo, ki je preučeval sveto geometrijo ali celo navadno geometrijo, ve, da obstaja pet edinstvenih oblik, ki so ključnega pomena za razumevanje tako svete kot navadne geometrije. Imenujejo se Platonova telesa(Slika 6-15>).

Platonovo trdno snov opredeljujejo določene značilnosti. Prvič, vse njegove ploskve so enake velikosti. Na primer, kocka, najbolj znano Platonovo telo, ima na vsaki ploskvi kvadrat in vse njene ploskve so enake velikosti. Drugič, vsi robovi Platonovega telesa so enako dolgi; Vsi robovi kocke so enako dolgi. Tretjič: vsi notranji koti med ploskvami so enako veliki. Pri kocki je ta kot 90 stopinj. In četrtič: če je Platonovo telo postavljeno znotraj krogle (pravilne oblike), se bodo vsa njegova oglišča dotikala površine krogle. Takšne opredelitve, razen Kuba(A) odgovarjajo samo štiri oblike, ki imajo vse te značilnosti. Drugi bo tetraeder(B) (tetra pomeni "štiri") je polieder s štirimi ploskvami, vsemi enakostraničnimi trikotniki, enakimi dolžinami robov in enakimi koti ter - vsemi oglišči, ki se dotikajo površine krogle. Druga preprosta oblika je oktaeder(C) (okta pomeni "osem"), je vseh osem ploskev enakostraničnih trikotnikov enake velikosti, dolžine robov in vogalov so enake, vsa oglišča pa se dotikajo površine krogle.

Drugi dve Platonovi telesi sta nekoliko bolj zapleteni. Ena se imenuje ikozaeder(D) - to pomeni, da ima 20 ploskev, ki izgledajo kot enakostranični trikotniki z enako dolgimi robovi in ​​vogali; vsa njena oglišča se tudi dotikajo površine krogle. Slednji se imenuje peterokoten dodekaeder(E) (dodeka je 12), katerih ploskve so 12 pentagonov (peterokotnikov) z enako dolgimi robovi in ​​enakimi koti; vsa njena oglišča se dotikajo površine krogle.

Če ste inženir ali arhitekt, ste teh pet oblik študirali na fakulteti, vsaj površno, saj gre za osnovne strukture.

Njihov vir: Metatronova kocka

Če preučujete sveto geometrijo, ni pomembno, katero knjigo odprete: pokazala vam bo pet Platonovih teles, ker so ABC svete geometrije. Toda če preberete vse te knjige - in jaz sem jih prebral skoraj vse - in vprašate strokovnjake: »Od kod prihajajo Platonova telesa? Kaj je njihov izvor?«, potem bo skoraj vsak rekel, da ne ve. Dejstvo je, da teh pet Platonovih teles izvira iz prvega informacijskega sistema Sadu življenja. Skrita v linijah Metatronove kocke (glej.
Slika 6-14> ), vseh teh pet oblik obstaja tam. Ko gledate Metatronovo kocko, gledate vseh pet Platonovih teles hkrati. Če želite bolje videti vsako od njih, boste morali znova izvesti trik, pri katerem ste nekaj črt izbrisali. Če izbrišete vse črte, razen nekaj posebnih, boste dobili to kocko ( Slika 6-16 >).

No, vidiš kocko? V resnici je kocka v kocki. Nekatere črte so pikčaste, ker se končajo za sprednjimi robovi. Nevidni so, če kocka postane trdno, neprozorno telo. Tukaj je neprozorna oblika večje kocke (sl. 6-16a>). (Prepričajte se, da jo vidite, ker bo z napredovanjem vedno težje videti naslednje številke).

Z brisanjem nekaterih črt in povezovanjem drugih središč (
Slika 6-17>), dobite dva tetraedra, vstavljena drug v drugega, ki tvorita zvezdasti tetraeder. Kot pri kocki, dejansko dobite dva zvezdna tetraedra, enega v drugem. Tukaj je trdna oblika večjega zvezdastega tetraedra (sl. 6-17a>).

Slika 6-18> je oktaeder znotraj drugega oktaedra, čeprav ga gledate iz določenega posebnega kota. Slika 6-18a> je neprozorna različica večjega oktaedra.

Slika 6-19> je en ikozaeder znotraj drugega, slika 6-19a> pa je neprozorna različica večjega. Postane nekako lažje, če na to gledaš tako.

To so tridimenzionalni predmeti, ki izhajajo iz trinajstih krogov Sadu življenja.

To je slika Shulamith Wulfing - Kristus otrok znotraj ikozaedra (
Slika 6-20>), kar je zelo res, saj ikozaeder, kot boste zdaj videli, predstavlja vodo in Kristus je bil krščen v vodi, začetek nove zavesti.

To je peta in zadnja oblika - dva peterokotna dodekaedra, eden v drugem (sl. 6-21>) (zaradi poenostavitve je tukaj prikazan samo notranji dodekaeder).

riž. 21 je trdna oblika.

