Površina svake baze cilindra je π r 2, površina obje baze će biti 2π r 2 (sl.).

Površina bočne površine cilindra jednaka je površini pravokutnika čija je osnova 2π r, a visina je jednaka visini cilindra h, tj. 2π rh.

Ukupna površina cilindra će biti: 2π r 2 + 2π rh= 2π r(r+ h).

Površina bočne površine cilindra se uzima kao sweep area njegove bočne površine.

Dakle, površina bočne površine desnog kružnog cilindra jednaka je površini odgovarajućeg pravokutnika (sl.) i izračunava se po formuli

S b.c. = 2πRH, (1)

Ako površini njegove dvije baze dodamo površinu bočne površine cilindra, dobićemo ukupnu površinu cilindra

S puna =2πRH + 2πR 2 = 2πR (H + R).

Zapremina pravog cilindra

Teorema. Zapremina pravog cilindra jednak proizvodu površine njegove osnove do visine , tj.

gdje je Q površina baze, a H visina cilindra.

Pošto je površina osnove cilindra Q, tada postoje nizovi opisanih i upisanih poligona sa površinama Q n i Q' n takav da

\(\lim_(n \desno \infty)\) Q n= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q’ n= Q.

Konstruirajmo niz prizmi čije su osnove gore opisani i upisani poligoni, a čije su bočne ivice paralelne generatrisi datog cilindra i imaju dužinu H. Ove prizme su opisane i upisane za dati cilindar. Njihove zapremine se nalaze po formulama

V n=Q n H i V' n= Q' n H.

dakle,

V= \(\lim_(n \desno \infty)\) Q n H = \(\lim_(n \strelica desno \infty)\) Q’ n H = QH.

Posljedica.
Zapremina desnog kružnog cilindra izračunava se po formuli

V = π R 2 H

gdje je R polumjer baze, a H visina cilindra.

Pošto je osnova kružnog cilindra kružnica poluprečnika R, onda je Q = π R 2, pa prema tome

Postoji veliki broj problemi vezani za cilindar. U njima morate pronaći polumjer i visinu tijela ili vrstu njegovog presjeka. Osim toga, ponekad morate izračunati površinu cilindra i njegovu zapreminu.

Koje tijelo je cilindar?

U školskom planu i programu se proučava kružni cilindar, odnosno onaj u osnovi. Ali razlikuje se i eliptični izgled ove figure. Iz imena je jasno da će njegova osnova biti elipsa ili ovalna.

Cilindar ima dvije baze. Jednake su jedna drugoj i povezane su segmentima koji kombinuju odgovarajuće tačke baza. Zovu se generatori cilindra. Svi generatori su međusobno paralelni i jednaki. Oni čine bočnu površinu tijela.

Općenito, cilindar je nagnuto tijelo. Ako generatori čine pravi ugao sa bazama, onda govorimo o pravoj figuri.

Zanimljivo je da je kružni cilindar tijelo revolucije. Dobiva se rotacijom pravougaonika oko jedne od njegovih stranica.

Glavni elementi cilindra

Glavni elementi cilindra izgledaju ovako.

1. Visina. To je najkraća udaljenost između baza cilindra. Ako je ravna, tada se visina poklapa sa generatricom.
2. Radijus. Poklapa se s onim koji se može nacrtati u osnovi.
3. Osa. Ovo je prava linija koja sadrži centre obje baze. Osa je uvijek paralelna sa svim generatorima. U ravnom cilindru je okomita na baze.
4. Aksijalni presjek. Nastaje kada cilindar siječe ravan u kojoj se nalazi os.
5. Tangentna ravan. Ona prolazi kroz jednu od generatrisa i okomita je na aksijalni presjek, koji je povučen kroz ovu generatrisu.

Kako je cilindar spojen na prizmu upisanu u njega ili opisanu oko njega?

Ponekad postoje problemi u kojima je potrebno izračunati površinu cilindra, ali su poznati neki elementi povezane prizme. Kako se ove brojke odnose?

Ako je prizma upisana u cilindar, tada su njene osnove jednaki poligoni. Štaviše, oni su upisani u odgovarajuće baze cilindra. Bočne ivice prizme poklapaju se sa generatorima.

Opisana prizma ima pravilne poligone u svojoj osnovi. Oni su opisani oko krugova cilindra, koji su njegove baze. Ravnine koje sadrže lica prizme dodiruju cilindar duž svojih generatora.

Na području bočne površine i osnove za desni kružni cilindar

Ako odmotate bočnu površinu, dobit ćete pravougaonik. Njegove strane će se poklapati sa generatrisom i obimom baze. Dakle, bočna površina cilindra će biti jednaka proizvodu ove dvije veličine. Ako zapišete formulu, dobit ćete sljedeće:

S strana = l * n,

gdje je n generator, l je obim.

Štoviše, posljednji parametar se izračunava pomoću formule:

l = 2 π * r,

ovdje je r polumjer kružnice, π je broj “pi” jednak 3,14.

Budući da je baza kružnica, njena površina se izračunava pomoću sljedećeg izraza:

S glavni = π * r 2 .

Na površini cijele površine desnog kružnog cilindra

Budući da je formirana od dvije baze i bočne površine, potrebno je dodati ove tri količine. Odnosno, ukupna površina cilindra će se izračunati po formuli:

S sprat = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Često se piše u drugačijem obliku:

S sprat = 2 π * r (n + r).

Na područjima nagnutog kružnog cilindra

Što se tiče baza, sve formule su iste, jer su i dalje kružnice. I ovdje bočna površina više ne proizvodi pravougaonik.

Da biste izračunali površinu bočne površine nagnutog cilindra, morat ćete pomnožiti vrijednosti generatrike i perimetra presjeka, koji će biti okomit na odabranu generatricu.

Formula izgleda ovako:

S strana = x * P,

gdje je x dužina generatrike cilindra, P je obim presjeka.

Usput, bolje je odabrati dio tako da čini elipsu. Tada će proračuni njegovog perimetra biti pojednostavljeni. Dužina elipse se izračunava pomoću formule koja daje približan odgovor. Ali često je dovoljno za zadatke školskog kursa:

l = π * (a + b),

gdje su “a” i “b” poluose elipse, odnosno udaljenost od centra do najbliže i najudaljenije tačke.

Površina cijele površine mora se izračunati pomoću sljedećeg izraza:

S sprat = 2 π * r 2 + x * R.

Koji su neki dijelovi desnog kružnog cilindra?

Kada presjek prolazi kroz osu, njegova se površina određuje kao proizvod generatrise i promjera baze. To se objašnjava činjenicom da ima oblik pravokutnika, čije se stranice poklapaju s naznačenim elementima.

Da biste pronašli površinu poprečnog presjeka cilindra koja je paralelna s aksijalnom, trebat će vam i formula za pravougaonik. U ovoj situaciji, jedna od njegovih strana i dalje će se podudarati s visinom, a druga će biti jednaka tetivi baze. Posljednji se poklapa s linijom presjeka duž baze.

Kada je presjek okomit na osu, izgleda kao krug. Štaviše, njegova površina je ista kao i baza figure.

Također je moguće ukrštati pod nekim uglom u odnosu na osu. Tada poprečni presjek rezultira ovalnim ili njegovim dijelom.

Problemi sa uzorcima

Zadatak br. 1. Dat je ravan cilindar čija je površina osnove 12,56 cm 2 . Potrebno je izračunati ukupnu površinu cilindra ako je njegova visina 3 cm.

Rješenje. Potrebno je koristiti formulu za ukupnu površinu kružnog ravnog cilindra. Ali nedostaju podaci, naime radijus baze. Ali površina kruga je poznata. Iz ovoga je lako izračunati radijus.

Ispada da je jednak kvadratni korijen od količnika koji se dobije dijeljenjem površine baze sa pi. Nakon dijeljenja 12,56 sa 3,14, rezultat je 4. Kvadratni korijen od 4 je 2. Prema tome, radijus će imati ovu vrijednost.

Odgovor: S pod = 50,24 cm 2.

Zadatak br. 2. Cilindar polumjera 5 cm seče ravninom koja je paralelna s osi. Udaljenost od presjeka do ose je 3 cm Visina cilindra je 4 cm. Potrebno je pronaći površinu poprečnog presjeka.

Rješenje. Oblik poprečnog presjeka je pravougaonog oblika. Jedna od njegovih strana poklapa se s visinom cilindra, a druga je jednaka tetivi. Ako je prva veličina poznata, onda treba pronaći drugu.

Da biste to učinili, potrebno je napraviti dodatnu konstrukciju. Na bazi crtamo dva segmenta. Obojica će početi u centru kruga. Prvi će završiti u centru tetive i jednak je poznatoj udaljenosti do ose. Drugi je na kraju akorda.

Dobićete pravougli trougao. U njemu su poznati hipotenuza i jedan od krakova. Hipotenuza se poklapa sa radijusom. Drugi krak je jednak polovini tetive. Nepoznati krak pomnožen sa 2 će dati željenu dužinu akorda. Izračunajmo njegovu vrijednost.

Da biste pronašli nepoznati krak, morat ćete kvadrirati hipotenuzu i poznatu nogu, oduzeti drugu od prve i uzeti kvadratni korijen. Kvadrati su 25 i 9. Njihova razlika je 16. Nakon uzimanja kvadratnog korijena ostaje 4. Ovo je željeni krak.

Tetiva će biti jednaka 4 * 2 = 8 (cm). Sada možete izračunati površinu poprečnog presjeka: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odgovor: S krst je jednak 32 cm 2.

Zadatak br. 3. Potrebno je izračunati površinu aksijalni presek cilindar. Poznato je da je u nju upisana kocka sa ivicom od 10 cm.

Rješenje. Aksijalni presjek cilindra poklapa se s pravokutnikom koji prolazi kroz četiri vrha kocke i sadrži dijagonale njegovih baza. Stranica kocke je generatriksa cilindra, a dijagonala baze poklapa se sa prečnikom. Umnožak ove dvije količine dat će područje koje trebate pronaći u zadatku.

Da biste pronašli promjer, morat ćete upotrijebiti znanje da je osnova kocke kvadrat, a njegova dijagonala čini jednakostranični pravokutni trokut. Njegova hipotenuza je željena dijagonala figure.

Da biste ga izračunali, trebat će vam formula Pitagorine teoreme. Morate kvadrirati stranu kocke, pomnožiti je sa 2 i uzeti kvadratni korijen. Deset na drugi stepen je sto. Pomnoženo sa 2 je dvije stotine. Kvadratni korijen od 200 je 10√2.

Presjek je opet pravougaonik sa stranicama 10 i 10√2. Njegova površina se može lako izračunati množenjem ovih vrijednosti.

Odgovori. S presek = 100√2 cm 2.

Predstavlja geometrijsko tijelo, ograničen s dvije paralelne ravnine i cilindričnom površinom.

Cilindar se sastoji od bočne površine i dvije baze. Formula za površinu cilindra uključuje odvojeno izračunavanje površine baze i bočne površine. Budući da su baze u cilindru jednake, njegova ukupna površina će se izračunati po formuli:

Razmotrit ćemo primjer izračunavanja površine cilindra nakon što znamo sve potrebne formule. Prvo nam je potrebna formula za površinu baze cilindra. Budući da je osnova cilindra krug, morat ćemo primijeniti:
Podsjećamo da se u ovim proračunima koristi konstantni broj Π = 3,1415926, koji se izračunava kao omjer obima kruga i njegovog prečnika. Ovaj broj je matematička konstanta. Također ćemo pogledati primjer izračunavanja površine baze cilindra malo kasnije.

