Gaussova metoda je ... Obratna Gaussova metoda
Tukaj lahko brezplačno rešite sistem linearnih enačb Gaussova metoda na spletu velike velikosti v kompleksnih številih z zelo podrobno rešitvijo. Naš kalkulator lahko na spletu reši tako običajne določene kot nedoločene sisteme linearnih enačb z uporabo Gaussove metode, ki ima neskončno število rešitev. V tem primeru boste v odgovoru prejeli odvisnost nekaterih spremenljivk od drugih, prostih. Skladnost sistema enačb lahko preverite tudi na spletu z uporabo Gaussove rešitve.
O metodi
Pri reševanju sistema linearnih enačb spletna metoda Gaussa se izvedejo naslednji koraki.
- Zapišemo razširjeno matriko.
- Pravzaprav je rešitev razdeljena na korak naprej in nazaj Gaussove metode. Neposredni pristop Gaussove metode je redukcija matrike na stopenjsko obliko. Obratna stran Gaussove metode je redukcija matrike na posebno stopenjsko obliko. Toda v praksi je bolj priročno takoj izničiti tisto, kar se nahaja nad in pod zadevnim elementom. Naš kalkulator uporablja točno ta pristop.
- Pomembno je upoštevati, da pri reševanju z uporabo Gaussove metode prisotnost v matriki vsaj ene ničelne vrstice z NI nič desna stran(stolpec prostih članov) označuje nekompatibilnost sistema. rešitev linearni sistem v tem primeru ne obstaja.
Če želite najbolje razumeti, kako Gaussov algoritem deluje na spletu, vnesite poljuben primer in izberite »zelo podrobna rešitev« in poiščite njegovo rešitev na spletu.
1. Sistem linearnih algebrskih enačb
1.1 Koncept sistema linearnih algebrskih enačb
Sistem enačb je pogoj, ki ga sestavlja hkratno izvajanje več enačb glede na več spremenljivk. Sistem linearnih algebrskih enačb (v nadaljevanju SLAE), ki vsebuje m enačb in n neznank, imenujemo sistem oblike:
kjer se števila a ij imenujejo sistemski koeficienti, števila b i pa prosti členi, a ij in b i(i=1,…, m; b=1,…, n) predstavljajo nekatera znana števila in x 1 ,…, x n– neznano. Pri označevanju koeficientov a ij prvi indeks i označuje številko enačbe, drugi j pa številko neznanke, pri kateri stoji ta koeficient. Treba je najti števila x n. Takšen sistem je priročno zapisati v kompaktni matrični obliki: AX=B. Tukaj je A matrika sistemskih koeficientov, imenovana glavna matrika;
– stolpec vektorja neznank xj. je stolpčni vektor prostih členov bi.
Produkt matrik A*X je definiran, saj je v matriki A toliko stolpcev, kot je vrstic v matriki X (n kosov).
Razširjena matrika sistema je matrika A sistema, dopolnjena s stolpcem prostih členov
1.2 Reševanje sistema linearnih algebrskih enačb
Rešitev sistema enačb je urejena množica števil (vrednosti spremenljivk), ko jih nadomestimo namesto spremenljivk, se vsaka enačba sistema spremeni v pravo enakost.
Rešitev sistema je n vrednosti neznank x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, pri zamenjavi katerih vse enačbe sistema postanejo prave enačbe. Vsako rešitev sistema lahko zapišemo kot stolpčno matriko
Sistem enačb imenujemo konsistenten, če ima vsaj eno rešitev, in nekonzistenten, če nima nobene rešitve.
Za konsistenten sistem pravimo, da je določen, če ima eno samo rešitev, in nedoločen, če ima več kot eno rešitev. V slednjem primeru se vsaka njegova rešitev imenuje posebna rešitev sistema. Množico vseh partikularnih rešitev imenujemo splošna rešitev.
Reševanje sistema pomeni ugotoviti, ali je združljiv ali neskladen. Če je sistem skladen, poiščite njegovo splošno rešitev.
Dva sistema imenujemo enakovredna (ekvivalentna), če imata enako splošno rešitev. Z drugimi besedami, sistemi so enakovredni, če je vsaka rešitev enega od njih rešitev drugega in obratno.
Transformacija, katere aplikacija spremeni sistem v nov sistem, enakovredna prvotni, imenujemo ekvivalentna ali ekvivalentna transformacija. Primeri enakovrednih transformacij vključujejo naslednje transformacije: zamenjava dveh enačb sistema, zamenjava dveh neznank skupaj s koeficienti vseh enačb, množenje obeh strani katere koli enačbe sistema s številom, ki ni nič.
Sistem linearnih enačb se imenuje homogen, če so vsi prosti členi enaki nič:
Homogen sistem je vedno konsistenten, saj je x1=x2=x3=…=xn=0 rešitev sistema. Ta rešitev se imenuje ničelna ali trivialna.
2. Gaussova eliminacijska metoda
2.1 Bistvo Gaussove eliminacijske metode
Klasična metoda reševanja sistemov linearnih algebrskih enačb je metoda zaporednega izločanja neznank - Gaussova metoda(imenuje se tudi Gaussova eliminacijska metoda). To je metoda zaporednega izločanja spremenljivk, ko se z uporabo elementarnih transformacij sistem enačb reducira na enakovredni sistem stopničaste (ali trikotne) oblike, iz katere se zaporedno najdejo vse druge spremenljivke, začenši z zadnjo (z število) spremenljivk.
