Pretvarjanje ulomkov, ki vsebujejo dejanje množenja. Pretvarjanje izrazov. Podrobna teorija (2019)

V prejšnji lekciji smo že predstavili pojem racionalnega izraza, v današnji lekciji nadaljujemo z delom z racionalnimi izrazi in se osredotočamo na njihove transformacije. Na konkretnih primerih bomo obravnavali metode za reševanje problemov, ki vključujejo transformacije racionalnih izrazov in dokazovanje z njimi povezanih identitet.

Zadeva:Algebraični ulomki. Aritmetične operacije na algebraičnih ulomkih

Lekcija:Pretvarjanje racionalnih izrazov

Najprej se spomnimo definicije racionalnega izraza.

Opredelitev.Racionalnoizražanje- algebrski izraz, ki ne vsebuje korenov in vključuje le operacije seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja (povečanje na potenco).

S pojmom "preoblikovanje racionalnega izraza" mislimo predvsem na njegovo poenostavitev. In to se izvaja v vrstnem redu dejanj, ki so nam znana: najprej dejanja v oklepaju, nato produkt števil(potenciranje), deljenje števil in nato operacije seštevanja/odštevanja.

Glavni cilj današnje lekcije bo pridobiti izkušnje pri reševanju več kompleksne naloge za poenostavitev racionalnih izrazov.

Primer 1.

rešitev. Sprva se morda zdi, da je te ulomke mogoče skrajšati, saj so izrazi v števcih ulomkov zelo podobni formulam za popolne kvadrate njihovih ustreznih imenovalcev. V tem primeru je pomembno, da ne hitite, ampak ločeno preverite, ali je temu tako.

Preverimo števec prvega ulomka: . Zdaj drugi števec: .

Kot lahko vidite, naša pričakovanja niso bila izpolnjena in izrazi v števcih niso popolni kvadrati, saj nimajo podvojitve produkta. Takšni izrazi, če se spomnite tečaja 7. razreda, se imenujejo nepopolni kvadrati. V takih primerih morate biti zelo previdni, saj je zamenjava formule popolnega kvadrata z nepopolnim zelo pogosta napaka, in takšni primeri preizkušajo učenčevo pozornost.

Ker zmanjševanje ni mogoče, bomo izvedli seštevanje ulomkov. Imenovalci nimajo skupnih faktorjev, zato jih preprosto pomnožimo, da dobimo najmanjši skupni imenovalec, dodatni faktor za vsak ulomek pa je imenovalec drugega ulomka.

Seveda lahko nato odprete oklepaje in nato prinesete podobne člene, vendar v tem primeru lahko pridete z manj truda in opazite, da je v števcu prvi člen formula za vsoto kubov, drugi pa je razlika kock. Za udobje se spomnimo teh formul v splošni obliki:

V našem primeru so izrazi v števcu strnjeni na naslednji način:

, drugi izraz je podoben. Imamo:

Odgovori..

Primer 2. Poenostavite racionalno izražanje .

rešitev. Ta primer je podoben prejšnjemu, vendar je tukaj takoj jasno, da števci ulomkov vsebujejo delne kvadrate, zato zmanjšanje za začetni fazi rešitve so nemogoče. Podobno kot v prejšnjem primeru seštejemo ulomke:

Tudi tukaj smo, podobno kot pri zgoraj navedeni metodi, opazili in strnili izraze s pomočjo formul za vsoto in razliko kock.

Odgovori..

Primer 3. Poenostavite racionalno izražanje.

rešitev. Opazite lahko, da je imenovalec drugega ulomka faktoriziran s formulo vsote kubov. Kot že vemo, je faktoriziranje imenovalcev uporabno za nadaljnje iskanje najmanjšega skupnega imenovalca ulomkov.

Označimo najmanjši skupni imenovalec ulomkov, ta je enak: , saj ga delimo z imenovalcem tretjega ulomka, prvi izraz pa je praviloma celo število in zanj je primeren vsak imenovalec. Po navedbi očitnih dodatnih dejavnikov pišemo:

Odgovori.

Oglejmo si bolj zapleten primer z "večnadstropnimi" ulomki.

