Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs Za

Često čujemo ovu neprijatnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.

Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka.

Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu aktivnost, morate biti u mogućnosti rukovati razlomcima I faktorski polinomi.

Stoga, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.

Idemo! (Idemo!)

Operacije pojednostavljenja osnovnih izraza

Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji je

1. Donošenje sličnog

Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.

Slično- ovo su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom.

Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.

Sjećaš li se?

Dajte slično- znači dodavanje nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobijanje jednog pojma.

Kako možemo spojiti slova? - pitate.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata.

Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak?

Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Kako biste izbjegli zabunu, neka različita slova predstavljaju različite objekte.

Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol.

stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti.

Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.

Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:

primjeri:

Dajte slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.

Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban rezultujući izraz faktorisati, odnosno predstavljen u obliku proizvoda.

Posebno ovo važno u razlomcima: na kraju krajeva, da bismo mogli smanjiti razlomak, Brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.

Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili.

Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate ih faktorizirati)

primjeri:

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:

Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:

1) brojilac i imenilac faktorisati

2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori, mogu se precrtati.

primjeri:

Mislim da je princip jasan?

Želeo bih da vam skrenem pažnju na jednu stvar tipična greška prilikom ugovaranja. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- ovo znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.

Nema skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.

Na primjer: trebamo pojednostaviti.

Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će uraditi ovo:

Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve greške, zapamtite lak način kako odrediti da li je izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija.

Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako poslednja akcija doći će do množenja, što znači da imamo proizvod (izraz je faktoriziran).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to pojačali, sami riješite nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje obične frakcije- operacija je dobro poznata: tražimo zajednički imenilac, pomnožimo svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i saberemo/oduzmemo brojioce.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Prva stvar ovdje miješane frakcije pretvaramo ih u pogrešne, a zatim slijedimo uobičajeni obrazac:

Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i kod običnih numerički razlomci: pronađite zajednički nazivnik, pomnožite svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i dodajte/oduzmi brojioce:

Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:

Probajte sami:

odgovori:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:

Istaknimo uobičajene faktore:

Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

· faktor imenilaca;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· jednom ispisati sve zajedničke faktore;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) razdijelite imenitelje na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

do stepena

do stepena

do stepena

do stepena.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . šta si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnoži sa:

Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktore ćemo nazvati "elementarnim faktorima".

Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I sa njima ćemo se nositi na isti način.

Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove imenitelje, morate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Hajde da to sada proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za izračunavanje numeričkog izraza? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija, morate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostavljivati ​​ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Rješenje:

Prije svega, odredimo redoslijed radnji.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan.

Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom.

Šematski ću numerisati korake:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. Kad god se kod nas pojave slični, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju isti imenioci, onda smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I ono što je obećano na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste savladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
• Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojilac i imenilac faktorisati
  2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, zbroji monoma zauzimaju važno mjesto. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Zbir monoma naziva se polinom. Članovi polinoma se nazivaju termini polinoma. Monomi se takođe klasifikuju kao polinomi, smatrajući da je monom polinom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Predstavimo sve pojmove u obliku monoma standardnog oblika:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Predstavimo slične pojmove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika, a među njima nema sličnih. Takvi polinomi se nazivaju polinomi standardnog oblika.

Iza stepen polinoma standardnog oblika preuzimaju najviša ovlašćenja svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b\) ima treći stepen, a trinom \(2b^2 -7b + 6\) drugi.

Tipično, termini polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu su raspoređeni u opadajućem redoslijedu eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Zbir nekoliko polinoma može se transformirati (pojednostaviti) u polinom standardnog oblika.

Ponekad se termini polinoma moraju podijeliti u grupe, stavljajući svaku grupu u zagrade. Budući da je zatvorene zagrade inverzna transformacija otvarajućih zagrada, lako je formulirati pravila za otvaranje zagrada:

Ako se ispred zagrada stavi znak „+“, tada se termini u zagradama pišu istim znakovima.

Ako se ispred zagrada stavi znak „-“, tada se termini u zagradama pišu sa suprotnim znacima.

Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda monoma i polinoma

Koristeći distributivno svojstvo množenja, možete transformirati (pojednostaviti) proizvod monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Proizvod monoma i polinoma identično je jednak zbiru proizvoda ovog monoma i svakog od članova polinoma.

Ovaj rezultat se obično formuliše kao pravilo.

Da biste pomnožili monom polinomom, morate taj monom pomnožiti sa svakim od članova polinoma.

Ovo pravilo smo već koristili nekoliko puta za množenje sa sumom.