Kot smo videli, je vseh pet Platonovih teles mogoče najti v Metatronovi kocki ( Slika 6-22>).

Manjkajoče vrstice

Ko sem iskal zadnje Platonovo telo v Metatronovi kocki, dodekaeder, mi je vzelo približno dvajset let. Ko so angeli rekli: "Vsi so notri," sem začel iskati, vendar nisem našel dodekaedra. Končno mi je nekega dne študent rekel: "Hej, Drunvalo, pozabil si nekaj vrstic Metatronove kocke." Ko jih je pokazal, sem pogledal in rekel: "Prav imaš, pozabil sem." Mislil sem, da sem povezal vse centre med seboj, a se je izkazalo, da sem nekatere pozabil. Ni čudno, da nisem mogel najti tega dodekaedra, ker so ga definirale te manjkajoče črte! Več kot dvajset let sem bil prepričan, da imam narisane vse črte, pa nisem imel nobene.

To je eden od velikih problemov znanosti, ko se misli, da je problem rešen; potem gre naprej in te informacije uporabi za nadaljnjo gradnjo. Sedaj ima na primer znanost enake težave s telesi, ki padajo v vakuumu. Vedno je veljalo, da padajo z enako hitrostjo, in velik del naše napredne znanosti temelji na tem temeljnem "zakonu". Dokazano je, da temu ni tako, a znanost to še naprej uporablja. Vrteča se žoga pade bistveno hitreje kot nevrteča. Nekega dne bo prišel dan znanstvenega obračuna.

Ko sem bil poročen z McKee, je bila tudi ona zelo navdušena nad sveto geometrijo. Njeno delo mi je zelo zanimivo, ker predstavlja ženski vidik, kjer delujejo peterokotne energije desne hemisfere možganov. Prikazuje, kako so čustva, barve in oblike med seboj povezani. Pravzaprav je našla dodekaeder v Metatronovi kocki pred mano. Vzela ga je in naredila nekaj, kar mi nikoli ne bi prišlo na misel. Vidite, Metatronova kocka je običajno narisana na ravno površino, vendar je pravzaprav tridimenzionalna oblika. Tako sem nekega dne v rokah držal to tridimenzionalno obliko in tam poskušal najti dodekaeder, in McKee je rekel: "Naj pogledam to stvar." Vzela je tridimenzionalno obliko in jo zavrtela skozi sorazmerni kot f (razmerje phi). (O čemer še nismo govorili je, da je razmerje zlate sredine, imenovano tudi f (razmerje phi), natančno 1,618). Zasukanje oblike na ta način je bilo nekaj, na kar si nikoli ne bi pomislil. Ko je to naredila, je obrisala senco, ki jo meče ta obrazec, in prejela naslednjo sliko (
Slika 6-23>).

McKee jo je najprej ustvarila sama in jo nato posredovala meni. Središče tukaj je v peterokotniku A. Potem, če vzamete pet peterokotnikov, ki izhajajo iz A (pentagon B) in še enega peterokotnika, ki izhaja iz vsakega od teh petih (pentagon C), dobite razširjeno dodekaeder. Pomislil sem: "Vau, to sem prvič našel tukaj." pravzaprav nekakšen dodekaeder." To je naredila v treh dneh. Celih dvanajst let ga nisem mogel najti.

Nekega dne sva skoraj cel dan gledala to sliko. Bila je neverjetna, ker vsak posebejčrte na tej sliki ustrezajo razmerjem zlate sredine. In povsod tukaj so tridimenzionalni pravokotniki zlate sredine. Eden je v točki E, kjer sta dva diamanta, zgornji in spodnji, zgornji in spodnji del tridimenzionalnega pravokotnika zlate sredine, pikčaste črte pa so njegovi robovi. To je neverjetna stvar. Rekel sem: "Ne vem, kaj je, vendar je verjetno zelo pomembno." Zato smo to odložili, da o tem razmislimo pozneje.

Kvazi-kristali

Kasneje sem spoznal popolnoma novo znanost. Ta nova znanost bo popolnoma spremenila svet tehnologije. Z novo tehnologijo bodo metalurgi verjetno lahko ustvarili kovino, ki je desetkrat trša od diamanta, če si lahko predstavljate. To bo neverjetno vzdržljivo.

Dolgo časa so kovine proučevali s tehniko, imenovano rentgenska difrakcija, da bi ugotovili, kje so atomi. Kmalu vam bom pokazal rentgensko difrakcijsko fotografijo. Odkriti so bili nekateri posebni modeli, ki določajo obstoj le določenih atomskih struktur. Zdelo se je, da je to vse, kar je mogoče vedeti, saj je bilo to vse, kar je bilo mogoče odkriti. To je omejilo zmožnost izdelave kovin.

