Listahan ng mga logarithms na may madaling fractional na solusyon. Logarithm. Mga katangian ng logarithm (pagdaragdag at pagbabawas)

Ang mga logarithms, tulad ng anumang numero, ay maaaring idagdag, ibawas at i-convert sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit dahil ang logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, may mga panuntunan dito, na tinatawag pangunahing katangian.

Dapat malaman ang mga patakarang ito - walang seryosong problema sa logarithmic ang malulutas kung wala ang mga ito. Bilang karagdagan, napakakaunti sa kanila - lahat ay maaaring matutunan sa isang araw. Kaya simulan na natin.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at mag-log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

log a x+log a y= log a (x · y);
log a x−log a y= log a (x : y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Tandaan: mahalagang sandali dito - parehong batayan. Kung ang mga base ay naiiba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Tutulungan ka ng mga formula na ito na kalkulahin ang logarithmic expression kahit na hindi isinasaalang-alang ang mga indibidwal na bahagi nito (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, ito ay lumalabas normal na mga numero. Batay sa katotohanang ito, marami mga test paper. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain. Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Madaling makita iyon huling tuntunin sumusunod sa unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x> 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:
[caption ng figure]

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:

[caption ng figure]

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator. Iniharap nila ang base at ang argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log 2 7. Dahil log 2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Sa pagsasalita tungkol sa mga patakaran para sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga logarithms, partikular kong binigyang-diin na gumagana lamang ang mga ito sa parehong mga base. Paano kung magkaiba ang mga base? Paano kung hindi sila eksaktong mga kapangyarihan ng parehong bilang?

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaan itong ibigay logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang numero c ganyan c> 0 at c≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:
[caption ng figure]
Sa partikular, kung ilalagay natin c = x, nakukuha namin:
[caption ng figure]

Ito ay sumusunod mula sa pangalawang pormula na posible na palitan ang base at ang argumento ng logarithm, ngunit sa kasong ito ang buong expression ay "ibinalik", i.e. ang logarithm ay nasa denominator.

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa karaniwan mga numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nagpapasya logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

[caption ng figure]

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

[caption ng figure]

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

[caption ng figure]

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n nagiging exponent ng argumento. Numero n maaaring maging ganap na anuman, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Iyon ang tawag dito: basic pagkakakilanlan ng logarithmic.

Sa katunayan, kung ano ang mangyayari kung ang numero b itaas sa kapangyarihan upang b sa lawak na ito ay nagbibigay ng isang numero a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:
[caption ng figure]

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Ibinigay ang mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan sa parehong base, nakukuha natin ang:

[caption ng figure]

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa pagsusulit :)

Logarithmic unit at logarithmic zero

Sa konklusyon, magbibigay ako ng dalawang pagkakakilanlan na mahirap tawagan ang mga katangian - sa halip, ito ay mga kahihinatnan mula sa kahulugan ng logarithm. Ang mga ito ay patuloy na matatagpuan sa mga problema at, nakakagulat, lumikha ng mga problema kahit para sa "advanced" na mga mag-aaral.

log a a Ang = 1 ay ang logarithmic unit. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na ito mismo ay katumbas ng isa.
log a 1 = 0 ay logarithmic zero. Base a maaaring maging anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! kasi a Ang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

pangunahing katangian.

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

parehong batayan

log6 4 + log6 9.

Ngayon pasimplehin natin ng kaunti ang gawain.

Mga halimbawa ng paglutas ng logarithms

Paano kung may degree sa base o argumento ng logarithm? Kung gayon ang exponent ng degree na ito ay maaaring alisin sa sign ng logarithm ayon sa mga sumusunod na patakaran:

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x >

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tingnan din:

Mga pangunahing katangian ng logarithm

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

4. saan .

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Halimbawa 3. Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Kaya, ang kabuuan ng logarithm ay katumbas ng logarithm ng produkto, at ang pagkakaiba ay ang logarithm ng quotient. Mangyaring tandaan: ang pangunahing punto dito ay - parehong batayan. Kung ang mga base ay naiiba, ang mga patakarang ito ay hindi gagana!

Ang mga formula na ito ay makakatulong sa pagkalkula ng logarithmic expression kahit na ang mga indibidwal na bahagi nito ay hindi isinasaalang-alang (tingnan ang aralin na "Ano ang logarithm"). Tingnan ang mga halimbawa at tingnan:

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Tulad ng nakikita mo, ang orihinal na mga expression ay binubuo ng "masamang" logarithms, na hindi isinasaalang-alang nang hiwalay. Ngunit pagkatapos ng mga pagbabago, medyo normal na mga numero ang lumabas. Maraming pagsubok ang nakabatay sa katotohanang ito. Oo, ang kontrol - mga katulad na expression sa lahat ng kabigatan (minsan - na halos walang pagbabago) ay inaalok sa pagsusulit.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Madaling makita na ang huling panuntunan ay sumusunod sa kanilang unang dalawa. Ngunit ito ay mas mahusay na tandaan ito pa rin - sa ilang mga kaso ito ay makabuluhang bawasan ang halaga ng mga kalkulasyon.

