Pravilo za množenje preprostih ulomkov z različnimi imenovalci. Množenje ulomkov, deljenje ulomkov

V srednjih in srednjih šolah so učenci obravnavali temo »Ulomki«. Vendar je ta koncept veliko širši od tistega, kar je podano v procesu učenja. Danes se koncept ulomka srečuje precej pogosto in vsi ne morejo izračunati katerega koli izraza, na primer množenja ulomkov.

Kaj je ulomek?

Zgodovinsko gledano so ulomna števila nastala zaradi potrebe po merjenju. Kot kaže praksa, pogosto obstajajo primeri določanja dolžine segmenta in prostornine pravokotnega pravokotnika.

Učenci se najprej seznanijo s pojmom delnice. Na primer, če lubenico razdelite na 8 delov, bo vsaka oseba dobila eno osmino lubenice. Ta del osmice se imenuje delež.

Delež, ki je enak ½ katere koli vrednosti, se imenuje polovica; ⅓ - tretjina; ¼ - četrtina. Zapisi v obliki 5/8, 4/5, 2/4 se imenujejo navadni ulomki. Navadni ulomek je razdeljen na števec in imenovalec. Med njima je ulomkov trak ali ulomkov trak. Ulomljeno črto lahko narišemo kot vodoravno ali poševno črto. V tem primeru označuje znak delitve.

Imenovalec predstavlja, na koliko enakih delov je količina ali predmet razdeljen; števec pa je, koliko enakih delnic se vzame. Števec je zapisan nad ulomkovo črto, imenovalec pa pod njo.

Najbolj priročno je prikazati navadne ulomke koordinatni žarek. Če en sam segment razdelimo na 4 enake dele, vsak del označimo z latinično črko, potem je lahko rezultat odličen slikovno gradivo. Torej točka A prikazuje delež, ki je enak 1/4 celotnega segmenta enote, točka B pa 2/8 danega segmenta.

Vrste ulomkov

Ulomki so lahko navadna, decimalna in mešana števila. Poleg tega lahko ulomke razdelimo na prave in neprave. Ta razvrstitev je primernejša za navadne ulomke.

Pravi ulomek je število, katerega števec je manjši od imenovalca. V skladu s tem je nepravilni ulomek število, katerega števec je večji od imenovalca. Druga vrsta je običajno zapisana kot mešano število. Ta izraz je sestavljen iz celega in ulomka. Na primer, 1½. 1 je celo število, ½ je ulomek. Če pa morate z izrazom izvesti nekaj manipulacij (deljenje ali množenje ulomkov, njihovo zmanjševanje ali pretvorbo), se mešano število pretvori v nepravilni ulomek.

Pravilno frakcijski izraz vedno manj kot ena in nepravilna - večja ali enaka 1.

Kar zadeva ta izraz, mislimo na zapis, v katerem je predstavljeno poljubno število, katerega imenovalec izraza v ulomku je mogoče izraziti z eno z več ničlami. Če je ulomek pravilen, bo celoštevilski del v decimalnem zapisu enak nič.

Če želite zapisati decimalni ulomek, morate najprej napisati cel del, ga ločiti od ulomka z vejico in nato zapisati ulomkov izraz. Ne smemo pozabiti, da mora števec za decimalno vejico vsebovati enako število digitalnih znakov, kot je ničel v imenovalcu.

Primer. Izrazite ulomek 7 21 / 1000 v decimalnem zapisu.

Algoritem za pretvorbo nepravilnega ulomka v mešano število in obratno

V odgovoru na nalogo ni pravilno zapisati nepravilnega ulomka, zato ga je treba pretvoriti v mešano število:

• delite števec z obstoječim imenovalcem;
• v konkretnem primeru je nepopolni količnik celota;
• in ostanek je števec ulomka, imenovalec pa ostane nespremenjen.

Primer. Pretvori nepravilni ulomek v mešano število: 47/5.

rešitev. 47: 5. Delni količnik je 9, ostanek = 2. Torej, 47/5 = 9 2/5.

Včasih morate mešano število predstaviti kot nepravilen ulomek. Nato morate uporabiti naslednji algoritem:

• celoštevilski del se pomnoži z imenovalcem ulomljenega izraza;
• dobljeni produkt prištejemo k števcu;
• rezultat zapišemo v števec, imenovalec ostane nespremenjen.

