Končno sem dobil v roke to obsežno in dolgo pričakovano temo. analitično geometrijo. Najprej nekaj o tem delu višje matematike ... Zagotovo se zdaj spomnite šolskega tečaja geometrije s številnimi izreki, njihovimi dokazi, risbami itd. Kaj skrivati, neljuba in pogosto nejasna tema za precejšen del študentov. Analitična geometrija, nenavadno, se morda zdi bolj zanimiva in dostopna. Kaj pomeni pridevnik »analitičen«? Takoj prideta na misel dve oguljeni matematični frazi: »metoda grafične rešitve« in » analitična metoda rešitve«. Grafična metoda, seveda, je povezano z gradnjo grafov in risb. Analitično enako metoda vključuje reševanje problemov v glavnem skozi algebraične operacije. V zvezi s tem je algoritem za reševanje skoraj vseh problemov analitične geometrije preprost in pregleden, pogosto je dovolj, da natančno uporabite potrebne formule - in odgovor je pripravljen! Ne, seveda brez risb sploh ne bomo mogli, poleg tega pa jih bom za boljše razumevanje gradiva poskušal citirati po potrebi.

Na novo odprt pouk o geometriji se ne pretvarja, da je teoretično popoln, osredotočen je na reševanje praktičnih problemov. V svoja predavanja bom vključil le tisto, kar je z mojega vidika pomembno v praktičnem smislu. Če potrebujete popolnejšo pomoč pri katerem koli pododdelku, priporočam naslednjo precej dostopno literaturo:

1) Stvar, ki jo, brez šale, pozna več generacij: Šolski učbenik o geometriji, avtorji - L.S. Atanasyan in družba. Ta obešalnik za šolsko garderobo je doživel že 20 (!) Ponatisov, kar seveda ni meja.

2) Geometrija v 2 zvezkih. Avtorji L.S. Atanasjan, Bazilev V.T.. To je literatura za srednjo šolo, potrebujete prvi zvezek. Naloge, ki jih redko srečam, mi lahko padejo izpred oči in vadnica bo nudil neprecenljivo pomoč.

Obe knjigi je mogoče brezplačno prenesti na spletu. Poleg tega lahko uporabite moj arhiv z že pripravljene rešitve, ki ga najdete na strani Prenesite primere iz višje matematike.

Med orodji ponovno predlagam svoj razvoj - programski paket v analitični geometriji, kar bo močno poenostavilo življenje in prihranilo veliko časa.

Predpostavlja se, da bralec pozna osnovne geometrijske pojme in like: točka, premica, ravnina, trikotnik, paralelogram, paralelopiped, kocka itd. Priporočljivo je, da si zapomnite nekaj izrekov, vsaj Pitagorov izrek, pozdrav ponavljalcem)

In zdaj bomo zaporedno obravnavali: koncept vektorja, dejanja z vektorji, vektorske koordinate. Priporočam nadaljnje branje najpomembnejši člen Točkovni produkt vektorjev, in tudi Vektor in mešani produkt vektorjev. Tudi lokalna naloga - razdelitev segmenta v tem pogledu - ne bo odveč. Na podlagi zgornjih informacij lahko obvladate enačba premice v ravnini z najenostavnejši primeri rešitev, ki bo omogočila naučijo se reševati geometrijske probleme. Uporabni so tudi naslednji članki: Enačba ravnine v prostoru, Enačbe premice v prostoru, Osnovni problemi na premici in ravnini, drugi razdelki analitične geometrije. Seveda bodo na poti upoštevane standardne naloge.

Vektorski koncept. Brezplačni vektor

Najprej ponovimo šolsko definicijo vektorja. Vektor klical usmeril segment, za katerega sta označena njegov začetek in konec:

V tem primeru je začetek segmenta točka, konec segmenta je točka. Sam vektor je označen z . Smer je bistveno, če premaknete puščico na drugi konec segmenta, dobite vektor, in to je že popolnoma drugačen vektor. Koncept vektorja je priročno identificirati z gibanjem fizično telo: Strinjam se, vstopiti skozi vrata inštituta ali zapustiti vrata inštituta sta popolnoma različni stvari.

Posamezne točke ravnine ali prostora je priročno obravnavati kot tako imenovane ničelni vektor. Za tak vektor se konec in začetek ujemata.

!!! Opomba: Tukaj in naprej lahko domnevate, da vektorji ležijo v isti ravnini ali pa domnevate, da se nahajajo v prostoru - bistvo predstavljenega gradiva velja tako za ravnino kot za prostor.

Oznake: Mnogi so v oznaki takoj opazili palico brez puščice in rekli, da je tudi puščica na vrhu! Res je, da lahko napišete s puščico: , vendar je tudi to mogoče vnos, ki ga bom uporabljal v prihodnje. Zakaj? Očitno se je ta navada razvila iz praktičnih razlogov, moji strelci v šoli in na fakulteti so se izkazali za preveč različno velike in kosmate. IN poučna literatura včasih se s klinopisom sploh ne ukvarjajo, temveč črke poudarijo krepko: , s čimer namigujejo, da gre za vektor.

To je bila stilistika, zdaj pa o načinih pisanja vektorjev:

1) Vektorje lahko zapišemo z dvema velikima latiničnima črkama:
in tako naprej. V tem primeru prva črka Nujno označuje začetno točko vektorja, druga črka pa končno točko vektorja.

2) Vektorji so zapisani tudi z malimi latiničnimi črkami:
Zlasti naš vektor lahko zaradi jedrnatosti na novo označimo z majhno latinično črko.

Dolžina oz modul vektor, ki ni nič, se imenuje dolžina segmenta. Dolžina ničelnega vektorja je nič. Logično.

Dolžina vektorja je označena z znakom modula: ,

Kako najti dolžino vektorja se bomo naučili (oz. ponovili, odvisno kdo) malo kasneje.

