Pronađite brojnik i imenilac. Razlomak uključuje dva broja: broj koji se nalazi iznad prave naziva se brojilac, a broj koji se nalazi ispod prave naziva se imenilac. Imenitelj označava ukupan broj dijelova na koje je podijeljena cjelina, a brojnik je broj takvih dijelova koji se razmatraju.

• Na primjer, u razlomku ½ brojilac je 1, a nazivnik 2.

Odredite imenilac. Ako dva ili više razlomaka imaju zajednički nazivnik, takvi razlomci imaju isti broj ispod crte, odnosno u ovom slučaju se određena cjelina dijeli na isti broj dijelova. Sabiranje razlomaka sa zajedničkim nazivnikom je vrlo jednostavno, jer će nazivnik zbrojenog razlomka biti isti kao i razlomci koji se sabiraju. Na primjer:

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju zajednički imenilac 5.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju zajednički imenilac 8.

Odredite brojioce. Da biste sabrali razlomke sa zajedničkim nazivnikom, zbrojite njihove brojioce i napišite rezultat iznad nazivnika razlomaka koji se zbrajaju.

• Razlomci 3/5 i 2/5 imaju brojioce 3 i 2.
• Razlomci 3/8, 5/8, 17/8 imaju brojioce 3, 5, 17.

Zbrojite brojioce. U zadatku 3/5 + 2/5 saberite brojioce 3 + 2 = 5. U zadatku 3/8 + 5/8 + 17/8 saberite brojioce 3 + 5 + 17 = 25.

Napišite ukupan razlomak. Zapamtite da kada se zbrajaju razlomci sa zajedničkim nazivnikom, on ostaje nepromijenjen - samo se zbrajaju brojnici.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Pretvorite razlomak ako je potrebno. Ponekad se razlomak može napisati kao cijeli broj, a ne kao razlomak ili decimalni. Na primjer, razlomak 5/5 lako se pretvara u 1, jer je svaki razlomak čiji je brojilac jednak nazivniku 1. Zamislite pitu izrezanu na tri dijela. Ako pojedete sva tri dijela, pojest ćete cijelu (jednu) pitu.

• volim to običan razlomak može se pretvoriti u decimalni; Da biste to učinili, podijelite brojilac sa nazivnikom. Na primjer, razlomak 5/8 se može napisati na sljedeći način: 5 ÷ 8 = 0,625.

Ako je moguće, pojednostavite razlomak. Pojednostavljeni razlomak je razlomak čiji brojnik i imenilac nemaju zajedničke faktore.

• Na primjer, razmotrite razlomak 3/6. Ovdje imaju i brojnik i imenilac zajednički djelitelj, jednako 3, odnosno brojilac i imenilac su potpuno djeljivi sa 3. Dakle, razlomak 3/6 se može napisati na sljedeći način: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½.

Ako je potrebno, pretvorite nepravilan razlomak u mješoviti razlomak (mješoviti broj). U nepravilan razlomak brojilac je veći od nazivnika, na primjer, 25/8 (pravi razlomak ima brojnik manji od nazivnika). Nepravilan razlomak se može pretvoriti u mješoviti razlomak, koji se sastoji od cijelog broja (tj. cijelog broja) i razlomka (odnosno, pravilnog razlomaka). Da pretvorite nepravilan razlomak, kao što je 25/8, u mješoviti broj, slijedite ove korake:

• Podijelite brojilac nepravilnog razlomka njegovim nazivnikom; zapišite parcijalni količnik (cijeli odgovor). U našem primjeru: 25 ÷ 8 = 3 plus neki ostatak. U ovom slučaju, cijeli odgovor je cijeli dio mješovitog broja.
• Pronađite ostatak. U našem primjeru: 8 x 3 = 24; oduzmite rezultat od originalnog brojila: 25 - 24 = 1, odnosno ostatak je 1. U ovom slučaju, ostatak je brojnik razlomka mješovitog broja.
• Napišite mješoviti razlomak. Imenilac se ne menja (odnosno, jednak je imeniocu nepravilnog razlomka), pa je 25/8 = 3 1/8.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa isti imenioci
Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različiti imenioci
Koncept NOC-a
Svođenje razlomaka na isti nazivnik
Kako sabrati cijeli broj i razlomak