Nato je revija Scientific American objavila igro, ki je temeljila na modelu Penrose. Tam je bil britanski matematik in relativist Roger Penrose, ki je ugotovil, kako položiti ploščice v obliki peterokotnika, tako da popolnoma prekrijejo ravno površino. Nemogoče je popolnoma pokriti ravno površino s ploščicami v obliki samih peterokotnikov – nikakor ne uspe. Nato je predlagal dve obliki diamanta, ki izhajata iz peterokotnika, in z uporabo teh dveh oblik je lahko ustvaril veliko različnih vzorcev, ki pokrivajo ravno površino. V osemdesetih letih je revija Scientific American predlagala igro, katere bistvo je bilo zlaganje teh danih modelov v nove oblike; to je kasneje omogočilo metalurškim znanstvenikom, ki so spremljali igro, da so predlagali obstoj nečesa novega v fiziki.

Sčasoma so odkrili nov model atomske mreže. Vedno je obstajala; pravkar so odkrili. Ti mrežni vzorci se zdaj imenujejo kvazi-kristali; To je nov fenomen (1991). Skozi kovine ugotavljajo, kakšne oblike in vzorci so možni. Znanstveniki iščejo načine, kako uporabiti te oblike in vzorce za izdelavo novih kovinskih izdelkov. Pripravljen sem staviti, da je model, ki ga je McKee dobil iz Metatronove kocke, najimenitnejši od vseh in da je vsak Penrosov model njegov derivat. Zakaj? Ker je vse podvrženo zakonu zlatega reza, je osnovno – prišlo je neposredno iz glavnega modela v Metatronovi kocki. Čeprav to ni moja stvar, bom nekoč verjetno ugotovil, ali je to res. Vidim, da namesto dveh Penroseovih modelov in peterokotnika uporablja samo enega od teh modelov in peterokotnik (ravno sem razmišljal, da bi predlagal to možnost). Zanimivo je, kaj se zdaj dogaja v tej novi znanosti.

Najnovejše informacije: po besedah ​​Davida Adaira je NASA pravkar proizvedla kovino v vesolju, ki je 500-krat močnejša od titana, lahka kot pena in prozorna kot steklo. Ali temelji na teh zakonih?

Ko se dogodki v tej knjigi odvijajo, boste odkrili, da lahko sveta geometrija podrobno razloži katero koli temo. Niti ene stvari, ki bi jo lahko povedali s svojim glasom, je ne bi bilo opisano v celoti, popolno in popolno, upoštevajoč vsa mogoča znanja, sveta geometrija. (Ločimo med pojmoma »znanje« in »modrost«: modrost potrebuje izkušnje). Vendar je pomembnejši namen tega dela, da vas opomni, da imate sami potencial živega polja Mer-Ka-Ba okoli svojega telesa in da vas nauči, kako ga uporabljati. Nenehno bom prihajal na kraje, kjer bom šel v najrazličnejše korenine in veje in govoril o vseh možnih in nepredstavljivih temah. Ampak vedno se bom vrnil na pravo pot, ker vse vodim v eno določeno smer, proti Mer-Ka-Ba, svetlobnemu telesu človeka.

Veliko let sem preživel pri preučevanju svete geometrije in prepričan sem, da se lahko naučiš vsega, kar je na splošno mogoče vedeti, karkoli želiš o kateri koli temi, le svojo pozornost moraš usmeriti na geometrijo, ki se skriva za tem predmetom. Vse, kar potrebujete, sta šestilo in ravnilo - ne potrebujete niti računalnika, čeprav pomaga. Vse znanje, ki ga že imate v sebi, in vse, kar morate storiti, je, da ga razkrijete. Preprosto raziskujete zemljevid gibanja duha v Veliki Praznini, to je vse. Lahko razvozlaš skrivnost katerega koli predmeta.

Povzemimo: najprej Informacijski sistem izhaja iz sadu življenja skozi Metatronovo kocko. Če povežete središča vseh krogel, dobite pet številk - pravzaprav šest, saj še vedno obstaja središčna krogla, iz katere se je vse začelo. Torej, imate šest izvirnih oblik - tetraeder, kocko, oktaeder, ikozaeder, dodekaeder in kroglo.

Najnovejše informacije: Leta 1998 smo začeli razvijati novo znanost: nanotehnologija. Ustvarili smo mikroskopske »stroje«, ki lahko gredo v kovinske ali kristalne matrice in preurejajo atome. Leta 1996 ali 1997 so v Evropi z uporabo nanotehnologije iz grafita ustvarili diamant. To je diamant, širok približno tri metre, in je pravi. Ko se znanost o kvazikristalih in nanotehnologija združita, se bo spremenilo tudi naše razumevanje življenja. Poglejte pozno 19. stoletje v primerjavi z današnjim dnem.

Platonova telesa in elementi

Starodavni alkimisti in velike duše, kot je Pitagora, oče Grčije, so verjeli, da je vsaka od teh šestih figur model ustreznega element (Slika 6-24>).

