Konus kao geometrijska figura. Kornet. Frustum
Dobiva se kombinovanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke ( vrhovi konus) i prolazi kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobije spajanjem svih segmenata koji povezuju vrh i tačke ravne površine (potonje se u ovom slučaju naziva osnovu konus, a konus se zove oslanjajući se on ovu osnovu). Ovo je slučaj koji će biti razmotren u nastavku, osim ako nije drugačije navedeno. Ako je osnova konusa poligon, konus postaje piramida.
"== Povezane definicije ==
- Segment koji povezuje vrh i granicu baze naziva se generatrisa konusa.
- Unija generatora konusa se zove generatrix(ili strana) konusna površina. Formirajuća površina konusa je konična površina.
- Segment koji je spušten okomito iz vrha na ravan baze (kao i dužina takvog segmenta) naziva se visina konusa.
- Ako osnova stošca ima centar simetrije (na primjer, to je krug ili elipsa) i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravan baze poklapa se s tim centrom, tada se konus naziva direktno. U ovom slučaju naziva se ravna linija koja povezuje vrh i centar baze konusna osovina.
- Kosi (skloni) konus - konus čija se ortogonalna projekcija temena na bazu ne poklapa sa njegovim centrom simetrije.
- Kružni konus- konus čija je osnova kružnica.
- Pravo kružni konus (često se jednostavno naziva konus) može se dobiti rotiranjem pravokutnog trokuta oko linije koja sadrži krak (ova linija predstavlja os konusa).
- Konus koji počiva na elipsi, paraboli ili hiperboli naziva se respektivno eliptični, parabolic I hiperbolički konus(poslednja dva imaju beskonačan volumen).
- Dio stošca koji leži između osnove i ravni paralelne bazi i koji se nalazi između vrha i baze naziva se skraćeni konus.
Svojstva
- Ako je površina baze konačna, tada je i volumen konusa konačan i jednak jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednak volumen, jer su im visine jednake.
- Težište bilo kojeg stošca s konačnim volumenom nalazi se na četvrtini visine od baze.
- Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa jednak je
- Bočna površina takvog konusa jednaka je
- Zapremina kružnog konusa je jednaka
- Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka (u nedegeneriranim slučajevima - elipsa, parabola ili hiperbola, ovisno o položaju rezne ravnine).
Generalizacije
U algebarskoj geometriji kornet je proizvoljan podskup vektorskog prostora nad poljem, za koji je za bilo koji
vidi takođe
- konus (topologija)
Wikimedia fondacija. 2010.
Pogledajte šta je "ravni kružni konus" u drugim rječnicima:
Pravi kružni konus. Direktno i... Wikipedia
Desni kružni konus Konus je tijelo dobiveno spajanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke (vrh konusa) i prolaze kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobija spajanjem svih segmenata koji povezuju ... Wikipedia
Kornet- Pravi kružni konus. KONUS (od latinskog conus, od grčkog konos konus), geometrijsko tijelo, omeđen kružnom konusnom površinom i ravninom koja ne prolazi kroz vrh konične površine. Ako vrh leži na ... ... Ilustrovani enciklopedijski rječnik
- (latinski conus; grčki konos). Tijelo ograničeno površinom formiranom inverzijom prave linije, čiji je jedan kraj nepomičan (vrh konusa), a drugi se kreće duž obima date krive; izgleda kao vekna šećera. Rječnik strane reči,… … Rečnik stranih reči ruskog jezika
KORNET- (1) u elementarnoj geometriji, geometrijsko tijelo ograničeno površinom formiranom kretanjem prave linije (koja stvara konus) kroz fiksnu tačku (vrh konusa) duž vodilice (osnova konusa). Formirana površina je zatvorena između... Velika politehnička enciklopedija
- (ravno kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K....... Enciklopedija Brockhausa i Efrona
- (ravno kružno K.) geometrijsko tijelo nastalo rotacijom pravokutnog trougla oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina…
- (pravo kružno) geometrijsko tijelo formirano rotacijom pravokutnog trokuta oko jedne od kateta. Hipotenuza se naziva generator; fiksna visina nogu; krug opisan rotirajućom nogom sa bazom. Bočna površina K... enciklopedijski rječnik F. Brockhaus i I.A. Efron
- (latinski conus, od grčkog konos) (matematika), 1) K., ili konusna površina, geometrijski lokus pravih (generatora) prostora koji povezuje sve tačke određene prave (vodiče) sa datom tačkom (vrhom) prostora.... Velika sovjetska enciklopedija
Skraćeni konus se dobija ako se od konusa odsječe manji konus sa ravninom koja je paralelna osnovici (sl. 8.10). Skraćeni konus ima dvije osnove: “donju” – osnovu prvobitnog stošca – i “gornju” – osnovu odsječenog konusa. Prema teoremi o presjeku stošca, osnovice krnjeg stošca su slične .