To so bile osnovne informacije o vektorjih, ki jih poznajo vsi šolarji. V analitični geometriji je t.i prosti vektor.

Preprosto povedano - vektor lahko narišemo iz katere koli točke:

Takim vektorjem smo sicer navajeni reči enaki (definicija enakih vektorjev bo podana v nadaljevanju), čisto matematično gledano pa gre za ISTI VEKTOR oz. prosti vektor. Zakaj brezplačno? Ker med reševanjem problemov lahko ta ali oni vektor "pripnete" na KATERO koli točko ravnine ali prostora, ki ga potrebujete. To je zelo kul funkcija! Predstavljajte si vektor poljubne dolžine in smeri - lahko ga "kloniramo" neskončno velikokrat in na kateri koli točki v prostoru, pravzaprav obstaja VSEM. Obstaja takšen študentski rek: Vsakemu predavatelju je mar za vektor. Konec koncev, to ni samo duhovita rima, vse je matematično pravilno - vektor je mogoče pritrditi tudi tja. Ampak ne hitite se veseliti, študenti sami pogosto trpijo =)

Torej, prosti vektor- To kup enako usmerjeni segmenti. Šolska definicija vektorja, podana na začetku odstavka: "Usmerjen segment se imenuje vektor ..." pomeni specifična usmerjen segment, vzet iz dane množice, ki je vezan na določeno točko v ravnini ali prostoru.

Opozoriti je treba, da je s stališča fizike koncept prostega vektorja na splošno napačen in je pomembna točka uporabe vektorja. Dejansko neposreden udarec enake moči v nos ali čelo, ki je dovolj za razvoj mojega neumnega primera, povzroči različne posledice. vendar nesvoboden vektorje najdemo tudi v poteku vyshmat (ne hodite tja :)).

Dejanja z vektorji. Kolinearnost vektorjev

IN šolski tečaj geometriji so upoštevana številna dejanja in pravila z vektorji: seštevanje po pravilu trikotnika, seštevanje po pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektorja s številom, skalarni produkt vektorjev itd. Za izhodišče naj ponovimo dve pravili, ki sta še posebej pomembni za reševanje problemov analitične geometrije.

Pravilo za dodajanje vektorjev z uporabo pravila trikotnika

Razmislite o dveh poljubnih neničelnih vektorjih in:

Najti morate vsoto teh vektorjev. Ker vsi vektorji veljajo za proste, bomo vektor izločili na stran konec vektor:

Vsota vektorjev je vektor. Za boljše razumevanje pravila je priporočljivo vključiti fizični pomen: naj potuje neko telo po vektorju, nato pa po vektorju. Potem je vsota vektorjev vektor nastale poti z začetkom na odhodni točki in koncem na prihodni točki. Podobno pravilo je formulirano za vsoto poljubnega števila vektorjev. Kot pravijo, lahko gre telo svojo pot zelo nagnjeno po cikcaku ali morda na avtopilotu - po nastalem vektorju vsote.

Mimogrede, če je vektor prestavljen iz začela vektor, potem dobimo ekvivalent pravilo paralelograma dodajanje vektorjev.

Najprej o kolinearnosti vektorjev. Dva vektorja se imenujeta kolinearni, če ležijo na isti premici ali na vzporednih premicah. Grobo rečeno, govorimo o vzporednih vektorjih. Toda v zvezi z njimi se vedno uporablja pridevnik "kolinearni".

Predstavljajte si dva kolinearna vektorja. Če so puščice teh vektorjev usmerjene v isto smer, se takšni vektorji imenujejo sorežiral. Če puščice kažejo proti različne strani, potem bodo vektorji nasprotne smeri.

Oznake: kolinearnost vektorjev zapišemo z običajnim simbolom paralelizma: , detajliranje pa je možno: (vektorji so sousmerjeni) ali (vektorji so nasprotno usmerjeni).

Delo neničelni vektor na številu je vektor, katerega dolžina je enaka , vektorja in pa sta sousmerjena in nasprotno usmerjena na .

Pravilo množenja vektorja s številom je lažje razumeti s pomočjo slike:

Oglejmo si ga podrobneje:

1) Smer. Če je množitelj negativen, potem vektor spremeni smer v nasprotje.

2) Dolžina. Če je množitelj znotraj ali , potem je dolžina vektorja zmanjša. Torej je dolžina vektorja polovica dolžine vektorja. Če je modul množitelja večji od ena, potem je dolžina vektorja poveča pravočasno.

3) Upoštevajte to vsi vektorji so kolinearni, medtem ko je en vektor izražen skozi drugega, na primer . Velja tudi obratno: če je en vektor mogoče izraziti skozi drugega, potem so taki vektorji nujno kolinearni. Torej: če vektor pomnožimo s številom, dobimo kolinearno(glede na original) vektor.

4) Vektorji so sousmerjeni. Vektorji in so tudi sorežirani. Vsak vektor prve skupine je nasprotno usmerjen glede na katerikoli vektor druge skupine.

Kateri vektorji so enaki?

Dva vektorja sta enaka, če sta v isti smeri in imata enako dolžino. Upoštevajte, da sosmernost pomeni kolinearnost vektorjev. Definicija bi bila netočna (odvečna), če bi rekli: "Dva vektorja sta enaka, če sta kolinearna, sosmerna in imata enako dolžino."

Z vidika koncepta prostega vektorja, enaki vektorji– to je isti vektor, o katerem smo že govorili v prejšnjem odstavku.

Vektorske koordinate na ravnini in v prostoru

Prva točka je upoštevanje vektorjev na ravnini. Upodabljajmo kartezični pravokotni koordinatni sistem in ga narišimo iz koordinatnega izhodišča samski vektorji in:

Vektorji in pravokoten. Ortogonalno = pravokotno. Priporočam, da se počasi navadite na izraze: namesto vzporednosti in pravokotnosti uporabljamo besedi oz. kolinearnost in ortogonalnost.