Tetraeder je veljal za model elementa ognja, kocka - zemlje, oktaeder - zraka, ikozaeder - vode in dodekaeder - etra. (eter, prana in tahionska energija) so vse eno in isto; je vseprisoten in dostopen kjerkoli v prostoru/času/dimenziji. To je velika skrivnost tehnologije ničelne točke. In krogla predstavlja Praznino. Teh šest elementov so gradniki vesolja. Ustvarjajo kvalitete vesolja.

Alkimija navadno govori samo o teh elementih: ogenj, zemlja, zrak in voda; Redko se omenja eter ali prana, ker sta tako sveta. V pitagorejski šoli, če bi samo omenili besedo "dodekaeder" zunaj šolskih zidov, bi vas ubili na mestu. Ta številka je veljala za tako sveto. Niti govorili niso o njej. Dvesto let kasneje, v času Platonovega življenja, so govorili o tem, a zelo previdno.

Zakaj? Ker se dodekaeder nahaja na zunanjem robu vašega energijskega polja in je najvišja oblika zavesti. Ko dosežete mejo 55 čevljev svojega energijskega polja, bo oblikovano kot krogla. Toda notranja figura, ki je najbližje krogli, je dodekaeder (pravzaprav dodekaedrsko-ikozaedrsko razmerje). Poleg tega živimo znotraj velikega dodekaedra, ki vsebuje vesolje. Ko vaš um doseže mejo prostora prostora - in meja je tukaj Tukaj je– potem naleti na dodekaeder, zaprt v kroglo. To lahko rečem, ker Človeško telo je hologram vesolja in vsebuje iste principe in zakone. Tu je vključenih dvanajst ozvezdij zodiaka. Dodekaeder je končna figura geometrije in je zelo pomembna. Na mikroskopski ravni sta dodekaeder in ikozaeder relativna parametra DNK, načrti, na katerih je zgrajeno vse življenje.

Lahko povežete tri vrstice na tej sliki ( Sl.6-24>) z drevesom življenja in tremi primarnimi energijami vesolja: moško (levo), žensko (desno) in otroško (na sredini). Ali pa, če se poglobite neposredno v strukturo vesolja, imate proton na levi, elektron na desni in nevtron na sredini. Ta osrednji stolpec, ki je ustvarjalen, je dojenček. Ne pozabite, da smo začeli proces izhoda iz Praznine, smo šli od oktaedra do krogle. To je začetek procesa ustvarjanja in se nahaja v otroku ali osrednjem stolpcu.

Levi stolpec, ki vsebuje tetraeder in kocko, predstavlja moško komponento zavesti, levo hemisfero možganov. Strani teh mnogokotnikov so trikotniki ali kvadrati. Osrednji stolpec je corpus callosum, ki povezuje levo in desno stran. Desni stolpec, ki vsebuje dodekaeder in ikozaeder, predstavlja žensko komponento zavesti, desno hemisfero možganov, ploskvi teh poligonov pa sestavljajo trikotniki in petkotniki. Tako imajo poligoni na levi tri- in štirirobne ploskve, oblike na desni pa tri- in peterorobne ploskve.

V jeziku zemeljske zavesti je desni stolpec manjkajoča komponenta. Ustvarili smo moško (levo) stran Zemljine zavesti, zdaj pa za dosego celovitosti in ravnovesja zaključujemo ustvarjanje ženske komponente. Desna stran je povezana tudi s Kristusovo zavestjo ali zavestjo enotnosti. Dodekaeder je osnovna oblika mreže Kristusove zavesti okoli Zemlje. Dve obliki desnega stolpca medsebojno predstavljata tako imenovane seznanjene figure, to je, če povežete središča ploskev dodekaedra z ravnimi črtami, dobite ikozaeder, če pa povežete središča ikozaedra, spet dobite dodekaeder. Mnogi poliedri imajo pare.

Sveto 72

Knjiga Dana Winterja, Heartmath, kaže, da je molekula DNK sestavljena iz dvojnih odnosov dodekaedrov in ikozaedrov. Vidite lahko tudi, da je molekula DNK vrteča se kocka. Ko kocko zaporedoma zavrtimo za 72 stopinj po določenem modelu, dobimo ikozaeder, ki tvori par z dodekaedrom. Tako je dvojna veriga vijačnice DNK zgrajena na principu dvosmerne korespondence: ikozaedru sledi dodekaeder, nato spet ikozaeder in tako naprej. To vrtenje skozi kocko ustvari molekulo DNK. Ugotovljeno je bilo že, da struktura DNK temelji na sveti geometriji, čeprav se lahko odkrijejo tudi druga skrita razmerja.

