Predstavitev za lekcijo geometrije (10. razred) na temo: Elementi simetrije pravilnih poliedrov. Video lekcija "Elementi simetrije pravilnih poliedrov

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so zgolj informativne narave in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

Namen študija

Učence seznaniti z novo vrsto konveksnih poliedrov – pravilnimi poliedri.
Pokažite vpliv pravilni poliedri o nastanku filozofskih teorij in fantastičnih hipotez.
Pokažite povezavo med geometrijo in naravo.
Preučite elemente simetrije pravilnih poliedrov.

Predviden rezultat

Poznati definicijo pravilnih konveksnih poliedrov.
Biti sposoben dokazati, da obstaja samo pet vrst takih teles.
Znati opisati vsako vrsto pravilnih poliedrov.
Poznati Eulerjev izrek (brez dokaza).
Imeti koncept simetrije v prostoru (centralna, osna, zrcalna).
Spoznajte primere simetrij v svetu okoli sebe.
Poznajte elemente simetrije vsakega pravilnega poliedra.
Znati rešiti probleme pri iskanju elementov pravilnih poliedrov.

Učni načrt

Organiziranje časa.
Posodabljanje znanja.
Uvedba novega pojma študij pravilnih konveksnih poliedrov.
Pravilni poliedri v Platonovi filozofski sliki sveta (sporočilo študentov).
Eulerjeva formula ( raziskovanje razred).
Pravilni poliedri (sporočilo študentu).
Pravilni poliedri na slikah velikih umetnikov (sporočila učencev).
Pravilni poliedri in narava (sporočila učencev).
Elementi simetrije pravilnih poliedrov (sporočila študentom).
Reševanje problema.
Povzetek lekcije.
Domača naloga.

Oprema

Orodja za risanje.
Modeli poliedrov.
Reprodukcija slike S. Dalija "Zadnja večerja".
Računalnik, projektor.
Ilustracije za študentska sporočila:
- model sončnega sistema I. Keplerja;
- ikozaeder-dodekaeder zgradba zemlje;
- pravilni poliedri v naravi.

»Pravilnih poliedrov je zaskrbljujoče malo, a je ta zelo skromen
Številčno je odred lahko prodrl v same globine raznih ved«.
L. Carroll

Med poukom

Vklopljeno ta trenutekŽe imate idejo o takih poliedrih, kot sta prizma in piramida. V današnji lekciji imate priložnost znatno razširiti svoje znanje o poliedrih; spoznali boste tako imenovane pravilne konveksne poliedre. Nekaj pojmov že poznate – to so poliedri in konveksni poliedri. Spomnimo se jih.

Podajte definicijo poliedra.
Kateri polieder imenujemo konveksen?

Besedne zveze smo že uporabili " pravilne prizme" in "pravilne piramide". Izkazalo se je, da nova kombinacija znanih konceptov tvori popolnoma nov koncept z geometrijskega vidika. Katere konveksne poliedre bomo imenovali pravilni? Pozorno poslušajte definicijo.

Konveksni polieder se imenuje pravilen, če so njegove ploskve pravilni poliedri z enakim številom stranic in enakim številom robov, ki se stekajo v vsako oglišče poliedra.

Morda se zdi, da je drugi del definicije odveč in dovolj je reči, da se konveksni polieder imenuje pravilen, če so njegove ploskve pravilni poliedri z enakim številom stranic. Je to res dovolj?

Poglej polieder. (Demonstriran je model poliedra, ki ga dobimo iz dveh pravilnih tetraedrov, zlepljenih drug na drugega z eno ploskvijo). Pušča vtis pravilnega poliedra? ( ne!). Poglejmo njegove ploskve – pravilne trikotnike. Preštejmo število robov, ki konvergirajo v vsaki točki. Na nekaterih ogliščih se stikajo trije robovi, na drugih štirje. Drugi del definicije pravilnega konveksnega poliedra ni izpolnjen in obravnavani polieder dejansko ni pravilen. Torej, ko dajete definicijo, imejte v mislih oba dela.

Obstaja pet vrst pravilnih konveksnih poliedrov. Njihove ploskve so pravilni trikotniki, pravilni štirikotniki (kvadrati) in pravilni peterokotniki.

Dokažimo, da ne obstaja pravilni polieder, katerega ploskve so pravilni šesterokotniki, sedmerokotniki in na splošno n-kotniki za n 6.

Dejansko kot pravilnega n-kotnika pri n 6 ni manjši od 120 o (pojasnite zakaj). Po drugi strani pa morajo biti na vsakem oglišču poliedra vsaj trije ravni koti. Če bi torej obstajal pravilen polieder, katerega ploskve so pravilni n-kotniki z n 6, potem vsota ravnih kotov na vsakem oglišču takega poliedra ne bi bila manjša od 120 o * 3 = 360 o. . Toda to je nemogoče, saj je vsota vseh ravninskih kotov na vsakem oglišču konveksnega poliedra manjša od 360 stopinj.

