Kako ne zmanjšati ulomkov. Spletni kalkulator za zmanjševanje algebrskih ulomkov s podrobno rešitvijo omogoča zmanjševanje ulomka in pretvorbo nepravilnega ulomka v pravilnega

Ulomki in njihovo zmanjševanje je še ena tema, ki se začne v 5. razredu. Tu se oblikuje osnova tega delovanja, nato pa se te veščine po nitki vlečejo v višjo matematiko. Če študent ne razume, ima lahko težave pri algebri. Zato je bolje razumeti nekaj pravil enkrat za vselej. Zapomnite si tudi eno prepoved in je nikoli ne kršite.

Ulomek in njegovo zmanjšanje

Vsak študent ve, kaj je to. Vsaki dve števki, ki se nahajata med vodoravno črto, takoj zaznamo kot ulomek. Vendar pa vsi ne razumejo, da lahko to postane katera koli številka. Če je celo število, ga lahko vedno delimo z ena in potem dobimo nepravilen ulomek. A več o tem kasneje.

Začetek je vedno preprost. Najprej morate ugotoviti, kako zmanjšati pravi ulomek. To je tisto, v katerem je števec manjši od imenovalca. Če želite to narediti, se morate spomniti osnovne lastnosti ulomka. Navaja, da pri hkratnem množenju (pa tudi deljenju) njegovega števca in imenovalca z istim številom dobimo enakovreden ulomek.

Dejanja delitve, ki se izvajajo na tej nepremičnini in povzročijo zmanjšanje. Se pravi čim bolj poenostaviti. Ulomek je mogoče zmanjšati, če so skupni faktorji nad in pod črto. Ko jih ni več, je zmanjšanje nemogoče. In pravijo, da je ta ulomek nezmanjšljiv.

Dva načina

1.Korak za korakom zmanjšanja. Uporablja metodo ocenjevanja, kjer sta obe števili deljeni z najmanjšim skupnim faktorjem, ki ga študent opazi. Če je po prvem popadku jasno, da to še ni konec, se delitev nadaljuje. Dokler ulomek ne postane nezmanjšljiv.

2. Iskanje največjega skupnega delitelja števca in imenovalca. To je najbolj racionalen način za zmanjšanje ulomkov. Vključuje faktorizacijo števca in imenovalca na prafaktorje. Med njimi morate nato izbrati vse enake. Njihov produkt bo dal največji skupni faktor, za katerega se ulomek zmanjša.

Obe metodi sta enakovredni. Učenca spodbujamo, da jih obvlada in uporabi tisto, ki mu je najbolj všeč.

Kaj pa, če obstajajo črke ter operacije seštevanja in odštevanja?

Prvi del vprašanja je bolj ali manj jasen. Črke lahko skrajšamo tako kot številke. Glavna stvar je, da delujejo kot multiplikatorji. Marsikdo pa ima težave z drugim.

Pomembno si je zapomniti! Zmanjšate lahko le števila, ki so faktorji. Če so seštevalci, je nemogoče.

Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke, ki imajo obliko algebraičnega izraza, morate razumeti pravilo. Najprej izrazite števec in imenovalec kot zmnožek. Nato lahko zmanjšate, če se pojavijo skupni dejavniki. Za predstavitev v obliki množiteljev so uporabne naslednje tehnike:

• združevanje v skupine;
• oklepaji;
• uporaba skrajšanih množilnih identitet.

Poleg tega slednja metoda omogoča takojšnje pridobivanje izrazov v obliki množiteljev. Zato ga je treba vedno uporabiti, če je viden znani vzorec.

A to še ni strašljivo, potem se pojavijo naloge s stopnjami in koreninami. Takrat se morate opogumiti in naučiti par novih pravil.

Izražanje s stopnjo

Ulomek. Števec in imenovalec sta produkt. Obstajajo črke in številke. Prav tako so povzdignjeni na potenco, ki je prav tako sestavljena iz členov ali faktorjev. Nekaj ​​se je treba bati.