To vrtenje pod kotom 72 stopinj v naši DNK je povezano z načrtom/namenom Velikega Belega Bratstva. Kot morda veste, je z Velikim belim bratstvom povezanih 72 redov. Mnogi govorijo o 72 vrstah angelov, Judje pa omenjajo 72 božjih imen. Razlog, zakaj je 72, je povezan s strukturo Platonovih teles, ki je povezana tudi z mrežo Kristusove zavesti okoli Zemlje.

Če vzamete dva tetraedra in ju postavite enega na drugega (vendar v različnih položajih), boste dobili zvezdni tetraeder, ki gledano iz določenega kota ne bo videti nič drugega kot kocka ( Slika 6-25>). Vidite lahko, kako so med seboj povezani. Na enak način lahko seštejemo pet tetraedrov, da tvorimo ikozaedrično kapo (slika 6-26).

Če ustvarite dvanajst ikozaedrskih kapic in postavite eno na vsako ploskev dodekaedra (za ustvarjanje dodekaedra bo potrebnih 5 krat 12 ali 60 tetraedrov), potem bo to zvezda - zvezdasto- dodekaeder, ker je vsako njegovo oglišče točno nad središčem vsake ploskve dodekaedra. Slika v paru z njim bo sestavljena iz 12 oglišč v središču vsake ploskve dodekaedra in se bo izkazala za ikozaeder. Teh 60 tetraedrov plus 12 točk v središčih bo seštelo 72 – spet število redov, povezanih z Belo bratovščino. Bratstvo dejansko deluje skozi fizična razmerja te oblike zvezde dodekaedra/ikozaedra, ki je osnova mreže Kristusove zavesti po vsem svetu. Z drugimi besedami, Bratstvo poskuša identificirati zavest desne hemisfere možganov planeta.

Prvotni red je bil Melchizedekov red Alfa in Omega, ki ga je ustanovil Machiventa Melchizedek pred približno 200.200 leti. Od takrat so bili ustanovljeni še drugi redovi, skupaj 71. Najmlajši je Bratstvo sedmih žarkov v Peruju/Boliviji, dvainsedemdeseti red.

Vsak od 72 redov ima življenjski ritem, podoben sinusnemu valu, kjer se nekateri pojavijo za določen čas, nato pa za nekaj časa izginejo. Imajo bioritem, tako kot njihovo človeško telo. Cikel rožnega križarskega reda na primer traja stoletje. Pojavljajo se sto let, nato pa naslednjih sto let popolnoma izginejo – dobesedno izginejo z obličja Zemlje. Po sto letih se ponovno pojavijo na tem svetu in delujejo naslednjih sto let.

Vsi so v različnih ciklih in vsi delajo skupaj, da bi dosegli en cilj – vrniti Kristusovo zavest nazaj na ta planet, obnoviti to izgubljeno žensko komponento zavesti in prinesti ravnovesje v levo in desno hemisfero možganov planeta. Obstaja še en pogled na ta pojav, ki je resnično nenavaden. K temu bom prišel, ko bomo govorili o Angliji.

Uporaba bomb in razumevanje osnovnega modela stvarjenja

Vprašanje: Kaj se zgodi z elementi, ko eksplodira atomska bomba?

Kar se tiče elementov, se pretvorijo v energijo in druge elemente. A ni samo to. Obstajata dve vrsti bomb: razpadajoče in talilne - termonuklearne. Razpad razcepi snov na koščke, termonuklearna reakcija pa jo zlije skupaj. Zlivanje je v redu – nihče se ne pritožuje nad tem. Vsa znana sonca v vesolju so fuzijski reaktorji. Zavedam se, da tega, kar zdaj govorim, znanost še ne priznava, toda trganje materije na koščke tukaj na Zemlji vpliva na ustrezno področje v vesolju – tako zgoraj kot spodaj. Z drugimi besedami, mikrokozmos in makrokozmos sta med seboj povezana. Zato je reakcija razpada nezakonita v celotnem vesolju.

Eksplozija atomskih bomb povzroča tudi pošastno neravnovesje na Zemlji. Na primer, če upoštevamo, da stvarstvo uravnoveša zemljo, zrak, ogenj, vodo in eter, potem atomska bomba povzroči manifestacijo ogromne količine ognja na enem mestu. To vodi v neravnovesje in Zemlja se mora na to odzvati.

Če na mesto zlijete 80 milijard ton vode, bo tudi to neuravnotežena situacija. Če je nekje preveč zraka, preveč vode, preveč česar koli, potem to poruši ravnovesje. Alkimija je znanje, kako ohraniti vse te pojave v ravnovesju. Če razumete pomen teh geometrijskih oblik in poznate njihova razmerja, potem lahko ustvarite, kar želite. Celotna ideja je razumeti osnovo karte. Ne pozabite, zemljevid prikazuje pot, po kateri se duh premika v Praznini. Če poznate osnovni zemljevid, potem imate znanje in razumevanje, potrebno za soustvarjanje z Bogom.

Slika 6-27> prikazuje razmerje med vsemi temi slikami. Vsako oglišče je povezano z naslednjim in vse so v določenih matematičnih razmerjih, povezanih z razmerjem f (razmerje phi).

