Seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje potenc. Kako povečati število na negativno potenco - primeri z opisi v Excelu

Gradnja v negativna stopnja– eden od osnovnih elementov matematike, ki ga pogosto srečamo pri reševanju algebrskih problemov. Spodaj so podrobna navodila.

Kako dvigniti na negativno potenco - teorija

Ko število dvignemo na navadno potenco, njegovo vrednost večkrat pomnožimo. Na primer, 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27. Pri negativnem ulomku je ravno nasprotno. Splošna oblika formule bo naslednja: a -n = 1/a n. Torej, če želite povečati število na negativno potenco, morate eno deliti z danim številom, vendar na pozitivno potenco.

Kako dvigniti na negativno potenco - primeri navadnih števil

Ob upoštevanju zgornjega pravila rešimo nekaj primerov.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Odgovor: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Odgovor -4 -2 = 1/16.

Toda zakaj sta odgovora v prvem in drugem primeru enaka? Dejstvo je, da ko negativno število dvignemo na sodo potenco (2, 4, 6 itd.), postane predznak pozitiven. Če bi bila stopinja soda, bi minus ostal:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kako dvigniti števila od 0 do 1 na negativno potenco

Spomnimo se, da ko število med 0 in 1 dvignemo na pozitivno potenco, se vrednost zmanjša, ko se potenca poveča. Tako je na primer 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Primer 3: Izračunajte 0,5 -2
Rešitev: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Odgovor: 0,5 -2 = 4

Analiza (zaporedje dejanj):

Pretvorite decimalni ulomek 0,5 v ulomek 1/2. Tako je lažje.
Dvignite 1/2 na negativno potenco. 1/(2) -2 . Če 1 delimo z 1/(2) 2, dobimo 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Primer 4: Izračunajte 0,5 -3
Rešitev: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Primer 5: Izračunajte -0,5 -3
Rešitev: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Odgovor: -0,5 -3 = -8

Na podlagi 4. in 5. primera lahko potegnemo več zaključkov:

Za pozitivno število v območju od 0 do 1 (primer 4), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo pozitivna. Poleg tega večja kot je stopnja, večja je vrednost.
Za negativno število v območju od 0 do 1 (primer 5), povišano na negativno potenco, ni pomembno, ali je potenca soda ali liha, vrednost izraza bo negativna. V tem primeru višja kot je stopnja, nižja je vrednost.

Kako dvigniti na negativno potenco - potenco v obliki ulomka

Izrazi te vrste imajo naslednjo obliko: a -m/n, kjer je a navadno število, m je števec stopnje, n je imenovalec stopnje.

Poglejmo primer:
Izračunaj: 8 -1/3

Rešitev (zaporedje dejanj):

Spomnimo se pravila dvigovanja števila na negativno potenco. Dobimo: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
Upoštevajte, da ima imenovalec število 8 v ulomku. Splošna oblika izračuna frakcijske potence je naslednja: a m/n = n √8 m.
Tako je 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Dobimo kockasti koren od osem, kar je enako 2. Od tod je 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Odgovor: 8 -1/3 = 2

Potenca se uporablja za poenostavitev operacije množenja števila s samim seboj. Na primer, namesto pisanja lahko pišete 4 5 (\displaystyle 4^(5))(razlaga tega prehoda je podana v prvem delu tega članka). Stopnje olajšajo pisanje dolgih ali zapletenih izrazov ali enačb; potence je tudi enostavno seštevati in odštevati, kar ima za posledico poenostavljen izraz ali enačbo (npr. 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Opomba:če se moraš odločiti eksponentna enačba(v takšni enačbi je neznanka v eksponentu), beri.

Koraki

Reševanje preprostih problemov s stopnjami

Pomnožite osnovo eksponenta s samim seboj tolikokrat, da je enako eksponentu.Če morate problem s potenco rešiti ročno, prepišite potenco kot operacijo množenja, kjer se osnova potence pomnoži sama s seboj. Na primer, glede na diplomo 3 4 (\displaystyle 3^(4)). V tem primeru je treba osnovo moči 3 pomnožiti s samo seboj 4-krat: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Tu so še drugi primeri:

Najprej pomnožite prvi dve številki. na primer 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Brez skrbi – postopek izračuna ni tako zapleten, kot se zdi na prvi pogled. Najprej pomnožite prvi dve štirici in ju nadomestite z rezultatom. Všečkaj to:

