Izrazi, pretvorba izrazov

Potencialni izrazi (izrazi s potencami) in njihova transformacija

V tem članku bomo govorili o pretvarjanju izrazov s potencami. Najprej se bomo osredotočili na transformacije, ki se izvajajo z izrazi katere koli vrste, vključno s potenčnimi izrazi, kot je odpiranje oklepajev in prinašanje podobnih izrazov. Nato bomo analizirali transformacije, ki so značilne posebej za izraze s stopnjami: delo z osnovo in eksponentom, uporaba lastnosti stopinj itd.

Navigacija po strani.

Kaj so izrazi moči?

Izraz " izrazi moči"praktično ni v šolskih učbenikih za matematiko, vendar se pogosto pojavlja v zbirkah nalog, zlasti tistih, ki so namenjene pripravi na enotni državni izpit in na primer enotni državni izpit. Po analizi nalog, pri katerih je potrebno izvajati kakršna koli dejanja s potenčnimi izrazi, postane jasno, da se potenčni izrazi razumejo kot izrazi, ki v svojih vnosih vsebujejo potence. Zato lahko zase sprejmete naslednjo definicijo:

Opredelitev.

Izrazi moči so izrazi, ki vsebujejo potence.

Dajmo primeri izrazov moči. Poleg tega jih bomo predstavili glede na to, kako poteka razvoj pogledov na od stopnje do stopnje. naravni indikator na stopnjo z realnim eksponentom.

Kot je znano, se najprej seznanimo s potenco števila z naravnim eksponentom, na tej stopnji so prvi najenostavnejši potencijski izrazi tipa 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 se pojavi −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Malo kasneje se preučuje moč števila s celim eksponentom, kar vodi do pojava izrazov moči s celimi števili negativne moči, kot je naslednje: 3 −2 , , a −2 +2 b −3 +c 2 .

V srednji šoli se vrnejo k diplomam. Tam je uvedena stopnja z racionalnim eksponentom, ki povzroči pojav ustreznih izrazov moči: , , in tako naprej. Končno so upoštevane stopnje z iracionalnimi eksponenti in izrazi, ki jih vsebujejo: , .

Zadeva ni omejena na naštete potenčne izraze: naprej spremenljivka prodre v eksponent in nastanejo npr. naslednji izrazi: 2 x 2 +1 oz. . In po seznanitvi z , se začnejo pojavljati izrazi s potencami in logaritmi, na primer x 2·lgx −5·x lgx.

Ukvarjali smo se torej z vprašanjem, kaj predstavljajo izrazi moči. Nato se jih bomo naučili pretvarjati.

Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov

S potenčnimi izrazi lahko izvedete katero koli od osnovnih identitetnih transformacij izrazov. Na primer, lahko odprete oklepaje, zamenjate številske izraze z njihovimi vrednostmi, dodate podobne izraze itd. Seveda je v tem primeru treba upoštevati sprejeti postopek za izvajanje dejanj. Navedimo primere.

Primer.

Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 ·(4 2 −12) .

rešitev.

Glede na vrstni red izvajanja dejanj najprej izvedite dejanja v oklepajih. Tam najprej zamenjamo potenco 4 2 z njeno vrednostjo 16 (če je treba, glej), in drugič izračunamo razliko 16−12=4. Imamo 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

V dobljenem izrazu potenco 2 3 nadomestimo z njeno vrednostjo 8, nakar izračunamo produkt 8·4=32. To je želena vrednost.

Torej, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

odgovor:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Primer.

Poenostavite izraze s potencami 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

rešitev.

Očitno ta izraz vsebuje podobna člena 3·a 4 ·b −7 in 2·a 4 ·b −7 , ki ju lahko predstavimo: .

odgovor:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Primer.

Izrazi izraz s potencami kot produkt.

rešitev.

Nalogi se lahko spopadete tako, da število 9 predstavite kot potenco števila 3 2 in nato uporabite formulo za skrajšano množenje - razlika kvadratov:

odgovor:

Obstaja tudi število transformacije identitete, značilno za izraze moči. Analizirali jih bomo še naprej.

Delo z osnovo in eksponentom

Obstajajo stopnje, katerih osnova in/ali eksponent niso le števila ali spremenljivke, ampak nekateri izrazi. Kot primer podajamo vnose (2+0,3·7) 5−3,7 in (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pri delu s takšnimi izrazi lahko nadomestite tako izraz v osnovi stopnje kot izraz v eksponentu z identično enakim izrazom v ODZ njegovih spremenljivk. Z drugimi besedami, po nam znanih pravilih lahko ločeno transformiramo osnovo stopnje in ločeno eksponent. Jasno je, da bo kot rezultat te transformacije pridobljen izraz, ki je identično enak prvotnemu.

Takšne transformacije nam omogočajo poenostavitev izrazov s pooblastili ali doseganje drugih ciljev, ki jih potrebujemo. Na primer, v zgoraj omenjenem potenčnem izrazu (2+0,3 7) 5−3,7 lahko izvajate operacije s števili v osnovi in ​​eksponentu, kar vam bo omogočilo premik na potenco 4,1 1,3. In ko odpremo oklepaje in pripeljemo podobne člene na osnovo stopnje (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1), dobimo potenčni izraz več preprost tip a 2·(x+1) .

Uporaba lastnosti stopnje

Eno od glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami so enakosti, ki odražajo . Spomnimo se glavnih. Za poljubna pozitivna števila a in b ter poljubni realni števili r in s veljajo naslednje lastnosti potence:

• a r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Upoštevajte, da za naravne, cele in pozitivne eksponente omejitve števila a in b morda niso tako stroge. Na primer, za naravni števili m in n enakost a m ·a n =a m+n ne velja le za pozitivni a, ampak tudi za negativni a in za a=0.

