Enačba toka v nihajnem krogu. Nihajni krog. Prosta elektromagnetna nihanja. Pretvorba energije v nihajnem krogu. Thompsonova formula
Električna nihanja pomenijo periodične spremembe naboja, toka in napetosti. Najenostavnejši sistem, v katerem so možna prosta električna nihanja, je tako imenovani nihajni krog. To je naprava, sestavljena iz kondenzatorja in tuljave, povezanih med seboj. Predpostavili bomo, da aktivnega upora tuljave ni, v tem primeru se vezje imenuje idealno. Ko je v ta sistem dovedena energija, nedušena harmonične vibracije naboj na kondenzatorju, napetost in tok.
Oscilacijskemu krogu lahko posredujete energijo različne poti. Na primer s polnjenjem kondenzatorja iz vira enosmernega toka ali vzbujanjem toka v induktorju. V prvem primeru ima energijo električno polje med ploščama kondenzatorja. V drugem je energija vsebovana v magnetnem polju toka, ki teče skozi vezje.
§1 Enačba nihanj v krogu
Dokažimo, da se ob dovajanju energije vezju v njem pojavijo nedušena harmonična nihanja. Če želite to narediti, morate dobiti diferencialna enačba harmonične vibracije oblike.
Recimo, da je kondenzator napolnjen in v kratkem stiku s tuljavo. Kondenzator se bo začel prazniti in skozi tuljavo bo stekel tok. Po drugem Kirchhoffovem zakonu je vsota padcev napetosti vzdolž zaprtega vezja enaka vsoti emf v tem vezju 
.
V našem primeru je padec napetosti zato, ker je vezje idealno. Kondenzator v vezju se obnaša kot vir toka; potencialna razlika med ploščama kondenzatorja deluje kot EMF, kjer je naboj na kondenzatorju in je električna kapacitivnost kondenzatorja. Poleg tega, ko skozi tuljavo teče spremenljiv tok, a Samoinducirana emf, kjer je induktivnost tuljave, je hitrost spremembe toka v tuljavi. Ker samoindukcijska emf preprečuje proces praznjenja kondenzatorja, ima Kirchhoffov drugi zakon obliko
Toda tok v vezju je torej praznjenje ali polnilni tok kondenzatorja. Potem
Diferencialna enačba se pretvori v obliko
Z uvedbo zapisa dobimo znano diferencialno enačbo harmoničnih nihanj.
To pomeni, da se bo naboj na kondenzatorju v nihajnem krogu spreminjal po harmoničnem zakonu
kjer je največja vrednost naboja na kondenzatorju, je ciklična frekvenca, je začetna faza nihanj.
Obdobje nihanja naboja 
. Ta izraz se imenuje Thompsonova formula.
Napetost kondenzatorja
Tok tokokroga
Vidimo, da se bosta poleg naboja na kondenzatorju po harmoničnem zakonu spreminjala tudi tok v vezju in napetost na kondenzatorju. Napetost niha v fazi z nabojem, jakost toka pa vodi naboj
faza vklopljena.
Energija električno polje kondenzator
Energija magnetno polje trenutno
Tako se tudi energija električnega in magnetnega polja spreminjata po harmoničnem zakonu, vendar z dvojno frekvenco.
Povzemite
Električna nihanja je treba razumeti kot periodične spremembe naboja, napetosti, toka, energije električnega polja in energije magnetnega polja. Te vibracije so, tako kot mehanske, lahko proste ali vsiljene, harmonične in neharmonične. V idealnem nihajnem krogu so možna prosta harmonična električna nihanja.
§2 Procesi, ki se pojavljajo v oscilacijskem krogu
Matematično smo dokazali obstoj prostih harmoničnih nihanj v nihajnem krogu. Vendar ostaja nejasno, zakaj je tak proces mogoč. Kaj povzroča nihanje v vezju?
V primeru prostih mehanskih vibracij je bil najden tak razlog - to je notranja sila, ki nastane, ko se sistem odstrani iz ravnotežnega položaja. Ta sila je v vsakem trenutku usmerjena proti ravnovesnemu položaju in je sorazmerna s koordinato telesa (s predznakom minus). Poskusimo najti podoben razlog za nastanek nihanj v nihajnem krogu.
Pustite, da se nihanja v vezju vzbujajo tako, da napolnite kondenzator in ga sklenete na tuljavo.
V začetnem trenutku je naboj na kondenzatorju največji. Posledično sta tudi napetost in energija električnega polja kondenzatorja največji.
V tokokrogu ni toka, energija magnetnega polja toka je enaka nič.
Prva četrtina obdobja– praznjenje kondenzatorja.
Plošče kondenzatorja, ki imajo različne potenciale, so povezane z vodnikom, tako da se kondenzator začne prazniti skozi tuljavo. Naboj, napetost na kondenzatorju in energija električnega polja se zmanjšajo.
Tok, ki se pojavi v tokokrogu, se poveča, vendar njegovo povečanje prepreči samoindukcijska emf, ki se pojavi v tuljavi. Energija magnetnega polja toka se poveča.
Četrtina obdobja je minila- kondenzator je izpraznjen.
Kondenzator se je izpraznil, napetost na njem je postala enaka nič. Tudi energija električnega polja je v tem trenutku enaka nič. Po zakonu o ohranitvi energije ne bi mogla izginiti. Energija polja kondenzatorja se popolnoma pretvori v energijo magnetnega polja tuljave, ki v tem trenutku doseže največjo vrednost. Največji tok v tokokrogu.