Iz istega razloga je lahko vsako oglišče pravilnega poliedra oglišče treh, štirih ali petih enakostraničnih trikotnikov ali kvadratov ali treh pravilnih peterokotnikov. Drugih možnosti ni. V skladu s tem dobimo naslednje pravilne poliedre.

Imena teh poliedrov prihajajo iz stare Grčije in označujejo število obrazov:

"edra" - rob
"tetra" - 4
"hexa" - 6
"okta" - 8
"Ikosa" - 20
"dodeka" - 12

Zapomniti si morate imena teh poliedrov, biti sposobni opisati vsakega od njih in dokazati, da poleg petih naštetih ni drugih vrst pravilnih poliedrov.

Opozarjam na besede L. Carrolla, ki so epigraf današnje lekcije: "Zaskrbljujoče je malo pravilnih poliedrov, vendar je ta zelo skromna ekipa uspela priti v same globine različnih znanosti."

Znanstveniki nam bodo povedali, kako so pravilne poliedre uporabljali v svojih znanstvenih fantazijah:

Sporočilo "Pravilni poliedri v Platonovi filozofski sliki sveta"

Pravilni poliedri se včasih imenujejo platonska telesa, ker imajo vidno vlogo v filozofskem pogledu na svet, ki ga je razvil veliki mislec stare Grčije, Platon (okoli 428 - okoli 348 pr. n. št.).

Platon je verjel, da je svet zgrajen iz štirih "elementov" - ognja, zemlje, zraka in vode, atomi teh "elementov" pa imajo obliko štirih pravilnih poliedrov. Tetraeder je poosebljal ogenj, saj je njegov vrh obrnjen navzgor, kot plamteči plamen; ikozaeder - kot najbolj poenostavljena - voda; kocka je najstabilnejša figura - zemlja, oktaeder pa je zrak. V našem času lahko ta sistem primerjamo s štirimi stanji snovi - trdno, tekoče, plinasto in plamen. Peti polieder, dodekaeder, je simboliziral ves svet in je veljal za najpomembnejšega.

To je bil eden prvih poskusov uvedbe ideje o sistematizaciji v znanost.

učiteljica. In zdaj, od stare Grčije, pojdimo naprej v Evropo v 16. - 17. stoletju, ko je živel in delal čudoviti nemški astronom in matematik Johannes Kepler (1571 - 1630).

Sporočilo "Keplerjev pokal"

Slika 6. Model solarni sistem I. Kepler

Predstavljajmo si sebe na Keplerjevem mestu. Pred njim so različne tabele – stolpci številk. To so rezultati opazovanj gibanja planetov sončnega sistema - tako njegovih kot njegovih velikih predhodnikov - astronomov. V tem svetu računalniškega dela želi najti nekaj vzorcev. Johannes Kepler, za katerega so bili pravilni poliedri najljubši predmet proučevanja, je nakazal, da obstaja povezava med petimi pravilnimi poliedri in šestimi planeti sončnega sistema, ki so bili do takrat odkriti. Po tej predpostavki lahko v sfero Saturnove orbite vpišemo kocko, v katero

prilega orbitalni sferi Jupitra. Tetraeder, opisan blizu sfere Marsove orbite, se prilega vanjo. Dodekaeder se prilega sferi orbite Marsa, v katero se prilega sfera orbite Zemlje. In opisana je v bližini ikozaedra, v katerega je vpisana sfera orbite Venere. Krogla tega planeta je opisana okoli oktaedra, v katerega se prilega Merkurjeva krogla.

Ta model sončnega sistema (slika 6) so poimenovali Keplerjeva "kozmična skodelica". Znanstvenik je rezultate svojih izračunov objavil v knjigi "Skrivnost vesolja". Verjel je, da je skrivnost vesolja razkrita.

Znanstvenik je leto za letom izpopolnjeval svoja opažanja, dvakrat preverjal podatke svojih kolegov, a končno našel moč, da opusti mamljivo hipotezo. So pa njegove sledi vidne v tretjem Keplerjevem zakonu, ki govori o kubih povprečnih oddaljenosti od Sonca.

učiteljica. Danes lahko z gotovostjo trdimo, da razdalje med planeti in njihovo število nikakor niso povezani s poliedri. Zgradba sončnega sistema seveda ni naključna, a pravi razlogi, zakaj je zgrajen tako in ne drugače, še vedno niso znani. Keplerjeve ideje so se izkazale za zmotne, a brez hipotez, včasih najbolj nepričakovanih, na videz norih, znanost ne more obstajati.