Postopek reševanja po Gaussovi metodi je sestavljen iz dveh stopenj: premik naprej in nazaj.
1. Neposredni udarec.
Na prvi stopnji se izvede tako imenovana direktna poteza, ko se z elementarnimi transformacijami po vrsticah sistem privede do stopenjske oz. trikotna oblika, ali ugotovite, da sistem ni združljiv. Med elementi prvega stolpca matrike namreč izberemo neničelnega, ga s preurejanjem vrstic premaknemo na skrajno zgornjo lego in od preostalih vrstic po prerazporeditvi odštejemo nastalo prvo vrstico in jo pomnožimo z vrednostjo enaka razmerju med prvim elementom vsake od teh vrstic in prvim elementom prve vrstice, s čimer je stolpec pod njim ničel.
Ko so navedene transformacije končane, se prva vrstica in prvi stolpec miselno prečrta in nadaljuje, dokler ne ostane matrika velikosti nič. Če pri kateri koli ponovitvi med elementi prvega stolpca ni neničelnega elementa, pojdite na naslednji stolpec in izvedite podobno operacijo.
Na prvi stopnji (neposredni hod) se sistem zmanjša na stopničasto (zlasti trikotno) obliko.
Spodnji sistem ima postopno obliko:
,
Koeficienti aii se imenujejo glavni (vodilni) elementi sistema.
(če je a11=0, preuredite vrstice matrike tako, da a 11 ni bil enak 0. To je vedno možno, ker sicer matrika vsebuje ničelni stolpec, njena determinanta je enaka nič in sistem je nekonzistenten).Transformirajmo sistem tako, da izločimo neznanko x1 v vseh enačbah razen v prvi (z uporabo elementarnih transformacij sistema). Če želite to narediti, pomnožite obe strani prve enačbe z
in seštejte člen za členom z drugo enačbo sistema (ali od druge enačbe odštejte člen za členom s prvim, pomnoženo z ). Nato obe strani prve enačbe pomnožimo z in ju prištejemo k tretji enačbi sistema (ali od tretje odštejemo prvo, pomnoženo z ). Tako prvo vrstico zaporedno pomnožimo s številom in prištejemo jaz vrstica, za i= 2, 3, …,n.Če nadaljujemo s tem postopkom, dobimo enakovreden sistem:
– nove vrednosti koeficientov za neznanke in proste člene v zadnjih m-1 enačbah sistema, ki so določene s formulami: Tako se v prvem koraku uničijo vsi koeficienti, ki ležijo pod prvim vodilnim elementom a 11
0, v drugem koraku se uničijo elementi, ki ležijo pod drugim vodilnim elementom a 22 (1) (če je a 22 (1) 0) itd. Z nadaljnjim nadaljevanjem tega procesa končno na (m-1) koraku reduciramo izvirni sistem na trikotni sistem.Če se v procesu redukcije sistema na stopenjsko obliko pojavijo ničelne enačbe, tj. enakosti oblike 0=0, se zavržejo. Če se pojavi enačba oblike
potem to kaže na nezdružljivost sistema. Tu se neposredno napredovanje Gaussove metode konča.
2. Povratni hod.
Na drugi stopnji se izvede tako imenovana obratna poteza, katere bistvo je izraziti vse nastale osnovne spremenljivke v smislu nebazičnih in zgraditi temeljni sistem rešitev ali, če so vse spremenljivke bazične , nato numerično izrazite edino rešitev sistema linearnih enačb.
Ta postopek se začne z zadnjo enačbo, iz katere se izrazi ustrezna osnovna spremenljivka (v njej je samo ena) in se nadomesti s prejšnjimi enačbami in tako naprej po »stopnicah«.
Vsaka vrstica ustreza natanko eni bazični spremenljivki, tako da na vsakem koraku, razen na zadnjem (najvišjem), situacija natančno ponavlja primer zadnje vrstice.
Opomba: v praksi je bolj priročno delati ne s sistemom, temveč z njegovo razširjeno matriko, ki izvaja vse osnovne transformacije v svojih vrsticah. Primerno je, da je koeficient a11 enak 1 (enačbe preuredite ali delite obe strani enačbe z a11).
2.2 Primeri reševanja SLAE z Gaussovo metodo
V tem delu so trije različni primeri Pokažimo, kako lahko Gaussova metoda reši SLAE.
Primer 1. Rešite SLAE 3. reda.
Ponastavimo koeficiente na
v drugi in tretji vrstici. Če želite to narediti, jih pomnožite z 2/3 oziroma 1 in jih dodajte v prvo vrstico:
Naj bo podan sistem linearnih algebrskih enačb, ki jih je treba rešiti (poiščite takšne vrednosti neznank xi, ki vsako enačbo sistema spremenijo v enačbo).
Vemo, da lahko sistem linearnih algebrskih enačb:
1) Nimate rešitev (bodite neskupni).
2) Imeti neskončno veliko rešitev.
3) Imejte eno samo rešitev.
