Kaj je vsota aritmetične progresije? Aritmetična progresija – številsko zaporedje

Ja, ja: aritmetična progresija ni igrača zate :)

No, prijatelji, če berete to besedilo, potem mi interni cap-dokaz pravi, da še ne veste, kaj je aritmetična progresija, vendar resnično (ne, takole: SOOOOO!) želite vedeti. Zato vas ne bom mučil z dolgimi uvodi in bom prešel kar k bistvu.

Najprej nekaj primerov. Oglejmo si več nizov številk:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Kaj imajo skupnega vsi ti sklopi? Na prvi pogled nič. Toda v resnici je nekaj. namreč: vsak naslednji element se od prejšnjega razlikuje za isto številko.

Presodite sami. Prvi niz so preprosto zaporedne številke, pri čemer je vsako naslednje eno večje od prejšnjega. V drugem primeru razlika med serijami stoječe številke je že enako pet, vendar je ta razlika še vedno konstantna. V tretjem primeru so korenine v celoti. Vendar $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ in $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. in v tem primeru se vsak naslednji element preprosto poveča za $\sqrt(2)$ (in ne bojte se, da je to število iracionalno).

Torej: vsa taka zaporedja se imenujejo aritmetične progresije. Dajmo strogo definicijo:

Opredelitev. Zaporedje števil, pri katerem se vsako naslednje od prejšnjega razlikuje za popolnoma enako količino, imenujemo aritmetična progresija. Sama količina, za katero se števila razlikujejo, se imenuje progresijska razlika in jo najpogosteje označujemo s črko $d$.

Zapis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je progresija sama, $d$ je njena razlika.

In samo nekaj pomembnih opomb. Prvič, upošteva se samo napredovanje naročeno zaporedje številk: dovoljeno jih je brati strogo v vrstnem redu, v katerem so zapisane - in nič drugače. Številk ni mogoče preurediti ali zamenjati.

Drugič, samo zaporedje je lahko končno ali neskončno. Na primer, množica (1; 2; 3) je očitno končna aritmetična progresija. Če pa nekaj napišeš v duhu (1; 2; 3; 4; ...) - to je že neskončno napredovanje. Zdi se, da elipsa za štirico namiguje, da bo prišlo še kar nekaj številk. Neskončno veliko, na primer. :)

Prav tako želim opozoriti, da se napredovanje lahko povečuje ali zmanjšuje. Videli smo že naraščajoče - isti niz (1; 2; 3; 4; ...). Tukaj so primeri padajočih napredovanj:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

V redu, v redu: zadnji primer se morda zdi preveč zapleten. Ostalo pa mislim, da razumete. Zato uvajamo nove definicije:

Opredelitev. Aritmetična progresija se imenuje:

narašča, če je vsak naslednji element večji od prejšnjega;

padajoče, če je, nasprotno, vsak naslednji element manjši od prejšnjega.

Poleg tega obstajajo tako imenovana "stacionarna" zaporedja - sestavljena so iz istega ponavljajočega se števila. Na primer (3; 3; 3; ...).

Ostaja samo eno vprašanje: kako ločiti naraščajoče napredovanje od padajočega? Na srečo je tukaj vse odvisno samo od predznaka števila $d$, tj. razlike v napredovanju:

Če je $d \gt 0$, potem napredovanje narašča;
Če je $d \lt 0$, potem napredovanje očitno pada;
Končno je tu še primer $d=0$ - v tem primeru je celotna progresija reducirana na stacionarno zaporedje enakih števil: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Poskusimo izračunati razliko $d$ za tri zgoraj navedene padajoče progresije. Če želite to narediti, je dovolj, da vzamete katera koli dva sosednja elementa (na primer prvega in drugega) in odštejete številko na levi od številke na desni. Videti bo takole:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kot vidimo, se je v vseh treh primerih razlika dejansko izkazala za negativno. In zdaj, ko smo bolj ali manj ugotovili definicije, je čas, da ugotovimo, kako so napredovanja opisana in kakšne lastnosti imajo.

Pogoji napredovanja in formula ponovitve

Ker elementov naših zaporedij ni mogoče zamenjati, jih lahko oštevilčimo:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \prav$\]

Posamezne elemente te množice imenujemo člani progresije. Označeni so s številko: prvi član, drugi član itd.

Poleg tega, kot že vemo, so sosednji členi napredovanja povezani s formulo:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Desna puščica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Skratka, če želite najti $n$-ti člen napredovanja, morate poznati $n-1$-ti člen in razliko $d$. Ta formula se imenuje ponavljajoča se, ker z njeno pomočjo lahko najdete poljubno število samo s poznavanjem prejšnjega (in pravzaprav vseh prejšnjih). To je zelo neprijetno, zato obstaja bolj zvita formula, ki vse izračune zmanjša na prvi izraz in razliko:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\levo(n-1 \desno)d\]

Verjetno ste že naleteli na to formulo. Radi ga dajejo v vseh vrstah referenčnih knjig in knjig rešitev. In v vsakem pametnem matematičnem učbeniku je eden prvih.

Vendar predlagam, da malo vadite.

Naloga št. 1. Zapišite prve tri člene aritmetične progresije $\left(((a)_(n)) \right)$, če je $((a)_(1))=8,d=-5$.

rešitev. Torej poznamo prvi člen $((a)_(1))=8$ in razliko progresije $d=-5$. Uporabimo pravkar navedeno formulo in nadomestimo $n=1$, $n=2$ in $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\levo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\levo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\levo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; −2)

To je vse! Upoštevajte: naše napredovanje se zmanjšuje.

Seveda $n=1$ ne moremo zamenjati - prvi člen nam je že znan. Z zamenjavo enotnosti pa smo se prepričali, da tudi za prvi člen naša formula deluje. V drugih primerih se je vse spustilo na banalno aritmetiko.

Naloga št. 2. Zapišite prve tri člene aritmetičnega napredovanja, če je njegov sedmi člen enak −40 in njegov sedemnajsti člen enak −50.

rešitev. Zapišimo pogoj problema z znanimi izrazi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\levo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \prav.\]

Sistemski znak sem dal, ker morajo biti te zahteve izpolnjene hkrati. Zdaj pa opozorimo, da če odštejemo prvo od druge enačbe (imamo pravico do tega, ker imamo sistem), dobimo tole:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Tako enostavno je najti razliko v napredovanju! Vse, kar ostane, je nadomestiti najdeno število v katero koli enačbo sistema. Na primer, v prvem:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \konec(matrika)\]

Zdaj, ko poznamo prvi izraz in razliko, moramo najti še drugi in tretji člen:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

pripravljena! Problem je rešen.