Primer 4. Dokažite istovetnost za vse dopustne vrednosti spremenljivke.

Dokaz. Da bi dokazali to istovetnost, jo bomo poskušali poenostaviti leva stran(zapleteno) prej preprost tip ki se od nas zahteva. Za to bomo izvedli vse operacije z ulomki v števcu in imenovalcu, nato pa ulomke razdelili in rezultat poenostavili.

Dokazano za vse dovoljene vrednosti spremenljivke.

Dokazano.

V naslednji lekciji si bomo podrobneje ogledali več zapleteni primeri transformirati racionalne izraze.

Bibliografija

1. Bashmakov M.I. Algebra 8. razred. - M.: Izobraževanje, 2004.

2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. in drugi Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.

3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra 8. razred. Vadnica za izobraževalne ustanove. - M.: Izobraževanje, 2006.

2. Razvoj lekcij, predstavitve, zapiski lekcij ().

Domača naloga

1. št. 96-101. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. in drugi Algebra 8. - 5. izd. - M.: Izobraževanje, 2010.

2. Poenostavi izraz .

3. Poenostavi izraz.

4. Dokažite identiteto.

>>Matematika: Pretvarjanje racionalnih izrazov

Pretvarjanje racionalnih izrazov

Ta odstavek povzema vse, kar smo od 7. razreda govorili o matematičnem jeziku, matematični simboliki, številih, spremenljivkah, potencah, polinomih in algebrski ulomki. A najprej naredimo kratek izlet v preteklost.

Spomnite se, kako je bilo v osnovnih razredih s študijem številk in številski izrazi.

In, recimo, ulomku je mogoče prilepiti samo eno oznako - racionalno število.

Podobno je z algebrskimi izrazi: prva stopnja njihovega preučevanja so števila, spremenljivke, stopnje (»cifre«); druga stopnja njihovega študija so monomi (»naravna števila«); tretja stopnja njihovega študija so polinomi (»cela števila«); četrta stopnja njihovega študija - algebraični ulomki
(»racionalna števila«). Poleg tega vsaka naslednja stopnja tako rekoč absorbira prejšnjo: na primer, števila, spremenljivke, moči so posebni primeri monomov; monomi - posebni primeri polinomov; polinomi - posebni primeri algebrski ulomki. Mimogrede, v algebri se včasih uporabljajo naslednji izrazi: polinom - celo število izražanje, je algebrski ulomek frakcijski izraz (to le okrepi analogijo).

Nadaljujmo zgornjo analogijo. Veste, da kateri koli številski izraz po izvedbi vseh aritmetičnih operacij, vključenih v njegovo sestavo, prevzame določeno številsko vrednost - racionalno število (seveda se lahko izkaže tudi za naravno število, celo število in ulomek - ni pomembno). Podobno vsak algebraični izraz, sestavljen iz števil in spremenljivk z uporabo aritmetičnih operacij in dviga na naravna števila stopnja, po izvedbi transformacij dobi obliko algebraičnega ulomka in še posebej rezultat morda ni ulomek, ampak polinom ali celo monom). Za takšne izraze v algebri se uporablja izraz racionalni izraz.

Primer. Dokažite identiteto

rešitev.
Dokazati identiteto pomeni ugotoviti, da sta za vse dovoljene vrednosti spremenljivk leva in desna stran enako enaka izraza. V algebri se identitete dokazujejo različne poti:

1) izvedemo transformacije na levi strani in na koncu dobimo desno stran;

2) izvedemo transformacije na desni strani in na koncu dobimo levo stran;

3) preoblikujte desno in levo stran ločeno in dobite enak izraz v prvem in drugem primeru;

4) nadomestiti razliko med levo in desni deli in kot rezultat njegovih transformacij dobijo nič.

Katero metodo izbrati, je odvisno od specifične vrste identitete kar morate dokazati. V tem primeru je priporočljivo izbrati prvo metodo.

Za pretvorbo racionalnih izrazov se uporabi isti postopek kot za pretvorbo številskih izrazov. To pomeni, da najprej izvedejo dejanja v oklepaju, nato dejanja druge stopnje (množenje, deljenje, potenciranje), nato dejanja prve stopnje (seštevanje, odštevanje).