Primer. Število predstavite v mešani obliki kot nepravilni ulomek: 9 8 / 10.

rešitev. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 je števec.

Odgovori: 98 / 10.

Množenje ulomkov

Na navadnih ulomkih je mogoče izvajati različne algebraične operacije. Če želite pomnožiti dve števili, morate pomnožiti števec s števcem in imenovalec z imenovalcem. Poleg tega množenje ulomkov z različne imenovalce se ne razlikuje od produkta ulomkov z enakimi imenovalci.

Zgodi se, da morate po ugotovitvi rezultata zmanjšati ulomek. IN obvezno dobljeni izraz morate čim bolj poenostaviti. Seveda ne moremo reči, da je nepravilen ulomek v odgovoru napaka, vendar je tudi temu težko reči pravilen odgovor.

Primer. Poiščite produkt dveh navadnih ulomkov: ½ in 20/18.

Kot je razvidno iz primera, po iskanju produkta dobimo reducibilni delni zapis. Tako števec kot imenovalec sta v tem primeru deljena s 4, rezultat pa je odgovor 5/9.

Množenje decimalnih ulomkov

Zmnožek decimalnih ulomkov se po principu precej razlikuje od zmnožka navadnih ulomkov. Torej je množenje ulomkov naslednje:

• dva decimalna ulomka morata biti zapisana drug pod drugim tako, da sta skrajni desni števki ena pod drugo;
• zapisana števila morate množiti kljub vejicam, torej kot naravna števila;
• prešteti število števk za decimalno vejico v vsakem številu;
• v rezultatu, dobljenem po množenju, morate od desne prešteti toliko digitalnih simbolov, kot jih vsebuje vsota v obeh faktorjih za decimalno vejico, in postaviti ločilni znak;
• če je v zmnožku manj števil, potem morate pred njimi napisati toliko ničel, da pokrijete to število, postavite vejico in prištejte cel del, ki je enak nič.

Primer. Izračunajte zmnožek dveh decimalnih ulomkov: 2,25 in 3,6.

rešitev.

Množenje mešanih ulomkov

Za izračun produkta dveh mešanih ulomkov morate uporabiti pravilo za množenje ulomkov:

• pretvarjati mešana števila v neprave ulomke;
• poiščite zmnožek števcev;
• poiščite zmnožek imenovalcev;
• zapišite rezultat;
• čim bolj poenostavite izraz.

Primer. Poiščite zmnožek 4½ in 6 2/5.

Množenje števila z ulomkom (ulomki s številom)

Poleg iskanja produkta dveh ulomkov in mešanih števil obstajajo naloge, kjer morate pomnožiti z ulomkom.

Torej, najti izdelek decimalno in naravno število, potrebujete:

• pod ulomek zapiši število tako, da so skrajne desne števke druga nad drugo;
• poišči izdelek kljub vejici;
• v dobljenem rezultatu ločite celo število od ulomka z vejico, pri čemer odštejte od desne število števk, ki se nahajajo za decimalno vejico v ulomku.

Če želite navadni ulomek pomnožiti s številom, morate najti produkt števca in naravnega faktorja. Če odgovor ustvari ulomek, ki ga je mogoče zmanjšati, ga je treba pretvoriti.

Primer. Izračunajte zmnožek 5/8 in 12.

rešitev. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Odgovori: 7 1 / 2.

Kot lahko vidite iz prejšnjega primera, je bilo treba zmanjšati dobljeni rezultat in pretvoriti napačen ulomek v mešano število.

Množenje ulomkov zadeva tudi iskanje produkta števila v mešani obliki in naravnega faktorja. Če želite pomnožiti ti dve števili, morate celoten del mešanega faktorja pomnožiti s številom, števec pomnožiti z isto vrednostjo, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Če je potrebno, morate dobljeni rezultat čim bolj poenostaviti.

Primer. Poiščite zmnožek 9 5 / 6 in 9.

rešitev. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Odgovori: 88 1 / 2.

