Izpeljanka iz kubičnega korena. Izvod potenčne funkcije (potence in koreni)

Izpeljava formule za izpeljanko funkcija moči(x na potenco a). Upoštevani so izpeljanke iz korenin x. Formula za odvod potenčne funkcije višjega reda. Primeri računanja derivatov.

Odvod x na potenco a je enak a krat x na potenco minus ena:
(1) .

Odvod n-tega korena iz x na m-to potenco je:
(2) .

Izpeljava formule za odvod potenčne funkcije

Primer x > 0

Razmislite o potenčni funkciji spremenljivke x z eksponentom a:
(3) .
Tu je a poljubno realno število. Najprej razmislimo o primeru.

Za iskanje odvoda funkcije (3) uporabimo lastnosti potenčne funkcije in jo pretvorimo v naslednjo obliko:
.

Zdaj najdemo izpeljanko z:
;
.
Tukaj.

Formula (1) je dokazana.

Izpeljava formule za odvod korena stopnje n iz x na stopnjo m

Zdaj razmislite o funkciji, ki je koren naslednje oblike:
(4) .

Da bi našli izpeljanko, transformiramo koren v potenčno funkcijo:
.
Če primerjamo s formulo (3), vidimo, da
.
Potem
.

S formulo (1) najdemo odvod:
(1) ;
;
(2) .

V praksi ni treba zapomniti formule (2). Veliko bolj priročno je najprej preoblikovati korene v potenčne funkcije in nato poiskati njihove odvode s formulo (1) (glej primere na koncu strani).

Primer x = 0

Če je , potem je potenčna funkcija definirana za vrednost spremenljivke x = 0 . Poiščimo odvod funkcije (3) pri x = 0 . Za to uporabimo definicijo derivata:
.

Zamenjajmo x = 0 :
.
V tem primeru z odvodom mislimo na desno mejo, za katero .

Tako smo ugotovili:
.
Iz tega je jasno, da za , .
Ob , .
Ob , .
Ta rezultat dobimo tudi iz formule (1):
(1) .
Zato velja formula (1) tudi za x = 0 .

Primer x< 0

Ponovno razmislite o funkciji (3):
(3) .
Za določene vrednosti konstante a je definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivka x. Naj bo namreč a racionalno število. Potem ga lahko predstavimo kot nezmanjšani ulomek:
,
kjer sta m in n celi števili brez skupni delilnik.

Če je n liho, potem je funkcija moči definirana tudi za negativne vrednosti spremenljivke x. Na primer, ko je n = 3 in m = 1 imamo kubični koren iz x:
.
Definiran je tudi za negativne vrednosti spremenljivke x.

Poiščimo odvod potenčne funkcije (3) za in za racionalne vrednosti konstante a, za katero je definirana. Če želite to narediti, predstavimo x v naslednji obliki:
.
potem,
.
Odvod najdemo tako, da postavimo konstanto izven predznaka odvoda in uporabimo pravilo za razlikovanje kompleksne funkcije:

.
Tukaj. Ampak
.
Od takrat
.
Potem
.
To pomeni, da formula (1) velja tudi za:
(1) .

Izpeljanke višjega reda

Zdaj pa poiščimo odvode višjega reda potenčne funkcije
(3) .
Izpeljanko prvega reda smo že našli:
.

Če vzamemo konstanto a zunaj predznaka odvoda, najdemo odvod drugega reda:
.
Podobno najdemo izpeljanke tretjega in četrtega reda:
;

.

Iz tega je razvidno, da derivat poljubnega n-tega reda ima naslednjo obliko:
.

obvestilo, to če a je naravno število , potem je n-ti derivat konstanten:
.
Potem so vsi naslednji derivati enaki nič:
,
ob .

Primeri računanja derivatov

Primer

Poiščite odvod funkcije:
.

rešitev

Pretvorimo korene v potence:
;
.
Potem ima izvirna funkcija obliko:
.

Iskanje derivatov potenc:
;
.
Odvod konstante je nič:
.

Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija.