Odgovor: (−34; −35; −36)

Bodite pozorni na zanimivo lastnost progresije, ki smo jo odkrili: če vzamemo $n$-ti in $m$-ti člen in ju odštejemo drug od drugega, dobimo razliko progresije, pomnoženo s številom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \desno)\]

Enostavno, a zelo uporabna lastnina, ki ga vsekakor morate vedeti – z njegovo pomočjo lahko občutno pospešite reševanje številnih težav pri napredovanju. Tukaj je jasen primer tega:

Naloga št. 3. Peti člen aritmetične progresije je 8,4, deseti člen pa 14,4. Poiščite petnajsti člen tega napredovanja.

rešitev. Ker je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ in moramo najti $((a)_(15))$, opazimo naslednje:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Toda po pogoju $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, torej $5d=6$, iz česar imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je vse! Ni nam bilo treba ustvariti nobenih sistemov enačb in izračunati prvega člena in razlike - vse je bilo rešeno v samo nekaj vrsticah.

Zdaj pa poglejmo drugo vrsto problema - iskanje negativnih in pozitivnih izrazov napredovanja. Ni skrivnost, da če napredovanje narašča in je njegov prvi člen negativen, se bodo prej ali slej v njem pojavili pozitivni izrazi. In obratno: pogoji padajočega napredovanja bodo prej ali slej postali negativni.

Hkrati ni vedno mogoče najti tega trenutka "čelo naprej" z zaporednim prehodom skozi elemente. Pogosto so naloge napisane tako, da bi brez poznavanja formul izračuni vzeli več listov papirja – preprosto bi zaspali, medtem ko bi našli odgovor. Zato poskusimo te težave rešiti na hitrejši način.

Naloga št. 4. Koliko negativnih členov je v aritmetični progresiji −38,5; −35,8; ...?

rešitev. Torej, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, od koder takoj najdemo razliko:

Upoštevajte, da je razlika pozitivna, zato napredovanje narašča. Prvi člen je negativen, tako da bomo na neki točki dejansko naleteli na pozitivna števila. Vprašanje je le, kdaj se bo to zgodilo.

Poskusimo ugotoviti: do kdaj (tj. do česa naravno število$n$) negativnost izrazov je ohranjena:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\levo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \levo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna puščica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Zadnja vrstica zahteva nekaj razlage. Torej vemo, da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. Po drugi strani pa se zadovoljimo le s celimi vrednostmi števila (še več: $n\in \mathbb(N)$), tako da je največje dovoljeno število ravno $n=15$ in v nobenem primeru 16 .

Naloga št. 5. V aritmetični progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Poiščite število prvega pozitivnega člena tega napredovanja.

To bi bil popolnoma enak problem kot prejšnji, vendar ne poznamo $((a)_(1))$. Toda sosednji členi so znani: $((a)_(5))$ in $((a)_(6))$, tako da zlahka najdemo razliko progresije:

Poleg tega poskusimo izraziti peti člen skozi prvi in razliko s standardno formulo:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\ctočka 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Zdaj nadaljujemo po analogiji s prejšnjo nalogo. Ugotovimo, na kateri točki našega zaporedja se bodo pojavila pozitivna števila:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Desna puščica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanjša celoštevilska rešitev te neenačbe je število 56.

Upoštevajte: v zadnji nalogi se je vse zmanjšalo na strogo neenakost, zato nam možnost $n=55$ ne bo ustrezala.

Zdaj, ko smo se naučili reševati preproste probleme, pojdimo k bolj zapletenim. Najprej pa preučimo še eno zelo uporabno lastnost aritmetičnih progresij, ki nam bo v prihodnosti prihranila veliko časa in neenakih celic. :)

Aritmetična sredina in enaki zamiki

Oglejmo si več zaporednih členov naraščajoče aritmetične progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Poskusimo jih označiti na številski premici:

Izrazi aritmetične progresije na številski premici

Posebej sem označil poljubne izraze $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ in ne nekih $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Ker pravilo, o katerem vam bom zdaj povedal, deluje enako za vse "segmente".

In pravilo je zelo preprosto. Spomnimo se rekurentne formule in jo zapišimo za vse označene izraze:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Vendar lahko te enakosti prepišemo drugače:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

No, kaj pa? In dejstvo, da izraza $((a)_(n-1))$ in $((a)_(n+1))$ ležita na enaki razdalji od $((a)_(n)) $ . In ta razdalja je enaka $d$. Enako lahko rečemo za izraza $((a)_(n-2))$ in $((a)_(n+2))$ - prav tako sta odstranjena iz $((a)_(n) )$ na enaki razdalji, ki je enaka $2d$. Lahko nadaljujemo v nedogled, a pomen dobro ponazarja slika

Izrazi napredovanja ležijo na enaki razdalji od središča

Kaj to pomeni za nas? To pomeni, da je $((a)_(n))$ mogoče najti, če so znane sosednje številke:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izpeljali smo odlično trditev: vsak člen aritmetične progresije je enak aritmetični sredini sosednjih členov! Še več: od našega $((a)_(n))$ lahko stopimo nazaj v levo in desno ne za en korak, ampak za $k$ korakov - in formula bo še vedno pravilna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tisti. zlahka najdemo nekaj $((a)_(150))$, če poznamo $((a)_(100))$ in $((a)_(200))$, ker $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled se morda zdi, da nam to dejstvo ne daje nič koristnega. Vendar pa je v praksi veliko problemov posebej prilagojenih za uporabo aritmetične sredine. Poglej:

Naloga št. 6. Poiščite vse vrednosti $x$, za katere so števila $-6((x)^(2))$, $x+1$ in $14+4((x)^(2))$ zaporedni členi aritmetična progresija (v navedenem vrstnem redu).

rešitev. Zaradi določene številke so členi progresije, je zanje izpolnjen pogoj aritmetične sredine: osrednji element $x+1$ lahko izrazimo s sosednjimi elementi:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Izkazalo se je klasično kvadratna enačba. Njegove korenine: $x=2$ in $x=-3$ sta odgovora.

Odgovor: −3; 2.

Naloga št. 7. Poiščite vrednosti $$, pri katerih števila $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvorijo aritmetično progresijo (v tem vrstnem redu).

rešitev. Izrazimo se še enkrat povprečen član skozi aritmetično sredino sosednjih členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Spet kvadratna enačba. In spet sta dva korena: $x=6$ in $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Če med reševanjem težave pridete do nekaj brutalnih številk ali niste povsem prepričani o pravilnosti najdenih odgovorov, potem obstaja čudovita tehnika, ki vam omogoča, da preverite: ali smo težavo pravilno rešili?

Recimo, da smo pri nalogi št. 6 dobili odgovora −3 in 2. Kako lahko preverimo, ali sta odgovora pravilna? Samo priključimo jih v prvotno stanje in poglejmo, kaj se bo zgodilo. Naj vas spomnim, da imamo tri števila ($-6(()^(2))$, $+1$ in $14+4(()^(2))$, ki morajo tvoriti aritmetično progresijo. Zamenjajmo $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo števila −54; −2; 50, ki se razlikujejo za 52, je nedvomno aritmetična progresija. Enako se zgodi za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Spet napredovanje, vendar z razliko 27. Tako je bila naloga pravilno rešena. Tisti, ki želijo, lahko sami preverijo drugo težavo, vendar bom takoj rekel: tudi tam je vse pravilno.

Na splošno smo pri reševanju zadnjih težav naleteli na drugo zanimivo dejstvo, kar si je treba zapomniti tudi:

Če so tri števila taka, da je drugo aritmetična sredina prvega in zadnjega, potem ta števila tvorijo aritmetično napredovanje.

V prihodnosti nam bo razumevanje te izjave omogočilo, da dobesedno "konstruiramo" potrebna napredovanja na podlagi pogojev problema. Preden pa se lotimo takšne »konstrukcije«, moramo biti pozorni še na eno dejstvo, ki neposredno izhaja iz že obravnavanega.

Združevanje in seštevanje elementov

Vrnimo se spet k številski osi. Naj tam opazimo več členov progresije, med katerimi morda. je vreden veliko drugih članov:

Na številski premici je označenih 6 elementov

Poskusimo izraziti "levi rep" z $((a)_(n))$ in $d$, "desni rep" pa z $((a)_(k))$ in $d$. Zelo preprosto je:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Upoštevajte, da so naslednji zneski enaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Preprosto povedano, če za začetek upoštevamo dva elementa progresije, ki sta skupaj enaka nekemu številu $S$, in nato začnemo korakati od teh elementov v nasprotnih smereh (drug proti drugemu ali obratno, da se oddaljimo), potem enake bodo tudi vsote elementov, ob katere se bomo spotaknili$S$. To lahko najbolj nazorno predstavimo grafično:

Enake vdolbine dajejo enake količine

Razumevanje to dejstvo nam bo omogočilo bistveno večjo rešitev težav visoka stopnja težave od tistih, ki smo jih obravnavali zgoraj. Na primer te:

Naloga št. 8. Določite razliko aritmetične progresije, v kateri je prvi člen 66, zmnožek drugega in dvanajstega člena pa je najmanjši možni.

rešitev. Zapišimo vse, kar vemo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Torej ne poznamo progresijske razlike $d$. Pravzaprav bo celotna rešitev zgrajena okoli razlike, saj je izdelek $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ mogoče prepisati na naslednji način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\levo(66+d \desno)\cdot \levo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \desno). \end(align)\]

Za tiste v rezervoarju: skupni množitelj 11 sem vzel iz drugega oklepaja. Tako je želeni produkt kvadratna funkcija glede na spremenljivko $d$. Zato razmislite o funkciji $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - njen graf bo parabola z vejami navzgor, ker če razširimo oklepaje, dobimo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kot lahko vidite, je koeficient najvišjega člena 11 - to je pozitivno število, tako da imamo res opravka s parabolo z vejami navzgor:

urnik kvadratna funkcija- parabola
Prosimo, upoštevajte: ta parabola ima najmanjšo vrednost na svojem oglišču z absciso $((d)_(0))$. Seveda lahko to absciso izračunamo z standardna shema(obstaja formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), vendar bi bilo veliko bolj smiselno opozoriti, da želeno oglišče leži na simetrični osi parabolo, zato je točka $((d) _(0))$ enako oddaljena od korenin enačbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \desno)\cdot \left(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato se mi ni posebej mudilo z odpiranjem oklepajev: v prvotni obliki je bilo korenine zelo, zelo enostavno najti. Zato je abscisa enaka sredini aritmetična števila−66 in −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Kaj nam da odkrito število? Z njim zahtevani produkt prevzame najmanjšo vrednost (mimogrede, nikoli nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - to se od nas ne zahteva). Hkrati je to število razlika prvotne progresije, tj. smo našli odgovor. :)

Odgovor: −36

Naloga št. 9. Med števili $-\frac(1)(2)$ in $-\frac(1)(6)$ vstavi tri števila tako, da skupaj s temi števili tvorijo aritmetično progresijo.

rešitev. V bistvu moramo sestaviti zaporedje petih številk, pri čemer sta prva in zadnja številka že znani. Označimo manjkajoča števila s spremenljivkami $x$, $y$ in $z$:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Upoštevajte, da je število $y$ »sredina« našega zaporedja - je enako oddaljeno od števil $x$ in $z$ ter od števil $-\frac(1)(2)$ in $-\frac (1)( 6)$. In če smo iz števil $x$ in $z$ v ta trenutek ne moremo dobiti $y$, potem je situacija drugačna s konci napredovanja. Spomnimo se aritmetične sredine:

Zdaj, ko poznamo $y$, bomo našli preostala števila. Upoštevajte, da $x$ leži med številkama $-\frac(1)(2)$ in $y=-\frac(1)(3)$, ki smo ju pravkar našli. Zato

S podobnim razmišljanjem najdemo preostalo število:

pripravljena! Našli smo vse tri številke. Zapišimo jih v odgovor v vrstnem redu, v katerem naj bodo vstavljene med prvotna števila.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Naloga št. 10. Med števili 2 in 42 vstavi več števil, ki skupaj s temi števili tvorijo aritmetično progresijo, če veš, da je vsota prvega, drugega in zadnjega vstavljenega števila 56.

rešitev. Še bolj zapleten problem, ki pa je rešen po isti shemi kot prejšnji - skozi aritmetično sredino. Težava je v tem, da ne vemo natančno, koliko številk je treba vstaviti. Zato za določnost predpostavimo, da bo po vstavitvi vsega natanko $n$ števil, od katerih je prvo 2, zadnje pa 42. V tem primeru lahko zahtevano aritmetično progresijo predstavimo v obliki:

\[\levo(((a)_(n)) \desno)=\levo$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Upoštevajte pa, da sta števili $((a)_(2))$ in $((a)_(n-1))$ dobljeni iz števil 2 in 42 na robovih z enim korakom drug proti drugemu, tj. v središče zaporedja. In to pomeni to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Toda zgoraj napisani izraz lahko prepišemo takole:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \levo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Če poznamo $((a)_(3))$ in $((a)_(1))$, zlahka najdemo razliko napredovanja:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\levo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Desna puščica d=5. \\ \end(align)\]

Vse kar ostane je, da poiščemo preostale pogoje:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako bomo že na 9. koraku prišli do levega konca zaporedja - številke 42. Skupaj je bilo treba vstaviti samo 7 številk: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Besedne težave z napredovanjem

Na koncu bi rad razmislil o nekaj relativno preproste naloge. No, tako preprosto: za večino učencev, ki se v šoli učijo matematiko in niso prebrali zgoraj zapisanega, se te težave morda zdijo težke. Kljub temu so to vrste težav, ki se pojavljajo na OGE in Enotnem državnem izpitu iz matematike, zato priporočam, da se z njimi seznanite.

Naloga št. 11. Ekipa je januarja izdelala 62 delov, v vsakem naslednjem mesecu pa 14 delov več kot prejšnji mesec. Koliko delov je ekipa izdelala novembra?

rešitev. Očitno bo število delov, navedenih po mesecih, predstavljalo naraščajočo aritmetično progresijo. Poleg tega:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\levo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesec v letu, zato moramo najti $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Novembra bodo torej izdelali 202 dela.

Naloga št. 12. Knjigoveška delavnica je v januarju zvezala 216 knjig, v vsakem naslednjem mesecu pa 4 knjige več kot prejšnji mesec. Koliko knjig je zvezala delavnica v decembru?

rešitev. Vse enako:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\levo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je zadnji, 12. mesec v letu, zato iščemo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

To je odgovor – decembra bo vezanih 260 knjig.

No, če ste prebrali tako daleč, vam hitim čestitati: uspešno ste zaključili »tečaj za mladega borca« v aritmetičnih progresijah. Lahko varno preidete na naslednjo lekcijo, kjer bomo preučevali formulo za vsoto napredovanja, pa tudi pomembne in zelo uporabne posledice iz nje.

I. V. Jakovlev | Materiali za matematiko | MathUs.ru

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je posebna vrsta zaporedja. Zato moramo pred definiranjem aritmetične (in nato geometrijske) progresije na kratko obravnavati pomemben koncept številskega zaporedja.

Naknadno zaporedje

Predstavljajte si napravo, na zaslonu katere se ena za drugo izpisujejo določene številke. Recimo 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Ta niz številk je natanko primer zaporedja.

Opredelitev. Številsko zaporedje je niz števil, v katerem je vsakemu številu mogoče pripisati edinstveno število (to je, povezano z enim samim naravnim številom)1. Pokličemo število s številko n n-ti izraz zaporedja.

Torej, v zgornjem primeru je prvo število 2, to je prvi član zaporedja, ki ga lahko označimo z a1; število pet ima število 6 peti člen zaporedja, ki ga lahko označimo z a5. Na splošno je n-ti člen zaporedja označen z an (ali bn, cn itd.).

Zelo priročna situacija je, ko lahko n-ti člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula an = 2n 3 določa zaporedje: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Formula an = (1)n podaja zaporedje: 1; 1; 1; 1; : : :

Vsak niz številk ni zaporedje. Tako segment ni zaporedje; vsebuje "preveč" številk, ki bi jih bilo treba preštevilčiti. Tudi množica R vseh realnih števil ni zaporedje. Ta dejstva so dokazana z matematično analizo.

Aritmetična progresija: osnovne definicije

Zdaj smo pripravljeni definirati aritmetično progresijo.

Opredelitev. Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem vsak člen (začenši od drugega) enaka vsoti prejšnji člen in neko fiksno število (imenovano razlika aritmetične progresije).

Na primer, zaporedje 2; 5; 8; enajst; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 2 in razliko 3. Zaporedje 7; 2; 3; 8; : : : je aritmetična progresija s prvim členom 7 in razliko 5. Zaporedje 3; 3; 3; : : : je aritmetična progresija z razliko, ki je enaka nič.

Ekvivalentna definicija: zaporedje an imenujemo aritmetična progresija, če je razlika an+1 an konstantna vrednost (neodvisna od n).

Aritmetična progresija se imenuje naraščajoča, če je razlika pozitivna, in padajoča, če je razlika negativna.

1 Tukaj pa je bolj jedrnata definicija: zaporedje je funkcija, definirana na množici naravnih števil. Na primer, zaporedje realnih števil je funkcija f: N ! R.

Zaporedja se privzeto štejejo za neskončna, kar pomeni, da vsebujejo neskončno število števil. Toda nihče nas ne moti, da upoštevamo končna zaporedja; pravzaprav lahko vsako končno množico števil imenujemo končno zaporedje. Na primer, končno zaporedje je 1; 2; 3; 4; 5 je sestavljen iz petih številk.

Formula za n-ti člen aritmetičnega napredovanja

Zlahka je razumeti, da aritmetično napredovanje v celoti določata dve števili: prvi člen in razlika. Zato se postavlja vprašanje: kako, če poznamo prvi člen in razliko, najti poljuben člen aritmetičnega napredovanja?

Zahtevane formule za n-ti člen aritmetičnega napredovanja ni težko dobiti. Naj an

aritmetična progresija z razliko d. Imamo:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Še posebej pišemo:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
in zdaj postane jasno, da je formula za a:
an = a1 + (n 1)d:

Problem 1. V aritmetični progresiji 2; 5; 8; enajst; : : : poišči formulo za n-ti člen in izračunaj stoti člen.

rešitev. Po formuli (1) imamo:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Lastnost in znak aritmetične progresije

Lastnost aritmetične progresije. V aritmetični progresiji za katero koli

Z drugimi besedami, vsak člen aritmetične progresije (začenši od drugega) je aritmetična sredina sosednjih članov.

	Dokaz. Imamo:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

kar je bilo zahtevano.

več na splošen način, aritmetična progresija an izpolnjuje enakost

a n = a n k+ a n+k

za vsak n > 2 in vsak naravni k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Izkazalo se je, da formula (2) služi ne le kot nujen, temveč tudi kot zadosten pogoj, da je zaporedje aritmetična progresija.

Znak za aritmetično progresijo. Če enakost (2) velja za vse n > 2, potem je zaporedje an aritmetična progresija.

Dokaz. Prepišimo formulo (2) na naslednji način:

a na n 1= a n+1a n:

Iz tega lahko vidimo, da razlika an+1 an ni odvisna od n, kar natanko pomeni, da je zaporedje an aritmetična progresija.

Lastnost in znak aritmetične progresije je mogoče oblikovati v obliki ene izjave; Za udobje bomo to storili za tri številke (to je situacija, ki se pogosto pojavi pri težavah).

Karakterizacija aritmetične progresije. Tri števila a, b, c tvorijo aritmetično progresijo, če in samo če je 2b = a + c.

Problem 2. (MSU, Ekonomska fakulteta, 2007) Tri števila 8x, 3 x2 in 4 v navedenem vrstnem redu tvorijo padajočo aritmetično progresijo. Poiščite x in označite razliko te progresije.

rešitev. Po lastnosti aritmetične progresije imamo:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Če je x = 1, potem dobimo padajočo progresijo 8, 2, 4 z razliko 6. Če je x = 5, potem dobimo naraščajočo progresijo 40, 22, 4; ta primer ni primeren.

Odgovor: x = 1, razlika je 6.

Vsota prvih n členov aritmetične progresije

Legenda pravi, da je nekega dne učitelj otrokom rekel, naj poiščejo vsoto števil od 1 do 100, in tiho sedel in bral časopis. Vendar je v nekaj minutah en fant rekel, da je rešil težavo. To je bil 9-letni Carl Friedrich Gauss, pozneje eden največjih matematikov v zgodovini.

Ideja malega Gaussa je bila naslednja. Pustiti

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Zapišimo ta znesek v obratnem vrstnem redu:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

in dodajte ti dve formuli:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Vsak izraz v oklepaju je enak 101, skupaj pa je takih izrazov 100. Torej

2S = 101 100 = 10100;

To idejo uporabimo za izpeljavo formule vsote

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Uporabno modifikacijo formule (3) dobimo, če vanjo nadomestimo formulo n-tega člena an = a1 + (n 1)d:

		2a1 + (n 1)d

Naloga 3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih trimestnih števil, deljivih s 13.

rešitev. Trimestna števila, večkratniki 13, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom 104 in razliko 13; N-ti člen tega napredovanja ima obliko:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Ugotovimo, koliko členov vsebuje naše napredovanje. Da bi to naredili, rešimo neenakost:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:

Torej, v našem napredovanju je 69 članov. S formulo (4) najdemo zahtevano količino:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2

Ali pa je aritmetika vrsta urejenega številskega zaporedja, katerega lastnosti preučujemo šolski tečaj algebra. Ta članek podrobno obravnava vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja.

Kakšno napredovanje je to?

Preden preidemo na vprašanje (kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja), je vredno razumeti, o čem govorimo.

Vsako zaporedje realnih števil, ki ga dobimo tako, da vsakemu prejšnjemu številu prištejemo (odštejemo) neko vrednost, imenujemo algebraična (aritmetična) progresija. Ta definicija, če jo prevedemo v matematični jezik, ima obliko:

Tukaj sem - serijska številka element serije a i . Tako lahko, če poznate samo eno startno številko, enostavno obnovite celotno serijo. Parameter d v formuli se imenuje progresijska razlika.

Preprosto je mogoče pokazati, da za obravnavano vrsto števil velja naslednja enakost:

a n = a 1 + d * (n - 1).

To pomeni, da bi našli vrednost n-tega elementa po vrstnem redu, bi morali dodati razliko d prvemu elementu a 1 n-1-krat.

Kaj je vsota aritmetične progresije: formula

Preden navedete formulo za navedeni znesek, je vredno razmisliti o preprostem poseben primer. Glede na napredovanje naravnih števil od 1 do 10 morate najti njihovo vsoto. Ker je v progresiji malo členov (10), je možno problem rešiti neposredno, torej sešteti vse elemente po vrsti.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Vredno je razmisliti o eni zanimivosti: ker se vsak člen razlikuje od naslednjega za isto vrednost d = 1, potem bo parno seštevanje prvega z desetim, drugega z devetim in tako naprej dalo enak rezultat. res:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kot lahko vidite, je teh vsot le 5, to je natanko dvakrat manj od števila elementov niza. Če nato število vsot (5) pomnožite z rezultatom vsake vsote (11), boste prišli do rezultata, dobljenega v prvem primeru.

Če posplošimo te argumente, lahko zapišemo naslednji izraz:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Iz tega izraza je razvidno, da sploh ni potrebno sešteti vseh elementov po vrsti, dovolj je poznati vrednost prvega a 1 in zadnjega a n ter skupno število n pogoji.

Domneva se, da je Gauss prvič pomislil na to enakost, ko je iskal rešitev problema, ki ga je zastavil njegov učitelj: seštejte prvih 100 celih števil.

Vsota elementov od m do n: formula

Formula, podana v prejšnjem odstavku, odgovarja na vprašanje, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja (prvi elementi), vendar je pogosto v nalogah treba sešteti vrsto števil sredi napredovanja. Kako narediti?

Na to vprašanje najlažje odgovorimo tako, da upoštevamo naslednji primer: naj bo treba najti vsoto členov od m-tega do n-tega. Za rešitev problema morate dani segment od m do n progresije predstaviti v obliki nove številske serije. V tem pogledu m. termin a m bo prvi, a n pa bo oštevilčen z n-(m-1). V tem primeru z uporabo standardne formule za vsoto dobimo naslednji izraz:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primer uporabe formul

Če veste, kako najti vsoto aritmetičnega napredovanja, je vredno razmisliti o preprostem primeru uporabe zgornjih formul.

Spodaj je podano številčno zaporedje, bi morali najti vsoto njegovih členov, začenši s 5. in konča z 12.:

Dane številke kažejo, da je razlika d enaka 3. Z izrazom za n-ti element lahko najdete vrednosti 5. in 12. člena napredovanja. Izkazalo se je:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Poznavanje vrednosti števil na koncu danega algebrsko napredovanje, in tudi če veste, katere številke v vrstici zasedajo, lahko uporabite formulo za znesek, dobljen v prejšnjem odstavku. Izkazalo se bo:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Omeniti velja, da bi to vrednost lahko dobili drugače: najprej poiščite vsoto prvih 12 elementov s standardno formulo, nato izračunajte vsoto prvih 4 elementov z isto formulo, nato pa odštejte drugega od prve vsote.

Če za vsako naravno število n ujemati z realnim številom a n , potem pravijo, da se da številčno zaporedje :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Torej je številsko zaporedje funkcija naravnega argumenta.

številka a 1 klical prvi člen zaporedja , številka a 2 — drugi člen zaporedja , številka a 3 — tretji in tako naprej. številka a n klical n-ti člen zaporedja , in naravno število n — njegova številka .

Iz dveh sosednjih členov a n in a n +1 člen zaporedja a n +1 klical naknadno (proti a n ), A a n — prejšnji (proti a n +1 ).

Če želite definirati zaporedje, morate podati metodo, ki omogoča iskanje člana zaporedja s poljubno številko.

Pogosto je zaporedje določeno z uporabo formule n-tega člena , to je formula, ki vam omogoča, da določite člana zaporedja po njegovi številki.

na primer

zaporedje pozitivnih lihih števil lahko podamo s formulo

a n= 2n- 1,

in zaporedje menjavanja 1 in -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Zaporedje je mogoče določiti ponavljajoča se formula, to je formula, ki izraža kateri koli člen zaporedja, začenši z nekaterimi, prek prejšnjih (enega ali več) členov.

na primer

če a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

če a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potem je prvih sedem členov številskega zaporedja določenih na naslednji način:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Zaporedja so lahko dokončno in neskončno .

Zaporedje se imenuje končni , če ima končno število članov. Zaporedje se imenuje neskončno , če ima neskončno veliko članov.

na primer

zaporedje dvomestnih naravnih števil:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

dokončno.

Zaporedje praštevil:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

neskončno. ◄

Zaporedje se imenuje povečevanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, večji od prejšnjega.

Zaporedje se imenuje zmanjševanje , če je vsak njen član, začenši z drugim, manjši od prejšnjega.

na primer

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — naraščajoče zaporedje;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — padajoče zaporedje. ◄

Imenuje se zaporedje, katerega elementi se z naraščanjem števila ne zmanjšujejo ali, nasprotno, ne povečujejo monotono zaporedje .

Monotona zaporedja so zlasti naraščajoča zaporedja in padajoča zaporedja.

Aritmetična progresija

Aritmetična progresija je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, ki mu je dodano enako število.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetična progresija, če je za katero koli naravno število n pogoj je izpolnjen:

a n +1 = a n + d,

Kje d - določeno število.

Tako je razlika med naslednjim in prejšnjim členom dane aritmetične progresije vedno konstantna:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

številka d klical razlika aritmetične progresije.

Za določitev aritmetične progresije je dovolj, da navedete njen prvi člen in razliko.

na primer

če a 1 = 3, d = 4 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Za aritmetično napredovanje s prvim členom a 1 in razlika d njo n

a n = a 1 + (n- 1)d.

na primer

poiščite trideseti člen aritmetične progresije

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potem očitno

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Vsak člen aritmetične progresije, začenši od drugega, je enak aritmetični sredini predhodnega in naslednjih členov.

števila a, b in c so zaporedni členi neke aritmetične progresije, če in samo če je eden od njih enak aritmetični sredini drugih dveh.

na primer

a n = 2n- 7 , je aritmetična progresija.

Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

a n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

torej

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Upoštevajte to n Člen aritmetičnega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi a 1 , temveč tudi vse prejšnje a k

a n = a k + (n- k)d.

na primer

Za a 5 se da zapisati

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potem očitno

a n=	a n-k + a n+k
	2

kateri koli člen aritmetičnega napredovanja, začenši od drugega, je enak polovici vsote enako razmaknjenih členov tega aritmetičnega napredovanja.

Poleg tega za vsako aritmetično progresijo velja naslednja enakost:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

na primer

v aritmetični progresiji

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, Ker

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

prvi n členov aritmetične progresije je enako zmnožku polovice vsote skrajnih členov in števila členov:

Od tod zlasti sledi, da če morate sešteti izraze

a k, a k +1 , . . . , a n,

potem prejšnja formula ohrani svojo strukturo:

na primer

v aritmetični progresiji 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Če je podana aritmetična progresija, potem količine a 1 , a n, d, n inS n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Aritmetična progresija je monotono zaporedje. pri čemer:

če d > 0 , potem se povečuje;
če d < 0 , potem se zmanjšuje;
če d = 0 , potem bo zaporedje stacionarno.

Geometrijsko napredovanje

Geometrijsko napredovanje je zaporedje, v katerem je vsak člen, začenši z drugim, enak prejšnjemu, pomnoženemu z istim številom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrijsko napredovanje, če je za vsako naravno število n pogoj je izpolnjen:

b n +1 = b n · q,

Kje q ≠ 0 - določeno število.

Tako je razmerje med naslednjim členom dane geometrijske progresije in prejšnjim konstantno število:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

številka q klical imenovalec geometrijske progresije.

Za določitev geometrijske progresije je dovolj, da navedemo njen prvi člen in imenovalec.

na primer

če b 1 = 1, q = -3 , potem najdemo prvih pet členov zaporedja, kot sledi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 in imenovalec q njo n Ti izraz je mogoče najti s formulo:

b n = b 1 · qn -1 .

na primer

poiščite sedmi člen geometrijskega napredovanja 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potem očitno

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

vsak člen geometrijske progresije, začenši z drugim, je enak geometrični sredini (proporcionalni) predhodnega in naslednjih členov.

Ker velja tudi obratno, velja naslednja trditev:

števila a, b in c so zaporedni členi neke geometrijske progresije, če in samo če je kvadrat enega od njih enako zmnožku drugi dve, to je eno od števil je geometrična sredina drugih dveh.

na primer

Dokažimo, da zaporedje, podano s formulo b n= -3 2 n , je geometrijsko napredovanje. Uporabimo zgornjo izjavo. Imamo:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

torej

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ki dokazuje želeno trditev. ◄

Upoštevajte to n Th člen geometrijskega napredovanja je mogoče najti ne samo skozi b 1 , ampak tudi kateri koli prejšnji član b k , za kar je dovolj, da uporabite formulo

b n = b k · qn - k.

na primer

Za b 5 se da zapisati

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potem očitno

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadrat katerega koli člena geometrijske progresije, začenši od drugega, je enak zmnožku členov te progresije, ki so enako oddaljeni od njega.

Poleg tega za vsako geometrijsko progresijo velja enakost:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

na primer

v geometrijski progresiji

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , Ker

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

prvi n členi geometrijskega napredovanja z imenovalcem q ≠ 0 izračunano po formuli:

In kdaj q = 1 - po formuli

S n= opomba 1

Upoštevajte, da če morate izraze sešteti

b k, b k +1 , . . . , b n,

potem se uporabi formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

na primer

v geometrijski progresiji 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Če je dano geometrijsko napredovanje, nato pa količine b 1 , b n, q, n in S n povezana z dvema formulama:

Torej, če so podane vrednosti katerih koli treh od teh količin, potem so ustrezne vrednosti drugih dveh količin določene iz teh formul, združenih v sistem dveh enačb z dvema neznankama.

Za geometrijsko napredovanje s prvim členom b 1 in imenovalec q se zgodi naslednje lastnosti monotonosti :

napredovanje se povečuje, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in q> 1;

b 1 < 0 in 0 < q< 1;

Napredovanje se zmanjša, če je izpolnjen eden od naslednjih pogojev:

b 1 > 0 in 0 < q< 1;

b 1 < 0 in q> 1.

če q< 0 , potem je geometrijsko napredovanje izmenično: njegovi členi z lihimi števili imajo enak predznak kot prvi člen, členi s sodimi števili pa nasprotni predznak. Jasno je, da izmenična geometrijska progresija ni monotona.

Izdelek prvega n člene geometrijske progresije lahko izračunamo po formuli:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

na primer

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Neskončno padajoča geometrijska progresija

Neskončno padajoča geometrijska progresija imenujemo neskončna geometrijska progresija, katere modul imenovalca je manjši 1 , to je

|q| < 1 .

Upoštevajte, da neskončno padajoča geometrijska progresija morda ni padajoče zaporedje. Primerno je za priložnost

1 < q< 0 .

Pri takem imenovalcu je zaporedje izmenično. na primer

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Vsota neskončno padajoče geometrijske progresije poimenuj število, ki se mu vsota prvih neomejeno približuje n člani progresije z neomejenim povečevanjem števila n . To število je vedno končno in je izraženo s formulo

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

na primer

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Razmerje med aritmetično in geometrijsko progresijo

Aritmetična in geometrijska progresija sta tesno povezani. Poglejmo samo dva primera.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , To

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

na primer

1, 3, 5, . . . - aritmetična progresija z razliko 2 in

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem q , To

dnevnik a b 1, dnevnik a b 2, dnevnik a b 3, . . . - aritmetična progresija z razliko dnevnik aq .

na primer

2, 12, 72, . . . - geometrijsko napredovanje z imenovalcem 6 in

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetična progresija z razliko lg 6 . ◄

Vsota aritmetične progresije.

Vsota aritmetične progresije je preprosta stvar. Tako po pomenu kot po formuli. Na to temo pa so najrazličnejše naloge. Od osnovnih do čisto solidnih.

Najprej razumejmo pomen in formulo zneska. In potem se bomo odločili. Za lastno veselje.) Pomen zneska je preprost kot mukanje. Če želite najti vsoto aritmetične progresije, morate samo skrbno sešteti vse njene člene. Če je teh izrazov malo, lahko dodate brez kakršnih koli formul. Če pa je veliko, ali veliko... dodajanje je moteče.) V tem primeru na pomoč priskoči formula.

Formula za znesek je preprosta:

Ugotovimo, kakšne črke so vključene v formulo. To bo marsikaj razjasnilo.

S n - vsota aritmetične progresije. Rezultat seštevanja vsičlani, z prvi Avtor: zadnji. Je pomembno. Natančno seštejejo Vsečlanov v vrsti, brez preskakovanja oz. In natančno, začenši od prvi. Pri težavah, kot je iskanje vsote tretjega in osmega člena ali vsote petega do dvajsetega člena, bo neposredna uporaba formule razočarala.)

a 1 - prvičlan napredovanja. Tukaj je vse jasno, preprosto prvištevilka vrstice.

a n- zadnjičlan napredovanja. Zadnja številka serije. Ni zelo znano ime, vendar je zelo primerno, če ga nanesemo na količino. Potem se boste prepričali sami.

n - številko zadnjega člana. Pomembno je razumeti, da je v formuli to število sovpada s številom dodanih izrazov.

Opredelimo pojem zadnjičlan a n. Kočljivo vprašanje: kateri član bo zadnjiče je dano neskončno aritmetična progresija?)

Za samozavesten odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... natančno preberite nalogo!)

Pri nalogi iskanja vsote aritmetične progresije se vedno pojavi zadnji člen (posredno ali neposredno), ki jih je treba omejiti. Sicer pa končni, določen znesek preprosto ne obstaja. Za rešitev ni pomembno, ali je podana progresija: končna ali neskončna. Ni pomembno, kako je podano: niz števil ali formula za n-ti člen.

Najpomembneje je razumeti, da formula deluje od prvega člena napredovanja do člena s številko n. Pravzaprav je polno ime formule videti takole: vsota prvih n členov aritmetične progresije.Število teh čisto prvih članov, tj. n, določa izključno naloga. V nalogi so vse te dragocene informacije pogosto šifrirane, ja ... Ampak nič hudega, v spodnjih primerih razkrivamo te skrivnosti.)

Primeri nalog o vsoti aritmetične progresije.

Najprej, koristne informacije:

Glavna težava pri nalogah, ki vključujejo vsoto aritmetičnega napredovanja, je pravilna določitev elementov formule.

Pisci nalog šifrirajo te elemente z brezmejno domišljijo.) Glavna stvar tukaj je, da se ne bojite. Če razumemo bistvo elementov, je dovolj, da jih preprosto dešifriramo. Oglejmo si nekaj primerov podrobno. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.

1. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a n = 2n-3,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 10 členov.

Dobro opravljeno. Enostavno.) Kaj moramo vedeti za določitev količine s formulo? Prvi član a 1, zadnji rok a n, da številka zadnjega člana n.

Kje lahko dobim številko zadnjega člana? n? Da, tam, pod pogojem! Piše: poišči vsoto prvih 10 članov. No, s katero številko bo? zadnji, deseti član?) Ne boste verjeli, njegovo število je deseti!) Zato namesto a n V formulo bomo nadomestili a 10, in namesto tega n- deset. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.

Ostaja še določiti a 1 in a 10. To je enostavno izračunati s formulo za n-ti člen, ki je podana v opisu problema. Ne veste, kako to narediti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez tega ne gre.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ugotovili smo pomen vseh elementov formule za vsoto aritmetične progresije. Vse kar ostane je, da jih nadomestimo in preštejemo:

To je vse. Odgovor: 75.

Še ena naloga, ki temelji na GIA. Malo bolj zapleteno:

2. Podana je aritmetična progresija (a n), katere razlika je 3,7; a 1 =2,3. Poiščite vsoto njegovih prvih 15 členov.

Takoj zapišemo formulo vsote:

Ta formula nam omogoča, da poiščemo vrednost katerega koli izraza po njegovi številki. Iščemo preprosto zamenjavo:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Vse elemente je treba nadomestiti s formulo za vsoto aritmetičnega napredovanja in izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Mimogrede, če v formuli vsote namesto a n Enostavno zamenjamo formulo za n-ti člen in dobimo:

Predstavimo podobne in dobimo novo formulo za vsoto členov aritmetične progresije:

Kot lahko vidite, n-ti izraz tukaj ni potreben a n. Pri nekaterih težavah ta formula zelo pomaga, ja ... Lahko se spomnite te formule. Lahko pa ga preprosto prikažete ob pravem času, kot je tukaj. Navsezadnje si morate vedno zapomniti formulo za vsoto in formulo za n-ti člen.)

Zdaj naloga v obliki kratkega šifriranja):

3. Poišči vsoto vseh pozitivnih dvomestnih števil, ki so večkratniki tri.

Vau! Niti prvi član, niti zadnji, niti napredovanje sploh ... Kako živeti!?

Misliti bo treba s svojo glavo in iz pogoja potegniti vse elemente vsote aritmetične progresije. Vemo, kaj so dvomestna števila. Sestavljeni so iz dveh števil.) Kakšno bo dvomestno število prvi? 10, verjetno.) A zadnja stvar dvomestno število? 99, seveda! Trimestne mu bodo sledile ...

Večkratniki treh ... Hm ... To so števila, ki so deljiva s tri, tukaj! Deset ni deljivo s tri, 11 ni deljivo ... 12 ... je deljivo! Torej, nekaj se pojavlja. Že zdaj lahko zapišete niz glede na pogoje problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bo ta serija aritmetična progresija? Vsekakor! Vsak izraz se od prejšnjega razlikuje za strogo tri. Če izrazu dodate 2 ali 4, recimo rezultat, tj. novo število ni več deljivo s 3. Takoj lahko določite razliko aritmetične progresije: d = 3. Prišlo bo prav!)

Tako lahko varno zapišemo nekaj parametrov napredovanja:

Kakšna bo številka? n zadnji član? Kdor misli, da je 99, se usodno moti... Številke se vedno vrstijo, naši člani pa skačejo čez tri. Ne ujemajo se.

Tukaj sta dve rešitvi. En način je za super pridne. Lahko si zapišeš napredovanje, celotno vrsto števil in s prstom prešteješ število članov.) Drugi način je za premišljene. Zapomniti si morate formulo za n-ti člen. Če uporabimo formulo za naš problem, ugotovimo, da je 99 trideseti člen napredovanja. Tisti. n = 30.

Poglejmo si formulo za vsoto aritmetične progresije:

Gledamo in se veselimo.) Iz izjave o problemu smo izvlekli vse, kar je potrebno za izračun zneska:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Vse, kar ostane, je elementarna aritmetika. Številke nadomestimo v formulo in izračunamo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta priljubljene uganke:

4. Glede na aritmetično progresijo:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Poiščite vsoto členov od dvajsetega do štiriintridesetega.

Pogledamo formulo za znesek in ... se razburimo.) Formula, naj vas spomnim, izračuna znesek od prvegačlan. In v nalogi morate izračunati vsoto od dvajsetega ... Formula ne bo delovala.

Seveda lahko celotno napredovanje napišete v seriji in dodate člene od 20 do 34. Ampak ... to je nekako neumno in traja dolgo, kajne?)

Obstaja bolj elegantna rešitev. Razdelimo našo serijo na dva dela. Prvi del bo od prvega mandata do devetnajstega. drugi del - od dvajsetega do štiriintridesetega. Jasno je, da če izračunamo vsoto členov prvega dela S 1-19, seštejmo z vsoto členov drugega dela S 20-34, dobimo vsoto napredovanja od prvega člena do štiriintridesetega S 1-34. Všečkaj to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz tega lahko vidimo, da najdemo vsoto S 20-34 lahko naredite s preprostim odštevanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Upoštevana sta oba zneska na desni strani od prvegačlan, tj. standardna formula za vsoto je povsem uporabna zanje. Začnimo?

Parametre napredovanja izvlečemo iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun vsote prvih 19 in prvih 34 členov bomo potrebovali 19. in 34. člen. Izračunamo jih s formulo za n-ti člen, kot v 2. nalogi:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nič ni ostalo. Od vsote 34 členov odštej vsoto 19 členov:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Ena pomembna opomba! Pri reševanju te težave obstaja zelo uporaben trik. Namesto neposrednega izračuna kar potrebuješ (S 20-34), smo šteli nekaj, kar se zdi nepotrebno - S 1-19. In potem so določili S 20-34, zavrženje nepotrebnega iz celotnega rezultata. Takšna "finta z ušesi" vas pogosto reši hudih težav.)

V tej lekciji smo si ogledali probleme, za katere je dovolj, da razumemo pomen vsote aritmetične progresije. No, poznati morate nekaj formul.)

Praktični nasveti:

Pri reševanju katerega koli problema, ki vključuje vsoto aritmetičnega napredovanja, priporočam, da takoj izpišete dve glavni formuli iz te teme.

Formula za n-ti člen:

Te formule vam bodo takoj povedale, kaj iskati in v katero smer razmišljati, da bi rešili problem. Pomaga.

In zdaj naloge za samostojno rešitev.

5. Poišči vsoto vseh dvomestnih števil, ki niso deljiva s tri.

Kul?) Namig je skrit v opombi k 4. problemu. No, 3. problem bo pomagal.

6. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 24 členov.

Nenavadno?) To je ponavljajoča se formula. O tem si lahko preberete v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne težave pogosto najdemo v Državni akademiji znanosti.

7. Vasya je prihranil denar za počitnice. Kar 4550 rubljev! In odločila sem se, da svoji najljubši osebi (sebi) podarim nekaj dni sreče). Živite lepo, ne da bi si karkoli odrekali. Prvi dan porabite 500 rubljev, vsak naslednji dan pa 50 rubljev več kot prejšnji! Dokler ne zmanjka denarja. Koliko dni sreče je imel Vasja?

Ali je težko?) V pomoč vam bo dodatna formula iz naloge 2.

Odgovori (v neredu): 7, 3240, 6.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.