Sporočilo "Ikozaedrično-dodekaedrična struktura Zemlje"

Slika 7. Ikozaedrično-dodekaedrična struktura Zemlje

Ideje Platona in Keplerja o povezavi pravilnih poliedrov s harmonično strukturo sveta v našem času so se nadaljevale v zanimivi znanstveni hipotezi, ki je v zgodnjih 80. sta izrazila moskovska inženirja V. Makarov in V. Morozov. Menijo, da ima jedro Zemlje obliko in lastnosti rastočega kristala, ki vpliva na razvoj vseh naravnih procesov, ki se dogajajo na planetu. Žarki tega kristala oziroma njegovo polje sil določajo strukturo Zemlje ikozaeder-dodekaeder (slika 7). Kaže se v tem, da zemeljska skorja kot projekcije vpisanih Zemlja pravilni poliedri: ikozaeder in dodekaeder.

Številna nahajališča mineralov se razprostirajo vzdolž mreže ikozaedra-dodekaedra; 62 oglišč in središč robov poliedrov, ki jih avtorji imenujejo vozlišča, ima številne specifične lastnosti, ki omogočajo razlago nekaterih nerazumljivih pojavov. Tukaj se nahajajo vroče točke starodavne kulture in civilizacije: Peru, Severna Mongolija, Haiti, obrska kultura in druge. Na teh točkah opazimo najvišji in najnižji atmosferski tlak ter velikanske vrtince Svetovnega oceana. Ta vozlišča vsebujejo Loch Ness in Bermudski trikotnik. Nadaljnje raziskave Zemlje lahko določijo svoj odnos do te znanstvene hipoteze, v kateri, kot je razvidno, zavzemajo pomembno mesto pravilni poliedri.

učiteljica. In zdaj preidimo od znanstvenih hipotez k znanstvenim dejstvom.

Raziskovalno delo "Eulerjeva formula"

Ko preučujemo poliedre, je najbolj naravno prešteti, koliko ploskev imajo, koliko robov in oglišč imajo. Izračunali bomo tudi število navedenih elementov Platonovih teles in rezultate vnesli v tabelo št.1.

Pri analizi tabele št. 1 se postavlja vprašanje: "Ali obstaja vzorec v naraščajočih številkah v vsakem stolpcu?" Očitno ne. Na primer, v stolpcu »obrazi« se zdi, da je vzorec viden (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), potem pa je predvideni vzorec kršen (8 + 2 12, 12 + 2 20) . V stolpcu "vrhovi" ni niti stabilnega povečanja.

Število oglišč se poveča (s 4 na 8, s 6 na 20) ali včasih zmanjša (z 8 na 6, z 20 na 12). V stolpcu "robovi" tudi ni vidnega vzorca.

Lahko pa upoštevate vsoto števil v dveh stolpcih, vsaj v stolpcih "robovi" in "točke" (G + V). Sestavljajmo nova tabela njihove izračune (glej tabelo št. 2). Zdaj lahko le »slepi« ne opazijo vzorcev. Formulirajmo to takole: "Vsota števila ploskev in oglišč je enaka številu robov, povečanih za 2," tj.

G + B = P + 2

Skupaj smo torej »odkrili« formulo, ki jo je leta 1640 opazil že Descartes, kasneje pa jo je ponovno odkril Euler (1752), čigar ime nosi od takrat. Eulerjeva formula velja za vse konveksne poliedre.

Zapomnite si to formulo, koristna vam bo pri reševanju nekaterih težav.

"Zadnja večerja" S. Dalija

Kiparji, arhitekti in umetniki so pokazali tudi veliko zanimanje za oblike pravilnih poliedrov. Vsi so bili presenečeni nad popolnostjo in harmonijo poliedrov. Leonardo da Vinci (1452 - 1519) se je zanimal za teorijo poliedrov in jih je pogosto upodabljal na svojih platnih. Na sliki "Zadnja večerja" je Salvador Dali upodobil Jezusa Kristusa s svojimi učenci na ozadju ogromnega prozornega dodekaedra.

Znanstveniki so precej dobro preučili pravilne konveksne poliedre; dokazano je, da obstaja samo pet vrst takšnih poliedrov, toda ali jih je izumil človek sam? Najverjetneje ne, "opazil" jih je iz narave.

Prisluhnimo sporočilu: "Pravilni poliedri in narava."

Sporočilo "Pravilni poliedri in narava"

Pravilne poliedre najdemo v živi naravi. Na primer, okostje enoceličnega organizma Feodaria ( Circjgjnia icosahtdra ) po obliki spominja na ikozaeder (slika 8).

Kaj je povzročilo to naravno geometrizacijo feodarije? Očitno ima ikozaeder največjo prostornino z najmanjšo površino zaradi vseh poliedrov z enakim številom ploskev. Ta lastnost pomaga morskemu organizmu pri premagovanju pritiska vodnega stolpca.

Pravilni poliedri so najugodnejše figure. In narava to izdatno izkorišča. To potrjuje oblika nekaterih kristalov. Vzemimo za primer kuhinjsko sol, brez katere ne moremo.