Oznaka: Ortogonalnost vektorjev zapišemo z običajnim simbolom pravokotnosti, na primer: .

Obravnavani vektorji se imenujejo koordinatni vektorji oz orts. Ti vektorji tvorijo osnova na površini. Kaj je osnova, mislim, da je marsikomu intuitivno jasno, več podrobne informacije najdete v članku Linearna (ne)odvisnost vektorjev. Osnova vektorjev Preprosto povedano, osnova in izvor koordinat določata celoten sistem - to je nekakšen temelj, na katerem vre polno in bogato geometrijsko življenje.

Včasih se imenuje konstruirana osnova ortonormalno osnova ravnine: “orto” - ker so koordinatni vektorji pravokotni, pomeni pridevnik “normaliziran” enoto, tj. dolžine baznih vektorjev so enake ena.

Oznaka: osnovo običajno zapišemo v oklepaju, znotraj katerega v strogem zaporedju bazični vektorji so navedeni, na primer: . Koordinatni vektorji je prepovedano preurediti.

Kaj ravninski vektor edina pot izraženo kot:
, Kje - številke ki se imenujejo vektorske koordinate v tej osnovi. In sam izraz klical vektorska dekompozicijapo osnovi .

Večerja postrežena:

Začnimo s prvo črko abecede: . Risba jasno kaže, da se pri razgradnji vektorja na osnovo uporabljajo pravkar obravnavani:
1) pravilo za množenje vektorja s številom: in ;
2) seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika: .

Sedaj miselno narišite vektor iz katere koli druge točke na ravnini. Povsem očitno je, da mu bo njegov propad »neusmiljeno sledil«. Tukaj je svoboda vektorja - vektor »vse nosi s seboj«. Ta lastnost seveda velja za vsak vektor. Smešno je, da samih baznih (prostih) vektorjev ni treba izrisati iz izhodišča, enega lahko narišemo npr. levo spodaj, drugega desno zgoraj, pa se ne bo nič spremenilo! Res je, da vam tega ni treba storiti, saj bo tudi učitelj pokazal izvirnost in vam na nepričakovanem mestu narisal "kredit".

Vektorji natančno ponazarjajo pravilo množenja vektorja s številom, vektor je sosmeren z osnovnim vektorjem, vektor je usmerjen nasproti osnovnega vektorja. Za te vektorje je ena od koordinat enaka nič; to lahko natančno zapišete takole:


In bazni vektorji, mimogrede, so takšni: (pravzaprav so izraženi skozi sebe).

In končno: , . Mimogrede, kaj je vektorsko odštevanje in zakaj nisem govoril o pravilu odštevanja? Nekje v linearni algebri, ne spomnim se kje, sem opazil, da je odštevanje poseben primer dodatek. Tako razširitve vektorjev "de" in "e" enostavno zapišemo kot vsoto: , . Prerazporedite člene in na risbi poglejte, kako dobro staro dobro seštevanje vektorjev po pravilu trikotnika deluje v teh situacijah.

Obravnavana razgradnja forme včasih imenovana vektorska dekompozicija v sistemu ort(tj. v sistemu enotskih vektorjev). Vendar to ni edini način za pisanje vektorja; pogosta je naslednja možnost:

Ali z enačajom:

Bazični vektorji so zapisani takole: in

To pomeni, da so koordinate vektorja navedene v oklepajih. Pri praktičnih nalogah se uporabljajo vse tri možnosti zapisa.

Dvomil sem, ali naj govorim, a bom vseeno rekel: vektorskih koordinat ni mogoče preurediti. Strogo na prvem mestu zapišite ustrezno koordinato enotski vektor , strogo na drugem mestu zapišemo koordinato, ki ustreza enotskemu vektorju. Dejansko in sta dva različna vektorja.

Na letalu smo ugotovili koordinate. Zdaj pa poglejmo vektorje v tridimenzionalnem prostoru, tukaj je skoraj vse enako! Dodal bo samo še eno koordinato. Težko je narediti tridimenzionalne risbe, zato se bom omejil na en vektor, ki ga bom zaradi enostavnosti pustil ob strani od izvora:

Kaj 3D vesoljski vektor edina pot razširiti na ortonormirano osnovo:
, kjer so koordinate vektorja (števila) v tej osnovi.

Primer iz slike: . Poglejmo, kako tukaj delujejo vektorska pravila. Najprej pomnožimo vektor s številom: (rdeča puščica), (zelena puščica) in (malinasta puščica). Drugič, tukaj je primer dodajanja več, v tem primeru treh vektorjev: . Vsota vektorja se začne na začetni točki izhodišča (začetek vektorja) in konča na končni točki prihoda (konec vektorja).

Vsi vektorji tridimenzionalnega prostora so seveda tudi prosti; poskusite miselno odložiti vektor s katere koli druge točke in razumeli boste, da bo njegova razgradnja "ostala z njim."

Podobno kot pri ploščatem primeru, poleg pisanja različice z oklepaji se pogosto uporabljajo: bodisi .

Če v razširitvi manjka eden (ali dva) koordinatna vektorja, se na njihovo mesto postavijo ničle. Primeri:
vektor (natančno ) – pišimo ;
vektor (natančno ) – pišimo ;
vektor (natančno ) – napišimo.

Bazični vektorji so zapisani na naslednji način:

To je morda vse minimalno teoretično znanje, potrebno za reševanje problemov analitične geometrije. Izrazov in definicij je lahko veliko, zato priporočam, da telebani ponovno preberejo in razumejo te informacije ponovno. In za vsakega bralca bo koristno, da se občasno obrne na osnovno lekcijo, da bi bolje usvojil gradivo. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormirana baza, vektorska dekompozicija - ti in drugi pojmi se bodo v prihodnosti pogosto uporabljali. Opozarjam, da gradivo na spletnem mestu ni dovolj za opravljanje teoretičnega izpita ali kolokvija iz geometrije, saj skrbno šifriram vse izreke (in brez dokazov) - v škodo znanstveni slog predstavitev, ampak plus vašemu razumevanju teme. Če želite prejeti podrobne teoretične informacije, se priklonite profesorju Atanasyanu.