1 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, morate dodati njihove brojnike, ali ostavite nazivnik isti, na primjer:

Da biste oduzeli razlomke s istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojilac drugog razlomka od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti, na primjer:

Da biste dodali mješovite razlomke, potrebno je posebno sabrati njihove cijele dijelove, a zatim dodati njihove razlomke i rezultat napisati kao mješoviti razlomak,

Ako pri sabiranju razlomaka dobijete nepravilan razlomak, odaberite cijeli dio iz njega i dodajte ga cijelom dijelu, na primjer:

2 Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima

Da biste dodali ili oduzeli razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na isti nazivnik, a zatim nastaviti kako je navedeno na početku ovog članka. Zajednički nazivnik nekoliko razlomaka je LCM (najmanji zajednički višekratnik). Za brojnik svakog razlomka, dodatni faktori se nalaze dijeljenjem LCM-a sa nazivnikom ovog razlomka. Kasnije ćemo pogledati primjer, nakon što shvatimo šta je NOC.

3 Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Najmanji zajednički višekratnik dva broja (LCM) je najmanji prirodan broj koji je djeljiv sa oba broja bez ostatka. Ponekad se NOC može birati usmeno, ali češće, posebno kada se radi sa njim veliki brojevi, morate pronaći LOC u pisanoj formi koristeći sljedeći algoritam:

Da biste pronašli LCM nekoliko brojeva, trebate:

1. Faktori ove brojeve u proste faktore
2. Uzmite najveće proširenje i zapišite ove brojeve kao proizvod
3. Odaberite u drugim dekompozicijama brojeve koji se ne pojavljuju u najvećoj dekompoziciji (ili se pojavljuju manje puta u njoj) i dodajte ih u proizvod.
4. Pomnožite sve brojeve u proizvodu, to će biti LCM.

Na primjer, pronađimo LCM brojeva 28 i 21:

4Svođenje razlomaka na isti nazivnik

Vratimo se sabiranju razlomaka sa različitim nazivnicima.

Kada razlomke svedemo na isti nazivnik, jednak LCM-u oba nazivnika, moramo pomnožiti brojioce ovih razlomaka sa dodatni množitelji. Možete ih pronaći dijeljenjem LCM sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka, na primjer:

Dakle, da biste sveli razlomke na isti eksponent, prvo morate pronaći LCM (tj. najmanji broj, koji je djeljiv sa oba nazivnika) nazivnika ovih razlomaka, a zatim dodajte dodatne faktore brojiocima razlomaka. Možete ih pronaći tako što zajednički imenilac (CLD) podijelite sa nazivnikom odgovarajućeg razlomka. Zatim morate pomnožiti brojilac svakog razlomka dodatnim faktorom i staviti LCM kao imenilac.

5Kako sabrati cijeli broj i razlomak

Da biste sabrali cijeli broj i razlomak, samo trebate dodati ovaj broj prije razlomka, što će rezultirati mješovitim razlomkom, na primjer.

Ova lekcija će pokriti sabiranje i oduzimanje. algebarski razlomci sa različitim nazivnicima. Već znamo kako sabirati i oduzimati obične razlomke s različitim nazivnicima. Da biste to učinili, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Ispostavilo se da algebarski razlomci slijede ista pravila. U isto vrijeme, već znamo kako svesti algebarske razlomke na zajednički nazivnik. Sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima jedna je od najvažnijih i najtežih tema u 8. razredu. Štaviše, ova tema će se pojaviti u mnogim temama u kursu algebre koje ćete učiti u budućnosti. U sklopu lekcije proučavat ćemo pravila za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima, a također ćemo analizirati niz tipičnih primjera.

Hajde da razmotrimo najjednostavniji primjer za obične razlomke.

Primjer 1. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Prisjetimo se pravila za sabiranje razlomaka. Za početak, razlomci se moraju svesti na zajednički nazivnik. Zajednički nazivnik za obične razlomke je najmanji zajednički višekratnik(LCM) originalnih nazivnika.

