Stožec kot geometrijski lik. Stožec. Frustum
Dobljeno s kombinacijo vseh žarkov, ki izhajajo iz ene točke ( vrhovi stožec) in poteka skozi ravno površino. Včasih je stožec del takega telesa, ki ga dobimo z združevanjem vseh segmentov, ki povezujejo vrh in točke ravne površine (slednja se v tem primeru imenuje osnova stožec, stožec pa se imenuje nagnjen na to osnovo). To je primer, ki bo obravnavan v nadaljevanju, razen če ni navedeno drugače. Če je osnova stožca mnogokotnik, postane stožec piramida.
"== Sorodne definicije ==
- Segment, ki povezuje vrh in mejo baze, se imenuje generatrisa stožca.
- Zveza generatorjev stožca se imenuje generatrisa(oz strani) površina stožca. Oblikovalna površina stožca je stožčasta površina.
- Odsek, spuščen pravokotno iz vrha na ravnino osnove (kot tudi dolžina takega odseka), se imenuje višina stožca.
- Če ima osnova stožca središče simetrije (na primer krog ali elipsa) in pravokotna projekcija vrha stožca na ravnino osnove sovpada s tem središčem, potem se stožec imenuje neposredno. V tem primeru se imenuje ravna črta, ki povezuje vrh in sredino baze os stožca.
- Poševno (nagnjen) stožec - stožec, katerega pravokotna projekcija vrha na osnovo ne sovpada z njegovim središčem simetrije.
- Krožni stožec- stožec, katerega osnova je krog.
- Naravnost krožni stožec (pogosto preprosto imenovan stožec) lahko dobite z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli premice, ki vsebuje krak (ta premica predstavlja os stožca).
- Imenuje se stožec, ki leži na elipsi, paraboli ali hiperboli eliptične, parabolični in hiperbolični stožec(zadnja dva imata neskončno prostornino).
- Del stožca, ki leži med osnovo in ravnino, ki je vzporedna z osnovo in se nahaja med vrhom in osnovo, se imenuje prisekan stožec.
Lastnosti
- Če je površina osnove končna, je končna tudi prostornina stožca in je enaka tretjini zmnožka višine in površine osnove. Tako imajo vsi stožci, ki ležijo na dani osnovi in imajo oglišče na dani ravnini, ki je vzporedna z osnovo, enako prostornino, saj so njihove višine enake.
- Težišče katerega koli stožca s končno prostornino leži na četrtini višine od podnožja.
- Polni kot pri vrhu pravilnega krožnega stožca je enak
- Bočna površina takega stožca je enaka
- Prostornina krožnega stožca je enaka
- Presek ravnine s pravilnim krožnim stožcem je eden od koničnih odsekov (v nedegeneriranih primerih - elipsa, parabola ali hiperbola, odvisno od položaja rezalne ravnine).
Posploševanja
V algebraični geometriji stožec je poljubna podmnožica vektorskega prostora nad poljem, za katero za katero koli
Poglej tudi
- Stožec (topologija)
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "ravni krožni stožec" v drugih slovarjih:
Ravni krožni stožec. Neposredna in ... Wikipedia
Pravi krožni stožec Stožec je telo, ki ga dobimo z združevanjem vseh žarkov, ki izhajajo iz ene točke (vrh stožca) in gredo skozi ravno površino. Včasih je stožec del takega telesa, ki ga dobimo z združevanjem vseh segmentov, ki povezujejo ... Wikipedia
Stožec- Ravni krožni stožec. STOŽEC (iz latinskega conus, iz grškega konos stožec), geometrijsko telo, omejena s krožno stožčasto ploskev in ravnino, ki ne gre skozi oglišče stožčaste ploskve. Če oglišče leži na ... ... Ilustrirani enciklopedični slovar
- (latinsko conus; grško konos). Telo, omejeno s ploskvijo, ki nastane z inverzijo premice, katere en konec je negiben (vrh stožca), drugi pa se giblje po obodu dane krivulje; izgleda kot sladkorna štruca. Slovar tuje besede,… … Slovar tujih besed ruskega jezika
STOŽEC- (1) v elementarni geometriji geometrijsko telo, omejeno s ploskvijo, ki jo tvori gibanje ravne črte (tvori stožec) skozi fiksno točko (vrh stožca) vzdolž vodila (osnova stožca). Oblikovana površina je zaprta med... Velika politehnična enciklopedija