V šoli je glavni poudarek pri transformaciji izrazov moči na sposobnosti izbire ustrezne lastnosti in njene pravilne uporabe. V tem primeru so baze stopinj običajno pozitivne, kar omogoča uporabo lastnosti stopinj brez omejitev. Enako velja za transformacijo izrazov, ki vsebujejo spremenljivke v bazah potenc - obseg dovoljenih vrednosti spremenljivk je običajno tak, da baze na njem zavzemajo samo pozitivne vrednosti, kar vam omogoča prosto uporabo lastnosti potenc . Na splošno se morate nenehno spraševati, ali je v tem primeru mogoče uporabiti katero koli lastnost diplom, saj lahko nepravilna uporaba lastnosti povzroči zoženje izobraževalne vrednosti in druge težave. Te točke so podrobno in s primeri obravnavane v članku transformacija izrazov z uporabo lastnosti stopinj. Tu se bomo omejili na nekaj preprostih primerov.

Primer.

Izraz a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 izrazi kot potenco z osnovo a.

rešitev.

Najprej transformiramo drugi faktor (a 2) −3 z uporabo lastnosti dviga potence na potenco: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Prvotni izraz moči bo imel obliko a 2,5 ·a −6:a −5,5. Očitno ostaja uporaba lastnosti množenja in deljenja potenc z isto bazo, ki jo imamo
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

odgovor:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Lastnosti potence pri preoblikovanju potencialnih izrazov se uporabljajo tako od leve proti desni kot od desne proti levi.

Primer.

Poiščite vrednost potenčnega izraza.

rešitev.

Enakost (a·b) r =a r ·b r, uporabljena od desne proti levi, nam omogoča prehod od prvotnega izraza k produktu oblike in naprej. In pri množenju moči z iz istih razlogov indikatorji seštevajo: .

Prvotni izraz je bilo mogoče preoblikovati na drug način:

odgovor:

.

Primer.

Glede na potenčni izraz a 1,5 −a 0,5 −6 vnesite novo spremenljivko t=a 0,5.

rešitev.

Stopnjo a 1,5 lahko predstavimo kot 0,5 3 in jo nato na podlagi lastnosti stopnje na stopnjo (a r) s =a r s, uporabljeno od desne proti levi, pretvorimo v obliko (a 0,5) 3. torej a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Zdaj je enostavno uvesti novo spremenljivko t=a 0,5, dobimo t 3 −t−6.

odgovor:

t 3 −t−6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Izrazi moči lahko vsebujejo ali predstavljajo ulomke s potenci. Vse osnovne transformacije ulomkov, ki so del ulomkov katere koli vrste, so v celoti uporabne za takšne ulomke. To pomeni, da je ulomke, ki vsebujejo potence, mogoče zmanjšati, zmanjšati na nov imenovalec, delati ločeno z njihovim števcem in ločeno z imenovalcem itd. Za ponazoritev teh besed razmislite o rešitvah več primerov.

Primer.

Poenostavite izražanje moči .

rešitev.

Ta izraz moči je ulomek. Delajmo z njegovim števcem in imenovalcem. V števcu odpremo oklepaje in dobljeni izraz poenostavimo z uporabo lastnosti potenc, v imenovalcu pa predstavimo podobne izraze:

In spremenimo tudi predznak imenovalca tako, da pred ulomek postavimo minus: .

odgovor:

.

Zmanjševanje ulomkov s potencami na nov imenovalec se izvede podobno kot zmanjševanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec. V tem primeru najdemo tudi dodatni faktor in z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka. Pri izvajanju tega dejanja je vredno zapomniti, da lahko zmanjšanje na nov imenovalec povzroči zoženje VA. Da se to ne bi zgodilo, je potrebno, da dodatni faktor ne gre na nič za nobeno vrednost spremenljivk iz spremenljivk ODZ za prvotni izraz.

Primer.

Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) na imenovalec a, b) na imenovalec.

rešitev.

a) V tem primeru je precej enostavno ugotoviti, kateri dodatni množitelj pomaga doseči želeni rezultat. To je množitelj a 0,3, saj je a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Upoštevajte, da v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke a (to je niz vseh pozitivnih realnih števil) moč a 0,3 ne izgine, zato imamo pravico pomnožiti števec in imenovalec danega ulomek s tem dodatnim faktorjem:

b) Če natančneje pogledate imenovalec, boste ugotovili, da

in množenje tega izraza z bo dalo vsoto kock in , to je . In to je novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodaten dejavnik. V območju dovoljenih vrednosti spremenljivk x in y izraz ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:

odgovor:

A) , b) .

Prav tako ni nič novega pri zmanjševanju ulomkov s potencami: števec in imenovalec sta predstavljena kot več faktorjev, enaka faktorja števca in imenovalca pa sta zmanjšana.

Primer.

Zmanjšaj ulomek: a) , b) .

rešitev.

a) Prvič, števec in imenovalec lahko zmanjšamo s številoma 30 in 45, kar je enako 15. Očitno je tudi mogoče izvesti zmanjšanje za x 0,5 +1 in za . Tukaj je tisto, kar imamo:

b) V tem primeru enaki faktorji v števcu in imenovalcu niso takoj vidni. Če jih želite pridobiti, boste morali izvesti predhodne transformacije. V tem primeru so sestavljeni iz faktoriziranja imenovalca z uporabo formule razlike kvadratov:

odgovor:

A)

b) .

Pretvarjanje ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov se večinoma uporabljata za izvajanje stvari z ulomki. Dejanja se izvajajo po znanih pravilih. Pri seštevanju (odštevanju) se ulomki zreducirajo na skupni imenovalec, nakar se števci seštejejo (odštejejo), imenovalec pa ostane enak. Rezultat je ulomek, katerega števec je zmnožek števcev, imenovalec pa zmnožek imenovalcev. Deljenje z ulomkom je množenje z njegovim inverzom.

