Co oblicza się za pomocą logarytmu. Własności logarytmów i przykłady ich rozwiązań. Kompleksowy przewodnik (2019)

Sprawdź, czy pod znakiem logarytmu znajdują się liczby ujemne lub jedynka. Metodę tę można zastosować do wyrażeń w formie log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a)))). Jednak nie nadaje się do niektórych szczególnych przypadków:
- Logarytm liczby ujemnej nie jest zdefiniowany w żadnej podstawie (na przykład log ⁡ (- 3) (\ Displaystyle \ log (-3)) Lub log 4 ⁡ (- 5) (\ Displaystyle \ log _ (4) (-5))). W tym przypadku napisz „brak rozwiązania”.
- Logarytm zera do dowolnej podstawy jest również nieokreślony. Jeśli zostaniesz złapany ln ⁡ (0) (\ displaystyle \ ln (0)), wpisz „brak rozwiązania”.
- Logarytm jeden do dowolnej podstawy ( log ⁡ (1) (\ displaystyle \ log (1))) wynosi zawsze zero, ponieważ x 0 = 1 (\ displaystyle x ^ (0) = 1) dla wszystkich wartości X. Zamiast tego logarytmu wpisz 1 i nie korzystaj z poniższej metody.
- Jeśli logarytmy mają różne podstawy, np l o sol 3 (x) l o sol 4 (a) (\ Displaystyle (\ Frac (log_ (3) (x)) (log_ (4) (a)))) i nie są zredukowane do liczb całkowitych, wartości wyrażenia nie można znaleźć ręcznie.
Zamień wyrażenie na jeden logarytm. Jeśli wyrażenie nie jest jednym z powyższych specjalne okazje, można to przedstawić jako pojedynczy logarytm. Użyj w tym celu poniższej formuły: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log za ⁡ (x) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (b) (x)) (\ log _ (b) (a))) = \ log_(a)(x)).
- Przykład 1: Rozważmy wyrażenie log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2}}}.
  Najpierw przedstawmy wyrażenie jako pojedynczy logarytm, korzystając z powyższego wzoru: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log (16)) (\ log (2))) = \ log _ (2) (16)}.
- Ten wzór na „zastąpienie podstawy” logarytmu wywodzi się z podstawowych właściwości logarytmów.
Jeśli to możliwe, oceń wartość wyrażenia ręcznie. Znaleźć log za ⁡ (x) (\ Displaystyle \ log _ (a) (x)) wyobraź sobie wyrażenie „ A? = x (\ displaystyle a ^ (?) = x)", czyli zadaj sobie pytanie następne pytanie: „Do jakiej potęgi powinniśmy się podnieść A, Pozyskać X?. Odpowiedź na to pytanie może wymagać użycia kalkulatora, ale jeśli będziesz mieć szczęście, być może uda Ci się go znaleźć ręcznie.
- Przykład 1 (ciąg dalszy): Przepisz jako 2? = 16 (\ displaystyle 2 ^ (?) = 16). Musisz znaleźć, jaka liczba powinna stanąć w miejscu znaku „?”. Można to zrobić metodą prób i błędów:
  2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\ Displaystyle 2 ^ (2) = 2 * 2 = 4)
  2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\ Displaystyle 2 ^ (3) = 4 * 2 = 8)
  2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\ Displaystyle 2 ^ (4) = 8 * 2 = 16)
  Zatem szukana liczba to 4: log 2 ⁡ (16) (\ Displaystyle \ log _ (2) (16)) = 4 .
Pozostaw odpowiedź w formie logarytmicznej, jeśli nie możesz jej uprościć. Wiele logarytmów jest bardzo trudnych do obliczenia ręcznie. W takim przypadku, aby uzyskać dokładną odpowiedź, będziesz potrzebować kalkulatora. Jeśli jednak rozwiązujesz problem na zajęciach, nauczyciel najprawdopodobniej będzie usatysfakcjonowany odpowiedzią w formie logarytmicznej. Metoda omówiona poniżej służy do rozwiązania bardziej złożonego przykładu:
- przykład 2: co jest równe log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7)}}?
- Przekształćmy to wyrażenie na jeden logarytm: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle (\ Frac (\ log _ (3) (58)) (\ log _ (3) (7))) = \ log_(7)(58)). Należy zauważyć, że podstawa 3 wspólna dla obu logarytmów znika; jest to prawdą z jakiegokolwiek powodu.
- Przepiszmy wyrażenie w formie 7? = 58 (\ displaystyle 7 ^ (?) = 58) i spróbujmy znaleźć wartość?:
  7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\ Displaystyle 7 ^ (2) = 7 * 7 = 49)
  7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\ Displaystyle 7 ^ (3) = 49 * 7 = 343)
  Ponieważ pomiędzy tymi dwiema liczbami znajduje się 58, nie jest ona wyrażana jako liczba całkowita.
- Odpowiedź pozostawiamy w formie logarytmicznej: log 7 ⁡ (58) (\ Displaystyle \ log _ (7) (58)).