Definicija

Najmanji prirodni broj koji je djeljiv i brojevima i .

Da biste pronašli LCM, potrebno je da faktore delite na proste faktore, a zatim da odaberete sve proste faktore koji su uključeni u proširenje oba nazivnika.

; . Tada LCM brojeva mora uključivati ​​dvije dvojke i dvije trojke: .

Nakon što pronađete zajednički imenilac, morate pronaći dodatni faktor za svaki razlomak (zapravo, podijelite zajednički imenilac sa imeniocem odgovarajućeg razlomka).

Svaki razlomak se zatim množi sa rezultujućim dodatnim faktorom. Dobijamo razlomke sa istim nazivnicima, koje smo naučili sabirati i oduzimati u prethodnim lekcijama.

Dobijamo: .

odgovor:.

Razmotrimo sada sabiranje algebarskih razlomaka s različitim nazivnicima. Prvo, pogledajmo razlomke čiji su imenioci brojevi.

Primjer 2. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Algoritam rješenja je apsolutno sličan prethodnom primjeru. Lako je pronaći zajednički imenitelj ovih razlomaka: i dodatne faktore za svaki od njih.

.

odgovor:.

Dakle, hajde da formulišemo algoritam za sabiranje i oduzimanje algebarskih razlomaka sa različitim nazivnicima:

1. Pronađite najmanji zajednički imenilac razlomaka.

2. Pronađite dodatne faktore za svaki od razlomaka (dijeleći zajednički imenilac sa imeniocem datog razlomka).

3. Pomnožite brojioce odgovarajućim dodatnim faktorima.

4. Dodajte ili oduzmite razlomke koristeći pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo sada primjer s razlomcima čiji nazivnik sadrži slovne izraze.

Primjer 3. Dodaj razlomke: .

Rješenje:

Budući da su slovni izrazi u oba nazivnika isti, trebali biste pronaći zajednički nazivnik za brojeve. Konačni zajednički imenilac će izgledati ovako: . Dakle, rješenje ovog primjera izgleda ovako:.

odgovor:.

Primjer 4. Oduzmite razlomke: .

Rješenje:

Ako ne možete "prevariti" pri odabiru zajedničkog nazivnika (ne možete ga rastaviti na faktore ili koristiti skraćene formule za množenje), tada morate uzeti umnožak nazivnika oba razlomka kao zajednički nazivnik.

odgovor:.

Općenito, pri rješavanju ovakvih primjera najteži je zadatak pronaći zajednički nazivnik.

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 5. Pojednostavite: .

Rješenje:

Prilikom pronalaženja zajedničkog nazivnika, prvo morate pokušati rastaviti nazivnike originalnih razlomaka (da biste pojednostavili zajednički imenilac).

U ovom konkretnom slučaju:

Tada je lako odrediti zajednički imenilac: .

Određujemo dodatne faktore i rješavamo ovaj primjer:

odgovor:.

Sada uspostavimo pravila za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitim nazivnicima.

Primjer 6. Pojednostavite: .

Rješenje:

odgovor:.

Primjer 7. Pojednostavite: .

Rješenje:

.

odgovor:.

Razmotrimo sada primjer u kojem se zbrajaju ne dva, već tri razlomka (na kraju krajeva, pravila sabiranja i oduzimanja za veći broj razlomaka ostaju ista).

Primjer 8. Pojednostavite: .

Online kalkulator.
Vrednovanje izraza sa numerički razlomci.
Množenje, oduzimanje, dijeljenje, sabiranje i smanjenje razlomaka s različitim nazivnicima.

Pomoću ovog online kalkulatora možete množe, oduzimaju, dijele, sabiraju i smanjuju razlomke s različitim nazivnicima.

Program radi sa pravilnim, nepravilnim i mešovitim razlomcima.