- (ravno krožno) geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od krakov. Hipotenuzo imenujemo generator; fiksna višina noge; krog, ki ga opisuje rotacijski krak z osnovo. Stranska površina K...... Enciklopedija Brockhausa in Efrona
- (ravna krožnica K.) geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od krakov. Hipotenuzo imenujemo generator; fiksna višina noge; krog, ki ga opisuje rotacijski krak z osnovo. Stranska površina …
- (ravno krožno) geometrijsko telo, ki nastane z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli enega od krakov. Hipotenuzo imenujemo generator; fiksna višina noge; krog, ki ga opisuje rotacijski krak z osnovo. Bočna površina K... enciklopedični slovar F. Brockhaus in I.A. Efron
- (latinsko conus, iz grškega konos) (matematika), 1) K. ali stožčasta ploskev, geometrično mesto ravnih črt (generatorjev) prostora, ki povezuje vse točke določene črte (vodnik) z dano točko (vrh) prostora.…… Velika sovjetska enciklopedija
Prisekan stožec dobimo, če od stožca odrežemo manjši stožec z ravnino, ki je vzporedna z osnovnico (slika 8.10). Prisekani stožec ima dve osnovi: "spodnjo" - osnovo prvotnega stožca - in "zgornjo" - osnovo odrezanega stožca. Po izreku o odseku stožca sta si osnovi prisekanega stožca podobni .
Nadmorska višina prisekanega stožca je navpičnica, ki poteka iz točke ene osnove na ravnino druge. Vse takšne navpičnice so enake (glej razdelek 3.5). Višina se imenuje tudi njihova dolžina, to je razdalja med ravninama baz.
Prisekani stožec vrtenja dobimo iz stožca vrtenja (slika 8.11). Zato so njegove baze in vsi njeni odseki, vzporedni z njimi, krogi s središči na isti ravni črti - na osi. Prisekan vrtilni stožec dobimo z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli stranice, pravokotne na osnove, ali z vrtenjem
enakokraki trapez okoli simetrijske osi (slika 8.12).
Stranska površina prisekanega stožca vrtenja
To je njegov del stranske površine stožca vrtenja, iz katerega izhaja. Površina prisekanega stožca vrtenja (ali njegova polna ploskev) je sestavljena iz njegove baze in njegove stranske ploskve.
8.5. Slike stožcev revolucije in prisekanih stožcev revolucije.
Ravni krožni stožec je narisan takole. Najprej narišite elipso, ki predstavlja krog baze (slika 8.13). Nato poiščejo središče osnovke – točko O in narišejo navpični odsek PO, ki prikazuje višino stožca. Od točke P se na elipso narišejo tangentne (referenčne) črte (praktično se to naredi na oko, z uporabo ravnila) in segmenti RA in PB teh črt se izberejo od točke P do točk tangente A in B. Upoštevajte, da segment AB ni premer osnovnega stožca in trikotnik ARV ni osni prerez stožca. Osni odsek stožca je trikotnik APC: segment AC poteka skozi točko O. Nevidne črte so narisane s potezami; Segment OP pogosto ni narisan, ampak samo miselno zarisan, da bi upodobil vrh stožca P neposredno nad središčem osnove - točko O.
Pri upodabljanju prisekanega stožca revolucije je priročno najprej narisati stožec, iz katerega je pridobljen prisekan stožec (slika 8.14).
8.6. Stožčasti prerezi. Povedali smo že, da ravnina seka stransko površino valja vzdolž elipse (oddelek 6.4). Tudi odsek stranske površine stožca vrtenja z ravnino, ki ne seka njegove osnove, je elipsa (slika 8.15). Zato elipso imenujemo stožčasti prerez.
Stožnice vključujejo tudi druge dobro znane krivulje - hiperbole in parabole. Razmislimo o neomejenem stožcu, ki ga dobimo z razširitvijo stranske ploskve vrtilnega stožca (slika 8.16). Presekajmo jo z ravnino a, ki ne poteka skozi oglišče. Če a seka vse generatorje stožca, potem v odseku, kot že rečeno, dobimo elipso (slika 8.15).