Primer.

Sledite korakom .

rešitev.

Najprej odštejemo ulomke v oklepajih. Da bi to naredili, jih spravimo na skupni imenovalec, ki je , nato pa odštejemo števce:

Zdaj pomnožimo ulomke:

Očitno je možno reducirati za potenco x 1/2, po kateri imamo .

Izraz moči v imenovalcu lahko tudi poenostavite z uporabo formule razlike kvadratov: .

odgovor:

Primer.

Poenostavite Power Expression .

rešitev.

Očitno lahko ta ulomek zmanjšamo za (x 2,7 +1) 2, kar daje ulomek . Jasno je, da je treba s pooblastili X narediti nekaj drugega. Da bi to naredili, dobljeni ulomek pretvorimo v produkt. To nam daje možnost, da izkoristimo lastnost delitve potenc z enakimi osnovami: . In na koncu procesa se premaknemo od zadnjega produkta do ulomka.

odgovor:

.

In dodajmo še, da je možno in v mnogih primerih zaželeno faktorje z negativnimi eksponenti prenesti s števca na imenovalec ali z imenovalca na števec, pri čemer eksponentu spremenimo predznak. Takšne transformacije pogosto poenostavljajo nadaljnje ukrepe. Izraz moči lahko na primer nadomestite z .

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

Pogosto so v izrazih, v katerih so potrebne nekatere transformacije, poleg potenc prisotni tudi koreni z ulomki. Če želite tak izraz pretvoriti v pravi tip, v večini primerov je dovolj, da gremo samo do korenin ali samo do potenc. Ker pa je bolj priročno delati s pooblastili, se običajno premikajo od korenin do pooblastil. Vendar je priporočljivo izvesti takšen prehod, ko vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi se morali sklicevati na modul ali razdeliti ODZ na več intervalov (o tem smo podrobno razpravljali v člen prehod s korenov na potence in nazaj Po seznanitvi s stopnjo z racionalnim eksponentom se uvede stopnja z iracionalnim eksponentom, ki nam omogoča, da govorimo o stopnji s poljubnim realnim eksponentom.Na tej stopnji šola začne študija eksponentna funkcija, ki je analitično podana s potenco, katere osnova je število, eksponent pa spremenljivka. Tako se soočamo s potenčnimi izrazi, ki vsebujejo števila v osnovi potence, v eksponentu pa izraze s spremenljivkami, in seveda se pojavi potreba po izvedbi transformacij takih izrazov.

Povedati je treba, da je treba transformacijo izrazov navedenega tipa običajno izvesti pri reševanju eksponentne enačbe in eksponentne neenakosti, in te pretvorbe so precej preproste. V veliki večini primerov temeljijo na lastnostih diplome in so večinoma usmerjeni v uvedbo nove spremenljivke v prihodnosti. Enačba nam jih bo omogočila, da jih pokažemo 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Prvič, potence, v eksponentih katerih je vsota določene spremenljivke (ali izraza s spremenljivkami) in števila, zamenjamo z produkti. To velja za prvi in ​​zadnji člen izraza na levi strani:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Nato obe strani enakosti delimo z izrazom 7 2 x, ki na ODZ spremenljivke x za izvirno enačbo zavzame samo pozitivne vrednosti (to je standardna tehnika za reševanje enačb te vrste, nismo zdaj govorimo o tem, zato se osredotočite na nadaljnje transformacije izrazov s potencami ):

Zdaj lahko prekličemo ulomke s potencami, kar daje .

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami relacij, kar ima za posledico enačbo , kar je enakovredno . Izvedene transformacije nam omogočajo uvedbo nove spremenljivke, ki reducira rešitev na izvirno eksponentna enačba k reševanju kvadratne enačbe

I. V. Bojkov, L. D. Romanova Zbirka nalog za pripravo na enotni državni izpit. 1. del. Penza 2003.

Razmislimo o temi preoblikovanja izrazov s potencami, vendar se najprej posvetimo številnim transformacijam, ki jih je mogoče izvesti s poljubnimi izrazi, vključno s potenčnimi. Naučili se bomo odpirati oklepaje, dodajati podobne člene, delati z bazami in eksponenti ter uporabljati lastnosti potence.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaj so izrazi moči?

IN šolski tečaj Malo ljudi uporablja besedno zvezo "izrazi moči", vendar se ta izraz nenehno pojavlja v zbirkah za pripravo na enotni državni izpit. V večini primerov besedna zveza označuje izraze, ki v svojih vnosih vsebujejo stopnje. To je tisto, kar bomo odražali v naši definiciji.

Definicija 1

Izražanje moči je izraz, ki vsebuje moči.

Naj navedemo več primerov potenčnih izrazov, začenši s potenco z naravnim eksponentom in konča s potenco z realnim eksponentom.

Najenostavnejše potenčne izraze lahko štejemo za potence števila z naravnim eksponentom: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1 , (a 2) 3 . In tudi potence z ničelnim eksponentom: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. In potence z negativnimi celimi potencami: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

Nekoliko težje je delati s stopnjo, ki ima racionalne in iracionalne eksponente: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikator je lahko spremenljivka 3 x - 54 - 7 3 x - 58 ali logaritem x 2 · l g x − 5 · x l g x.

Ukvarjali smo se z vprašanjem, kaj so izrazi moči. Zdaj pa jih začnimo pretvarjati.

Glavne vrste transformacij potenčnih izrazov

Najprej si bomo ogledali osnovne identitetne transformacije izrazov, ki jih je mogoče izvesti s potenčnimi izrazi.