Zdi se, da bi se moral tok v tokokrogu v tem trenutku ustaviti, ker je vzrok toka - električno polje - izginil. Vendar pa izginotje toka spet prepreči samoindukcijska emf v tuljavi. Zdaj bo podpiral padajoči tok in bo še naprej tekel v isti smeri ter polnil kondenzator. Začne se druga četrtina obdobja.
Druga četrtina obdobja
– ponovno polnjenje kondenzatorja.
Tok, podprt s samoindukcijsko emf, še naprej teče v isti smeri in se postopoma zmanjšuje. Ta tok polni kondenzator v nasprotni polarnosti. Naboj in napetost na kondenzatorju se povečata.
Energija magnetnega polja toka, ki se zmanjšuje, se spremeni v energijo električnega polja kondenzatorja.
Druga četrtina obdobja je minila - kondenzator se je ponovno napolnil.
Kondenzator se polni, dokler obstaja tok. Zato v trenutku, ko se tok ustavi, naboj in napetost na kondenzatorju prevzameta največjo vrednost.
Energija magnetnega polja se je v tem trenutku popolnoma pretvorila v energijo električnega polja kondenzatorja.
Stanje v tokokrogu je v tem trenutku enakovredno prvotnemu. Procesi v vezju se bodo ponovili, vendar v nasprotni smeri. Eno popolno nihanje v vezju, ki traja nekaj časa, se konča, ko se sistem vrne v prvotno stanje, to je, ko se kondenzator ponovno napolni v prvotni polarnosti.
Lahko vidimo, da je vzrok za nihanje v tokokrogu pojav samoindukcije. EMF samoindukcije preprečuje spreminjanje toka: preprečuje, da bi se takoj povečal in takoj izginil.
Mimogrede, ne bi bilo odveč primerjati izrazov za izračun kvazielastične sile v mehanskem nihajnem sistemu in samoindukcijske emf v vezju:
Prej so bile pridobljene diferencialne enačbe za mehanske in električne nihajne sisteme:
Kljub temeljnim razlikam v fizikalnih procesih mehanskih in električnih nihajnih sistemov je jasno razvidna matematična istovetnost enačb, ki opisujejo procese v teh sistemih. O tem bi morali govoriti podrobneje.
§3 Analogija med električnimi in mehanskimi vibracijami
Natančna analiza diferencialnih enačb za vzmetno nihalo in nihajni krog ter formul, ki povezujejo količine, ki označujejo procese v teh sistemih, nam omogoča, da ugotovimo, katere količine se obnašajo enako (tabela 2).
| Vzmetno nihalo | Nihajni krog |
| telesna koordinata () | Naboj na kondenzatorju () |
| Hitrost telesa | Jakost toka v vezju |
| Potencialna energija elastično deformirane vzmeti | Energija električnega polja kondenzatorja |
| Kinetična energija tovora | Energija magnetnega polja tokovne tuljave |
| Recipročna vrednost togosti vzmeti | Kapaciteta kondenzatorja |
| Teža tovora | Induktivnost tuljave |
Elastična sila  | EMF samoindukcije je enaka napetosti na kondenzatorju  |
tabela 2
Pomembna ni le formalna podobnost med količinami, ki opisujejo procese nihanja nihala in procese v tokokrogu. Sami procesi so enaki!
Skrajni položaji nihala so enakovredni stanju vezja, ko je naboj na kondenzatorju največji.
Ravnotežni položaj nihala je enakovreden stanju vezja, ko je kondenzator izpraznjen. V tem trenutku elastična sila postane nič in na kondenzatorju v vezju ni napetosti. Hitrost nihala in tok v krogu sta največja. Potencialna energija elastične deformacije vzmeti in energija električnega polja kondenzatorja sta enaki nič. Energijo sistema sestavlja kinetična energija bremena ali energija magnetnega polja toka.
Praznjenje kondenzatorja poteka podobno kot premikanje nihala iz skrajnega položaja v ravnotežni položaj. Postopek ponovnega polnjenja kondenzatorja je enak postopku odstranjevanja bremena iz ravnotežnega položaja v skrajni položaj.
Celotna energija nihajnega sistema 
oz 
ostane skozi čas nespremenjena.
Podobno analogijo lahko zasledimo ne le med vzmetnim nihalom in nihajnim krogom. Univerzalni zakoni prostih vibracij katere koli narave! Ti vzorci, ponazorjeni na primeru dveh nihajnih sistemov (vzmetnega nihala in nihajnega kroga), niso samo možni, ampak moraš videti v nihanjih katerega koli sistema.
Načeloma je mogoče rešiti problem katerega koli nihajnega procesa tako, da ga nadomestimo z nihanjem nihala. Če želite to narediti, je dovolj, da kompetentno konstruirate enakovreden mehanski sistem, rešite mehanski problem in nadomestite količine v končnem rezultatu. Na primer, morate najti obdobje nihanja v vezju, ki vsebuje kondenzator in dve vzporedno povezani tuljavi.
Nihajni krog vsebuje en kondenzator in dve tuljavi. Ker se tuljava obnaša kot teža vzmetnega nihala, kondenzator pa kot vzmet, mora enakovredni mehanski sistem vsebovati eno vzmet in dve uteži. Težava je v tem, kako so uteži pritrjene na vzmet. Možna sta dva primera: en konec vzmeti je pritrjen, ena utež pa je pritrjena na prosti konec, druga je na prvem ali pa so uteži pritrjene na različni konci vzmeti.
Če tuljave različnih induktivnosti povežemo vzporedno, skozi njih tečejo različni tokovi. Posledično morajo biti tudi hitrosti bremen v enakem mehanskem sistemu različne. Očitno je to mogoče le v drugem primeru.