Izvajajmo transformacije na podlagi pravil algoritmi ki so bili razviti v prejšnjih odstavkih.

Kot lahko vidite, nam je uspelo preoblikovati levo stran preverjane identitete v obliko desne strani. To pomeni, da je identiteta dokazana. Vendar ne pozabite, da je identiteta veljavna le za dopustne vrednosti spremenljivk. V tem primeru so to vse vrednosti a in b, razen tistih, zaradi katerih so imenovalci ulomkov nič. To pomeni, da so veljavni vsi pari števil (a; b), razen tistih, za katere je izpolnjena vsaj ena od enakosti:

2a - b = 0, 2a + b = 0, b = 0.

Mordkovič A. G., Algebra. 8. razred: Učbenik. za splošno izobraževanje ustanove - 3. izd., spremenjena. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 str.: ilustr.

Celoten seznam tem po razredih, koledarski načrt po šolskem kurikulumu matematike na spletu, video gradivo o matematiki za 8. razred prenos

Vsebina lekcije zapiski lekcije podporni okvir predstavitev lekcije metode pospeševanja interaktivne tehnologije Vadite naloge in vaje samotestiranje delavnice, treningi, primeri, questi domače naloge diskusija vprašanja retorična vprašanja študentov Ilustracije avdio, video posnetki in multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, diagrami, humor, anekdote, šale, stripi, prispodobe, izreki, križanke, citati Dodatki izvlečkičlanki triki za radovedneže jaslice učbeniki osnovni in dodatni slovar pojmov drugo Izboljšanje učbenikov in poukapopravljanje napak v učbeniku posodobitev odlomka v učbeniku, elementi inovativnosti pri pouku, nadomeščanje zastarelega znanja z novim Samo za učitelje popolne lekcije koledarski načrt za leto smernice diskusijski programi Integrirane lekcije

Članek govori o transformaciji racionalnih izrazov. Oglejmo si vrste racionalnih izrazov, njihove transformacije, združevanja in oklepaje skupnega faktorja. Naučimo se predstaviti ulomljene racionalne izraze v obliki racionalnih ulomkov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definicija in primeri racionalnih izrazov

Definicija 1

Izrazi, ki so sestavljeni iz števil, spremenljivk, oklepajev, potenc z operacijami seštevanja, odštevanja, množenja, deljenja s prisotnostjo ulomkov, se imenujejo racionalni izrazi.

Na primer, imamo, da je 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a: (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .

Se pravi, to so izrazi, ki niso razdeljeni na izraze s spremenljivkami. Učenje racionalnih izrazov se začne v 8. razredu, kjer se imenujejo ulomki racionalni izrazi.Posebna pozornost je namenjena ulomkom v števcu, ki jih transformiramo s transformacijskimi pravili.

To nam omogoča, da nadaljujemo s transformacijo racionalnih ulomkov poljubne oblike. Takšen izraz lahko obravnavamo kot izraz s prisotnostjo racionalnih ulomkov in celih izrazov z znaki dejanj.

Glavne vrste transformacij racionalnih izrazov

Racionalni izrazi se uporabljajo za izvajanje identičnih transformacij, združevanje v skupine, prinašanje podobnih in izvajanje drugih operacij s števili. Namen takih izrazov je poenostavitev.

Primer 1

Pretvorite racionalni izraz 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .

rešitev

Vidimo lahko, da je tak racionalen izraz razlika med 3 x x y - 1 in 2 x x y - 1. Opazimo, da je njun imenovalec enak. To pomeni, da bo zmanjšanje podobnih pogojev v obliki

3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1

odgovor: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .

Primer 2

Pretvori 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) .

rešitev

Na začetku izvedemo dejanja v oklepajih 3 · x − x = 2 · x. Ta izraz predstavimo v obliki 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x. Pridemo do izraza, ki vsebuje operacije z enim korakom, torej ima seštevanje in odštevanje.

Oklepajev se znebimo z lastnostjo deljenja. Potem dobimo, da je 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2: 2: x.