Primer 1

Izračunajte vrednost potenčnega izraza 2 3 (4 2 − 12).

rešitev

Vse transformacije bomo izvedli v skladu z vrstnim redom dejanj. V tem primeru bomo začeli z izvajanjem dejanj v oklepaju: stopnjo bomo nadomestili z digitalno vrednostjo in izračunali razliko dveh števil. Imamo 2 3 (4 2 − 12) = 2 3 (16 − 12) = 2 3 4.

Vse kar moramo storiti je zamenjati diplomo 2 3 njegov pomen 8 in izračunaj produkt 8 4 = 32. Tukaj je naš odgovor.

odgovor: 2 3 · (4 2 − 12) = 32 .

Primer 2

Poenostavite izraz s potencami 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

rešitev

Izraz, ki smo ga dobili v izjavi o problemu, vsebuje podobne izraze, ki jih lahko podamo: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

odgovor: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1 .

Primer 3

Izraz s potencami 9 - b 3 · π - 1 2 izrazi kot produkt.

rešitev

Predstavljajmo si število 9 kot potenco 3 2 in uporabite skrajšano formulo množenja:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

odgovor: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .

Zdaj pa preidimo na analizo transformacij identitete, ki jih je mogoče uporabiti posebej za potenčne izraze.

Delo z osnovo in eksponentom

Stopnja v osnovi ali eksponentu ima lahko števila, spremenljivke in nekatere izraze. na primer (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 in . Delo s takimi zapisi je težko. Veliko lažje je nadomestiti izraz v osnovi stopnje ali izraz v eksponentu z identično enakim izrazom.

Transformacije stopnje in eksponenta se izvajajo v skladu s pravili, ki so nam znana ločeno drug od drugega. Najpomembneje je, da transformacija povzroči izraz, ki je enak izvirnemu.

Namen transformacij je poenostaviti izvirni izraz ali pridobiti rešitev problema. Na primer, v primeru, ki smo ga navedli zgoraj, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 lahko sledite korakom za prehod na stopnjo 4 , 1 1 , 3 . Z odpiranjem oklepajev lahko predstavimo podobne izraze za osnovo potence (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) in dobimo izraz moči enostavnejše oblike a 2 (x + 1).

Uporaba lastnosti stopnje

Lastnosti potenc, zapisane v obliki enakosti, so eno glavnih orodij za preoblikovanje izrazov s potencami. Tukaj predstavljamo glavne, ob upoštevanju tega a in b so katera koli pozitivna števila in r in s- poljubna realna števila:

Definicija 2

• a r · a s = a r + s ;
• a r: a s = a r − s ;
• (a · b) r = a r · b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r · s.

V primerih, ko imamo opravka z naravnimi, celimi, pozitivnimi eksponenti, so lahko omejitve pri številih a in b veliko manj stroge. Tako na primer, če upoštevamo enakost a m · a n = a m + n, Kje m in n so naravna števila, potem bo veljalo za vse vrednosti a, tako pozitivne kot negativne, kot tudi za a = 0.

Lastnosti potenc se lahko uporabljajo brez omejitev v primerih, ko so baze potenc pozitivne ali vsebujejo spremenljivke, katerih razpon dovoljenih vrednosti je takšen, da baze na njem sprejemajo samo pozitivne vrednosti. Pravzaprav je v šolskem kurikulumu matematike naloga učenca izbrati ustrezno lastnost in jo pravilno uporabiti.

Ko se pripravljate na vpis na univerze, lahko naletite na težave, pri katerih bo netočna uporaba lastnosti povzročila zoženje DL in druge težave pri reševanju. V tem razdelku bomo preučili samo dva taka primera. Več informacij o temi najdete v temi “Pretvarjanje izrazov z uporabo lastnosti potence”.

Primer 4

Predstavljajte si izraz a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 v obliki moči z osnovo a.

rešitev

Najprej uporabimo lastnost potenciranja in z njo transformiramo drugi faktor (a 2) − 3. Nato uporabimo lastnosti množenja in deljenja potence z isto osnovo:

a 2 , 5 · a − 6: a − 5 , 5 = a 2 , 5 − 6: a − 5 , 5 = a − 3 , 5: a − 5 , 5 = a − 3 , 5 − (− 5 , 5) = a 2 .

odgovor: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.

Transformacijo potenčnih izrazov glede na lastnost potenc lahko izvedemo tako od leve proti desni kot tudi v nasprotni smeri.

Primer 5

Poišči vrednost potenčnega izraza 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

rešitev

Če uporabimo enakost (a · b) r = a r · b r, od desne proti levi, dobimo produkt oblike 3 · 7 1 3 · 21 2 3 in nato 21 1 3 · 21 2 3 . Seštejmo eksponente pri množenju potenc z enakimi osnovami: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.

Obstaja še en način za izvedbo preobrazbe:

3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

odgovor: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Primer 6

Glede na izraz moči a 1, 5 − a 0, 5 − 6, vnesite novo spremenljivko t = a 0,5.

rešitev

Predstavljajmo si diplomo a 1, 5 kako a 0,5 3. Uporaba lastnosti stopinj v stopinje (a r) s = a r · s od desne proti levi in ​​dobimo (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. V dobljeni izraz lahko preprosto vnesete novo spremenljivko t = a 0,5: dobimo t 3 − t − 6.

odgovor: t 3 − t − 6 .

Pretvarjanje ulomkov s potenci

Običajno imamo opravka z dvema različicama potencialnih izrazov z ulomki: izraz predstavlja ulomek s potenco ali vsebuje tak ulomek. Vse osnovne transformacije ulomkov veljajo za take izraze brez omejitev. Lahko jih zmanjšamo, privedemo do novega imenovalca ali delamo ločeno s števcem in imenovalcem. Naj to ponazorimo s primeri.