Ovaj program (online kalkulator) može:
- izvršiti sabiranje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima
- izvršiti oduzimanje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima
- podijeliti mješovite razlomke s različitim nazivnicima
- množenje mješovitih razlomaka s različitim nazivnicima
- svesti razlomke na zajednički nazivnik
- pretvoriti miješane razlomke u nepravilne razlomke
- smanjiti razlomke

Također možete unijeti ne izraz sa razlomcima, već jedan jedini razlomak.
U tom slučaju, razlomak će se smanjiti i cijeli dio će se odvojiti od rezultata.

Online kalkulator za izračunavanje izraza s brojčanim razlomcima ne samo da daje odgovor na problem, on daje detaljno rješenje sa objašnjenjima, tj. prikazuje proces pronalaženja rješenja.

Ovaj program može biti koristan za srednjoškolce u srednjim školama u pripremi za testovi i ispiti, prilikom provjere znanja prije Jedinstvenog državnog ispita, za roditelje da kontrolišu rješavanje mnogih zadataka iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti nastavnika ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite da to završite što je brže moguće? zadaća iz matematike ili algebre? U tom slučaju možete koristiti i naše programe sa detaljnim rješenjima.

Na ovaj način možete potrošiti svoje vlastitu obuku i/ili osposobljavanje njihove mlađe braće ili sestara, dok se nivo obrazovanja u oblasti problema koji se rješavaju povećava.

Ako niste upoznati s pravilima za unos izraza s brojčanim razlomcima, preporučujemo da se upoznate s njima.

Pravila za unos izraza s brojčanim razlomcima

Samo cijeli broj može biti brojnik, nazivnik i cijeli broj razlomka.

Imenilac ne može biti negativan.

Prilikom unosa brojčanog razlomka, brojilac je odvojen od nazivnika znakom dijeljenja: /
Ulaz: -2/3 + 7/5
Rezultat: \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

Cijeli dio je odvojen od razlomka znakom ampersanda: &
Ulaz: -1&2/3 * 5&8/3
Rezultat: \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

Podjela razlomaka se uvodi znakom debelog crijeva: :
Ulaz: -9&37/12: -3&5/14
Rezultat: \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
Zapamtite da ne možete dijeliti sa nulom!

Možete koristiti zagrade kada unosite izraze s brojčanim razlomcima.
Unos: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Rezultat: \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

Unesite izraz koristeći numeričke razlomke.

Izračunati

Otkriveno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane i program možda neće raditi.
Možda imate omogućen AdBlock.
U tom slučaju, onemogućite ga i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pretraživaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo instrukcija kako da omogućite JavaScript u vašem pretraživaču.

Jer Ima puno ljudi koji su voljni da riješe problem, vaš zahtjev je stavljen u red čekanja.
Za nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Pričekajte sec...

Ako ti uočio grešku u rješenju, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačiti koji zadatak ti odluči šta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Obični razlomci. Podjela s ostatkom

Ako trebamo 497 podijeliti sa 4, onda ćemo prilikom dijeljenja vidjeti da 497 nije jednako djeljivo sa 4, tj. ostatak divizije ostaje. U takvim slučajevima se kaže da je završeno podjela sa ostatkom, a rješenje je zapisano na sljedeći način:
497: 4 = 124 (1 ostatak).

Komponente dijeljenja na lijevoj strani jednakosti nazivaju se isto kao i kod dijeljenja bez ostatka: 497 - dividenda, 4 - razdjelnik. Rezultat dijeljenja kada se podijeli s ostatkom se zove nepotpuno privatno. U našem slučaju, ovo je broj 124. I na kraju, zadnja komponenta, koja nije u običnom podjeli, je ostatak. U slučajevima kada nema ostatka, kaže se da je jedan broj podijeljen drugim bez traga ili u potpunosti. Vjeruje se da je s takvom podjelom ostatak nula. U našem slučaju, ostatak je 1.

Ostatak je uvijek manji od djelitelja.

Dijeljenje se može provjeriti množenjem. Ako, na primjer, postoji jednakost 64: 32 = 2, onda se provjera može izvršiti ovako: 64 = 32 * 2.