Številske faktorje združujemo s spremenljivko x, po kateri lahko izvajamo operacije s potencami. To razumemo

2 x y 4 (- 4) x 2: 2: x = (2 (- 4) : 2) (x x 2: x) y 4 = - 4 x 2 y 4

odgovor: 2 x y 4 (- 4) x 2: (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.

Primer 3

Pretvori izraz v obliki x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .

rešitev

Najprej preoblikujemo števec in imenovalec. Nato dobimo izraz v obliki (x · (x + 3) - (3 · x + 1)): 1 2 · x · 4 + 2 in najprej se izvedejo dejanja v oklepajih. V števcu se izvajajo operacije in združujejo faktorje. Nato dobimo izraz v obliki x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 · x + 2 .

Formulo razlike kvadratov pretvorimo v števec, potem dobimo to

x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2

Odgovori: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .

Predstavitev racionalnega ulomka

Algebraične ulomke pri reševanju največkrat poenostavimo. Na to je zreducirano vsako racionalno različne poti. Vse je treba narediti potrebna dejanja s polinomi, tako da lahko racionalni izraz na koncu da racionalen ulomek.

Primer 4

Predstavi kot racionalni ulomek a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.

rešitev

Ta izraz lahko predstavimo kot 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. Množenje poteka predvsem po pravilih.

Začeti bi morali z množenjem, potem to dobimo

a 2 - 25 a + 3 1 a 2 + 5 a = a - 5 (a + 5) a + 3 1 a (a + 5) = a - 5 (a + 5) 1 ( a + 3) a (a + 5) = a - 5 (a + 3) a

Dobljeni rezultat predstavljamo z originalnim. To razumemo

a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a

Zdaj pa naredimo odštevanje:

a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 a 2 - 9

Po tem je očitno, da bo prvotni izraz dobil obliko 16 a 2 - 9.

odgovor: a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a = 16 a 2 - 9 .

Primer 5

Izrazi x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x kot racionalni ulomek.

rešitev

Podani izraz je zapisan kot ulomek, katerega števec ima x x + 1 + 1, imenovalec pa 2 x - 1 1 + x. Potrebno je narediti transformacije x x + 1 + 1 . Če želite to narediti, morate sešteti ulomek in število. Dobimo, da je x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1

Iz tega sledi, da je x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x

Dobljeni ulomek lahko zapišemo kot 2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x.

Po deljenju pridemo do racionalnega ulomka oblike

2 x + 1 x + 1: 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1) ) = 2 x + 1 2 x - 1

To lahko rešite drugače.

Namesto da bi delili z 2 x - 1 1 + x, pomnožimo z njegovim inverznim 1 + x 2 x - 1. Uporabimo lastnost distribucije in ugotovimo to

x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1: 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1

odgovor: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Lekcija in predstavitev na temo: "Pretvorba racionalnih izrazov. Primeri reševanja problemov"

Dodatni materiali
Dragi uporabniki, ne pozabite pustiti svojih komentarjev, mnenj, želja. Vsa gradiva so bila preverjena s protivirusnim programom.

Učni pripomočki in simulatorji v spletni trgovini Integral za 8. razred
Priročnik za učbenik Muravin G.K. Priročnik za učbenik Makarycheva Yu.N.

Koncept racionalnega izražanja

Koncept "racionalnega izraza" je podoben konceptu "racionalnega ulomka". Izraz je predstavljen tudi kot ulomek. Samo naši števniki niso številke, ampak različne vrste izrazov. Najpogosteje so to polinomi. Algebraični ulomek je ulomek, sestavljen iz števil in spremenljivk.

Pri reševanju številnih nalog v osnovnih razredih smo po izvajanju aritmetičnih operacij dobili določene številske vrednosti, največkrat ulomke. Po izvedbi operacij bomo dobili algebraične ulomke. Fantje, ne pozabite: če želite dobiti pravilen odgovor, morate čim bolj poenostaviti izraz, s katerim delate. Pridobiti je treba najmanjšo možno diplomo; enake izraze v števcih in imenovalcih je treba zmanjšati; z izrazi, ki jih je mogoče strniti, morate to storiti. To pomeni, da bi morali po izvedbi niza dejanj dobiti najpreprostejši možni algebraični ulomek.