4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

Rezultat (v našem primeru 16) pomnožite z naslednjim številom. Vsak naslednji rezultat se bo sorazmerno povečal. V našem primeru pomnožite 16 s 4. Takole:
- 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
  - 16 * 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
  - 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
  - 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- Nadaljujte z množenjem rezultatov prvih dveh števil z naslednjim številom, dokler ne dobite končnega odgovora. Če želite to narediti, pomnožite prvi dve številki in nato dobljeni rezultat pomnožite z naslednjim številom v zaporedju. Ta metoda velja za katero koli diplomo. V našem primeru bi morali dobiti: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
Rešite naslednje težave. Preverite svoj odgovor s kalkulatorjem.
- 8 2 (\displaystyle 8^(2))
- 3 4 (\displaystyle 3^(4))
- 10 7 (\displaystyle 10^(7))
Na kalkulatorju poiščite ključ z oznako "exp" ali " x n (\displaystyle x^(n))« ali »^«. S to tipko povišate število na potenco. Skoraj nemogoče je ročno izračunati stopnjo z velikim indikatorjem (na primer diploma 9 15 (\displaystyle 9^(15))), vendar se kalkulator zlahka spopade s to nalogo. V sistemu Windows 7 lahko standardni kalkulator preklopite v inženirski način; Če želite to narediti, kliknite »Pogled« -> »Inženiring«. Če želite preklopiti v običajni način, kliknite »Pogled« -> »Normalno«.
- Preverite prejeti odgovor z iskalnikom (Google ali Yandex). S tipko "^" na tipkovnici računalnika vnesite izraz v iskalnik, ki vam bo takoj prikazal pravilen odgovor (in morda predlagal podobne izraze, ki jih morate preučiti).
Seštevanje, odštevanje, množenje potenc
1. Stopinje lahko seštevate in odštevate le, če imajo enake osnove.Če morate dodati stopnje z iz istih razlogov in eksponentov, potem lahko operacijo seštevanja nadomestite z operacijo množenja. Na primer, glede na izraz 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ne pozabite, da je diploma 4 5 (\displaystyle 4^(5)) lahko predstavimo v obliki 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); torej 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kjer je 1 +1 =2). Se pravi, preštejte število podobnih stopinj in nato pomnožite to stopnjo in to število. V našem primeru povečajte 4 na peto potenco in nato dobljeni rezultat pomnožite z 2. Ne pozabite, da lahko operacijo seštevanja nadomestite z operacijo množenja, na primer 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Tu so še drugi primeri:
  - 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
  - 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
  - 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
  - 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
2. Pri množenju potenc z isto osnovo se njihovi eksponenti seštejejo (osnova se ne spremeni). Na primer, glede na izraz x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). V tem primeru morate samo dodati indikatorje, pri čemer pustite osnovo nespremenjeno. torej x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Tukaj je vizualna razlaga tega pravila:
  
  Pri povišanju potence na potenco se eksponenti pomnožijo. Na primer, podana je diploma. Ker se eksponenti množijo, torej (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Bistvo tega pravila je, da množite s potencami (x 2) (\displaystyle (x^(2))) na sebi petkrat. Všečkaj to:
  - (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
  - (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
  - Ker je osnova enaka, se eksponenta preprosto seštejeta: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
3. Potenco z negativnim eksponentom je treba pretvoriti v ulomek (obratna potenca). Ni pomembno, če ne veste, kaj je recipročna diploma. Če vam je dana diploma z negativnim eksponentom, npr. 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), zapišite to stopnjo v imenovalec ulomka (v števec vnesite 1), eksponent pa naj bo pozitiven. V našem primeru: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Tu so še drugi primeri:
  