Često u slučajevima kada se vrši dijeljenje s ostatkom, zgodno je koristiti jednakost
a = b * n + r,
gdje je a dividenda, b je djelitelj, n je parcijalni količnik, r je ostatak.

Dijeli količnik prirodni brojevi može se napisati kao razlomak.

Brojnik razlomka je dividenda, a nazivnik je djelitelj.

Pošto je brojnik razlomka dividenda, a imenilac djelitelj, vjeruju da linija razlomka znači akciju dijeljenja. Ponekad je zgodno pisati deljenje kao razlomak bez upotrebe znaka ":".

Kvocijent dijeljenja prirodnih brojeva m i n može se zapisati kao razlomak \(\frac(m)(n)\), gdje je brojnik m dividenda, a nazivnik n djelitelj:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Tačna su sljedeća pravila:

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate podijeliti jedinicu na n jednakih dijelova (udjela) i uzeti m takvih dijelova.

Da biste dobili razlomak \(\frac(m)(n)\), trebate broj m podijeliti brojem n.

Da biste pronašli dio cjeline, trebate podijeliti broj koji odgovara cjelini sa nazivnikom i rezultat pomnožiti s brojnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Da biste pronašli cjelinu iz njenog dijela, trebate podijeliti broj koji odgovara ovom dijelu s brojnikom i rezultat pomnožiti sa nazivnikom razlomka koji izražava ovaj dio.

Ako se i brojnik i nazivnik razlomka pomnože istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Ako su i brojnik i nazivnik razlomka podijeljeni istim brojem (osim nule), vrijednost razlomka se neće promijeniti:
\(\veliki \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ovo svojstvo se zove glavno svojstvo razlomka.

Posljednje dvije transformacije se zovu smanjenje razlomka.

Ako razlomke treba predstaviti kao razlomke sa istim nazivnikom, onda se ova radnja poziva dovodeći razlomke na zajednički nazivnik.

Pravilni i nepravilni razlomci. Mješoviti brojevi

Već znate da se razlomak može dobiti ako se cjelina podijeli na jednake dijelove i uzme nekoliko takvih dijelova. Na primjer, razlomak \(\frac(3)(4)\) znači tri četvrtine jedan. U mnogim problemima iz prethodnog paragrafa, razlomci su korišteni za predstavljanje dijelova cjeline. Zdrav razum nalaže da dio uvijek treba biti manji od cjeline, ali šta je sa razlomcima kao što su \(\frac(5)(5)\) ili \(\frac(8)(5)\)? Jasno je da ovo više nije dio jedinice. Vjerovatno se zato nazivaju razlomci čiji je brojilac veći ili jednak nazivniku nepravilni razlomci. Pozivaju se preostali razlomci, odnosno razlomci čiji je brojilac manji od nazivnika tačne razlomke.

Kao što znate, svaki obični razlomak, i pravilan i nepravilan, može se smatrati rezultatom dijeljenja brojnika sa nazivnikom. Dakle, u matematici, za razliku od običnog jezika, izraz „nepravilan razlomak“ ne znači da smo nešto pogriješili, već samo da je brojnik ovog razlomka veći ili jednak nazivniku.

Ako se broj sastoji od cijelog broja i razlomka, onda je takav razlomci se nazivaju mješoviti.

Na primjer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je cijeli broj, a \(\frac(2)(3) \) je razlomak.

Ako je brojilac razlomka \(\frac(a)(b) \) djeljiv prirodnim brojem n, tada da bi se ovaj razlomak podijelio s n, njegov brojnik mora biti podijeljen ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Ako brojilac razlomka \(\frac(a)(b)\) nije djeljiv prirodnim brojem n, tada da biste podijelili ovaj razlomak sa n, morate njegov nazivnik pomnožiti s ovim brojem:
\(\veliki \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Imajte na umu da je i drugo pravilo tačno kada je brojilac djeljiv sa n. Stoga ga možemo koristiti kada je na prvi pogled teško odrediti da li je brojnik razlomka djeljiv sa n ili ne.

Radnje sa razlomcima. Zbrajanje razlomaka.