Bočna površina cilindra

Formula za površinu bočne površine cilindra je proizvod dužine baze i njegove visine:

Pogledajmo sada problem u kojem trebamo izračunati ukupnu površinu cilindra. Na datoj slici visina je h = 4 cm, r = 2 cm. Nađimo ukupnu površinu cilindra.
Prvo, izračunajmo površinu baza:
Pogledajmo sada primjer izračunavanja površine bočne površine cilindra. Kada se proširi, predstavlja pravougaonik. Njegova površina se izračunava pomoću gornje formule. Zamenimo sve podatke u njega:
Ukupna površina kruga je zbir dvostruke površine baze i stranice:

Tako smo, koristeći formule za površinu baza i bočne površine figure, uspjeli pronaći ukupnu površinu cilindra.
Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik u kojem su stranice jednake visini i prečniku cilindra.

Formula za aksijalnu površinu poprečnog presjeka cilindra izvedena je iz proračunske formule:

Nađite površinu aksijalnog presjeka okomitog na osnovice cilindra. Jedna od stranica ovog pravokutnika jednaka je visini cilindra, druga - promjeru osnovnog kruga. Prema tome, površina poprečnog presjeka u ovom slučaju bit će jednaka proizvodu stranica pravokutnika. S=2R*h, gdje je S površina poprečnog presjeka, R je poluprečnik osnovne kružnice, dat uslovima zadatka, a h visina cilindra, takođe data uslovima problema.

Ako je presjek okomit na baze, ali ne prolazi kroz os rotacije, pravougaonik neće biti jednak promjeru kruga. To treba izračunati. Da biste to učinili, problem mora reći na kojoj udaljenosti od ose rotacije prolazi ravnina presjeka. Radi lakšeg izračunavanja, konstruirajte krug u podnožju cilindra, nacrtajte polumjer i na njemu ucrtajte udaljenost na kojoj se presjek nalazi od središta kruga. Od ove tačke povucite okomite na njihov presek sa kružnicom. Spojite tačke raskrsnice sa centrom. Morate pronaći akorde. Nađite veličinu polovice tetive koristeći Pitagorinu teoremu. Bit će jednak kvadratnom korijenu razlike između kvadrata polumjera kruga od centra do linije presjeka. a2=R2-b2. Prema tome, cijeli akord će biti jednak 2a. Izračunajte površinu poprečnog presjeka, koja je jednaka proizvodu stranica pravougaonika, odnosno S=2a*h.

Cilindar se može rezati bez prolaska kroz ravan baze. Ako je poprečni presjek okomit na os rotacije, onda će to biti krug. Njegova površina je u ovom slučaju jednaka površini baza, odnosno izračunata po formuli S = πR2.

Koristan savjet

Da biste preciznije zamislili odjeljak, napravite crtež i dodatne konstrukcije za njega.

Izvori:

• površina poprečnog presjeka cilindra

Linija presjeka površine sa ravninom pripada i površini i reznoj ravni. Linija presjeka cilindrične površine sa reznom ravninom koja je paralelna s pravom generatricom je prava linija. Ako je rezna ravnina okomita na os okretne površine, presjek će biti kružnica. Općenito, linija presjeka cilindrične površine sa reznom ravninom je kriva linija.

Trebaće ti

• Olovka, ravnalo, trokut, šare, šestar, metar.

Instrukcije

Na čeonoj ravni projekcija P₂, linija presjeka se poklapa sa projekcijom ravnine reza Σ₂ u obliku prave.
Označite točke presjeka generatrisa cilindra sa projekcijom Σ₂ 1₂, 2₂ itd. do tačaka 10₂ i 11₂.

Na ravni P₁ je kružnica. Tačke 1₂, 2₂ itd. označene na ravnini presjeka Σ₂. pomoću projekcijske spojne linije se projektuju na obris ovog kruga. Označite njihove horizontalne projekcije simetrično u odnosu na horizontalnu os kružnice.