Periodo tega nihajnega sistema smo že našli. Je enaka 
. Če nadomestimo mase bremen z induktivnostjo tuljav in recipročno togost vzmeti s kapacitivnostjo kondenzatorja, dobimo 
.
§4 Nihajni krog z virom enosmernega toka
Razmislite o oscilacijskem krogu, ki vsebuje vir enosmernega toka. Naj bo kondenzator na začetku prazen. Kaj se bo zgodilo v sistemu po zaprtju ključa K? Ali bodo v tem primeru opazna nihanja in kakšna je njihova frekvenca in amplituda?
Očitno se bo po zapiranju ključa kondenzator začel polniti. Zapišemo drugi Kirchhoffov zakon:
Tok v vezju je torej polnilni tok kondenzatorja. Potem. Diferencialna enačba se pretvori v obliko
*Enačbo rešimo s spreminjanjem spremenljivk.
Označimo . Dvakrat diferenciramo in ob upoštevanju dejstva, da dobimo . Diferencialna enačba ima obliko
To je diferencialna enačba harmoničnih nihanj, njena rešitev je funkcija
kjer je ciklična frekvenca, integracijske konstante in se najdejo iz začetnih pogojev.
Naboj na kondenzatorju se spreminja po zakonu
Takoj po zapiranju ključa je naboj na kondenzatorju enak nič in v tokokrogu ni toka 
. Ob upoštevanju začetnih pogojev dobimo sistem enačb:
Z reševanjem sistema dobimo in . Po zaprtju ključa se naboj na kondenzatorju spremeni po zakonu.
Preprosto je videti, da se v vezju pojavljajo harmonična nihanja. Prisotnost vira enosmernega toka v vezju ni vplivala na frekvenco nihanja, ostala je enaka. "Ravnotežni položaj" se je spremenil - v trenutku, ko je tok v tokokrogu največji, se kondenzator napolni. Amplituda nihanja naboja na kondenzatorju je enaka Cε.
Isti rezultat lahko dobimo preprosteje z uporabo analogije med nihanji v krogu in nihanji vzmetnega nihala. Vir enosmernega toka je enakovreden enosmernemu toku zaščitno polje, v katerem je nameščeno vzmetno nihalo, na primer gravitacijsko polje. Odsotnost naboja na kondenzatorju v trenutku, ko je tokokrog sklenjen, je enaka odsotnosti deformacije vzmeti v trenutku, ko se nihalo začne nihati.
V stalnem polju sil se nihajna doba vzmetnega nihala ne spremeni. Nihajna doba v tokokrogu se obnaša enako - ostane nespremenjena, ko v tokokrog vnesemo vir enosmernega toka.
V ravnotežnem položaju, ko je hitrost bremena največja, se vzmet deformira:
Ko je tok v nihajnem krogu največji 
. Drugi Kirchhoffov zakon bo zapisan takole
V tem trenutku je naboj na kondenzatorju enak. Enak rezultat bi lahko dobili na podlagi izraza (*) z zamenjavo
§5 Primeri reševanja problemov
Problem 1 Zakon o ohranjanju energije
L= 0,5 µH in kondenzator s kapaciteto Z= 20 pF pride do električnih nihanj. Kolikšna je največja napetost na kondenzatorju, če je amplituda toka v tokokrogu 1 mA? Aktivni upor tuljave je zanemarljiv.
rešitev:
(1)
2 V trenutku, ko je napetost na kondenzatorju največja (največji naboj na kondenzatorju), v tokokrogu ni toka. Celotno energijo sistema sestavlja samo energija električnega polja kondenzatorja
(2)
3 V trenutku, ko je tok v tokokrogu največji, je kondenzator popolnoma izpraznjen. Celotna energija sistema je sestavljena le iz energije magnetnega polja tuljave
(3)
4 Na podlagi izrazov (1), (2), (3) dobimo enakost 
. Največja napetost na kondenzatorju je
Problem 2 Zakon o ohranjanju energije
V nihajnem krogu, sestavljenem iz induktivne tuljave L in kondenzator s kapaciteto Z, električna nihanja se pojavljajo s periodo T = 1 μs. Največja vrednost polnjenja 
. Kolikšen je tok v tokokrogu v trenutku, ko je naboj na kondenzatorju enak? Aktivni upor tuljave je zanemarljiv.
rešitev:
1 Ker lahko aktivni upor tuljave zanemarimo, ostane celotna energija sistema, ki jo sestavljata energija električnega polja kondenzatorja in energija magnetnega polja tuljave, skozi čas nespremenjena:
(1)
2 V trenutku, ko je naboj na kondenzatorju največji, v vezju ni toka. Celotno energijo sistema sestavlja samo energija električnega polja kondenzatorja
(2)
3 Na podlagi (1) in (2) dobimo enakost 
. Tok v tokokrogu je 
.
4 Perioda nihanja v vezju je določena s Thomsonovo formulo. Od tod. Potem za tok v vezju dobimo
Problem 3 Nihajni krog z dvema vzporedno vezanima kondenzatorjema
V nihajnem krogu, sestavljenem iz induktivne tuljave L in kondenzator s kapaciteto Z, električna nihanja se pojavljajo z amplitudo naboja. V trenutku, ko je naboj na kondenzatorju največji, se sklene stikalo K. Kakšna bo nihajna doba v vezju po sklenitvi ključa? Kolikšna je amplituda toka v tokokrogu po sklenitvi stikala? Zanemarimo ohmski upor vezja.
rešitev:
1 Zapiranje ključa vodi do pojava drugega kondenzatorja v tokokrogu, ki je povezan vzporedno s prvim. Skupna kapacitivnost dveh vzporedno vezanih kondenzatorjev je enaka.
