Kvadratne jednadžbe s modulom, primjeri rješenja. Modul broja (apsolutna vrijednost broja), definicije, primjeri, svojstva

Jedna od najtežih tema za studente je rješavanje jednačina koje sadrže varijablu pod predznakom modula. Hajde prvo da shvatimo sa čime je ovo povezano? Zašto, na primjer, većina djece razbija kvadratne jednadžbe poput oraha, ali ima toliko problema s tako daleko od složenog koncepta kao što je modul?

Po mom mišljenju, sve ove poteškoće su povezane sa nedostatkom jasno formulisanih pravila za rešavanje jednačina sa modulom. Dakle, odlučivanje kvadratna jednačina, učenik sigurno zna da prvo treba primijeniti diskriminantnu formulu, a zatim formule za korijene kvadratne jednačine. Šta učiniti ako se u jednačini nađe modul? Pokušaćemo da jasno opišemo neophodan plan radnje u slučaju kada jednačina sadrži nepoznatu pod predznakom modula. Navest ćemo nekoliko primjera za svaki slučaj.

Ali prvo, prisjetimo se definicija modula. Dakle, po modulu broja a sam ovaj broj se zove if a nenegativni i -a, ako je broj a manje od nule. Možete to napisati ovako:

|a| = a ako je a ≥ 0 i |a| = -a ako a< 0

Govoreći o geometrijskom značenju modula, treba imati na umu da svaki realni broj odgovara određenoj tački na brojevnoj osi - njegovom koordinata. Dakle, modul ili apsolutna vrijednost broja je udaljenost od ove tačke do početka numeričke ose. Udaljenost je uvijek navedena kao pozitivan broj. Dakle, modul bilo kojeg negativnog broja je pozitivan broj. Inače, čak i u ovoj fazi, mnogi učenici počinju da se zbunjuju. Modul može sadržavati bilo koji broj, ali rezultat korištenja modula je uvijek pozitivan broj.

Pređimo sada direktno na rješavanje jednačina.

1. Razmotrimo jednačinu oblika |x| = c, gdje je c realan broj. Ova jednačina se može riješiti korištenjem definicije modula.

Sve realne brojeve dijelimo u tri grupe: one koji su veći od nule, one koji su manji od nule, a treća grupa je broj 0. Rješenje zapisujemo u obliku dijagrama:

(±c, ako je c > 0

Ako |x| = c, tada je x = (0, ako je c = 0

(bez korijena ako je sa< 0

1) |x| = 5, jer 5 > 0, tada je x = ±5;

2) |x| = -5, jer -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada je x = 0.

2. Jednadžba oblika |f(x)| = b, gdje je b > 0. Za rješavanje ove jednačine potrebno je riješiti se modula. Radimo to na ovaj način: f(x) = b ili f(x) = -b. Sada trebate riješiti svaku od rezultirajućih jednačina zasebno. Ako je u originalnoj jednadžbi b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, jer 4 > 0, onda

x + 2 = 4 ili x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, jer 11 > 0, onda

x 2 – 5 = 11 ili x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 bez korijena

3) |x 2 – 5x| = -8, jer -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Jednadžba oblika |f(x)| = g(x). Prema značenju modula, takva jednačina će imati rješenja ako je desni deo veći ili jednak nuli, tj. g(x) ≥ 0. Tada ćemo imati:

f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ova jednačina će imati korijen ako je 5x – 10 ≥ 0. Ovdje počinje rješavanje takvih jednačina.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Rješenje:

2x – 1 = 5x – 10 ili 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Kombiniramo O.D.Z. a rješenje dobijamo:

Koren x = 11/7 ne odgovara O.D.Z., manji je od 2, ali x = 3 zadovoljava ovaj uslov.

Odgovor: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Riješimo ovu nejednačinu metodom intervala:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Rješenje:

x – 1 = 1 – x 2 ili x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ili x = 1 x = 0 ili x = 1

3. Kombiniramo rješenje i O.D.Z.:

Prikladni su samo korijeni x = 1 i x = 0.

Odgovor: x = 0, x = 1.

4. Jednadžba oblika |f(x)| = |g(x)|. Takva jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema jednačinama f(x) = g(x) ili f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ova jednačina je ekvivalentna sljedećim dvjema:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ili x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ili x = 4 x = 2 ili x = 1

Odgovor: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Jednačine riješene metodom zamjene (zamjena varijable). Ovu metodu rješenja najlakše je objasniti konkretnim primjerom. Dakle, neka nam je data kvadratna jednačina sa modulom:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, pa se jednačina može prepisati na sljedeći način:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada ćemo imati:

t 2 – 6t + 5 = 0. Rješavajući ovu jednačinu, nalazimo da je t = 1 ili t = 5. Vratimo se zamjeni:

|x| = 1 ili |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Odgovor: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pogledajmo još jedan primjer:

x 2 + |x| – 2 = 0. Po svojstvu modula x 2 = |x| 2, dakle

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Napravimo zamjenu |x| = t ≥ 0, tada:

t 2 + t – 2 = 0. Rješavanjem ove jednačine dobijamo t = -2 ili t = 1. Vratimo se zamjeni:

|x| = -2 ili |x| = 1

Nema korijena x = ± 1

Odgovor: x = -1, x = 1.

6. Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa “složenim” modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti korištenjem svojstava modula.

1) |3 – |x|| = 4. Postupit ćemo na isti način kao u jednačinama drugog tipa. Jer 4 > 0, tada dobijamo dvije jednadžbe:

3 – |x| = 4 ili 3 – |x| = -4.

Izrazimo sada modul x u svakoj jednadžbi, a zatim |x| = -1 ili |x| = 7.

Rješavamo svaku od rezultirajućih jednačina. U prvoj jednadžbi nema korijena, jer -1< 0, а во втором x = ±7.

Odgovor x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Ovu jednačinu rješavamo na sličan način:

3 + |x + 1| = 5 ili 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ili x + 1 = -2. Nema korijena.

Odgovor: x = -3, x = 1.

Tu je i univerzalna metoda rješavanje jednačina sa modulom. Ovo je intervalna metoda. Ali to ćemo kasnije pogledati.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Mi ne biramo matematiku njena profesija, a ona bira nas.

Ruski matematičar Yu.I. Manin

Jednačine sa modulom

Najteži problemi za rješavanje u školskoj matematici su jednačine koje sadrže varijable pod predznakom modula. Za uspješno rješenje Za takve jednačine morate znati definiciju i osnovna svojstva modula. Naravno, učenici moraju imati vještine rješavanja jednačina ovog tipa.

Osnovni koncepti i svojstva

Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja označeno sa i definira se na sljedeći način:

TO jednostavna svojstva modul uključuje sljedeće odnose:

Bilješka, da posljednja dva svojstva vrijede za bilo koji paran stepen.

Štaviše, ako, gdje, onda i

Složenija svojstva modula, koji se može efikasno koristiti pri rješavanju jednačina sa modulima, formulirani su kroz sljedeće teoreme:

Teorema 1.Za bilo koje analitičke funkcije I nejednakost je tačna

Teorema 2. Jednakost je ekvivalentna nejednakosti.

Teorema 3. Jednakost jednako nejednakosti.

Pogledajmo tipične primjere rješavanja zadataka na temu „Jednačine, koji sadrže varijable pod znakom modula."

Rješavanje jednadžbi s modulom

Najčešći u skolska matematika metoda za rješavanje jednačina sa modulom je metoda, baziran na proširenju modula. Ova metoda je univerzalna, međutim, u opštem slučaju, njegova upotreba može dovesti do veoma glomaznih proračuna. U tom smislu, studenti bi trebali znati i druge, više efikasne metode i tehnike za rješavanje takvih jednačina. Posebno, potrebno je posjedovati vještine primjene teorema, dato u ovom članku.

Primjer 1. Riješite jednačinu. (1)

Rješenje. Jednačinu (1) ćemo riješiti korištenjem “klasične” metode – metode otkrivanja modula. Da bismo to učinili, podijelimo brojčanu osu tačke i u intervale i razmotriti tri slučaja.

1. Ako , tada , , , i jednadžba (1) poprima oblik . Iz ovoga proizilazi. Međutim, ovdje, dakle, pronađena vrijednost nije korijen jednadžbe (1).

2. Ako, onda iz jednačine (1) dobijamo ili .

Od tada korijen jednačine (1).

3. Ako, tada jednačina (1) poprima oblik ili . Zapazimo to.

Odgovor: , .

Prilikom rješavanja sljedećih jednačina sa modulom, aktivno ćemo koristiti svojstva modula kako bismo povećali efikasnost rješavanja takvih jednačina.

Primjer 2. Riješite jednačinu.

Rješenje. Od i onda iz jednačine slijedi. U tom smislu, , , i jednačina poprima oblik. Odavde dobijamo. Kako god , stoga originalna jednadžba nema korijen.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 3. Riješite jednačinu.

Rješenje. Od tada. Ako onda i jednačina poprima oblik.

Odavde dobijamo .

Primjer 4. Riješite jednačinu.

Rješenje.Prepišimo jednačinu u ekvivalentnom obliku. (2)

Rezultirajuća jednačina pripada jednadžbi tipa .

Uzimajući u obzir teoremu 2, može se tvrditi da je jednačina (2) ekvivalentna nejednakosti . Odavde dobijamo .

Odgovor: .

Primjer 5. Riješite jednačinu.

Rješenje. Ova jednačina ima oblik. Zbog toga , prema teoremi 3, ovdje imamo nejednakost ili .

Primjer 6. Riješite jednačinu.

Rješenje. Pretpostavimo to. jer , tada data jednačina poprima oblik kvadratne jednačine, (3)

Gdje . Pošto jednačina (3) ima jedinstvenu pozitivan korijen i onda . Odavde dobijamo dva korena originalne jednadžbe: i .