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo. Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Sa tingin ko ang huling halimbawa ay nangangailangan ng paglilinaw. Saan napunta ang logarithms? Hanggang sa pinakahuling sandali, nagtatrabaho lamang kami sa denominator.

Mga formula ng logarithms. Ang logarithms ay mga halimbawa ng mga solusyon.

Iniharap nila ang base at ang argumento ng logarithm na nakatayo doon sa anyo ng mga degree at kinuha ang mga tagapagpahiwatig - nakakuha sila ng isang "tatlong-kuwento" na bahagi.

Ngayon tingnan natin ang pangunahing bahagi. Ang numerator at denominator ay may parehong numero: log2 7. Dahil ang log2 7 ≠ 0, maaari nating bawasan ang fraction - 2/4 ay mananatili sa denominator. Ayon sa mga patakaran ng aritmetika, ang apat ay maaaring ilipat sa numerator, na ginawa. Ang resulta ay ang sagot: 2.

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Ang mga formula na ito ay bihirang makita sa mga ordinaryong numerical expression. Posibleng suriin kung gaano kaginhawa ang mga ito kapag nilulutas ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay.

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Sa katunayan, ano ang mangyayari kung ang bilang b ay itataas sa isang antas na ang bilang b sa antas na ito ay nagbibigay ng bilang a? Tama: ito ang parehong numero a. Basahin muli ang talatang ito nang mabuti - maraming tao ang "nakabitin" dito.

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log25 64 = log5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Tingnan din:

Ang logarithm ng numero b hanggang sa base a ay nagsasaad ng expression. Upang kalkulahin ang logarithm ay nangangahulugang makahanap ng gayong kapangyarihan x () kung saan totoo ang pagkakapantay-pantay

Mga pangunahing katangian ng logarithm

Ang mga katangian sa itaas ay kailangang malaman, dahil, sa kanilang batayan, halos lahat ng mga problema at mga halimbawa ay nalutas batay sa logarithms. Ang natitirang mga kakaibang katangian ay maaaring makuha sa pamamagitan ng matematikal na pagmamanipula gamit ang mga formula na ito

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kapag kinakalkula ang mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng logarithms (3.4) ay madalas na nakatagpo. Ang natitira ay medyo kumplikado, ngunit sa isang bilang ng mga gawain sila ay kailangang-kailangan para sa pagpapasimple ng mga kumplikadong expression at pagkalkula ng kanilang mga halaga.

Mga karaniwang kaso ng logarithms

Ang ilan sa mga karaniwang logarithms ay ang mga kung saan ang base ay kahit sampu, exponential o deuce.
Ang batayang sampung logarithm ay karaniwang tinatawag na batayang sampung logarithm at ito ay simpleng tinutukoy na lg(x).

Makikita sa tala na ang mga pangunahing kaalaman ay hindi nakasulat sa talaan. Halimbawa

Ang natural na logarithm ay ang logarithm na ang batayan ay ang exponent (tinutukoy na ln(x)).

Ang exponent ay 2.718281828…. Upang matandaan ang exponent, maaari mong pag-aralan ang panuntunan: ang exponent ay 2.7 at dalawang beses sa taon ng kapanganakan ni Leo Tolstoy. Ang pag-alam sa panuntunang ito, malalaman mo ang eksaktong halaga ng exponent at ang petsa ng kapanganakan ni Leo Tolstoy.

At isa pang mahalagang base two logarithm ay

Ang derivative ng logarithm ng function ay katumbas ng isang hinati sa variable

Ang integral o antiderivative logarithm ay tinutukoy ng dependence

Ang materyal sa itaas ay sapat na para sa iyo upang malutas ang isang malawak na klase ng mga problema na may kaugnayan sa logarithms at logarithms. Upang matutuhan ang materyal, magbibigay lamang ako ng ilang karaniwang mga halimbawa mula sa kurikulum ng paaralan at mga unibersidad.

Mga halimbawa para sa logarithms

Kunin ang logarithm ng mga expression

Halimbawa 1
A). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Sa pamamagitan ng mga katangian 3,5 kinakalkula namin

2.
Sa pamamagitan ng pagkakaiba ng ari-arian ng logarithms, mayroon tayo

3.
Gamit ang mga katangian 3.5 nahanap namin

4. saan .

Ang isang tila kumplikadong expression gamit ang isang serye ng mga panuntunan ay pinasimple sa form

Paghahanap ng mga Halaga ng Logarithm

Halimbawa 2 Hanapin ang x kung

Solusyon. Para sa pagkalkula, inilalapat namin ang mga katangian 5 at 13 hanggang sa huling termino

Palitan sa talaan at magluksa

Dahil ang mga base ay pantay, tinutumbasan namin ang mga expression

Logarithms. Unang antas.