Da bi razumeli, kako zmanjšati ulomke s potencami, se boste morali naučiti dveh stvari:

• če eksponent vsebuje vsoto, potem jo je mogoče razstaviti na faktorje, katerih potence bodo prvotni členi;
• če je razlika, potem dividenda in delitelj, prvi bo imel minuend na potenco, drugi bo imel subtrahend.

Po zaključku teh korakov postanejo vidni skupni množitelji. V takšnih primerih ni treba izračunati vseh potenc. Dovolj je, da preprosto zmanjšate stopnje z enakimi eksponenti in osnovami.

Da bi končno obvladali zmanjševanje ulomkov s potencami, potrebujete veliko vaje. Po več podobnih primerih bodo dejanja izvedena samodejno.

Kaj pa, če izraz vsebuje koren?

Lahko se tudi skrajša. Samo spet po pravilih. Še več, vse zgoraj opisano drži. Na splošno, če je vprašanje, kako zmanjšati ulomek s koreninami, potem morate razdeliti.

Lahko ga razdelimo tudi na iracionalne izraze. To pomeni, da če števec in imenovalec vsebujeta enake faktorje, zaprte pod znakom korena, potem ju je mogoče varno zmanjšati. To bo poenostavilo izraz in dokončalo nalogo.

Če po zmanjšanju iracionalnost ostane pod ulomkovo črto, se je morate znebiti. Z drugimi besedami, pomnožite števec in imenovalec z njim. Če se po tej operaciji pojavijo skupni dejavniki, jih bo treba znova zmanjšati.

To je verjetno vse o tem, kako zmanjšati ulomke. Pravil je malo, prepoved pa le ena. Nikoli ne skrajšajte rokov!

Delitevštevec in imenovalec ulomka pa na njihovih skupni delilnik , drugačen od enega, se imenuje zmanjševanje ulomka.

Če želite zmanjšati navadni ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z istim naravnim številom.

To število je največji skupni delitelj števca in imenovalca danega ulomka.

Možne so naslednje obrazci za zapisovanje odločitev Primeri zmanjševanja navadnih ulomkov.

Študent ima pravico izbrati katero koli obliko zapisa.

Primeri. Poenostavite ulomke.

Zmanjšajte ulomek za 3 (števec delite s 3;

imenovalec deli s 3).

Zmanjšaj ulomek za 7.

Navedena dejanja izvajamo v števcu in imenovalcu ulomka.

Nastali ulomek se zmanjša za 5.

Zmanjšajmo ta delež 4) na 5·7³- največji skupni delitelj (GCD) števca in imenovalca, ki je sestavljen iz skupnih faktorjev števca in imenovalca, vzetih na potenco z najmanjšim eksponentom.

Razložimo števec in imenovalec tega ulomka na prafaktorje.

Dobimo: 756=2²·3³·7 in 1176=2³·3·7².

Določite GCD (največji skupni delitelj) števca in imenovalca ulomka 5) .

To je produkt skupnih faktorjev z najnižjimi eksponenti.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Števec in imenovalec tega ulomka delimo z njuno gcd, to je z 2²·3·7 dobimo nezmanjšani ulomek 9/14 .

Ali pa je bilo mogoče zapisati razgradnjo števca in imenovalca v obliki zmnožka prafaktorjev, ne da bi uporabili koncept potence, nato pa ulomek zmanjšati s prečrtanjem istih faktorjev v števcu in imenovalcu. Ko ni več enakih faktorjev, pomnožimo preostale faktorje posebej v števcu in posebej v imenovalcu in izpišemo dobljeni ulomek. 9/14 .

In končno je bilo mogoče ta delež zmanjšati 5) postopoma, z uporabo znakov deljenja števil na števcu in imenovalcu ulomka. Razmišljajmo takole: številke 756 in 1176 končajo s sodim številom, kar pomeni, da sta oba deljiva s 2 . Ulomek zmanjšamo za 2 . Števec in imenovalec novega ulomka sta števili 378 in 588 razdeljen tudi na 2 . Ulomek zmanjšamo za 2 . Opažamo, da je število 294 - celo, in 189 je liho in zmanjšanje za 2 ni več mogoče. Preverimo deljivost števil 189 in 294 na 3 .