Primjer 7. Riješite jednačinu. (4)

Rješenje. Pošto jednačinaje ekvivalentno kombinaciji dvije jednačine: i , tada je pri rješavanju jednačine (4) potrebno razmotriti dva slučaja.

1. Ako , onda ili .

Odavde dobijamo , i .

2. Ako , onda ili .

Od tada.

Odgovor: , , , .

Primjer 8.Riješite jednačinu . (5)

Rješenje. Od i , onda . Odavde i iz jednačine (5) slijedi da i , tj. ovde imamo sistem jednačina

Međutim, ovaj sistem jednačina je nedosljedan.

Odgovor: nema korijena.

Primjer 9. Riješite jednačinu. (6)

Rješenje. Ako označimo , onda a iz jednačine (6) dobijamo

Ili . (7)

Pošto jednačina (7) ima oblik , ova jednačina je ekvivalentna nejednakosti . Odavde dobijamo . Od , tada ili .

Odgovor: .

Primjer 10.Riješite jednačinu. (8)

Rješenje.Prema teoremi 1, možemo pisati

(9)

Uzimajući u obzir jednačinu (8), zaključujemo da se obje nejednačine (9) pretvaraju u jednakosti, tj. postoji sistem jednačina

Međutim, prema teoremi 3, gornji sistem jednačina je ekvivalentan sistemu nejednačina

(10)

Rješavajući sistem nejednačina (10) dobijamo . Pošto je sistem nejednačina (10) ekvivalentan jednačini (8), originalna jednačina ima jedan koren.

Odgovor: .

Primjer 11. Riješite jednačinu. (11)

Rješenje. Neka i , tada jednakost slijedi iz jednadžbe (11).

Iz toga slijedi i . Dakle, ovdje imamo sistem nejednakosti

Rješenje za ovaj sistem nejednakosti je i .

Odgovor: , .

Primjer 12.Riješite jednačinu. (12)

Rješenje. Jednačina (12) će se riješiti metodom sekvencijalnog proširenja modula. Da bismo to učinili, razmotrimo nekoliko slučajeva.

1. Ako , onda .

1.1. Ako , tada i , .

1.2. Ako onda. Kako god , stoga, u ovom slučaju, jednačina (12) nema korijen.

2. Ako , onda .

2.1. Ako , tada i , .

2.2. Ako , onda i .

Odgovor: , , , , .

Primjer 13.Riješite jednačinu. (13)

Rješenje. Zbog lijeva strana jednadžba (13) nije negativna, tada . S tim u vezi, i jednadžba (13)

ima oblik ili .

Poznato je da je jednadžba je ekvivalentno kombinaciji dvije jednačine i , rešavanje koje dobijamo, . jer , tada jednačina (13) ima jedan korijen.

Odgovor: .

Primjer 14. Riješiti sistem jednačina (14)

Rješenje. Budući da i , onda i . Shodno tome, iz sistema jednačina (14) dobijamo četiri sistema jednačina:

Korijeni gornjih sistema jednačina su korijeni sistema jednačina (14).

Odgovor: ,, , , , , , .

Primjer 15. Riješiti sistem jednačina (15)

Rješenje. Od tada. S tim u vezi, iz sistema jednačina (15) dobijamo dva sistema jednačina

Korijeni prvog sistema jednadžbi su i , a iz drugog sistema jednačina dobijamo i .

Odgovor: , , , .

Primjer 16. Riješiti sistem jednačina (16)

Rješenje. Iz prve jednadžbe sistema (16) slijedi da je .

Od tada . Razmotrimo drugu jednačinu sistema. Zbog, to , i jednačina poprima oblik, , ili .

Ako zamijenite vrijednostu prvu jednačinu sistema (16), zatim , ili .

Odgovor: , .

Za dublje proučavanje metoda rješavanja problema, vezano za rješavanje jednačina, koji sadrži varijable pod znakom modula, možete li savjetovati nastavna sredstva sa liste preporučene literature.

1. Zbirka zadataka iz matematike za kandidate na fakultetima / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i obrazovanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: zadaci povećane složenosti. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 str.

3. Suprun V.P. Matematika za srednjoškolce: nestandardne metode rješavanja problema. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 str.

Imate još pitanja?

Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Tochilkina Yulia

U radu su prikazane različite metode za rješavanje jednačina s modulom.

Skinuti:

Pregled:

Opštinska budžetska obrazovna ustanova

"Srednja škola br. 59"

Jednačine sa modulom

Apstraktni rad

Izvedeno Učenik 9A razreda

MBOU "Srednja škola br. 59" Barnaul

Tochilkina Yulia

Supervizor

Zakharova Ljudmila Vladimirovna,

nastavnik matematike

MBOU "Srednja škola br. 59" Barnaul

Barnaul 2015

Uvod

Ja sam deveti razred. Ove školske godine ću morati da polažem završnu ovjeru za osnovnu školu. Da bismo se pripremili za ispit, kupili smo zbirku matematike D. A. Maltseva. 9. razred. Pregledavajući zbirku, otkrio sam jednadžbe koje sadrže ne samo jedan, već i nekoliko modula. Učiteljica je objasnila meni i mojim kolegama iz razreda da se takve jednačine nazivaju jednačine „ugniježđenog modula“. Ovaj naziv nam se činio neobičnim, a rješenje je, na prvi pogled, bilo prilično komplicirano. Tako se pojavila tema za moj rad „Jednačine sa modulom“. Odlučio sam da proučim ovu temu dublje, pogotovo jer će mi biti od koristi prilikom polaganja ispita na kraju školske godine i mislim da će to biti potrebno u 10. i 11. razredu. Sve navedeno određuje relevantnost teme koju sam odabrao.