Proizvod polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) proizvoda dva polinoma

Općenito, proizvod dva polinoma je identično jednak zbiru proizvoda svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog polinoma.

Obično se koristi sljedeće pravilo.

Da pomnožite polinom polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i dodati rezultirajuće proizvode.

Skraćene formule za množenje. Zbroj kvadrata, razlika i razlika kvadrata

Morate se baviti nekim izrazima u algebarskim transformacijama češće od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), tj. kvadrat zbira, kvadrat razlika i razlika kvadrata. Primijetili ste da nazivi ovih izraza izgledaju nepotpuni, na primjer, \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbira, već kvadrat zbira a i b . Međutim, kvadrat zbira a i b se ne pojavljuje često, u pravilu umjesto slova a i b sadrži različite, ponekad prilično složene izraze.

Izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) mogu se lako pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika; u stvari, već ste naišli na ovaj zadatak prilikom množenja polinoma:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Korisno je zapamtiti rezultirajuće identitete i primijeniti ih bez srednjih proračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kvadrat zbira jednak zbiru kvadrata i udvostručiti proizvod.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je jednak zbiru kvadrata bez udvostručenog proizvoda.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je proizvodu razlike i zbroja.

Ova tri identiteta omogućavaju da se njegovi levi delovi u transformacijama zamene desnim i obrnuto - desni delovi levim. Najteže je vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti kako se u njima zamjenjuju varijable a i b. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja skraćenih formula za množenje.

Brojevi i izrazi koji čine originalni izraz mogu se zamijeniti identično jednakim izrazima. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji mu je identično jednak.

Na primjer, u izrazu 3+x, broj 3 se može zamijeniti zbrojem 1+2, što će rezultirati izrazom (1+2)+x, koji je identično jednak originalnom izrazu. Drugi primjer: u izrazu 1+a 5, stepen a 5 može se zamijeniti identično jednakim proizvodom, na primjer, oblika a·a 4. Ovo će nam dati izraz 1+a·a 4 .

Ova transformacija je nesumnjivo umjetna i obično je priprema za neke daljnje transformacije. Na primjer, u zbiru 4 x 3 +2 x 2, uzimajući u obzir svojstva stepena, pojam 4 x 3 može se predstaviti kao proizvod 2 x 2 2 x. Nakon ove transformacije, originalni izraz će poprimiti oblik 2 x 2 2 x+2 x 2. Očigledno, članovi u rezultirajućem zbiru imaju zajednički faktor 2 x 2, tako da možemo izvršiti sljedeću transformaciju - zagrada. Nakon toga dolazimo do izraza: 2 x 2 (2 x+1) .

Sabiranje i oduzimanje istog broja

Još jedna umjetna transformacija izraza je dodavanje i istovremeno oduzimanje istog broja ili izraza. Ova transformacija je identična jer je u suštini ekvivalentna dodavanju nule, a dodavanje nule ne mijenja vrijednost.

Pogledajmo primjer. Uzmimo izraz x 2 +2·x. Ako mu dodate jedan i oduzmete jedan, to će vam omogućiti da izvršite još jednu identičnu transformaciju u budućnosti - kvadrat binoma: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.

Osnovna svojstva sabiranja i množenja brojeva.

Komutativno svojstvo sabiranja: preuređivanje članova ne mijenja vrijednost sume. Za bilo koje brojeve a i b jednakost je tačna

Kombinativno svojstvo sabiranja: da biste zbroju dva broja dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbir drugog i trećeg. Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna

Komutativno svojstvo množenja: preraspoređivanje faktora ne mijenja vrijednost proizvoda. Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna

Kombinativno svojstvo množenja: da biste pomnožili proizvod dva broja trećim brojem, možete prvi broj pomnožiti umnoškom drugog i trećeg.

Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna

Distributivno svojstvo: Da pomnožite broj sa zbrojem, možete pomnožiti taj broj sa svakim članom i dodati rezultate. Za sve brojeve a, b i c jednakost je tačna

Iz komutativnih i kombinativnih svojstava sabiranja slijedi: u bilo kojem zbroju možete preurediti članove na koji god želite i proizvoljno ih kombinirati u grupe.

Primjer 1. Izračunajmo zbir 1,23+13,5+4,27.

Da biste to učinili, zgodno je kombinirati prvi termin s trećim. Dobijamo:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

Iz komutativnih i kombinativnih svojstava množenja slijedi: u bilo kojem proizvodu možete preurediti faktore na bilo koji način i proizvoljno ih kombinirati u grupe.

Primjer 2 Nađimo vrijednost proizvoda 1,8·0,25·64·0,5.