Množenje s faktorji 10, 100, 1000 ali 0,1; 0,01; 0,001

Naslednje pravilo izhaja iz prejšnjega odstavka. Če želite decimalni ulomek pomnožiti z 10, 100, 1000, 10000 itd., morate premakniti decimalno vejico v desno za toliko števk, kolikor je ničel v faktorju za enico.

Primer 1. Poiščite zmnožek 0,065 in 1000.

rešitev. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Odgovori: 65.

Primer 2. Poiščite zmnožek 3,9 in 1000.

rešitev. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Odgovori: 3900.

Če morate pomnožiti naravno število in 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., premaknite vejico v dobljenem zmnožku v levo za toliko števk, kolikor je ničel pred ena. Po potrebi se pred naravno število zapiše zadostno število ničel.

Primer 1. Poiščite zmnožek 56 in 0,01.

rešitev. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Odgovori: 0,56.

Primer 2. Poiščite zmnožek 4 ​​in 0,001.

rešitev. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Odgovori: 0,004.

Torej iskanje produkta različnih ulomkov ne bi smelo povzročati težav, razen morda izračuna rezultata; v tem primeru brez kalkulatorja enostavno ne gre.

Vsebina lekcije

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2. Seštejte ulomke in.

Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer je zlahka razumljiv, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate še pico, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enaki imenovalci.

Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode za začetnika zdijo zapletene.

Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.

Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Seštejmo ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej LCM delite z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:

Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:

S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. IN izobraževalne ustanove Ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:

Ampak obstaja tudi Zadnja stran medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
4. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgoraj navedena navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice pa je treba postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del

Izkazalo se je, da je naš odgovor nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:

Dobili smo odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
2. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite pomen izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:

Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:

Dobili smo odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.

Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10

Dobili smo odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite pomnožiti ulomek s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.

Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzamete pico, jo dobite

Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici

In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:

En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupni delilnik(GCD) številki 105 in 450.

Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", in to je, kot vemo, enako pet:

Vzajemna števila

Zdaj se bomo seznanili z zelo zanimiva tema v matematiki. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki ga pomnožimo sa daje eno.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, ki ga pomnožimo s 5 daje eno.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, samo na glavo:

Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzno število 5 število , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.

Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemna števila vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s

Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate vedeti preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.

Množenje navadnega ulomka z ulomkom.

Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Poglejmo primer:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krat 3)(7 \krat 3) = \frac(4)(7)\\\)

Ulomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je bil zmanjšan za 3.

Množenje ulomka s številom.

Najprej se spomnimo pravila, poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Uporabimo to pravilo pri množenju.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Nepravi ulomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvorjeno v mešana frakcija.

Z drugimi besedami, Pri množenju števila z ulomkom število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo nespremenjen. primer:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Množenje mešanih ulomkov.

Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, zmnoževalec pa z imenovalcem.

primer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rdeča) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rdeča) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Množenje recipročnih ulomkov in števil.

Ulomek \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzna ulomku \(\bf \frac(b)(a)\), če je a≠0,b≠0.
Ulomka \(\bf \frac(a)(b)\) in \(\bf \frac(b)(a)\) imenujemo recipročni ulomki. Produkt recipročnih ulomkov je enak 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

primer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Povezana vprašanja:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: Zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Če želite dobiti produkt mešanih ulomkov, jih morate pretvoriti v nepravilen ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.

Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno, ali imajo ulomki enake ali različne imenovalce, množenje poteka po pravilu iskanja produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.

Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravilni ulomek in nato zmnožek poiskati po pravilih množenja.

Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo enak.

Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

rešitev:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rdeča) (5))(3 \krat \barva(rdeča) (5) \krat 13) = \frac(4)(39)\)

Primer #2:
Izračunajte zmnožke števila in ulomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

rešitev:
a) \(3 \krat \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krat \frac(17)(23) = \frac(3 \krat 17)(1 \krat 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost ulomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)

Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh medsebojno inverznih ulomkov: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

rešitev:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Primer #5:
Ali so lahko recipročni ulomki:
a) sočasno s pravimi ulomki;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) hkrati naravna števila?

rešitev:
a) za odgovor na prvo vprašanje navedimo primer. Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi, njegov obratni ulomek bo enak \(\frac(3)(2)\) - nepravi ulomek. Odgovor: ne.

b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, obstajajo pa številke, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomki. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac(3)(3)\), njegov obratni ulomek pa je enak \(\frac(3)(3)\). Dobimo dva neprava ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.

c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, …. Če vzamemo število \(3 = \frac(3)(1)\), bo njegov inverzni ulomek \(\frac(1)(3)\). Ulomek \(\frac(1)(3)\) ni naravno število. Če gremo skozi vsa števila, je recipročna vrednost števila vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njen recipročni ulomek \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: hkrati so lahko naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.