PLATONOVA TRDNINA [P. - iz grščine Platon (427–347 pr. n. št. / T. - izvor glej BODY), celota vseh pravilnih poliedrov [tj. e. volumetrična (tridimenzionalna) telesa, omejena z enakimi pravilnimi poligoni] tridimenzionalnega sveta, ki ga je prvi opisal Platon (posvečena jim je tudi zadnja, XIII. knjiga "Elementov" Platonovega učenca Evklida); // ob vsej neskončni raznolikosti pravilnih poligonov (dvodimenzionalnih geometrijskih likov, omejenih z enakimi stranicami, katerih sosednji pari v parih tvorijo enake kote), obstaja samo pet volumetričnih mnogokotnikov. (glej tabelo 6), po kateri je bilo od Platonovega časa postavljenih pet elementov vesolja; nenavadna povezava obstaja med heksaedrom in oktaedrom, pa tudi med dodekaedrom in ikozaedrom: geometrijska središča ploskev vsakega prvega so oglišča vsakega drugega.

Človek kaže zanimanje za poliedre skozi celotno svojo zavestno dejavnost - od dveletnega otroka, ki se igra z lesenimi kockami, do zrelega matematika. Nekatera pravilna in polpravilna telesa se v naravi pojavljajo v obliki kristalov, druga pa v obliki virusov, ki jih je mogoče pregledati z elektronskim mikroskopom. Kaj je polieder? Da bi odgovorili na to vprašanje, se spomnimo, da je sama geometrija včasih opredeljena kot znanost o prostoru in prostorskih figurah - dvodimenzionalnih in tridimenzionalnih. Dvodimenzionalno figuro lahko definiramo kot niz ravnih segmentov, ki omejujejo del ravnine. Tako ploščato figuro imenujemo mnogokotnik. Iz tega sledi, da lahko polieder definiramo kot množico poligonov, ki omejujejo del tridimenzionalnega prostora. Mnogokotnike, ki tvorijo polieder, imenujemo njegove ploskve.

Znanstvenike že dolgo zanimajo »idealni« ali pravilni mnogokotniki, torej mnogokotniki z enakimi stranicami in enakimi koti. Najenostavnejši pravilni poligon lahko štejemo za enakostranični trikotnik, saj ima najmanjše število strani, ki lahko omejijo del ravnine. Velika slika Pravilni mnogokotniki, ki nas zanimajo, poleg enakostraničnega trikotnika so: kvadrat (štiri stranice), peterokotnik (pet stranic), šesterokotnik (šest stranic), osmerokotnik (osem stranic), deseterokotnik (deset stranic) itd. Očitno teoretično ni nobenih omejitev glede števila stranic pravilnega mnogokotnika, to pomeni, da je število pravilnih mnogokotnikov neskončno.

Kaj je pravilni polieder? Pravilni polieder je tak polieder, katerega vse ploskve so med seboj enake (ali skladne) in so hkrati pravilni mnogokotniki. Koliko je pravilnih poliedrov? Na prvi pogled je odgovor na to vprašanje zelo preprost – pravilnih mnogokotnikov je toliko, kolikor jih je. Vendar pa ni. V Evklidovih Elementih najdemo strog dokaz, da obstaja samo pet pravilnih poliedrov, njihove ploskve pa so lahko samo tri vrste pravilnih mnogokotnikov: trikotniki, kvadrati in peterokotniki.

Ime Število obrazov Element
Tetraeder 4 Ogenj
Heksaeder/kocka 6 Zemlja
Octahedron 8 Air
Ikozaeder 10 Voda
Dodekaeder 12 Eter

Platonova telesa

Svet zvezdnih poliedrov

Naš svet je poln simetrije. Že od antičnih časov so naše predstave o lepoti povezane z njo. To verjetno pojasnjuje človekovo trajno zanimanje za neverjetne simbole simetrije, ki so pritegnili pozornost številnih izjemnih mislecev, od Platona in Evklida do Eulerja in Cauchyja.

Poliedri pa nikakor niso samo predmet znanstvenih raziskav. Njihove oblike so popolne in muhaste ter se pogosto uporabljajo v dekorativni umetnosti.

Poliedri v obliki zvezde so zelo dekorativni, kar jim omogoča široko uporabo v industriji nakita pri izdelavi vseh vrst nakita. Uporabljajo se tudi v arhitekturi. Številne oblike zvezdastih poliedrov predlaga narava sama. Snežinke so poliedri v obliki zvezde. Že od antičnih časov so ljudje poskušali opisati vse možne vrste snežink in sestavljali posebne atlase. Zdaj je znanih več tisoč različnih vrst snežink.