Hayaang ibigay ang halaga ng logarithms

Kalkulahin ang log(x) kung

Solusyon: Kunin ang logarithm ng variable upang isulat ang logarithm sa pamamagitan ng kabuuan ng mga termino

Ito ay simula pa lamang ng pagkilala sa mga logarithms at mga katangian nito. Magsanay ng mga kalkulasyon, pagyamanin ang iyong mga praktikal na kasanayan - malapit mo nang kailanganin ang nakuhang kaalaman upang malutas ang mga logarithmic equation. Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation, palalawakin namin ang iyong kaalaman para sa isa pang pantay na mahalagang paksa - logarithmic inequalities ...

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: logax at logay. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

logax + logay = log(x y);
logax − logay = log(x: y).

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log6 4 + log6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log2 48 − log2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log3 135 − log3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log7 496.

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 24; 49 = 72. Mayroon kaming:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm logax. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log5 16 log2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base. Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

logaa = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
ang log 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang a0 = 1 ay direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

hango sa kahulugan nito. At kaya ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan A tinukoy bilang exponent kung saan dapat itaas ang isang numero a para makuha ang numero b(ang logarithm ay umiiral lamang para sa mga positibong numero).

Mula sa pagbabalangkas na ito ay sumusunod na ang pagkalkula x=log a b, ay katumbas ng paglutas ng equation ax=b. Halimbawa, log 2 8 = 3 kasi 8 = 2 3 . Ang pagbabalangkas ng logarithm ay ginagawang posible na bigyang-katwiran na kung b=a c, pagkatapos ay ang logarithm ng numero b sa pamamagitan ng dahilan a katumbas Sa. Malinaw din na ang paksa ng logarithm ay malapit na nauugnay sa paksa ng kapangyarihan ng isang numero.

Sa logarithms, tulad ng anumang mga numero, maaari kang gumanap mga operasyon ng karagdagan, pagbabawas at magbago sa lahat ng posibleng paraan. Ngunit sa pagtingin sa katotohanan na ang mga logarithms ay hindi masyadong ordinaryong mga numero, ang kanilang sariling mga espesyal na patakaran ay nalalapat dito, na tinatawag na pangunahing katangian.

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms.

Kumuha ng dalawang logarithms na may parehong base: log x At mag-log a y. Pagkatapos ay alisin posible na magsagawa ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + mag-log a x k.

Mula sa quotient logarithm theorems isa pang pag-aari ng logarithm ang maaaring makuha. Kilalang-kilala ang log na iyon a 1= 0, samakatuwid,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Kaya mayroong isang pagkakapantay-pantay:

log a 1 / b = - log a b.

Logarithms ng dalawang magkatumbas na numero sa parehong batayan ay magkakaiba sa isa't isa lamang sa tanda. Kaya:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logarithm ng b (b > 0) sa base a (a > 0, a ≠ 1) ay ang exponent kung saan kailangan mong itaas ang numerong a upang makakuha ng b.

Ang base 10 logarithm ng b ay maaaring isulat bilang log(b), at ang logarithm sa base e (natural logarithm) - ln(b).

Kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga problema sa logarithms:

Mga katangian ng logarithms

Mayroong apat na pangunahing mga katangian ng logarithms.

Hayaan ang a > 0, a ≠ 1, x > 0 at y > 0.

Ari-arian 1. Logarithm ng produkto

Logarithm ng produkto ay katumbas ng kabuuan logarithms:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Property 2. Logarithm ng quotient

Logarithm ng quotient ay katumbas ng pagkakaiba ng logarithms:

log a (x / y) = log a x – log a y

Property 3. Logarithm ng degree

Degree logarithm ay katumbas ng produkto degrees bawat logarithm:

Kung ang base ng logarithm ay nasa exponent, ang isa pang formula ay nalalapat:

Ari-arian 4. Logarithm ng ugat

Ang pag-aari na ito ay maaaring makuha mula sa pag-aari ng logarithm ng degree, dahil ang ugat ng nth degree ay katumbas ng kapangyarihan ng 1/n:

Ang formula para sa pagpunta mula sa isang logarithm sa isang base patungo sa isang logarithm sa isa pang base

Ang formula na ito ay madalas ding ginagamit kapag nilulutas ang iba't ibang mga gawain para sa logarithms:

Espesyal na kaso:

Paghahambing ng logarithms (hindi pagkakapantay-pantay)

Ipagpalagay na mayroon tayong 2 function na f(x) at g(x) sa ilalim ng logarithms na may parehong mga base at mayroong hindi pagkakapantay-pantay na palatandaan sa pagitan ng mga ito:

Upang ihambing ang mga ito, kailangan mo munang tingnan ang base ng logarithms a:

Kung a > 0, f(x) > g(x) > 0
Kung 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Paano malutas ang mga problema sa logarithms: mga halimbawa

Mga gawaing may logarithms kasama sa PAGGAMIT sa matematika para sa grade 11 sa gawain 5 at gawain 7, maaari kang makahanap ng mga gawain na may mga solusyon sa aming website sa naaangkop na mga seksyon. Gayundin, ang mga gawain na may logarithms ay matatagpuan sa bangko ng mga gawain sa matematika. Maaari mong mahanap ang lahat ng mga halimbawa sa pamamagitan ng paghahanap sa site.