Perioda nihanj v tokokrogu je odvisna samo od njegovih parametrov in ni odvisna od tega, kako so bila nihanja vzburjena v sistemu in kakšna energija je bila sistemu za to posredovana. Po Thomsonovi formuli.
2 Da bi našli trenutno amplitudo, ugotovimo, kateri procesi se pojavijo v tokokrogu po zaprtju stikala.
Drugi kondenzator je bil priključen v trenutku, ko je bil naboj na prvem kondenzatorju največji, zato v vezju ni bilo toka.
Kondenzator zanke bi se moral začeti prazniti. Razelektritveni tok, ki doseže vozlišče, je treba razdeliti na dva dela. Vendar pa v veji s tuljavo nastane samoindukcijska EMF, ki preprečuje povečanje toka praznjenja. Zaradi tega bo celoten razelektritveni tok stekel v vejo s kondenzatorjem, katerega ohmski upor je enak nič. Tok se bo ustavil takoj, ko bosta napetosti na kondenzatorjih enaki, začetni naboj na kondenzatorju pa se bo prerazporedil med oba kondenzatorja. Čas prerazporeditve naboja med dvema kondenzatorjema je zaradi odsotnosti ohmskega upora v vejah s kondenzatorjema zanemarljiv. V tem času tok v veji s tuljavo ne bo imel časa za nastanek. Nihanja v nov sistem se bo nadaljevalo po prerazporeditvi naboja med kondenzatorji.
Pomembno je razumeti, da se v procesu prerazporeditve naboja med dvema kondenzatorjema energija sistema ne ohranja! Preden je bil ključ zaprt, je en kondenzator, vezje enega, imel energijo:
Po prerazporeditvi naboja ima kondenzatorska banka energijo:
Preprosto je videti, da se je energija sistema zmanjšala!
3 Novo amplitudo toka poiščemo z uporabo zakona o ohranitvi energije. Med procesom nihanja se energija kondenzatorske baterije pretvori v energijo magnetnega polja toka:
Upoštevajte, da zakon o ohranjanju energije začne "delovati" šele, ko je prerazporeditev naboja med kondenzatorji končana.
Problem 4 Nihajni krog z dvema zaporedno vezanima kondenzatorjema
Nihajni krog je sestavljen iz tuljave induktivnosti L in dveh zaporedno vezanih kondenzatorjev C in 4C. Kondenzator s kapaciteto C je nabit do napetosti, kondenzator s kapaciteto 4C ni nabit. Ko je ključ zaprt, se v tokokrogu začnejo nihanja. Kakšna je doba teh nihanj? Določite trenutno amplitudo, največje in najmanjše vrednosti napetosti na vsakem kondenzatorju.
rešitev:
1 V trenutku, ko je tok v tokokrogu največji, v tuljavi ni samoinduktivne emf 
. Za ta trenutek zapišemo drugi Kirchhoffov zakon
Vidimo, da so v trenutku, ko je tok v tokokrogu največji, kondenzatorji napolnjeni z enako napetostjo, vendar v nasprotni polarnosti:
2 Pred zapiranjem stikala je celotno energijo sistema sestavljala samo energija električnega polja kondenzatorja C:
V trenutku, ko je tok v tokokrogu največji, je energija sistema vsota energije magnetnega polja toka in energije dveh kondenzatorjev, napolnjenih z isto napetostjo:
Po zakonu o ohranitvi energije
Za iskanje napetosti na kondenzatorjih bomo uporabili zakon o ohranitvi naboja - naboj spodnje plošče kondenzatorja C se delno prenese na zgornjo ploščo kondenzatorja 4C:
Najdeno vrednost napetosti nadomestimo z zakonom o ohranjanju energije in poiščemo amplitudo toka v vezju:
3 Poiščimo meje, v katerih se med nihanjem spreminja napetost na kondenzatorjih.
Jasno je, da je bila v trenutku, ko je bilo vezje zaprto, na kondenzatorju C največja napetost. Kondenzator 4C torej ni bil napolnjen.
Po zaprtju ključa se začne kondenzator C prazniti, kondenzator s kapaciteto 4C pa se začne polniti. Postopek praznjenja prvega in polnjenja drugega kondenzatorja se konča takoj, ko se tok v vezju ustavi. To se bo zgodilo po polovici obdobja. Po zakonih o ohranitvi energije in električnega naboja:
Pri reševanju sistema najdemo:
.
Znak minus pomeni, da je po polovici cikla kondenzator C napolnjen v nasprotni polarnosti od prvotne.
Problem 5 Nihajni krog z dvema zaporedno povezanima tuljavama
Nihajni krog je sestavljen iz kondenzatorja s kapacitivnostjo C in dveh tuljav induktivnosti L 1 in L 2. V trenutku, ko je tok v tokokrogu dosegel največjo vrednost, se v prvo tuljavo hitro vnese železno jedro (v primerjavi z obdobjem nihanja), kar povzroči povečanje njegove induktivnosti za μ-krat. Kakšna je amplituda napetosti med nadaljnjimi nihanji v vezju?
rešitev:
1 Ko je jedro hitro vstavljeno v tuljavo, je treba ohraniti magnetni pretok (pojav elektromagnetna indukcija). Zato bo hitra sprememba induktivnosti ene od tuljav povzročila hitra sprememba tok v vezju.
2 V času, ko je bilo jedro vstavljeno v tuljavo, se naboj na kondenzatorju ni imel časa spremeniti; ostal je nenapolnjen (jedro je bilo uvedeno v trenutku, ko je bil tok v vezju največji). Po četrtini obdobja se bo energija magnetnega polja toka pretvorila v energijo nabitega kondenzatorja:
V nastali izraz nadomestimo trenutno vrednost jaz in poiščite amplitudo napetosti na kondenzatorju:
Problem 6 Nihajni krog z dvema vzporedno vezanima tuljavama
Induktorja L 1 in L 2 sta preko stikal K1 in K2 povezana s kondenzatorjem s kapacitivnostjo C. V začetnem trenutku sta obe stikali odprti, kondenzator pa je nabit do potencialne razlike. Najprej je stikalo K1 zaprto in, ko napetost na kondenzatorju postane nič, je K2 zaprto. Določite največjo napetost na kondenzatorju po zaprtju K2. Zanemarite upor tuljave.
rešitev:
1 Ko je stikalo K2 odprto, pride do nihanja v krogu, ki ga sestavljata kondenzator in prva tuljava. Ko se K2 zapre, je energija kondenzatorja prešla v energijo magnetnega polja toka v prvi tuljavi:
2 Po zaprtju K2 sta v nihajnem krogu vzporedno povezani dve tuljavi.
Tok v prvi tuljavi se ne more ustaviti zaradi pojava samoindukcije. Na vozlišču je razdeljen: en del toka gre v drugo tuljavo, drugi pa napolni kondenzator.
3 Napetost na kondenzatorju bo največja, ko se tok ustavi jaz, polnilni kondenzator. Očitno bodo v tem trenutku tokovi v tuljavah enaki.
:Nihalo se premika naprej s hitrostjo središča mase 
in niha glede na središče mase.
Prožnostna sila je največja v trenutku največje deformacije vzmeti. Očitno je, da v tem trenutku relativna hitrost bremen postane nič, uteži pa se glede na mizo premikajo s hitrostjo središča mase. Zapišemo zakon o ohranitvi energije:
Reševanje sistema, najdemo
Naredimo zamenjavo
in dobimo predhodno najdeno vrednost za maksimalno napetost 
§6 Naloge za samostojno reševanje
1. naloga Izračun periode in frekvence lastnih nihanj
1 Nihajno vezje vključuje spremenljivo indukcijsko tuljavo, ki se znotraj spreminja L 1= 0,5 µH do L 2= 10 µH in kondenzator, katerega kapacitivnost se lahko spreminja od C 1= 10 pF do
C 2=500 pF. Katero frekvenčno območje je mogoče pokriti z uglasitvijo tega vezja?
2 Kolikokrat se bo spremenila frekvenca lastnih nihanj v tokokrogu, če mu induktivnost povečamo za 10-krat, kapacitivnost pa zmanjšamo za 2,5-krat?
3 Nihajni krog s kondenzatorjem 1 µF je uglašen na frekvenco 400 Hz. Če vzporedno z njim povežete drugi kondenzator, postane frekvenca nihanja v vezju enaka 200 Hz. Določite kapacitivnost drugega kondenzatorja.
4 Nihajni krog sestavljata tuljava in kondenzator. Kolikokrat se bo spremenila frekvenca lastnih nihanj v tokokrogu, če v tokokrog zaporedno povežemo drugi kondenzator, katerega kapacitivnost je 3-krat manjša od kapacitivnosti prvega?
5 Določite obdobje nihanja vezja, ki vključuje tuljavo (brez jedra) dolžine V= 50 cm m površina prečnega prereza
S= 3 cm 2, ki ima n= 1000 obratov in kapaciteto kondenzatorja Z= 0,5 µF.
6 Nihajno vezje vključuje induktor L= 1,0 µH in zračni kondenzator, katerega površina plošče S= 100 cm 2. Vezje je uglašeno na frekvenco 30 MHz. Določite razdaljo med ploščami. Aktivni upor vezja je zanemarljiv.
Napolnite kondenzator iz baterije in ga povežite s tuljavo. V konturi, ki smo jo ustvarili, je elektromagnetne vibracije(slika 46). Razelektritveni tok kondenzatorja, ki poteka skozi tuljavo, ustvari okoli njega magnetno polje. To pomeni, da se med praznjenjem kondenzatorja energija njegovega električnega polja pretvori v energijo magnetnega polja tuljave, tako kot se pri nihanju nihala ali vrvice potencialna energija spremeni v kinetično.
Ko se kondenzator prazni, napetost na njegovih ploščah pade in tok v tokokrogu se poveča, in do trenutka, ko se kondenzator popolnoma izprazni, bo tok največji (trenutna amplituda). Toda tudi po koncu praznjenja kondenzatorja se tok ne bo ustavil - padajoče magnetno polje tuljave bo ohranilo gibanje nabojev in spet se bodo začele kopičiti na ploščah kondenzatorja. V tem primeru se tok v vezju zmanjša, napetost na kondenzatorju pa se poveča. Ta proces obratnega prehoda energije magnetnega polja tuljave v energijo električnega polja kondenzatorja nekoliko spominja na to, kar se zgodi, ko se nihalo, ki prečka sredino, dvigne navzgor.
Ko se tok v vezju ustavi in magnetno polje tuljave izgine, bo kondenzator napolnjen do največje (amplitude) napetosti obratne polarnosti. Slednje pomeni, da bodo na plošči, kjer so bili prej pozitivni naboji, sedaj negativni in obratno. Zato, ko se ponovno začne praznjenje kondenzatorja (in to se bo zgodilo takoj po tem, ko je popolnoma napolnjen), bo v vezju tekel tok v nasprotni smeri.