Zvezdasti dodekaeder

Veliki zvezdasti dodekaeder spada v družino Kepler-Poinsotovih teles, to je pravilnih nekonveksnih poliedrov. Strani velikega zvezdastega dodekaedra so pentagrami, kot tisti majhnega zvezdastega dodekaedra. Vsako oglišče ima povezane tri ploskve. Oglišča velikega zvezdastega dodekaedra sovpadajo z oglišči opisanega dodekaedra.

Veliki zvezdasti dodekaeder je prvi opisal Kepler leta 1619. To je zadnja zvezdasta oblika pravilnega dodekaedra.

Suvorov Mikhail, učenec 10. razreda

To delo je posvečeno opisu pogledov starogrškega filozofa Platona na strukturo vesolja z uporabo pravilnih mnogokotnikov, kot so tetraeder, oktaeder, heksaeder (kocka), dodekaeder in ikozaeder. V sodobni matematiki se ta telesa imenujejo platonska telesa.

Delo odraža tudi vprašanje, kako se Platonova telesa uporabljajo v sodobnih naravoslovnih teorijah.

Prenesi:

Predogled:

Če želite uporabljati predogled predstavitev, ustvarite Google račun in se prijavite vanj: https://accounts.google.com

Podnapisi diapozitivov:

Raziskovalno delo na področju geometrije. Tema: “Platonova telesa” Pripravil: Suvorov študent Mikhail Suvorov Učiteljica matematike Marina Valerievna Kharkov

Platon (427–347 pr. n. št.) - veliki starogrški filozof, Sokratov učenec, ustanovitelj Akademije. Platonova glavna zasluga v zgodovini matematike je, da je spoznal, da je znanje matematike potrebno za vsakega izobraženega človeka. Platonov prispevek k matematiki je nepomemben. Vendar so njegove ideje o strukturi in metodah matematike izjemno dragocene. Uvedel je tradicijo podajanja brezhibnih definicij in določanja, katera stališča v matematičnih razmišljanjih je mogoče sprejeti brez dokaza. Platon je prvi utemeljil metodo dokaza s protislovjem, ki se danes pogosto uporablja v geometriji. V Platonovi šoli Posebna pozornost usmerjen v reševanje gradbenih problemov. Zahvaljujoč temu je oblikovala koncept geometrijske lokacije točk in razvila tudi tehniko za reševanje konstrukcijskih problemov. Konveksne pravilne poliedre - tetraeder, oktaeder, heksaeder (kocka), dodekaeder in ikozaeder - običajno imenujemo Platonova telesa.

Opredelitev: PLATONSKE TRDNINE - iz grščine. Platon 427-347 pr. n. št. – celota vseh pravilnih poliedrov [tj. volumetričnih teles, omejenih z enakimi pravilnimi poligoni] tridimenzionalnega sveta, ki ga je prvi opisal Platon.

Pravilni mnogokotnik je ploska figura, omejena z ravnimi črtami z enakimi stranicami in enakimi notranjimi koti. Analog pravilnega mnogokotnika v tridimenzionalnem prostoru je pravilni polieder: prostorska figura z enakimi ploskvami v obliki pravilnih mnogokotnikov in enakimi poliedrskimi koti na ogliščih. Obstaja le pet pravilnih konveksnih poliedrov: pravilni tetraeder, kocka, oktaeder, dodekaeder in ikozaeder.

Zgodovina nastanka Platonovih teles. Štirje poliedri so v njej poosebljali štiri esence ali »elemente«. Tetraeder je simboliziral ogenj, saj je njegova konica obrnjena navzgor; Ikozaeder - Voda, saj je najbolj "poenostavljen" polieder; Kocka - Zemlja, kot najbolj "stabilen" polieder; Octahedron - Zrak, kot najbolj "zračen" polieder. Peti polieder, dodekaeder, je utelešal "vse, kar obstaja"

Tetraeder Stari Grki so poliedru dali ime po številu ploskev. »Tetra« pomeni štiri, »hedra« pomeni obraz (tetraeder je tetraeder). Polieder se nanaša na pravilne poliedre in je eno od petih Platonovih teles. Tetraeder ima naslednje značilnosti: Vrsta obraza - pravilni trikotnik; Število strani na obrazu je 3; Skupno število obrazi – 4; Število robov, ki mejijo na točko, je 3; Skupno število oglišč je 4; Skupno število reber je 6; Pravilni tetraeder je sestavljen iz štirih enakostraničnih trikotnikov. Vsako njegovo oglišče je oglišče treh trikotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 180°. Tetraeder nima simetrijskega središča, ima pa 3 simetrijske osi in 6 simetrijskih ravnin.

Heksaeder (pogostejše ime je kocka) Stari Grki so poliedru dali ime glede na število ploskev. "Hekso" pomeni šest, "hedra" pomeni obraz (Heksaeder je šestkotnik). Polieder se nanaša na pravilne poliedre in je eno od petih Platonovih teles. Heksaeder ima naslednje značilnosti: Število stranic na ploskvi je 4; Skupno število obrazov je 6; Število robov, ki mejijo na točko, je 3; Skupno število oglišč je 8; Skupno število reber je 12; Heksaeder je sestavljen iz šestih kvadratov. Vsako oglišče kocke je oglišče treh kvadratov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 270°. Heksaeder nima simetrijskega središča, ima pa 3 simetrijske osi in 6 simetrijskih ravnin.