Cilj rada:

1. Razmislite razne metode rješavanje jednačina sa modulom.
2. Naučite rješavati jednadžbe koje sadrže znak apsolutne vrijednosti koristeći različite metode

Za rad na ovoj temi formulirani su sljedeći zadaci:

Zadaci:

1. Proučite teorijski materijal na temu “Modul realnog broja”.
2. Razmotriti metode rješavanja jednačina i učvrstiti stečeno znanje rješavanjem zadataka.
3. Stečeno znanje primijeniti prilikom rješavanja različitih jednačina koje sadrže znak modula u srednjoj školi

Predmet studija:metode za rješavanje jednačina sa modulom

Predmet studija:jednačine sa modulom

Metode istraživanja:

Teorijski : proučavanje literature na temu istraživanja;

Internet - informacije.

Analiza informacije dobijene proučavanjem literature; rezultati dobijeni pri rješavanju jednačina sa modulom Različiti putevi.

Poređenje metode za rješavanje jednačina predmet je racionalnosti njihove upotrebe pri rješavanju različitih jednačina sa modulom.

“Počinjemo razmišljati kada nešto udarimo.” Paul Valery.

1. Koncepti i definicije.

Koncept "modula" se široko koristi u mnogim dijelovima školskog kursa matematike, na primjer, u proučavanju apsolutnih i relativnih grešaka približnog broja; u geometriji i fizici se proučavaju pojmovi vektora i njegove dužine (vektorski modul). Koncepti modula se koriste u predmetima visoke matematike, fizike i tehničkih nauka koji se izučavaju u visokoškolskim ustanovama.

Riječ “modul” dolazi od latinske riječi “modulus”, što znači “mjera”. Ova riječ ima mnogo značenja i koristi se ne samo u matematici, fizici i tehnologiji, već iu arhitekturi, programiranju i drugim egzaktnim naukama.

Vjeruje se da je termin predložio Cotes, Newtonov učenik. Znak modula uveo je u 19. vijeku Weierstrass.

U arhitekturi, modul je početna mjerna jedinica uspostavljena za datu arhitektonsku strukturu.

U tehnologiji, ovo je izraz koji se koristi u raznim oblastima tehnologija, koja služi za označavanje različitih koeficijenata i veličina, na primjer, modul elastičnosti, modul zahvata...

U matematici, modul ima nekoliko značenja, ali ja ću ga smatrati apsolutnom vrijednošću broja.

Definicija 1: Modul (apsolutna vrijednost) realnog broja A sam ovaj broj se zove if A ≥0, ili suprotan broj – i ako A modul nule je nula.

Prilikom rješavanja jednadžbi s modulom zgodno je koristiti svojstva modula.

Razmotrimo dokaze svojstava 5,6,7.

Tvrdnja 5. Jednakost │ a+b │=│ a │+│ b │ je tačno ako av ≥ 0.

Dokaz. Zaista, nakon kvadriranja obje strane ove jednakosti, dobivamo │ a+b │²=│ a │²+2│ ab │+│ c │²,

a²+ 2 ab+b²=a²+ 2│ ab │+ b², odakle je │ ab │= ab

I posljednja jednakost će biti istinita kada av ≥0.

Tvrdnja 6. Jednakost │ a-c │=│ a │+│ c │ je istina kada av ≤0.

Dokaz. Da se to dokaže, dovoljno je u jednakosti

│ a+v │=│ a │+│ v │ zamijeniti v sa - v, zatim a· (- v ) ≥0, odakle je av ≤0.

Tvrdnja 7. Jednakost │ a │+│ b │= a+b izvedeno u a ≥0 i b ≥0.

Dokaz . Razmotrivši četiri slučaja a ≥0 i b ≥0; a ≥0 i c A u ≥0; A V a ≥0 i b ≥0.

(a-c) u ≥0.

Geometrijska interpretacija

|a| - ovo je udaljenost na koordinatnoj liniji od tačke sa koordinatom A , do porijekla.

|-a| |a|

A 0 a x

Geometrijska interpretacija značenja |a| jasno potvrđuje da |-a|=|a|

Ako a 0, tada na koordinatnoj pravoj postoje dvije tačke a i –a, jednako udaljene od nule, čiji su moduli jednaki.

Ako je a=0, onda na koordinatnoj liniji |a| predstavljeno tačkom 0.

2. definicija: Jednačina sa modulom je jednačina koja sadrži varijablu pod znakom apsolutne vrijednosti (pod znakom modula). Na primjer: |x +3|=1

Definicija 3: Rješavanje jednadžbe znači pronalaženje svih njezinih korijena ili dokazivanje da nema korijena.

2. Metode rješenja

Iz definicije i svojstava modula slijede glavne metode za rješavanje jednačina s modulom:

1. "Proširivanje" modula (tj. korištenje definicije);
2. Korištenje geometrijskog značenja modula (osobina 2);
3. Metoda grafičkog rješenja;
4. Korištenje ekvivalentnih transformacija (osobine 4.6);
5. Zamjena varijable (ovo koristi svojstvo 5).
6. Intervalna metoda.

Odlučio sam dovoljno veliki broj primjere, ali u radu vam predstavljam samo nekoliko, po mom mišljenju, tipičnih primjera, riješenih na razne načine, jer se ostali dupliraju i da biste razumjeli kako rješavati jednadžbe sa modulom nije potrebno razmotriti sve riješene primjere.

RJEŠAVANJE JEDNAČINA | f(x)| = a

Razmotrimo jednačinu | f(x)| = a, a R

Jednačina ovog tipa može se riješiti definicijom modula:

Ako A tada jednačina nema korijena.

Ako je a= 0, onda je jednadžba ekvivalentna f(x)=0.

Ako je a>0, tada je jednadžba ekvivalentna skupu

Primjer. Riješite jednačinu |3x+2|=4.

Rješenje.

|3x+2|=4, zatim 3x+2=4,

3x+2= -4;

X=-2,

X=2/3

ODGOVOR: -2;2/3.

RJEŠAVANJE JEDNAČINA KORIŠĆENJEM GEOMETRIJSKIH SVOJSTVA MODULA.

Primjer 1. Riješite jednačinu /x-1/+/x-3/=6.

Rješenje.

Rješavanje ove jednadžbe znači pronalaženje svih takvih tačaka na numeričkoj osi Ox, za svaku od kojih je zbir udaljenosti od nje do tačaka sa koordinatama 1 i 3 jednak 6.

Niti jedne tačke iz segmentane zadovoljava ovaj uslov, jer zbir prikazanih udaljenosti je 2. Izvan ovog segmenta postoje dvije tačke: 5 i -1.

1 1 3 5

Odgovor: -1;5

Primjer 2. Riješi jednačinu |x 2 +x-5|+|x 2 +x-9|=10.

Rješenje.

Označimo x 2 +x-5= a, zatim / a /+/ a-4 /=10. Nađimo tačke na osi Ox tako da je za svaku od njih zbir udaljenosti do tačaka sa koordinatama 0 i 4 jednak 10. Ovaj uslov je zadovoljen sa -4 i 7.

3 0 4 7

Dakle, x 2 +x-5= 4 x 2 +x-5=7

X 2 +x-2=0 x 2 +x-12=0

X 1= 1, x 2= -2 x 1= -4, x 2= 3 Odgovor: -4;-2; 1; 3.

RJEŠAVANJE JEDNAČINA | f(x)| = | g(x)|.

1. Od | a |=|u |, ako je a= u, onda jednačina oblika | f(x)| = | g(x )| ekvivalentan totalitetu

Primjer 1.

Riješite jednačinu | x –2| = |3 – x |.

Rješenje.

Ova jednadžba je ekvivalentna dvije jednačine:

x – 2 = 3 – x (1) i x – 2 = –3 + x (2)

2 x = 5 –2 = –3 – netačno

X = 2,5 jednačina nema rješenja.

ODGOVOR: 2.5.

Primjer 2.

Riješi jednačinu |x 2 +3x-20|= |x 2 -3x+ 2|.

Rješenje.

Pošto su obje strane jednadžbe nenegativne, ondakvadriranje je ekvivalentna transformacija:

(x 2 +3x-20) 2 = (x 2 -3x+2) 2

(x 2 +3x-20) 2 - (x 2 -3x+2) 2 =0,

(x 2 +3x-20-x 2 +3x-2) (x 2 +3x-20+x 2 -3x+2)=0,

(6x-22)(2x 2 -18)=0,

6x-22=0 ili 2x 2 -18=0;

X=22/6, x=3, x=-3.

X=11/3

Odgovor: -3; 3; 11/3.

RJEŠENJE JEDNAČINA GLEDA | f(x)| = g(x).

Razlika između ovih jednačina i| f(x)| = a činjenica da je desna strana takođe varijabla. A može biti i pozitivno i negativno. Stoga se morate posebno pobrinuti da nije negativan, jer modul ne može biti jednak negativnom broju (svojstvo№1 )

1 način

Rješenje jednadžbe | f(x)| = g(x ) svodi na skup rješenja jednadžbii provjera pravednosti nejednakosti g(x )>0 za pronađene vrijednosti nepoznate.

Metoda 2 (prema definiciji modula)

Od | f(x)| = g(x) ako je f(x) = 0; | f(x)| = - f(x) ako je f(x)

Primjer.

Riješite jednačinu |3 x –10| = x – 2.

Rješenje.

Ova jednačina je ekvivalentna kombinaciji dva sistema:

ODGOVOR: 3; 4.

RJEŠENJE JEDNAČINA OBLIKA |f 1 (x)|+|f 2 (x)|+…+|f n (x)|=g(x)

Rješenje jednačina ovog tipa zasniva se na definiciji modula. Za svaku funkciju f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) potrebno je pronaći domen definicije, njegove nule i tačke diskontinuiteta, dijeleći opći domen definicije na intervale, u svakom od kojih su funkcije f 1 (x), f 2 (x), …, f n (x) zadržavaju svoj znak. Zatim, koristeći definiciju modula, za svako od pronađenih područja dobijamo jednačinu koja se mora riješiti na ovom intervalu. Ova metoda se zove "intervalna metoda»

Primjer.

Riješite jednačinu |x-2|-3|x+4|=1.

Rješenje.

Nađimo tačke u kojima su submodularni izrazi jednaki nuli

x-2=0, x+4=0,

x=2; x=-4.

Podijelimo brojevnu pravu na intervale x

Rješavanje jednadžbe se svodi na rješavanje tri sistema:

ODGOVOR: -15, -1.8.

GRAFIČKA METODA ZA RJEŠAVANJE JEDNAČINA KOJA SADRŽE MODULE SIGN.

Grafička metoda rješavanja jednačina je približna, jer tačnost ovisi o odabranom segmentu jedinice, debljini olovke, uglovima pod kojima se prave seku itd. Ali ova metoda vam omogućava da procijenite koliko rješenja ima jedna jednačina.

Primjer. Riješite grafički jednačinu |x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| = 9

Rješenje. Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu

y=|x - 2| + |x - 3| + |2x - 8| i y=9.

Da biste napravili graf, morate uzeti u obzir ovu funkciju na svakom intervalu (-∞; 2); [ 3/2 ; ∞ )

Odgovor: (- ∞ ; 4/3] [ 3/2 ; ∞ )

Također smo koristili metodu ekvivalentnih transformacija prilikom rješavanja jednačina | f(x)| = | g(x)|.

JEDNAČINE SA SLOŽENIM MODULOM

Druga vrsta jednadžbi su jednačine sa “složenim” modulom. Takve jednačine uključuju jednačine koje imaju "module unutar modula". Jednačine ovog tipa mogu se riješiti različitim metodama.

Primjer 1.

Riješite jednačinu ||||x| – |–2| –1| –2| = 2.

Rješenje.

Po definiciji modula imamo:

Rešimo prvu jednačinu.

1. ||| x |–2| –1| = 4

| x | – 2 = 5;

| x | = 7;

x = 7.

Rešimo drugu jednačinu.

1. ||| x | –2| –1| = 0,

|| x | –2| = 1,

| x | –2 = 1,

| x | = 3 i | x | = 1,

x = 3; x = 1.

Odgovor: 1; 3; 7.

Primjer 2.

Riješite jednačinu |2 – |x + 1|| = 3.

Rješenje.

Rešimo jednačinu uvođenjem nove varijable.

Neka | x + 1| = y, tada |2 – y | = 3, odavde

Uradimo obrnutu zamjenu:

(1) | x + 1| = –1 – nema rješenja.

(2) | x + 1| = 5

ODGOVOR: –6; 4.

Primjer 3.

Koliko korijena ima jednadžba | 2 | x | -6 | = 5 - x?

Rješenje. Rešimo jednačinu koristeći šeme ekvivalencije.

Jednadžba | 2 | x | -6 | = 5 je ekvivalentno sistemu:

U ovom članku ćemo detaljno analizirati apsolutna vrijednost broja. Dat ćemo različite definicije modula broja, uvesti notaciju i dati grafičke ilustracije. U isto vrijeme, razmotrimo razni primjeri nalaženje modula broja po definiciji. Nakon toga ćemo navesti i obrazložiti glavna svojstva modula. Na kraju članka ćemo govoriti o tome kako se određuje i pronalazi modul kompleksnog broja.

Navigacija po stranici.

Modul brojeva - definicija, notacija i primjeri

Prvo se upoznajemo oznaka modula broja. Zapisaćemo modul broja a kao , odnosno lijevo i desno od broja stavićemo okomite crtice da formiramo znak modula. Navedimo par primjera. Na primjer, modul −7 se može napisati kao ; modul 4.125 je napisan kao , a modul ima zapis u obliku .

Sljedeća definicija modula odnosi se na , i stoga na , i na cijele brojeve, i na racionalne, i na iracionalne brojeve, kao sastavne dijelove skupa realnih brojeva. Govorit ćemo o modulu kompleksnog broja u.

Definicija.

Modul broja a– ovo je ili sam broj a, ako je a pozitivan broj, ili broj −a, suprotan broj a , ako a – negativan broj, ili 0 ako je a=0 .

Zvučna definicija modula broja često se piše u sljedećem obliku , ovaj unos znači da ako je a>0, ako je a=0, i ako je a<0 .