Primer 7

Poenostavite potenčni izraz 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .

rešitev

Opravka imamo z ulomkom, zato bomo izvedli transformacije tako v števcu kot v imenovalcu:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Pred ulomek postavite znak minus, da spremenite predznak imenovalca: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

odgovor: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Ulomke s potenci reduciramo na nov imenovalec na enak način kot racionalne ulomke. Če želite to narediti, morate najti dodaten faktor in z njim pomnožiti števec in imenovalec ulomka. Dodaten faktor je treba izbrati tako, da ne gre na nič pri nobeni vrednosti spremenljivk iz spremenljivk ODZ za izvirni izraz.

Primer 8

Zmanjšaj ulomke na nov imenovalec: a) a + 1 a 0, 7 na imenovalec a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 na imenovalec x + 8 · y 1 2 .

rešitev

a) Izberimo faktor, ki nam bo omogočil redukcijo na nov imenovalec. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, zato bomo kot dodatni dejavnik vzeli a 0, 3. Razpon dovoljenih vrednosti spremenljivke a vključuje nabor vseh pozitivnih realnih števil. Diploma na tem področju a 0, 3 ne gre v nulo.

Pomnožimo števec in imenovalec ulomka s a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Bodimo pozorni na imenovalec:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Pomnožimo ta izraz z x 1 3 + 2 · y 1 6, dobimo vsoto kock x 1 3 in 2 · y 1 6, tj. x + 8 · y 1 2 . To je naš novi imenovalec, na katerega moramo zmanjšati prvotni ulomek.

Tako smo našli dodatni faktor x 1 3 + 2 · y 1 6 . Na območju dovoljenih vrednosti spremenljivk x in l izraz x 1 3 + 2 y 1 6 ne izgine, zato lahko z njim pomnožimo števec in imenovalec ulomka:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

odgovor: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .

Primer 9

Zmanjšaj ulomek: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

rešitev

a) Uporabimo največji skupni imenovalec (NOD), s katerim zmanjšamo števec in imenovalec. Za številki 30 in 45 je 15. Znižamo lahko tudi za x0,5+1 in na x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 .

Dobimo:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tu prisotnost enakih dejavnikov ni očitna. Izvesti boste morali nekaj transformacij, da boste dobili enake faktorje v števcu in imenovalcu. Da bi to naredili, razširimo imenovalec s formulo razlike kvadratov:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

odgovor: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Osnovne operacije z ulomki vključujejo pretvorbo ulomkov na nov imenovalec in zmanjševanje ulomkov. Oba dejanja se izvajata v skladu s številnimi pravili. Pri seštevanju in odštevanju ulomkov najprej zreduciramo ulomke na skupni imenovalec, nato pa izvajamo operacije (seštevanje ali odštevanje) s števci. Imenovalec ostaja enak. Rezultat naših dejanj je nov ulomek, katerega števec je produkt števcev, imenovalec pa produkt imenovalcev.

Primer 10

Naredite korake x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

rešitev

Začnimo z odštevanjem ulomkov, ki so v oklepajih. Spravimo jih na skupni imenovalec:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Odštejmo števce:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Zdaj pomnožimo ulomke:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Zmanjšajmo za potenco x 1 2, dobimo 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 .

Poleg tega lahko poenostavite izraz moči v imenovalcu z uporabo formule razlike kvadratov: kvadrati: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .

odgovor: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Primer 11

Poenostavite potenčni izraz x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
rešitev

Ulomek lahko zmanjšamo za (x 2, 7 + 1) 2. Dobimo ulomek x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Nadaljujmo s transformacijo potenc x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1. Zdaj lahko uporabite lastnost deljenja potence z enakimi osnovami: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.

Od zadnjega produkta preidemo na ulomek x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

odgovor: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

V večini primerov je bolj priročno prenesti faktorje z negativnimi eksponenti iz števca v imenovalec in nazaj, pri čemer spremenite predznak eksponenta. To dejanje vam omogoča poenostavitev nadaljnje odločitve. Navedimo primer: potenčni izraz (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 lahko nadomestimo z x 3 · (x + 1) 0, 2.

Pretvarjanje izrazov s koreni in potenci

V nalogah so izrazi za potenco, ki ne vsebujejo le potenc z ulomkimi eksponenti, ampak tudi korene. Takšne izraze je priporočljivo reducirati samo na korene ali samo na potence. Bolje je izbrati diplome, saj je z njimi lažje delati. Ta prehod je še posebej zaželen, kadar vam ODZ spremenljivk za izvirni izraz omogoča zamenjavo korenov s potencami, ne da bi morali dostopati do modula ali razdeliti ODZ na več intervalov.

Primer 12

Izraz x 1 9 · x · x 3 6 izrazi kot potenco.

rešitev

Razpon dovoljenih vrednosti spremenljivk x je definiran z dvema neenačbama x ≥ 0 in x x 3 ≥ 0, ki določata množico [ 0 , + ∞) .

Na tem nizu imamo pravico prehoda od korenin do moči:

x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6

Z uporabo lastnosti potenc poenostavimo dobljeni potenčni izraz.

x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

odgovor: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .

Pretvarjanje potenc s spremenljivkami v eksponentu

Te transformacije je precej enostavno narediti, če pravilno uporabite lastnosti stopnje. na primer 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Zamenjamo lahko s produktom potenc, katerih eksponenti so vsota neke spremenljivke in števila. Na levi strani lahko to storite s prvim in zadnjim členom leve strani izraza:

5 2 x 5 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x 7 − 1 = 0, 5 5 2 x − 3 5 x 7 x − 2 7 2 x = 0 .

Zdaj pa delimo obe strani enakosti s 7 2 x. Ta izraz za spremenljivko x ima samo pozitivne vrednosti:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Zmanjšajmo ulomke s potencami, dobimo: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.

Končno se razmerje potenc z enakimi eksponenti nadomesti s potencami razmerij, kar ima za posledico enačbo 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0, kar je enakovredno 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0.

Vstavimo novo spremenljivko t = 5 7 x, ki reducira rešitev prvotne eksponentne enačbe na rešitev kvadratna enačba 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 .

Pretvarjanje izrazov s potencami in logaritmi

V nalogah najdemo tudi izraze, ki vsebujejo potence in logaritme. Primer takih izrazov je: 1 4 1 - 5 · log 2 3 ali log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Preoblikovanje takšnih izrazov se izvede z uporabo zgoraj obravnavanih pristopov in lastnosti logaritmov, ki smo jih podrobno obravnavali v temi "Pretvorba logaritemskih izrazov".

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Algebrski izraz, v katerem poleg operacij seštevanja, odštevanja in množenja uporablja tudi deljenje na črkovne izraze, imenujemo ulomljeni algebrski izraz. To so na primer izrazi

Imenujemo algebrski ulomek algebrski izraz, ki ima obliko kvocienta deljenja dveh celih algebrskih izrazov (na primer monomov ali polinomov). To so na primer izrazi

Tretji izmed izrazov).

Identične transformacije ulomljenih algebrskih izrazov so večinoma namenjene njihovemu predstavljanju v obliki algebrski ulomek. Za iskanje skupnega imenovalca se uporablja faktorizacija imenovalcev ulomkov - členov, da bi našli njihov najmanjši skupni večkratnik. Pri zmanjševanju algebrskih ulomkov je lahko kršena stroga identiteta izrazov: izključiti je treba vrednosti količin, pri katerih faktor, s katerim se zmanjša, postane nič.

Navedimo primere identičnih transformacij ulomljenih algebrskih izrazov.

Primer 1: Poenostavite izraz

Vse izraze je mogoče skrčiti na skupni imenovalec (priročno je zamenjati predznak v imenovalcu zadnjega izraza in znak pred njim):

Naš izraz je enak ena za vse vrednosti, razen za te vrednosti; je nedefiniran in zmanjšanje ulomka je nezakonito).

Primer 2. Predstavi izraz kot algebraični ulomek

rešitev. Izraz lahko vzamemo kot skupni imenovalec. Zaporedoma najdemo:

vaje

1. Poiščite vrednosti algebrskih izrazov za navedene vrednosti parametrov:

2. Faktoriziraj.

Poenostavitev algebrskih izrazov je eden izmed Ključne točke učenje algebre in izjemno uporabna veščina za vse matematike. Poenostavitev vam omogoča zmanjšanje zapletenega ali dolgega izraza na preprost izraz, s katerim je enostavno delati. Osnovne veščine poenostavljanja so dobre tudi za tiste, ki jih matematika ne navdušuje. Če upoštevate nekaj preprostih pravil, lahko poenostavite številne najpogostejše vrste algebrskih izrazov brez posebnega matematičnega znanja.

Koraki

Pomembne definicije

1. Podobni člani. To so člani s spremenljivko istega reda, člani z enakimi spremenljivkami ali prosti člani (členi, ki ne vsebujejo spremenljivke). Z drugimi besedami, podobni izrazi vključujejo isto spremenljivko v enaki meri, vključujejo več istih spremenljivk ali sploh ne vključujejo spremenljivke. Vrstni red izrazov v izrazu ni pomemben.

   • Na primer, 3x 2 in 4x 2 sta podobna izraza, ker vsebujeta spremenljivko drugega reda (na drugo potenco) "x". Vendar x in x2 nista podobna izraza, saj vsebujeta spremenljivko "x" različnih vrst (prvi in ​​drugi). Prav tako -3yx in 5xz nista podobna izraza, ker vsebujeta različne spremenljivke.

2. Faktorizacija. To je iskanje števil, katerih produkt vodi do izvirnega števila. Vsaka izvirna številka ima lahko več dejavnikov. Na primer, število 12 je mogoče razstaviti na naslednja vrstica faktorji: 1 × 12, 2 × 6 in 3 × 4, zato lahko rečemo, da so števila 1, 2, 3, 4, 6 in 12 faktorji števila 12. Faktorji so enaki deliteljem, tj. številke, s katerimi se prvotno število deli.

   • Če želite na primer faktorizirati število 20, ga zapišite takole: 4×5.
   • Upoštevajte, da se pri faktoringu upošteva spremenljivka. Na primer, 20x = 4(5x).
   • Praštevil ni mogoče faktorizirati, ker so deljiva samo s seboj in z 1.

3. Zapomnite si in upoštevajte vrstni red operacij, da se izognete napakam.

   • Oklepaji
   • stopnja
   • Množenje
   • Delitev
   • Dodatek
   • Odštevanje

   Prinašanje podobnih članov

   1. Zapišite izraz. Enostavne algebraične izraze (tiste, ki ne vsebujejo ulomkov, korenov ipd.) lahko rešite (poenostavite) v le nekaj korakih.

      • Na primer, poenostavite izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definirajte podobne pojme (izrazi s spremenljivko istega reda, izrazi z istimi spremenljivkami ali prosti izrazi).

      • Poiščite podobne izraze v tem izrazu. Izraza 2x in 4x vsebujeta spremenljivko istega reda (prvo). Tudi 1 in -3 sta prosta izraza (ne vsebujeta spremenljivke). Tako so v tem izrazu izrazi 2x in 4x so podobni, člani pa 1 in -3 so tudi podobni.

   3. Podajte podobne izraze. To pomeni, da jih dodamo ali odštejemo in poenostavimo izraz.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Prepiši izraz ob upoštevanju danih izrazov. Dobili boste preprost izraz z manj izrazi. Nov izraz je enak prvotnemu.

      • V našem primeru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, kar pomeni, da je izvirni izraz poenostavljen in lažji za delo.

