Matematični izrazi in naloge zahtevajo veliko dodatnega znanja. NOC je eden glavnih, še posebej pogosto se uporablja v Tema se preučuje v srednji šoli in ni posebej težko razumeti snovi; oseba, ki pozna potence in tabelo množenja, ne bo imela težav pri prepoznavanju potrebnih števil in odkrivanju rezultat.

Opredelitev

Skupni večkratnik je število, ki ga lahko v celoti razdelimo na dve števili hkrati (a in b). Najpogosteje se to število dobi z množenjem prvotnih števil a in b. Število mora biti deljivo z obema številoma hkrati, brez odstopanj.

NOC je kratko ime, sprejeto za oznako, zbrano iz prvih črk.

Načini za pridobitev številke

Metoda množenja števil ni vedno primerna za iskanje LCM, veliko bolj primerna je za preprosta enomestna ali dvomestna števila. Običajno je razdelitev na faktorje; večje kot je število, več faktorjev bo.

Primer #1

Za najpreprostejši primer šole običajno uporabljajo praštevila, eno- ali dvomestna števila. Na primer, rešiti morate naslednjo nalogo, poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 7 in 3, rešitev je precej preprosta, samo ju pomnožite. Kot rezultat, obstaja številka 21, manjše številke preprosto ni.

Primer št. 2

Druga različica naloge je veliko težja. Podani sta številki 300 in 1260, iskanje LOC je obvezno. Za rešitev težave se predvidevajo naslednji ukrepi:

Razstavljanje prvega in drugega števila na enostavne faktorje. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. Prva faza je končana.

Druga stopnja vključuje delo z že pridobljenimi podatki. Vsaka od prejetih številk mora sodelovati pri izračunu končnega rezultata. Za vsak faktor je največje število pojavitev vzeto iz prvotnih števil. NOC je skupno število, zato je treba faktorje iz števil v njem ponoviti, vsakega posebej, tudi tiste, ki so prisotni v enem izvodu. Obe začetni številki vsebujeta številke 2, 3 in 5, v različne stopnje, 7 je prisoten samo v enem primeru.

Če želite izračunati končni rezultat, morate vsako število vzeti na največjo potenco, predstavljeno v enačbi. Ostane le še množenje in odgovor; če je pravilno izpolnjena, je naloga brez razlage razdeljena na dva koraka:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

To je celotna težava, če poskušate izračunati zahtevano število z množenjem, potem odgovor zagotovo ne bo pravilen, saj je 300 * 1260 = 378.000.

Pregled:

6300 / 300 = 21 - pravilno;

6300 / 1260 = 5 - pravilno.

Pravilnost dobljenega rezultata ugotavljamo s preverjanjem - deljenjem LCM z obema začetnima številkama; če je število v obeh primerih celo število, je odgovor pravilen.

Kaj pomeni NOC v matematiki?

Kot veste, v matematiki ni niti ene neuporabne funkcije, ta ni izjema. Najpogostejši namen tega števila je reduciranje ulomkov na skupni imenovalec. Kaj se običajno uči v 5.-6. razredu srednje šole. Dodatno je tudi skupni delitelj za vse večkratnike, če so taki pogoji prisotni v problemu. Tak izraz lahko najde večkratnik ne samo dveh števil, ampak tudi veliko večjega števila - tri, pet itd. kako več številk- več dejanj je v nalogi, vendar se kompleksnost ne poveča.

Na primer, glede na številke 250, 600 in 1500 morate najti njihov skupni LCM:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - ta primer podrobno opisuje faktorizacijo brez redukcije.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Za sestavo izraza je treba navesti vse faktorje, v tem primeru so podani 2, 5, 3 - za vsa ta števila je treba določiti največjo stopnjo.

Pozor: vse faktorje je treba pripeljati do popolne poenostavitve, če je le možno, dekomponirati na nivo enomestnosti.

Pregled:

1) 3000 / 250 = 12 - pravilno;

2) 3000 / 600 = 5 - drži;

3) 3000 / 1500 = 2 - pravilno.

Ta metoda ne zahteva nobenih trikov ali sposobnosti na genialni ravni, vse je preprosto in jasno.

