Formule stopnje uporablja se v procesu zmanjševanja in poenostavljanja kompleksnih izrazov, pri reševanju enačb in neenačb.

številka c je n-ta potenca števila a Kdaj:

Operacije s stopinjami.

1. Z množenjem stopinj z isto osnovo se dodajo njihovi indikatorji:

a m·a n = a m + n .

2. Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo:

3. Moč produkta 2 oz več faktorjev je enak zmnožku moči teh faktorjev:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Stopnja ulomka je enaka razmerju stopenj dividende in delitelja:

(a/b) n = a n /b n.

5. Povečanje moči na moč, se eksponenti pomnožijo:

(a m) n = a m n.

Vsaka zgornja formula velja v smeri od leve proti desni in obratno.

Na primer. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacije s koreninami.

1. Koren produkta več faktorjev je enak produktu korenin teh faktorjev:

2. Koren razmerja je enak razmerju dividende in delitelja korenin:

3. Ko dvignete koren na potenco, je dovolj, da dvignete radikalno število na to potenco:

4. Če povečate stopnjo korenine v n enkrat in hkrati vgraditi v n th potenca je radikalno število, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

5. Če zmanjšate stopnjo korenine v n hkrati izvlecite korenino n-ta potenca radikalnega števila, potem se vrednost korena ne bo spremenila:

Stopnja z negativnim eksponentom. Potenca določenega števila z nepozitivnim (celim) eksponentom je definirana kot ena, deljena s potenco istega števila z eksponentom, ki je enak absolutni vrednosti nepozitivnega eksponenta:

Formula a m:a n =a m - n se lahko uporablja ne samo za m> n, ampak tudi z m< n.

Na primer. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Za formulo a m:a n =a m - n postalo pošteno, ko m=n, je potrebna prisotnost ničelne stopnje.

Diploma z ničelnim indeksom. Potenca katerega koli števila, ki ni enako nič z eksponentom nič, je enaka ena.

Na primer. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Stopnja z delnim eksponentom. Zvišati realno številko A do stopnje m/n, morate izvleči koren n th stopnjo m-ta potenca tega števila A.

V enem od prejšnjih člankov smo že omenili moč števila. Danes bomo poskušali krmariti v procesu iskanja njegovega pomena. Znanstveno gledano bomo ugotovili, kako pravilno dvigniti na potenco. Ugotovili bomo, kako ta proces poteka, hkrati pa se bomo dotaknili vseh možnih eksponentov: naravnega, iracionalnega, racionalnega, celega števila.

Torej, poglejmo si rešitve primerov podrobneje in ugotovimo, kaj to pomeni:

1. Opredelitev pojma.
2. Dvig do negativne umetnosti.
3. Cel indikator.
4. Dvig števila na iracionalno potenco.

Tukaj je definicija, ki natančno odraža pomen: "Potencevanje je definicija vrednosti potence števila."

Skladno s tem povišanje številke a v čl. r in postopek iskanja vrednosti stopnje a z eksponentom r sta enaka pojma. Na primer, če je naloga izračunati vrednost potence (0,6)6″, jo je mogoče poenostaviti v izraz "Povežite število 0,6 na potenco 6."

Po tem lahko nadaljujete neposredno na gradbena pravila.

Dvig na negativno potenco

Zaradi jasnosti bodite pozorni na naslednjo verigo izrazov:

110=0,1=1* 10 minus 1 žlica,

1100=0,01=1*10 v minus 2 stopinji,

11000=0,0001=1*10 v minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 do minus 4 stopinje.

Zahvaljujoč tem primerom lahko jasno vidite sposobnost takojšnjega izračuna 10 na katero koli minus potenco. V ta namen je dovolj, da preprosto premaknete decimalno komponento:

• 10 na -1 stopinjo - pred ena je 1 ničla;
• v -3 - tri ničle pred eno;
• v -9 je 9 ničel in tako naprej.

Iz tega diagrama je tudi enostavno razumeti, koliko bo 10 minus 5 žlic. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kako dvigniti število na naravno potenco

Ob spominu na definicijo upoštevamo, da naravno število a v čl. n je enako produktu n faktorjev, od katerih je vsak enak a. Ponazorimo: (a*a*…a)n, kjer je n število pomnoženih števil. V skladu s tem je treba za povišanje a na n izračunati produkt naslednje oblike: a*a*…a deljeno z n-krat.

Iz tega postane očitno, da dvig na naravno sv. temelji na sposobnosti izvajanja množenja(to gradivo je zajeto v razdelku o množenju realnih števil). Poglejmo težavo:

Dvignite -2 na 4. st.

Ukvarjamo se s naravni indikator. Skladno s tem bo potek odločanja naslednji: (-2) v 2. čl. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Zdaj ostane le še pomnožiti cela števila: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dobimo 16.

Odgovor na problem:

(-2) v čl. 4=16.

primer:

Izračunajte vrednost: tri pika dve sedmini na kvadrat.

Ta primer je enak naslednjemu zmnožku: tri pika dve sedmini pomnoženo s tri pika dve sedmini. Spomin, kako se množi mešana števila, dokončamo gradnjo:

• 3 točka 2 sedmini pomnoženi sami s seboj;
• je enako 23 sedminam, pomnoženim s 23 sedminam;
• je enako 529 devetinštiridesetim;
• zmanjšamo in dobimo 10 devetintrideset devetinštiridesetih.

odgovor: 10 39/49

V zvezi z vprašanjem dviga na iracionalni eksponent je treba opozoriti, da se izračuni začnejo izvajati po zaključku predhodnega zaokroževanja osnove stopnje na katero koli številko, ki bi omogočila pridobitev vrednosti z dano natančnostjo. Na primer, moramo kvadrirati število P (pi).

Začnemo z zaokroževanjem P na stotinke in dobimo:

P na kvadrat = (3,14)2=9,8596. Če pa P zmanjšamo na desettisočinke, dobimo P = 3,14159. Nato kvadriranje da popolnoma drugačno število: 9,8695877281.

Tukaj je treba opozoriti, da v mnogih problemih ni potrebe po dvigovanju iracionalnih števil na potence. Praviloma se odgovor vnese v obliki dejanske stopnje, na primer koren 6 na potenco 3, ali, če izraz to omogoča, se izvede njegova transformacija: koren 5 do 7 stopinj = 125 koren iz 5.

Kako dvigniti število na celo potenco

Ta algebraična manipulacija je primerna upoštevati v naslednjih primerih:

• za cela števila;
• za indikator nič;
• za eksponent pozitivnega celega števila.

Ker skoraj vsa pozitivna cela števila sovpadajo z maso naravnih števil, je nastavljanje na pozitivno celo potenco enak postopek kot nastavljanje v čl. naravno. Ta proces smo opisali v prejšnjem odstavku.

Zdaj pa se pogovorimo o izračunu st. nič. Zgoraj smo že ugotovili, da lahko ničelno potenco števila a določimo za vsak neničelni a (realen), medtem ko je a v čl. 0 bo enako 1.

V skladu s tem dvig katerega koli realnega števila na nič st. bo dal enega.

Na primer, 10 v st. 0=1, (-3,65)0=1 in 0 v st. 0 ni mogoče določiti.

Za dokončanje povišanja na celo potenco se moramo še odločiti o možnostih negativnih celih vrednosti. Spomnimo se, da je čl. iz a s celim eksponentom -z bo definiran kot ulomek. Imenovalec ulomka je st. s pozitivnim celim številom, katerega vrednost smo se že naučili najti. Zdaj ostane le še razmisliti o primeru gradnje.

primer:

Izračunajte vrednost števila 2, kubičnega z negativnim celim eksponentom.

Postopek rešitve:

Po definiciji stopnje z negativnim eksponentom označimo: dve minus 3 stopinje. je enako ena proti dva na tretjo potenco.

Imenovalec se izračuna preprosto: dva kubika;

3 = 2*2*2=8.

odgovor: dva na minus 3. čl. = ena osmina.

Prva stopnja

Stopnja in njene lastnosti. Obsežen vodnik (2019)

Zakaj so potrebne diplome? Kje jih boste potrebovali? Zakaj bi si morali vzeti čas in jih preučiti?

Izvedeti vse o diplomah, čemu so namenjene, kako uporabiti svoje znanje v Vsakdanje življenje preberi ta članek.

In seveda vas bo poznavanje diplom približalo uspešen zaključek OGE ali enotni državni izpit in sprejem na univerzo vaših sanj.

Gremo ... (Gremo!)

Pomembna opomba! Če namesto formul vidite gobbledygook, počistite predpomnilnik. Če želite to narediti, pritisnite CTRL+F5 (v sistemu Windows) ali Cmd+R (v sistemu Mac).

PRVA STOPNJA

Potenciranje je matematična operacija tako kot seštevanje, odštevanje, množenje ali deljenje.

Zdaj bom vse razložil v človeškem jeziku v zelo preprosti primeri. Bodi previden. Primeri so osnovni, vendar pojasnjujejo pomembne stvari.

Začnimo z dodajanjem.

Tukaj ni kaj razlagati. Saj že vse veš: osem nas je. Vsak ima dve steklenici kole. Koliko cole je tam? Tako je - 16 steklenic.

Zdaj pa množenje.

Isti primer s colo lahko zapišemo drugače: . Matematiki so zviti in leni ljudje. Najprej opazijo neke vzorce, nato pa ugotovijo, kako jih hitreje »prešteti«. V našem primeru so opazili, da ima vsak od osmih ljudi enako število steklenic kole, in prišli do tehnike, imenovane množenje. Strinjam se, da je lažje in hitreje kot.

Če želite šteti hitreje, lažje in brez napak, si morate le zapomniti tabela množenja. Seveda lahko vse naredite počasneje, težje in z napakami! ampak...

Tukaj je tabela množenja. ponovi

In še ena, lepša:

Katere druge pametne trike za štetje so si izmislili leni matematiki? Prav - povišanje števila na potenco.

Dvig števila na potenco

Če morate število pomnožiti petkrat samo s seboj, potem matematiki pravijo, da morate to število dvigniti na peto potenco. Na primer,. Matematiki se spominjajo, da je dva na peto potenco ... In takšne težave rešujejo v svojih glavah – hitreje, lažje in brez napak.

Vse kar morate storiti je spomnite se, kaj je v tabeli potenc števil označeno z barvo. Verjemite, to vam bo zelo olajšalo življenje.

Mimogrede, zakaj se imenuje druga stopnja? kvadratštevilke, in tretji - kocka? Kaj to pomeni? Zelo Dobro vprašanje. Zdaj boste imeli kvadrate in kocke.

Primer iz resničnega življenja #1

Začnimo s kvadratom ali drugo potenco števila.

Predstavljajte si kvadraten bazen, ki meri en meter x en meter. Bazen je na vaši dachi. Vroče je in zelo si želim plavati. Ampak ... bazen nima dna! Dno bazena morate pokriti s ploščicami. Koliko ploščic potrebujete? Da bi to ugotovili, morate poznati površino dna bazena.

S prstom lahko enostavno izračunate, da je dno bazena sestavljeno iz meter za meter kock. Če imate ploščice meter krat meter, boste potrebovali kose. Enostavno... Kje ste pa že videli take ploščice? Ploščica bo najverjetneje cm za cm, potem pa vas bo mučilo "štetje s prstom". Potem morate pomnožiti. Tako bomo na eno stran dna bazena namestili ploščice (kose), na drugo pa tudi ploščice. Pomnožite z in dobite ploščice ().

Ste opazili, da smo za določitev površine dna bazena isto število pomnožili samo s seboj? Kaj to pomeni? Ker množimo isto število, lahko uporabimo tehniko "potencevanja". (Seveda, ko imaš samo dve števili, ju moraš še vedno pomnožiti ali dvigniti na potenco. Če pa jih imaš veliko, potem je dvig na potenco veliko lažji in tudi manj je napak pri izračunih Za enotni državni izpit je to zelo pomembno).
Torej, trideset na drugo potenco bo (). Lahko pa rečemo, da bo trideset na kvadrat. Z drugimi besedami, drugo potenco števila lahko vedno predstavimo kot kvadrat. In obratno, če vidite kvadrat, je to VEDNO druga potenca nekega števila. Kvadrat je podoba druge potence števila.

Primer iz resničnega življenja št. 2

Tukaj je naloga za vas: preštejte, koliko polj je na šahovnici s kvadratom števila ... Na eni in na drugi strani celic. Če želite izračunati njihovo število, morate osem pomnožiti z osem ali ... če opazite, da je šahovnica kvadrat s stranico, potem lahko kvadrat osem. Dobili boste celice. () Torej?

Primer iz resničnega življenja #3

Zdaj pa kocka ali tretja potenca števila. Isti bazen. Zdaj pa morate ugotoviti, koliko vode bo treba vliti v ta bazen. Izračunati morate prostornino. (Mimogrede, prostornine in tekočine se merijo v kubičnih metrov. Nepričakovano, kajne?) Narišite bazen: dno meri meter in globino meter in poskusite prešteti, koliko kock velikosti meter krat meter se prilega vašemu bazenu.

Samo pokažite s prstom in preštejte! Ena, dva, tri, štiri...dvaindvajset, triindvajset...Koliko si jih dobil? Ni izgubljen? Je težko šteti s prstom? Torej to! Vzemite primer od matematikov. So leni, zato so opazili, da je treba za izračun prostornine bazena pomnožiti njegovo dolžino, širino in višino. V našem primeru bo prostornina bazena enaka kockam... Lažje, kajne?

Zdaj pa si predstavljajte, kako leni in zviti so matematiki, če so tudi to poenostavili. Vse smo skrčili na eno akcijo. Opazili so, da so dolžina, širina in višina enake in da se isto število pomnoži samo s seboj... Kaj to pomeni? To pomeni, da lahko izkoristite diplomo. Torej, kar ste nekoč šteli s prstom, storijo v enem dejanju: tri kubične je enako. Zapisano je takole:.

Vse kar ostane je zapomnite si tabelo stopinj. Razen seveda, če ste tako leni in zviti kot matematiki. Če radi trdo delate in delate napake, lahko še naprej štejete s prstom.

No, da vas dokončno prepričamo, da so si diplome izmislili odnehači in pretkani ljudje, da bi rešili svoje življenjske težave in ne, da bi vam delali težave, je tukaj še nekaj primerov iz življenja.

Primer iz resničnega življenja št. 4

Imate milijon rubljev. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še en milijon. To pomeni, da se vsak milijon, ki ga imate, podvoji na začetku vsakega leta. Koliko denarja boste imeli čez leta? Če zdaj sedite in »štejete s prstom«, potem ste zelo pridna oseba in ... neumna. Toda najverjetneje boste odgovorili v nekaj sekundah, ker ste pametni! Torej, v prvem letu - dva pomnoženo z dva ... v drugem letu - kaj se je zgodilo, še za dva, v tretjem letu ... Stop! Opazili ste, da je število pomnoženo s samim seboj. Dva na peto potenco je torej milijon! Zdaj pa si predstavljajte, da imate tekmovanje in tisti, ki zna najhitreje šteti, bo dobil te milijone ... Vredno se je spomniti na moč števil, se vam ne zdi?

Primer iz resničnega življenja #5

Imaš milijon. Na začetku vsakega leta za vsak milijon, ki ga zaslužite, zaslužite še dva. Super, kajne? Vsak milijon se potroji. Koliko denarja boste imeli čez eno leto? Preštejmo. Prvo leto - pomnoži s, nato rezultat z drugim ... Je že dolgočasno, saj si že vse razumel: tri se pomnoži s samim seboj. Torej je na četrto potenco enako milijonu. Zapomniti si morate le, da je tri na četrto potenco oz.

Zdaj veste, da si boste z dvigom števila na potenco zelo olajšali življenje. Oglejmo si še, kaj lahko storite z diplomami in kaj morate vedeti o njih.

Izrazi in pojmi... da ne bo zmede

Torej, najprej opredelimo pojme. Kaj misliš, kaj je eksponent? Zelo preprosto – število je tisto, ki je »na vrhu« potence števila. Ni znanstveno, ampak jasno in lahko zapomniti ...

No, hkrati pa kaj takšno diplomsko podlago? Še preprosteje - to je številka, ki se nahaja spodaj, na dnu.

Tukaj je risba za dobro mero.

No, na splošno, da posplošimo in si bolje zapomnimo ... Stopnja z osnovo “ ” in eksponentom “ ” se bere kot “do stopnje” in se zapiše takole:

Potenca števila z naravnim eksponentom

Verjetno ste že uganili: ker je eksponent naravno število. Ja, ampak kaj je naravno število? Osnovno! Naravna števila so tista števila, ki jih uporabljamo pri štetju pri naštevanju predmetov: ena, dva, tri ... Ko štejemo predmete, ne rečemo: »minus pet«, »minus šest«, »minus sedem«. Prav tako ne rečemo: »ena tretjina« ali »nič pika pet«. Ni cela števila. Kaj mislite, katere številke so to?

Številke, kot so "minus pet", "minus šest", "minus sedem", se nanašajo na cela števila. Cela števila na splošno vključujejo vsa naravna števila, števila nasprotna naravnim številom (torej vzeta z znakom minus) in števila. Ničlo je lahko razumeti - je, ko ni ničesar. Kaj pomenijo negativna ("minus") števila? Vendar so bili izumljeni predvsem za označevanje dolgov: če imate stanje na telefonu v rubljih, to pomeni, da operaterju dolgujete rublje.

Vsi ulomki so racionalna števila. Kaj mislite, kako so nastali? Zelo preprosto. Pred več tisoč leti so naši predniki ugotovili, da nimajo naravnih števil za merjenje dolžine, teže, površine itd. In so se domislili racionalna števila... Zanimivo, kajne?

Obstajajo tudi iracionalna števila. Kakšne so te številke? Skratka, to je neskončen decimalni ulomek. Na primer, če obseg kroga delite z njegovim premerom, dobite iracionalno število.

Povzetek:

Opredelimo pojem stopnje, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

1. Vsako število na prvo potenco je enako samemu sebi:
2. Kvadrat števila pomeni, da ga pomnožimo s samim seboj:
3. Kockati število pomeni, da ga trikrat pomnožimo s samim seboj:

Opredelitev. Povečajte število na naravna stopnja- pomeni množenje števila s samim seboj krat:
.

Lastnosti stopinj

Od kod te lastnosti? Ti bom pokazal zdaj.

Poglejmo: kaj je in ?

A-priory:

Koliko množiteljev je skupaj?

Zelo preprosto: faktorjem smo dodali množitelje in rezultat so množitelji.

Toda po definiciji je to potenca števila z eksponentom, to je: , kar je bilo treba dokazati.

Primer: Poenostavite izraz.

rešitev:

primer: Poenostavite izraz.

rešitev: Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno mora biti enake podlage!
Zato združujemo moči z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

samo za produkt moči!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

2. to je to potenco števila

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti:

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati?

Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno bazo

Do te točke smo razpravljali samo o tem, kakšen naj bo eksponent.

Toda kaj bi morala biti osnova?

V pristojnosti naravni indikator osnova je lahko poljubno število. Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda.

Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli moč pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ? S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo s, deluje.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Vam je uspelo?

Tukaj so odgovori: Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven.

No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost!

6 primerov za vajo

Analiza rešitve 6 primerov

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov! Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo.

Toda kako to narediti? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na vsak izraz: znake v oklepajih lahko preprosto spremenimo.

Vendar si je pomembno zapomniti: vsi znaki se spremenijo hkrati!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

cela imenujemo naravna števila, njihova nasprotja (torej vzeta z znakom " ") in število.

pozitivno celo število, in se ne razlikuje od naravnega, potem je vse videti tako kot v prejšnjem razdelku.

Zdaj pa poglejmo nove primere. Začnimo z indikatorjem, ki je enak.

Vsako število na ničelno potenco je enako ena:

Kot vedno se vprašajmo: zakaj je tako?

Vzemimo neko stopnjo z bazo. Vzemite na primer in pomnožite z:

Torej, število smo pomnožili z in dobili smo isto, kot je bilo - . S katerim številom morate pomnožiti, da se nič ne spremeni? Tako je, naprej. Pomeni.

Enako lahko storimo s poljubnim številom:

Ponovimo pravilo:

Vsako število na ničelno potenco je enako ena.

Vendar obstajajo izjeme od mnogih pravil. In tukaj je tudi tam - to je številka (kot osnova).

Po eni strani mora biti enaka kateri koli stopinji - ne glede na to, koliko nič pomnožite s samo seboj, boste še vedno dobili nič, to je jasno. Po drugi strani pa mora biti enako kot vsako število na ničelno potenco. Torej, koliko od tega je res? Matematiki so se odločili, da se ne bodo vpletali, in zavrnili dvig ničle na ničelno potenco. To pomeni, da zdaj ne moremo samo deliti z nič, ampak ga tudi dvigniti na ničelno moč.

Gremo naprej. Cela števila poleg naravnih števil in števil vključujejo tudi negativna števila. Da bi razumeli, kaj je negativna stopnja, naredimo kot zadnjič: nekaj pomnožimo normalno število enako v negativni meri:

Od tu je enostavno izraziti, kaj iščete:

Zdaj pa razširimo nastalo pravilo na poljubno stopnjo:

Torej, oblikujmo pravilo:

Število z negativno potenco je recipročna vrednost istega števila s pozitivno potenco. Toda hkrati Osnova ne more biti ničelna:(ker ne morete deliti z).

Naj povzamemo:

I. Izraz v primeru ni definiran. Če, potem.

II. Vsako število na ničelno potenco je enako ena: .

III. Število, ki ni enako nič na negativno potenco, je obratna vrednost istega števila na pozitivno potenco: .

Naloge za samostojno reševanje:

No, kot običajno, primeri za neodvisne rešitve:

Analiza problemov za samostojno rešitev:

Vem, vem, številke so strašljive, toda na Enotnem državnem izpitu moraš biti pripravljen na vse! Reši te primere ali analiziraj njihove rešitve, če jih nisi mogel rešiti, in naučil se boš z njimi zlahka obvladati na izpitu!

Nadaljujmo s širjenjem obsega števil, "primernih" kot eksponent.

Zdaj pa razmislimo racionalna števila. Katera števila imenujemo racionalna?

Odgovor: vse, kar je mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila in.

Da bi razumeli, kaj je "frakcijska stopnja", upoštevajte ulomek:

Dvignimo obe strani enačbe na potenco:

Zdaj pa se spomnimo pravila o "stopnja do stopinje":

Katero število je treba dvigniti na potenco, da dobimo?

Ta formulacija je definicija korena th stopnje.

Naj vas spomnim: koren th potence števila () je število, ki je, ko je dvignjeno na potenco, enako.

To pomeni, da je koren th potence inverzna operacija dviga na potenco: .

Izkazalo se je, da. Očitno to poseben primer se lahko razširi: .

Zdaj dodamo števec: kaj je to? Odgovor je enostavno dobiti z uporabo pravila moči na moč:

Toda ali je lahko osnova poljubno število? Konec koncev, korena ni mogoče izluščiti iz vseh števil.

nobene!

Spomnimo se pravila: vsako število, dvignjeno na sodo potenco, je pozitivno število. To pomeni, da je nemogoče izluščiti celo korenine iz negativnih števil!

To pomeni, da takih števil ni mogoče dvigniti na ulomek s sodim imenovalcem, kar pomeni, da izraz nima smisla.

Kaj pa izraz?

Tu pa nastane težava.

Število lahko predstavimo v obliki drugih, zmanjšljivih ulomkov, na primer oz.

In izkaže se, da obstaja, vendar ne obstaja, a to sta le dva različne vnose enako število.

Ali drug primer: enkrat, potem lahko zapišeš. Če pa indikator zapišemo drugače, bomo spet zašli v težave: (se pravi, dobili smo popolnoma drugačen rezultat!).

Da bi se izognili takšnim paradoksom, upoštevamo le pozitivni osnovni eksponent z delnim eksponentom.

Torej če:

• - naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Racionalni eksponenti so zelo uporabni za pretvorbo izrazov s koreni, na primer:

5 primerov za vajo

Analiza 5 primerov za usposabljanje

No, zdaj pa pride najtežji del. Zdaj bomo ugotovili stopnja z iracionalnim eksponentom.

Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo

Navsezadnje so po definiciji iracionalna števila števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to pomeni, da so iracionalna števila vsa realna števila razen racionalnih).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih.

Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj;

...število na ničelno potenco- to je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število še ni pojavilo - zato je rezultat le določeno "prazno število" , in sicer številka;

...negativna cela stopnja- kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to je, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Mimogrede, v znanosti diplomo z kompleksni indikator, to pomeni, da indikator sploh ni realna številka.

Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

KAMOR SMO PREPRIČANI, DA BOSTE ŠLI! (če se naučiš reševati take primere :))

Na primer:

Odločite se sami:

Analiza rešitev:

1. Začnimo z običajnim pravilom za dvig moči na moč:

Zdaj pa poglejte indikator. Vas na nič ne spominja? Spomnimo se formule za skrajšano množenje razlike kvadratov:

V tem primeru,

Izkazalo se je, da:

odgovor: .

2. Ulomke v eksponentih reduciramo na enako obliko: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo na primer:

Odgovor: 16

3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

NAPREDNI NIVO

Določitev stopnje

Diploma je izraz v obliki: , kjer je:

• — diplomska osnova;
• - eksponent.

Stopnja z naravnim kazalnikom (n = 1, 2, 3,...)

Dvig števila na naravno potenco n pomeni, da število pomnožimo s samim seboj krat:

Stopnja s celim eksponentom (0, ±1, ±2,...)

Če je eksponent pozitivno celo številoštevilka:

Gradnja do nič stopinje:

Izraz je nedoločen, ker je po eni strani na katerikoli stopnji to, na drugi strani pa je poljubno število na th stopnjo to.

Če je eksponent negativno celo številoštevilka:

(ker ne morete deliti z).

Še enkrat o ničlah: izraz ni definiran v primeru. Če, potem.

Primeri:

Potenca z racionalnim eksponentom

• - naravno število;
• - celo število;

Primeri:

Lastnosti stopinj

Da bi lažje reševali težave, poskusimo razumeti: od kod prihajajo te lastnosti? Dokažimo jim.

Poglejmo: kaj je in?

A-priory:

Torej, na desni strani tega izraza dobimo naslednji produkt:

Toda po definiciji je potenca števila z eksponentom, to je:

Q.E.D.

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : .

Primer : Poenostavite izraz.

rešitev : Pomembno je omeniti, da v našem pravilu Nujno morajo biti isti razlogi. Zato združujemo moči z bazo, vendar ostaja ločen dejavnik:

Druga pomembna opomba: to pravilo - samo za produkt potenc!

Tega v nobenem primeru ne smeš napisati.

Tako kot pri prejšnji lastnosti se obrnemo na definicijo stopnje:

Združimo to delo takole:

Izkazalo se je, da se izraz pomnoži s samim seboj, to je po definiciji to potenca števila:

V bistvu lahko temu rečemo "jemanje indikatorja iz oklepajev." Vendar tega nikoli ne morete storiti v celoti: !

Spomnimo se formul za skrajšano množenje: kolikokrat smo želeli napisati? Ampak to navsezadnje ni res.

Moč z negativno osnovo.

Do te točke smo samo razpravljali o tem, kakšna naj bi bila kazalo stopnje. Toda kaj bi morala biti osnova? V pristojnosti naravno indikator osnova je lahko poljubno število .

Dejansko lahko med seboj pomnožimo poljubna števila, pa naj bodo pozitivna, negativna ali soda. Pomislimo, kateri znaki ("" ali "") bodo imeli moč pozitivnih in negativnih števil?

Na primer, ali je število pozitivno ali negativno? A? ?

S prvim je vse jasno: ne glede na to, koliko pozitivnih števil med seboj pomnožimo, bo rezultat pozitiven.

Toda negativni so malo bolj zanimivi. Spomnimo se preprostega pravila iz 6. razreda: "minus za minus daje plus." To je oz. Če pa pomnožimo z (), dobimo - .

In tako naprej ad infinitum: z vsakim naslednjim množenjem se bo predznak spremenil. Lahko formuliramo naslednje preprosta pravila:

1. celo stopnja, - št pozitivno.
2. Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
3. Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
4. Nič na katero koli potenco je enako nič.

Sami določite, kakšen predznak bodo imeli naslednji izrazi:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Vam je uspelo? Tukaj so odgovori:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Upam, da je v prvih štirih primerih vse jasno? Preprosto pogledamo osnovo in eksponent ter uporabimo ustrezno pravilo.

V primeru 5) tudi vse ni tako strašljivo, kot se zdi: navsezadnje ni pomembno, čemu je enaka osnova - stopnja je enakomerna, kar pomeni, da bo rezultat vedno pozitiven. No, razen ko je osnova nič. Osnova ni enaka, kajne? Očitno ne, saj (ker).

Primer 6) ni več tako preprost. Tukaj morate ugotoviti, kaj je manj: ali? Če se tega spomnimo, postane jasno, da, kar pomeni, da je osnova manjša od nič. To pomeni, da uporabljamo pravilo 2: rezultat bo negativen.

In spet uporabimo definicijo stopnje:

Vse je kot običajno - zapišemo definicijo stopinj in jih razdelimo med seboj, razdelimo v pare in dobimo:

Preden ga razstavite zadnje pravilo, rešimo nekaj primerov.

Izračunajte izraze:

Rešitve :

Če zanemarimo osmo potenco, kaj vidimo tukaj? Spomnimo se programa za 7. razred. Torej, se spomniš? To je formula za skrajšano množenje, in sicer razlika kvadratov!

Dobimo:

Pazljivo poglejmo imenovalec. Videti je kot eden od faktorjev števca, toda kaj je narobe? Vrstni red izrazov je napačen. Če bi bili obrnjeni, bi lahko veljalo pravilo 3. Toda kako? Izkazalo se je, da je zelo enostavno: tu nam pomaga soda stopnja imenovalca.

Če pomnožite s, se nič ne spremeni, kajne? Zdaj pa se je izkazalo takole:

Čudežno so se izrazi zamenjali. Ta »fenomen« se enakomerno nanaša na vsak izraz: znake v oklepajih lahko preprosto spremenimo. Vendar si je pomembno zapomniti: Vsa znamenja se spremenijo hkrati! Ne morete ga nadomestiti s spreminjanjem samo ene slabosti, ki nam ni všeč!

Vrnimo se k primeru:

In spet formula:

Zdaj pa še zadnje pravilo:

Kako bomo to dokazali? Seveda, kot običajno: razširimo koncept diplome in ga poenostavimo:

No, zdaj pa odprimo oklepaje. Koliko črk je skupaj? krat z množitelji - na kaj vas to spominja? To ni nič drugega kot definicija operacije množenje: Tam so bili samo množitelji. To pomeni, da je to po definiciji potenca števila z eksponentom:

primer:

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Poleg podatkov o stopnjah za povprečno stopnjo bomo analizirali stopnjo z iracionalnim eksponentom. Vsa pravila in lastnosti stopinj so tukaj popolnoma enaka kot za stopnjo z racionalnim eksponentom, z izjemo - navsezadnje so iracionalna števila po definiciji števila, ki jih ni mogoče predstaviti kot ulomek, kjer sta in cela števila (to je iracionalna števila so vsa realna števila razen racionalnih števil).

Pri preučevanju stopenj z naravnimi, celimi in racionalnimi eksponenti smo vsakič ustvarili določeno »podobo«, »analogijo« ali opis v bolj znanih izrazih. Na primer, stopnja z naravnim eksponentom je število, večkrat pomnoženo s samim seboj; število na ničelno potenco je tako rekoč število, pomnoženo samo s seboj enkrat, to pomeni, da ga še niso začeli množiti, kar pomeni, da se samo število sploh še ni pojavilo - zato je rezultat le določen „prazna številka“, in sicer številka; stopnja s celim negativnim eksponentom - kot da bi prišlo do nekega "obratnega procesa", to pomeni, da število ni bilo pomnoženo samo s seboj, ampak razdeljeno.

Zelo težko si je predstavljati stopnjo z iracionalnim eksponentom (tako kot si je težko predstavljati 4-dimenzionalni prostor). To je povsem matematični objekt, ki so ga matematiki ustvarili, da bi koncept stopnje razširili na celoten prostor števil.

Mimogrede, v znanosti se pogosto uporablja diploma s kompleksnim eksponentom, torej eksponent sploh ni pravo število. Toda v šoli ne razmišljamo o takšnih težavah; te nove koncepte boste imeli priložnost razumeti na inštitutu.

Kaj torej naredimo, če vidimo iracionalen eksponent? Trudimo se ga znebiti! :)

Na primer:

Odločite se sami:

1)

2)

3)

odgovori:

1. Spomnimo se formule razlike kvadratov. Odgovor: .
2. Ulomke reduciramo na enako obliko: bodisi oba decimalna bodisi oba navadna. Dobimo na primer: .
3. Nič posebnega, uporabljamo običajne lastnosti stopinj:

POVZETEK ODDELKA IN OSNOVNE FORMULE

stopnja imenovan izraz v obliki: , kjer je:

Stopnja s celim eksponentom

stopnja, katere eksponent je naravno število (tj. celo in pozitivno).

Potenca z racionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent so negativna in delna števila.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

stopnja, katere eksponent je neskončen decimalni ulomek ali koren.

Lastnosti stopinj

Značilnosti diplom.

• Negativno število povišano na celo stopnja, - št pozitivno.
• Negativno število povišano na Čuden stopnja, - št negativno.
• Pozitivno število do katere koli stopnje je pozitivno število.
• Nič je enaka kateri koli potenci.
• Vsako število na ničelno potenco je enako.

ZDAJ IMATE BESEDO ...

Kako vam je všeč članek? Spodaj v komentarje zapišite, ali vam je bilo všeč ali ne.

Povejte nam o svojih izkušnjah z uporabo lastnosti diplom.

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

Zapiši v komentarje.

Pa srečno na izpitih!

Dvigovanje na negativno potenco je eden od osnovnih elementov matematike in ga pogosto srečamo pri reševanju algebraičnih problemov. Spodaj so podrobna navodila.

Kako dvigniti na negativno potenco - teorija

Ko število dvignemo na navadno potenco, njegovo vrednost večkrat pomnožimo. Na primer, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Pri negativnem ulomku je ravno nasprotno. Splošni obrazec po formuli bo videti takole: a -n = 1/a n. Torej, če želite povečati število na negativno potenco, morate eno deliti z danim številom, vendar na pozitivno potenco.

Kako dvigniti na negativno potenco - primeri navadnih števil

Ob upoštevanju zgornjega pravila rešimo nekaj primerov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Toda zakaj sta odgovora v prvem in drugem primeru enaka? Dejstvo je, da ko negativno število dvignemo na sodo potenco (2, 4, 6 itd.), postane predznak pozitiven. Če bi bila stopinja soda, bi minus ostal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako dvigniti na negativno potenco - števila od 0 do 1

Spomnimo se, da ko število med 0 in 1 dvignemo na pozitivno potenco, se vrednost zmanjša, ko se potenca poveča. Tako je na primer 0,5 2 = 0,25. 0,25

Primer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rešitev: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (zaporedje dejanj):

• Prevajamo decimalno 0,5 do ulomka 1/2. Tako je lažje.
  Dvignite 1/2 na negativno potenco. 1/(2) -2 . Če 1 delimo z 1/(2) 2, dobimo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rešitev: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rešitev: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na podlagi 4. in 5. primera lahko potegnemo več zaključkov:

• Za pozitivno število v območju od 0 do 1 (primer 4), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo pozitivna. Poleg tega večja kot je stopnja, večja je vrednost.
• Za negativno število v območju od 0 do 1 (primer 5), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo negativna. V tem primeru višja kot je stopnja, nižja je vrednost.

Kako dvigniti na negativno potenco - potenco v obliki ulomka

Izrazi te vrste imajo naslednjo obliko: a -m/n, kjer je a navadno število, m je števec stopnje, n je imenovalec stopnje.

Poglejmo primer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rešitev (zaporedje dejanj):

• Spomnimo se pravila dvigovanja števila na negativno potenco. Dobimo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Upoštevajte, da ima imenovalec število 8 v ulomku. Splošna oblika izračuna frakcijske potence je naslednja: a m/n = n √8 m.
• Tako je 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobimo kockasti koren od osem, kar je enako 2. Od tod je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Odgovor: 8 -1/3 = 2

Iz šole vsi poznamo pravilo o potenciranju: vsako število s eksponentom N je enako rezultatu množenja dano številko pri sebi N-krat. Z drugimi besedami, 7 na potenco 3 je 7 trikrat pomnoženo s samim seboj, to je 343. Drugo pravilo je, da povišanje katere koli količine na potenco 0 da ena, povišanje negativne količine pa je rezultat običajnega povišanja na potenco, če je sodo, in enak rezultat z znakom minus, če je liho.

Pravila dajejo tudi odgovor, kako dvigniti število na negativno potenco. Če želite to narediti, morate zahtevano vrednost povečati za modul indikatorja na običajen način in nato enoto deliti z rezultatom.

Iz teh pravil postane jasno, da bo opravljanje resničnih nalog, ki vključujejo velike količine, zahtevalo prisotnost tehnična sredstva. Ročno lahko sami pomnožite največje število števil do dvajset do trideset, nato pa ne več kot trikrat ali štirikrat. To ne omenjam deljenja enega z rezultatom. Zato vam bomo za tiste, ki pri roki nimate posebnega inženirskega kalkulatorja, povedali, kako povečati število na negativno moč v Excelu.

Reševanje problemov v Excelu

Za reševanje težav, ki vključujejo potenciranje, vam Excel omogoča uporabo ene od dveh možnosti.

Prva je uporaba formule s standardnim znakom "pokrov". V celice delovnega lista vnesite naslednje podatke:

Na enak način lahko dvignete želeno vrednost na katero koli moč - negativno, delno. Naredimo to naslednja dejanja in odgovori na vprašanje, kako dvigniti število na negativno potenco. primer:

=B2^-C2 lahko popravite neposredno v formuli.

Druga možnost je uporaba že pripravljene funkcije »Stopnja«, ki sprejme dva zahtevana argumenta - število in eksponent. Če jo želite začeti uporabljati, preprosto postavite znak enačaja (=) v katero koli prosto celico, ki označuje začetek formule, in vnesite zgornje besede. Vse kar ostane je, da izberete dve celici, ki bosta sodelovali pri operaciji (ali ročno določite določene številke) in pritisnete tipko Enter. Poglejmo si nekaj preprostih primerov.

			Formula	Rezultat
			STOPNJA(B2;C2)
			STOPNJA (B3; C3)	0,002915

Kot lahko vidite, ni nič zapletenega, kako povečati število na negativno moč in na običajno z z uporabo Excela. Navsezadnje lahko za rešitev te težave uporabite znani simbol "pokrov" in vgrajeno funkcijo programa, ki si jo je enostavno zapomniti. To je nedvomno plus!

Pojdimo na več zapleteni primeri. Spomnimo se pravila, kako dvigniti število na negativno delno potenco, in videli bomo, da je ta problem zelo enostavno rešljiv v Excelu.

Frakcijski indikatorji

Na kratko, algoritem za izračun števila z delnim eksponentom je naslednji.

1. Pretvori ulomek v pravi ali nepravi ulomek.
2. Dvignite naše število na števec dobljenega pretvorjenega ulomka.
3. Iz števila, pridobljenega v prejšnjem odstavku, izračunajte koren s pogojem, da bo eksponent korena imenovalec ulomka, dobljenega na prvi stopnji.

Strinjam se, da tudi pri poslovanju z majhnimi številkami in pravilni ulomki Takšni izračuni lahko vzamejo veliko časa. Dobro je, da procesorju preglednic Excel ni vseeno, katero število je dvignjeno na kakšno moč. Poskusite rešiti naslednji primer na Excelovem delovnem listu:

Z zgornjimi pravili lahko preverite in se prepričate, ali je bil izračun opravljen pravilno.

Na koncu našega članka bomo v obliki tabele s formulami in rezultati predstavili nekaj primerov, kako povečati število na negativno potenco, pa tudi nekaj primerov delovanja ulomkov in stopinje.

Primer tabele

Oglejte si naslednje primere v Excelovem delovnem listu. Da bo vse delovalo pravilno, morate pri kopiranju formule uporabiti mešano referenco. Popravite številko stolpca, ki vsebuje številko, ki se dvigne, in številko vrstice, ki vsebuje indikator. Vaša formula bi morala izgledati nekako takole: "=$B4^C$3."

Število/stopnja

Upoštevajte, da je mogoče pozitivna števila (tudi necela) brez težav izračunati za kateri koli eksponent. Ni težav z dvigovanjem poljubnih števil na cela števila. Toda povišanje negativnega števila na ulomek se bo za vas izkazalo za napako, saj je nemogoče slediti pravilu, navedenemu na začetku našega članka o povišanju negativnih števil, saj je pariteta lastnost izključno CELEGA števila.

Število, povišano na potenco Pokličejo število, ki je večkrat pomnoženo samo s seboj.

Potenca števila z negativno vrednostjo (a - n) se lahko določi na podoben način, kot se določi potenca istega števila s pozitivnim eksponentom (a n) . Vendar pa zahteva tudi dodatno opredelitev. Formula je opredeljena kot:

a-n = (1/a n)

Lastnosti negativnih potenc števil so podobne potencam s pozitivnim eksponentom. Predstavljena enačba a m/a n= a m-n morda pošteno kot

« Nikjer, tako kot v matematiki, jasnost in natančnost sklepa človeku ne omogočata, da bi se izognil odgovoru z govorjenjem okoli vprašanja».

A. D. Aleksandrov

pri n več m , in z m več n . Poglejmo primer: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Najprej morate določiti številko, ki deluje kot definicija diplome. b=a(-n) . V tem primeru -n je eksponent b - želeno številčno vrednost, a - osnova stopnje v obliki naravne številske vrednosti. Nato določite modul, to je absolutno vrednost negativnega števila, ki deluje kot eksponent. Izračunajte potenco danega relativnega števila absolutno število, kot indikator. Vrednost stopnje dobimo tako, da ena delimo z dobljenim številom.

riž. 1

Razmislite o potenci števila z negativnim delnim eksponentom. Predstavljajmo si, da je število a poljubno pozitivno število, števila n in m - cela števila. Po definiciji a , ki je dvignjen na moč - je enako ena deljeno z enakim številom s pozitivno potenco (slika 1). Kadar je potenca števila ulomek, se v takih primerih uporabljajo samo števila s pozitivnimi eksponenti.

Vredno zapomniti da ničla nikoli ne more biti eksponent števila (pravilo deljenja z ničlo).

Širjenje takšnega koncepta kot število je postalo takšna manipulacija, kot so izračuni meritev, pa tudi razvoj matematike kot znanosti. Uvedba negativnih vrednosti je bila posledica razvoja algebre, ki je dala splošne rešitve aritmetičnih problemov, ne glede na njihov specifičen pomen in izvirne numerične podatke. V Indiji nazaj v 6.-11 negativne vrednostištevilke so sistematično uporabljali pri reševanju problemov in jih razlagali na enak način kot danes. V evropski znanosti so se negativna števila začela široko uporabljati zahvaljujoč R. Descartesu, ki je podal geometrijsko razlago negativna števila, kot smeri segmentov. Descartes je bil tisti, ki je predlagal oznako števila, dvignjenega na potenco, ki naj bi bila prikazana kot dvonadstropna formula a n .