Možete izvoditi aritmetičke operacije sa razlomcima, baš kao i sa prirodnim brojevima. Pogledajmo prvo sabiranje razlomaka. Lako je sabirati razlomke sa sličnim nazivnicima. Nađimo, na primjer, zbir \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Lako je razumjeti da je \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Da biste sabrali razlomke sa istim nazivnicima, potrebno je da saberete njihove brojnike i ostavite nazivnik isti.

Koristeći slova, pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Ako trebate sabrati razlomke s različitim nazivnicima, prvo ih morate svesti na zajednički nazivnik. Na primjer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3) ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i asocijativna svojstva sabiranja.

Dodavanje miješanih frakcija

Pozivaju se oznake kao što su \(2\frac(2)(3)\). miješane frakcije. U ovom slučaju se poziva broj 2 cijeli dio mješoviti razlomak, a broj \(\frac(2)(3)\) je njegov frakcijski dio. Unos \(2\frac(2)(3)\) se čita na sljedeći način: "dvije i dvije trećine."

Kada podijelite broj 8 sa brojem 3, možete dobiti dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Oni izražavaju isti razlomak, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Dakle, nepravilni razlomak \(\frac(8)(3)\) je predstavljen kao mješoviti razlomak \(2\frac(2)(3)\). U takvim slučajevima to kažu iz nepravilnog razlomka istakao ceo deo.

Oduzimanje razlomaka (razlomačkih brojeva)

Oduzimanje razlomaka, kao i prirodnih brojeva, određuje se na osnovu akcije sabiranja: oduzimanje drugog od jednog broja znači pronalaženje broja koji, kada se doda drugom, daje prvi. Na primjer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) jer \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravilo za oduzimanje razlomaka sa sličnim nazivnicima je slično pravilu za sabiranje takvih razlomaka:
Da biste pronašli razliku između razlomaka sa istim nazivnicima, potrebno je da oduzmete brojnik drugog od brojnika prvog razlomka, a nazivnik ostane isti.

Koristeći slova, ovo pravilo se piše ovako:
\(\veliki \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje razlomaka

Da biste razlomak pomnožili razlomkom, morate pomnožiti njihove brojnike i nazivnike i prvi proizvod napisati kao brojilac, a drugi kao imenilac.

Koristeći slova, pravilo za množenje razlomaka može se napisati na sljedeći način:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Koristeći formulirano pravilo, možete pomnožiti razlomak prirodnim brojem, mješovitim razlomkom, a također i mješovite razlomke. Da biste to učinili, trebate napisati prirodni broj kao razlomak s nazivnikom 1, mješoviti razlomak - kao nepravilan razlomak.

Rezultat množenja treba pojednostaviti (ako je moguće) smanjenjem razlomka i izolacijom cijelog dijela nepravilnog razlomka.

Za razlomke, kao i za prirodne brojeve, vrijede komutativna i kombinativna svojstva množenja, kao i distributivna svojstva množenja u odnosu na sabiranje.

Podjela razlomaka

Uzmimo razlomak \(\frac(2)(3)\) i "okrenimo" ga, zamjenjujući brojnik i imenilac. Dobijamo razlomak \(\frac(3)(2)\). Ovaj razlomak se zove obrnuto razlomci \(\frac(2)(3)\).

Ako sada "obrnemo" razlomak \(\frac(3)(2)\), dobićemo originalni razlomak \(\frac(2)(3)\). Stoga se razlomci kao što su \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazivaju međusobno inverzno.

Na primjer, razlomci \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18) )(7)\).

Koristeći slova, recipročni razlomci se mogu napisati na sljedeći način: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

To je jasno proizvod recipročnih razlomaka jednak je 1. Na primjer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Koristeći recipročne razlomke, dijeljenje razlomaka možete svesti na množenje.

Pravilo za dijeljenje razlomka sa razlomkom glasi:
Da biste podijelili jedan razlomak drugim, trebate pomnožiti dividendu recipročnom vrijednosti djelitelja.

Mješovite frakcije su isto kao prosti razlomci može se oduzeti. Da biste oduzeli mješovite brojeve razlomaka, morate znati nekoliko pravila oduzimanja. Proučimo ova pravila na primjerima.