Še en način

V matematiki je marsikaj povezano, marsikaj se da rešiti na dva ali več načinov, enako velja za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika LCM. Naslednjo metodo lahko uporabimo v primeru preprostih dvomestnih in enomestna števila. Sestavi se tabela, v katero se navpično vnese množitelj, vodoravno množitelj, zmnožek pa se navede v presekajočih se celicah stolpca. Tabelo lahko odražate s črto, vzamete številko in zapišete rezultate množenja te številke s celimi števili, od 1 do neskončnosti, včasih je dovolj 3-5 točk, druga in naslednja števila so podvržena istemu računskemu postopku. Vse se dogaja, dokler se ne najde skupni večkratnik.

Glede na številke 30, 35, 42 morate najti LCM, ki povezuje vse številke:

1) Večkratniki števila 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 itd.

2) Večkratniki števila 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 itd.

3) Večkratniki 42: 84, 126, 168, 210, 252 itd.

Opaziti je, da so vse številke precej različne, edina skupna številka med njimi je 210, torej bo NOK. Med procesi, povezanimi s tem izračunom, je tudi največji skupni delilnik, ki je izračunan po podobnih principih in ga pogosto najdemo v sosednjih problemih. Razlika je majhna, a precej pomembna, LCM vključuje izračun števila, ki je deljeno z vsemi danimi začetnimi vrednostmi, GCD pa izračun največje vrednosti, s katero so deljena prvotna števila.

Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števil. Delitelj naravnega števila a- je naravno število, ki deli dano številko a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Ta števila so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b- to je število, s katerim sta obe dani števili deljeni brez ostanka a in b.

Skupni večkratniki več števil je število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi mnogokratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je to 90. To število imenujemo najmanjšiskupni večkratnik (CMM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če sta in soprosti števili, potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov LCM( m, n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.

Torej, Čebiševljeva funkcija. in:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).

Kaj izhaja iz distribucijskega zakona praštevila.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo povezavo z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

Kje p 1 ,...,p k- različna praštevila in d 1 ,...,d k in e 1 ,...,e k— nenegativna cela števila (lahko so ničle, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato NOC ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, dekompozicija LCM vsebuje vse prafaktorje, vključene v vsaj eno od dekompozicij števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega množitelja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:

- razstavljajo števila na prafaktorje;

- prenesti največjo ekspanzijo (zmnožek faktorjev želenega produkta) v faktorje želenega produkta veliko število od danih), nato pa dodamo faktorje iz razširitve drugih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali se v njem pojavljajo manjkrat;

— dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Katere koli dve ali več naravna števila imajo svoj NOC. Če številki nista večkratnika ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njun LCM enak produktu teh števil.

Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) dopolnimo s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Prafaktorje največjega števila 30 dopolnimo s faktorjem 5 števila 25, dobljeni produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. To je najmanjši možni produkt (150, 250, 300 ...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak produktu danih števil.

Pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapiši potence vseh prafaktorjev:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse glavne delitelje (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

rešitev. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapišemo največje potence vseh pradeliteljev in jih pomnožimo:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka z naslovom LCM - najmanjši skupni večkratnik, definicija, primeri, povezava med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), In Posebna pozornost Osredotočimo se na reševanje primerov. Najprej bomo pokazali, kako se LCM dveh števil izračuna z uporabo GCD teh števil. Nato si bomo ogledali iskanje najmanjšega skupnega večkratnika z razlaganjem števil na prafaktorje. Nato se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več števil, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.

Navigacija po straneh.

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek GCD

Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa povezava med LCM in GCD vam omogoča izračun najmanjšega skupnega večkratnika dveh pozitivnih celih števil z uporabo znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula je LCM(a, b)=a b:NOT(a, b) . Oglejmo si primere iskanja LCM z dano formulo.

Primer.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik dveh števil 126 in 70.

rešitev.

V tem primeru a=126 , b=70 . Uporabimo povezavo med LCM in GCD, izraženo s formulo LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). To pomeni, da moramo najprej poiskati največji skupni delitelj števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil s pomočjo zapisane formule.

Poiščimo NOD(126, 70) z evklidskim algoritmom: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, torej NOD(126, 70)=14.

Zdaj poiščemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

odgovor:

LCM(126, 70)=630.

Primer.

Čemu je enako LCM(68, 34)?

rešitev.