(1+8+9)=18 je deljivo s 3 in (2+9+4)=15 je deljivo s 3, torej številke same 189 in 294 se delijo na 3 . Ulomek zmanjšamo za 3 . Nadalje, 63 je deljivo s 3 in 98 - Ne. Poglejmo še druge glavne dejavnike. Obe števili sta deljivi z 7 . Ulomek zmanjšamo za 7 in dobimo nezmanjšani ulomek 9/14 .

Ne da bi vedeli, kako zmanjšati ulomek in imeli stabilno spretnost pri reševanju takšnih primerov, je zelo težko študirati algebro v šoli. Dlje kot greste, več novih informacij se prekriva z osnovnim znanjem o zmanjševanju navadnih ulomkov. Najprej se pojavijo potence, nato faktorji, ki kasneje postanejo polinomi.

Kako se lahko tukaj izognete zmedi? Temeljito utrdite veščine prejšnjih tem in se postopoma pripravite na znanje o zmanjševanju ulomka, ki postaja iz leta v leto bolj zapleteno.

Osnovno znanje

Brez njih se ne boste mogli spoprijeti z nalogami katere koli ravni. Da bi razumeli, morate razumeti dvoje preprosti trenutki. Prvič: dejavnike lahko le zmanjšate. Ta odtenek se izkaže za zelo pomemben, ko se v števcu ali imenovalcu pojavijo polinomi. Nato morate jasno ločiti, kje je množitelj in kje seštevalec.

Druga točka pravi, da je poljubno število mogoče predstaviti v obliki faktorjev. Poleg tega je rezultat zmanjšanja ulomek, katerega števca in imenovalca ni več mogoče zmanjšati.

Pravila za zmanjševanje navadnih ulomkov

Najprej preverite, ali je števec deljiv z imenovalcem ali obratno. Potem je treba ravno to število zmanjšati. To je najpreprostejša možnost.

Drugi je analiza videzštevilke. Če se oba končata z eno ali več ničlami, ju je mogoče skrajšati za 10, 100 ali tisoč. Tukaj lahko opazite, ali so števila soda. Če da, potem ga lahko varno prerežete na dva.

Tretje pravilo za zmanjševanje ulomka je razčlenitev števca in imenovalca na prafaktorje. V tem času morate aktivno uporabiti vse svoje znanje o znakih deljivosti števil. Po tem razčlenjevanju preostane le še poiskati vse ponavljajoče se, jih pomnožiti in zmanjšati za dobljeno število.

Kaj pa, če je v ulomku algebrski izraz?

Tu se pojavijo prve težave. Ker se tu pojavljajo termini, ki so lahko identični faktorjem. Zelo jih želim zmanjšati, a ne morem. Preden lahko zmanjšate algebraični ulomek, ga morate pretvoriti tako, da ima faktorje.

Če želite to narediti, boste morali izvesti več korakov. Morda boste morali iti skozi vse ali pa vam bo prvi ponudil ustrezno možnost.

Preverite, ali se števec in imenovalec oziroma katerikoli izraz v njiju razlikujeta po predznaku. V tem primeru morate le dati minus ena iz oklepaja. To proizvaja enake faktorje, ki jih je mogoče zmanjšati.

Preverite, ali je možno odstraniti skupni faktor iz polinoma iz oklepaja. Morda bo tako nastal oklepaj, ki ga je mogoče tudi skrajšati, ali pa bo odstranjen monom.

Poskusite združiti monome, da jim nato dodate skupni faktor. Po tem se lahko izkaže, da bodo dejavniki, ki jih je mogoče zmanjšati, ali pa se bo spet ponovilo oklepanje skupnih elementov.