Kombinujući prvi faktor sa četvrtim, a drugi sa trećim, imamo:

1,8·0,25·64·0,5=(1,8·0,5)·(0,25·64)=0,9·16=14,4.

Distributivno svojstvo je također tačno kada se broj pomnoži sa zbirom tri ili više članova.

Na primjer, za bilo koje brojeve a, b, c i d jednakost je tačna

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Znamo da se oduzimanje može zamijeniti sabiranjem dodavanjem minusenda suprotnog broja oduzetog:

Ovo omogućava numerički izraz tip a-b smatrati zbirom brojeva a i -b, numerički izraz oblika a+b-c-d smatrati zbirom brojeva a, b, -c, -d itd. Razmatrana svojstva radnji važe i za takve sume.

Primjer 3 Nađimo vrijednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ovaj izraz je zbir brojeva 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Primenom svojstava sabiranja dobijamo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -4.

Primjer 4 Izračunajmo proizvod 36·().

Množitelj se može zamisliti kao zbir brojeva i -. Koristeći distributivno svojstvo množenja, dobijamo:

36()=36·-36·=9-10=-1.

Identiteti

Definicija. Dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli nazivaju se identično jednakima.

Definicija. Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.

Nađimo vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y za x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3·5+3·4=15+12=27.

Dobili smo isti rezultat. Iz svojstva distribucije slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli, odgovarajuće vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y jednake.

Razmotrimo sada izraze 2x+y i 2xy. Kada je x=1, y=2 one uzimaju jednake vrijednosti:

Međutim, možete odrediti vrijednosti x i y tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, onda

Izrazi 3(x+y) i 3x+3y su identično jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identično jednaki.

Jednakost 3(x+y)=x+3y, istinita za bilo koje vrijednosti x i y, je identitet.

Prave numeričke jednakosti se također smatraju identitetima.

Dakle, identiteti su jednakosti koje izražavaju osnovna svojstva operacija nad brojevima:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Mogu se navesti i drugi primjeri identiteta:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a·1=a, a·(-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Identične transformacije izraza

Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.

Transformacije identiteta izrazi sa varijablama se izvode na osnovu svojstava operacija nad brojevima.

Da biste pronašli vrijednost izraza xy-xz za date vrijednosti x, y, z, potrebno je izvršiti tri koraka. Na primjer, sa x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobijamo:

xy-xz=2,3·0,8-2,3·0,2=1,84-0,46=1,38.

Ovaj rezultat se može dobiti izvođenjem samo dva koraka, ako koristite izraz x(y-z), koji je identično jednak izrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3·0,6=1,38.

Pojednostavili smo proračune tako što smo izraz xy-xz zamijenili identično jednakim izrazom x(y-z).

Identične transformacije izraza se široko koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Neke identične transformacije su već morale biti izvedene, na primjer, dovođenje sličnih pojmova, otvaranje zagrada. Prisjetimo se pravila za izvođenje ovih transformacija:

da biste dobili slične pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom;

ako se ispred zagrada nalazi znak plus, tada se zagrade mogu izostaviti, čuvajući znak svakog člana u zagradama;

Ako se ispred zagrada nalazi znak minus, onda se zagrade mogu izostaviti promjenom predznaka svakog člana u zagradi.

Primjer 1. Predstavimo slične članove u zbiru 5x+2x-3x.

Koristimo pravilo za smanjenje sličnih pojmova:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ova transformacija je zasnovana na distributivnom svojstvu množenja.

Primjer 2 Otvorimo zagrade u izrazu 2a+(b-3c).

Korištenje pravila za otvaranje zagrada kojima prethodi znak plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Provedena transformacija temelji se na kombinatornom svojstvu sabiranja.

Primjer 3. Otvorimo zagrade u izrazu a-(4b-c).

Koristimo pravilo za otvaranje zagrada kojima prethodi znak minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Izvršena transformacija se zasniva na distributivnom svojstvu množenja i kombinatornom svojstvu sabiranja. Hajde da to pokažemo. Predstavimo drugi član -(4b-c) u ovom izrazu kao proizvod (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Primjenom navedenih svojstava akcija dobijamo:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.

Šta je izraz u matematici? Zašto su nam potrebne konverzije izraza?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ovi pojmovi osnova svake matematike. Sva matematika se sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije jasno? Dopusti mi da objasnim.

Recimo da imate pred sobom zao primjer. Veoma velika i veoma složena. Recimo da ste dobri u matematici i da se ničega ne bojite! Možete li odmah dati odgovor?