Ker 68 je deljivo s 34, potem je GCD(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

odgovor:

LCM(68, 34)=68.

Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b, potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a.

Iskanje LCM z razlaganjem števil na prafaktorje

Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktoriziranju števil na prafaktorje. Če sestavite produkt iz vseh prafaktorjev danih števil in nato iz tega produkta izločite vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razčlembah danih števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku danih števil .

Navedeno pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b:NOT(a, b). Zmnožek števil a in b je namreč enak zmnožku vseh faktorjev, ki sodelujejo pri razširitvi števil a in b. V zameno, gcd(a, b) enako zmnožku vsi prafaktorji, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kot je opisano v razdelku o iskanju GCD z uporabo razširitve števil na prafaktorje).

Dajmo primer. Naj vemo, da je 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Sestavimo produkt iz vseh faktorjev teh razširitev: 2·3·3·5·5·5·7 . Sedaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako v ekspanziji števila 75 kot v ekspanziji števila 210 (ta faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2·3·5·5·7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Primer.

Razložite števili 441 in 700 na prafaktorje in poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.

rešitev.

Razložimo števili 441 in 700 na prafaktorje:

Dobimo 441=3·3·7·7 in 700=2·2·5·5·7.

Sedaj pa ustvarimo produkt iz vseh dejavnikov, ki sodelujejo pri razširitvi teh števil: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Iz tega zmnožka izločimo vse faktorje, ki so hkrati prisotni v obeh razširitvah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. torej LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

odgovor:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Pravilo za iskanje LCM z uporabo faktorizacije števil na prafaktorje lahko formuliramo nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a prištejemo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost dobljenega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.

Na primer, vzemimo isti števili 75 in 210, njuni razčlembi na prafaktorje so naslednji: 75=3·5·5 in 210=2·3·5·7. Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2·3·5·5·7, katerega vrednost je enako LCM(75, 210).

Primer.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648.

rešitev.

Najprej dobimo razčlenitve števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta kot 84=2·2·3·7 in 648=2·2·2·3·3·3·3. Faktorjem 2, 2, 3 in 7 iz razširitve števila 84 prištejemo manjkajoče faktorje 2, 3, 3 in 3 iz razširitve števila 648, dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7, kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik 84 in 648 4.536.

odgovor:

LCM(84, 648)=4,536.

Iskanje LCM treh ali več števil

Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki nam pomaga najti LCM treh ali več števil.

Izrek.

Naj so dana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh števil najdemo z zaporednim izračunom m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Oglejmo si uporabo tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.

Primer.

Poiščite LCM štirih števil 140, 9, 54 in 250.

rešitev.

V tem primeru je a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Najprej najdemo m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Če želite to narediti, z uporabo evklidskega algoritma določimo GCD(140, 9), imamo 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, torej GCD(140, 9)=1 , od koder je GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. To je m 2 =1 260.

Zdaj najdemo m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Izračunajmo ga preko GCD(1 260, 54), ki ga prav tako določimo z evklidskim algoritmom: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Potem je gcd(1,260, 54)=18, iz česar je gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. To je m 3 =3 780.

Vse kar ostane je najti m 4 = LOC (m 3, a 4) = LOC (3 780, 250). Da bi to naredili, najdemo GCD(3,780, 250) z uporabo evklidskega algoritma: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Zato je GCM(3,780, 250)=10, od koder je GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. To je m 4 =94.500.

Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih števil 94.500.

odgovor:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

V mnogih primerih je priročno najti najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil z uporabo prafaktoriziranja danih števil. V tem primeru se morate držati naslednjega pravila. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajočim faktorjem iz razširitve drugega števila se prištejejo vsi faktorji iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve števila tretje število se doda nastalim faktorjem itd.

Oglejmo si primer iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo prafaktorizacije.

Primer.

Poiščite najmanjši skupni večkratnik petih števil 84, 6, 48, 7, 143.

rešitev.

Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11·13.

Če želite najti LCM teh števil, faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7), morate dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razgradnja števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 prisotna že v razgradnji prvega števila 84. Nato faktorjem 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo niz faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ne bo treba dodajati množiteljev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 prištejemo manjkajoča faktorja 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo produkt 2·2·2·2·3·7·11·13, kar je enako 48.048.