Kot se spomnimo, Cramerjevo pravilo in matrična metoda niso primerni v primerih, ko ima sistem neskončno veliko rešitev ali je nekonzistenten. Gaussova metoda – najmočnejše in vsestransko orodje za iskanje rešitev katerega koli sistema linearnih enačb, ki v vsakem primeru nas bo pripeljal do odgovora! Sam algoritem metode deluje enako v vseh treh primerih. Če Cramerjeva in matrična metoda zahtevata poznavanje determinant, potem za uporabo Gaussove metode potrebujete le poznavanje aritmetičnih operacij, zaradi česar je dostopna tudi osnovnošolcem.
Povečane matrične transformacije ( to je matrika sistema - matrika, sestavljena samo iz koeficientov neznank in stolpca prostih členov) sistemi linearnih algebrskih enačb v Gaussovi metodi:
1) z troki matrice Lahko preurediti ponekod.
2) če so se v matriki pojavili (ali obstajajo) proporcionalni (kot poseben primer– enake) vrstice, potem sledi izbrisati Vse te vrstice so iz matrike razen ene.
3) če se med transformacijami v matriki pojavi ničelna vrstica, bi morala biti tudi izbrisati.
4) vrstica matrike je lahko pomnožiti (deliti) na poljubno število razen nič.
5) v vrstico matrike lahko dodajte še en niz, pomnožen s številom, drugačen od nič.
Pri Gaussovi metodi elementarne transformacije ne spremenijo rešitve sistema enačb.
Gaussova metoda je sestavljena iz dveh stopenj:
- "Neposredna poteza" - z uporabo elementarnih transformacij razširite razširjeno matriko sistema linearnih algebrskih enačb v "trikotno" obliko koraka: elementi razširjene matrike, ki se nahajajo pod glavno diagonalo, so enaki nič (premik od zgoraj navzdol). Na primer za to vrsto:
Če želite to narediti, izvedite naslednje korake:
1) Oglejmo si prvo enačbo sistema linearnih algebrskih enačb in koeficient za x 1 je enak K. Drugo, tretjo itd. enačbe transformiramo takole: vsako enačbo (koeficiente neznank, vključno s prostimi členi) delimo s koeficientom neznanke x 1 v vsaki enačbi in pomnožimo s K. Po tem odštejemo prvo od druge enačbe ( koeficienti neznank in prosti členi). Za x 1 v drugi enačbi dobimo koeficient 0. Od tretje transformirane enačbe odštevamo prvo enačbo, dokler nimajo vse enačbe razen prve, za neznano x 1, koeficient 0.
2) Pojdimo na naslednjo enačbo. Naj bo to druga enačba in koeficient za x 2 enak M. Nadaljujemo z vsemi "nižjimi" enačbami, kot je opisano zgoraj. Tako bodo "pod" neznanko x 2 v vseh enačbah ničle.
3) Nadaljujte z naslednjo enačbo in tako naprej, dokler ne ostaneta zadnja neznanka in transformirani prosti člen.
- »Vzvratna poteza« Gaussove metode je pridobitev rešitve sistema linearnih algebrskih enačb (premika »od spodaj navzgor«). Iz zadnje "nižje" enačbe dobimo prvo rešitev - neznanko x n. Da bi to naredili, rešimo osnovno enačbo A * x n = B. V zgornjem primeru je x 3 = 4. Najdeno vrednost nadomestimo v »zgornjo« naslednjo enačbo in jo rešimo glede na naslednjo neznanko. Na primer, x 2 – 4 = 1, tj. x 2 = 5. In tako naprej, dokler ne najdemo vseh neznank.
Primer.
Rešimo sistem linearnih enačb z Gaussovo metodo, kot svetujejo nekateri avtorji:
Zapišimo razširjeno matriko sistema in jo s pomočjo elementarnih transformacij pripeljemo do stopnjevane oblike:
Pogledamo zgornjo levo "stopničko". Enega bi morali imeti tam. Težava je v tem, da v prvem stolpcu sploh ni enot, zato preurejanje vrstic ne bo rešilo ničesar. V takšnih primerih mora biti enota organizirana z uporabo elementarne transformacije. To je običajno mogoče storiti na več načinov. Naredimo to:
1 korak
. Prvi vrstici dodamo drugo vrstico, pomnoženo z –1. To pomeni, da smo drugo vrstico v mislih pomnožili z –1 ter sešteli prvo in drugo vrstico, medtem ko se druga vrstica ni spremenila.
Zdaj zgoraj levo je "minus ena", kar nam zelo ustreza. Kdor želi dobiti +1, lahko izvede dodatno dejanje: prvo vrstico pomnoži z –1 (spremeni predznak).
2. korak . Prva vrstica, pomnožena s 5, je bila dodana drugi vrstici. Prva vrstica, pomnožena s 3, je bila dodana tretji vrstici.
3. korak . Prva vrstica je bila pomnožena z –1, načeloma je to za lepoto. Spremenili smo tudi predznak tretje vrstice in jo premaknili na drugo mesto, tako da smo na drugi “stopnici” imeli zahtevano enoto.
4. korak . Tretja vrstica je bila dodana drugi vrstici, pomnožena z 2.
5. korak . Tretja vrstica je bila deljena s 3.
Znak, ki označuje napako v izračunih (redkeje tipkarsko napako), je "slab" rezultat. Se pravi, če smo spodaj dobili nekaj takega (0 0 11 |23) in v skladu s tem 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, potem z velik delež verjetnosti, lahko trdimo, da je med osnovnimi transformacijami prišlo do napake.
Naredimo obratno; pri oblikovanju primerov sam sistem pogosto ni napisan na novo, ampak so enačbe »vzete neposredno iz dane matrike«. Obratna poteza, spomnim vas, deluje od spodaj navzgor. V tem primeru je bil rezultat darilo:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, torej x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Odgovori:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Rešimo isti sistem s predlaganim algoritmom. Dobimo
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Drugo enačbo delimo s 5, tretjo pa s 3. Dobimo:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Če drugo in tretjo enačbo pomnožimo s 4, dobimo:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Če odštejemo prvo enačbo od druge in tretje enačbe, imamo:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Tretjo enačbo delite z 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Tretjo enačbo pomnožimo z 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Če od tretje enačbe odštejemo drugo, dobimo "stopničasto" razširjeno matriko:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Tako, ker se je med izračuni nabrala napaka, dobimo x 3 = 0,96 ali približno 1.
x 2 = 3 in x 1 = –1.
S takšnim reševanjem se ne boste nikoli zmotili pri izračunih in boste kljub računskim napakam dobili rezultat.
To metodo reševanja sistema linearnih algebrskih enačb je enostavno programirati in ne upošteva posebne lastnosti koeficienti za neznanke, ker je v praksi (pri ekonomskih in tehničnih izračunih) treba opraviti z necelimi koeficienti.
Želim ti uspeh! Se vidimo v razredu! Učitelj Dmitry Aystrahanov.
spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.
V tem članku je metoda obravnavana kot metoda za reševanje sistemov linearnih enačb (SLAE). Metoda je analitična, kar pomeni, da vam omogoča pisanje algoritma rešitve splošni pogled, nato pa tam nadomestite vrednosti iz posebnih primerov. Za razliko od matrične metode ali Cramerjevih formul lahko pri reševanju sistema linearnih enačb po Gaussovi metodi delate tudi s tistimi, ki imajo neskončno število rešitev. Ali pa ga sploh nimajo.
Kaj pomeni reševanje po Gaussovi metodi?
Najprej moramo zapisati naš sistem enačb v. Videti je takole. Vzemite sistem:
Koeficienti so zapisani v obliki tabele, prosti izrazi pa so zapisani v ločenem stolpcu na desni strani. Stolpec s prostimi izrazi je zaradi priročnosti ločen, matrika, ki vključuje ta stolpec, se imenuje razširjena.
Nato je treba glavno matriko s koeficienti reducirati na zgornjo trikotno obliko. To je glavna točka reševanja sistema z Gaussovo metodo. Preprosto povedano, po določenih manipulacijah bi morala matrika izgledati tako, da njen spodnji levi del vsebuje samo ničle:
Če nato novo matriko znova zapišete kot sistem enačb, boste opazili, da zadnja vrstica že vsebuje vrednost enega od korenov, ki je nato substituirana v zgornjo enačbo, najden je drug koren itd.
To je v večini opis rešitve po Gaussovi metodi splošni oris. Kaj se zgodi, če sistem nenadoma nima rešitve? Ali pa jih je neskončno veliko? Za odgovor na ta in številna druga vprašanja je treba ločeno obravnavati vse elemente, ki se uporabljajo pri reševanju Gaussove metode.
Matrike, njihove lastnosti
V matrici ni skritega pomena. Enostavno je priročen način snemanje podatkov za nadaljnje operacije z njimi. Tudi šolarjem se jih ni treba bati.
Matrica je vedno pravokotna, ker je bolj priročna. Tudi pri Gaussovi metodi, kjer se vse spušča v konstrukcijo matrike trikotne oblike, se v vnosu pojavi pravokotnik, le z ničlami na mestu, kjer ni številk. Ničle morda niso zapisane, vendar so implicitne.
Matrica ima velikost. Njegova "širina" je število vrstic (m), "dolžina" je število stolpcev (n). Potem bo velikost matrike A (za označevanje se običajno uporabljajo velike latinične črke) označena kot A m×n. Če je m=n, potem je ta matrika kvadratna in m=n je njen vrstni red. V skladu s tem lahko vsak element matrike A označimo s številkami vrstic in stolpcev: a xy ; x - številka vrstice, spremembe, y - številka stolpca, spremembe.
B ni bistvo odločitve. Načeloma lahko vse operacije izvajamo neposredno s samimi enačbami, vendar bo zapis veliko bolj okoren in veliko lažje se bomo zmešali v njem.
Determinanta
Matrika ima tudi determinanto. To je zelo pomembna lastnost. Zdaj ni treba ugotoviti njegovega pomena, lahko preprosto pokažete, kako se izračuna, in nato poveste, katere lastnosti matrike določa. Determinanto najlažje poiščemo po diagonalah. V matriki so narisane namišljene diagonale; elementi, ki se nahajajo na vsakem od njih, se pomnožijo, nato pa se dodajo dobljeni izdelki: diagonale z naklonom v desno - z znakom plus, z naklonom v levo - z znakom minus.
Zelo pomembno je vedeti, da je determinanto mogoče izračunati samo za kvadratno matriko. Za pravokotno matriko lahko naredite naslednje: med številom vrstic in številom stolpcev izberete najmanjšo (naj bo k), nato pa v matriki naključno označite k stolpcev in k vrstic. Elementi na presečišču izbranih stolpcev in vrstic bodo tvorili novo kvadratno matriko. Če je determinanta takšne matrike neničelno število, se imenuje osnovni minor prvotne pravokotne matrike.
Preden začnete reševati sistem enačb z Gaussovo metodo, ne škodi izračunati determinanto. Če se izkaže, da je nič, potem lahko takoj rečemo, da ima matrika neskončno število rešitev ali pa nobene. V tako žalostnem primeru morate iti dlje in izvedeti o rangu matrice.
Sistemska klasifikacija
Obstaja nekaj takega, kot je rang matrike. To je največji vrstni red njene neničelne determinante (če se spomnimo o manjši bazi, lahko rečemo, da je rang matrike vrstni red manjše osnove).
Glede na situacijo z uvrstitvijo lahko SLAE razdelimo na:
- Sklep. U V skupnih sistemih rang glavne matrike (sestavljene samo iz koeficientov) sovpada z rangom razširjene matrike (s stolpcem prostih členov). Takšni sistemi imajo rešitev, vendar ne nujno eno, zato se dodatno spojni sistemi delijo na:
- - določene- z eno samo rešitvijo. V nekaterih sistemih sta rang matrike in število neznank (ali število stolpcev, kar je isto) enaka;
- - nedoločeno - z neskončnim številom rešitev. Rang matrik v takih sistemih je manjši od števila neznank.
- Nezdružljivo. U V takih sistemih se rangi glavne in razširjene matrice ne ujemajo. Nezdružljivi sistemi nimajo rešitve.
Gaussova metoda je dobra, ker med rešitvijo omogoča pridobitev bodisi nedvoumnega dokaza o nekonsistentnosti sistema (brez izračunavanja determinant velikih matrik) bodisi rešitve v splošni obliki za sistem z neskončnim številom rešitev.
Elementarne transformacije
Preden nadaljujete neposredno z reševanjem sistema, ga lahko naredite manj okornega in bolj priročnega za izračune. To dosežemo z elementarnimi transformacijami – takimi, da njihova izvedba v ničemer ne spremeni končnega odgovora. Opozoriti je treba, da so nekatere od navedenih elementarnih transformacij veljavne le za matrike, katerih izvor je bil SLAE. Tukaj je seznam teh transformacij:
- Preurejanje vrstic. Očitno je, da če spremenite vrstni red enačb v sistemskem zapisu, to na noben način ne bo vplivalo na rešitev. Posledično lahko vrstice v matriki tega sistema tudi zamenjamo, pri čemer seveda ne pozabimo na stolpec prostih členov.
- Množenje vseh elementov niza z določenim koeficientom. Zelo koristno! Lahko se uporablja za krajšanje velike številke v matriko ali odstraniti ničle. Številne odločitve se, kot običajno, ne bodo spremenile, vendar bodo nadaljnje operacije postale bolj priročne. Glavna stvar je, da koeficient ni enak nič.
- Odstranjevanje vrstic s proporcionalnimi faktorji. To deloma izhaja iz prejšnjega odstavka. Če imata dve ali več vrstic v matriki proporcionalne koeficiente, potem ko eno od vrstic pomnožimo/delimo s sorazmernostnim koeficientom, dobimo dve (ali spet več) popolnoma enakih vrstic, odvečne pa lahko odstranimo, tako da ostane samo en.
- Odstranjevanje ničelne vrstice. Če med transformacijo nekje dobimo vrstico, v kateri so vsi elementi, vključno s prostim členom, enaki nič, lahko takšno vrstico imenujemo nič in jo vržemo iz matrike.
- Dodajanje elementom ene vrstice elementov druge (v ustreznih stolpcih), pomnoženih z določenim koeficientom. Najbolj neočitna in najpomembnejša preobrazba od vseh. Na njem se je vredno podrobneje posvetiti.
Dodajanje niza, pomnoženega s faktorjem
Za lažje razumevanje je vredno ta postopek razčleniti korak za korakom. Iz matrike sta vzeti dve vrstici:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Recimo, da morate prvo dodati drugemu, pomnoženo s koeficientom "-2".
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Nato se druga vrstica v matriki nadomesti z novo, prva pa ostane nespremenjena.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Upoštevati je treba, da je koeficient množenja mogoče izbrati tako, da je zaradi dodajanja dveh vrstic eden od elementov nove vrstice enak nič. Zato je mogoče dobiti enačbo v sistemu, kjer bo ena neznanka manj. In če dobite dve takšni enačbi, lahko operacijo izvedete znova in dobite enačbo, ki bo vsebovala dve neznanki manj. In če vsakič en koeficient vseh vrstic, ki so pod prvotnim, obrnete na nič, potem se lahko, kot po stopnicah, spustite čisto na dno matrike in dobite enačbo z eno neznanko. To se imenuje reševanje sistema z uporabo Gaussove metode.
Na splošno
Naj bo sistem. Ima m enačb in n neznanih korenin. Lahko ga zapišete na naslednji način:
Glavna matrika je sestavljena iz sistemskih koeficientov. Razširjeni matriki je dodan stolpec prostih izrazov in zaradi priročnosti ločen s črto.