Moraćeš odlučiti ovaj primjer. Dosljedno, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. By određena pravila, naravno. One. uradi konverzija izraza. Što uspješnije provodite ove transformacije, to ste jači u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, nećete ih moći izvesti u matematici. Ništa...

Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)

Prvo, hajde da saznamo šta je izraz u matematici. Šta se desilo numerički izraz i šta je algebarski izraz.

Šta je izraz u matematici?

Izraz u matematici- ovo je veoma širok koncept. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je skup matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od matematički izrazi.

3+2 je matematički izraz. s 2 - d 2- ovo je takođe matematički izraz. I zdrav razlomak i čak jedan broj su matematički izrazi. Na primjer, jednadžba je:

5x + 2 = 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi desno.

IN opšti pogled izraz " matematički izraz"koristi se, najčešće, da se izbjegne pjevušenje. Pitat će te šta je na primjer običan razlomak? A kako odgovoriti?!

Prvi odgovor: "Ovo je... mmmmmm... takva stvar... u kojoj... Mogu li napisati razlomak bolje? Koji želiš?"

Drugi odgovor: „Običan razlomak je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"

Druga opcija će biti nekako impresivnija, zar ne?)

Ovo je svrha fraze " matematički izraz „Vrlo dobro. I korektno i čvrsto. Ali za praktična primjena treba biti dobro upućen specifične vrste izraza u matematici .

Konkretna vrsta je druga stvar. Ovo To je sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima moj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti prilikom donošenja odluke. Za rad sa razlomcima - jedan set. Za rad sa trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad sa logaritmima - treći. I tako dalje. Negdje se ta pravila poklapaju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se plašiti ovih strašnih reči. Savladavaćemo logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari u odgovarajućim rubrikama.

Ovdje ćemo savladati (ili - ponoviti, ovisno o tome ko...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Šta se desilo numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Sam naziv nagoveštava da se radi o izrazu sa brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih simbola naziva se numerički izraz.

7-3 je numerički izraz.

(8+3,2) 5,4 je takođe numerički izraz.

I ovo čudovište:

takođe numerički izraz, da...

Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez X i drugih slova - sve su to numerički izrazi.

Glavni znak numerički izrazi - u njemu nema slova. Nema. Samo brojevi i matematički simboli (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A šta možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, dešava se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. uradi konverzije izraza. Ali više o tome u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne morate ništa da radite. Pa, baš ništa! Ova prijatna operacija - da ne radim ništa)- se izvršava kada je izraz nema smisla.

Kada numerički izraz nema smisla?

Jasno je da ako vidimo nekakvu abrakadabru ispred sebe, npr

onda nećemo ništa uraditi. Jer nije jasno šta da se radi o tome. Neka vrsta gluposti. Možda prebrojite pluseve...

Ali ima spolja sasvim pristojnih izraza. Na primjer ovo:

(2+3) : (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - dobijate nulu. Ali ne možete podijeliti sa nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Dakle, ni sa ovim izrazom nema potrebe ništa raditi. Za svaki zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema značenje!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati šta bi bilo u zagradama. A ponekad ima puno stvari u zagradama... Pa, tu ništa ne možete učiniti.

U matematici nema toliko zabranjenih operacija. U ovoj temi postoji samo jedan. Deljenje sa nulom. Dodatna ograničenja koja se javljaju u korijenima i logaritmima razmatraju se u odgovarajućim temama.

Dakle, ideja šta je to numerički izraz- dobio. Koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! Postaje algebarski izraz. Na primjer:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takvi izrazi se takođe nazivaju doslovni izrazi. Or izrazi sa varijablama. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer, i literalni i algebarski, i izraz s varijablama.

Koncept algebarski izraz -širi od numeričkih. To uključuje i sve numeričke izraze. One. numerički izraz je takođe algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)

Zašto abecedno- To je jasno. Pa, pošto postoje slova... Fraza izraz sa varijablama Takođe nije mnogo zbunjujuće. Ako shvatite da su brojevi skriveni ispod slova. Ispod slova se mogu sakriti svakakvi brojevi... I 5, i -18, i bilo šta drugo. To jest, pismo može biti zamijeniti on različiti brojevi. Zato se slova zovu varijable.

U izrazu y+5, Na primjer, at- varijabilna vrijednost. Ili samo kažu " varijabla", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantan.

Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom morate koristiti zakone i pravila algebra. Ako aritmetika onda radi sa određenim brojevima algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetici to možemo napisati

Ali ako takvu jednakost zapišemo kroz algebarske izraze:

a + b = b + a

odmah ćemo odlučiti Sve pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za sve beskonačno. Jer ispod slova A I b implicirano Sve brojevi. I ne samo brojevi, već i drugi matematički izrazi. Ovako funkcioniše algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

Sve u vezi sa numeričkim izrazom je jasno. Tamo ne možete podijeliti sa nulom. A da li se slovima može saznati po čemu se dijelimo?!