Toda veliko naravnih števil je deljivih tudi z drugimi naravnimi števili.

Na primer:

Število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;

Število 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.

Števila, s katerimi je število deljivo s celoto (pri 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), se imenujejo delitelji števil. Delitelj naravnega števila a- je naravno število, ki deli dano število a brez sledu. Naravno število, ki ima več kot dva delitelja, imenujemo sestavljeno .

Upoštevajte, da imata števili 12 in 36 skupne faktorje. Ta števila so: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delitelj teh števil je 12. Skupni delitelj teh dveh števil a in b- to je število, s katerim sta obe dani števili deljeni brez ostanka a in b.

Skupni večkratniki več števil je število, ki je deljivo z vsakim od teh števil. Na primer, imajo števila 9, 18 in 45 skupni večkratnik 180. Toda 90 in 360 sta tudi njuna skupna večkratnika. Med vsemi skupnimi mnogokratniki je vedno najmanjši, v tem primeru je to 90. To število imenujemo najmanjšiskupni večkratnik (CMM).

LCM je vedno naravno število, ki mora biti večje od največjega izmed števil, za katera je definirano.

Najmanjši skupni večkratnik (LCM). Lastnosti.

Komutativnost:

Asociativnost:

Zlasti, če sta in soprosti števili, potem:

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil m in n je delitelj vseh drugih skupnih mnogokratnikov m in n. Poleg tega množica skupnih večkratnikov m, n sovpada z množico večkratnikov LCM( m, n).

Asimptotiko za je mogoče izraziti v smislu nekaterih številsko-teoretičnih funkcij.

Torej, Čebiševljeva funkcija. in:

To izhaja iz definicije in lastnosti Landauove funkcije g(n).

Kaj sledi iz zakona porazdelitve praštevil.

Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).

NOC( a, b) se lahko izračuna na več načinov:

1. Če je največji skupni delitelj znan, lahko uporabite njegovo povezavo z LCM:

2. Naj je znana kanonična razgradnja obeh števil na prafaktorje:

Kje p 1 ,...,p k- različna praštevila in d 1 ,...,d k in e 1 ,...,e k— nenegativna cela števila (lahko so ničle, če ustreznega praštevila ni v razširitvi).

Nato NOC ( a,b) se izračuna po formuli:

Z drugimi besedami, dekompozicija LCM vsebuje vse prafaktorje, vključene v vsaj eno od dekompozicij števil a, b, in vzame se največji od dveh eksponentov tega množitelja.

Primer:

Izračun najmanjšega skupnega večkratnika več števil se lahko zmanjša na več zaporednih izračunov LCM dveh števil:

Pravilo.Če želite najti LCM serije števil, potrebujete:

- razstavljajo števila na prafaktorje;

- največji razpad (zmnožek faktorjev največjega števila danih) prenesemo na faktorje želenega produkta, nato pa dodamo faktorje iz razčlenitve ostalih števil, ki se ne pojavljajo v prvem številu ali se pojavljajo v njem. manjkrat;

— dobljeni produkt prafaktorjev bo LCM danih števil.

Vsaki dve ali več naravnih števil ima svoj LCM. Če številki nista večkratnika ali nimata enakih faktorjev v razširitvi, potem je njun LCM enak produktu teh števil.

Prafaktorje števila 28 (2, 2, 7) dopolnimo s faktorjem 3 (število 21), dobljeni produkt (84) bo najmanjše število, ki je deljivo z 21 in 28.

Prafaktorje največjega števila 30 dopolnimo s faktorjem 5 števila 25, dobljeni produkt 150 je večji od največjega števila 30 in je deljiv z vsemi danimi števili brez ostanka. To je najmanjši možni produkt (150, 250, 300 ...), ki je večkratnik vseh danih števil.

Števila 2,3,11,37 so praštevila, zato je njihov LCM enak produktu danih števil.

Pravilo. Če želite izračunati LCM praštevil, morate vsa ta števila pomnožiti skupaj.

Druga možnost:

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik (LCM) več števil, potrebujete:

1) predstavi vsako število kot produkt njegovih prafaktorjev, na primer:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) zapiši potence vseh prafaktorjev:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) zapišite vse glavne delitelje (množitelje) vsakega od teh števil;

4) izberite največjo stopnjo vsakega od njih, ki jo najdete v vseh razširitvah teh števil;

5) pomnožite te moči.