Visina krnjeg konusa je okomica povučena iz tačke jedne baze na ravan druge. Sve te okomite su jednake (vidi odjeljak 3.5). Visina se naziva i njihova dužina, odnosno rastojanje između ravnina baza.
Skraćeni konus obrtanja dobija se iz konusa obrtanja (slika 8.11). Stoga su njegove osnove i svi njegovi dijelovi paralelni s njima kružnice sa centrima na istoj pravoj liniji - na osi. Skraćeni stožac se dobija rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove stranice okomito na osnovice, ili rotacijom
jednakokraki trapez oko ose simetrije (slika 8.12).
Bočna površina krnjeg stošca okretanja
Ovo je njegov dio bočne površine stošca okretanja iz kojeg je izveden. Površina krnjeg stošca okretanja (ili njegova puna površina) sastoji se od njegove baze i bočne površine.
8.5. Slike stožca revolucije i skraćenih stožaca revolucije.
Ovako se crta pravi kružni konus. Prvo nacrtajte elipsu koja predstavlja kružnicu baze (slika 8.13). Zatim pronađu centar baze - tačku O i nacrtaju vertikalni segment PO, koji prikazuje visinu konusa. Iz tačke P povlače se tangente (referentne) do elipse (praktično se to radi okom, primjenom ravnala) i segmenti RA i PB ovih pravih se biraju od tačke P do tačaka dodira A i B. Imajte na umu da segment AB nije prečnik osnovnog konusa, a trougao ARV nije aksijalni presek konusa. Aksijalni presjek konusa je trougao APC: segment AC prolazi kroz tačku O. Nevidljive linije su povučene potezima; Segment OP se često ne crta, već se samo mentalno ocrtava kako bi se prikazao vrh konusa P direktno iznad centra baze - tačke O.
Kada se prikazuje krnji stožac okretanja, zgodno je prvo nacrtati konus iz kojeg se dobija krnji stožac (slika 8.14).
8.6. Konusni presjeci. Već smo rekli da ravan siječe bočnu površinu cilindra rotacije duž elipse (odjeljak 6.4). Takođe, presek bočne površine stošca rotacije ravninom koja ne seče njegovu osnovu je elipsa (slika 8.15). Stoga se elipsa naziva konusni presjek.
Konusni presjeci uključuju i druge dobro poznate krive - hiperbole i parabole. Razmotrimo neograničeni konus koji se dobija proširenjem bočne površine stošca obrtanja (slika 8.16). Presijecimo ga ravninom a koja ne prolazi kroz vrh. Ako a siječe sve generatore konusa, tada u presjeku, kao što je već rečeno, dobijamo elipsu (slika 8.15).
Rotacijom OS ravni, možete osigurati da ona siječe sve generatrije konusa K, osim jedne (s kojom je OS paralelan). Tada u poprečnom presjeku dobijamo parabolu (slika 8.17). Konačno, rotirajući ravan OS dalje, prebacićemo je u takav položaj da a, sijekući dio generatora stošca K, ne siječe beskonačan broj njegovih ostalih generatora i da je paralelan sa dva od njih (slika 8.18 ). Tada u presjeku konusa K sa ravninom a dobijamo krivu koja se zove hiperbola (tačnije, jedna od njenih „grana“). Dakle, hiperbola, koja je graf funkcije poseban slučaj hiperbole - jednakostranična hiperbola, kao što je krug poseban slučaj elipse.