Zapis se može predstaviti u kompaktnijoj formi . Ova notacija znači da ako (a je veće ili jednako 0), i ako je a<0 .

Tu je i ulaz . Ovdje treba posebno objasniti slučaj kada je a=0. U ovom slučaju imamo , ali −0=0, budući da se nula smatra brojem koji je suprotan samom sebi.

Hajde da damo primjeri nalaženja modula broja koristeći navedenu definiciju. Na primjer, pronađimo module brojeva 15 i . Počnimo sa pronalaženjem. Pošto je broj 15 pozitivan, njegov je modul, po definiciji, jednak samom ovom broju, odnosno, . Koliki je modul broja? Pošto je negativan broj, njegov modul je jednak broju suprotnom broju, odnosno broju . Dakle, .

Da zaključimo ovo, donosimo jedan zaključak koji je vrlo pogodan za korištenje u praksi pri pronalaženju modula broja. Iz definicije modula broja proizilazi da modul broja jednak je broju ispod predznaka modula bez uzimanja u obzir njegovog predznaka, a iz gore navedenih primjera to je vrlo jasno vidljivo. Navedena izjava objašnjava zašto se naziva i modul broja apsolutnu vrijednost broja. Dakle, modul broja i apsolutna vrijednost broja su jedno te isto.

Modul broja kao udaljenost

Geometrijski, modul broja može se tumačiti kao razdaljina. Hajde da damo određivanje modula broja kroz udaljenost.

Definicija.

Modul broja a– ovo je rastojanje od početka na koordinatnoj liniji do tačke koja odgovara broju a.

Ova definicija je u skladu sa definicijom modula broja datom u prvom paragrafu. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Udaljenost od početka do tačke koja odgovara pozitivnom broju jednaka je ovom broju. Nula odgovara ishodištu, stoga je udaljenost od ishodišta do tačke s koordinatom 0 jednaka nuli (ne morate izdvojiti jedan jedinični segment i niti jedan segment koji čini bilo koji dio jediničnog segmenta po redu doći od tačke O do tačke sa koordinatom 0). Udaljenost od ishodišta do tačke sa negativnom koordinatom jednaka je broju suprotnom od koordinate ove tačke, jer je jednaka udaljenosti od ishodišta do tačke čija je koordinata suprotan broj.

Na primjer, modul broja 9 je jednak 9, jer je udaljenost od početka do tačke sa koordinatom 9 jednaka devet. Dajemo još jedan primjer. Tačka sa koordinatom −3,25 nalazi se na udaljenosti 3,25 od tačke O, dakle .

Navedena definicija modula broja je poseban slučaj definicije modula razlike dva broja.

Definicija.

Modul razlike dva broja a i b je jednako rastojanju između tačaka koordinatne linije sa koordinatama a i b.

To jest, ako su date tačke na koordinatnoj liniji A(a) i B(b), tada je udaljenost od tačke A do tačke B jednaka modulu razlike između brojeva a i b. Ako uzmemo tačku O (početak) kao tačku B, onda ćemo dobiti definiciju modula broja datu na početku ovog pasusa.

Određivanje modula broja pomoću aritmetičkog kvadratnog korijena

Povremeno se javlja određivanje modula preko aritmetičkog kvadratnog korijena.

Na primjer, izračunajmo module brojeva −30 i na osnovu ove definicije. Imamo. Slično, izračunavamo modul od dvije trećine: .

Definicija modula broja kroz aritmetički kvadratni korijen je također u skladu sa definicijom datom u prvom stavu ovog člana. Hajde da to pokažemo. Neka je a pozitivan broj, i neka je −a negativan broj. Onda I , ako je a=0, onda .

Svojstva modula

Modul ima niz karakterističnih rezultata - svojstva modula. Sada ćemo predstaviti glavne i najčešće korištene od njih. Kada opravdavamo ova svojstva, oslonićemo se na definiciju modula broja u smislu udaljenosti.

Počnimo s najočiglednijim svojstvom modula - Modul broja ne može biti negativan broj. U doslovnom obliku, ovo svojstvo ima oblik za bilo koji broj a. Ovo svojstvo je vrlo lako opravdati: modul broja je udaljenost, a udaljenost se ne može izraziti kao negativan broj.

Pređimo na sljedeće svojstvo modula. Modul broja je nula ako i samo ako je ovaj broj nula. Modul nule je nula po definiciji. Nula odgovara početku; nijedna druga tačka na koordinatnoj liniji ne odgovara nuli, jer je svaki realan broj povezan sa jednom tačkom na koordinatnoj liniji. Iz istog razloga, bilo koji broj osim nule odgovara tački različitoj od početka. A rastojanje od početka do bilo koje tačke osim tačke O nije nula, pošto je rastojanje između dve tačke nula ako i samo ako se ove tačke poklapaju. Gornje rezonovanje dokazuje da je samo modul nule jednak nuli.