W miarę rozwoju społeczeństwa i coraz bardziej złożonej produkcji rozwijała się także matematyka. Przejście od prostego do złożonego. Od konwencjonalnej rachunkowości metodą dodawania i odejmowania, z ich powtarzane wiele razy, doszedł do koncepcji mnożenia i dzielenia. Ograniczenie powtarzającej się operacji mnożenia stało się koncepcją potęgowania. Pierwsze tablice zależności liczb od podstawy i liczby potęgowań zostały opracowane już w VIII wieku przez indyjskiego matematyka Varasenę. Z nich można policzyć czas wystąpienia logarytmów.

Szkic historyczny

Odrodzenie Europy w XVI wieku pobudziło także rozwój mechaniki. T wymagało dużej ilości obliczeń związane z mnożeniem i dzieleniem liczby wielocyfrowe. Starożytne stoły były bardzo przydatne. Pozwolili na wymianę złożone operacje do prostszych - dodawanie i odejmowanie. Dużym krokiem naprzód była praca matematyka Michaela Stiefela, opublikowana w 1544 roku, w której zrealizował ideę wielu matematyków. Dzięki temu możliwe było wykorzystanie tabel nie tylko dla stopni w formularzu liczby pierwsze, ale także arbitralnie racjonalne.

W 1614 r. Szkot John Napier, rozwijając te idee, po raz pierwszy wprowadził nowy termin „logarytm liczby”. Opracowano nowe złożone tabele do obliczania logarytmów sinusów i cosinusów, a także stycznych. To znacznie ograniczyło pracę astronomów.

Zaczęły pojawiać się nowe tablice, z których naukowcy z powodzeniem korzystali przez trzy stulecia. Dużo czasu minęło wcześniej nowa operacja w algebrze uzyskał on swoją gotową formę. Podano definicję logarytmu i zbadano jego właściwości.

Dopiero w XX wieku, wraz z pojawieniem się kalkulatora i komputera, ludzkość porzuciła starożytne tablice, które z powodzeniem działały przez cały XIII wiek.

Dzisiaj nazywamy logarytm b opierając a na liczbie x, która jest potęgą a dającą b. Zapisuje się to jako wzór: x = log a(b).

Na przykład log 3(9) będzie równy 2. Jest to oczywiste, jeśli postępujesz zgodnie z definicją. Jeśli podniesiemy 3 do potęgi 2, otrzymamy 9.

Tak więc sformułowana definicja stawia tylko jedno ograniczenie: liczby a i b muszą być rzeczywiste.

Rodzaje logarytmów

Klasyczna definicja nazywa się logarytmem rzeczywistym i jest w rzeczywistości rozwiązaniem równania a x = b. Opcja a = 1 jest na granicy i nie jest interesująca. Uwaga: 1 do dowolnej potęgi równa się 1.

Rzeczywista wartość logarytmu zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa i argument są większe niż 0, a podstawa nie może być równa 1.

Szczególne miejsce w dziedzinie matematyki zagraj w logarytmy, które będą nazywane w zależności od wielkości ich podstawy:

Zasady i ograniczenia

Podstawową właściwością logarytmów jest zasada: logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmicznej. log abp = log a(b) + log a(p).

Wariantem tego stwierdzenia będzie: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), funkcja ilorazu jest równa różnicy funkcji.

Z dwóch poprzednich reguł łatwo zauważyć, że: log a(b p) = p * log a(b).

Inne właściwości obejmują:

Komentarz. Nie popełniaj typowego błędu – logarytm sumy taki nie jest równa sumie logarytmy.

Przez wiele stuleci operacja znajdowania logarytmu była zadaniem dość czasochłonnym. Matematycy posługiwali się dobrze znanym wzorem logarytmicznej teorii rozwinięcia wielomianu:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdzie n - Liczba naturalna większa niż 1, co określa dokładność obliczeń.

Logarytmy o innych podstawach obliczono, korzystając z twierdzenia o przejściu z jednej podstawy do drugiej i własności logarytmu iloczynu.