Kot rezultat reševanja problemov iskanja odvodov najpreprostejših (in ne zelo preprostih) funkcij z opredelitvijo odvoda kot meje razmerja med prirastkom in prirastkom argumenta se je pojavila tabela odvodov in natančno določena pravila diferenciacija. Prva, ki sta delala na področju iskanja derivatov, sta bila Isaac Newton (1643-1727) in Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Zato vam v našem času za iskanje odvoda katere koli funkcije ni treba izračunati zgoraj omenjene meje razmerja med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta, ampak morate uporabiti samo tabelo izpeljanke in pravila razlikovanja. Za iskanje izpeljanke je primeren naslednji algoritem.

Da bi našli izpeljanko, potrebujete izraz pod praznakom preproste funkcije razčleniti na komponente in določite, katera dejanja (zmnožek, vsota, količnik) te funkcije so povezane. Nato najdemo odvode elementarnih funkcij v tabeli odvodov, formule za odvode produkta, vsote in količnika pa v pravilih diferenciacije. Tabela odvodov in pravila razlikovanja so podani po prvih dveh primerih.

Primer 1. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Iz pravil diferenciacije ugotovimo, da je odvod vsote funkcij vsota odvodov funkcij, tj.

Iz tabele odvodov ugotovimo, da je odvod "x" enak ena, odvod sinusa pa kosinus. Te vrednosti nadomestimo v vsoto derivatov in poiščemo derivat, ki ga zahteva pogoj problema:

Primer 2. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Diferenciramo kot odvod vsote, pri kateri ima drugi člen konstanten faktor, lahko ga vzamemo iz predznaka odvoda:

Če se vseeno porajajo vprašanja o tem, od kod kaj izvira, jih običajno razčistimo po seznanitvi s tabelo derivatov in najpreprostejšimi pravili razlikovanja. Prav zdaj se premikamo k njim.

Tabela odvodov enostavnih funkcij

1. Izpeljava konstante (števila). Poljubno število (1, 2, 5, 200 ...), ki je v funkcijskem izrazu. Vedno enako nič. To si je zelo pomembno zapomniti, saj je potrebno zelo pogosto
2. Izpeljanka neodvisne spremenljivke. Najpogosteje "X". Vedno enako ena. To je tudi pomembno, da si zapomnite za dolgo časa
3. Izpeljanka stopnje. Ko rešujete naloge, morate nekvadratne korene pretvoriti v potence.
4. Odvod spremenljivke na potenco -1
5. Izpeljanka kvadratni koren
6. Odvod sinusa
7. Odvod kosinusa
8. Odvod tangente
9. Odvod kotangensa
10. Odvod arkusina
11. Odvod ark kosinusa
12. Odvod arktangensa
13. Odvod ark kotangensa
14. Odvod naravnega logaritma
15. Odvod logaritemske funkcije
16. Izpeljanka eksponenta
17. Odvod eksponentne funkcije

Pravila razlikovanja

1. Izpeljava vsote ali razlike
2. Izpeljanka izdelka
2a. Izpeljanka izraza, pomnožena s konstantnim faktorjem
3. Izpeljava količnika
4. Odvod kompleksne funkcije

1. praviloČe funkcije

so na neki točki diferencibilne, potem so funkcije diferencibilne na isti točki

tiste. odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraična vsota derivate teh funkcij.

Posledica. Če se dve diferenciabilni funkciji razlikujeta za konstanten člen, sta njuna odvoda enaka, tj.

2. pravilo.Če funkcije

so na neki točki diferencibilni, potem je njihov produkt diferencibilen na isti točki

tiste. Odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij in odvoda druge.

Posledica 1. Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka odvoda:

Posledica 2. Odvod zmnožka več diferenciabilnih funkcij je enak vsoti zmnožkov odvoda vsakega faktorja in vseh ostalih.

Na primer za tri množitelje:

3. praviloČe funkcije

na neki točki mogoče razlikovati in , potem je na tej točki njihov količnik tudi diferenciabilenu/v in

tiste. odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalca, imenovalec pa je kvadrat prejšnji števnik.