Poskusite pisno obravnavati formule za skrajšano množenje. Z njihovo pomočjo lahko preprosto pretvorite polinome v faktorje.

Zaporedje operacij z ulomki s potencami

Da bi zlahka razumeli vprašanje, kako zmanjšati ulomek s potencami, se morate trdno spomniti osnovnih operacij z njimi. Prva od teh je povezana z množenjem moči. V tem primeru, če so osnove enake, je treba indikatorje dodati.

Drugo je delitev. Še enkrat, za tiste, ki imajo iste razloge, bo treba kazalnike odšteti. Poleg tega morate odšteti od števila, ki je v dividendi, in ne obratno.

Tretja je potenciranje. V tem primeru se kazalniki pomnožijo.

Uspešno zmanjšanje bo zahtevalo tudi sposobnost zmanjšanja stopinj na iz istih razlogov. To pomeni, da vidimo, da je štiri dva na kvadrat. Ali 27 - kocka treh. Ker je zmanjševanje 9 na kvadrat in 3 na kub težko. Toda če transformiramo prvi izraz kot (3 2) 2, bo redukcija uspešna.

Na prvi pogled se zdijo algebraični ulomki zelo zapleteni in nepripravljeni učenec lahko misli, da se z njimi ne da narediti ničesar. Kopičenje spremenljivk, številk in celo stopinj vzbuja strah. Vendar pa zmanjšati običajno (npr. 15/25) in algebrski ulomki uporabljajo se ista pravila.

Koraki

Zmanjševanje ulomkov

Oglejte si dejavnosti z enostavni ulomki. Operacije z navadnimi in algebrskimi ulomki so podobne. Na primer, vzemimo ulomek 15/35. Če želite poenostaviti ta ulomek, bi morali poiščite skupni delitelj. Obe števili sta deljivi s pet, zato lahko ločimo 5 v števcu in imenovalcu:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Zdaj lahko zmanjša skupne dejavnike, torej prečrtajte 5 v števcu in imenovalcu. Kot rezultat dobimo poenostavljen ulomek 3/7 . IN algebrski izrazi skupni faktorji so dodeljeni na enak način kot pri navadnih. V prejšnjem primeru smo lahko zlahka izolirali 5 od 15 - isto načelo velja za bolj zapletene izraze, kot je 15x – 5. Poiščimo skupni faktor. V tem primeru bo 5, ker sta oba člena (15x in -5) deljiva s 5. Kot prej izberite skupni faktor in ga premaknite levo.

15x – 5 = 5 * (3x – 1)

Če želite preveriti, ali je vse pravilno, preprosto pomnožite izraz v oklepajih s 5 - rezultat bodo enake številke kot na začetku. Kompleksne člene lahko izoliramo na enak način kot enostavne. Za algebraične ulomke veljajo enaka načela kot za navadne. To je najlažji način za zmanjšanje ulomka. Razmislite o naslednjem ulomku:

(x+2)(x-3)(x+2)(x+10)

Upoštevajte, da tako števec (zgoraj) kot imenovalec (spodaj) vsebujeta člen (x+2), zato ga je mogoče zmanjšati na enak način kot skupni faktor 5 v ulomku 15/35:

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Kot rezultat dobimo poenostavljen izraz: (x-3)/(x+10)

Zmanjšanje algebraičnih ulomkov

Poiščite skupni faktor v števcu, to je na vrhu ulomka. Pri redukciji algebraičnega ulomka je prvi korak poenostavitev obeh strani. Začnite s števcem in ga poskusite razčleniti na čim več večje število multiplikatorji. V tem razdelku razmislite o naslednjem ulomku:

9x-3 15x+6

Začnimo s števcem: 9x – 3. Za 9x in -3 je skupni faktor številka 3. Vzemimo 3 iz oklepaja, kot je storjeno z navadnimi števili: 3 * (3x-1). Rezultat te transformacije je naslednji ulomek:

3(3x-1) 15x+6

Poiščite skupni faktor v števcu. Nadaljujmo z zgornjim primerom in zapišimo imenovalec: 15x+6. Kot prej ugotovimo, s katerim številom sta deljiva oba dela. In v tem primeru je skupni faktor 3, tako da lahko zapišemo: 3 * (5x +2). Prepišimo ulomek v naslednji obliki:

3(3x-1) 3(5x+2)

Skrajšajte iste izraze. V tem koraku lahko ulomek poenostavite. Prečrtajte iste člene v števcu in imenovalcu. V našem primeru je to število 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Ugotovite, da ima ulomek najpreprostejša oblika. Ulomek je popolnoma poenostavljen, če v števcu in imenovalcu ni več skupnih faktorjev. Upoštevajte, da ne morete preklicati izrazov, ki se pojavijo v oklepajih - v zgornjem primeru x ni mogoče ločiti od 3x in 5x, saj sta polna izraza (3x -1) in (5x + 2). Tako ulomka ni mogoče nadalje poenostavljati in končni odgovor je naslednji:

(3x-1)(5x+2)

Vadite zmanjševanje ulomkov sami. Najboljši način Obvladati metodo pomeni samostojno reševanje problemov. Pravilni odgovori so podani pod primeri.

4(x+2)(x-13)(4x+8)

odgovor:(x=13)

2x 2 -x 5x

odgovor:(2x-1)/5

Posebne poteze

Postavite negativni predznak zunaj ulomka. Recimo, da vam je dan naslednji ulomek:

3(x-4) 5(4-x)

Upoštevajte, da sta (x-4) in (4-x) "skoraj" enaka, vendar ju ni mogoče takoj zmanjšati, ker sta "obrnjena". Vendar (x - 4) lahko zapišemo kot -1 * (4 - x), tako kot (4 + 2x) lahko zapišemo kot 2 * (2 + x). To se imenuje "obrat znaka".

-1 * 3(4-x) 5(4-x)

Zdaj lahko zmanjšate enake izraze (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4-x)

Tako dobimo končni odgovor: -3/5 . Naučite se prepoznati razliko med kvadrati. Razlika kvadratov je, ko se kvadrat enega števila odšteje od kvadrata drugega števila, kot v izrazu (a 2 - b 2). Razliko popolnih kvadratov je vedno mogoče razstaviti na dva dela - vsoto in razliko ustreznih kvadratni koren. Potem bo izraz dobil naslednjo obliko:

A 2 - b 2 = (a+b)(a-b)

Ta tehnika je zelo uporabna pri iskanju skupnih izrazov v algebrskih ulomkih.

• Preverite, ali ste ta ali oni izraz pravilno faktorizirali. Če želite to narediti, pomnožite faktorje - rezultat mora biti enak izraz.
• Če želite popolnoma poenostaviti ulomek, vedno ločite največje faktorje.

Če moramo 497 deliti s 4, potem bomo pri deljenju videli, da 497 ni enakomerno deljivo s 4, tj. preostanek delitve ostane. V takih primerih se reče, da je zaključeno deljenje z ostankom, rešitev pa je zapisana takole:
497 : 4 = 124 (1 ostanek).

Komponente deljenja na levi strani enačbe imenujemo enako kot pri deljenju brez ostanka: 497 - dividenda, 4 - delilnik. Rezultat deljenja pri deljenju z ostankom se imenuje nepopolno zasebno. V našem primeru je to število 124. In končno, zadnja komponenta, ki ni v običajnem deljenju, je ostanek. V primerih, ko ni ostanka, se eno število deli z drugim brez sledu ali v celoti. Menijo, da je s takšno delitvijo ostanek enak nič. V našem primeru je ostanek 1.

Ostanek je vedno manjši od delitelja.

Deljenje lahko preverimo z množenjem. Če na primer obstaja enakost 64: 32 = 2, potem lahko preverite takole: 64 = 32 * 2.