Ponieważ metoda ta jest bardzo pracochłonna i przy rozwiązywaniu problemów praktycznych trudne do wdrożenia, wykorzystaliśmy gotowe tablice logarytmów, co znacznie przyspieszyło całą pracę.

W niektórych przypadkach wykorzystano specjalnie zaprojektowane wykresy logarytmiczne, co dawało mniejszą dokładność, ale znacznie przyspieszało poszukiwania Pożądana wartość. Krzywa funkcji y = log a(x), zbudowana w kilku punktach, pozwala za pomocą zwykłej linijki znaleźć wartość funkcji w dowolnym innym punkcie. Inżynierowie długi czas Do tych celów używano tzw. papieru milimetrowego.

W XVII wieku pojawiły się pierwsze pomocnicze warunki obliczeniowe analogowe, które 19 wiek uzyskał wykończony wygląd. Najbardziej udane urządzenie nazwano suwakiem logarytmicznym. Pomimo prostoty urządzenia, jego wygląd znacznie przyspieszał proces wszelkich obliczeń inżynierskich, a to jest trudne do przecenienia. Obecnie niewiele osób zna to urządzenie.

Pojawienie się kalkulatorów i komputerów sprawiło, że korzystanie z jakichkolwiek innych urządzeń stało się bezcelowe.

Równania i nierówności

Aby rozwiązać różne równania i nierówności za pomocą logarytmów, stosuje się następujące wzory:

Przechodzenie z jednej bazy do drugiej: log a(b) = log c(b) / log c(a);
Konsekwencją poprzedniej opcji: log a(b) = 1 / log b(a).

Aby rozwiązać nierówności, warto wiedzieć:

Wartość logarytmu będzie dodatnia tylko wtedy, gdy podstawa i argument będą większe lub mniejsze od jedności; jeżeli zostanie naruszony przynajmniej jeden warunek, wartość logarytmu będzie ujemna.
Jeżeli funkcję logarytmu zastosujemy do prawej i lewej strony nierówności, a podstawa logarytmu jest większa niż jeden, to znak nierówności zostaje zachowany; inaczej to się zmienia.

Przykładowe problemy

Rozważmy kilka opcji użycia logarytmów i ich właściwości. Przykłady rozwiązywania równań:

Rozważ możliwość umieszczenia logarytmu w potędze:

Zadanie 3. Oblicz 25^log 5(3). Rozwiązanie: w warunkach problemu wpis jest podobny do następującego (5^2)^log5(3) lub 5^(2 * log 5(3)). Zapiszmy to inaczej: 5^log 5(3*2), czyli kwadrat liczby jako argumentu funkcji, można zapisać jako kwadrat samej funkcji (5^log 5(3))^2. Korzystając z właściwości logarytmów, to wyrażenie jest równe 3^2. Odpowiedź: w wyniku obliczeń otrzymujemy 9.

Praktyczne użycie

Będąc narzędziem czysto matematycznym, wydaje się to dalekie od ideału prawdziwe życieże logarytm nagle zyskał ogromne znaczenie w opisie obiektów w świecie rzeczywistym. Trudno znaleźć naukę, w której nie jest ona wykorzystywana. Dotyczy to w pełni nie tylko przyrodniczych, ale także humanitarnych dziedzin wiedzy.

Zależności logarytmiczne

Oto kilka przykładów zależności numerycznych:

Mechanika i fizyka

Historycznie rzecz biorąc, mechanika i fizyka zawsze rozwijały się przy użyciu metody matematyczne badań, a jednocześnie stanowił zachętę do rozwoju matematyki, w tym logarytmów. Teoria większości praw fizyki jest napisana w języku matematyki. Podajmy tylko dwa przykłady opisu praw fizycznych za pomocą logarytmu.

Problem obliczenia tak złożonej wielkości, jak prędkość rakiety, można rozwiązać za pomocą wzoru Ciołkowskiego, który położył podwaliny pod teorię eksploracji kosmosu:

V = I * ln (M1/M2), gdzie

V to prędkość końcowa samolotu.
I – impuls właściwy silnika.
M 1 – masa początkowa rakiety.
M 2 – masa końcowa.

Inny ważny przykład - jest to stosowane we wzorze innego wielkiego naukowca Maxa Plancka, który służy do oceny stanu równowagi w termodynamice.

S = k * ln (Ω), gdzie

S – właściwość termodynamiczna.
k – stała Boltzmanna.
Ω jest wagą statystyczną różnych stanów.

Chemia

Mniej oczywiste jest stosowanie w chemii wzorów zawierających iloraz logarytmów. Podajmy tylko dwa przykłady:

Równanie Nernsta, stan potencjału redoks ośrodka w zależności od aktywności substancji i stałej równowagi.
Obliczenia takich stałych jak wskaźnik autolizy i kwasowość roztworu również nie da się wykonać bez naszej funkcji.