Ano ang logarithm

Ang logarithms ay palaging isinasaalang-alang mahirap na paksa V kurso sa paaralan matematika. Mayroong maraming iba't ibang mga kahulugan ng logarithm, ngunit sa ilang kadahilanan ang karamihan sa mga aklat-aralin ay gumagamit ng pinakamasalimuot at kapus-palad sa mga ito.

Tutukuyin natin ang logarithm nang simple at malinaw. Gumawa tayo ng talahanayan para dito:

So, we have powers of two.

Logarithms - mga katangian, mga formula, kung paano malutas

Kung kukunin mo ang numero mula sa ilalim na linya, madali mong mahahanap ang kapangyarihan kung saan kailangan mong magtaas ng dalawa upang makuha ang numerong ito. Halimbawa, upang makakuha ng 16, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaapat na kapangyarihan. At para makakuha ng 64, kailangan mong itaas ang dalawa sa ikaanim na kapangyarihan. Ito ay makikita mula sa talahanayan.

At ngayon - sa katunayan, ang kahulugan ng logarithm:

Ang base a ng argumentong x ay ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong a upang makuha ang numerong x.

Notasyon: log a x \u003d b, kung saan ang a ay ang base, x ang argumento, ang b ay talagang katumbas ng logarithm.

Halimbawa, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (ang base 2 logarithm ng 8 ay tatlo dahil 2 3 = 8). Maaari ring mag-log 2 64 = 6, dahil 2 6 = 64.

Ang operasyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero sa isang ibinigay na base ay tinatawag. Kaya't magdagdag tayo ng bagong hilera sa ating talahanayan:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Sa kasamaang palad, hindi lahat ng logarithms ay itinuturing na madali. Halimbawa, subukang hanapin ang log 2 5. Ang numero 5 ay wala sa talahanayan, ngunit ang logic ay nagdidikta na ang logarithm ay nasa isang lugar sa segment. Dahil 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Ang mga nasabing numero ay tinatawag na hindi makatwiran: ang mga numero pagkatapos ng decimal point ay maaaring isulat nang walang katiyakan, at hindi na mauulit. Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, mas mahusay na iwanan ito tulad nito: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Mahalagang maunawaan na ang logarithm ay isang expression na may dalawang variable (base at argumento). Sa una, maraming tao ang nalilito kung saan ang batayan at kung saan ang argumento. Upang maiwasan ang nakakainis na hindi pagkakaunawaan, tingnan lamang ang larawan:

Bago sa amin ay walang iba kundi ang kahulugan ng logarithm. Tandaan: ang logarithm ay ang kapangyarihan, kung saan kailangan mong itaas ang base upang makuha ang argumento. Ito ay ang base na nakataas sa isang kapangyarihan - sa larawan ito ay naka-highlight sa pula. Palaging nasa ibaba ang base! Sinasabi ko ang napakagandang tuntuning ito sa aking mga mag-aaral sa pinakaunang aralin - at walang kalituhan.

Paano magbilang ng logarithms

Nalaman namin ang kahulugan - nananatili itong matutunan kung paano magbilang ng mga logarithms, i.e. tanggalin ang "log" sign. Upang magsimula, tandaan namin na ang dalawang mahahalagang katotohanan ay sumusunod mula sa kahulugan:

Ang argument at base ay dapat palaging mas malaki kaysa sa zero. Ito ay sumusunod mula sa kahulugan ng antas ng isang rational exponent, kung saan ang kahulugan ng logarithm ay nabawasan.
Ang base ay dapat na naiiba sa pagkakaisa, dahil ang isang yunit sa anumang kapangyarihan ay isang yunit pa rin. Dahil dito, ang tanong na "sa anong kapangyarihan dapat itaas ang isa upang makakuha ng dalawa" ay walang kahulugan. Walang ganyang degree!

Ang ganitong mga paghihigpit ay tinatawag wastong saklaw(ODZ). Ito ay lumalabas na ang ODZ ng logarithm ay ganito ang hitsura: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Tandaan na walang mga paghihigpit sa numerong b (ang halaga ng logarithm) ay hindi ipinataw. Halimbawa, maaaring negatibo ang logarithm: log 2 0.5 = −1, dahil 0.5 = 2 −1 .

Gayunpaman, ngayon ay isinasaalang-alang lamang namin ang mga numerical na expression, kung saan hindi kinakailangang malaman ang ODZ ng logarithm. Ang lahat ng mga paghihigpit ay kinuha na sa account ng mga compiler ng mga problema. Ngunit kapag naganap ang mga logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay, magiging mandatory ang mga kinakailangan ng DHS. Sa katunayan, sa batayan at argumento ay maaaring mayroong napakalakas na mga konstruksyon, na hindi kinakailangang tumutugma sa mga paghihigpit sa itaas.

Ngayon isaalang-alang ang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkalkula ng logarithms. Binubuo ito ng tatlong hakbang:

Ipahayag ang base a at ang argumentong x bilang isang kapangyarihan na may pinakamaliit na posibleng base na mas malaki sa isa. Kasama ang paraan, ito ay mas mahusay na upang mapupuksa ang decimal fractions;
Lutasin ang equation para sa variable b: x = a b ;
Ang resultang numero b ang magiging sagot.

Iyon lang! Kung ang logarithm ay lumabas na hindi makatwiran, ito ay makikita na sa unang hakbang. Ang pangangailangan na ang base ay mas malaki kaysa sa isa ay napaka-kaugnay: binabawasan nito ang posibilidad ng error at lubos na pinapasimple ang mga kalkulasyon. Kapareho ng mga decimal: kung agad mong isasalin ang mga ito sa mga ordinaryong, magkakaroon ng maraming beses na mas kaunting mga error.

Tingnan natin kung paano gumagana ang scheme na ito sa mga partikular na halimbawa:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 5 25

Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Gawin at lutasin natin ang equation:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

Nakatanggap ng sagot: 2.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm:

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 4 64

Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
Gawin at lutasin natin ang equation:
log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
Nakatanggap ng sagot: 3.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 16 1

Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng dalawa: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
Gawin at lutasin natin ang equation:
log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
Nakatanggap ng tugon: 0.

Gawain. Kalkulahin ang logarithm: log 7 14

Katawanin natin ang base at ang argumento bilang kapangyarihan ng pito: 7 = 7 1 ; 14 ay hindi kinakatawan bilang kapangyarihan ng pito, dahil 7 1< 14 < 7 2 ;
Ito ay sumusunod mula sa nakaraang talata na ang logarithm ay hindi isinasaalang-alang;
Ang sagot ay walang pagbabago: log 7 14.

Isang maliit na tala sa huling halimbawa. Paano makasigurado na ang isang numero ay hindi eksaktong kapangyarihan ng isa pang numero? Napakasimple - i-decompose lang ito sa prime factors. Kung mayroong hindi bababa sa dalawang natatanging mga kadahilanan sa pagpapalawak, ang numero ay hindi isang eksaktong kapangyarihan.

Gawain. Alamin kung ang eksaktong kapangyarihan ng numero ay: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ang eksaktong antas, dahil mayroon lamang isang multiplier;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ay hindi eksaktong kapangyarihan dahil may dalawang salik: 3 at 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - eksaktong antas;
35 = 7 5 - muli hindi isang eksaktong antas;
14 \u003d 7 2 - muli hindi isang eksaktong antas;

Napansin din namin na kami mga pangunahing numero ay palaging eksaktong kapangyarihan ng kanilang sarili.

Decimal logarithm

Ang ilang logarithms ay karaniwan na mayroon silang espesyal na pangalan at pagtatalaga.

ng x argument ay ang base 10 logarithm, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang 10 upang makuha ang x. Pagtatalaga: lgx.

Halimbawa, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - atbp.

Mula ngayon, kapag may lumabas na pariralang tulad ng “Find lg 0.01” sa textbook, alamin na hindi ito isang typo. Ito ang decimal logarithm. Gayunpaman, kung hindi ka sanay sa gayong pagtatalaga, maaari mo itong muling isulat palagi:
log x = log 10 x

Lahat ng totoo para sa ordinaryong logarithms ay totoo din para sa mga decimal.

natural na logarithm

May isa pang logarithm na may sariling notasyon. Sa isang kahulugan, ito ay mas mahalaga kaysa decimal. Ito ang natural na logarithm.

ng x argument ay ang logarithm sa base e, i.e. ang kapangyarihan kung saan dapat itaas ang numerong e upang makuha ang numerong x. Pagtatalaga: lnx.

Marami ang magtatanong: ano ang numero e? Ito ay isang hindi makatwirang numero, ang eksaktong halaga nito ay hindi mahanap at maisulat. Narito lamang ang mga unang numero:
e = 2.718281828459…

Hindi natin susuriin kung ano ang numerong ito at kung bakit ito kailangan. Tandaan lamang na ang e ay ang batayan ng natural na logarithm:
ln x = log e x

Kaya ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - atbp. Sa kabilang banda, ang ln 2 ay isang hindi makatwirang numero. Sa pangkalahatan, ang natural na logarithm ng anumang rational na numero ay hindi makatwiran. Maliban, siyempre, pagkakaisa: ln 1 = 0.

Para sa natural logarithms lahat ng mga patakaran na totoo para sa ordinaryong logarithms ay may bisa.

Tingnan din:

Logarithm. Mga katangian ng logarithm (kapangyarihan ng logarithm).

Paano kinakatawan ang isang numero bilang isang logarithm?

Ginagamit namin ang kahulugan ng isang logarithm.

Ang logarithm ay isang tagapagpahiwatig ng kapangyarihan kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang numero sa ilalim ng tanda ng logarithm.

Kaya, upang kumatawan sa isang tiyak na numero c bilang isang logarithm sa base a, kailangan mong maglagay ng isang degree na may parehong base bilang base ng logarithm sa ilalim ng tanda ng logarithm, at isulat ang numerong ito c sa exponent:

Sa anyo ng isang logarithm, maaari kang kumatawan ng ganap na anumang numero - positibo, negatibo, integer, fractional, rational, hindi makatwiran:

Upang hindi malito ang a at c sa mga nakababahalang kondisyon ng isang pagsusulit o pagsusulit, maaari mong gamitin ang sumusunod na panuntunan upang tandaan:

ang nasa ibaba ay bumababa, ang nasa itaas ay tumataas.