Kje iskati stvari na drugih straneh

Pri iskanju odvoda zmnožka in količnika v realnih problemih je vedno treba uporabiti več diferencialnih pravil hkrati, zato je v članku več primerov o teh odvodih."Odvod produkta in kvocienta funkcij".

Komentiraj. Ne zamenjujte konstante (torej števila) kot izraza v vsoti in kot konstantnega faktorja! Pri členu je njegova izpeljanka enaka nič, pri konstantnem faktorju pa je vzeta iz predznaka izpeljank. to tipična napaka, ki se pojavi na začetni fazi učijo izpeljanke, a ker rešijo več eno- in dvodelnih primerov, povprečen učenec te napake ne dela več.

In če imate pri diferenciranju produkta ali količnika izraz u"v, v katerem u- število, na primer 2 ali 5, to je konstanta, potem bo derivat tega števila enak nič, zato bo celoten izraz enak nič (ta primer je obravnavan v primeru 10).

drugo pogosta napaka- mehanska rešitev odvoda kompleksne funkcije kot odvoda enostavne funkcije. Zato odvod kompleksne funkcije je posvečen poseben članek. Najprej pa se bomo naučili poiskati izpeljanke enostavnih funkcij.

Na tej poti ne morete brez preoblikovanja izrazov. Če želite to narediti, boste morda morali odpreti priročnik v novih oknih. Dejanja z močmi in koreninami in Operacije z ulomki .

Če iščete rešitve za odvode ulomkov s potencami in koreni, to je, ko je funkcija videti kot , nato sledite lekciji “Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni.”

Če imate nalogo, kot je , potem boste vzeli lekcijo “Odvodi preprostih trigonometričnih funkcij”.

Primeri po korakih - kako najti izpeljanko

Primer 3. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Določimo dele funkcijskega izraza: celoten izraz predstavlja zmnožek, njegovi faktorji pa so vsote, v drugem izmed členov pa je konstanten faktor. Uporabimo pravilo diferenciacije produkta: odvod zmnožka dveh funkcij je enak vsoti zmnožkov vsake od teh funkcij z odvodom druge:

Nato uporabimo pravilo diferenciacije vsote: odvod algebraične vsote funkcij je enak algebraični vsoti odvodov teh funkcij. V našem primeru ima v vsaki vsoti drugi člen predznak minus. V vsaki vsoti vidimo tako neodvisno spremenljivko, katere odvod je enak ena, kot konstanto (število), katere odvod je enak nič. Torej se "X" spremeni v ena, minus 5 pa v nič. V drugem izrazu je "x" pomnožen z 2, tako da dva pomnožimo z isto enoto kot izpeljanka "x". Dobimo naslednje izpeljanke:

Najdene odvode nadomestimo v vsoto produktov in dobimo odvod celotne funkcije, ki jo zahteva pogoj problema:

Primer 4. Poiščite odvod funkcije

rešitev. Poiskati moramo odvod količnika. Uporabimo formulo za razlikovanje količnika: odvod količnika dveh funkcij je enak ulomku, katerega števec je razlika med zmnožki imenovalca in odvoda števca ter števca in odvoda imenovalec, imenovalec pa je kvadrat prejšnjega števca. Dobimo:

Odvod faktorjev v števcu smo našli že v primeru 2. Ne pozabimo tudi, da je zmnožek, ki je drugi faktor v števcu v trenutnem primeru, vzet s predznakom minus:

Če iščete rešitve za naloge, v katerih morate najti odvod funkcije, kjer je zvezen kup korenov in potence, kot je npr. , potem dobrodošli v razredu "Izvod vsote ulomkov s potencami in koreni" .

Če želite izvedeti več o odvodih sinusov, kosinusov, tangentov in drugih trigonometričnih funkcij, to je, ko je funkcija videti kot , potem lekcija za vas "Izvodi preprostih trigonometričnih funkcij" .