Primer. Poiščite LCM števil: 168, 180 in 3024.

rešitev. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Zapišemo največje potence vseh pradeliteljev in jih pomnožimo:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Kako najti LCM (najmanjši skupni večkratnik)

Skupni večkratnik dveh celih števil je celo število, ki je enakomerno deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

Najmanjši skupni večkratnik dveh celih števil je najmanjše od vseh celih števil, ki je deljivo z obema danima številoma brez ostanka.

1. metoda. LCM lahko najdete po vrsti za vsako od danih števil, tako da v naraščajočem vrstnem redu zapišete vsa števila, ki jih dobite, če jih pomnožite z 1, 2, 3, 4 itd.

Primer za številki 6 in 9.
Število 6 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 6, 12, 18 , 24, 30
Število 9 pomnožimo zaporedno z 1, 2, 3, 4, 5.
Dobimo: 9, 18 , 27, 36, 45
Kot lahko vidite, bo LCM za številki 6 in 9 enak 18.

Ta metoda je priročna, kadar sta obe števili majhni in ju je enostavno pomnožiti z zaporedjem celih števil. Vendar pa obstajajo primeri, ko morate najti LCM za dvomestna ali trimestna števila, pa tudi, ko so začetna števila tri ali celo več.

Metoda 2. LCM lahko najdete tako, da prvotna števila faktorizirate na prafaktorje.
Po razčlenjevanju je treba iz nastalega niza prafaktorjev prečrtati enaka števila. Preostale številke prvega števila bodo množitelj za drugo, preostale številke drugega pa bodo množitelj za prvo.

Primer za številki 75 in 60.
Najmanjši skupni večkratnik števil 75 in 60 lahko poiščemo, ne da bi zaporedoma zapisali večkratnike teh števil. Če želite to narediti, faktorizirajmo 75 in 60 na preproste faktorje:
75 = 3 * 5 * 5, a
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Kot lahko vidite, se faktorja 3 in 5 pojavita v obeh vrsticah. Miselno jih »prečrtamo«.
Zapišimo preostale faktorje, vključene v razširitev vsakega od teh števil. Pri razčlenjevanju števila 75 nam ostane število 5, pri razčlenjevanju števila 60 pa 2 * 2.
To pomeni, da moramo za določitev LCM za števili 75 in 60 pomnožiti preostala števila iz razširitve 75 (to je 5) s 60 in pomnožiti števila, ki ostanejo iz razširitve 60 (to je 2 * 2) s 75. To pomeni, da zaradi lažjega razumevanja rečemo, da množimo "navzkrižno".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Tako smo našli LCM za števili 60 in 75. To je število 300.

Primer. Določite NKM za števila 12, 16, 24
V tem primeru bodo naša dejanja nekoliko bolj zapletena. Toda najprej, kot vedno, faktorizirajmo vse številke
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Za pravilno določitev LCM izberemo najmanjše izmed vseh števil (to je število 12) in zaporedno preletimo njegove faktorje ter jih prečrtamo, če v vsaj eni od drugih vrstic števil naletimo na isti faktor, ki še ni prečrtano.

Korak 1 . Vidimo, da se 2 * 2 pojavlja v vseh serijah števil. Prečrtajmo jih.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Korak 2. V prafaktorjih števila 12 ostane samo število 3. Prisotno pa je v prafaktorjih števila 24. Število 3 prečrtamo iz obeh vrstic, medtem ko za število 16 ni pričakovati nobenih dejanj. .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Kot lahko vidite, smo pri razgradnji števila 12 "prečrtali" vse številke. To pomeni, da je ugotovitev LOC zaključena. Ostaja le še izračunati njegovo vrednost.
Za število 12 vzemite preostale faktorje števila 16 (naslednji v naraščajočem vrstnem redu)
12 * 2 * 2 = 48
To je NOC

Kot lahko vidite, je bilo v tem primeru iskanje LCM nekoliko težje, ko pa ga morate najti za tri ali več številk, ta metoda vam omogoča, da to storite hitreje. Vendar sta obe metodi iskanja LCM pravilni.