Psychologia i biologia

I wcale nie jest jasne, co ma z tym wspólnego psychologia. Okazuje się, że siłę czucia dobrze opisuje ta funkcja jako odwrotny stosunek wartości natężenia bodźca do wartości natężenia niższego.

Po powyższych przykładach nie jest już zaskakujące, że temat logarytmów jest szeroko stosowany w biologii. O formach biologicznych odpowiadających spiralom logarytmicznym można napisać całe tomy.

Inne obszary

Wydaje się, że istnienie świata nie jest możliwe bez związku z tą funkcją i rządzi ona wszelkimi prawami. Zwłaszcza, gdy prawa natury są powiązane postęp geometryczny. Warto zajrzeć na stronę MatProfi, a takich przykładów jest wiele w następujących obszarach działalności:

Lista może nie mieć końca. Po opanowaniu podstawowych zasad tej funkcji możesz zanurzyć się w świat nieskończonej mądrości.

Dzisiaj porozmawiamy o wzory logarytmiczne i podamy orientacyjnie przykłady rozwiązań.

Sami implikują wzorce rozwiązań zgodnie z podstawowymi właściwościami logarytmów. Zanim zastosujemy do rozwiązania wzory logarytmiczne, przypomnijmy o wszystkich właściwościach:

Teraz na podstawie tych wzorów (właściwości) pokażemy przykłady rozwiązywania logarytmów.

Przykłady rozwiązywania logarytmów na podstawie wzorów.

Logarytm liczba dodatnia b oparta na podstawie a (oznaczona jako log a b) jest wykładnikiem, do którego należy podnieść a, aby otrzymać b, gdzie b > 0, a > 0 i 1.

Zgodnie z definicją log a b = x, co jest równoważne a x = b, zatem log a a x = x.

Logarytmy, przykłady:

log 2 8 = 3, ponieważ 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ponieważ 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ponieważ 5 -1 = 1/5

Logarytm dziesiętny- jest to zwykły logarytm, którego podstawa wynosi 10. Oznacza się go jako lg.

log 10 100 = 2, ponieważ 10 2 = 100

Naturalny logarytm- także logarytm zwykły, logarytm, ale o podstawie e (e = 2,71828... - liczba niewymierna). Oznaczone jako ln.

Wskazane jest zapamiętanie wzorów lub właściwości logarytmów, ponieważ będą nam one potrzebne później przy rozwiązywaniu logarytmów, równania logarytmiczne i nierówności. Przeanalizujmy ponownie każdą formułę z przykładami.

Podstawowa tożsamość logarytmiczna
log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Własności potęgi liczby logarytmicznej i podstawy logarytmu
Wykładnik logarytmu numery logów a b m = mlog a b

Wykładnik podstawowy dziennik logarytmiczny a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

jeśli m = n, otrzymujemy log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Przejście na nowy fundament
log a b = log c b/log c a,
jeśli c = b, otrzymujemy log b b = 1

następnie log a b = 1/log b a

log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Jak widać, wzory na logarytmy nie są tak skomplikowane, jak się wydaje. Teraz, po zapoznaniu się z przykładami rozwiązywania logarytmów, możemy przejść do równań logarytmicznych. Przykłady rozwiązywania równań logarytmicznych przyjrzymy się bardziej szczegółowo w artykule: „”. Nie przegap!

Jeśli nadal masz pytania dotyczące rozwiązania, napisz je w komentarzach do artykułu.

Uwaga: jako opcję zdecydowaliśmy się na inną klasę edukacji i studia za granicą.

Logarytm liczby N oparte na A zwany wykładnikiem X , do którego musisz zbudować A aby uzyskać numer N

Pod warunkiem że
,
,

Z definicji logarytmu wynika, że
, tj.
- ta równość jest podstawową tożsamością logarytmiczną.

Logarytmy o podstawie 10 nazywane są logarytmami dziesiętnymi. Zamiast
pisać
.

Logarytmy do podstawy mi nazywane są naturalnymi i są wyznaczone
.

Podstawowe własności logarytmów.

Logarytm jedności jest równy zero dla dowolnej podstawy.

Logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów czynników.

3) Logarytm ilorazu jest równy różnicy logarytmów

Czynnik
nazywany modułem przejścia od logarytmów do podstawy A do logarytmów u podstawy B .

Korzystając z właściwości 2-5, często można zredukować logarytm złożonego wyrażenia do wyniku prostych operacji arytmetycznych na logarytmach.