Z vrtenjem ravnine OS lahko zagotovite, da seka vse generatrise stožca K, razen ene (ki ji je OS vzporeden). Nato v prerezu dobimo parabolo (slika 8.17). Končno, z nadaljnjim vrtenjem ravnine OS, jo bomo prenesli v takšen položaj, da a, ki seka del generatorjev stožca K, ne seka neskončnega števila njegovih drugih generatorjev in je vzporeden z dvema izmed njih (slika 8.18). ). Nato v odseku stožca K z ravnino a dobimo krivuljo, imenovano hiperbola (natančneje, eno od njenih "vej"). Torej, hiperbola, ki je graf funkcije poseben primer hiperbola - enakostranična hiperbola, tako kot je krog poseben primer elipse.
Poljubne hiperbole lahko dobimo iz enakostraničnih hiperbol s projekcijo, na enak način kot elipso dobimo z vzporedno projekcijo kroga.
Da bi dobili obe veji hiperbole, je treba vzeti odsek stožca, ki ima dve "votlini", to je stožec, ki ga ne tvorijo žarki, temveč ravne črte, ki vsebujejo generatrise stranskih površin stožca revolucija (slika 8.19).
Stožnice so preučevali starogrški geometri in njihova teorija je bila eden od vrhov starodavne geometrije. večina popolna raziskava Stožčaste prereze v starih časih je izvedel Apolonij iz Perge (III. stoletje pred našim štetjem).
Obstaja število pomembne lastnosti, ki združuje elipse, hiperbole in parabole v en razred. Na primer, izčrpajo "nedegenerirane", tj. krivulje, ki jih ni mogoče reducirati na točko, premico ali par premic, ki so definirane na ravnini v Kartezične koordinate enačbe oblike
Igra stožčastih prerezov pomembno vlogo v naravi: telesa se gibljejo po eliptični, parabolični in hiperbolični orbiti v gravitacijskem polju (spomnimo se Keplerjevih zakonov). Izjemne lastnosti stožčastih prerezov se pogosto uporabljajo v znanosti in tehnologiji, na primer pri izdelavi nekaterih optičnih instrumentov ali reflektorjev (površino zrcala v reflektorju dobimo z vrtenjem loka parabole okoli osi parabole). ). Stožčaste odseke lahko opazimo kot meje sence okroglih senčnikov (slika 8.20).
Dobljeno s kombinacijo vseh žarkov, ki izhajajo iz ene točke ( vrhovi stožec) in poteka skozi ravno površino. Včasih je stožec del takega telesa, ki ga dobimo z združevanjem vseh segmentov, ki povezujejo vrh in točke ravne površine (slednja se v tem primeru imenuje osnova stožec, stožec pa se imenuje nagnjen na tej podlagi). To je primer, ki bo obravnavan v nadaljevanju, razen če ni navedeno drugače. Če je osnova stožca mnogokotnik, postane stožec piramida.
"== Sorodne definicije ==
- Segment, ki povezuje vrh in mejo baze, se imenuje generatrisa stožca.
- Zveza generatorjev stožca se imenuje generatrisa(oz strani) površina stožca. Oblikovalna površina stožca je stožčasta površina.
- Odsek, spuščen pravokotno iz vrha na ravnino osnove (kot tudi dolžina takega odseka), se imenuje višina stožca.
- Če ima osnova stožca središče simetrije (na primer krog ali elipsa) in pravokotna projekcija vrha stožca na ravnino osnove sovpada s tem središčem, potem se stožec imenuje neposredno. V tem primeru se imenuje ravna črta, ki povezuje vrh in sredino baze os stožca.
- Poševno (nagnjen) stožec - stožec, katerega pravokotna projekcija vrha na osnovo ne sovpada z njegovim središčem simetrije.
- Krožni stožec- stožec, katerega osnova je krog.
- Ravni krožni stožec(pogosto preprosto imenovan stožec) lahko dobite z vrtenjem pravokotnega trikotnika okoli premice, ki vsebuje krak (ta premica predstavlja os stožca).
- Imenuje se stožec, ki leži na elipsi, paraboli ali hiperboli eliptične, parabolični in hiperbolični stožec(zadnja dva imata neskončno prostornino).
- Del stožca, ki leži med osnovo in ravnino, ki je vzporedna z osnovo in se nahaja med vrhom in osnovo, se imenuje prisekan stožec.
Lastnosti
- Če je površina osnove končna, je končna tudi prostornina stožca in je enaka tretjini zmnožka višine in površine osnove. Tako imajo vsi stožci, ki ležijo na dani osnovi in imajo oglišče na dani ravnini, ki je vzporedna z osnovo, enako prostornino, saj so njihove višine enake.