Primer #6:
Naredite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \krat 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krat 3\frac(2)(7)\ )

rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krat \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Primer #7:
Ali sta lahko dve recipročni števili hkrati mešani števili?

Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac(1)(2)\), poiščimo njegov inverzni ulomek, za to ga pretvorimo v nepravi ulomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni ulomek bo enak \(\frac(2)(3)\) . Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.

Druga operacija, ki jo lahko izvedemo z navadnimi ulomki, je množenje. Poskušali bomo razložiti njegova osnovna pravila pri reševanju nalog, pokazati, kako množimo navadni ulomek z naravnim številom in kako pravilno množimo tri navadne ulomke ali več.

Najprej zapišimo osnovno pravilo:

Definicija 1

Če pomnožimo en navadni ulomek, bo števec dobljenega ulomka enako zmnožkuštevce prvotnih ulomkov, imenovalec pa zmnožek njihovih imenovalcev. V dobesedni obliki je za dva ulomka a / b in c / d to mogoče izraziti kot a b · c d = a · c b · d.

Oglejmo si primer, kako pravilno uporabiti to pravilo. Recimo, da imamo kvadrat, katerega stranica je enaka eni numerični enoti. Potem bo površina figure 1 kvadrat. enota. Če kvadrat razdelimo na enake pravokotnike s stranicami 1 4 in 1 8 številskih enot, dobimo, da je zdaj sestavljen iz 32 pravokotnikov (ker je 8 4 = 32). V skladu s tem bo površina vsakega od njih enaka 1 32 površine celotne figure, tj. 1 32 kvadratnih metrov enote.

Imamo osenčen fragment s stranicami, ki so enake 5 8 številskim enotam in 3 4 številskim enotam. Če želite izračunati njegovo površino, morate prvi ulomek pomnožiti z drugim. To bo enako 5 8 · 3 4 kvadratnih metrov. enote. Lahko pa preprosto preštejemo, koliko pravokotnikov je vključenih v fragment: 15 jih je, kar pomeni, da je skupna površina 15 32 kvadratnih enot.

Ker je 5 3 = 15 in 8 4 = 32, lahko zapišemo naslednjo enakost:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Potrjuje pravilo, ki smo ga oblikovali za množenje navadnih ulomkov, ki je izraženo kot a b · c d = a · c b · d. Deluje enako za prave in neprave ulomke; Uporablja se lahko za množenje ulomkov z različnimi in enakimi imenovalci.

Oglejmo si rešitve več problemov, ki vključujejo množenje navadnih ulomkov.

Primer 1

Pomnožite 7 11 z 9 8.

rešitev

Najprej izračunajmo produkt števcev navedenih ulomkov tako, da pomnožimo 7 z 9. Imamo 63. Nato izračunamo zmnožek imenovalcev in dobimo: 11 · 8 = 88. Sestavimo dve števili in odgovor je: 63 88.

Celotno rešitev lahko zapišemo takole:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Če v odgovoru dobimo zmanjšljiv ulomek, moramo dokončati izračun in izvesti njegovo zmanjševanje. Če dobimo nepravilen ulomek, moramo iz njega izločiti cel del.

Primer 2

Izračunajte zmnožek ulomkov 4 15 in 55 6 .

rešitev

V skladu z zgoraj preučenim pravilom moramo števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem. Zapis rešitve bo videti takole:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Dobili smo zmanjšljivi ulomek, tj. ki je deljivo z 10.

Zmanjšajmo ulomek: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220 : 10 90 : 10 = 22 9. Kot rezultat smo dobili nepravilni ulomek, iz katerega izberemo cel del in dobimo mešano število: 22 9 = 2 4 9.

odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Za lažje računanje lahko izvorne ulomke pred izvedbo operacije množenja tudi skrčimo, za kar moramo ulomek reducirati na obliko a · c b · d. Razčlenimo vrednosti spremenljivk na preproste faktorje in zmanjšamo iste.

Razložimo, kako je to videti z uporabo podatkov iz določene naloge.

Primer 3

Izračunaj zmnožek 4 ​​15 55 6.

rešitev

Zapišimo račune po pravilu množenja. Dobili bomo:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Ker je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 in 6 = 2 3, potem je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Številski izraz, v katerem poteka množenje navadnih ulomkov, ima komutativno lastnost, to pomeni, da lahko po potrebi spremenimo vrstni red faktorjev:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kako pomnožiti ulomek z naravnim številom

Takoj zapišimo osnovno pravilo, nato pa ga poskusimo razložiti v praksi.

Definicija 2

Če želite navadni ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom. V tem primeru bo imenovalec končnega ulomka enak imenovalcu prvotnega navadnega ulomka. Množenje določenega ulomka a b z naravnim številom n lahko zapišemo kot formulo a b · n = a · n b.

To formulo je enostavno razumeti, če se spomnite, da je vsako naravno število mogoče predstaviti kot navaden ulomek z imenovalcem enakim ena, to je:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Razložimo našo idejo s konkretnimi primeri.

Primer 4

Izračunaj produkt 2 27 krat 5.

rešitev

Kot rezultat množenja števca prvotnega ulomka z drugim faktorjem dobimo 10. Na podlagi zgoraj navedenega pravila bomo kot rezultat dobili 10 27. Celotna rešitev je podana v tej objavi:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

odgovor: 2 27 5 = 10 27

Ko naravno število množimo z ulomkom, moramo rezultat pogosto skrajšati ali pa ga predstaviti kot mešano število.

Primer 5

Pogoj: izračunajte zmnožek 8 krat 5 12.

rešitev

Po zgornjem pravilu pomnožimo naravno število s števcem. Kot rezultat dobimo, da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Končni ulomek ima znake deljivosti z 2, zato ga moramo zmanjšati:

LCM (40, 12) = 4, torej 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Sedaj moramo le še izbrati cel del in zapisati pripravljen odgovor: 10 3 = 3 1 3.

V tem vnosu si lahko ogledate celotno rešitev: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Ulomek bi lahko tudi zmanjšali tako, da bi števec in imenovalec faktorizirali na prafaktorje in rezultat bi bil popolnoma enak.

odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.

Tudi številski izraz, v katerem je naravno število pomnoženo z ulomkom, ima lastnost premika, to pomeni, da vrstni red faktorjev ne vpliva na rezultat:

a b · n = n · a b = a · n b

Kako pomnožiti tri ali več navadnih ulomkov

Na dejanje množenja navadnih ulomkov lahko razširimo iste lastnosti, ki so značilne za množenje naravnih števil. To izhaja iz same definicije teh pojmov.

Zahvaljujoč poznavanju kombiniranih in komutativnih lastnosti lahko pomnožite tri ali več navadnih ulomkov. Sprejemljivo je preurediti faktorje za večjo priročnost ali razporediti oklepaje na način, ki olajša štetje.

Pokažimo s primerom, kako se to naredi.

Primer 6

Pomnožite štiri navadne ulomke 1 20, 12 5, 3 7 in 5 8.

Rešitev: Najprej posnemimo delo. Dobimo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Vse števce in vse imenovalce moramo pomnožiti skupaj: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Preden začnemo z množenjem, si lahko nekoliko olajšamo stvari in nekatera števila razdelimo na prafaktorje za nadaljnje zmanjševanje. To bo lažje kot zmanjšati nastalo frakcijo, ki je že pripravljena.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Primer 7

Pomnoži 5 števil 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

rešitev

Zaradi udobja lahko ulomek 7 8 združimo s številko 8, število 12 pa z ulomkom 5 36, saj nam bodo prihodnje okrajšave očitne. Kot rezultat bomo dobili:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Množenje navadnih ulomkov

Poglejmo si primer.

Naj bo na krožniku $\frac(1)(3)$ del jabolka. Najti moramo $\frac(1)(2)$ del tega. Zahtevani del je rezultat množenja ulomkov $\frac(1)(3)$ in $\frac(1)(2)$. Rezultat množenja dveh navadnih ulomkov je navadni ulomek.

Množenje dveh navadnih ulomkov

Pravilo za množenje navadnih ulomkov:

Rezultat množenja ulomka z ulomkom je ulomek, katerega števec je enak zmnožku števcev ulomkov, ki jih množimo, imenovalec pa zmnožku imenovalcev:

Primer 1

Izvedite množenje navadnih ulomkov $\frac(3)(7)$ in $\frac(5)(11)$.

rešitev.

Uporabimo pravilo za množenje navadnih ulomkov:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

odgovor:$\frac(15)(77)$

Če množenje ulomkov povzroči pomanjšljiv ali nepravilen ulomek, ga morate poenostaviti.

Primer 2

Pomnožite ulomka $\frac(3)(8)$ in $\frac(1)(9)$.

rešitev.

Za množenje navadnih ulomkov uporabljamo pravilo:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Kot rezultat smo dobili pomanjšani ulomek (na podlagi deljenja s $3$. Če delimo števec in imenovalec ulomka s $3$, dobimo:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kratka rešitev:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

odgovor:$\frac(1)(24).$

Pri množenju ulomkov lahko zmanjšujete števce in imenovalce, dokler ne najdete njihovega produkta. V tem primeru se števec in imenovalec ulomka razčlenita na preproste faktorje, po katerih se ponavljajoči faktorji prekličejo in najde rezultat.

Primer 3

Izračunajte zmnožek ulomkov $\frac(6)(75)$ in $\frac(15)(24)$.

rešitev.

Uporabimo formulo za množenje navadnih ulomkov:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Očitno je, da števec in imenovalec vsebujeta števila, ki jih je mogoče v parih zmanjšati na števila $2$, $3$ in $5$. Razložimo števec in imenovalec na preproste faktorje in zmanjšajmo:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

odgovor:$\frac(1)(20).$

Pri množenju ulomkov lahko uporabite komutativni zakon:

Množenje navadnega ulomka z naravnim številom

Pravilo množenja navadnega ulomka z naravnim številom:

Rezultat množenja ulomka z naravnim številom je ulomek, pri katerem je števec enak zmnožku števca pomnoženega ulomka z naravnim številom, imenovalec pa je enak imenovalcu pomnoženega ulomka:

kjer je $\frac(a)(b)$ navaden ulomek, $n$ naravno število.

Primer 4

Pomnožite ulomek $\frac(3)(17)$ s $4$.

rešitev.

Uporabimo pravilo množenja navadnega ulomka z naravnim številom:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

odgovor:$\frac(12)(17).$

Ne pozabite preveriti rezultata množenja z zmanjševanjem ulomka ali z nepravilnim ulomkom.

Primer 5

Pomnožite ulomek $\frac(7)(15)$ s številom $3$.

rešitev.

Uporabimo formulo za množenje ulomka z naravnim številom:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Z deljenjem s številom $3$) lahko ugotovimo, da lahko dobljeni ulomek zmanjšamo:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Rezultat je bil napačen ulomek. Izberimo cel del:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kratka rešitev:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Ulomke bi lahko tudi zmanjšali tako, da bi števila v števcu in imenovalcu zamenjali z njihovimi faktorizacijami v prafaktorje. V tem primeru bi lahko rešitev zapisali takole:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

odgovor:$1\frac(2)(5).$

Pri množenju ulomka z naravnim številom lahko uporabite komutativni zakon:

Deljenje ulomkov

Operacija deljenja je inverzna operacija množenja in njen rezultat je ulomek, s katerim morate pomnožiti znani ulomek, da dobite znano delo dva ulomka.

Deljenje dveh navadnih ulomkov

Pravilo za deljenje navadnih ulomkov: Očitno je mogoče števec in imenovalec dobljenega ulomka faktorizirati in zmanjšati:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Kot rezultat dobimo nepravilen ulomek, iz katerega izberemo cel del:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

odgovor:$1\frac(5)(9).$