Bilo koja hiperbola se može dobiti iz jednakostraničnih hiperbole korištenjem projekcije, na isti način kao što se elipsa dobije paralelnom projekcijom kružnice.
Da bi se dobile obje grane hiperbole, potrebno je uzeti presjek stošca koji ima dvije "šupljine", to jest konus koji nije formiran od zraka, već od pravih linija koje sadrže generatrice bočnih površina stošca revolucija (slika 8.19).
Konične presjeke proučavali su starogrčki geometri, a njihova teorija je bila jedan od vrhunaca antičke geometrije. Većina potpuno istraživanje Konične preseke u antičko doba izveo je Apolonije iz Perge (III vek pne).
Postoji broj važna svojstva, kombinujući elipse, hiperbole i parabole u jednu klasu. Na primjer, one iscrpljuju "nedegenerirane", tj. krive koje nisu svedene na tačku, liniju ili par linija, koje su definirane na ravni u Kartezijanske koordinate jednačine oblika
Konusne sekcije igraju važnu ulogu u prirodi: tijela se kreću po eliptičnim, paraboličnim i hiperboličnim orbitama u gravitacionom polju (sjetite se Keplerovih zakona). Izuzetna svojstva konusnih presjeka često se koriste u nauci i tehnologiji, na primjer, u proizvodnji određenih optičkih instrumenata ili reflektora (površina zrcala u reflektoru dobiva se rotacijom luka parabole oko ose parabole ). Konusni presjeci se mogu uočiti kao granice sjene okruglih abažura (sl. 8.20).
Dobiva se kombinovanjem svih zraka koje izlaze iz jedne tačke ( vrhovi konus) i prolazi kroz ravnu površinu. Ponekad je konus dio takvog tijela koji se dobije spajanjem svih segmenata koji povezuju vrh i tačke ravne površine (potonje se u ovom slučaju naziva osnovu konus, a konus se zove oslanjajući se na ovoj osnovi). Ovo je slučaj koji će biti razmotren u nastavku, osim ako nije drugačije navedeno. Ako je osnova konusa poligon, konus postaje piramida.
"== Povezane definicije ==
- Segment koji povezuje vrh i granicu baze naziva se generatrisa konusa.
- Unija generatora konusa se zove generatrix(ili strana) konusna površina. Formirajuća površina konusa je konična površina.
- Segment koji je spušten okomito iz vrha na ravan baze (kao i dužina takvog segmenta) naziva se visina konusa.
- Ako osnova stošca ima centar simetrije (na primjer, to je krug ili elipsa) i ortogonalna projekcija vrha stošca na ravan baze poklapa se s tim centrom, tada se konus naziva direktno. U ovom slučaju naziva se ravna linija koja povezuje vrh i centar baze konusna osovina.
- Kosi (skloni) konus - konus čija se ortogonalna projekcija temena na bazu ne poklapa sa njegovim centrom simetrije.
- Kružni konus- konus čija je osnova kružnica.
- Pravi kružni konus(često se jednostavno naziva konus) može se dobiti rotiranjem pravokutnog trokuta oko linije koja sadrži krak (ova linija predstavlja os konusa).
- Konus koji počiva na elipsi, paraboli ili hiperboli naziva se respektivno eliptični, parabolic I hiperbolički konus(poslednja dva imaju beskonačan volumen).
- Dio stošca koji leži između osnove i ravni paralelne bazi i koji se nalazi između vrha i baze naziva se skraćeni konus.
Svojstva
- Ako je površina baze konačna, tada je i volumen konusa konačan i jednak jednoj trećini proizvoda visine i površine baze. Dakle, svi stošci koji počivaju na datoj osnovi i imaju vrh koji se nalazi na datoj ravni paralelnoj bazi imaju jednak volumen, jer su im visine jednake.
- Težište bilo kojeg stošca s konačnim volumenom nalazi se na četvrtini visine od baze.
- Čvrsti ugao na vrhu pravog kružnog konusa jednak je
- Bočna površina takvog konusa jednaka je
- Zapremina kružnog konusa je jednaka
- Presjek ravni s pravim kružnim konusom je jedan od konusnih presjeka (u nedegeneriranim slučajevima - elipsa, parabola ili hiperbola, ovisno o položaju rezne ravnine).
Generalizacije
U algebarskoj geometriji kornet je proizvoljan podskup vektorskog prostora nad poljem, za koji je za bilo koji
vidi takođe
- konus (topologija)
Wikimedia fondacija. 2010.
Pogledajte šta je "konus (geometrijska figura)" u drugim rječnicima:
Konus: U matematici Konus geometrijska figura. Konus nad topološkim prostorom. Konus (Teorija kategorija). Koristeći tehniku konusa instrumentalna metoda interfejs između alata i vretena u alatnim mašinama. Jedinica konusnog uređaja... ... Wikipedia
Geometrija je grana matematike koja je usko povezana sa konceptom prostora; u zavisnosti od oblika opisa ovog koncepta, različite vrste geometrija. Pretpostavlja se da čitalac, kada počne da čita ovaj članak, ima neke... Collier's Encyclopedia
Vizualizacija informativne slike na ekranu (monitor). Za razliku od reprodukcije slike na papiru ili drugom mediju, slika stvorena na ekranu može se gotovo odmah izbrisati i/ili ispraviti, komprimirati ili rastegnuti... ... enciklopedijski rječnik
Istorija nauke ... Wikipedia
Istorija nauke Po temi Matematika Prirodne nauke... Wikipedia
- (grč. geodaisia, od ge Zemlja i daio delim, delim), nauka o određivanju položaja objekata na zemljine površine, o veličini, obliku i gravitacionom polju Zemlje i drugih planeta. Ovo je grana primijenjene matematike, usko povezana sa geometrijom, ... ... Collier's Encyclopedia
Rice. 1. Predmeti iz života koji imaju oblik krnjeg konusa
Šta mislite odakle dolaze novi oblici u geometriji? Sve je vrlo jednostavno: čovjek u životu naiđe na slične predmete i smisli im ime. Zamislite štand na kojem sjede lavovi u cirkusu, komad šargarepe koji nastaje kada odsiječemo samo dio, aktivni vulkan i, na primjer, svjetlo od baterijske lampe (vidi sliku 1).
Rice. 2. Geometrijski oblici
Vidimo da su sve ove figure sličnog oblika - i ispod i iznad su ograničene krugovima, ali se sužavaju prema gore (vidi sliku 2).
Rice. 3. Odsijecanje vrha konusa
Izgleda kao konus. Samo nedostaje vrh. Zamislimo mentalno da uzmemo konus i odsiječemo ga gornji dio jednim zamahom oštrog mača (vidi sl. 3).
Rice. 4. Krnji konus
Rezultat je upravo naša figura, zove se skraćeni konus (vidi sliku 4).
Rice. 5. Presjek paralelan s osnovom konusa
Neka je dat konus. Nacrtajmo ravan paralelnu ravni osnove ovog konusa i siječe konus (vidi sliku 5).
To će podijeliti konus na dva tijela: jedno od njih je manji konus, a drugo se zove skraćeni konus (vidi sliku 6).
Rice. 6. Dobijena tijela sa paralelnim presjekom
Dakle, skraćeni konus je dio konusa zatvoren između njegove baze i ravni paralelne bazi. Kao i kod konusa, skraćeni konus može imati krug u svojoj osnovi, u kom slučaju se naziva kružnim. Ako je prvobitni konus bio ravan, tada se skraćeni konus naziva ravan. Kao iu slučaju čunjeva, razmatrat ćemo isključivo ravne kružne krnje čunjeve, osim ako nije posebno navedeno da je riječ o indirektnom krnjem konusu ili njegove osnove nisu kružnice.
Rice. 7. Rotacija pravokutnog trapeza
Naša globalna tema su tijela rotacije. Skraćeni konus nije izuzetak! Sjetimo se da smo za dobijanje konusa smatrali pravougli trokut i rotirali ga oko noge? Ako je rezultirajući konus presječen ravninom paralelnom s bazom, tada će trokut ostati pravokutni trapez. Njegova rotacija oko manje strane će nam dati skraćeni konus. Napomenimo ponovo da je, naravno, riječ samo o ravnom kružnom konusu (vidi sliku 7).
Rice. 8. Osnove krnjeg konusa
Hajde da damo nekoliko komentara. Osnova potpunog konusa i kružnica koja nastaje kao rezultat presjeka stošca ravninom nazivaju se osnovama krnjeg stošca (donja i gornja) (vidi sliku 8).
Rice. 9. Generatori krnjeg konusa
Segmenti generatora potpunog konusa, zatvoreni između osnova krnjeg konusa, nazivaju se generatori krnjeg konusa. Pošto su svi generatori prvobitnog konusa jednaki i svi generatori odsečenog konusa jednaki, onda su i generatori skraćenog konusa jednaki (ne mešajte odsečeni i odsečeni!). To implicira da je trapez jednakokraki aksijalni presek(vidi sliku 9).
Segment ose rotacije zatvoren unutar krnjeg konusa naziva se osa krnjeg konusa. Ovaj segment, naravno, povezuje centre svojih baza (vidi sliku 10).
Rice. 10. Osa krnjeg konusa
Visina skraćenog konusa je okomica povučena iz tačke jedne od osnova na drugu osnovu. Najčešće se visina skraćenog konusa smatra njegovom osom.
Rice. 11. Aksijalni presjek krnjeg konusa
Aksijalni presjek krnjeg konusa je presjek koji prolazi kroz njegovu osu. Ima oblik trapeza, malo kasnije ćemo dokazati da je jednakokračan (vidi sliku 11).
Rice. 12. Konus sa uvedenim oznakama
Nađimo površinu bočne površine skraćenog konusa. Neka osnovice skraćenog konusa imaju poluprečnike i , a generatrisa je jednaka (vidi sliku 12).
Rice. 13. Oznaka generatrise odsječenog konusa
Nađimo površinu bočne površine krnjeg konusa kao razliku između površina bočnih površina originalnog konusa i odsječenog. Da bismo to učinili, označimo sa generatricom odsječenog konusa (vidi sliku 13).
Onda ono što tražite.
Rice. 14. Slični trouglovi
Ostaje samo da se izrazi.
Imajte na umu da iz sličnosti trouglova, odakle (vidi sliku 14).
Bilo bi moguće izraziti , dijeljenjem s razlikom polumjera, ali nam to ne treba, jer se proizvod koji tražimo pojavljuje u izrazu koji tražimo. Zamjena , konačno imamo: .
Sada je lako dobiti formulu za ukupnu površinu. Da biste to učinili, samo dodajte površinu dva kruga baza: .
Rice. 15. Ilustracija za problem
Neka se skraćeni konus dobije rotacijom pravougaonog trapeza oko njegove visine. Srednja linija trapeza je jednaka , a velika bočna strana je jednaka (vidi sliku 15). Pronađite bočnu površinu rezultujućeg skraćenog konusa.
Rješenje
Iz formule to znamo 
.
Generator konusa će biti velika strana originalni trapez, odnosno poluprečnici stošca su osnove trapeza. Ne možemo ih naći. Ali ne treba nam: potreban nam je samo njihov zbir, a zbir osnovica trapeza je dvostruko veći srednja linija, odnosno jednako je . Onda .
Imajte na umu da smo, kada smo govorili o konusu, povukli paralele između njega i piramide - formule su bile slične. I ovdje je isto, jer je krnji stožac vrlo sličan krnjoj piramidi, pa su formule za površine bočnih i puna površina skraćeni konus i piramida (a uskoro će postojati formule za volumen) su slični.
Rice. 1. Ilustracija za problem
Polumjeri baza skraćenog konusa jednaki su i , a generatriksa je jednaka . Pronađite visinu skraćenog konusa i površinu njegovog aksijalnog presjeka (vidi sliku 1).
Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.
Prikupljanje i korištenje ličnih podataka
Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.
Koje lične podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.
Kako koristimo vaše lične podatke:
- Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim licima
Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.
Izuzeci:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.
Zaštita ličnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije
Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.