- prva vrstica matrike se pomnoži s koeficientom k = (-a 21 /a 11);
- dodani sta prva spremenjena vrstica in druga vrstica matrike;
- namesto druge vrstice se v matriko vstavi rezultat seštevanja iz prejšnjega odstavka;
- zdaj je prvi koeficient v novi drugi vrstici a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Zdaj se izvaja ista serija transformacij, vključeni sta samo prva in tretja vrstica. V skladu s tem se na vsakem koraku algoritma element a 21 nadomesti z 31. Nato se vse ponovi za 41, ... a m1. Rezultat je matrika, kjer je prvi element v vrsticah nič. Zdaj morate pozabiti na vrstico številka ena in izvesti isti algoritem, začenši z drugo vrstico:
- koeficient k = (-a 32 /a 22);
- druga spremenjena vrstica se doda "trenutni" vrstici;
- rezultat seštevanja se nadomesti v tretjo, četrto in tako naprej, medtem ko prva in druga ostaneta nespremenjeni;
- v vrsticah matrike sta prva dva elementa že enaka nič.
Algoritem je treba ponavljati, dokler se ne pojavi koeficient k = (-a m,m-1 /a mm). To pomeni, da je bil algoritem nazadnje izveden samo za spodnjo enačbo. Zdaj je matrica videti kot trikotnik ali ima stopničasto obliko. V spodnji vrstici je enačba a mn × x n = b m. Znana sta koeficient in prosti člen, skozenj pa je izražen koren: x n = b m /a mn. Dobljeni koren nadomestimo v zgornjo vrstico, da poiščemo x n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1. In tako naprej po analogiji: v vsaki naslednji vrstici je nov koren in ko dosežete "vrh" sistema, lahko najdete veliko rešitev. Edina bo.
Ko ni rešitev
Če so v eni od vrstic matrike vsi elementi razen prostega člena enaki nič, potem je enačba, ki ustreza tej vrstici, videti kot 0 = b. Nima rešitve. In ker je taka enačba vključena v sistem, potem je množica rešitev celotnega sistema prazna, to je degenerirana.
Ko obstaja neskončno število rešitev
Lahko se zgodi, da v dani trikotni matriki ni vrstic z enim koeficientnim elementom enačbe in enim prostim členom. Obstajajo le črte, ki bi bile, če bi jih prepisali, videti kot enačba z dvema ali več spremenljivkami. To pomeni, da ima sistem neskončno število rešitev. V tem primeru lahko odgovor podamo v obliki splošne rešitve. Kako narediti?
Vse spremenljivke v matriki so razdeljene na osnovne in proste. Osnovni so tisti, ki stojijo »na robu« vrstic v stopenjski matriki. Ostali so brezplačni. V splošni rešitvi so osnovne spremenljivke zapisane preko prostih.
Za udobje je matrika najprej prepisana nazaj v sistem enačb. Potem pa v zadnji izmed njih, kjer ostane le še ena osnovna spremenljivka, ta ostane na eni strani, vse ostalo pa se prenese na drugo. To se naredi za vsako enačbo z eno osnovno spremenljivko. Nato se v preostalih enačbah, kjer je to mogoče, namesto osnovne spremenljivke nadomesti dobljeni izraz. Če je rezultat spet izraz, ki vsebuje samo eno osnovno spremenljivko, se ponovno izrazi od tam in tako naprej, dokler ni vsaka osnovna spremenljivka zapisana kot izraz s prostimi spremenljivkami. To je splošna rešitev SLAE.
Najdete lahko tudi osnovno rešitev sistema - prostim spremenljivkam dodelite poljubne vrednosti, nato pa za ta konkreten primer izračunajte vrednosti osnovnih spremenljivk. Obstaja neskončno število posebnih rešitev, ki jih je mogoče dati.
Rešitev s konkretnimi primeri
Tukaj je sistem enačb.
Za udobje je bolje, da takoj ustvarite njegovo matrico
Znano je, da bo pri reševanju z Gaussovo metodo enačba, ki ustreza prvi vrstici, ob koncu transformacij ostala nespremenjena. Zato bo bolj donosno, če levo zgornji element matrika bo najmanjša - takrat se bodo prvi elementi preostalih vrstic po operacijah spremenili na nič. To pomeni, da bo v sestavljeni matriki koristno postaviti drugo vrstico namesto prve.
druga vrstica: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
tretja vrstica: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
Zdaj, da ne bi prišlo do zmede, morate zapisati matriko z vmesnimi rezultati transformacij.
Očitno je mogoče takšno matriko narediti bolj priročno za zaznavanje z uporabo določenih operacij. Na primer, lahko odstranite vse "minuse" iz druge vrstice tako, da pomnožite vsak element z "-1".
Omeniti velja tudi, da so v tretji vrstici vsi elementi večkratniki treh. Nato lahko vrstico skrajšate za to številko, tako da vsak element pomnožite z "-1/3" (minus - hkrati, da odstranite negativne vrednosti).
Izgleda veliko lepše. Zdaj moramo pustiti prvo vrstico pri miru in delati z drugo in tretjo. Naloga je dodati drugo vrstico tretji vrstici, pomnoženo s takim koeficientom, da postane element a 32 enak nič.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (če se med nekaterimi transformacijami odgovor ne izkaže za celo število, je priporočljivo ohraniti natančnost izračunov, da pustite je "kot je", v obliki navadni ulomek, šele nato, ko so odgovori prejeti, se odločite, ali boste zaokrožili in pretvorili v drugo obliko zapisa)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matrika se ponovno zapiše z novimi vrednostmi.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Kot lahko vidite, ima nastala matrika že stopničasto obliko. Zato nadaljnje transformacije sistema z uporabo Gaussove metode niso potrebne. Tukaj je mogoče odstraniti iz tretje vrstice skupni koeficient "-1/7".