Znano je, da je topen v vodi in služi kot prevodnik električni tok. In kristali namizna sol(NaCl) so kockaste oblike. Pri proizvodnji aluminija se uporablja aluminijevo-kalijev kremen, katerega monokristal ima obliko pravilnega oktaedra. Proizvodnja žveplove kisline, železa in posebnih vrst cementa ni popolna brez piritnega žvepla (FeS). Kristali tega kemična snov imajo obliko dodekaedra.

Antimonov natrijev sulfat, snov, ki so jo sintetizirali znanstveniki, se uporablja v različnih kemičnih reakcijah. Kristal antimonovega natrijevega sulfata ima obliko tetraedra.

Zadnji pravilni polieder, ikozaeder, izraža obliko borovih kristalov (B). Nekoč je bil bor uporabljen za ustvarjanje polprevodnikov prve generacije.

učiteljica. Torej, zahvaljujoč pravilnim poliedrom, se ne razkrijejo samo neverjetne lastnosti geometrijske oblike, temveč tudi načine razumevanja naravne harmonije. Prisluhnimo sporočilu o simetriji pravilnih poliedrov.

Kljub temu se spet vračamo k izračunom.

Rešimo več problemov.

Naloga. Določite število ploskev, oglišč in robov poliedra, prikazanega na sliki 9. Preverite izvedljivost Eulerjeve formule za ta polieder.

Problem: št. 28.

Lekcija se bliža koncu, povzamemo.

S katerimi novimi? geometrijska telesa sva se srečala danes?
Zakaj je L. Carroll tako visoko cenil pomen teh poliedrov?

Doma: 3. odstavek, 32. odstavek, št. 274, 279. riž. 9

Literatura.

Azevič A.I. Dvajset lekcij harmonije: Tečaj humanistike in matematike. M.: Shkola-Press, 1998. (Knjižnica revije "Matematika v šoli". Številka 7).
Winniger. Modeli poliedrov. M., 1975.
Geometrija: Učbenik. za 10-11 razrede. Splošna izobrazba ustanove / L.S. Atanasjan, V.F. Butuzov, S.B. Kardomcev in drugi - 5. izd. - M.: Izobraževanje, 1997.
Grosman S., Turner J. Matematika za biologe. M., 1983.
Kovantsov N.I. Matematika in romantika. Kijev, 1976.
Smirnova I.M. V svetu poliedrov. M., 1990.
Šafranovski I.I. Simetrija v naravi. L., 1988.

PREPIS BESEDILA LEKCIJE:

Naše spoznavanje poliedrov se nadaljuje.

Spomnimo se, da se polieder imenuje pravilen, če so izpolnjeni naslednji pogoji:

1.konveksni polieder;

2. vse njene ploskve so enaki pravilni mnogokotniki;

3. enako število ploskev konvergira v vsakem njegovem oglišču;

4. vsi njegovi diedrski koti so enaki.

V prejšnjih lekcijah ste se naučili o edinstvenem obstoju petih vrst pravilnih poliedrov:

tetraeder, oktaeder, ikozaeder, heksaeder (kocka) in dodekaeder.

Danes si bomo ogledali elemente simetrije proučevanih pravilnih poliedrov.

Pravilni tetraeder nima središča simetrije.

Njegova simetrijska os je ravna črta, ki poteka skozi središča nasprotnih robov.

Simetrijska ravnina je ravnina, ki poteka skozi katerikoli rob, pravokoten na nasprotni rob.

Pravilni tetraeder ima tri simetrijske osi in šest simetrijskih ravnin.

Kocka ima eno središče simetrije - to je točka presečišča njenih diagonal.

Simetrijske osi so ravne črte, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev in središča dveh nasprotnih robov, ki ne pripadata isti ploskvi.

Kocka ima devet simetrijskih osi, ki potekajo skozi simetrijsko središče.

Ravnina, ki poteka skozi kateri koli dve simetrijski osi, je simetrijska ravnina.

Kocka ima devet simetrijskih ravnin.

Pravilni oktaeder ima središče simetrije - središče oktaedra, 9 simetrijskih osi in 9 simetrijskih ravnin: tri simetrijske osi gredo skozi nasprotna oglišča, šest skozi središča robov.

Središče simetrije oktaedra je točka presečišča njegovih simetrijskih osi.

Tri od 9 simetrijskih ravnin tetraedra potekajo skozi vsaka 4 oglišča oktaedra, ki ležijo v isti ravnini.

Skozi dve oglišči, ki ne pripadata isti ploskvi, in središči nasprotnih robov poteka šest simetrijskih ravnin.

Pravilni ikozaeder ima 12 oglišč. Ikozaeder ima središče simetrije - središče ikozaedra, 15 simetrijskih osi in 15 simetrijskih ravnin: Pet simetrijskih ravnin poteka skozi prvi par nasprotnih oglišč (vsaka od njih gre skozi rob, ki vsebuje oglišče, pravokotno na nasprotni kot).

Za tretji par dobimo 3 nova letala, za četrtega - dve letali in za peti par samo eno novo letalo.

Skozi šesti par oglišč ne bo šla niti ena nova simetrična ravnina.

Pravilni dodekaeder je sestavljen iz dvanajstih pravilnih petkotnikov. Dodekaeder ima središče simetrije - središče dodekaedra, 15 simetrijskih osi in 15 simetrijskih ravnin: simetrijske ravnine potekajo skozi rob, ki vsebuje oglišče, pravokotno na nasprotni rob. Zato gre 5 ravnin skozi prvi par nasprotnih petkotnikov, 4 skozi drugi par, 3 skozi tretje, 2 skozi četrto in 1 skozi peto.

Rešimo več nalog z uporabo pridobljenega znanja.

Dokaži, da so v pravilnem tetraedru segmenti, ki povezujejo središča njegovih ploskev, enaki.

Ker so vse ploskve pravilnega tetraedra enake in lahko katero koli od njih štejemo za osnovo, ostale tri pa za stranske ploskve, bo dovolj dokazati enakost odsekov OM in ON.

Dokaz:

1.Dodatna konstrukcija: narišimo premico DN do sekanja s stranico AC in dobimo točko F;

narišite premico DM, dokler se ne seka s stranico AB, dobimo točko E.

Nato povežite točko A s točko F;

oglišče C s točko E.

2. Upoštevajte trikotnika DEO in DOP, ki sta

pravokotne, saj DO je višina tetraedra, potem sta enaka po hipotenuzi in kraku: DO-skupaj, DE = DF (višine enakih ploskev tetraedra)).

Iz enakosti teh trikotnikov sledi OE=OF, ME=NF (razpolovišča enakih stranic),

kot DEO je enak kotu DFO.

3. Iz zgoraj dokazanega sledi, da sta trikotnika OEM in OFN enaka na obeh stranicah in kotu med njima (glej točko 2).

In iz enakosti teh trikotnikov sledi, da je OM = ON.

Q.E.D.

Ali obstaja štirikotna piramida, katere nasprotni stranici sta pravokotni na osnovo?

Dokažimo, da taka piramida ne obstaja s protislovjem.

Dokaz:

1. Naj bo rob PA1 pravokoten na osnovo piramide in rob PA2 prav tako pravokoten na osnovo.

2. Potem po izreku (dve premici, ki sta pravokotni na tretjo, sta vzporedni), dobimo, da je rob RA1 vzporeden z robom RA2.

3. Vendar ima piramida skupno točko za vse stranske robove (in s tem ploskve) - vrh piramide.

Dobili smo protislovje, torej ne obstaja štirikotna piramida, katere nasprotni strani sta pravokotni na osnovo.

V razdelku 12.1 smo pravilni polieder definirali kot polieder, v katerem so vsi elementi istega tipa med seboj enaki: ploskve, robovi itd. Toda pravilne poliedre lahko definiramo kot najbolj simetrične od vseh poliedrov. To pomeni naslednje. Če na pravilnem poliedru vzamemo določeno oglišče A, temu primeren rob in ploskev, primerno temu robu, in katero koli drugo podobno množico, potem obstaja taka samoporavnava poliedra,

ki vodi točko A v točko A, rob a v rob a, ploskev a v ploskev a.

Dokažimo. Ker sta katerikoli dve ploskvi pravilnega poliedra enaki, obstaja gibanje, ki eno od njiju spremeni v drugo. Ker so vsi diedrski koti tega poliedra enaki, se bo zaradi združevanja ploskev celoten polieder sam poravnal ali preoblikoval v polieder, ki je simetričen prvotnemu glede na ravnino druge ploskve. V drugem primeru bo simetrija glede na ravnino te ploskve dokončala proces samoporavnave pravilnega poliedra.

Velja tudi obratno: poliedri, ki imajo to lastnost, bodo pravilni, saj bodo vsi njihovi robovi, vsi ravninski koti in vsi diedrski koti enaki.

Oglejmo si zdaj elemente simetrije pravilnih poliedrov.

Začnimo z elementi simetrije kocke.

1. Središče simetrije je središče kocke.

2. Ravnine simetrije (sl. 12.17): 1) tri ravnine simetrije, pravokotne na rebra v njihovih središčih; 2) šest simetrijskih ravnin, ki potekajo skozi nasprotna robova.

3. Osi simetrije: 1) tri osi simetrije 4. reda, ki potekajo skozi središča nasprotnih ploskev (sl. 12.18a); 2) šest osi rotacijske simetrije 2. reda, ki poteka skozi sredine nasprotnih robov (sl. 12.186); 4) štiri diagonale kocke so osi zrcalne rotacije šestega reda, ki samoporavnajo kocko (slika 12.18c).

To je najbolj zanimiv in ne takoj viden element simetrije kocke. Presek kocke z ravnino, ki poteka skozi njeno središče pravokotno na diagonalo, predstavlja pravilni šesterokotnik; Ko kocko zavrtimo okoli diagonale pod kotom 60°, se šesterokotnik odbije vase, kocka kot celota pa se mora odbiti še v ravnini šesterokotnika.

Oktaeder je dualen kocki, zato ima enake elemente simetrije s to razliko, da potekajo simetrijske ravnine in osi, ki gredo skozi oglišča in središča ploskev kocke, pri oktaedru v nasprotni smeri: skozi središča ploskev in oglišč (slika 12.19). Torej, zrcalna os 6

red poteka skozi središča nasprotnih ploskev oktaedra.

Obrnimo se na elemente simetrije pravilnega tetraedra.

1. Šest simetrijskih ravnin, od katerih vsaka poteka skozi rob in sredino nasprotnega roba (sl. 12.20a).

2. Štiri osi 3. reda, ki potekajo skozi oglišča in središča ploskev, ki so jim nasproti, tj. skozi višine tetraedra (slika 12.20b).

3. Tri osi zrcalne rotacije 4. reda, ki potekajo skozi sredine nasprotnih reber (sl. 12.20c).

Tetraeder nima središča simetrije.

V kocko lahko sestavite dva pravilna tetraedra (slika 12.16). Pri samoporavnavah kock so ti tetraedri poravnani sami ali preslikani drug na drugega. Ugotovite, pri katerih samoporavnavah kocke se tetraedri sami poravnajo in pri katerih se preslikajo drug na drugega.

Prepričajte se, da prvi primer ustvari vse samoporavnave tetraedra, tako da skupina simetrije kocke vključuje skupino simetrije kocke kot podskupino. (Glej klavzulo 28.4).

Simetrični skupini dodekaedra in ikozaedra sta enaki, saj sta ti pravilni poliedri dualni

drug drugega. Imajo središče simetrije, simetrijske ravnine, osi rotacijske simetrije in osi zrcalne rotacijske simetrije. Zadnje od teh elementov simetrije je najtežje najti. Pokazali vam bomo, kako jih zgraditi.

Osi zrcalne rotacijske simetrije v ikozaedru (kot tudi v kocki) povezujejo nasprotni točki tega poliedra (sl. 12.21), v dodekaedru (kot v oktaedru) pa gredo te osi skozi središča njihovih vzporednih ploskev. (Slika 12.22). Ravnine, ki potekajo skozi središča simetrije pravilnih poliedrov in so pravokotne na označene osi, sekajo pravilne poliedre vzdolž pravilnih mnogokotnikov (sl. 12.23).

Še posebej sekata dodekaeder in ikozaeder vzdolž pravilnih deseterokotnikov (sl. 12.23 d,e). Iz zgoraj navedenega sledi, da sta ikozaeder in dodekaeder samoporavnana z zrcalnimi rotacijami glede na osi šestega in desetega reda.

Sami poiščite enostavnejša elementa simetrije ikozaedra in dodekaedra - simetrijske ravnine in rotacijsko simetrijsko os.

Glavno zanimanje za pravilne poliedre je velika številka simetrije, ki jo imajo. S simetrijo (ali transformacijo simetrije) poliedra razumemo njegovo gibanje kot trdna v prostoru (npr. rotacija okoli določene premice, odboj glede na določeno ravnino ipd.), zaradi česar ostanejo množice oglišč, robov in ploskev poliedra nespremenjene. Z drugimi besedami, pod delovanjem transformacije simetrije oglišče, rob ali ploskev bodisi ohrani svoj prvotni položaj ali pa se prenese na začetni položaj drugega oglišča, drugega roba ali druge ploskve. Obstaja ena simetrija, ki je skupna vsem poliedrom. Gre za identična transformacija, pri čemer pusti katero koli točko v prvotnem položaju. Manj trivialen primer simetrije srečamo v primeru ravne pravilne p-gonalne prizme.

Pravilni poligoni so primeri razsežnosti simetrije ravninskih likov. Primeri simetrije prostorskih likov so pravilne prizme in piramide: poravnajo se same s seboj, na primer z vrtenjem okoli osi, ki je pravokotna na ravnino baze in poteka skozi njeno središče.

Simetrijo bomo razumeli v splošnem smislu, kot je opredeljena na začetku in kot jo razumemo zlasti, ko govorimo o simetriji kristalov. V tem primeru vsilitev figure samemu sebi imenujemo transformacije simetrije.

Izrek. Razmislite o danem pravilnem poliedru P. Naj bo A njegovo oglišče, a rob s koncem A in ploskev s stranico a. Za vse druge podobne elemente A", a", a" pride do vsiljevanja poliedra P samega sebe, ki preoblikuje A" v A, a" v a, a" v a.

Dokaz

S translacijo poliedra bomo oglišče A" preoblikovali v A. Z vrtenjem poliedra okoli A bomo preneseni rob a" prevedli v a. Z vrtenjem poliedra okrog roba a bomo (preneseno in zasukano) ploskev a" sovpadli s ploskvijo a. Ker sta ploskvi enaki, bo ploskev a" popolnoma poravnana z a.

Ker sta diedrična kota enaka, sta za ploskvi p in p" sosednji na a in a" samo dve možnosti: 1) p" sovpada s p; 2) p" ne sovpada s p, vendar bo p simetričen glede na ravnino obraza A. V tem primeru bomo z refleksijo v tej ravnini pretvorili P" v p.

Tako smo s superponiranjem celotnega poliedra P združili oglišče A" z A, rob a" z a, ploskve a", p", sosednje vzdolž roba a", s ploskvami a, p, sosednje vzdolž rob a.

Poskrbimo, da se v tem primeru izkaže, da je polieder združen sam s seboj. Dve ploskvi poliedrskega kota pri oglišču A sovpadata (a" z a, p" s p). Preidimo na ploskvi y in y", ki mejita na p. Diedrski koti, ki ju tvorita s p, sta enaki in se nahajata na isti strani - na isti strani kot ploskev a. Zato ploskev y" sovpada z y. Pazimo torej, da poliedrski koti pri točki A sovpadajo. Ko se premaknemo na drugo oglišče, ki je z robom povezano z A, se podobno prepričamo, da na tem oglišču poliedrski koti sovpadajo. In tako, ko gremo skozi celoten polieder, se bomo prepričali, da sovpada sam s seboj, kar smo morali dokazati. ?

Lastnost pravilnih poliedrov, ugotovljena z dokazanim izrekom, pomeni, da imajo tako rekoč največjo možno simetrijo. Superpozicija, kombinacija poliedra s samim seboj, neizogibno združuje neko oglišče A" z A, rob a" z a, ploskev a" z a in sosednjo ploskev p" s p. Prekrivanje je s tem popolnoma definirano, je samo eno. Zato bo največje število možnih prekrivanj takrat, ko bo vsako zbirko A, a, a, p mogoče prevesti v vsako. In to velja za pravilne poliedre, očitno velja tudi obratno. Če ima polieder tako največjo simetrijo, potem je pravilen (ker je rob a združen z a), kot na ploskvi a" pri oglišču A je združen z enakim kotom in diedrski kot med a" in p 4 "je kombiniran s kotom med a in r. - torej so vsi robovi in koti enaki). Število prekrivanj, ki združuje pravilni polieder s samim seboj, je enako 2, kjer je m število robov, ki se stekajo v enem oglišču, e pa število oglišč; to so vsiljevanja prve vrste in to so vsiljevanja druge vrste. Tvorijo simetrično skupino pravilnega poliedra. Simetrični skupini kocke in oktaedra zaradi dvojnosti sovpadata. Sovpadata tudi simetrični skupini dodekaedra in ikozaedra. Skupina tetraedrov je podskupina skupine kock, kot je razvidno iz možnosti vdelave tetraedra v kocko (slika 1.5, a). Najbolj zanimivi elementi simetrije so zrcalne osi: 4. reda za tetraeder, 6. reda za kocko, 10. reda za dodekaeder (slika 1.5b). Prepričajte se, da je temu tako, tako da določite položaj teh osi. Simetrijske osi in simetrijske ravnine kocke so prikazane na sl. 1,5 v, g.

1 .5 Podobnost poliedrov

Dva poliedra imenujemo podobna, če obstaja podobnostna transformacija, ki vodi enega poliedra v drugega.

Podobni poliedri imajo enake poliedrske kote in s tem podobne ploskve. Ustrezni elementi podobnih poliedrov se imenujejo podobni. Pri podobnih poliedrih so diedrski koti enaki in enako razmaknjeni, podobni robovi pa so sorazmerni.

Poleg tega veljajo naslednji izreki:

Izrek 1. Če narišete sečno ravnino v piramidi vzporedno z osnovo, potem bo od nje odrezala piramido, podobno tej.

Izrek 2. Ploščine podobnih poliedrov so povezane kot kvadrati, njihove prostornine pa kot kubi podobnih linearnih elementov poliedrov.

Radiji, površine in prostornine

Z vsakim pravilnim poliedrom so povezane tri koncentrične krogle:
Okrožena krogla, ki poteka skozi oglišča poliedra;
Srednja krogla, ki se dotika vsakega od svojih robov na sredini;
Včrtana krogla, ki se vsaka od svojih ploskev dotika v središču.

Polmeri obrobljene () in včrtane () krogle so podani s formulami:

kjer je θ diedrski kot med sosednjima ploskvama poliedra. Polmer srednje krogle je podan s formulo:

kjer je h zgoraj opisana vrednost pri določanju diedrskih kotov (h = 4, 6, 6, 10 ali 10). Razmerje med opisanimi in včrtanimi polmeri je simetrično glede na p in q:

Površina S pravilnega poliedra (p, q) se izračuna kot površina pravilnega p-kotnika, pomnožena s številom ploskev Г:

Prostornino pravilnega poliedra izračunamo tako, da prostornino pravilne piramide pomnožimo s številom ploskev, katerih osnova je pravilni p-kotnik, višina pa polmer včrtane krogle r:

Zgodba.

Pravilni poliedri so znani že od antičnih časov. Njihove okrasne vzorce je mogoče najti na izklesanih kamnitih kroglah, ustvarjenih v obdobju poznega neolitika na Škotskem, vsaj 1000 let pred Platonom. V kockah, s katerimi so se ljudje igrali ob zori civilizacije, je že mogoče razbrati oblike pravilnih poliedrov.Pravilne poliedre so v veliki meri preučevali stari Grki. Nekateri viri (kot je Proclus Diadochos) pripisujejo čast njihovega odkritja Pitagori. Drugi trdijo, da je poznal le tetraeder, kocko in dodekaeder, čast odkritja oktaedra in ikozaedra pa pripada Teetetu iz Aten, Platonovemu sodobniku. Vsekakor je Teetet podal matematični opis vseh petih pravilnih poliedrov in prvi znani dokaz, da jih je natanko pet.
Pravilni poliedri so značilni za Platonovo filozofijo, v čigar čast so bila imenovana "Platonova telesa". O njih je pisal Platon v svoji razpravi Timaeus (360 pr. n. št.), kjer je vsakega od štirih elementov (zemljo, zrak, vodo in ogenj) primerjal z določenim pravilnim poliedrom. Zemljo so primerjali s kocko, zrak z oktaedrom, vodo z ikozaedrom in ogenj s tetraedrom. Za nastanek teh asociacij je bilo naslednjih razlogov: toploto ognja čutimo jasno in ostro (kot majhni tetraedri); zrak je sestavljen iz oktaedrov: njegovi najmanjši deli so tako gladki, da jih je komaj mogoče otipati; voda teče, ko ga vzameš v roko, kot bi bil sestavljen iz številnih majhnih kroglic (ki so jim ikozaedri najbližji); V nasprotju z vodo sestavljajo popolnoma nesferične kocke zemljo, zaradi česar se zemlja drobi v rokah, v nasprotju z gladkim tokom vode. V zvezi s petim elementom, dodekaedrom, je Platon podal nejasno pripombo: "... Bog ga je določil za vesolje in se zatekel k njemu kot modelu." Aristotel je dodal peti element, eter, in domneval, da so nebesa narejena iz tega elementa, vendar ga ni primerjal s Platonovim petim elementom. Evklid je podal popoln matematični opis pravilnih poliedrov v zadnji, XIII knjigi Elementov. Predpostavke 13-17 te knjige opisujejo strukturo tetraedra, oktaedra, kocke, ikozaedra in dodekaedra v v tem vrstnem redu. Za vsak polieder je Evklid našel razmerje med premerom opisane krogle in dolžino roba. Trditev 18 pravi, da drugih pravilnih poliedrov ni. Andreas Speiser je zagovarjal stališče, da je bila konstrukcija petih pravilnih poliedrov glavni cilj deduktivnega sistema geometrije, kot so ga ustvarili Grki in ga kanonizirali v Evklidovih Elementih. Veliko število podatki iz knjige XIII Elementov so morda vzeti iz Teetetovih del.V 16. stoletju je nemški astronom Johannes Kepler poskušal najti povezavo med petimi takrat znanimi planeti sončnega sistema (razen Zemlje) in pravilnimi poliedri. V Skrivnosti sveta, objavljeni leta 1596, je Kepler orisal svoj model sončnega sistema. V njem je bilo pet pravilnih poliedrov postavljenih drug v drugega in ločenih z nizom včrtanih in obrobljenih krogel. Vsaka od šestih sfer je ustrezala enemu od planetov (Merkur, Venera, Zemlja, Mars, Jupiter in Saturn). Poliedri so bili razvrščeni v naslednjem vrstnem redu (od notranjega proti zunanjemu): oktaeder, sledijo mu ikozaeder, dodekaeder, tetraeder in na koncu kocka. Tako so strukturo Osončja in razmerje med razdaljami med planeti določili pravilni poliedri. Kasneje od izvirna ideja Keplerja so morali opustiti, rezultat njegovega iskanja pa je bilo odkritje dveh zakonov orbitalne dinamike - Keplerjevih zakonov - ki sta spremenila potek fizike in astronomije, pa tudi pravilnih zvezdastih poliedrov (Kepler-Poinsotova telesa).