Tako se određuju projekcije željenog presjeka: na ravni P₂ – prava (tačke 1₂, 2₂…10₂); na ravni P₁ – kružnica (tačke 1₁, 2₁…10₁).

Koristeći dva, konstruirajte prirodnu veličinu presjeka ovog cilindra po frontalnoj projekcijskoj ravni Σ. Da biste to učinili, koristite metodu projekcije.

Povucite ravan P₄ paralelno sa projekcijom ravnine Σ₂. Na ovoj novoj osi x₂₄ označite tačku 1₀. Udaljenosti između tačaka 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂, itd. od frontalne projekcije presjeka, postavite ga na os x₂₄, povucite tanke linije projekcijskog spoja okomito na os x₂₄.

IN ovu metodu P₄ ravan je zamijenjena ravninom P₁, stoga, iz horizontalne projekcije, prenesite dimenzije sa ose na tačke na osu ravnine P₄.

Na primjer, na P₁ za tačke 2 i 3 to će biti udaljenost od 2₁ i 3₁ do ose (tačka A), itd.

Ako odvojite naznačene udaljenosti od horizontalne projekcije, dobijate tačke 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Zatim se za veću tačnost konstrukcije određuju preostale međutačke.

Povezivanjem svih tačaka sa krivuljom uzorka dobijate potrebnu prirodnu veličinu presjeka cilindra po frontalnoj projekcijskoj ravni.

Izvori:

• kako zamijeniti avion

Savjet 3: Kako pronaći aksijalni poprečni presjek skraćenog konusa

Da biste riješili ovaj problem, morate zapamtiti šta je skraćeni konus i koja svojstva ima. Obavezno napravite crtež. To će vam omogućiti da odredite koju geometrijsku figuru predstavlja dio. Sasvim je moguće da vam nakon ovoga rješavanje problema više neće biti teško.

Instrukcije

Okrugli konus je tijelo dobiveno rotacijom trougla oko jedne od njegovih nogu. Prave linije koje izlaze iz vrha kornet i presecanje njegove baze nazivaju se generatori. Ako su svi generatori jednaki, konus je ravan. U osnovi kruga kornet leži krug. Okomita spuštena na bazu sa vrha je visina kornet. U krugu ravno kornet visina se poklapa sa njegovom osom. Osa je prava linija koja povezuje centar baze. Ako je horizontalna rezna ravnina kružne kornet, tada je njegova gornja osnova kružnica.

Budući da u iskazu problema nije navedeno da je u ovom slučaju zadan konus, možemo zaključiti da se radi o ravnom krnjem konusu čiji je horizontalni presjek paralelan s bazom. Njegov aksijalni presjek, tj. vertikalna ravan, koja kroz osu okruglog kornet, je jednakostranični trapez. Sve aksijalno sekcije okruglo ravno kornet su jednake jedna drugoj. Stoga, pronaći kvadrat aksijalni sekcije, morate pronaći kvadrat trapeza, čije su osnove prečnici osnovica skraćenog kornet, a bočne strane su njegovi sastavni dijelovi. Frustum visina kornet je i visina trapeza.

Površina trapeza određena je formulom: S = ½(a+b) h, gdje je S – kvadrat trapez; a – veličina donje osnove trapeza; b – veličina njegove gornje osnove; h – visina trapeza.

Budući da uvjet ne precizira koji su dati, moguće je da su prečnici obje baze skraćene kornet poznato: AD = d1 – prečnik donje osnove krnje kornet;BC = d2 – prečnik njegove gornje osnove; EH = h1 – visina kornet.Dakle, kvadrat aksijalni sekcije skraćeno kornet je definisan: S1 = ½ (d1+d2) h1

Izvori:

• površina skraćenog konusa

Cilindar je prostorna figura i sastoji se od dva jednake osnove, koji predstavljaju kružnice i bočnu površinu koja spaja linije koje graniče baze. Da izračunam kvadrat cilindar, pronađite površine svih njegovih površina i zbrojite ih.