Nastavi. Suprotni brojevi imaju jednake module, odnosno za bilo koji broj a. Zaista, dvije tačke na koordinatnoj liniji, čije su koordinate suprotni brojevi, nalaze se na istoj udaljenosti od početka, što znači da su moduli suprotnih brojeva jednaki.

Sljedeće svojstvo modula je: Modul proizvoda dva broja jednak je proizvodu modula ovih brojeva, to je, . Po definiciji, modul proizvoda brojeva a i b jednak je ili a·b ako je , ili −(a·b) ako je . Iz pravila množenja realnih brojeva slijedi da je proizvod modula brojeva a i b jednak ili a·b, , ili −(a·b) ako je , što dokazuje dotično svojstvo.

Modul količnika a podijeljenog sa b jednak je količniku modula broja podijeljenog modulom od b, to je, . Hajde da opravdamo ovo svojstvo modula. Pošto je količnik jednak proizvodu, onda. Na osnovu prethodnog svojstva imamo . Ostaje samo koristiti jednakost , koja vrijedi na osnovu definicije modula broja.

Sljedeće svojstvo modula zapisuje se kao nejednakost: , a , b i c su proizvoljni realni brojevi. Napisana nejednakost nije ništa drugo do nejednakost trougla. Da ovo bude jasno, uzmimo tačke A(a), B(b), C(c) na koordinatnoj pravoj i razmotrimo degenerisani trougao ABC, čiji vrhovi leže na istoj pravoj. Po definiciji, modul razlike jednak je dužini odsječka AB, - dužini odsječka AC, i - dužini odsječka CB. Kako dužina bilo koje stranice trokuta ne prelazi zbir dužina druge dvije stranice, tada je tačna nejednakost , dakle, tačna je i nejednakost.

Upravo dokazana nejednakost je mnogo češća u obliku . Napisana nejednakost se obično posmatra kao zasebno svojstvo modula sa formulacijom: “ Modul zbira dva broja ne prelazi zbir modula ovih brojeva" Ali nejednakost proizlazi direktno iz nejednakosti ako stavimo −b umjesto b i uzmemo c=0.

Modul kompleksnog broja

Hajde da damo definicija modula kompleksnog broja. Neka nam se da kompleksni broj, napisan u algebarskom obliku, gdje su x i y neki realni brojevi, koji predstavljaju realni i imaginarni dio datog kompleksnog broja z, i predstavlja imaginarnu jedinicu.

Termin (modul) u doslovnom prijevodu s latinskog znači “mjera”. Ovaj koncept je u matematiku uveo engleski naučnik R. Cotes. A njemački matematičar K. Weierstrass uveo je znak modula - simbol koji označava ovaj koncept prilikom pisanja.

Po prvi put se ovaj koncept izučava u matematici u nastavnom planu i programu 6. razreda srednje škole. Prema jednoj definiciji, modul je apsolutna vrijednost realnog broja. Drugim riječima, da biste saznali modul realnog broja, morate odbaciti njegov predznak.

Grafički apsolutna vrijednost A označeno kao |a|.

Glavna karakteristika ovog koncepta je da je to uvijek nenegativna veličina.

Brojevi koji se međusobno razlikuju samo predznakom nazivaju se suprotni brojevi. Ako je vrijednost pozitivna, onda je njena suprotnost negativna, a nula je njena suprotnost.

Geometrijsko značenje

Ako koncept modula razmatramo iz perspektive geometrije, onda će on označavati udaljenost koja se mjeri u jediničnim segmentima od početka koordinata do date tačke. Ova definicija u potpunosti otkriva geometrijsko značenje pojma koji se proučava.

Grafički se to može izraziti na sljedeći način: |a| = OA.

Svojstva apsolutne vrijednosti

U nastavku ćemo razmotriti sva matematička svojstva ovog koncepta i načine njegovog pisanja u obliku doslovnih izraza:

Osobine rješavanja jednačina s modulom

Ako govorimo o rješavanju matematičkih jednadžbi i nejednačina koje sadrže modul, onda moramo imati na umu da ćete za njihovo rješavanje morati otvoriti ovaj znak.

Na primjer, ako znak apsolutne vrijednosti sadrži neki matematički izraz, tada je prije otvaranja modula potrebno uzeti u obzir trenutne matematičke definicije.

|A + 5| = A + 5, ako je A veće ili jednako nuli.

5-A, ako je A vrijednost manja od nule.

U nekim slučajevima, znak se može nedvosmisleno otkriti za bilo koju vrijednost varijable.

Pogledajmo još jedan primjer. Konstruirajmo koordinatnu liniju na kojoj označavamo sve numeričke vrijednosti čija će apsolutna vrijednost biti 5.

Prvo morate nacrtati koordinatnu liniju, označiti ishodište koordinata na njoj i postaviti veličinu jediničnog segmenta. Osim toga, prava linija mora imati smjer. Sada je na ovoj liniji potrebno primijeniti oznake koje će biti jednake veličini segmenta jedinice.

Dakle, možemo vidjeti da će na ovoj koordinatnoj liniji biti dvije točke koje nas zanimaju sa vrijednostima 5 i -5.