In prehajamo na praktični del:

Najenostavnejši problemi analitične geometrije.
Dejanja z vektorji v koordinatah

Zelo priporočljivo je, da se naučite reševati naloge, ki se bodo obravnavale popolnoma samodejno, in formule zapomni si, niti si ga ni treba namerno zapomniti, sami si ga bodo zapomnili =) To je zelo pomembno, saj drugi problemi analitične geometrije temeljijo na najpreprostejših elementarnih primerih in bo nadležno porabiti dodaten čas za žrenje kmetov . Ni vam treba zapenjati zgornjih gumbov na srajci, marsikaj vam je znano iz šole.

Predstavitev gradiva bo potekala vzporedno - tako za letalo kot za vesolje. Iz razloga, ker vse formule... se boste prepričali sami.

Kako najti vektor iz dveh točk?

Če sta podani dve točki ravnine in , ima vektor naslednje koordinate:

Če sta podani dve točki v prostoru in , ima vektor naslednje koordinate:

to je iz koordinat konca vektorja morate odšteti ustrezne koordinate začetek vektorja.

Vaja: Za iste točke zapišite formule za iskanje koordinat vektorja. Formule na koncu lekcije.

Primer 1

Glede na dve točki ravnine in . Poiščite vektorske koordinate

rešitev: po ustrezni formuli:

Namesto tega bi lahko uporabili naslednji vnos:

O tem se bodo odločili esteti:

Osebno sem navajen na prvo različico posnetka.

odgovor:

V skladu s pogojem ni bilo potrebno sestaviti risbe (kar je značilno za probleme analitične geometrije), a da bi razjasnil nekatere točke za lutke, ne bom len:

Vsekakor morate razumeti razlika med koordinatami točke in vektorskimi koordinatami:

Koordinate točk– to so navadne koordinate v pravokotnem koordinatnem sistemu. Postavite točke koordinatna ravnina Mislim, da lahko vsak od 5. do 6. razreda. Vsaka točka ima strogo določeno mesto na ravnini in jih ni mogoče nikamor premakniti.

Koordinate vektorja– to je njegova širitev glede na osnovo, v tem primeru. Vsak vektor je prost, zato ga lahko, če je potrebno, enostavno odmaknemo od katere druge točke v ravnini. Zanimivo je, da za vektorje sploh ni treba zgraditi osi ali pravokotnega koordinatnega sistema, potrebujete le osnovo, v tem primeru ortonormirano osnovo ravnine.

Zapisi koordinat točk in koordinat vektorjev se zdijo podobni: , in pomen koordinat absolutno drugačen, in te razlike bi se morali dobro zavedati. Ta razlika seveda velja tudi za prostor.

Dame in gospodje, napolnimo roke:

Primer 2

a) Podane so točke in . Poišči vektorje in .
b) Točke so podane In . Poišči vektorje in .
c) Podane so točke in . Poišči vektorje in .
d) Točke so podane. Poiščite vektorje .

Morda je to dovolj. To so primeri, za katere se odločite sami, poskusite jih ne zanemariti, obrestovalo se bo ;-). Ni potrebe po risbah. Rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Kaj je pomembno pri reševanju nalog analitične geometrije? Pomembno je, da ste IZJEMNO PREVIDNI, da se izognete mojstrski napaki "dva plus dva je enako nič". Se takoj opravičujem, če sem se kje zmotil =)

Kako najti dolžino segmenta?

Dolžina je, kot smo že omenili, označena z znakom modula.

Če sta podani dve točki ravnine in , potem lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Če sta podani dve točki v prostoru in , lahko dolžino segmenta izračunamo s formulo

Opomba: Formule bodo ostale pravilne, če bodo ustrezne koordinate zamenjane: in , vendar je prva možnost bolj standardna

Primer 3

rešitev: po ustrezni formuli:

odgovor:

Zaradi jasnosti bom naredil risbo

Odsek črte - to ni vektor, in seveda ga ne morete nikamor premakniti. Poleg tega, če rišete v merilu: 1 enota. = 1 cm (dve celici zvezka), potem lahko dobljeni odgovor preverite z navadnim ravnilom z neposrednim merjenjem dolžine segmenta.

Da, rešitev je kratka, vendar jih je še nekaj v njej pomembne točke da bi rad pojasnil:

Najprej v odgovor vnesemo dimenzijo: »enote«. Pogoj ne pove, KAJ je to, milimetre, centimetre, metre ali kilometre. Zato bi bila matematično pravilna rešitev splošna formulacija: "enote" - skrajšano kot "enote".

Drugič, ponovimo šolsko snov, ki je uporabna ne le za obravnavano nalogo:

Bodi pozoren na pomembna tehnika – odstranitev množitelja izpod korena. Kot rezultat izračunov imamo rezultat in dober matematični slog vključuje odstranitev faktorja izpod korena (če je mogoče). Podrobneje je postopek videti takole: . Seveda ne bi bilo napak, če bi pustili odgovor tak, kot je - vsekakor pa bi bil to pomanjkljivost in tehten argument za prepir s strani učitelja.

Tu so še drugi pogosti primeri:

Pogosto je dovolj že v korenu velika številka, Na primer. Kaj storiti v takih primerih? S pomočjo kalkulatorja preverimo, ali je število deljivo s 4: . Da, bilo je popolnoma razdeljeno, tako: . Ali pa se mogoče število spet deli s 4? . Torej: . Zadnja številka števila je liha, zato tretjič deljenje s 4 očitno ne bo delovalo. Poskusimo deliti z devet: . Kot rezultat:
pripravljena

Zaključek:če pod korenom dobimo število, ki ga ni mogoče izluščiti kot celoto, potem poskušamo faktor odstraniti izpod korena - s kalkulatorjem preverimo, ali je število deljivo s: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.

Med odločanjem razne naloge koreni so pogosti, vedno poskušajte izluščiti dejavnike izpod korena, da se izognete nižji oceni in nepotrebnim težavam pri dokončanju rešitev na podlagi komentarjev učitelja.

Ponovimo tudi kvadriranje korenov in druge potence:

Pravila za dejanja z diplomami v splošni pogled lahko najdete v šolskem učbeniku algebre, vendar mislim, da je iz navedenih primerov že vse ali skoraj vse jasno.

Naloga za samostojno rešitev z odsekom v prostoru:

Primer 4

Podane so točke in . Poišči dolžino odseka.

Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

Kako najti dolžino vektorja?

Če je podan ravninski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli.

Če je podan prostorski vektor, se njegova dolžina izračuna po formuli .

Opredelitev Urejena zbirka (x 1 , x 2 , ... , x n) n realnih števil se imenuje n-razsežni vektor, in števila x i (i = ) - komponente, oz koordinate,

Primer. Če mora na primer neka avtomobilska tovarna proizvesti 50 avtomobilov, 100 tovornjakov, 10 avtobusov, 50 kompletov rezervnih delov za avtomobile in 150 kompletov za tovorna vozila in avtobuse na izmeno, potem lahko proizvodni program te tovarne zapišemo kot vektor (50, 100, 10, 50, 150), ki ima pet komponent.

Notacija. Vektorji so označeni s krepkimi malimi črkami ali črkami s prečko ali puščico na vrhu, npr. a oz. Dva vektorja se imenujeta enaka, če imata enako število komponent in sta njuni pripadajoči komponenti enaki.

Vektorskih komponent ni mogoče zamenjati, na primer (3, 2, 5, 0, 1) in (2, 3, 5, 0, 1) različni vektorji.
Operacije na vektorjih. Delo x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) z realnim številomλ imenujemo vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Znesekx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) in l= (y 1 , y 2 , ... ,y n) imenujemo vektor x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ..., x n + + y n).

Vektorski prostor. n -dimenzionalni vektorski prostor R n je definiran kot množica vseh n-dimenzionalnih vektorjev, za katere sta definirani operaciji množenja z realnimi števili in seštevanja.

Ekonomska ilustracija. Ekonomska ilustracija n-dimenzionalnega vektorskega prostora: prostor blaga (blaga). Spodaj blaga razumeli bomo blago ali storitev, ki gre v prodajo ob določenem času na določenem mestu. Recimo, da obstaja končno število n razpoložljivih dobrin; količine vsakega od njih, ki jih kupi potrošnik, so označene z nizom blaga

x= (x 1, x 2, ..., x n),

kjer x i označuje količino i-te dobrine, ki jo kupi potrošnik. Predpostavili bomo, da ima vse blago lastnost poljubne deljivosti, tako da je mogoče kupiti vsako nenegativno količino vsakega od njih. Potem so vse možne množice blaga vektorji prostora blaga C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Linearna neodvisnost. Sistem e 1 , e 2 , ... , e imenujemo m n-razsežne vektorje linearno odvisen, če obstajajo takšne številkeλ 1 , λ 2 , ... , λ m , od katerih je vsaj ena različna od nič, tako da velja enakostλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; drugače se ta sistem vektorjev imenuje linearno neodvisen, to pomeni, da je navedena enakost možna le v primeru, ko so vsi . Geometrijski pomen linearne odvisnosti vektorjev v R 3, interpretirani kot usmerjeni segmenti, razložite naslednje izreke.

1. izrek. Sistem, sestavljen iz enega vektorja, je linearno odvisen, če in samo če je ta vektor nič.

2. izrek. Da sta dva vektorja linearno odvisna, je nujno in dovolj, da sta kolinearna (vzporedna).

Izrek 3 . Da so trije vektorji linearno odvisni, je nujno in dovolj, da so komplanarni (ležijo v isti ravnini).

Levi in ​​desni trojček vektorjev. Trojka nekoplanarnih vektorjev a, b, c klical prav, če opazovalec od njih skupni začetek prečkanje koncev vektorjev a, b, c v danem vrstnem redu se zdi, da se zgodi v smeri urinega kazalca. V nasprotnem primeru a, b, c -levo tri. Imenujejo se vse desne (ali leve) trojke vektorjev enako usmerjeno.

Osnova in koordinate. Trojka e 1, e 2 , e 3 nekoplanarni vektorji v R 3 se imenuje osnova, in sami vektorji e 1, e 2 , e 3 - osnovni. Kateri koli vektor a je mogoče enolično razširiti v bazne vektorje, to je predstaviti v obliki

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

imenujemo števila x 1 , x 2 , x 3 v razširitvi (1.1). koordinatea v osnovi e 1, e 2 , e 3 in so označeni a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormirana osnova. Če vektorji e 1, e 2 , e 3 so po paru pravokotne in je dolžina vsakega od njih enaka ena, potem se osnova imenuje ortonormalno, in koordinate x 1 , x 2 , x 3 - pravokotne. Bazične vektorje ortonormirane baze bomo označili z i, j, k.

Predpostavili bomo, da v vesolju R 3 izbran je desni sistem kartezičnih pravokotnih koordinat (0, i, j, k}.

Vektorska umetnina. Vektorska umetnina A v vektor b imenujemo vektor c, ki je določen z naslednjimi tremi pogoji:

1. Dolžina vektorja c numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a in b, tj.
c= |a||b| greh( a^b).

2. Vektor c pravokotno na vsakega od vektorjev a in b.

3. Vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desno trojko.

Za navzkrižni izdelek c uvedena je oznaka c =[ab] oz
c = a × b.

Če vektorji a in b so kolinearni, potem sin( a^b) = 0 in [ ab] = 0, zlasti [ aa] = 0. Vektorski produkti enotskih vektorjev: [ ij]=k, [jk] = jaz, [ki]=j.

Če vektorji a in b določeno v osnovi i, j, k koordinate a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), potem

Mešano delo. Če je vektorski produkt dveh vektorjev A in b skalarno pomnoženo s tretjim vektorjem c, potem se tak produkt treh vektorjev imenuje mešano delo in je označen s simbolom a b c.

Če vektorji a, b in c v osnovi i, j, k podane z njihovimi koordinatami
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), potem

.

Mešani produkt ima preprosto geometrijsko interpretacijo - je skalar, glede na absolutna vrednost enaka prostornini paralelepipeda, zgrajenega na teh treh vektorjih.

Če vektorji tvorijo desno trojko, potem njihovi mešano delo obstaja pozitivno število, ki je enako določenemu volumnu; če je trojka a, b, c - levo, torej a b c<0 и V = - a b c, torej V =|a b c|.

Predpostavlja se, da so koordinate vektorjev, na katere naletimo v problemih prvega poglavja, podane glede na desno ortonormirano bazo. Enotski vektor sosmeren z vektorjem A, označen s simbolom A O. Simbol r=OM označena z radij vektorjem točke M, simboli a, AB oz|a|, | AB|označeni so moduli vektorjev A in AB.

Primer 1.2. Poiščite kot med vektorjema a= 2m+4n in b= m-n, Kje m in n- enotski vektorji in kot med njimi m in n enako 120 o.

rešitev. Imamo: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, kar pomeni a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, kar pomeni b = . Končno imamo: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Primer 1.3.Poznavanje vektorjev AB(-3, -2,6) in B.C.(-2,4,4),izračunaj dolžino višine AD trikotnika ABC.

rešitev. Če območje trikotnika ABC označimo s S, dobimo:
S = 1/2 pr. Kr. Potem AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, kar pomeni vektor A.C. ima koordinate
. .

Primer 1.4 . Podana sta dva vektorja a(11,10,2) in b(4,0,3). Poiščite enotski vektor c, pravokoten na vektorje a in b in usmerjena tako, da je urejena trojka vektorjev a, b, c je imel prav.

rešitev.Označimo koordinate vektorja c glede na dano pravo ortonormirano osnovo glede na x, y, z.

Zaradi c ⊥ a, c ⊥b, To ca= 0,cb= 0. V skladu s pogoji problema je zahtevano, da je c = 1 in a b c >0.

Imamo sistem enačb za iskanje x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Iz prve in druge enačbe sistema dobimo z = -4/3 x, y = -5/6 x. Če nadomestimo y in z v tretjo enačbo, dobimo: x 2 = 36/125, od koder
x =± . Uporaba pogoja a b c > 0, dobimo neenakost

Ob upoštevanju izrazov za z in y prepišemo nastalo neenakost v obliki: 625/6 x > 0, kar pomeni, da je x>0. Torej, x = , y = - , z =- .

7.1. Opredelitev navzkrižnega produkta

Trije nekoplanarni vektorji a, b in c, vzeti v navedenem vrstnem redu, tvorijo desnosučni trojček, če je s konca tretjega vektorja c najkrajši obrat od prvega vektorja a do drugega vektorja b viden biti v nasprotni smeri urinega kazalca in levosučni trojček, če je v smeri urinega kazalca (glej sliko 16).

Vektorski produkt vektorja a in vektorja b imenujemo vektor c, ki:

1. Pravokotno na vektorja a in b, tj. c ^ a in c ^ b ;

2. Ima dolžino, ki je numerično enaka površini paralelograma, zgrajenega na vektorjih a inb kot na straneh (glej sliko 17), tj.

3. Vektorji a, b in c tvorijo desnosučno trojko.

Navzkrižni produkt je označen z a x b ali [a,b]. Naslednji odnosi med enotskimi vektorji i neposredno izhajajo iz definicije vektorskega produkta, j in k(glej sliko 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo npr i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, vendar | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektorji i, j in k tvorijo desno trojko (glej sliko 16).

7.2. Lastnosti navzkrižnega produkta

1. Pri preurejanju faktorjev vektorski produkt spremeni predznak, tj. in xb =(b xa) (glej sliko 19).

Vektorja a xb in b xa sta kolinearna, imata enake module (ploščina paralelograma ostane nespremenjena), vendar sta nasprotno usmerjena (trojke a, b, a xb in a, b, b x a nasprotne orientacije). To je axb = -(b xa).

2. Vektorski produkt ima kombinirano lastnost glede na skalarni faktor, tj. l ​​(a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Naj bo l >0. Vektor l (a xb) je pravokoten na vektorja a in b. Vektor ( l a)x b je tudi pravokotna na vektorja a in b(vektorji a, l vendar ležijo v isti ravnini). To pomeni, da vektorji l(a xb) in ( l a)x b kolinearni. Očitno je, da se njihove smeri ujemajo. Imajo enako dolžino:

Zato l(a xb)= l a xb. Na podoben način je dokazano za l<0.

3. Dva neničelna vektorja a in b so kolinearne, če in samo če je njihov vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, tj. a ||b<=>in xb =0.

Zlasti i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorski produkt ima lastnost porazdelitve:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Sprejeli bomo brez dokazov.

7.3. Izražanje navzkrižnega produkta s koordinatami

Uporabili bomo tabelo navzkrižnega produkta vektorjev i, j in k:

če smer najkrajše poti od prvega vektorja do drugega sovpada s smerjo puščice, je produkt enak tretjemu vektorju; če ne sovpada, se tretji vektor vzame z znakom minus.