Na przykład,

Takie przekształcenia logarytmu nazywane są logarytmami. Transformacje odwrotne do logarytmów nazywane są wzmocnieniem.

Rozdział 2. Elementy matematyki wyższej.

1. Ograniczenia

Granica funkcji
jest liczbą skończoną A jeśli, as xx 0 dla każdego z góry ustalonego
, istnieje taka liczba
to jak najszybciej
, To
.

Funkcja posiadająca granicę różni się od niej o nieskończenie małą wartość:
, gdzie- b.m.v., tj.
.

Przykład. Rozważ funkcję
.

Kiedy się starasz
, funkcja y dąży do zera:

1.1. Podstawowe twierdzenia o granicach.

Granica stałej wartości jest równa tej stałej wartości

Granica sumy (różnicy) skończonej liczby funkcji jest równa sumie (różnicy) granic tych funkcji.

Granica iloczynu skończonej liczby funkcji równy produktowi granice tych funkcji.

Granica ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi granic tych funkcji, jeśli granica mianownika jest różna od zera.

Cudowne Granice

,
, Gdzie

1.2. Przykłady obliczeń limitów

Jednak nie wszystkie limity oblicza się tak łatwo. Częściej obliczenie granicy sprowadza się do ujawnienia niepewności typu: Lub .

2. Pochodna funkcji

Miejmy funkcję
, ciągły na segmencie
.

Argument dostał pewien wzrost
. Wtedy funkcja otrzyma przyrost
.

Wartość argumentu odpowiada wartości funkcji
.

Wartość argumentu
odpowiada wartości funkcji.

Stąd, .

Znajdźmy granicę tego stosunku w punkcie
. Jeżeli ta granica istnieje, to nazywa się ją pochodną danej funkcji.

Definicja 3 Pochodna danej funkcji
przez argument nazywa się granicą stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu arbitralnie dąży do zera.

Pochodna funkcji
można wyznaczyć następująco:

; ; ; .

Definicja 4. Nazywa się operację znajdowania pochodnej funkcji różnicowanie.

2.1. Mechaniczne znaczenie pochodnej.

Rozważmy ruch prostoliniowy jakiegoś ciała sztywnego lub punktu materialnego.

Niech w pewnym momencie ruchomy punkt
był w oddali z pozycji wyjściowej
.

Po pewnym czasie
przesunęła się na odległość
. Postawa =- średnia prędkość punktu materialnego
. Znajdźmy granicę tego stosunku, biorąc pod uwagę to
.

W konsekwencji wyznaczenie chwilowej prędkości ruchu punktu materialnego sprowadza się do znalezienia pochodnej drogi po czasie.

2.2. Wartość geometryczna pochodnej

Miejmy funkcję zdefiniowaną graficznie
.

Ryż. 1. Znaczenie geometryczne pochodnej

Jeśli
, a następnie wskaż
, będzie poruszać się wzdłuż krzywej, zbliżając się do punktu
.

Stąd
, tj. wartość pochodnej dla danej wartości argumentu liczbowo równy tangensowi kąta utworzonego przez styczną w danym punkcie z dodatnim kierunkiem osi
.

2.3. Tabela podstawowych wzorów różniczkowych.

Funkcja zasilania

Funkcja wykładnicza

Funkcja logarytmiczna

Funkcja trygonometryczna

Odwrotna funkcja trygonometryczna

2.4. Zasady różnicowania.

Pochodna

Pochodna sumy (różnicy) funkcji

Pochodna iloczynu dwóch funkcji

Pochodna ilorazu dwóch funkcji

2.5. Pochodna złożona funkcja.

Niech będzie podana funkcja
w taki sposób, że można to przedstawić w formie

I
, gdzie zmienna jest zatem argumentem pośrednim

Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej danej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po x.

Przykład 1.

Przykład 2.

3. Funkcja różniczkowa.

Niech będzie
, różniczkowalna na pewnym przedziale
Odpuść sobie Na ta funkcja ma pochodną

wtedy będziemy mogli pisać

(1),

Gdzie - nieskończenie mała ilość,

od kiedy

Mnożenie wszystkich wyrazów równości (1) przez
mamy:

Gdzie
- b.m.v. wyższy porządek.

Ogrom
nazywa się różniczką funkcji
i jest wyznaczony

3.1. Wartość geometryczna różniczki.

Niech będzie podana funkcja
.

Ryc.2. Geometryczne znaczenie różniczki.

Oczywiście różniczka funkcji
jest równy przyrostowi rzędnej stycznej w danym punkcie.

3.2. Pochodne i różniczki różnych rzędów.

Jezeli tam
, Następnie
nazywa się pierwszą pochodną.

Pochodna pierwszej pochodnej nazywana jest pochodną drugiego rzędu i jest zapisywana
.

Pochodna n-tego rzędu funkcji
nazywa się pochodną (n-1)-tego rzędu i zapisuje się:

Różniczkę różniczki funkcji nazywa się różniczką drugiego rzędu lub różniczką drugiego rzędu.

.

.

3.3 Rozwiązywanie problemów biologicznych za pomocą różnicowania.

Zadanie 1. Badania wykazały, że rozwój kolonii mikroorganizmów jest zgodny z prawem
, Gdzie N – liczba mikroorganizmów (w tysiącach), T – czas (dni).

b) Czy populacja kolonii zwiększy się czy zmniejszy w tym okresie?

Odpowiedź. Rozmiar kolonii wzrośnie.

Zadanie 2. Woda w jeziorze jest okresowo badana pod kątem obecności bakterii chorobotwórczych. Poprzez T dni po badaniu stężenie bakterii określa się na podstawie stosunku

Kiedy w jeziorze będzie minimalne stężenie bakterii i będzie można w nim pływać?

Rozwiązanie: Funkcja osiąga maksimum lub minimum, gdy jej pochodna wynosi zero.

Ustalmy, że maksimum lub minimum będzie za 6 dni. Aby to zrobić, weźmy drugą pochodną.

Odpowiedź: Po 6 dniach będzie minimalne stężenie bakterii.

Jak wiadomo, przy mnożeniu wyrażeń przez potęgi ich wykładniki zawsze się sumują (a b *a c = a b+c). To prawo matematyczne zostało wyprowadzone przez Archimedesa, a później, w VIII wieku, matematyk Virasen stworzył tabelę wykładników całkowitych. To oni posłużyli do dalszego odkrycia logarytmów. Przykłady wykorzystania tej funkcji można znaleźć niemal wszędzie tam, gdzie trzeba uprościć uciążliwe mnożenie poprzez proste dodawanie. Jeśli poświęcisz 10 minut na przeczytanie tego artykułu, wyjaśnimy Ci, czym są logarytmy i jak z nimi pracować. Prostym i przystępnym językiem.

Definicja w matematyce

Logarytm jest wyrażeniem w postaci: log a b=c, to znaczy logarytm dowolnej liczby nieujemnej (czyli dowolnej liczby dodatniej) „b” do jej podstawy „a” jest uważany za potęgę „c” ”, do którego należy podnieść podstawę „a”, aby ostatecznie otrzymać wartość „b”. Przeanalizujmy logarytm na przykładach, powiedzmy, że istnieje wyrażenie log 2 8. Jak znaleźć odpowiedź? To bardzo proste, trzeba znaleźć taką potęgę, aby od 2 do wymaganej potęgi otrzymać 8. Po wykonaniu kilku obliczeń w głowie otrzymamy liczbę 3! I to prawda, ponieważ 2 do potęgi 3 daje odpowiedź 8.

Rodzaje logarytmów

Dla wielu uczniów i studentów ten temat wydaje się skomplikowany i niezrozumiały, ale w rzeczywistości logarytmy nie są takie straszne, najważniejsze jest zrozumienie ich ogólnego znaczenia i zapamiętanie ich właściwości i niektórych zasad. Są trzy poszczególne gatunki wyrażenia logarytmiczne:

Logarytm naturalny ln a, gdzie podstawą jest liczba Eulera (e = 2,7).
Dziesiętne a, gdzie podstawa wynosi 10.
Logarytm dowolnej liczby b o podstawie a>1.

Każdy z nich rozwiązuje się w sposób standardowy, obejmujący uproszczenie, redukcję i późniejszą redukcję do jednego logarytmu za pomocą twierdzeń logarytmicznych. Za zdobycie prawidłowe wartości logarytmy, przy ich rozwiązywaniu należy pamiętać o ich właściwościach i kolejności działań.

Zasady i pewne ograniczenia

W matematyce istnieje kilka reguł-ograniczeń, które są akceptowane jako aksjomat, to znaczy nie podlegają dyskusji i są prawdą. Na przykład nie da się podzielić liczb przez zero, nie da się też z nich wydobyć pierwiastka parzystego liczby ujemne. Logarytmy również mają swoje własne zasady, zgodnie z którymi można łatwo nauczyć się pracy nawet z długimi i pojemnymi wyrażeniami logarytmicznymi:

Podstawa „a” musi być zawsze większa od zera, a nie równa 1, w przeciwnym razie wyrażenie straci sens, ponieważ „1” i „0” w dowolnym stopniu są zawsze równe swoim wartościom;
jeśli a > 0, to a b > 0, to okazuje się, że „c” również musi być większe od zera.

Jak rozwiązywać logarytmy?

Na przykład zadanie polega na znalezieniu odpowiedzi na równanie 10 x = 100. Jest to bardzo proste, musisz wybrać potęgę, podnosząc liczbę dziesięć do uzyskania 100. To oczywiście jest 10 2 = 100.

Przedstawmy teraz to wyrażenie w formie logarytmicznej. Otrzymujemy log 10 100 = 2. Przy rozwiązywaniu logarytmów wszystkie działania praktycznie zbiegają się, aby znaleźć potęgę, do której należy wprowadzić podstawę logarytmu, aby otrzymać daną liczbę.

Aby dokładnie określić wartość nieznanego stopnia, musisz nauczyć się pracować z tabelą stopni. To wygląda tak:

Jak widać, niektóre wykładniki można odgadnąć intuicyjnie, jeśli masz techniczny umysł i wiedzę o tabliczce mnożenia. Jednak dla duże wartości będziesz potrzebować tabeli stopni. Mogą z niego korzystać nawet ci, którzy w ogóle nie mają pojęcia o kompleksach tematy matematyczne. W lewej kolumnie znajdują się liczby (podstawa a), górny rząd liczb to wartość potęgi c, do której podnoszona jest liczba a. Na przecięciu komórki zawierają wartości liczbowe będące odpowiedzią (a c =b). Weźmy na przykład pierwszą komórkę z liczbą 10 i podnieś ją do kwadratu, otrzymamy wartość 100, która jest wskazana na przecięciu naszych dwóch komórek. Wszystko jest tak proste i łatwe, że nawet najbardziej prawdziwy humanista zrozumie!

Równania i nierówności

Okazuje się, że w pewnych warunkach wykładnikiem jest logarytm. Dlatego dowolne matematyczne wyrażenia liczbowe można zapisać jako równość logarytmiczną. Na przykład 3 4 = 81 można zapisać jako logarytm o podstawie 3 z 81 równy cztery (log 3 81 = 4). W przypadku potęg ujemnych zasady są takie same: 2 -5 = 1/32 zapisujemy jako logarytm, otrzymujemy log 2 (1/32) = -5. Jednym z najbardziej fascynujących działów matematyki jest temat „logarytmów”. Przyjrzymy się przykładom i rozwiązaniom równań poniżej, zaraz po przestudiowaniu ich właściwości. Przyjrzyjmy się teraz, jak wyglądają nierówności i jak odróżnić je od równań.

Podawane jest wyrażenie: log 2 (x-1) > 3 - jest to nierówność logarytmiczna, gdyż nieznana wartość „x” znajduje się pod znakiem logarytmicznym. A także w wyrażeniu porównywane są dwie wielkości: logarytm żądanej liczby do podstawy dwa jest większy niż liczba trzy.

Najważniejsza różnica między równaniami logarytmicznymi a nierównością polega na tym, że równania z logarytmami (na przykład logarytm 2 x = √9) implikują w odpowiedzi jedną lub więcej określonych wartości liczbowych, natomiast przy rozwiązywaniu nierówności zarówno zakres akceptowalnych wartościi punkty wyznaczane są z naruszeniem tej funkcji. W rezultacie odpowiedź nie jest prostym zbiorem pojedynczych liczb, jak w przypadku odpowiedzi na równanie, ale ciągłą serią lub zbiorem liczb.

Podstawowe twierdzenia o logarytmach

Podczas rozwiązywania prymitywnych zadań znajdowania wartości logarytmu jego właściwości mogą nie być znane. Jeśli jednak chodzi o równania czy nierówności logarytmiczne, to przede wszystkim należy jasno zrozumieć i zastosować w praktyce wszystkie podstawowe właściwości logarytmów. Przyjrzymy się przykładom równań później; najpierw przyjrzyjmy się każdej właściwości bardziej szczegółowo.

Główna tożsamość wygląda następująco: a logaB =B. Ma zastosowanie tylko wtedy, gdy a jest większe niż 0, a nie równe jedności, a B jest większe niż zero.
Logarytm iloczynu można przedstawić za pomocą następującego wzoru: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. W tym przypadku warunkiem obowiązkowym jest: d, s 1 i s 2 > 0; a≠1. Możesz przedstawić dowód tej formuły logarytmicznej wraz z przykładami i rozwiązaniem. Zapiszmy a s 1 = f 1 i zalogujmy a s 2 = f 2, następnie a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otrzymujemy, że s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (własności stopnie ), a następnie z definicji: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, co należało udowodnić.
Logarytm ilorazu wygląda następująco: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
Twierdzenie w postaci wzoru przyjmuje następującą postać: log a q b n = n/q log a b.

Wzór ten nazywany jest „właściwością stopnia logarytmu”. Przypomina to właściwości zwykłych stopni i nie jest w tym nic dziwnego, gdyż cała matematyka opiera się na naturalnych postulatach. Spójrzmy na dowód.

Niech log a b = t, okaże się, że a t = b. Jeśli podniesiemy obie części do potęgi m: a tn = b n ;

ale ponieważ a tn = (a q) nt/q = b n, zatem log a q b n = (n*t)/t, to log a q b n = n/q log a b. Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykłady problemów i nierówności

Najczęstszym typem problemów logarytmicznych są przykłady równań i nierówności. Można je znaleźć w prawie wszystkich podręcznikach problemowych, a także są wymaganą częścią egzaminów z matematyki. Aby dostać się na uniwersytet lub zdać egzaminy wstępne z matematyki, musisz wiedzieć, jak poprawnie rozwiązać takie zadania.

Niestety nie ma jednego planu ani schematu rozwiązania i wyznaczenia nieznanej wartości logarytmu, można go jednak zastosować do każdej nierówności matematycznej lub równania logarytmicznego pewne zasady. Przede wszystkim powinieneś dowiedzieć się, czy wyrażenie można uprościć, czy też do niego doprowadzić Ogólny wygląd. Możesz uprościć długie wyrażenia logarytmiczne, jeśli poprawnie użyjesz ich właściwości. Poznajmy je szybko.

Rozwiązując równania logarytmiczne, musimy określić, jaki rodzaj logarytmu mamy: przykładowe wyrażenie może zawierać logarytm naturalny lub dziesiętny.

Oto przykłady ln100, ln1026. Ich rozwiązanie sprowadza się do tego, że muszą wyznaczyć potęgę, do której podstawa 10 będzie równa odpowiednio 100 i 1026. Dla rozwiązań logarytmy naturalne trzeba złożyć wniosek tożsamości logarytmiczne lub ich właściwości. Spójrzmy na przykłady rozwiązywania problemów logarytmicznych różnego typu.

Jak korzystać ze wzorów logarytmicznych: z przykładami i rozwiązaniami

Przyjrzyjmy się więc przykładom użycia podstawowych twierdzeń o logarytmach.

Własność logarytmu iloczynu można wykorzystać w zadaniach, w których konieczne jest rozłożenie dużej wartości liczby b na prostsze czynniki. Na przykład log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Odpowiedź brzmi 9.
log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - jak widać, korzystając z czwartej własności potęgi logarytmu, udało nam się rozwiązać pozornie złożone i nierozwiązywalne wyrażenie. Wystarczy rozłożyć podstawę, a następnie wyjąć wartości wykładników ze znaku logarytmu.

Zadania z jednolitego egzaminu państwowego

Logarytmy często spotyka się na egzaminach wstępnych, zwłaszcza wiele problemów logarytmicznych na egzaminie Unified State Exam (egzamin państwowy dla wszystkich absolwentów szkół). Zazwyczaj zadania te występują nie tylko w części A (najłatwiejsza część testowa egzaminu), ale także w części C (zadania najbardziej złożone i obszerne). Egzamin wymaga dokładnej i doskonałej znajomości tematu „Logarity naturalne”.

Przykłady i rozwiązania problemów pochodzą z oficjalnych wersji egzaminu Unified State Exam. Zobaczmy, jak rozwiązuje się takie zadania.

Biorąc pod uwagę log 2 (2x-1) = 4. Rozwiązanie:
przepiszmy wyrażenie, nieco je upraszczając log 2 (2x-1) = 2 2, z definicji logarytmu otrzymujemy, że 2x-1 = 2 4, zatem 2x = 17; x = 8,5.

Najlepiej jest sprowadzić wszystkie logarytmy do tej samej podstawy, aby rozwiązanie nie było kłopotliwe i mylące.
Wszystkie wyrażenia pod znakiem logarytmu są oznaczone jako dodatnie, dlatego też, gdy wykładnik wyrażenia znajdującego się pod znakiem logarytmu i jako jego podstawa zostanie wyjęty jako mnożnik, wyrażenie pozostające pod logarytmem musi być dodatnie.