   5. Upoštevajte vrstni red operacij, ko prinašate podobne člane. V našem primeru je bilo enostavno zagotoviti podobne pogoje. Vendar pa v primeru zapletenih izrazov, v katerih so izrazi v oklepajih in so prisotni ulomki in koreni, ni tako enostavno prinesti takih izrazov. V teh primerih upoštevajte vrstni red operacij.

      • Na primer, razmislite o izrazu 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Pri tem bi bilo napačno 3x in 2x takoj definirati kot podobna izraza in ju predstaviti, saj je treba najprej odpreti oklepaje. Zato izvedite operacije po njihovem vrstnem redu.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. zdaj, ko izraz vsebuje samo operacije seštevanja in odštevanja, lahko prinesete podobne izraze.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12 x + 3

   Izvzem množitelja iz oklepaja

   1. Poiščite največji skupni delitelj (GCD) vseh koeficientov izraza. GCD je največje število, s katerim delimo vse koeficiente izraza.

      • Na primer, razmislite o enačbi 9x 2 + 27x - 3. V tem primeru je GCD = 3, ker je kateri koli koeficient tega izraza deljiv s 3.

   2. Vsak člen izraza razdelite z gcd. Dobljeni členi bodo vsebovali manjše koeficiente kot v izvirnem izrazu.

      • V našem primeru vsak člen v izrazu delite s 3.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • Rezultat je bil izraz 3x 2 + 9x - 1. Ni enak izvirnemu izrazu.

   3. Izvirni izraz zapišite kot enako zmnožku GCD dobljenega izraza. To pomeni, da dobljeni izraz zaprete v oklepaje in vzemite gcd iz oklepajev.

      • V našem primeru: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

   4. Poenostavitev frakcijskih izrazov z dajanjem faktorja iz oklepaja. Zakaj bi množitelj preprosto dali iz oklepaja, kot je bilo storjeno prej? Nato se naučite poenostavljati zapletene izraze, kot so ulomki. V tem primeru se lahko z ulomkom znebite ulomka (iz imenovalca).

      • Na primer, upoštevajte frakcijski izraz(9x 2 + 27x - 3)/3. Za poenostavitev tega izraza uporabite faktoring.
        • Dajte faktor 3 iz oklepaja (kot ste storili prej): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Upoštevajte, da je zdaj tako v števcu kot v imenovalcu 3. To lahko zmanjšamo in dobimo izraz: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • Ker je vsak ulomek, ki ima v imenovalcu številko 1, preprosto enak števcu, se prvotni izraz ulomka poenostavi na: 3x 2 + 9x - 1.

   Dodatne metode poenostavljanja

4. Poglejmo preprost primer: √(90). Število 90 je mogoče razložiti na naslednje faktorje: 9 in 10 ter izluščiti iz 9 Kvadratni koren(3) in odstranite 3 izpod korenine.
   • √(90)
   • √ (9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Poenostavljanje izrazov s potencami. Nekateri izrazi vsebujejo operacije množenja ali deljenja členov s potencami. V primeru množenja členov z isto osnovo se njihove moči seštejejo; v primeru deljenja členov z isto osnovo se njihove potence odštejejo.

   • Na primer, razmislite o izrazu 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Pri množenju potence seštejte, pri deljenju pa odštejte.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Sledi razlaga pravil za množenje in deljenje členov s potencami.
     • Množenje členov s potencami je enakovredno množenju členov samih s seboj. Na primer, ker je x 3 = x × x × x in x 5 = x × x × x × x × x, potem je x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), ali x 8.
     • Podobno je delitev členov s stopnjami enakovredna deljenju členov samih. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Ker je podobne člene v števcu in imenovalcu mogoče zmanjšati, zmnožek dveh "x" ali x 2 ostane v števcu.

• Vedno si zapomnite znake (plus ali minus) pred členi izraza, saj ima veliko ljudi težave pri izbiri pravilnega znaka.
• Po potrebi prosite za pomoč!
• Poenostavljanje algebrskih izrazov ni lahko, a ko se tega naučite, je to veščina, ki jo lahko uporabljate do konca življenja.

Razdelek 5 IZRAZI IN ENAČBE

V tem razdelku se boste naučili:

ü o izrazi in njihove poenostavitve;

ü kakšne so lastnosti enačb;

ü kako rešiti enačbe na podlagi lastnosti enačb;

ü katere vrste problemov se rešujejo z enačbami; kaj so pravokotne črte in kako jih zgraditi;

ü katere črte imenujemo vzporedne in kako jih zgraditi;

ü kaj je koordinatna ravnina?

ü kako določiti koordinate točke na ravnini;

ü kaj je graf razmerja med količinami in kako ga sestaviti;

ü kako preučeno gradivo uporabiti v praksi

§ 30. IZRAZI IN NJIHOVA POENOSTAVITEV

Že veste, kaj so črkovni izrazi, in jih znate poenostaviti z zakoni seštevanja in množenja. Na primer, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . V dobljenem izrazu se število -8 imenuje koeficient izraza.

Ali izraz CD koeficient? torej. Enako je 1, ker cd - 1 ∙ cd .

Spomnimo se, da se pretvorba izraza z oklepaji v izraz brez oklepajev imenuje razširitev oklepajev. Na primer: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Obratno dejanje v tem primeru je, da skupni faktor vzamemo iz oklepajev.

Izrazi, ki vsebujejo enake črkovne faktorje, se imenujejo podobni izrazi. Če skupni faktor vzamemo iz oklepaja, dobimo podobne izraze:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

B x+ 7y - 5.

Pravila za odpiranje oklepajev

1. Če je pred oklepajem znak "+", se pri odpiranju oklepajev ohranijo znaki izrazov v oklepajih;

2. Če je pred oklepajem znak »-«, se ob odpiranju oklepajev znaki izrazov v oklepajih spremenijo v nasprotno.