Pogosto v primerih, ko se izvaja deljenje z ostankom, je priročno uporabiti enakost
a = b * n + r,
kjer je a dividenda, b je delitelj, n je delni količnik, r je ostanek.

Kvocient naravnih števil lahko zapišemo kot ulomek.

Števec ulomka je dividenda, imenovalec pa delitelj.

Ker je števec ulomka dividenda, imenovalec pa delitelj, verjamejo, da črta ulomka pomeni dejanje deljenja. Včasih je priročno zapisati deljenje kot ulomek brez uporabe znaka ":".

Kvocient deljenja naravnih števil m in n lahko zapišemo kot ulomek \(\frac(m)(n)\), kjer je števec m dividenda, imenovalec n pa delitelj:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Naslednja pravila veljajo:

Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate enoto razdeliti na n enakih delov (deležev) in vzeti m takih delov.

Če želite dobiti ulomek \(\frac(m)(n)\), morate število m deliti s številom n.

Če želite najti del celote, morate število, ki ustreza celoti, deliti z imenovalcem in rezultat pomnožiti s števcem ulomka, ki izraža ta del.

Če želite najti celoto iz njenega dela, morate število, ki ustreza temu delu, razdeliti s števcem in rezultat pomnožiti z imenovalcem ulomka, ki izraža ta del.

Če sta števec in imenovalec ulomka pomnožena z istim številom (razen nič), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Če sta števec in imenovalec ulomka deljena z istim številom (razen z ničlo), se vrednost ulomka ne spremeni:
\(\velik \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta lastnost se imenuje glavna lastnost ulomka.

Zadnji dve transformaciji se imenujeta zmanjševanje ulomka.

Če je treba ulomke predstaviti kot ulomke z enakim imenovalcem, se to dejanje pokliče spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.

Pravilni in nepravi ulomki. Mešane številke

Že veste, da lahko ulomek dobimo tako, da celoto razdelimo na enake dele in vzamemo več takih delov. Na primer, ulomek \(\frac(3)(4)\) pomeni tri četrtine ena. V mnogih nalogah iz prejšnjega odstavka so bili ulomki uporabljeni za predstavitev delov celote. Zdrav razum narekuje, da mora biti del vedno manjši od celote, kaj pa ulomki, kot je \(\frac(5)(5)\) ali \(\frac(8)(5)\)? Jasno je, da to ni več del enote. Verjetno se zato imenujejo ulomki, katerih števec je večji ali enak imenovalcu nepravi ulomki. Preostale ulomke, tj. ulomke, katerih števec je manjši od imenovalca, imenujemo pravilni ulomki.

Kot veste, si lahko kateri koli navadni ulomek, tako pravilen kot nepravilen, predstavljamo kot rezultat deljenja števca z imenovalcem. Zato v matematiki, za razliko od običajnega jezika, izraz "nepravi ulomek" ne pomeni, da smo naredili nekaj narobe, ampak le, da je števec tega ulomka večji ali enak imenovalcu.

Če je število sestavljeno iz celega dela in ulomka, potem je tako frakcije se imenujejo mešane.

Na primer:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 je celo število in \(\frac(2)(3) \) je delni del.

Če je števec ulomka \(\frac(a)(b) \) deljiv z naravnim številom n, potem je treba, da bi ta ulomek delili z n, njegov števec deliti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Če števec ulomka \(\frac(a)(b)\) ni deljiv z naravnim številom n, morate za delitev tega ulomka z n njegov imenovalec pomnožiti s tem številom:
\(\velik \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Upoštevajte, da drugo pravilo velja tudi, če je števec deljiv z n. Zato ga lahko uporabimo, ko je na prvi pogled težko ugotoviti, ali je števec ulomka deljiv z n ali ne.

Dejanja z ulomki. Seštevanje ulomkov.

Z ulomki lahko izvajate aritmetične operacije, tako kot z naravnimi števili. Najprej si poglejmo seštevanje ulomkov. Enostavno seštejte ulomke z enaki imenovalci. Poiščimo na primer vsoto \(\frac(2)(7)\) in \(\frac(3)(7)\). Lahko je razumeti, da \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti enak.