Zdaj je vse lepo. Vse kar morate storiti je, da matriko ponovno zapišete v obliki sistema enačb in izračunate korene
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Algoritem, s katerim bodo sedaj najdeni koreni, se v Gaussovi metodi imenuje obratna poteza. Enačba (3) vsebuje vrednost z:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
In prva enačba nam omogoča, da najdemo x:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Takšen sistem imamo pravico imenovati skupen in celo dokončen, to je edinstvena rešitev. Odgovor je zapisan v naslednji obliki:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Primer negotovega sistema
Analizirana je bila varianta reševanja določenega sistema z Gaussovo metodo, zdaj pa je treba upoštevati primer, če je sistem negotov, to je, da je zanj mogoče najti neskončno veliko rešitev.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Že sam videz sistema je zaskrbljujoč, saj je število neznank n = 5, rang sistemske matrike pa je že natanko manjši od tega števila, ker je število vrstic m = 4, tj. največji vrstni red determinantnega kvadrata je 4. To pomeni, da obstaja neskončno število rešitev in morate iskati njegov splošni videz. To vam omogoča Gaussova metoda za linearne enačbe.
Najprej se, kot običajno, sestavi razširjena matrika.
Druga vrstica: koeficient k = (-a 21 /a 11) = -3. V tretji vrstici je prvi element pred transformacijami, zato se vam ni treba ničesar dotikati, pustiti ga morate tako, kot je. Četrta vrstica: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Če pomnožimo elemente prve vrstice z vsakim od njihovih koeficientov po vrsti in jih dodamo zahtevanim vrsticam, dobimo matriko naslednje oblike:
Kot lahko vidite, so druga, tretja in četrta vrstica sestavljene iz elementov, sorazmernih drug z drugim. Drugi in četrti sta na splošno enaki, zato lahko eno od njih takoj odstranite, preostalo pa pomnožite s koeficientom "-1" in dobite vrstico številka 3. In spet, od dveh enakih vrstic, pustite eno.
Rezultat je takšna matrika. Medtem ko sistem še ni zapisan, je tu treba določiti osnovne spremenljivke - tiste, ki stojijo pri koeficientih a 11 = 1 in a 22 = 1, ter proste - vse ostale.
V drugi enačbi je le ena osnovna spremenljivka - x 2. To pomeni, da ga lahko izrazimo od tam tako, da ga zapišemo skozi spremenljivke x 3 , x 4 , x 5 , ki so proste.
Dobljeni izraz nadomestimo v prvo enačbo.
Rezultat je enačba, v kateri je edina osnovna spremenljivka x 1 . Naredimo z njim enako kot z x 2.
Vse osnovne spremenljivke, ki sta dve, izrazimo s tremi prostimi, zdaj lahko odgovor zapišemo v splošni obliki.
Določite lahko tudi eno od posameznih rešitev sistema. V takih primerih so običajno izbrane ničle kot vrednosti za proste spremenljivke. Potem bo odgovor:
16, 23, 0, 0, 0.
Primer nekooperativnega sistema
Reševanje nekompatibilnih sistemov enačb z Gaussovo metodo je najhitrejše. Konča se takoj, ko na eni od stopenj dobimo enačbo, ki nima rešitve. To pomeni, da je stopnja izračunavanja korenin, ki je precej dolga in dolgočasna, odpravljena. Upoštevan je naslednji sistem:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Kot običajno je matrika sestavljena:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
In zmanjšano je na postopno obliko:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Po prvi transformaciji je v tretji vrstici enačba oblike
brez rešitve. Posledično je sistem nedosleden in odgovor bo prazna množica.
Prednosti in slabosti metode
Če izberete metodo za reševanje SLAE na papirju s peresom, potem je metoda, o kateri smo razpravljali v tem članku, videti najbolj privlačna. Veliko težje se je zmešati pri elementarnih transformacijah, kot če bi morali ročno iskati determinanto ali kakšno zapleteno inverzno matriko. Če pa uporabljate programe za delo s podatki te vrste, na primer preglednice, se izkaže, da takšni programi že vsebujejo algoritme za izračun glavnih parametrov matrik - determinanta, minori, inverz in tako naprej. In če ste prepričani, da bo stroj sam izračunal te vrednosti in ne bo delal napak, je bolj priporočljivo uporabiti matrično metodo ali Cramerjeve formule, saj se njihova uporaba začne in konča z izračunom determinant in inverznih matrik. .