Postopek z racionalnimi izrazi

Postopek izvajanja operacij z racionalnimi izrazi je enak kot pri aritmetičnih operacijah. Najprej se izvedejo operacije v oklepaju, nato množenje in deljenje, potenciranje in na koncu seštevanje in odštevanje.

Dokazati identiteto pomeni dokazati, da sta za vse vrednosti spremenljivk desna in leva stran enaki. Primerov dokazovanja identitete je veliko.

Glavni načini reševanja identitet vključujejo.

Preoblikujte levo stran, da bo enaka desni strani.
Preoblikujte desno stran, da bo enaka levi.
Preoblikujte levo in desno stran ločeno, dokler ne dobite enakega izraza.
Desna stran se odšteje od leve in rezultat mora biti nič.

Pretvarjanje racionalnih izrazov. Primeri reševanja problemov

Primer 1.
Dokažite identiteto:

$(\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)):(\frac(a^2+5a)(1-5a))+\frac(a ^2+5)(a+1)=a-1$.

rešitev.
Očitno moramo preoblikovati levo stran.
Najprej naredimo korake v oklepajih:

1) $\frac(a+5)(5a-1)+\frac(a+5)(a+1)=\frac((a+5)(a+1)+(a+5)(5a -1))((a+1)(5a-1))=$
$=\frac((a+5)(a+1+5a-1))((a+1)(5a-1))=\frac((a+5)(6a))((a+1 )(5a-1))$

Poskusite čim bolj uporabiti skupne dejavnike.
2) Transformiraj izraz, s katerim delimo:

$\frac(a^2+5a)(1-5a)=\frac(a(a+5))((1-5a)=\frac(a(a+5))(-(5a-1) )$

.
3) Izvedite operacijo deljenja:

$\frac((a+5)(6a))((a+1)(5a-1)):\frac(a(a+5))(-(5a-1))=\frac((a +5)(6a))((a+1)(5a-1))*\frac(-(5a-1))(a(a+5))=\frac(-6)(a+1) $.

4) Izvedite operacijo dodajanja:

$\frac(-6)(a+1)+\frac(a^2+5)(a+1)=\frac(a^2-1)(a+1)=\frac((a-1 )(a+1))(a+))=a-1$.

Desni in levi del sta sovpadala. To pomeni, da je identiteta dokazana.
Fantje, pri reševanju tega primera smo potrebovali poznavanje številnih formul in operacij. Vidimo, da se je po preobrazbi velik izraz spremenil v zelo majhnega. Pri reševanju skoraj vseh problemov transformacije običajno vodijo do preprostih izrazov.

Primer 2.
Poenostavite izraz:

$(\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)):(\frac(a)(a+b)-\frac( a^2)(a^2-b^2))$.

rešitev.
Začnimo s prvimi oklepaji.

1. $\frac(a^2)(a+b)-\frac(a^3)(a^2+2ab+b^2)=\frac(a^2)(a+b)-\frac (a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2(a+b)-a^3)((a+b)^2)=$
$=\frac(a^3+a^2 b-a^3)((a+b)^2)=\frac(a^2b)((a+b)^2)$.

2. Preoblikujte druge oklepaje.

$\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)(a^2-b^2)=\frac(a)(a+b)-\frac(a^2)((a-b )(a+b))=\frac(a(a-b)-a^2)((a-b)(a+b))=$
$=\frac(a^2-ab-a^2)((a-b)(a+b))=\frac(-ab)((a-b)(a+b))$.

3. Naredimo delitev.

$\frac(a^2b)((a+b)^2):\frac(-ab)((a-b)(a+b))=\frac(a^2b)((a+b)^2 )*\frac((a-b)(a+b))((-ab))=$
$=-\frac(a(a-b))(a+b)$

Odgovor: $-\frac(a(a-b))(a+b)$.

Primer 3.
Sledite tem korakom:

$\frac(k-4)(k-2):(\frac(80k)((k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16) )(2-k))-\frac(6k+4)((4-k)^2)$.

rešitev.
Kot vedno morate začeti z oklepaji.