Z uporabo črk lahko pravilo za seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci zapišemo takole:
\(\velik \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Če morate dodati ulomke z različne imenovalce, potem jih je treba najprej spraviti na skupni imenovalec. Na primer:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Za ulomke, tako kot za naravna števila, veljajo komutativne in asociativne lastnosti seštevanja.

Dodajanje mešanih frakcij

Imenujejo se zapisi, kot je \(2\frac(2)(3)\). mešane frakcije. V tem primeru se kliče številka 2 cel del mešani ulomek in število \(\frac(2)(3)\) je njegovo delni del. Vnos \(2\frac(2)(3)\) se bere takole: »dve in dve tretjini«.

Ko število 8 delite s številom 3, lahko dobite dva odgovora: \(\frac(8)(3)\) in \(2\frac(2)(3)\). Izražata isto delno število, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Tako je nepravi ulomek \(\frac(8)(3)\) predstavljen kot mešani ulomek \(2\frac(2)(3)\). V takih primerih pravijo, da iz nepravega ulomka poudaril cel del.

Odštevanje ulomkov (ulomkov)

Odštevanje ulomkov, tako kot naravna števila, je določeno na podlagi dejanja seštevanja: odštevanje drugega od enega števila pomeni iskanje števila, ki, ko ga dodamo drugemu, da prvo. Na primer:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \), ker \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Pravilo za odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci je podobno pravilu za seštevanje takih ulomkov:
Če želite najti razliko med ulomki z enakimi imenovalci, morate od števca prvega ulomka odšteti števec drugega in pustiti imenovalec enak.

Z uporabo črk je to pravilo zapisano takole:
\(\velik \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Množenje ulomkov

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce ter prvi produkt zapisati kot števec, drugega pa kot imenovalec.

S črkami lahko pravilo za množenje ulomkov zapišemo takole:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

S pomočjo formuliranega pravila lahko pomnožite ulomek z naravnim številom, z mešanim ulomkom in tudi pomnožite mešane ulomke. Če želite to narediti, morate naravno število zapisati kot ulomek z imenovalcem 1, mešani ulomek - kot nepravilen ulomek.

Rezultat množenja je treba (če je mogoče) poenostaviti tako, da zmanjšamo ulomek in izoliramo cel del nepravilnega ulomka.

Za ulomke, tako kot za naravna števila, veljajo komutativne in kombinacijske lastnosti množenja ter razdelilna lastnost množenja glede na seštevanje.

Delitev ulomkov

Vzemimo ulomek \(\frac(2)(3)\) in ga »obrnemo« ter zamenjamo števec in imenovalec. Dobimo ulomek \(\frac(3)(2)\). Ta ulomek se imenuje vzvratno ulomki \(\frac(2)(3)\).

Če zdaj »obrnemo« ulomek \(\frac(3)(2)\), bomo dobili prvotni ulomek \(\frac(2)(3)\). Zato se ulomki, kot sta \(\frac(2)(3)\) in \(\frac(3)(2)\), imenujejo medsebojno obratno.

Na primer, ulomki \(\frac(6)(5) \) in \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) in \(\frac (18 )(7)\).

Z uporabo črk lahko vzajemne ulomke zapišemo na naslednji način: \(\frac(a)(b) \) in \(\frac(b)(a) \)

Jasno je, da produkt recipročnih ulomkov je enak 1. Na primer: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Z recipročnimi ulomki lahko deljenje ulomkov zmanjšate na množenje.

Pravilo za deljenje ulomka z ulomkom je:
Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

S črkami lahko pravilo za deljenje ulomkov zapišemo takole:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Če je dividenda ali delitelj naravno število ali mešani ulomek, potem ga moramo, da lahko uporabimo pravilo za deljenje ulomkov, najprej predstaviti kot nepravi ulomek.