- Težišče katerega koli stožca s končno prostornino leži na četrtini višine od podnožja.
- Polni kot pri vrhu pravilnega krožnega stožca je enak
- Bočna površina takega stožca je enaka
- Prostornina krožnega stožca je enaka
- Presek ravnine s pravilnim krožnim stožcem je eden od koničnih odsekov (v nedegeneriranih primerih - elipsa, parabola ali hiperbola, odvisno od položaja rezalne ravnine).
Posploševanja
V algebraični geometriji stožec je poljubna podmnožica vektorskega prostora nad poljem, za katero za katero koli
Poglej tudi
- Stožec (topologija)
Fundacija Wikimedia. 2010.
Oglejte si, kaj je "stožec (geometrijska figura)" v drugih slovarjih:
Stožec: Pri matematiki Stožec geometrijski lik. Stožec nad topološkim prostorom. Stožec (teorija kategorij). Uporaba tehnike stožca instrumentalna metoda vmesnik med orodjem in vretenom v obdelovalnih strojih. Enota stožčaste naprave... ... Wikipedia
Geometrija je veja matematike, ki je tesno povezana s konceptom prostora; glede na oblike opisa tega koncepta, različne vrste geometrija. Predpostavlja se, da ima bralec, ko začne brati ta članek, nekaj... Collierjeva enciklopedija
Vizualizacija informacijske slike na zaslonu (monitorju). Za razliko od reprodukcije slike na papirju ali drugem mediju je mogoče sliko, ustvarjeno na zaslonu, skoraj takoj izbrisati in/ali popraviti, stisniti ali raztegniti... ... enciklopedični slovar
Zgodovina znanosti ... Wikipedia
Zgodovina znanosti Po temi Matematika Naravne znanosti... Wikipedia
- (grško geodaisia, iz ge Zemlja in daio delim, delim), veda o določanju položaja predmetov na zemeljsko površje, o velikosti, obliki in gravitacijskem polju Zemlje in drugih planetov. To je veja uporabne matematike, tesno povezana z geometrijo,... ... Collierjeva enciklopedija
riž. 1. Predmeti iz življenja, ki imajo obliko prisekanega stožca
Kaj mislite, od kod prihajajo nove oblike v geometriji? Vse je zelo preprosto: človek v življenju naleti na podobne predmete in si izmisli ime zanje. Razmislite o stojalu, na katerem sedijo levi v cirkusu, koščku korenja, ki nastane, ko ga odrežemo le del, aktivni vulkan in na primer svetloba svetilke (glej sliko 1).
riž. 2. Geometrijske oblike
Vidimo, da so vse te figure podobne oblike - tako spodaj kot zgoraj so omejene s krogi, vendar se zožijo navzgor (glej sliko 2).
riž. 3. Odrezovanje vrha stožca
Videti je kot stožec. Samo vrh manjka. V mislih si predstavljajmo, da vzamemo stožec in ga odrežemo zgornji del z enim zamahom ostrega meča (glej sliko 3).
riž. 4. Prisekani stožec
Rezultat je točno naša figura, imenujemo jo prisekan stožec (glej sliko 4).
riž. 5. Odsek vzporeden z osnovo stožca
Naj bo podan stožec. Narišimo ravnino, ki je vzporedna z ravnino osnove tega stožca in seka stožec (glej sliko 5).
Stožec bo razdelil na dve telesi: eno od njiju je manjši stožec, drugo pa imenujemo prisekani stožec (glej sliko 6).
riž. 6. Nastala telesa z vzporednim odsekom
Prisekani stožec je torej del stožca, ki je zaprt med njegovo osnovo in ravnino, vzporedno z osnovo. Tako kot pri stožcu ima lahko tudi prisekani stožec na dnu krog, v tem primeru se imenuje krožni. Če je bil prvotni stožec raven, se prisekan stožec imenuje ravni. Kot pri stožcih bomo tudi pri stožcih upoštevali izključno ravne krožne prisekane stožce, razen če ni posebej navedeno, da govorimo o posrednem prisekanem stožcu ali da njegove osnove niso krogi.