  Pri delitvi stopinj z isto osnovo se njihovi eksponenti odštejejo (osnova se ne spremeni). Operacija deljenja je nasprotna operaciji množenja. Na primer, glede na izraz 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Eksponent v števcu odštej od eksponenta v imenovalcu (ne spreminjaj osnove). torej 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
  - Moč v imenovalcu lahko zapišemo na naslednji način: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ne pozabite, da je ulomek število (potencija, izraz) z negativnim eksponentom.
4. Spodaj je nekaj izrazov, ki vam bodo pomagali pri reševanju problemov s eksponenti. Navedeni izrazi pokrivajo gradivo, predstavljeno v tem razdelku. Če želite videti odgovor, preprosto označite prazen prostor za znakom enačaja.
Reševanje nalog z ulomkimi eksponenti
1. Če je eksponent nepravilni ulomek, potem lahko tako stopnjo razčlenimo na dve stopinji, da poenostavimo rešitev problema. V tem ni nič zapletenega - samo zapomnite si pravilo množenja moči. Na primer, podana je diploma. Pretvorite takšno potenco v koren, katerega potenca je enaka imenovalcu delnega eksponenta, in nato dvignite ta koren na potenco, ki je enaka števcu delnega eksponenta. Če želite to narediti, si zapomnite to 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). V našem primeru:
  - x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
  - x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
  - x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
2. Nekateri kalkulatorji imajo gumb za izračun eksponentov (najprej morate vnesti osnovo, nato pritisniti gumb in nato vnesti eksponent). Označeno je kot ^ ali x^y.
3. Ne pozabite, da je vsako število na prvo potenco enako samemu sebi, na primer 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Poleg tega je vsako število, pomnoženo ali deljeno z ena, enako samemu sebi, npr. 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) in 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
4. Vedi, da potenca 0 0 ne obstaja (takšna potenca nima rešitve). Če poskušate takšno stopnjo rešiti na kalkulatorju ali računalniku, se vam prikaže napaka. Vendar ne pozabite, da je katero koli število na ničelno potenco 1, na primer 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
5. V višji matematiki, ki operira z namišljenimi števili: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Kje i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e je konstanta, približno enaka 2,7; a je poljubna konstanta. Dokaz te enakosti je mogoče najti v katerem koli učbeniku višje matematike.
- Ko eksponent narašča, se njegova vrednost močno poveča. Torej, če se vam odgovor zdi napačen, je morda res pravilen. To lahko preizkusite tako, da narišete katero koli eksponentno funkcijo, na primer 2 x.

V tem gradivu bomo pogledali, kaj je moč števila. Poleg osnovnih definicij bomo formulirali, kaj so potence z naravnimi, celimi, racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Kot vedno bodo vsi koncepti ponazorjeni s primeri problemov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Najprej oblikujemo osnovno definicijo stopnje c naravni indikator. Za to se moramo spomniti osnovnih pravil množenja. Vnaprej pojasnimo, da bomo za zdaj za osnovo vzeli realno število (označeno s črko a), za indikator pa naravno število (označeno s črko n).

Definicija 1

Potenca števila a z naravnim eksponentom n je produkt n-tega števila faktorjev, od katerih je vsak enak številu a. Diploma je zapisana takole: a n, in v obliki formule je njegova sestava lahko predstavljena na naslednji način:

Na primer, če je eksponent 1 in je osnova a, potem je prva potenca a zapisana kot a 1. Glede na to, da je a vrednost faktorja in 1 število faktorjev, lahko sklepamo, da a 1 = a.

Na splošno lahko rečemo, da je diploma priročna oblika zapisi velika količina enaki faktorji. Torej, zapis obrazca 8 8 8 8 se lahko skrajša na 8 4 . Na skoraj enak način nam delo pomaga preprečiti snemanje veliko številočleni (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; o tem smo že razpravljali v članku o množenju naravna števila.

Kako pravilno prebrati vnos diplome? Splošno sprejeta možnost je "a na potenco n". Lahko pa rečete "n-ta potenca a" ali "antova potenca". Če smo recimo v primeru naleteli na vnos 8 12 , lahko preberemo "8 na 12. potenco", "8 na potenco 12" ali "12. potenco 8".

Druga in tretja potenca števil imata svoja ustaljena imena: kvadrat in kocka. Če vidimo drugo potenco, na primer številko 7 (7 2), potem lahko rečemo "7 na kvadrat" ali "kvadrat števila 7". Podobno se tretja stopnja bere takole: 5 3 - to je "kocka števila 5" ali "5 kock." Lahko pa uporabite tudi standardno formulacijo »na drugo/tretjo potenco«, to ne bo napaka.

Primer 1

Poglejmo primer stopnje z naravnim eksponentom: for 5 7 pet bo osnova, sedem pa eksponent.

Ni nujno, da je osnova celo število: za diplomo (4 , 32) 9 osnova bo ulomek 4, 32, eksponent pa devet. Bodite pozorni na oklepaje: ta zapis je narejen za vse potence, katerih osnove se razlikujejo od naravnih števil.

Na primer: 1 2 3, (- 3) 12, - 2 3 5 2, 2, 4 35 5, 7 3.

Čemu so oklepaji? Pomagajo preprečiti napake pri izračunih. Recimo, da imamo dva vnosa: (− 2) 3 in − 2 3 . Prvi od teh pomeni negativno število minus dva, povišano na potenco z naravnim eksponentom tri; drugo je število, ki ustreza nasprotni vrednosti stopnje 2 3 .

Včasih v knjigah najdete nekoliko drugačen zapis moči števila - a^n(kjer je a osnova in n eksponent). To pomeni, da je 4^9 enako kot 4 9 . V primeru n je večmestno število, je vzeto v oklepaj. Na primer, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Vendar bomo uporabili zapis a n kot pogostejši.

Preprosto je uganiti, kako izračunati vrednost eksponenta z naravnim eksponentom iz njegove definicije: samo pomnožiti morate n-to število krat. Več o tem smo pisali v drugem članku.

Koncept stopnje je nasprotje drugega matematični koncept- koren števila. Če poznamo vrednost potence in eksponenta, lahko izračunamo njegovo osnovo. Stopnja ima nekaj posebnih lastnosti, ki so uporabne za reševanje problemov, o katerih smo razpravljali v ločenem gradivu.

Eksponenti lahko vključujejo ne samo naravna števila, ampak tudi vse vrednosti celih števil na splošno, vključno z negativnimi in ničlami, ker tudi pripadajo nizu celih števil.

Definicija 2

Potenco števila s pozitivnim celim eksponentom lahko predstavimo kot formulo: .

V tem primeru je n poljubno pozitivno celo število.

Razumejmo koncept ničelne stopnje. Za to uporabimo pristop, ki upošteva lastnost kvocienta za potence s enako. Formulirano je takole:

Definicija 3

Enakopravnost a m: a n = a m − n bo veljalo pod naslednjimi pogoji: m in n sta naravni števili, m< n , a ≠ 0 .

Zadnji pogoj je pomemben, ker se izogne deljenju z nič. Če sta vrednosti m in n enaki, dobimo naslednji rezultat: a n: a n = a n − n = a 0

Toda hkrati je a n: a n = 1 količnik enako število a n in a. Izkazalo se je, da je ničelna potenca katerega koli neničelnega števila enaka ena.

Vendar pa tak dokaz ne velja za nič na ničelno potenco. Za to potrebujemo še eno lastnost potenc - lastnost produktov potenc z enakimi bazami. Videti je takole: a m · a n = a m + n .

Če je n enak 0, potem a m · a 0 = a m(ta enakost nam tudi to dokazuje a 0 = 1). Če pa je in tudi enako nič, ima naša enakost obliko 0 m · 0 0 = 0 m, To bo veljalo za katero koli naravno vrednost n in ni pomembno, kateri natančno je vrednost stopnje enaka 0 0 , to pomeni, da je lahko enako poljubnemu številu in to ne bo vplivalo na točnost enakosti. Zato zapis oblike 0 0 nima svojega posebnega pomena in mu ga ne bomo pripisovali.

Če želite, je to enostavno preveriti a 0 = 1 konvergira z lastnostjo stopnje (a m) n = a m n pod pogojem, da osnova stopnje ni nič. Tako je potenca katerega koli neničelnega števila z eksponentom nič ena.

Primer 2

Poglejmo primer s posebnimi številkami: Torej, 5 0 - enota, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , in vrednost 0 0 nedoločeno.

Po ničelni stopnji moramo le ugotoviti, kaj je negativna stopnja. Za to potrebujemo isto lastnost produkta potenc z enakimi bazami, ki smo jo že uporabili zgoraj: a m · a n = a m + n.

Vstavimo pogoj: m = − n, potem a ne sme biti enak nič. Sledi, da a − n · a n = a − n + n = a 0 = 1. Izkazalo se je, da a n in a−n imamo medsebojno recipročna števila.

Kot rezultat, a na negativno celo potenco ni nič drugega kot ulomek 1 a n.

Ta formulacija potrjuje, da za stopnjo s celim negativnim eksponentom veljajo enake lastnosti, kot jih ima stopnja z naravnim eksponentom (pod pogojem, da osnova ni enaka nič).

Primer 3

Potenco a z negativnim celim eksponentom n lahko predstavimo kot ulomek 1 a n . Tako je a - n = 1 a n predmet a ≠ 0 in n je poljubno naravno število.

Naj našo idejo ponazorimo s konkretnimi primeri:

Primer 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

V zadnjem delu odstavka bomo vse, kar je bilo povedano, poskušali jasno prikazati v eni formuli:

Definicija 4

Potenca števila z naravnim eksponentom z je: a z = a z, e z l in z - pozitivno celo število 1, z = 0 in a ≠ 0, (za z = 0 in a = 0 je rezultat 0 0, vrednosti izraza 0 0 niso definirane) 1 a z, če in z je negativno celo število in a ≠ 0 (če je z negativno celo število in a = 0 dobite 0 z, egoz vrednost ni določena)

Kaj so potence z racionalnim eksponentom?

Preučili smo primere, ko eksponent vsebuje celo število. Vendar pa lahko število povečate na potenco, tudi če njegov eksponent vsebuje delno število. To se imenuje potenca z racionalnim eksponentom. V tem razdelku bomo dokazali, da ima enake lastnosti kot druge potence.

Kaj so racionalna števila? Njihov nabor vključuje tako cela kot ulomka, ulomke pa lahko predstavimo kot navadne ulomke (tako pozitivne kot negativne). Oblikujmo definicijo moči števila a z delnim eksponentom m / n, kjer je n naravno število in m celo število.

Imamo neko stopnjo z ulomljenim eksponentom a m n. Da bi veljala lastnost moči za moč, mora veljati enakost a m n n = a m n · n = a m.

Glede na definicijo n-tega korena in da je a m n n = a m, lahko sprejmemo pogoj a m n = a m n, če je a m n smiselno za dane vrednosti m, n in a.

Zgornje lastnosti stopnje s celoštevilskim eksponentom bodo veljale pod pogojem a m n = a m n.

Glavni sklep našega razmišljanja je naslednji: moč določenega števila a z delnim eksponentom m / n je n-ti koren števila a na moč m. To velja, če za dane vrednosti m, n in a izraz a m n ostane smiseln.

1. Lahko omejimo vrednost osnove stopnje: vzemimo a, ki bo za pozitivne vrednosti m večja ali enaka 0, za negativne vrednosti pa strogo manj (ker za m ≤ 0 dobimo 0 m, vendar taka stopnja ni opredeljena). V tem primeru bo definicija stopnje z delnim eksponentom videti takole:

Potencija z ulomljenim eksponentom m/n za neko pozitivno število a je n-ti koren a na potenco m. To lahko izrazimo kot formulo:

Za potenco z ničelno osnovo je ta določba prav tako primerna, vendar le, če je njen eksponent pozitivno število.

Potenco z osnovo nič in delnim pozitivnim eksponentom m/n lahko izrazimo kot

0 m n = 0 m n = 0 pod pogojem, da je m pozitivno celo število in n naravno število.

Za negativno razmerje m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Opozorimo na eno točko. Ker smo uvedli pogoj, da je a večji ali enak nič, smo nekatere primere zavrgli.

Izraz a m n je včasih še vedno smiseln za nekatere negativne vrednosti a in nekatere m. Tako so pravilni vnosi (- 5) 2 3, (- 1, 2) 5 7, - 1 2 - 8 4, pri katerih je osnova negativna.

2. Drugi pristop je ločeno obravnavanje korena a m n s sodimi in lihimi eksponenti. Nato bomo morali uvesti še en pogoj: stopnja a, v eksponentu katere je skrčljivi navadni ulomek, velja za stopnjo a, v eksponentu katere je ustrezen nezmanjšani ulomek. Kasneje bomo pojasnili, zakaj potrebujemo ta pogoj in zakaj je tako pomemben. Če imamo torej zapis a m · k n · k , ga lahko zmanjšamo na a m n in poenostavimo izračune.

Če je n liho število in je vrednost m pozitivna in je a poljubno nenegativno število, potem je a m n smiseln. Pogoj, da je a nenegativen, je nujen, ker korena sode stopnje ni mogoče izluščiti iz negativnega števila. Če je vrednost m pozitivna, potem je a lahko tako negativen kot nič, ker Liho korenino lahko vzamemo iz katerega koli realnega števila.

Združimo vse zgornje definicije v en vnos:

Tu m/n pomeni nezmanjšani ulomek, m je poljubno celo število, n pa poljubno naravno število.

Definicija 5

Za vsak običajni zmanjšljivi ulomek m · k n · k lahko stopnjo nadomestimo z a m n .

Moč števila a z nezmanjšanim delnim eksponentom m / n – se lahko izrazi kot a m n v naslednjih primerih: - za katero koli realno a, pozitivna cela števila m in lihe naravne vrednosti n. Primer: 2 5 3 = 2 5 3, (- 5, 1) 2 7 = (- 5, 1) - 2 7, 0 5 19 = 0 5 19.

Za vsako realno a, ki ni nič, cela števila negativne vrednosti m in lihe vrednosti n, na primer 2 - 5 3 = 2 - 5 3, (- 5, 1) - 2 7 = (- 5, 1) - 2 7

Za vsako nenegativno a, pozitivno celo število m in sodo n, na primer 2 1 4 = 2 1 4, (5, 1) 3 2 = (5, 1) 3, 0 7 18 = 0 7 18.

Za vsako pozitivno a, negativno celo število m in sodo n je na primer 2 - 1 4 = 2 - 1 4, (5, 1) - 3 2 = (5, 1) - 3, .

Pri drugih vrednostih stopnja z delnim eksponentom ni določena. Primeri takih stopenj: - 2 11 6, - 2 1 2 3 2, 0 - 2 5.

Zdaj pa razložimo pomen zgoraj obravnavanega pogoja: zakaj zamenjati ulomek s pomanjšanim eksponentom z ulomkom z nezmanjšanim eksponentom. Če tega ne bi storili, bi imeli naslednje situacije, recimo 6/10 = 3/5. Potem bi moralo veljati (- 1) 6 10 = - 1 3 5 , vendar - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 in (- 1) 3 5 = (- 1) ) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Definicija stopnje z delnim eksponentom, ki smo jo predstavili najprej, je v praksi bolj priročna za uporabo kot druga, zato jo bomo še naprej uporabljali.

Opredelitev 6

Tako je potenca pozitivnega števila a z delnim eksponentom m/n definirana kot 0 m n = 0 m n = 0. V primeru negativnega a zapis a m n nima smisla. Potenca nič za pozitivne delne eksponente m/n je definiran kot 0 m n = 0 m n = 0 , za negativne delne eksponente ne definiramo stopnje nič.

V zaključkih ugotavljamo, da lahko kateri koli delni indikator zapišemo v obliki mešano število, in v obliki decimalno: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Pri izračunu je bolje zamenjati eksponent navadni ulomek in še naprej uporabljajte definicijo stopnje z delnim eksponentom. Za zgornje primere dobimo:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Kaj so potence z iracionalnimi in realnimi eksponenti?

Kaj so realna števila? Njihov niz vključuje tako racionalna kot iracionalna števila. Zato, da bi razumeli, kaj je stopnja z realnim eksponentom, moramo definirati stopnje z racionalnimi in iracionalnimi eksponenti. Racionalne smo že omenili zgoraj. Ukvarjajmo se z iracionalnimi kazalniki korak za korakom.

Primer 5

Predpostavimo, da imamo iracionalno število a in zaporedje njegovih decimalnih približkov a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Za primer vzemimo vrednost a = 1,67175331. . . , Potem

a 0 = 1, 6, a 1 = 1, 67, a 2 = 1, 671, . . . , a 0 = 1,67, a 1 = 1,6717, a 2 = 1,671753, . . .

Zaporedje aproksimacij lahko povežemo z zaporedjem stopinj a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Če se spomnimo, kaj smo prej rekli o dvigovanju števil na racionalne potence, potem lahko sami izračunamo vrednosti teh potenc.

Vzemimo za primer a = 3, potem je a a 0 = 3 1, 67, a a 1 = 3 1, 6717, a a 2 = 3 1, 671753, . . . itd.

Zaporedje potenc lahko skrajšamo na število, ki bo vrednost potence z osnovo a in iracionalnim eksponentom a. Kot rezultat: stopnja z iracionalnim eksponentom oblike 3 1, 67175331. . lahko zmanjšamo na število 6, 27.

Opredelitev 7

Potenco pozitivnega števila a z iracionalnim eksponentom a zapišemo kot a . Njegova vrednost je limita zaporedja a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , kjer je a 0 , a 1 , a 2 , . . . so zaporedni decimalni približki iracionalnega števila a. Stopnjo z ničelno osnovo lahko definiramo tudi za pozitivne iracionalne eksponente, pri čemer je 0 a = 0. Torej je 0 6 = 0, 0 21 3 3 = 0. Vendar tega ni mogoče storiti za negativne, saj na primer vrednost 0 - 5, 0 - 2 π ni definirana. Enota, povišana na katero koli iracionalno potenco, na primer ostane enota in 1 2, 1 5 v 2 in 1 - 5 bo enako 1.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Ena od glavnih značilnosti v algebri in v vsej matematiki je diploma. Seveda je v 21. stoletju vse izračune mogoče narediti na spletnem kalkulatorju, vendar je za razvoj možganov bolje, da se tega naučite narediti sami.

V tem članku si bomo ogledali največ pomembna vprašanja povezanih s to definicijo. Namreč, razumejmo, kaj je na splošno in katere so njegove glavne funkcije, katere lastnosti so v matematiki.

Poglejmo primere, kako izgleda izračun in kakšne so osnovne formule. Oglejmo si glavne vrste količin in kako se razlikujejo od drugih funkcij.

Razumejmo, kako rešiti s to količino razne naloge. S primeri bomo pokazali, kako dvigniti na ničelno potenco, iracionalno, negativno itd.

Spletni kalkulator stopnjevanja

Kaj je potenca števila

Kaj je mišljeno z izrazom "povečanje števila na potenco"?

Potenca števila n je zmnožek faktorjev velikosti a n-krat zapored.

Matematično je to videti takole:

a n = a * a * a * …a n .

Na primer:

2 3 = 2 na tretji stopnji. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 na korak. dva = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 za korak. štiri = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 = 10 v 5 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 = 10 v 4 korakih. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Spodaj je tabela kvadratov in kock od 1 do 10.

Tabela stopinj od 1 do 10

Spodaj so rezultati dviga naravnih števil na pozitivne potence - "od 1 do 100".

Ch-lo	2. sv.	3. stopnja
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Lastnosti stopinj

Kaj je značilno za takšno matematično funkcijo? Poglejmo si osnovne lastnosti.

Znanstveniki so ugotovili naslednje znaki, značilni za vse stopnje:

a n * a m = (a) (n+m) ;
a n: a m = (a) (n-m) ;
(a b) m = (a) (b*m) .

Preverimo s primeri:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Po drugi strani pa je 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Podobno: 2 3 : 2 2 = 8 / 4 =2. V nasprotnem primeru je 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Kaj pa, če je drugače? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Kot lahko vidite, pravila delujejo.

Ampak kaj pa s seštevanjem in odštevanjem? Enostavno je. Najprej se izvede potenciranje, nato pa seštevanje in odštevanje.

Poglejmo si primere:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 – 3 2 = 25 – 9 = 16. Upoštevajte: pravilo ne bo držalo, če najprej odštejete: (5 – 3) 2 = 2 2 = 4.

Toda v tem primeru morate najprej izračunati dodatek, saj so v oklepajih dejanja: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Kako proizvajati izračuni v zahtevnejših primerih? Vrstni red je enak:

če obstajajo oklepaji, morate začeti z njimi;
nato potenciranje;
nato izvajajo operaciji množenje in deljenje;
po seštevanju, odštevanju.

Obstajajo posebne lastnosti, ki niso značilne za vse stopnje:

Koren n števila a na m stopnjo bo zapisan kot: a m / n.
Pri dvigovanju ulomka na potenco: temu postopku veljata tako števec kot njegov imenovalec.
Pri gradnji dela različne številke na potenco bo izraz ustrezal produktu teh števil na dano potenco. To je: (a * b) n = a n * b n.
Ko dvignete število na negativno potenco, morate 1 deliti s številom v istem stoletju, vendar z znakom "+".
Če je imenovalec ulomka na negativno potenco, potem je ta izraz enak produktu števca in imenovalca na pozitivno potenco.
Poljubno število na potenco 0 = 1 in na potenco. 1 = sebi.

Ta pravila so v nekaterih primerih pomembna, v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali.

Stopnja z negativnim eksponentom

Kaj storiti z minus stopinjo, torej ko je indikator negativen?

Na podlagi lastnosti 4 in 5(glej točko zgoraj), Izkazalo se je:

A (- n) = 1 / A n, 5 (-2) = 1 / 5 2 = 1 / 25.

In obratno:

1 / A (- n) = A n, 1 / 2 (-3) = 2 3 = 8.

Kaj pa če je ulomek?

(A / B) (- n) = (B / A) n, (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Stopnja z naravnim indikatorjem

Razume se kot stopnja z eksponenti, ki so enaki celim številom.

Stvari, ki si jih morate zapomniti:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1 ... itd.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3 ... itd.

Poleg tega, če je (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2 ... potem bo rezultat z znakom "+". Če negativno število dvignemo na liho potenco, potem obratno.

Splošne lastnosti in to je to specifični znaki zanje so značilni tudi zgoraj opisani.

Delna stopnja

To vrsto lahko zapišemo kot shemo: A m / n. Beri kot: n-ti koren števila A na potenco m.

Z delnim indikatorjem lahko počnete, kar želite: zmanjšate ga, razdelite na dele, dvignete na drugo moč itd.

Stopnja z iracionalnim eksponentom

Naj bo α iracionalno število in A ˃ 0.

Da bi razumeli bistvo diplome s takim indikatorjem, Poglejmo različne možne primere:

A = 1. Rezultat bo enak 1. Ker obstaja aksiom - 1 v vseh potencah je enako ena;

А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2 – racionalna števila;

0˂A˂1.

V tem primeru je obratno: A r 2 ˂ A α ˂ A r 1 pod enakimi pogoji kot v drugem odstavku.

Na primer, eksponent je število π. To je racionalno.

r 1 – v tem primeru je enako 3;

r 2 – bo enako 4.

Potem je za A = 1 1 π = 1.

A = 2, potem 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4, 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, potem (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3, 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Za takšne stopnje so značilne vse zgoraj opisane matematične operacije in specifične lastnosti.

Zaključek

Povzemimo - za kaj so potrebne te količine, kakšne so prednosti takšnih funkcij? Seveda v prvi vrsti poenostavljajo življenje matematikov in programerjev pri reševanju primerov, saj jim omogočajo minimiziranje izračunov, skrajšanje algoritmov, sistematizacijo podatkov in še veliko več.

Kje drugje je lahko to znanje koristno? V kateri koli delovni specialnosti: medicina, farmakologija, zobozdravstvo, gradbeništvo, tehnologija, inženiring, oblikovanje itd.

lahko najdete z množenjem. Na primer: 5+5+5+5+5+5=5x6. Za tak izraz pravimo, da je vsota enakih členov zložena v produkt. In obratno, če to enakost beremo od desne proti levi, ugotovimo, da smo razširili vsoto enakih členov. Podobno lahko strnete produkt več enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5=5 6.

To pomeni, da namesto množenja šestih enakih faktorjev 5x5x5x5x5x5 napišejo 5 6 in rečejo "pet na šesto potenco."

Izraz 5 6 je potenca števila, kjer je:

5 - diplomska osnova;

6 - eksponent.

Dejanja, s katerimi zmnožek enakih faktorjev reduciramo na potenco, imenujemo povišanje na moč.

IN splošni pogled stopnja z osnovo "a" in eksponentom "n" je zapisana takole

Dvig števila a na potenco n pomeni iskanje produkta n faktorjev, od katerih je vsak enak a

Če je osnova stopnje "a" enaka 1, potem bo vrednost stopnje za poljubno naravno število n enaka 1. Na primer, 1 5 =1, 1 256 =1

Če številko "a" povišate na prve stopnje, potem dobimo samo število a: a 1 = a

Če katero koli številko dvignete na nič stopinje, potem kot rezultat izračunov dobimo enega. a 0 = 1

Druga in tretja potenca števila veljata za posebne. Izmislili so jim imena: druga stopnja se imenuje kvadrat številke, tretji - kocka to številko.

Vsako število je mogoče dvigniti na potenco - pozitivno, negativno ali nič. V tem primeru ne veljajo naslednja pravila:

Pri iskanju potence pozitivnega števila je rezultat pozitivno število.

Pri izračunu nič in naravna stopnja dobimo ničlo.

x m · x n = x m + n

na primer: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

Za delijo potence z enakimi osnovami Osnove ne spreminjamo, ampak eksponente odštejemo:

x m / x n = x m - n , Kje, m > n,

na primer: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

Pri izračunu povišanje moči na moč Osnove ne spreminjamo, ampak eksponente med seboj pomnožimo.

(pri m ) n = y m n

na primer: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · y) n = x n · y m ,

na primer: (2 3) 3 = 2 n 3 m,

Pri izračunih po povišanje ulomka na potencoštevec in imenovalec ulomka dvignemo na dano potenco

(x/y)n = x n / y n

na primer: (2/5) 3 = (2/5) · (2 / 5) · (2 / 5) = 2 3 / 5 3.

Zaporedje izračunov pri delu z izrazi, ki vsebujejo stopnjo.

Pri izračunih izrazov brez oklepajev, ki vsebujejo potence, najprej izvedejo potenciranje, nato množenje in deljenje in šele nato operacije seštevanja in odštevanja.

Če morate izračunati izraz, ki vsebuje oklepaje, najprej opravite izračune v oklepajih v zgoraj navedenem vrstnem redu, nato pa preostala dejanja v istem vrstnem redu od leve proti desni.

V praktičnih izračunih se za poenostavitev izračunov zelo pogosto uporabljajo že pripravljene tabele moči.