Občasno ponavljajoča se izmenjava energije med kondenzatorjem in tuljavo predstavlja elektromagnetna nihanja v vezju. Med temi nihanji v tokokrogu teče izmenični tok (to pomeni, da se ne spremeni samo velikost, ampak tudi smer toka), na kondenzator pa deluje izmenična napetost (to pomeni, da se ne spremeni le velikost napetosti, ampak tudi polarnost nabojev, ki se kopičijo na ploščah). Ena od smeri trenutne napetosti se običajno imenuje pozitivna, nasprotna smer pa negativna.
Z opazovanjem sprememb napetosti ali toka lahko zgradite graf elektromagnetnih nihanj v vezju (slika 46), tako kot smo zgradili graf mehanskih nihanj nihala (). Na grafu so vrednosti pozitivnega toka ali napetosti narisane nad vodoravno osjo, negativni tokovi ali napetosti pa so narisane pod to osjo. Tista polovica obdobja, ko tok teče v pozitivni smeri, se pogosto imenuje pozitivni pol-cikel toka, druga polovica pa negativni pol-cikel toka. Prav tako lahko govorimo o pozitivnih in negativnih polciklih napetosti.
Še enkrat poudarjam, da besedi "pozitivno" in "negativno" uporabljamo povsem pogojno, le da ločimo dve nasprotni smeri toka.
Elektromagnetna nihanja, ki smo jih spoznali, imenujemo prosta ali naravna nihanja. Pojavijo se, ko prenesemo določeno količino energije v tokokrog, nato pa kondenzatorju in tuljavi omogočimo prosto izmenjavo te energije. Frekvenca prostega nihanja (to je frekvenca izmenične napetosti in toka v vezju) je odvisna od tega, kako hitro lahko kondenzator in tuljava shranita in sprostita energijo. Ta pa je odvisna od induktivnosti Lk in kapacitivnosti Ck vezja, tako kot je frekvenca nihanja strune odvisna od njene mase in elastičnosti. Večja kot je induktivnost L tuljave, več časa je potrebnih, da se v njej ustvari magnetno polje, in dlje lahko to magnetno polje vzdržuje tok v vezju. Večja kot je kapacitivnost C kondenzatorja, dlje bo trajalo izpraznitev in dlje bo trajalo, da se ta kondenzator ponovno napolni. Torej, več kot je Lk in Ck vezja, počasneje se v njem pojavljajo elektromagnetna nihanja, nižja je njihova frekvenca. Odvisnost frekvence f o prostih nihanj od L to in C to vezja izrazimo s preprosto formulo, ki je ena od osnovnih formul radijske tehnike:
Pomen te formule je izjemno preprost: da bi povečali frekvenco lastnih nihanj f 0, morate zmanjšati induktivnost L k ali kapacitivnost C k vezja; za zmanjšanje f 0 je treba povečati induktivnost in kapacitivnost (slika 47).
Iz formule za frekvenco lahko enostavno izpeljemo (to smo storili že s formulo Ohmovega zakona) računske formule za določitev enega od parametrov vezja L k ali C k pri dani frekvenci f0 in znanem drugem parametru. Formule, primerne za praktične izračune, so podane na listih 73, 74 in 75.
Prosta elektromagnetna nihanja To so periodične spremembe naboja na kondenzatorju, tok v tuljavi, pa tudi električna in magnetna polja v nihajnem krogu, ki nastanejo pod vplivom notranjih sil.
Neprekinjena elektromagnetna nihanja
Za vzbujanje elektromagnetnih nihanj se uporablja nihajni krog , sestavljen iz zaporedno povezane tuljave L in kondenzatorja s kapacitivnostjo C (slika 17.1).
Oglejmo si idealno vezje, to je vezje, katerega ohmski upor je nič (R=0). Za vzbujanje nihanj v tem vezju je potrebno bodisi dati določen naboj kondenzatorskim ploščam bodisi vzbuditi tok v induktorju. Naj se v začetnem trenutku kondenzator napolni do potencialne razlike U (sl. (sl. 17.2, a), zato ima potencialno energijo 
.V tem trenutku je tok v tuljavi I = 0 .
To stanje nihajnega kroga je podobno stanju matematičnega nihala, odklonjenega za kot α (slika 17.3, a). V tem času je tok v tuljavi I=0. Po priključitvi nabitega kondenzatorja na tuljavo se bodo prosti elektroni v tokokrogu pod vplivom električnega polja, ki ga ustvarijo naboji na kondenzatorju, začeli premikati iz negativno nabite plošče kondenzatorja na pozitivno nabito. Kondenzator se bo začel prazniti in v vezju se bo pojavil naraščajoči tok. Izmenično magnetno polje tega toka bo ustvarilo električni vrtinec. To električno polje bo usmerjeno nasproti toku in mu zato ne bo omogočilo, da bi takoj dosegel svojo največjo vrednost. Tok se bo postopoma povečeval. Ko sila v vezju doseže največjo vrednost, sta naboj na kondenzatorju in napetost med ploščama enaka nič. To se bo zgodilo po četrtini obdobja t = π/4. Hkrati se energija e 
električno polje se spremeni v energijo magnetnega poljaW e =1/2C U 2 0. V tem trenutku bo nanj na pozitivno nabiti plošči kondenzatorja prenesenih toliko elektronov, da njihov negativni naboj popolnoma nevtralizira pozitivni naboj tam prisotnih ionov. Tok v vezju se bo začel zmanjševati in indukcija magnetnega polja, ki ga ustvarja, se bo začela zmanjševati. Spreminjajoče se magnetno polje bo ponovno ustvarilo električni vrtinec, ki bo tokrat usmerjen v isto smer kot tok. Tok, ki ga podpira to polje, bo tekel v isto smer in postopoma ponovno napolnil kondenzator. Ko pa se na kondenzatorju kopiči naboj, bo njegovo lastno električno polje vedno bolj zaviralo gibanje elektronov in tok v tokokrogu bo postajal vedno manjši. Ko tok pade na nič, bo kondenzator popolnoma prenapolnjen.
Stanja sistema, prikazana na sl. 17.2 in 17.3 ustrezata zaporednim trenutkom v času T
= 0;
;
;
in T.
Samoinduktivni emf, ki nastane v tokokrogu, je enak napetosti na ploščah kondenzatorja: ε = U
in 
Verjeti 
, dobimo
(17.1)
Formula (17.1) je podobna diferencialni enačbi harmoničnih vibracij, obravnavanih v mehaniki; njegova odločitev bo
q = q max sin(ω 0 t+φ 0) (17.2)
kjer je q max največji (začetni) naboj na ploščah kondenzatorja, ω 0 je krožna frekvenca lastnih nihanj vezja, φ 0 je začetna faza.
Glede na sprejeto notacijo, 
kje
(17.3)
Izraz (17.3) se imenuje Thomsonova formula in kaže, da ko je R = 0, je obdobje elektromagnetnih nihanj, ki nastanejo v vezju, določeno samo z vrednostmi induktivnosti L in kapacitivnosti C.
Po harmoničnem zakonu se ne spremeni le naboj na kondenzatorskih ploščah, temveč tudi napetost in tok v vezju:
kjer sta U m in I m amplitudi napetosti in toka.
Iz izrazov (17.2), (17.4), (17.5) sledi, da so nihanja naboja (napetosti) in toka v vezju fazno zamaknjena za π/2. Posledično tok doseže največjo vrednost v tistih trenutkih, ko je naboj (napetost) na ploščah kondenzatorja enak nič, in obratno.
Ko je kondenzator napolnjen, se med njegovimi ploščami pojavi električno polje, katerega energija
oz 
Ko se kondenzator izprazni na induktor, se v njem pojavi magnetno polje, katerega energija
V idealnem vezju je največja energija električnega polja enaka največji energiji magnetnega polja:
Energija nabitega kondenzatorja se skozi čas periodično spreminja po zakonu
oz 
Glede na to 
, dobimo
Energija magnetnega polja solenoida se s časom spreminja po zakonu
(17.6)
Glede na to, da I m =q m ω 0, dobimo
(17.7)
Celotna energija elektromagnetnega polja nihajnega kroga je enaka
W = W e + W m = (17,8)
V idealnem vezju se skupna energija ohrani in elektromagnetna nihanja niso dušena.
Dušena elektromagnetna nihanja
Pravi nihajni krog ima ohmski upor, zato so nihanja v njem dušena. Glede na to vezje zapišemo Ohmov zakon za celotno vezje v obliki
(17.9)
Preoblikovanje te enakosti:
in izvedba zamenjave:
in 
, kjer dobimo β-koeficient dušenja
(17.10) - to diferencialna enačba dušenih elektromagnetnih nihanj
.
Proces prostih nihanj v takem vezju ne sledi več harmoničnemu zakonu. Za vsako obdobje nihanja se del elektromagnetne energije, shranjene v vezju, pretvori v Joulovo toploto in nihanja postanejo bledenje(slika 17.5). Pri majhnih dušenjih ω ≈ ω 0 bo rešitev diferencialne enačbe enačba oblike
(17.11)
Dušena nihanja v električnem tokokrogu so podobna dušenim mehanskim nihanjem bremena na vzmeti ob prisotnosti viskoznega trenja.
Logaritemski dekrement dušenja je enak
(17.12)
Časovni interval 
med katerim se amplituda nihanj zmanjša za e ≈ 2,7-krat, se imenuje čas razpadanja
.
Faktor kakovosti Q nihajnega sistema določeno s formulo:
(17.13)
Za vezje RLC je faktor kakovosti Q izražen s formulo
(17.14)
Faktor kakovosti električnih tokokrogov, ki se uporabljajo v radijski tehniki, je običajno reda velikosti nekaj deset ali celo stotin.
1. Nihajni krog.
2 Enačba nihajnega kroga
3. Proste vibracije v tokokrogu
4. Prosta dušena nihanja v vezju
5. Prisiljena električna nihanja.
6. Resonanca v zaporednem vezju
7. Resonanca v vzporednem krogu
8. Izmenični tok
1. 5.1. Nihajni krog.
Ugotovimo, kako nastajajo in vzdržujejo električna nihanja v nihajnem krogu.
Naj najprej Zgornja plošča kondenzatorja je pozitivno nabita ,in spodnji je negativen(slika 11.1, A).
V tem primeru je vsa energija nihajnega kroga koncentrirana v kondenzatorju.
Zaprimo ključ ZA.. Kondenzator se bo začel prazniti in skozi tuljavo L bo tekel tok. Električna energija kondenzatorja se bo začela pretvarjati v magnetno energijo tuljave. Ta proces se konča, ko se kondenzator popolnoma izprazni in tok v tokokrogu doseže svoj maksimum (slika 11.1, b).
Od tega trenutka se bo tok, ne da bi spremenil smer, začel zmanjševati. Vendar se ne bo takoj ustavilo – podprlo ga bo npr. d.s. samoindukcija. Tok bo ponovno napolnil kondenzator in nastalo bo električno polje, ki bo tok oslabilo. Končno se bo tok ustavil in naboj na kondenzatorju bo dosegel svoj maksimum.
Od tega trenutka se bo kondenzator ponovno začel prazniti, tok bo tekel v nasprotni smeri itd. - postopek se bo ponovil
V vezju v odsotnosti odpornosti vodniki bodo izvedeni strogo periodična nihanja. Med postopkom se občasno spreminjajo naboj na ploščah kondenzatorja, napetost na njem in tok skozi tuljavo.
Oscilacije spremljajo medsebojne transformacije energije električnega in magnetnega polja.
Če upornost vodnikov 
, potem bo poleg opisanega procesa prišlo do pretvorbe elektromagnetne energije v Joulovo toploto.
Odpornost prevodnika tokokrogaR navadno imenovaniaktivni odpor.
1.5.2. Enačba nihajnega kroga
Poiščimo enačbo nihanja v krogu, v katerem je zaporedno vezan kondenzator Z, induktor L,
aktivni odpor R
in zunanja spremenljivka e. d.s. 
(slika 1.5.1).
Izberimo pozitivni smeri prečkanja vezja, na primer v smeri urinega kazalca.
Označimo skozi q naboj tiste plošče kondenzatorja, smer od katere do druge plošče sovpada z izbrano pozitivno smerjo obvoda vezja.
Potem je tok v tokokrogu določen kot 
(1)
Zato, če jaz > Oh, to je to dq > 0 in obratno (znak jaz se ujema z znakom dq).
Po Ohmovem zakonu za odsek vezja 1 R.L.2
.
(2),
Kje 
- uh. d.s. samoindukcija.
V našem primeru 
(znak q
mora ustrezati predznaku razlike 
, Ker C > 0).
Zato lahko enačbo (2) prepišemo kot 
ali ob upoštevanju (1) as 
Tako je enačba nihajnega kroga
- linearna diferencialna nehomogena enačba drugega reda s konstantnimi koeficienti. Iskanje s to enačbo q(t),
zlahka izračunamo napetost na kondenzatorju 
in jakost toka I- po formuli (1).
Enačbo nihajnega kroga lahko damo v drugačni obliki:
(5)
kjer je notacija uvedena
.
(6)
Velikost 
- klical naravna frekvenca kontura,
β - koeficient slabljenja.
Če je ξ = 0, se navadno kličejo nihanja prost.
- pri R = Oh, bodo nedušen,
- pri R ≠0 - prigušen.
Razmislite o naslednjem oscilacijskem krogu. Predvidevamo, da je njegov upor R tako majhen, da ga lahko zanemarimo.
Celotna elektromagnetna energija nihajnega kroga bo kadar koli enaka vsoti energije kondenzatorja in energije magnetnega polja toka. Za izračun bo uporabljena naslednja formula:
W = L*i^2/2 + q^2/(2*C).
Celotna elektromagnetna energija se s časom ne bo spremenila, saj ni izgube energije zaradi upora. Čeprav se bodo njegove komponente spreminjale, bo njihov seštevek vedno enak. To zagotavlja zakon o ohranitvi energije.
Iz tega lahko dobimo enačbe, ki opisujejo prosta nihanja v električnem nihajnem krogu. Enačba bo videti takole:
q"' = -(1/(L*C))*q.
Enako enačbo do notacije dobimo pri opisu mehanskih vibracij. Ob upoštevanju analogije med temi vrstami nihanj lahko zapišemo formulo, ki opisuje elektromagnetna nihanja.
Frekvenca in perioda elektromagnetnih nihanj
Najprej pa poglejmo frekvenco in periodo elektromagnetnih nihanj. Vrednost frekvence naravnih tresljajev lahko spet dobimo iz analogije z mehanskimi nihanji. Koeficient k/m bo enak kvadratu lastne frekvence nihanja.
Zato je v našem primeru kvadrat frekvence prosta nihanja bodo enaka 1/(L*C)
ω0 = 1/√(L*C).
Od tod obdobje proste vibracije:
T = 2*pi/ω0 = 2*pi*√(L*C).
Ta formula se imenuje Thompsonove formule. Iz tega sledi, da se nihajna doba povečuje z večanjem kapacitivnosti kondenzatorja ali induktivnosti tuljave. Ti sklepi so logični, saj se s povečanjem kapacitivnosti poveča čas, porabljen za polnjenje kondenzatorja, s povečanjem induktivnosti pa se bo moč toka v vezju povečala počasneje zaradi samoindukcije.
Enačba nihanja naboja kondenzator je opisan z naslednjo formulo:
q = qm*cos(ω0*t), kjer je qm amplituda nihanja naboja kondenzatorja.
Moč toka v tokokrogu nihajnega kroga bo prav tako izvajala harmonična nihanja:
I = q’= Im*cos(ω0*t+pi/2).
Tu je Im amplituda tokovnih nihanj. Upoštevajte, da je med nihanjem naboja in jakostjo toka razlika v vazah enaka pi/2.
Spodnja slika prikazuje grafe teh nihanj.
Spet po analogiji z mehanskimi vibracijami, kjer so nihanja hitrosti telesa pred nihanji koordinat tega telesa za pi/2.
V realnih razmerah upora nihajnega kroga ni mogoče zanemariti, zato bodo nihanja dušena.
Pri zelo visokem uporu R se nihanja morda sploh ne začnejo. V tem primeru se energija kondenzatorja sprosti v obliki toplote na uporu.