Naloga 1. Poenostavite izraz:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 y -(-8 + 7 y ).

Rešitve. 1. Pred oklepajem je znak "+", tako da se pri odpiranju oklepaja ohranijo znaki vseh izrazov:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Pred oklepajem je znak »-«, torej pri odpiranju oklepaja: znaki vseh izrazov so obrnjeni:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Če želite odpreti oklepaje, uporabite razdelilno lastnost množenja: a( b + c ) = ab + izm. Če je a > 0, potem so predznaki izrazov b in z ne spremeni. Če< 0, то знаки слагаемых b in spremenite v nasprotno.

Naloga 2. Poenostavite izraz:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Rešitve. 1. Faktor 2 pred oklepajem je pozitiven, zato pri odpiranju oklepaja ohranimo predznake vseh členov: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Faktor -5 pred oklepajem je negativen, zato pri odpiranju oklepaja spremenimo predznake vseh členov v nasprotno:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Izvedi več

1. Beseda "vsota" prihaja iz latinščine summa , kar pomeni “skupaj”, “skupni znesek”.

2. Beseda "plus" prihaja iz latinščine plus kar pomeni "več", beseda "minus" pa je iz latinščine minus Kaj pomeni "manj"? Znaka "+" in "-" se uporabljata za označevanje operacij seštevanja in odštevanja. Te znake je uvedel češki znanstvenik J. Widman leta 1489 v knjigi "Hiter in prijeten račun za vse trgovce"(Slika 138).

riž. 138

ZAPOMNITE SI POMEMBNO

1. Kateri izrazi se imenujejo podobni? Kako so sestavljeni podobni izrazi?

2. Kako odprete oklepaje, pred katerimi je znak "+"?

3. Kako odprete oklepaje, pred katerimi je znak »-«?

4. Kako odprete oklepaj, pred katerim je pozitiven dejavnik?

5. Kako odprete oklepaj, pred katerim stoji negativni dejavnik?

1374". Poimenujte koeficient izraza:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Poimenujte člene, ki se razlikujejo le po koeficientu:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5 n + 5 m -4 n + 4;

2) bc -4 d - bc + 4 d ; 4)5x + 4y-x + y.

Kako se imenujejo ti izrazi?

1376". Ali so v izrazu podobni izrazi:

1)11a+10a; 3) 6 n + 15 n ; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m ; 6)8 k +10 k - n ?

1377". Ali je treba spremeniti znake izrazov v oklepajih in odpreti oklepaje v izrazu:

1)4 + (a+ 3 b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. Poenostavite izraz in podčrtajte koeficient:

1379°. Poenostavite izraz in podčrtajte koeficient:

1380°. Združi podobne izraze:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d ;

2) 4 b - 5 b + 4 + 5 b ; 5) 5a - 12 b - 7a + 5 b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Združi podobne izraze:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Vzemite skupni faktor iz oklepaja:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5)-5 p + 2,5 k -0,5 t ;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Vzemite skupni faktor iz oklepaja:

1) 6a-12 b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d ; A) 3p - 0,9 k + 2,7 t.

1384°. Odprite oklepaje in združite podobne izraze;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Odprite oklepaje in združite podobne izraze:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) -(- d + 5c);

2) -(46- 10) + (4- 56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Odprite oklepaje in poiščite pomen izraza:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Odprite oklepaje in poiščite pomen izraza:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Odpri oklepaj:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Odpri oklepaj:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d)∙(-0,5 y);

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Poenostavi izraz:

1391. Poenostavi izraz:

1392. Zmanjšaj podobne izraze:

1393. Združi podobne izraze:

1394. Poenostavi izraz:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, za ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Poenostavi izraz:

1396. Poišči pomen izraza;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), če je a = -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), če je = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Poišči pomen izraza:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), če je x = -0,25;

1398*. Poišči napako v rešitvi:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Odprite oklepaje in poenostavite izraz:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Razporedite oklepaje, da dobite pravilno enakost:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Dokažite, da za poljubna števila a in b, če je a > b , potem velja enakost:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Ali bo ta enakost pravilna, če: a) a< b ; b) a = 6?

1402*. Dokažite to za katero koli naravno število aritmetična sredina prejšnjega in naslednjega števila pa je enaka številu a.

UPORABITE TO V PRAKSI

1403. Za pripravo sadne sladice za tri osebe potrebujete: 2 jabolki, 1 pomarančo, 2 banani in 1 kivi. Kako sestaviti črkovni izraz za določitev količine sadja, potrebnega za pripravo sladice za goste? Pomagaj Marinu izračunati, koliko sadja mora kupiti, če: 1) jo pride obiskat 5 prijateljev; 2) 8 prijateljev.

1404. Sestavite črkovni izraz, da določite čas, potreben za dokončanje domače naloge iz matematike, če:

1) min je bila porabljena za reševanje problemov; 2) poenostavitev izrazov je 2-krat večja kot pri reševanju problemov. Kako dolgo je trajalo dokončanje Domača naloga Vasilko, če bi 15 minut reševal probleme?

1405. Kosilo v šolski jedilnici je sestavljeno iz solate, boršča, zeljnih žemljic in kompota. Cena solate je 20%, boršč - 30%, zeljni zvitki - 45%, kompot - 5% Skupni stroški samo kosilo. Napiši izraz, s katerim najdeš stroške malice v šolski jedilnici. Koliko stane kosilo, če je cena solate 2 UAH?

PREGLED TEŽAV

1406. Reši enačbo:

1407. Tanja je porabila za sladoledves razpoložljivi denar in za sladkarije -ostalo. Koliko denarja je ostalo Tanji?

če sladkarije stanejo 12 UAH?