Primer 5. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo produkt, katerega eden izmed faktorjev je kvadratni koren neodvisne spremenljivke, katere odvod smo spoznali v tabeli odvodov. Z uporabo pravila za razlikovanje produkta in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Primer 6. Poiščite odvod funkcije

rešitev. V tej funkciji vidimo količnik, katerega dividenda je kvadratni koren neodvisne spremenljivke. S pomočjo pravila diferenciacije količnikov, ki smo ga ponovili in uporabili v primeru 4, in tabelarne vrednosti odvoda kvadratnega korena dobimo:

Če se želite znebiti ulomka v števcu, pomnožite števec in imenovalec z.

Na katerem smo pregledali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehničnimi prijemi iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke v tem članku niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, da se resno razpoložite - snov ni preprosta, vendar jo bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi z izpeljanko kompleksna funkcija zelo pogosto, celo rekel bi skoraj vedno, se moraš soočiti s tem, ko ti dajo nalogo iskati izpeljanke.

Oglejmo si tabelo pri pravilu (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Ugotovimo. Najprej bodimo pozorni na vnos. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena znotraj funkcije . Funkcija tega tipa (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. prijavim se neformalni izrazi»zunanja funkcija«, »notranja« funkcija samo zato, da boste lažje razumeli snov.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo samo črke "X", ampak celoten izraz, zato iskanje izpeljanke takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da sinusa ni mogoče "raztrgati na koščke":

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija(naložba) in – zunanja funkcija.

Prvi korak kar morate storiti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije je razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

Kdaj preprosti primeri Zdi se jasno, da je polinom vstavljen pod sinus. Kaj pa, če ni vse očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo lahko izvajate mentalno ali v osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo na kalkulatorju izračunati vrednost izraza pri (namesto 1 je lahko poljubno število).

Kaj bomo najprej izračunali? Najprej bo treba narediti naslednje dejanje: , zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič bo treba najti, zato bo sinus zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZPRODANO pri notranjih in zunanjih funkcijah je čas, da uporabimo pravilo razlikovanja kompleksnih funkcij .

Začnimo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

Najprej poišči izpeljanko zunanja funkcija(sinus), poglejte tabelo odvodov elementarnih funkcij in opazite, da . Vse formule tabele so uporabne tudi, če je "x" zamenjan s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte, da notranja funkcija ni spremenil, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Rezultat uporabe formule v končni obliki izgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, rešitev zapiši na papir in še enkrat preberi razlago.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno zapišemo:

Ugotovimo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali v osnutku) izračunati vrednost izraza pri . Kaj morate storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova: zato je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, zato je funkcija moči zunanja funkcija:

Po formuli , najprej morate najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli poiščemo zahtevano formulo: . Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "X", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo izpeljanko zunanje funkcije, se naša notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj ostane le še najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in rezultat nekoliko prilagoditi:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Da bi utrdil vaše razumevanje odvoda kompleksne funkcije, bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razložite, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da bi ga razlikovali, ga je treba predstaviti kot moč. Tako najprej pripeljemo funkcijo v obliko, primerno za razlikovanje:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, dvig na potenco pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij :

Stopnjo spet predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko tudi skrčiš na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišeš kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobite okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storite (lahko se zmedete, naredite nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabite pravilo za razlikovanje količnika , vendar bo takšna rešitev videti kot nenavadna perverznost. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo na diferenciacijo - minus premaknemo iz predznaka odvoda, kosinus pa dvignemo v števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo svoje pravilo :

Poiščemo odvod notranje funkcije in ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Doslej smo si ogledali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumejmo priloge te funkcije. Poskusimo izračunati izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti , kar pomeni, da je arkus sinus najgloblja vdelava:

Ta arksinus ena je treba nato kvadrirati:

In končno, dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve vdelavi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnimo se odločati

Po pravilu Najprej morate vzeti odvod zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je v tem, da imamo namesto “x” kompleksen izraz, kar pa ne izniči veljavnosti te formule. Torej, rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji.