Seštevanje potenc z naravnimi eksponenti. Lastnosti stopenj, formulacije, dokazi, primeri

Koncept diplome iz matematike je predstavljen v 7. razredu pri pouku algebre. In kasneje, skozi celoten potek študija matematike, se ta koncept aktivno uporablja v različnih oblikah. Stopnje so precej težka tema, ki zahteva pomnjenje vrednosti in sposobnost pravilnega in hitrega štetja. Za hitrejše in boljše delo s stopinjami so si matematiki izmislili lastnosti stopinj. Pomagajo zmanjšati velike izračune, do neke mere pretvoriti ogromen primer v eno samo številko. Lastnosti ni veliko in vse si je enostavno zapomniti in uporabiti v praksi. Zato članek obravnava osnovne lastnosti diplome, pa tudi, kje se uporabljajo.

Lastnosti stopnje

Upoštevali bomo 12 lastnosti stopinj, vključno z lastnostmi stopinj z iz istih razlogov, za vsako lastnost pa bomo podali primer. Vsaka od teh lastnosti vam bo pomagala pri hitrejšem reševanju težav s stopinjami in vas bo tudi rešila številnih računskih napak.

1. lastnina.

Mnogi ljudje zelo pogosto pozabljajo na to lastnost in delajo napake, pri čemer število na ničelno potenco predstavljajo kot nič.

2. lastnost.

3. lastnost.

Ne smemo pozabiti, da se ta lastnost lahko uporablja samo pri množenju števil, ne deluje z vsoto! In ne smemo pozabiti, da ta in naslednje lastnosti veljajo samo za potence z enakimi bazami.

4. lastnost.

Če je število v imenovalcu povišano na negativno potenco, se pri odštevanju stopnja imenovalca vzame v oklepaju, da se pri nadaljnjih izračunih pravilno spremeni znak.

Lastnost deluje le pri deljenju, pri odštevanju ne velja!

5. lastnost.

6. lastnost.

To lastnost je mogoče uporabiti tudi za hrbtna stran. Enota, deljena s številom do neke mere, je to število na minus potenco.

7. lastnost.

Te lastnosti ni mogoče uporabiti za vsoto in razliko! Povečevanje vsote ali razlike na potenco uporablja skrajšane formule za množenje namesto lastnosti potence.

8. lastnost.

9. lastnost.

Ta lastnost deluje za katero koli delno moč s števcem enakim ena, formula bo enaka, le moč korena se bo spremenila glede na imenovalec moči.

Ta lastnost se pogosto uporablja tudi obratno. Koren katere koli potence števila je mogoče predstaviti kot to število na potenco ena, deljeno s potenco korena. Ta lastnost je zelo uporabna v primerih, ko korena števila ni mogoče izluščiti.

10. lastnina.

Ta lastnost deluje ne samo z kvadratni koren in druge stopnje. Če stopnja korenine in stopnja, do katere je ta korenina dvignjena, sovpadata, bo odgovor radikalen izraz.

11. lastnina.

To lastnost morate biti sposobni pravočasno videti pri reševanju, da se rešite velikih izračunov.

12. lastnina.

Vsaka od teh lastnosti se vam bo v nalogah večkrat srečala; lahko jo podate čista oblika, in lahko zahteva nekaj transformacij in uporabo drugih formul. Zato za prava odločitev Ni dovolj, da poznate samo lastnosti, morate vaditi in vključiti druga matematična znanja.

Uporaba stopinj in njihove lastnosti

Aktivno se uporabljajo v algebri in geometriji. Diplome iz matematike imajo posebno, pomembno mesto. Z njihovo pomočjo se rešujejo eksponentne enačbe in neenačbe, enačbe in primeri, povezani z drugimi vejami matematike, pa so pogosto zapleteni s potenci. Potence pomagajo preprečiti velike in dolgotrajne izračune; potence je lažje skrajšati in izračunati. Ampak za delo z velikimi diplomami ali z diplomami velike številke, morate poznati ne samo lastnosti stopinj, ampak tudi kompetentno delati z bazami, jih znati razstaviti, da si olajšate nalogo. Zaradi udobja bi morali poznati tudi pomen števil, dvignjenih na potenco. To bo zmanjšalo vaš čas pri reševanju in odpravilo potrebo po dolgotrajnih izračunih.

Koncept stopnje igra posebno vlogo pri logaritmih. Ker je logaritem v bistvu potenca števila.

Formule za skrajšano množenje so še en primer uporabe potenc. Lastnosti stopinj v njih ni mogoče uporabiti, razčlenjene so po posebna pravila, vendar vsaka skrajšana formula za množenje vedno vsebuje stopnje.

Diplome se aktivno uporabljajo tudi v fiziki in računalništvu. Vse pretvorbe v sistem SI se izvajajo z uporabo moči, v prihodnosti pa se pri reševanju problemov uporabljajo lastnosti moči. V računalništvu se moči dveh aktivno uporabljajo za udobje štetja in poenostavitev zaznavanja števil. Nadaljnji izračuni za pretvorbo merskih enot ali izračuni problemov, tako kot v fiziki, potekajo z uporabo lastnosti stopinj.

Stopinje so zelo uporabne tudi v astronomiji, kjer le redko opazite uporabo lastnosti stopinje, se pa same stopinje aktivno uporabljajo za skrajšanje zapisov različnih količin in razdalj.

Stopnje se uporabljajo tudi v običajno življenje, pri izračunu površin, prostornin, razdalj.

Stopnje se uporabljajo za beleženje zelo velikih in zelo majhnih količin na katerem koli področju znanosti.

Eksponentne enačbe in neenačbe

Lastnosti stopinj zavzemajo posebno mesto prav v eksponentne enačbe in neenakosti. Te naloge so zelo pogoste, npr šolski tečaj, in na izpitih. Vse se rešujejo z uporabo lastnosti stopnje. Neznanka se vedno nahaja v sami stopnji, zato ob poznavanju vseh lastnosti reševanje takšne enačbe ali neenačbe ni težko.

Video lekcija 2: Stopnja c naravni indikator in njegove lastnosti

Predavanje:

Stopnja z naravnim indikatorjem

Spodaj stopnja neko število "A" z nekim indikatorjem "n" razumejo produkt števila "A" sam "n" enkrat.

Ko govorimo o stopnji z naravnim eksponentom, to pomeni število "n" mora biti celo število in ne negativno.

A- osnovo stopnje, ki pove, katero število je treba pomnožiti s samim seboj,

n- eksponent - pove, kolikokrat je treba osnovo pomnožiti s samo seboj.

Na primer:

8 4 = 8 * 8 * 8 * 8 = 4096.

V tem primeru se za osnovo stopnje šteje številka "8", eksponent stopnje je številka "4", vrednost stopnje pa številka "4096".

Največja in najpogostejša napaka pri računanju stopnje je množenje eksponenta z osnovo – TO NI PRAVILNO!

Ko govorimo o stopnji z naravnim eksponentom, mislimo le na eksponent (n) mora biti naravno število.

Za osnovo lahko vzamete poljubno število na številski premici.

na primer

(-0,1) 3 = (-0,1) * (-0,1) * (-0,1) = (-0,001).

Matematična operacija, ki se izvaja na osnovi in ​​eksponentu, se imenuje potenciranje.

Seštevanje\odštevanje je matematična operacija prve stopnje, množenje\deljenje je dejanje druge stopnje, dvigovanje na potenco je matematično dejanje tretje stopnje, torej ena najvišjih.

Ta hierarhija matematičnih operacij določa vrstni red v izračunu. Če se to dejanje zgodi v nalogah med prejšnjima dvema, se izvede najprej.

Na primer:

15 + 6 *2 2 = 39

V tem primeru morate najprej dvigniti 2 na potenco, to je

nato rezultat pomnožite s 6, tj

Moč z naravnim eksponentom se ne uporablja samo za posebne izračune, ampak tudi za udobje pisanja velikih števil. V tem primeru se uporablja tudi koncept "standardna oblika števila". Ta zapis vključuje množenje določenega števila od 1 do 9 s potenco, ki je enaka 10, z nekim eksponentom.

Na primer, za zapis polmera Zemlje v standardni obliki uporabite naslednji zapis:

6400000 m = 6,4 * 10 6 m,

in maso Zemlje, na primer, zapišemo takole:

Lastnosti stopnje

Za udobje reševanja primerov s stopnjami morate poznati njihove osnovne lastnosti:

1. Če morate pomnožiti dve potenci, ki imata isto osnovo, je treba v tem primeru osnovo pustiti nespremenjeno in eksponente sešteti.

a n * a m = a n+m

Na primer:

5 2 * 5 4 = 5 6 .

2. Če je treba razdeliti dve stopinji z enakimi osnovami, je treba v tem primeru osnovo pustiti nespremenjeno in eksponente odšteti. Upoštevajte, da mora biti pri operacijah s potencami z naravnim eksponentom eksponent dividende večji od eksponenta delitelja. V nasprotnem primeru bo količnik tega dejanja število z negativnim eksponentom.

a n / a m = a n-m

na primer

5 4 * 5 2 = 5 2 .

3. Če je treba eno potenco povečati na drugo, ostane isto število osnova rezultata, eksponenti pa se pomnožijo.

(a n) m = a n*m

na primer

4. Če je treba zmnožek poljubnih števil dvigniti na določeno moč, potem lahko uporabite določen distribucijski zakon, po katerem dobimo produkt različnih baz na isto moč.

(a * b) m = a m * b m

na primer

(5 * 8) 2 = 5 2 * 8 2 .

5. Podobno lastnost lahko uporabimo za deljenje potenc, z drugimi besedami, za dvig navadnega dvojnika na potenco.

(a / b) m = a m / b m

6. Vsako število, ki je povišano na eksponent, ki je enak ena, je enako prvotnemu številu.

a 1 = a

na primer

7. Pri povišanju katerega koli števila na potenco z eksponentom nič bo rezultat tega izračuna vedno ena.

in 0 = 1

Na primer,

Lekcija na temo: "Pravila množenja in deljenja potenc z enakimi in različnimi eksponenti. Primeri"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 7. razred
Priročnik za učbenik Yu.N. Makarycheva Priročnik za učbenik A.G. Mordkovič

Namen lekcije: naučiti se izvajati operacije s potencami števil.

Najprej se spomnimo pojma "moč števila". Izraz v obliki $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$ je mogoče predstaviti kot $a^n$.

Velja tudi obratno: $a^n= \underbrace( a * a * \ldots * a )_(n)$.

Ta enakost se imenuje "zapis diplome kot produkta." Pomagal nam bo ugotoviti, kako množiti in deliti moči.
Ne pozabite:
a– podlago za diplomo.
n– eksponent.
če n=1, kar pomeni število A vzel enkrat in temu primerno: $a^n= 1$.
če n = 0, potem je $a^0= 1$.

Zakaj do tega pride, ugotovimo, ko se seznanimo s pravili množenja in delitve potenc.

Pravila množenja

a) Če potence z isto osnovo pomnožimo.
Da bi dobili $a^n * a^m$, zapišemo stopinje kot zmnožek: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( a * a * \ldots * a ) _(m )$.
Slika prikazuje, da je število A sem vzel n+m krat, potem $a^n * a^m = a^(n + m)$.

Primer.
$2^3 * 2^2 = 2^5 = 32$.

To lastnost je priročno uporabiti za poenostavitev dela pri povečanju števila na višjo potenco.
Primer.
$2^7= 2^3 * 2^4 = 8 * 16 = 128$.

b) Če pomnožimo stopnje z različnimi osnovami, a enakim eksponentom.
Da dobimo $a^n * b^n$, zapišemo stopinje kot zmnožek: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n) * \underbrace( b * b * \ldots * b ) _(m )$.
Če faktorje zamenjamo in nastale pare preštejemo, dobimo: $\underbrace( (a * b) * (a * b) * \ldots * (a * b) )_(n)$.

Torej $a^n * b^n= (a * b)^n$.

Primer.
$3^2 * 2^2 = (3 * 2)^2 = 6^2= 36$.

Pravila delitve

a) Osnova diplome je enaka, kazalniki so različni.
Razmislite o delitvi potence z večjim eksponentom z delitvijo potence z manjšim eksponentom.

Torej, potrebujemo $\frac(a^n)(a^m)$, Kje n>m.

Zapišimo stopinje kot ulomek:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(m))$.

Zaradi udobja delitev zapišemo kot preprost ulomek.

Zdaj pa zmanjšajmo ulomek.

Izkazalo se je: $\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n-m)= a^(n-m)$.
pomeni, $\frac(a^n)(a^m)=a^(n-m)$.

Ta lastnost bo pomagala razložiti situacijo z dvigom števila na ničelno potenco. Predpostavimo, da n=m, potem $a^0= a^(n-n)=\frac(a^n)(a^n) =1$.

Primeri.
$\frac(3^3)(3^2)=3^(3-2)=3^1=3$.

$\frac(2^2)(2^2)=2^(2-2)=2^0=1$.

b) Osnove diplome so različne, indikatorji so enaki.
Recimo, da je $\frac(a^n)( b^n)$ potreben. Zapišimo potence števil kot ulomke:

$\frac(\underbrace( a * a * \ldots * a )_(n))(\underbrace( b * b * \ldots * b )_(n))$.

Za udobje si predstavljajmo.

Z lastnostjo ulomkov razdelimo veliki ulomek na produkt majhnih, dobimo.
$\underbrace( \frac(a)(b) * \frac(a)(b) * \ldots * \frac(a)(b) )_(n)$.
V skladu s tem: $\frac(a^n)( b^n)=(\frac(a)(b))^n$.

Primer.
$\frac(4^3)( 2^3)= (\frac(4)(2))^3=2^3=8$.

Spodnja formula bo definicija stopnje z naravnim eksponentom(a je osnova potence in ponavljajoči se faktor, n pa je eksponent, ki kaže, kolikokrat se faktor ponovi):

Ta izraz pomeni, da je potenca števila a z naravnim eksponentom n zmnožek n faktorjev, kljub temu, da je vsak faktor enak a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - osnovna stopnja,

5 - eksponent,

1419857 — vrednost stopnje.

Potenca z eksponentom nič je enaka 1, če je a\neq 0:

a^0=1 .

Na primer: 2^0=1

Kdaj zapisati velika številka običajno se uporabljajo potence števila 10.

Na primer, eden najstarejših dinozavrov na Zemlji je živel pred približno 280 milijoni let. Njegova starost je zapisana takole: 2,8 \cdot 10^8 .

Vsako število, večje od 10, lahko zapišemo kot \cdot 10^n, pod pogojem, da je 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют standardna oblika števila.

Primeri takih številk: 6978=6,978 \cdot 10^3, 569000=5,69 \cdot 10^5.

Lahko izgovorite tako "a na n-to potenco" kot "n-to potenco števila a" in "a na n-to potenco".

4^5 - »štiri na potenco 5« ali »4 na peto potenco« ali lahko rečete tudi »peta potenca 4«

V tem primeru je 4 osnova, 5 pa eksponent.

Navedimo zdaj primer z ulomki in negativnimi števili. Da bi se izognili zmedi, je običajno v oklepaje zapisati osnove, ki niso naravna števila:

(7,38)^2 , \levo(\frac 12 \desno)^7, (-1)^4 itd.

Upoštevajte tudi razliko:

(-5)^6 - pomeni potenco negativnega števila −5 z naravnim eksponentom 6.

5^6 - ustreza nasprotnemu številu 5^6.

Lastnosti stopinj z naravnim eksponentom

Osnovna lastnost stopnje

a^n \cdot a^k = a^(n+k)

Osnova ostane enaka, seštejejo pa se eksponenti.

Na primer: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

Lastnost količnikov potenc z enakimi bazami

a^n: a^k=a^(n-k), če je n > k .

Eksponenti se odštejejo, osnova pa ostane enaka.

Ta omejitev n > k je uvedena, da ne presežemo naravnih eksponentov. Dejansko bo za n > k eksponent a^(n-k) naravno število, sicer pa bo bodisi negativno število (k< n ), либо нулем (k-n ).

Na primer: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

Lastnost dviga potence na potenco

(a^n)^k=a^(nk)

Osnova ostane ista, le eksponenti se pomnožijo.

Na primer: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

Lastnost potenciranosti produkta

Vsak faktor je dvignjen na potenco n.

a^n \cdot b^n = (ab)^n

Na primer: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

Lastnost potencevanja ulomka

\frac(a^n)(b^n)=\levo(\frac(a)(b) \desno) ^n, b \neq 0

Tako števec kot imenovalec ulomka dvignemo na potenco. \levo(\frac(2)(5) \desno)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)

Ko je moč števila določena, je logično govoriti o stopnje lastnosti. V tem članku bomo podali osnovne lastnosti moči števila, pri čemer se bomo dotaknili vsega možni indikatorji stopnje. Tu bomo podali dokaze vseh lastnosti stopinj in pokazali, kako se te lastnosti uporabljajo pri reševanju primerov.

Navigacija po straneh.

Lastnosti stopinj z naravnimi eksponenti

Po definiciji potence z naravnim eksponentom je potenca a n produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a. Na podlagi te definicije in tudi z uporabo lastnosti množenja realnih števil, lahko pridobimo in utemeljimo naslednje lastnosti stopnje z naravnim eksponentom:

1. glavna lastnost stopnje a m ·a n =a m+n, njena posplošitev;
2. lastnost količnikov potence z enakimi bazami a m:a n =a m−n ;
3. lastnost moči izdelka (a·b) n =a n ·b n , njena razširitev;
4. lastnost količnika naravne stopnje (a:b) n =a n:b n ;
5. povišanje stopnje na potenco (a m) n =a m·n, njena posplošitev (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
6. primerjava stopnje z ničlo:
   • če je a>0, potem je a n>0 za poljubno naravno število n;
   • če je a=0, potem je a n =0;
   • če<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 če a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
7. če sta a in b pozitivni števili in a
8. če sta m in n naravni števili, tako da je m>n, potem pri 0 0 velja neenakost a m >a n.

Takoj zapomnimo, da so vse zapisane enakosti enaka pod navedenimi pogoji je možno zamenjati tako njihov desni kot levi del. Na primer, glavna lastnost ulomka a m ·a n =a m+n z poenostavljanje izrazov pogosto uporabljen v obliki a m+n =a m ·a n .

Zdaj pa si podrobneje oglejmo vsakega od njih.

Začnimo z lastnostjo produkta dveh potenc z enakima bazama, ki se imenuje glavna lastnost diplome: za poljubno realno število a in poljubni naravni števili m in n velja enakost a m ·a n =a m+n.

Dokažimo glavno lastnost stopnje. Po definiciji potence z naravnim eksponentom lahko produkt potenc z enakimi osnovami oblike a m ·a n zapišemo kot zmnožek. Zaradi lastnosti množenja lahko dobljeni izraz zapišemo kot , ta produkt pa je potenca števila a z naravnim eksponentom m+n, to je a m+n. S tem je dokaz zaključen.

Naj navedemo primer, ki potrjuje glavno lastnost diplome. Vzemimo stopnje z enakimi bazami 2 in naravnimi potenci 2 in 3, z uporabo osnovne lastnosti stopenj lahko zapišemo enakost 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Preverimo njegovo veljavnost z izračunom vrednosti izrazov 2 2 · 2 3 in 2 5 . Izvajamo potenciranje, imamo 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 in 2 5 =2·2·2·2·2=32, ker dobimo enake vrednosti, potem je enakost 2 2 ·2 3 =2 5 pravilna in potrjuje glavno lastnost stopnje.

Osnovno lastnost stopnje, ki temelji na lastnostih množenja, lahko posplošimo na produkt treh ali več potenc z enakimi osnovami in naravnimi eksponenti. Torej za poljubno število k naravnih števil n 1, n 2, …, n k velja enakost: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.

na primer (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

Lahko preidemo na naslednjo lastnost potenc z naravnim eksponentom – lastnost količnikov potenc z enakimi bazami: za vsako neničelno realno število a in poljubni naravni števili m in n, ki izpolnjujeta pogoj m>n, velja enakost a m:a n =a m−n.

Preden predstavimo dokaz te lastnosti, se pogovorimo o pomenu dodatnih pogojev v formulaciji. Pogoj a≠0 je nujen, da se izognemo deljenju z nič, saj je 0 n =0, in ko smo se seznanili z deljenjem, smo se strinjali, da ne moremo deliti z nič. Pogoj m>n uvedemo, da ne presežemo naravnih eksponentov. Dejansko je za m>n eksponent a m−n naravno število, sicer bo nič (kar se zgodi za m−n) ali negativno število (kar se zgodi za m

Dokaz. Glavna lastnost ulomka nam omogoča zapis enakosti a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Iz dobljene enakosti je a m−n ·a n =a m in sledi, da je a m−n količnik potenc a m in a n . To dokazuje lastnost količnikov potenc z enakimi bazami.

Dajmo primer. Vzemimo dve stopnji z enakima osnovama π in naravnima eksponentoma 5 in 2, obravnavani lastnosti stopnje ustreza enakost π 5:π 2 =π 5−3 =π 3.

Zdaj pa razmislimo lastnost moči izdelka: naravna potenca n zmnožka poljubnih dveh realnih števil a in b je enaka zmnožku potenc a n in b n, to je (a·b) n =a n ·b n.

Dejansko imamo po definiciji stopnje z naravnim eksponentom . Na podlagi lastnosti množenja lahko zadnji produkt prepišemo kot , ki je enako a n · b n .

Tukaj je primer: .

Ta lastnost se razširi na moč produkta treh ali več faktorjev. To pomeni, da je lastnost naravne stopnje n produkta k faktorjev zapisana kot (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n.

Zaradi jasnosti bomo to lastnost prikazali s primerom. Za produkt treh faktorjev na potenco števila 7 imamo .

Naslednja lastnost je lastnost količnika v naravi: količnik realnih števil a in b, b≠0 na naravno potenco n je enak količniku potenc a n in b n, to je (a:b) n =a n:b n.

Dokaz se lahko izvede z uporabo prejšnje lastnosti. torej (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, in iz enakosti (a:b) n ·b n =a n sledi, da je (a:b) n količnik a n deljen z b n .

Zapišimo to lastnost z uporabo določenih številk kot primera: .

Zdaj pa to izrazimo lastnost povzdigovanja potence na potenco: za poljubno realno število a in poljubni naravni števili m in n je potenca števila a m na potenco n enaka potenci števila a z eksponentom m·n, to je (a m) n =a m·n.

Na primer, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6.

Dokaz lastnosti moči na stopnjo je naslednja veriga enakosti: .

Upoštevana lastnost se lahko razširi na stopnjo na stopnjo na stopnjo itd. Na primer, za poljubna naravna števila p, q, r in s velja enakost . Za večjo jasnost je tukaj primer s posebnimi številkami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

Ostaja, da se osredotočimo na lastnosti primerjave stopinj z naravnim eksponentom.

Začnimo z dokazom lastnosti primerjave ničle in potence z naravnim eksponentom.

Najprej dokažimo, da je a n >0 za vsak a>0.

Zmnožek dveh pozitivnih števil je pozitivno število, kot izhaja iz definicije množenja. To dejstvo in lastnosti množenja kažejo, da bo tudi rezultat množenja poljubnega števila pozitivnih števil pozitivno število. In potenca števila a z naravnim eksponentom n je po definiciji produkt n faktorjev, od katerih je vsak enak a. Ti argumenti nam omogočajo, da trdimo, da je za vsako pozitivno osnovo a stopnja a n pozitivno število. Zaradi dokazane lastnosti 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 in .

Povsem očitno je, da je za vsako naravno število n z a=0 stopnja a n enaka nič. Dejansko je 0 n =0·0·…·0=0 . Na primer, 0 3 =0 in 0 762 =0.

Pojdimo k negativnim osnovam stopnje.

Začnimo s primerom, ko je eksponent sodo število, označimo ga kot 2·m, kjer je m naravno število. Potem . Kajti vsak od zmnožkov oblike a·a je enak zmnožku modulov števil a in a, kar pomeni, da je pozitivno število. Zato bo tudi produkt pozitiven in stopnja a 2·m. Navedimo primere: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 in .

Končno, ko je osnova a negativno število in je eksponent liho število 2 m−1, potem . Vsi produkti a·a so pozitivna števila, tudi produkt teh pozitivnih števil je pozitiven, njegov množek s preostalim negativno število rezultat a je negativno število. Zaradi te lastnosti (−5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

Preidimo na lastnost primerjave potenc z enakimi naravnimi eksponenti, ki ima naslednjo formulacijo: od dveh potenc z enakimi naravnimi eksponenti je n manjši od tiste, katere osnova je manjša, večji pa tisti, katere baza je večja. . Dokažimo.

Neenakost a n lastnosti neenakosti velja tudi dokazljiva neenakost oblike a n .

Ostaja, da dokažemo še zadnjo od naštetih lastnosti potenc z naravnimi eksponenti. Oblikujmo ga. Od dveh potenc z naravnimi eksponenti in enakimi pozitivnimi osnovami, manjšimi od ena, je večja tista, katere eksponent je manjši; in od dveh potenc z naravnimi eksponenti in enakima osnovama, večjima od ena, je večja tista, katere eksponent je večji. Nadaljujemo z dokazom te lastnosti.

Dokažimo, da je za m>n in 0 0 zaradi začetnega pogoja m>n, kar pomeni, da je pri 0

Treba je še dokazati drugi del premoženja. Dokažimo, da za m>n in a>1 a m >a n velja. Razlika a m −a n po tem, ko n vzamemo iz oklepaja, ima obliko a n ·(a m−n −1) . Ta produkt je pozitiven, saj je za a>1 stopnja a n pozitivno število, razlika a m−n −1 pa pozitivno število, saj je m−n>0 zaradi začetnega pogoja, za a>1 pa je stopnja a m−n je večje od ena. Posledično je a m −a n >0 in a m >a n , kar je bilo potrebno tudi dokazati. To lastnost ponazarja neenakost 3 7 >3 2.

Lastnosti potence s celimi eksponenti

Ker so pozitivna cela števila naravna števila, potem vse lastnosti potence s celimi pozitivnimi eksponenti natančno sovpadajo z lastnostmi potence z naravnimi eksponenti, naštetimi in dokazanimi v prejšnjem odstavku.

Stopnjo s celoštevilskim negativnim eksponentom in stopnjo z ničelnim eksponentom smo definirali tako, da so vse lastnosti stopenj z naravnimi eksponenti, izražene z enakostmi, ostale veljavne. Zato vse te lastnosti veljajo tako za ničelne eksponente kot za negativne eksponente, medtem ko so seveda baze potenc drugačne od nič.

Torej za vsa realna in neničelna števila a in b ter vsa cela števila m in n velja naslednje: lastnosti potence s celimi eksponenti:

1. a m ·a n =a m+n ;
2. a m:a n =a m−n ;
3. (a·b) n =a n ·b n ;
4. (a:b) n =a n:b n ;
5. (a m) n =a m·n ;
6. če je n pozitivno celo število, sta a in b pozitivni števili in a b−n ;
7. če sta m in n celi števili in m>n, potem pri 0 1 velja neenakost a m >a n.

Ko je a=0, sta potenci a m in a n smiselni le, če sta m in n pozitivni celi števili, to je naravni števili. Tako pravkar zapisane lastnosti veljajo tudi za primere, ko je a=0 in sta števili m in n pozitivni celi števili.

Dokazovanje vsake od teh lastnosti ni težko, za to je dovolj uporabiti definicije stopinj z naravnimi in celimi eksponenti ter lastnosti operacij z realnimi števili. Za primer dokažimo, da lastnost potence velja tako za pozitivna cela števila kot tudi za nepozitivna cela števila. Če želite to narediti, morate pokazati, da če je p nič ali naravno število in je q nič ali naravno število, potem veljajo enakosti (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) in (a −p) −q =a (−p)·(−q). Naredimo to.

Za pozitivna p in q je bila enakost (a p) q =a p·q dokazana v prejšnjem odstavku. Če je p=0, potem imamo (a 0) q =1 q =1 in a 0·q =a 0 =1, od koder je (a 0) q =a 0·q. Podobno, če je q=0, potem je (a p) 0 =1 in a p·0 =a 0 =1, od koder je (a p) 0 =a p·0. Če sta p=0 in q=0, potem je (a 0) 0 =1 0 =1 in a 0·0 =a 0 =1, od koder je (a 0) 0 =a 0·0.

Zdaj dokažemo, da je (a −p) q =a (−p)·q . Po definiciji potence z negativnim celim eksponentom torej . Z lastnostjo količnikov na potence imamo . Ker je 1 p =1·1·…·1=1 in , potem . Zadnji izraz je po definiciji potenca oblike a −(p·q), ki jo lahko zaradi pravil množenja zapišemo kot a (−p)·q.

Prav tako .

IN .

Po istem principu lahko dokažete vse druge lastnosti stopnje s celim eksponentom, zapisanim v obliki enačb.

Pri predzadnji izmed zapisanih lastnosti se velja posvetiti dokazu neenakosti a −n >b −n, ki velja za vsako negativno celo število −n ter vsaka pozitivna a in b, za katera je izpolnjen pogoj a . Ker po pogoju a 0 . Produkt a n · b n je pozitiven tudi kot zmnožek pozitivnih števil a n in b n. Potem je dobljeni ulomek pozitiven kot količnik pozitivnih števil b n −a n in a n ·b n . Od kod torej a −n >b −n , kar je bilo treba dokazati.

Zadnjo lastnost potence s celimi eksponenti dokažemo na enak način kot podobno lastnost potence z naravnimi eksponenti.

Lastnosti potence z racionalnimi eksponenti

Stopnjo z delnim eksponentom smo definirali tako, da smo nanjo razširili lastnosti stopnje s celoštevilskim eksponentom. Z drugimi besedami, potence z delnimi eksponenti imajo enake lastnosti kot potence s celimi eksponenti. namreč:

Dokaz lastnosti stopenj z ulomljenim eksponentom temelji na definiciji stopnje z ulomljenim eksponentom in na lastnostih stopnje s celim eksponentom. Naj predložimo dokaze.

Po definiciji potence z delnim eksponentom in , torej . Lastnosti aritmetičnega korena nam omogočajo, da zapišemo naslednje enačbe. Nadalje z uporabo lastnosti stopnje s celim eksponentom dobimo , iz katerega po definiciji stopnje z delnim eksponentom imamo , indikator pridobljene diplome pa lahko transformiramo takole: . S tem je dokaz zaključen.

Druga lastnost potenc z ulomkimi eksponenti je dokazana na popolnoma podoben način:

Preostale enakosti so dokazane z uporabo podobnih principov:

Preidimo k dokazovanju naslednje lastnosti. Dokažimo, da za vsaka pozitivna a in b velja a b p . Zapišimo racionalno število p kot m/n, kjer je m celo število in n naravno število. Pogoji str<0 и p>0 v tem primeru veljajo pogoji m<0 и m>0 ustrezno. Za m>0 in a

Podobno velja za m<0 имеем a m >b m , od koder je, in a p >b p .

Treba je še dokazati zadnjo od naštetih lastnosti. Dokažimo, da za racionalna števila p in q velja p>q pri 0 0 – neenakost a p >a q . Racionalni števili p in q lahko vedno skrčimo na skupni imenovalec, tudi če dobimo navadne ulomke in , kjer sta m 1 in m 2 celi števili, n pa naravno število. V tem primeru bo pogoj p>q ustrezal pogoju m 1 >m 2, ki izhaja iz. Nato z lastnostjo primerjanja potenc z enakimi osnovami in naravnimi eksponenti pri 0 1 – neenakost a m 1 >a m 2 . Te neenakosti v lastnostih korenin lahko ustrezno prepišemo kot in . In definicija stopnje z racionalnim eksponentom nam omogoča, da preidemo na neenakosti in v skladu s tem. Od tu potegnemo končni sklep: za p>q in 0 0 – neenakost a p >a q .

Lastnosti potenc z iracionalnimi eksponenti

Iz načina definiranja stopnje z iracionalnim eksponentom lahko sklepamo, da ima vse lastnosti stopenj z racionalnimi eksponenti. Torej za katero koli a>0, b>0 in iracionalna števila p in q velja naslednje lastnosti potenc z iracionalnimi eksponenti:

1. a p ·a q =a p+q ;
2. a p:a q =a p−q ;
3. (a·b) p =a p ·b p ;
4. (a:b) p =a p:b p ;
5. (a p) q =a p·q ;
6. za poljubna pozitivna števila a in b, a 0 neenakost a p b p ;
7. za iracionalni števili p in q, p>q pri 0 0 – neenakost a p >a q .

Iz tega lahko sklepamo, da imajo potence s poljubnima realnima eksponentoma p in q za a>0 enake lastnosti.

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Učbenik za matematiko za 5. razred. na splošno izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 7. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 8. razred. izobraževalne ustanove.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učbenik za 9. razred. izobraževalne ustanove.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razrede splošnoizobraževalnih ustanov.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).