Uzmimo za primjer ovaj izraz sa varijablama:

2: (A - 5)

Ima li smisla? Ko zna? A- bilo koji broj...

Bilo koji, bilo koji... Ali postoji jedno značenje A, za koji je ovaj izraz upravo nema smisla! A koji je ovo broj? Da! Ovo je 5! Ako je varijabla A zamijenite (kažu “zamjena”) brojem 5, u zagradama dobijate nulu. Koje se ne mogu podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, Ako a = 5. Ali za druge vrijednosti A ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?

Svakako. U takvim slučajevima jednostavno kažu da je izraz

2: (A - 5)

ima smisla za sve vrijednosti A, osim a = 5 .

Cijeli skup brojeva koji Može zamjena u dati izraz se zove raspon prihvatljivih vrijednosti ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ničeg škakljivog. Pogledajmo izraz sa varijablama i shvatimo: pri kojoj vrijednosti varijable se dobija zabranjena operacija (podjela na nulu)?

A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Šta pitaju?

nema smisla, naše zabranjeno značenje će biti odgovor.

Ako pitate po kojoj vrijednosti varijabilni izraz ima značenje(osjetite razliku!), odgovor će biti svi ostali brojevi osim zabranjenog.

Zašto nam je potrebno značenje izraza? On je tu, nije... Koja je razlika?! Poenta je da ovaj koncept postaje veoma važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! Ovo je osnova za takve čvrste koncepte kao što je domena prihvatljivih vrijednosti ili domena funkcije. Bez toga nećete moći uopće riješiti ozbiljne jednačine ili nejednakosti. Volim ovo.

Pretvaranje izraza. Transformacije identiteta.

Upoznali smo se sa numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo šta znači izraz „izraz nema značenje“. Sada treba da shvatimo šta je to transformacija izraza. Odgovor je jednostavan, do sramote.) Ovo je svaka radnja sa izrazom. To je sve. Ove transformacije radite od prvog razreda.

Uzmimo cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo jednostavno! Izračunati:

Ovaj proračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:

Ovdje nismo ništa računali. Samo zapisao izraz u drugačijoj formi. Ovo će takođe biti transformacija izraza. Možete to napisati ovako:

I ovo je također transformacija izraza. Takvih transformacija možete napraviti koliko god želite.

Bilo koji akcija na izražavanje bilo koji zapisivanje u drugom obliku naziva se transformacija izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali postoji jedna stvar veoma važno pravilo. Toliko važno da se može bezbedno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbežno dovodi do grešaka. Da li ulazimo u to?)

Recimo da smo svoj izraz nasumično transformirali, ovako:

Konverzija? Svakako. Izraz smo napisali u drugom obliku, šta tu nije u redu?

Nije tako.) Poenta je da su transformacije "nasumce" uopšte ih ne zanima matematika.) Sva matematika je izgrađena na transformacijama u kojima izgled, ali se suština izraza ne menja. Tri plus pet se može napisati u bilo kom obliku, ali mora biti osam.

transformacije, izrazi koji ne mijenjaju suštinu su pozvani identičan.

Upravo transformacije identiteta i dozvoli nam da se, korak po korak, transformiramo složen primjer u jednostavan izraz, čuvanje suštinu primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravimo NE identičnu transformaciju, onda ćemo odlučiti drugi primjer. Uz druge odgovore koji nisu u vezi s tačnim.)

Ovo je glavno pravilo za rješavanje svih zadataka: održavanje identiteta transformacija.

Primjer sa numerički izraz Donio sam 3+5 radi jasnoće. U algebarskim izrazima transformacije identiteta su date formulama i pravilima. Recimo da u algebri postoji formula:

a(b+c) = ab + ac

To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab + ac. I obrnuto. Ovo identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. A koju pisati ovisi o konkretnom primjeru.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pogledati na linku, ali ovdje ću vas samo podsjetiti na pravilo: Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera transformacije identiteta pomoću ovog svojstva:

Kao što ste verovatno pretpostavili, ovaj lanac se može nastaviti u nedogled...) Vrlo važna imovina. To je ono što vam omogućava da sve vrste primjera čudovišta pretvorite u bijela i pahuljasta.)

Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali najvažnijih je sasvim razuman broj. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u čitavoj matematici - od osnovne do napredne. Počnimo s njim. U sledećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.