Halimbawa, gusto mong katawanin ang numero 2 bilang logarithm sa base 3.

Mayroon kaming dalawang numero - 2 at 3. Ang mga numerong ito ay ang base at exponent, na isusulat namin sa ilalim ng tanda ng logarithm. Ito ay nananatiling upang matukoy kung alin sa mga numerong ito ang dapat isulat, sa base ng antas, at kung alin - pataas, sa exponent.

Ang base 3 sa talaan ng logarithm ay nasa ibaba, na nangangahulugan na kapag kinakatawan natin ang deuce bilang logarithm sa base ng 3, isusulat din natin ang 3 pababa sa base.

Ang 2 ay mas mataas sa 3. At sa notasyon ng degree, isinulat namin ang dalawa sa itaas ng tatlo, iyon ay, sa exponent:

Logarithms. Unang antas.

Logarithms

logarithm positibong numero b sa pamamagitan ng dahilan a, Saan a > 0, a ≠ 1, ay ang exponent kung saan dapat itaas ang numero. a, Para makuha b.

Kahulugan ng logarithm maaaring maisulat nang maikli tulad nito:

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay may bisa para sa b > 0, a > 0, a ≠ 1. Karaniwan siyang tinatawag pagkakakilanlan ng logarithmic.
Ang aksyon ng paghahanap ng logarithm ng isang numero ay tinatawag logarithm.

Mga katangian ng logarithms:

Ang logarithm ng produkto:

Logarithm ng quotient mula sa dibisyon:

Pinapalitan ang base ng logarithm:

Degree logarithm:

root logarithm:

Logarithm na may power base:

Decimal at natural logarithms.

Decimal logarithm tawagan ng mga numero ang base 10 logarithm ng numerong iyon at isulat ang lg b
natural na logarithm Tinatawag ng mga numero ang logarithm ng numerong ito sa base e, Saan e ay isang hindi makatwirang numero, humigit-kumulang katumbas ng 2.7. Kasabay nito, sinusulat nila ang ln b.

Iba pang mga Tala sa Algebra at Geometry

Mga pangunahing katangian ng logarithms

Pagdaragdag at pagbabawas ng logarithms

Isaalang-alang ang dalawang logarithms na may parehong base: log a x at log a y. Pagkatapos ay maaari silang idagdag at ibawas, at:

log a x + log a y = log a (x y);
log a x - log a y = log a (x: y).

log 6 4 + log 6 9.

Dahil ang mga base ng logarithms ay pareho, ginagamit namin ang sum formula:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 2 48 − log 2 3.

Ang mga base ay pareho, ginagamit namin ang formula ng pagkakaiba:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 3 135 − log 3 5.

Muli, ang mga base ay pareho, kaya mayroon kaming:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Pag-alis ng exponent mula sa logarithm

Siyempre, ang lahat ng mga patakarang ito ay may katuturan kung ang ODZ logarithm ay sinusunod: a > 0, a ≠ 1, x > 0. At isa pang bagay: matutong ilapat ang lahat ng mga formula hindi lamang mula kaliwa hanggang kanan, kundi pati na rin sa kabaligtaran, i.e. maaari mong ipasok ang mga numero bago ang sign ng logarithm sa logarithm mismo.

Paano malutas ang mga logarithms

Ito ang madalas na kinakailangan.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 7 49 6 .

Tanggalin natin ang antas sa argumento ayon sa unang formula:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang denominator ay isang logarithm na ang base at argumento ay eksaktong kapangyarihan: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Meron kami:

Paglipat sa isang bagong pundasyon

Ang mga formula para sa paglipat sa isang bagong base ay sumagip. Binubalangkas namin ang mga ito sa anyo ng isang teorama:

Hayaang ibigay ang logarithm log a x. Pagkatapos ay para sa anumang bilang c tulad na c > 0 at c ≠ 1, ang pagkakapantay-pantay ay totoo:

Sa partikular, kung ilalagay natin ang c = x, makakakuha tayo ng:

Gayunpaman, may mga gawain na hindi malulutas maliban sa paglipat sa isang bagong pundasyon. Isaalang-alang natin ang ilan sa mga ito:

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 5 16 log 2 25.

Tandaan na ang mga argumento ng parehong logarithms ay eksaktong exponents. Kunin natin ang mga tagapagpahiwatig: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Ngayon, i-flip natin ang pangalawang logarithm:

Dahil ang produkto ay hindi nagbabago mula sa permutation ng mga kadahilanan, mahinahon naming pinarami ang apat at dalawa, at pagkatapos ay naisip ang mga logarithms.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression: log 9 100 lg 3.

Ang batayan at argumento ng unang logarithm ay eksaktong kapangyarihan. Isulat natin ito at alisin ang mga tagapagpahiwatig:

Ngayon, alisin natin ang decimal logarithm sa pamamagitan ng paglipat sa isang bagong base:

Pangunahing logarithmic na pagkakakilanlan

Kadalasan sa proseso ng paglutas ay kinakailangan na kumatawan sa isang numero bilang isang logarithm sa isang naibigay na base.

Sa kasong ito, ang mga formula ay makakatulong sa amin:

Sa unang kaso, ang numero n ay nagiging exponent sa argumento. Ang numero n ay maaaring maging anumang bagay, dahil ito ay ang halaga lamang ng logarithm.

Ang pangalawang formula ay talagang isang paraphrased na kahulugan. Ito ay tinatawag na ganito:

Tulad ng mga bagong base conversion formula, ang pangunahing logarithmic identity ay minsan ang tanging posibleng solusyon.

Gawain. Hanapin ang halaga ng expression:

Tandaan na ang log 25 64 = log 5 8 - kinuha lamang ang parisukat mula sa base at ang argumento ng logarithm. Dahil sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga kapangyarihan na may parehong base, nakukuha natin ang:

Kung ang isang tao ay hindi alam, ito ay isang tunay na gawain mula sa Unified State Examination 🙂

Logarithmic unit at logarithmic zero

log a a = 1 ay. Tandaan minsan at para sa lahat: ang logarithm sa anumang base a mula sa base na iyon mismo ay katumbas ng isa.
log a 1 = 0 ay. Ang base a ay maaaring anuman, ngunit kung ang argumento ay isa, ang logarithm ay zero! Dahil ang isang 0 = 1 ay isang direktang bunga ng kahulugan.

Iyon ang lahat ng mga pag-aari. Siguraduhing magsanay sa pagsasabuhay ng mga ito! I-download ang cheat sheet sa simula ng aralin, i-print ito at lutasin ang mga problema.

Lahat tayo ay pamilyar sa mga equation. mababang Paaralan. Kahit doon ay natutunan naming lutasin ang pinakasimpleng mga halimbawa, at dapat aminin na nahanap nila ang kanilang aplikasyon kahit na sa mas mataas na matematika. Ang lahat ay simple sa mga equation, kabilang ang mga parisukat. Kung mayroon kang mga problema sa temang ito, lubos naming inirerekomenda na subukan mo itong muli.

Logarithms malamang nakapasa ka na rin. Gayunpaman, itinuturing naming mahalagang sabihin kung ano ito para sa mga hindi pa nakakaalam. Ang logarithm ay katumbas ng kapangyarihan kung saan dapat itaas ang base upang makuha ang numero sa kanan ng sign ng logarithm. Magbigay tayo ng isang halimbawa, batay sa kung saan, magiging malinaw sa iyo ang lahat.

Kung itataas mo ang 3 sa ikaapat na kapangyarihan, makakakuha ka ng 81. Ngayon ay palitan ang mga numero sa pamamagitan ng pagkakatulad, at sa wakas ay mauunawaan mo kung paano nalulutas ang mga logarithm. Ngayon ay nananatili lamang na pagsamahin ang dalawang itinuturing na konsepto. Sa una, ang sitwasyon ay tila napakahirap, ngunit sa mas malapit na pagsusuri, ang bigat ay nahuhulog sa lugar. Natitiyak namin na pagkatapos ng maikling artikulong ito ay wala kang mga problema sa bahaging ito ng pagsusulit.

Ngayon, maraming mga paraan upang malutas ang mga naturang istruktura. Pag-uusapan natin ang pinakasimple, pinakaepektibo at pinaka-naaangkop sa kaso ng mga gawain sa PAGGAMIT. Ang paglutas ng mga logarithmic equation ay dapat magsimula sa pinakasimula. isang simpleng halimbawa. Ang pinakasimpleng logarithmic equation ay binubuo ng isang function at isang variable sa loob nito.

Mahalagang tandaan na ang x ay nasa loob ng argumento. Ang A at b ay dapat na mga numero. Sa kasong ito, maaari mo lamang ipahayag ang function sa mga tuntunin ng isang numero sa isang kapangyarihan. Parang ganito.

Siyempre, ang paglutas ng logarithmic equation sa ganitong paraan ay magdadala sa iyo sa tamang sagot. Ngunit ang problema ng karamihan ng mga mag-aaral sa kasong ito ay hindi nila naiintindihan kung ano at saan ito nanggaling. Bilang resulta, kailangan mong tiisin ang mga pagkakamali at hindi makuha ang ninanais na puntos. Ang pinaka-nakakasakit na pagkakamali ay kung paghaluin mo ang mga titik sa mga lugar. Upang malutas ang equation sa ganitong paraan, kailangan mong kabisaduhin ang karaniwang formula ng paaralan na ito, dahil mahirap itong maunawaan.

Upang gawing mas madali, maaari kang gumamit ng ibang paraan - ang canonical form. Ang ideya ay napakasimple. Bigyang-pansin muli ang gawain. Tandaan na ang titik a ay isang numero, hindi isang function o isang variable. Ang A ay hindi katumbas ng isa at mas malaki sa zero. Walang mga paghihigpit sa b. Ngayon sa lahat ng mga formula, naaalala namin ang isa. Ang B ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod.