Aplikacija
Ker je Gaussova rešitev algoritem, matrika pa je pravzaprav dvodimenzionalna matrika, jo je mogoče uporabiti pri programiranju. Ker pa se članek postavlja kot vodnik "za lutke", je treba reči, da je metodo najlažje vnesti v preglednice, na primer Excel. Vsak SLAE, vnesen v tabelo v obliki matrike, bo Excel obravnaval kot dvodimenzionalno polje. In za operacije z njimi obstaja veliko lepih ukazov: seštevanje (seštevate lahko samo matrike enake velikosti!), množenje s številom, množenje matrik (tudi z določenimi omejitvami), iskanje inverznih in transponiranih matrik in, kar je najpomembnejše , izračun determinante. Če to zamudno nalogo nadomestimo z enim samim ukazom, je mogoče veliko hitreje določiti rang matrike in s tem ugotoviti njeno združljivost oziroma nezdružljivost.
Naj bo sistem podan, ∆≠0. (1)Gaussova metoda je metoda zaporednega izločanja neznank.
Bistvo Gaussove metode je transformacija (1) v sistem s trikotno matriko, iz katere se nato zaporedno (obratno) pridobijo vrednosti vseh neznank. Oglejmo si eno od računskih shem. To vezje se imenuje enojno razdelilno vezje. Torej, poglejmo ta diagram. Naj 11 ≠0 (vodilni element) deli prvo enačbo z 11. Dobimo
(2)
Z uporabo enačbe (2) je enostavno odstraniti neznanke x 1 iz preostalih enačb sistema (za to je dovolj, da od vsake enačbe odštejemo enačbo (2), predhodno pomnoženo z ustreznim koeficientom za x 1) , torej v prvem koraku dobimo
.
Z drugimi besedami, v koraku 1 je vsak element naslednjih vrstic, začenši z drugo, enak razliki med izvirnim elementom in produktom njegove "projekcije" na prvi stolpec in prvo (preoblikovano) vrstico.
Nato, pustimo prvo enačbo pri miru, izvedemo podobno transformacijo nad preostalimi enačbami sistema, dobljenimi v prvem koraku: med njimi izberemo enačbo z vodilnim elementom in z njeno pomočjo izločimo x 2 iz preostalih enačbe (2. korak).
Po n korakih namesto (1) dobimo enakovredni sistem 
(3)
Tako na prvi stopnji dobimo trikotni sistem (3). To stopnjo imenujemo udarec naprej.
Na drugi stopnji (obratno) najdemo zaporedno iz (3) vrednosti x n, x n -1, ..., x 1.
Dobljeno rešitev označimo z x 0 . Potem je razlika ε=b-A x 0 imenovano rezidualno.
Če je ε=0, je najdena rešitev x 0 pravilna.
Izračuni po Gaussovi metodi se izvajajo v dveh stopnjah:
- Prva stopnja se imenuje metoda naprej. Na prvi stopnji se prvotni sistem pretvori v trikotno obliko.
- Druga stopnja se imenuje povratni hod. Na drugi stopnji se rešuje trikotni sistem, ki je enakovreden prvotnemu.
Na vsakem koraku je bilo predpostavljeno, da je vodilni element različen od nič. Če temu ni tako, se lahko kot vodilni element uporabi kateri koli drug element, kot da bi preuredil enačbe sistema.
Namen Gaussove metode
Gaussova metoda je namenjena reševanju sistemov linearnih enačb. Nanaša se na metode neposredne rešitve.Vrste Gaussove metode
- Klasična Gaussova metoda;
- Modifikacije Gaussove metode. Ena od modifikacij Gaussove metode je shema z izbiro glavnega elementa. Značilnost Gaussove metode z izbiro glavnega elementa je takšna preureditev enačb, da se na k-tem koraku izkaže, da je vodilni element največji element v k-tem stolpcu.
- Jordano-Gaussova metoda;
Ponazorimo razliko Jordano-Gaussova metoda iz Gaussove metode s primeri.
Primer rešitve po Gaussovi metodi
Rešimo sistem: 
Za lažji izračun zamenjajmo vrstici: 
Pomnožimo 2. vrstico z (2). Tretjo vrstico dodajte drugi 
Pomnožite 2. vrstico z (-1). 1. dodajte 2. vrstico 
Iz 1. vrstice izrazimo x 3:
Iz 2. vrstice izrazimo x 2:
Iz 3. vrstice izrazimo x 1:
Primer rešitve po Jordano-Gaussovi metodi
Rešimo isti SLAE z Jordano-Gaussovo metodo. 
Zaporedoma bomo izbrali razločevalni element RE, ki leži na glavni diagonali matrike.
Element ločljivosti je enak (1).
SV = JV - (A*B)/ZD
RE - razločevalni element (1), A in B - matrični elementi, ki tvorijo pravokotnik z elementoma STE in RE.
Predstavimo izračun vsakega elementa v obliki tabele:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
Razločevalni element je enak (3).
Namesto razločevalnega elementa dobimo 1, v sam stolpec pa vpišemo ničle.
Vsi drugi elementi matrike, vključno z elementi stolpca B, so določeni s pravilom pravokotnika.
Za to izberemo štiri števila, ki se nahajajo na ogliščih pravokotnika in vedno vključujejo razločevalni element RE.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
Element ločljivosti je (-4).
Namesto razločevalnega elementa dobimo 1, v sam stolpec pa vpišemo ničle.
Vsi drugi elementi matrike, vključno z elementi stolpca B, so določeni s pravilom pravokotnika.
Za to izberemo štiri števila, ki se nahajajo na ogliščih pravokotnika in vedno vključujejo razločevalni element RE.
Predstavimo izračun vsakega elementa v obliki tabele:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Odgovori: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1