Ikozaeder Stari Grki so poliedru dali ime po številu ploskev. "Ikosi" pomeni dvajset, "hedra" pomeni obraz (ikozaeder - dvajsetstran). Polieder spada med pravilne poliedre in je eno izmed petih Platonovih teles. Ikozaeder ima naslednje značilnosti: Vrsta obraza - pravilni trikotnik; Število strani na obrazu je 3; Skupno število obrazov je 20; Število robov, ki mejijo na točko, je 5; Skupno število oglišč je 12; Skupno število reber je 30; Pravilni ikozaeder je sestavljen iz dvajsetih enakostraničnih trikotnikov. Vsako oglišče ikozaedra je oglišče petih trikotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 270°. Ikozaeder ima središče simetrije – središče ikozaedra, 15 simetrijskih osi in 15 simetrijskih ravnin.

Oktaeder Stari Grki so poliedru dali ime po številu ploskev. »Okto« pomeni osem, »hedra« pomeni obraz (oktaeder je oktaeder). Polieder se nanaša na pravilne poliedre in je eno od petih Platonovih teles. Oktaeder ima naslednje značilnosti: Vrsta obraza - pravilni trikotnik; Število strani na obrazu je 3; Skupno število obrazov je 8; Število robov, ki mejijo na točko, je 4; Skupno število oglišč je 6; Skupno število reber je 12; Pravilni oktaeder je sestavljen iz osmih enakostraničnih trikotnikov. Vsako oglišče oktaedra je oglišče štirih trikotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 240°. Oktaeder ima središče simetrije – središče oktaedra, 9 simetrijskih osi in 9 simetrijskih ravnin.

Dodekaeder Stari Grki so poliedru dali ime po številu ploskev. "Dodeca" pomeni dvanajst, "hedra" pomeni obraz (dodekaeder - dodekaeder). Polieder spada med pravilne poliedre in je eno izmed petih Platonovih teles. Dodekaeder ima naslednje značilnosti: Vrsta obraza – pravilni peterokotnik; Število strani na obrazu je 5; Skupno število obrazov je 12; Število robov, ki mejijo na točko, je 3; Skupno število oglišč je 20; Skupno število reber je 30; Pravilni dodekaeder je sestavljen iz dvanajstih pravilnih petkotnikov. Vsako oglišče dodekaedra je oglišče treh pravilnih peterokotnikov. Zato je vsota ravninskih kotov pri vsakem oglišču 324°. Dodekaeder ima središče simetrije – središče dodekaedra, 15 simetrijskih osi in 15 simetrijskih ravnin.

Uporaba Platonovih teles v znanosti Johannes Kepler (1571-1630) - nemški astronom. Odkril je zakone gibanja planetov. Leta 1596 je Kepler predlagal pravilo, po katerem je okoli krogle Zemlje opisan dodekaeder, vanj pa se prilega ikozaeder. Razdaljo med orbitami planetov lahko dobimo na podlagi Platonovih teles, ugnezdenih eno v drugo. Razdalje, izračunane s tem modelom, so bile precej blizu pravim.

V. Makarov in V. Morozov verjameta, da ima Zemljino jedro obliko in lastnosti rastočega kristala, ki vpliva na razvoj vseh naravnih interakcij in procesov, ki potekajo na planetu. Polje sil tega rastočega kristala določa ikozaeder – dodekaedrsko strukturo Zemlje (IDSZ). Ti poliedri so vpisani drug v drugega. Vse naravne anomalije, pa tudi središča razvoja civilizacij, ustrezajo vrhom in robom teh figur.

Primeri: nekateri pravilni poliedri se v naravi pojavljajo kot kristalni virusi. Virus otroške paralize ima obliko dodekaedra. Lahko živi in ​​se razmnožuje le v celicah človeka ali primata. Na mikroskopski ravni sta dodekaeder in ikozaeder relativna parametra DNK, na kateri je zgrajeno vse življenje. Vidite lahko, da se molekula DNK vrti v kocko.

Uporaba v kristalografiji Platonova telesa se pogosto uporabljajo v kristalografiji, saj ima veliko kristalov obliko pravilnih poliedrov. Na primer, kocka je monokristal kuhinjske soli (NaCl), oktaeder je monokristal kalijevega galuna, ena od oblik diamantnih kristalov je oktaeder.

http:// www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02320031.htm http:// www.mnogogranniki.ru/stati/129-svojstva-platonovyh-tel.html stepanov.lk.net http:/ /www.goldenmuseum.com/0213Solids_rus.html