Naj sta podana vektorja a =a x i +a y j+a z k in b =b x jaz+b l j+b z k. Poiščimo vektorski produkt teh vektorjev tako, da jih pomnožimo kot polinome (glede na lastnosti vektorskega produkta):

Nastalo formulo lahko zapišemo še bolj na kratko:

saj desna stran enačbe (7.1) ustreza razširitvi determinante tretjega reda glede na elemente prve vrstice Enakost (7.2) si je lahko zapomniti.

7.4. Nekatere uporabe navzkrižnega produkta

Ugotavljanje kolinearnosti vektorjev

Iskanje ploščine paralelograma in trikotnika

Po definiciji vektorskega produkta vektorjev A in b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S parov = |a x b |. In zato je D S =1/2|a x b |.

Določanje momenta sile na točko

Naj na točko A deluje sila F = AB naj gre O- neka točka v prostoru (glej sliko 20).

Iz fizike je znano, da moment sile F glede na točko O imenujemo vektor M, ki poteka skozi točko O in:

1) pravokotno na ravnino, ki poteka skozi točke O, A, B;

2) številčno enak produktu sile na roko

3) tvori desno trojko z vektorjema OA in A B.

Zato je M = OA x F.

Iskanje linearne hitrosti vrtenja

Hitrost v točka M togega telesa, ki se vrti s kotno hitrostjo w okoli fiksne osi, je določena z Eulerjevo formulo v =w xr, kjer je r =OM, kjer je O neka fiksna točka osi (glej sliko 21).

V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: vektorski produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Ni kaj, včasih se zgodi, da za popolno srečo, poleg skalarni produkt vektorjev, potrebnih je vedno več. To je vektorska odvisnost. Morda se zdi, da smo zašli v džunglo analitične geometrije. To je narobe. V tem delu višje matematike je na splošno malo lesa, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo običajen in preprost - komajda bolj zapleten kot enak skalarni produkt, tipičnih nalog bo še manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot bodo mnogi prepričani ali so se že prepričali, je, da se NE ZMOTI PRI IZRAČUNAH. Ponavljajte kot urok in srečni boste =)

Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, ni pomembno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami; poskušal sem zbrati čim bolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktičnem delu

Kaj vas bo takoj osrečilo? Ko sem bil majhen, sem znal žonglirati z dvema in celo tremi žogami. Dobro se je izšlo. Zdaj vam sploh ne bo treba žonglirati, saj bomo razmislili le prostorski vektorji, ploski vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. Zakaj? Tako so se rodile te akcije - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Je že lažje!

Ta operacija, tako kot skalarni produkt, vključuje dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.

Sama akcija označen z na naslednji način: . Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navajen vektorski produkt vektorjev označevati na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.

In to takoj vprašanje: če v skalarni produkt vektorjev sta vključena dva vektorja in tukaj sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Očitna razlika je najprej v REZULTATU:

Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILO:

Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , to pomeni, da vektorje pomnožimo in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod izvira ime operacije. V različni izobraževalni literaturi se lahko poimenovanja tudi razlikujejo; uporabil bom črko.

Opredelitev navzkrižnega produkta

Najprej bo definicija s sliko, nato komentarji.

Opredelitev: Vektorski izdelek nekolinearni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, imenovan VEKTOR, dolžina kar je številčno enaka površini paralelograma, zgrajen na teh vektorjih; vektor pravokoten na vektorje, in je usmerjena tako, da je osnova pravilno usmerjena:

Razčlenimo definicijo po delih, tukaj je veliko zanimivih stvari!

Torej je mogoče poudariti naslednje pomembne točke:

1) Izvirni vektorji, označeni z rdečimi puščicami, po definiciji ni kolinearna. Primer kolinearnih vektorjev bo primerno obravnavati nekoliko kasneje.

2) Vektorji so vzeti v strogo določenem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" z "a". Rezultat vektorskega množenja je VEKTOR, ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in nasprotne smeri (barva maline). To pomeni, da je enakost resnična .

3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatnega vektorja) je številčno enaka PLOŠČINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram črno osenčen.

Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina vektorskega produkta ni enaka površini paralelograma.

Spomnimo se ene od geometrijskih formul: Ploščina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:

Poudarjam, da formula govori o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kakšen je praktični pomen? In pomen je, da se v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najde s konceptom vektorskega izdelka:

Pridobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga deli na dva enaka trikotnika. Zato je območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), mogoče najti s formulo:

4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor pravokoten na vektorja, tj . Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (malinasta puščica) pravokoten na prvotne vektorje.

5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacija. V lekciji o prehod na novo osnovo Govoril sem dovolj podrobno o ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kaj je vesoljska orientacija. Razložil vam bom na prste desna roka. Mentalno kombinirajte kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite na dlan. Kot rezultat palec– vektorski produkt bo pogledal navzgor. To je desno usmerjena osnova (to je ta na sliki). Zdaj spremenite vektorje ( kazalec in sredinec) na nekaterih mestih, posledično se bo palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: katera osnova ima levo orientacijo? "Dodeli" istim prstom leva roka vektorje ter pridobimo levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Figurativno povedano, te baze "sukajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli obravnavati kot nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, orientacijo prostora spremeni najbolj običajno ogledalo, in če "izvlečete odsevni predmet iz ogledala", potem v splošnem primeru ne bo mogoče kombinirati z "originalom". Mimogrede, drži tri prste do ogledala in analiziraj odsev ;-)

... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno baze, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi usmeritve strašljive =)

Navzkrižni produkt kolinearnih vektorjev

Definicija je bila podrobno obravnavana, treba je ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Območje takega, kot pravijo matematiki, degeneriran paralelogram je enak nič. Enako izhaja iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina enaka nič

Torej, če , potem . Strogo gledano je sam vektorski produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in piše, da je preprosto enak nič.

Poseben primer je navzkrižni produkt vektorja s samim seboj:

Z vektorskim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim bomo analizirali tudi ta problem.

Za rešitev praktičnih primerov boste morda potrebovali trigonometrična tabela da bi iz njega našli vrednosti sinusov.