Mula dito sumusunod na ang lahat ng orihinal na equation na may logarithms ay maaaring katawanin bilang:

Ngayon ay maaari nating itapon ang logarithms. Ang resulta ay isang simpleng konstruksiyon, na nakita na natin kanina.

Ang kaginhawahan ng formula na ito ay nakasalalay sa katotohanan na maaari itong magamit sa karamihan iba't ibang okasyon at hindi lamang para sa pinakasimpleng disenyo.

Huwag mag-alala tungkol sa OOF!

Maraming makaranasang mathematician ang mapapansin na hindi natin binigyang pansin ang domain ng kahulugan. Ang panuntunan ay bumababa sa katotohanan na ang F(x) ay kinakailangang mas malaki sa 0. Hindi, hindi namin napalampas ang puntong ito. Ngayon ay pinag-uusapan natin ang isa pang seryosong bentahe ng canonical form.

Walang dagdag na ugat dito. Kung ang variable ay magaganap lamang sa isang lugar, kung gayon ang saklaw ay hindi kinakailangan. Awtomatikong tumatakbo ito. Upang mapatunayan ang paghatol na ito, isaalang-alang ang paglutas ng ilang simpleng halimbawa.

Paano lutasin ang mga logarithmic equation na may iba't ibang base

Ang mga ito ay mga kumplikadong logarithmic equation, at ang diskarte sa kanilang solusyon ay dapat na espesyal. Dito bihirang posible na ikulong ang ating sarili sa kilalang kanonikal na anyo. Simulan natin ang ating detalyadong kwento. Mayroon kaming sumusunod na konstruksyon.

Pansinin ang fraction. Naglalaman ito ng logarithm. Kung nakita mo ito sa gawain, ito ay nagkakahalaga ng pag-alala sa isang kawili-wiling lansihin.

Ano ang ibig sabihin nito? Ang bawat logarithm ay maaaring ipahayag bilang isang quotient ng dalawang logarithms na may isang maginhawang base. At mayroon itong formula espesyal na kaso, na naaangkop sa halimbawang ito (ibig sabihin kung c=b).

Ito mismo ang nakikita natin sa ating halimbawa. Sa gayon.

Sa katunayan, binaliktad nila ang fraction at nakakuha ng mas maginhawang expression. Tandaan ang algorithm na ito!

Ngayon kailangan namin na ang logarithmic equation ay hindi naglalaman ng iba't ibang mga base. Katawanin natin ang base bilang isang fraction.

Sa matematika, mayroong isang panuntunan, batay sa kung saan, maaari mong kunin ang antas mula sa base. Ito ay lumiliko ang sumusunod na konstruksyon.

Tila ngayon, ano ang pumipigil sa atin na gawing kanonikal na anyo ang ating ekspresyon at lutasin ito? Hindi gaanong simple. Dapat ay walang mga fraction bago ang logarithm. Ayusin natin ang sitwasyong ito! Ang isang fraction ay pinapayagan na kunin bilang isang degree.

Kanya-kanya.

Kung ang mga base ay pareho, maaari nating alisin ang logarithms at ipantay ang mga expression mismo. Kaya ang sitwasyon ay magiging maraming beses na mas madali kaysa noon. Magkakaroon ng elementary equation na alam ng bawat isa sa atin kung paano lutasin noong ika-8 o kahit ika-7 baitang. Maaari mong gawin ang mga kalkulasyon sa iyong sarili.

Nakuha namin ang tanging tunay na ugat ng logarithmic equation na ito. Ang mga halimbawa ng paglutas ng isang logarithmic equation ay medyo simple, tama? Ngayon ay magagawa mong independiyenteng makitungo sa kahit na ang pinaka mapaghamong mga gawain para sa paghahanda at paghahatid ng pagsusulit.

Ano ang resulta?

Sa kaso ng anumang logarithmic equation, magsisimula tayo sa isa mahalagang tuntunin. Ito ay kinakailangan upang kumilos sa paraang upang dalhin ang expression sa maximum malinaw na paningin. Sa kasong ito, magkakaroon ka ng mas maraming pagkakataon hindi lamang upang malutas nang tama ang problema, ngunit gawin din ito sa pinakasimpleng at pinaka-lohikal na paraan. Ganyan laging gumagana ang mga mathematician.

Lubos naming inirerekumenda na maghanap ka ng mahirap na mga landas, lalo na sa kasong ito. Tandaan ang ilan simpleng tuntunin, na magbibigay-daan sa iyong baguhin ang anumang expression. Halimbawa, magdala ng dalawa o tatlong logarithms sa parehong base, o kumuha ng kapangyarihan mula sa base at manalo dito.

Ito rin ay nagkakahalaga ng pag-alala na sa paglutas ng mga logarithmic equation kailangan mong patuloy na magsanay. Unti-unti kang magpapatuloy sa parami nang parami mga kumplikadong istruktura, at ito ay magdadala sa iyo sa isang tiwala na solusyon ng lahat ng mga variant ng mga problema sa pagsusulit. Maghanda para sa iyong mga pagsusulit nang maaga, at good luck!