riž. 7. Vrtenje pravokotnega trapeza
Naša globalna tema so rotacijska telesa. Prisekani stožec ni izjema! Spomnimo se, da smo za pridobitev stožca upoštevali pravokotni trikotnik in ga zavrteli okoli kraka? Če nastali stožec preseka ravnina, vzporedna z osnovo, bo trikotnik ostal pravokoten trapez. Njegovo vrtenje okoli manjše stranice nam bo dalo prisekan stožec. Ponovno poudarimo, da seveda govorimo samo o ravnem krožnem stožcu (glej sliko 7).
riž. 8. Osnove prisekanega stožca
Dajmo nekaj komentarjev. Osnova popolnega stožca in krog, ki izhaja iz odseka stožca z ravnino, se imenujeta osnovici prisekanega stožca (spodnji in zgornji) (glej sliko 8).
riž. 9. Generatorji prisekanega stožca
Odseki generatorjev popolnega stožca, zaprti med osnovami prisekanega stožca, se imenujejo generatorji prisekanega stožca. Ker so vsi generatorji prvotnega stožca enaki in vsi generatorji odrezanega stožca enaki, so enaki tudi generatorji prisekanega stožca (ne zamenjujte odrezanega in prisekanega!). To pomeni, da je trapez enakokrak aksialni prerez(glej sliko 9).
Odsek vrtilne osi, zaprt znotraj prisekanega stožca, se imenuje os prisekanega stožca. Ta segment seveda povezuje središča svojih baz (glej sliko 10).
riž. 10. Os prisekanega stožca
Višina prisekanega stožca je navpičnica, ki poteka iz točke ene od osnov na drugo osnovo. Najpogosteje se višina prisekanega stožca šteje za njegovo os.
riž. 11. Osni prerez prisekanega stožca
Osni prerez prisekanega stožca je prerez, ki gre skozi njegovo os. Ima obliko trapeza, malo kasneje bomo dokazali, da je enakokrak (glej sliko 11).
riž. 12. Stožec z uvedenimi oznakami
Poiščimo površino stranske površine prisekanega stožca. Naj imata osnovici prisekanega stožca polmera in , generatrisa pa enaka (glej sliko 12).
riž. 13. Oznaka generatrike odrezanega stožca
Najdemo površino stranske ploskve prisekanega stožca kot razliko med površinami stranskih ploskev prvotnega stožca in odrezanega. Da bi to naredili, označimo z generatriko odrezanega stožca (glej sliko 13).
Potem, kar iščete.
riž. 14. Podobni trikotniki
Vse kar ostane je izraziti.
Upoštevajte, da iz podobnosti trikotnikov, od koder (glej sliko 14).
Možno bi bilo izraziti , deljenje z razliko polmerov, vendar tega ne potrebujemo, ker se zmnožek, ki ga iščemo, pojavi v iskanem izrazu. Z zamenjavo imamo končno: .
Zdaj je enostavno dobiti formulo za skupno površino. Če želite to narediti, samo dodajte območje dveh krogov baz: .
riž. 15. Ilustracija k nalogi
Naj dobimo prisekan stožec z vrtenjem pravokotnega trapeza okoli njegove višine. Srednja črta trapeza je enaka , velika stranska stran pa je enaka (glej sliko 15). Poiščite stransko površino nastalega prisekanega stožca.
rešitev
Iz formule to vemo 
.
Generator stožca bo velika stran prvotni trapez, to je, polmeri stožca so osnove trapeza. Ne najdemo jih. Vendar ga ne potrebujemo: potrebujemo samo njihovo vsoto, vsota osnov trapeza pa je dvakrat večja srednja črta, to je enako . Potem.
Upoštevajte, da smo, ko smo govorili o stožcu, potegnili vzporednice med njim in piramido - formule so bile podobne. Tukaj je enako, ker je prisekan stožec zelo podoben prisekani piramidi, zato formule za ploščine stranske in polno površin prisekani stožec in piramida (in kmalu bodo formule za prostornino) podobni.
riž. 1. Ilustracija za problem
Polmeri osnov prisekanega stožca so enaki in , generatrisa pa je enaka . Poiščite višino prisekanega stožca in površino njegovega osnega odseka (glej sliko 1).
Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.
Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.
Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zberemo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo z edinstvenimi ponudbami, promocijami in drugimi dogodki ter prihajajočimi dogodki.
- Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.
Razkritje informacij tretjim osebam
Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- Če je potrebno - v skladu z zakonom, sodnim postopkom, v sodnem postopku in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov v Ruski federaciji - za razkritje vaših osebnih podatkov. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.
Varstvo osebnih podatkov
Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.