No, prižgimo ogenj:

Primer 1

a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če

b) Poiščite ploščino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namerno sem naredil enake začetne podatke v stavkih. Ker bo zasnova rešitev drugačna!

a) Glede na pogoj, morate najti dolžina vektor (navzkrižni produkt). Po ustrezni formuli:

Odgovori:

Če ste bili vprašani o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.

b) Glede na pogoj morate najti kvadrat paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini vektorskega produkta:

Odgovori:

Upoštevajte, da odgovor sploh ne govori o vektorskem produktu, o katerem so nas vprašali območje figure, zato so dimenzije kvadratne enote.

Vedno pogledamo, KAJ moramo najti glede na stanje, in na podlagi tega oblikujemo jasno odgovor. Morda se zdi dobesednost, vendar je med učitelji veliko dobesednikov in naloga ima dobre možnosti, da jo vrnejo v popravek. Čeprav ne gre za posebno nategnjeno zadrego – če je odgovor napačen, potem dobimo vtis, da oseba ne razume preprostih stvari in/ali ni razumela bistva naloge. To točko je treba vedno imeti pod nadzorom pri reševanju katerega koli problema v višji matematiki in tudi pri drugih predmetih.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi ga lahko še dodatno priložili rešitvi, vendar zaradi skrajšanja vnosa tega nisem naredil. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka za isto stvar.

Priljubljen primer rešitve DIY:

Primer 2

Poiščite območje trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije.

V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotniki vas lahko nasploh mučijo.

Za reševanje drugih težav bomo potrebovali:

Lastnosti vektorskega produkta vektorjev

Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil v ta seznam.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) V drugih virih informacij ta element običajno ni poudarjen v lastnostih, vendar je v praksi zelo pomemben. Pa naj bo.

2) – lastnost je tudi obravnavana zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.

3) – asociativne oz asociativno zakoni o vektorskem produktu. Konstante je mogoče preprosto premakniti izven vektorskega produkta. Saj res, kaj naj počnejo tam?

4) – distribucija oz razdelilni zakoni o vektorskem produktu. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.

Za dokaz si oglejmo kratek primer:

Primer 3

Poiščite, če

rešitev: Pogoj spet zahteva iskanje dolžine vektorskega produkta. Pobarvajmo našo miniaturo:

(1) V skladu z asociativnimi zakoni jemljemo konstante izven obsega vektorskega produkta.

(2) Konstanto vzamemo izven modula in modul "poje" znak minus. Dolžina ne more biti negativna.

(3) Ostalo je jasno.

Odgovori:

Čas je, da dodamo še drva na ogenj:

Primer 4

Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

rešitev: Poiščite površino trikotnika s formulo . Ulov je v tem, da sta vektorja "tse" in "de" sama predstavljena kot vsota vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije Točkovni produkt vektorjev. Zaradi jasnosti bomo rešitev razdelili na tri stopnje:

1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazimo vektor z vektorjem. O dolžinah še ni govora!

(1) Zamenjajte izraze vektorjev.

(2) S pomočjo distribucijskih zakonov odpremo oklepaje po pravilu množenja polinomov.

(3) Z uporabo asociativnih zakonov premaknemo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj lahko 2. in 3. korak izvedete hkrati.

(4) Prvi in ​​zadnji člen sta zaradi lepe lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem členu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:

(5) Predstavljamo podobne pogoje.

Kot rezultat se je izkazalo, da je vektor izražen z vektorjem, kar je bilo potrebno doseči:

2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno 3. primeru:

3) Poiščite območje zahtevanega trikotnika:

Faze 2-3 rešitve bi lahko zapisali v eno vrstico.

Odgovori:

Obravnavana težava je precej pogosta v testih, tukaj je primer, kako jo rešiti sami:

Primer 5

Poiščite, če

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako pozorni ste bili pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)

Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah

, določeno v ortonormirani osnovi, izraženo s formulo:

Formula je res enostavna: v zgornjo vrstico determinante zapišemo koordinatne vektorje, v drugo in tretjo vrstico »vstavimo« koordinate vektorjev in vnesemo v strogem redu– najprej koordinate vektorja »ve«, nato koordinate vektorja »double-ve«. Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba vrstice zamenjati:

Primer 10

Preverite, ali so naslednji prostorski vektorji kolinearni:
A)
b)

rešitev: Preverjanje temelji na eni od izjav v tej lekciji: če sta vektorja kolinearna, potem je njihov vektorski produkt enak nič (ničelni vektor): .

a) Poiščite vektorski produkt:

Vektorji torej niso kolinearni.

b) Poiščite vektorski produkt:

Odgovori: a) ni kolinearna, b)

Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.

Ta del ne bo zelo velik, saj je malo problemov, kjer se uporablja mešani produkt vektorjev. Pravzaprav bo vse odvisno od definicije, geometrijskega pomena in nekaj delovnih formul.

Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorjev:

Tako so se postavili v vrsto kot vlak in komaj čakajo, da jih identificirajo.

Najprej spet definicija in slika:

Opredelitev: Mešano delo nekoplanarni vektorji, posneti v tem vrstnem redu, poklical volumen paralelopipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "–", če je osnova leva.

Naredimo risanje. Nam nevidne črte so narisane s pikčastimi črtami:

Poglobimo se v definicijo:

2) Vektorji so vzeti v določenem vrstnem redu, to je prerazporeditev vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne poteka brez posledic.

3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je lahko zasnova nekoliko drugačna, mešani izdelek sem navajen označevati z , rezultat izračunov pa s črko "pe".

A-prednost mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajen na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako prostornini danega paralelepipeda.

Opomba : Risba je shematska.

4) Ne obremenjujmo se spet s konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .

Neposredno iz definicije sledi formula za izračun volumna paralelopipeda, zgrajenega na vektorjih.