Oduzimanje mješovitih razlomaka sa sličnim nazivnicima.

Razmotrimo primjer s uvjetom da su cijeli broj koji se smanjuje i razlomak veći od cijelog broja i razlomka koji se oduzimaju, respektivno. U takvim uslovima, oduzimanje se dešava odvojeno. Od cijelog dijela oduzimamo cijeli broj, a razlomak od razlomaka.

Pogledajmo primjer:

Oduzmite mješovite razlomke \(5\frac(3)(7)\) i \(1\frac(1)(7)\).

\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)

Tačnost oduzimanja se provjerava sabiranjem. Provjerimo oduzimanje:

\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)

Razmotrimo primjer s uvjetom kada je razlomački dio minuenda manji od odgovarajućeg razlomka oduzetog. U ovom slučaju, posuđujemo jednu od cjeline na kraju.

Pogledajmo primjer:

Oduzmite mješovite razlomke \(6\frac(1)(4)\) i \(3\frac(3)(4)\).

Minuend \(6\frac(1)(4)\) ima manji razlomni dio od razlomnog dijela oduzetog \(3\frac(3)(4)\). To jest, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)

\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \color(red) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)

Sljedeći primjer:

\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)

Oduzimanje mješovitog razlomka od cijelog broja.

Primjer: \(3-1\frac(2)(5)\)

Minuend 3 nema razlomak, tako da ne možemo odmah oduzeti. Pozajmimo jedan od cijelog dijela 3, a zatim izvršimo oduzimanje. Jedinicu ćemo napisati kao \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\)

\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \color(red) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \color(red) (\frac(5) )(5)))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)

Oduzimanje mješovitih razlomaka sa različitim nazivnicima.

Razmotrimo primjer uz uvjet da razlomci minusa i oduzetog imaju različite nazivnike. Morate ga dovesti do zajedničkog nazivnika, a zatim izvršiti oduzimanje.

Oduzmite dva mješovita razlomka s različitim nazivnicima \(2\frac(2)(3)\) i \(1\frac(1)(4)\).

Zajednički imenitelj će biti broj 12.

\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \puta \color(red) (4))(3 \times \color(red) (4) )-1\frac(1 \times \color(red) (3))(4 \times \color(red) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)

Povezana pitanja:
Kako oduzeti mješovite razlomke? Kako riješiti miješane razlomke?
Odgovor: morate odlučiti kojem tipu izraz pripada i primijeniti algoritam rješenja na osnovu tipa izraza. Od cijelog broja oduzimamo cijeli broj, od razlomka oduzimamo razlomak.

Kako od celog broja oduzeti razlomak? Kako od celog broja oduzeti razlomak?
Odgovor: trebate uzeti jedinicu iz cijelog broja i zapisati ovu jedinicu kao razlomak

\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),

a zatim oduzmite cjelinu od cjeline, oduzmite razlomak od razlomka. primjer:

\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \color(red) (\frac(7) )(7)))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)

Primjer #1:
Oduzmite pravi razlomak od jedan: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)

Rješenje:
a) Zamislimo jedan kao razlomak sa nazivnikom 33. Dobijamo \(1 = \frac(33)(33)\)

\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)

b) Zamislimo jedan kao razlomak sa nazivnikom 7. Dobijamo \(1 = \frac(7)(7)\)

\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)

Primjer #2:
Oduzmite mješoviti razlomak od cijelog broja: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)

Rješenje:
a) Pozajmimo 21 jedinicu iz cijelog broja i zapišemo ga ovako \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)

\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)

b) Uzmimo jedan od cijelog broja 2 i zapišimo ga ovako \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)

\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)

Primjer #3:
Oduzmite cijeli broj od mješovitog razlomka: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)

a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)

b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)

Primjer #4:
Oduzmite pravilan razlomak od mješovitog razlomka: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)

\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)

Primjer #5:
Izračunajte \(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\)

\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \puta \color(red) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(crvena) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(red) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(poravnati)\)