1. $\frac(80k)(k^3-8)+\frac(2k)(k^2+2k+4)-\frac(k-16)(2-k)=\frac(80k)( (k-2)(k^2+2k+4)) +\frac(2k)(k^2+2k+4)+\frac(k-16)(k-2)=$

$=\frac(80k+2k(k-2)+(k-16)(k^2+2k+4))((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(80k +2k^2-4k+k^3+2k^2+4k-16k^2-32k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=$

$=\frac(k^3-12k^2+48k-64)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac((k-4)^3)((k-2 )(k^2+2k+4))$.

2. Zdaj pa naredimo delitev.

$\frac(k-4)(k-2):\frac((k-4)^3)((k-2)(k^2+2k+4))=\frac(k-4)( k-2)*\frac((k-2)(k^2+2k+4))((k-4)^3)=\frac((k^2+2k+4))((k- 4)^2)$.

3. Uporabimo lastnost: $(4-k)^2=(k-4)^2$.
4. Izvedemo operacijo odštevanja.

$\frac((k^2+2k+4))((k-4)^2)-\frac(6k+4)((k-4)^2)=\frac(k^2-4k) ((k-4)^2)=\frac(k(k-4))((k-4)^2)=\frac(k)(k-4)$.

Kot smo že povedali, morate ulomek čim bolj poenostaviti.
Odgovor: $\frac(k)(k-4)$.

Težave, ki jih je treba rešiti neodvisno

1. Dokažite istovetnost:

$\frac(b^2-14)(b-4)-(\frac(3-b)(7b-4)+\frac(b-3)(b-4))*\frac(4-7b )(9b-3b^2)=b+4$.

2. Poenostavite izraz:

$\frac(4(z+4)^2)(z-2)*(\frac(z)(2z-4)-\frac(z^2+4)(2z^2-8)-\frac (2)(z^2+2z))$.

3. Sledite tem korakom:

$(\frac(a-b)(a^2+2ab+b^2)-\frac(2a)((a-b)(a+b))+\frac(a-b)((a-b)^2))*\ frac(a^4-b^4)(8ab^2)+\frac(2b^2)(a^2-b^2)$.

Od šolskega tečaja algebre preidemo na posebnosti. V tem članku bomo podrobno preučili posebno vrsto racionalnih izrazov - racionalni ulomki in upoštevajte tudi, katere lastnosti so enake pretvorbe racionalnih ulomkov odvijati se.

Naj takoj opozorimo, da se racionalni ulomki v smislu, v katerem jih definiramo spodaj, v nekaterih učbenikih algebre imenujejo algebrski ulomki. To pomeni, da bomo v tem članku razumeli racionalne in algebraične ulomke kot isto stvar.

Kot običajno, začnimo z definicijo in primeri. Nato bomo govorili o tem, kako racionalni ulomek pripeljemo na nov imenovalec in spremenimo predznake članov ulomka. Po tem si bomo ogledali, kako zmanjšati ulomke. Nazadnje si poglejmo predstavitev racionalnega ulomka kot vsote več ulomkov. Vse informacije bomo posredovali s primeri podrobni opisi odločitve.

Navigacija po straneh.

Definicija in primeri racionalnih ulomkov

Racionalne ulomke preučujemo pri pouku algebre v 8. razredu. Uporabili bomo definicijo racionalnega ulomka, ki je podana v učbeniku algebre za 8. razred Yu. N. Makarycheva et al.

Ta definicija ne določa, ali morajo biti polinomi v števcu in imenovalcu racionalnega ulomka polinomi standardne oblike ali ne. Zato bomo predpostavili, da lahko zapisi za racionalne ulomke vsebujejo standardne in nestandardne polinome.

Tukaj je nekaj primeri racionalnih ulomkov. Torej, x/8 in - racionalni ulomki. In ulomki in ne ustrezajo navedeni definiciji racionalnega ulomka, saj v prvem od njih števec ne vsebuje polinoma, v drugem pa tako števec kot imenovalec vsebujeta izraze, ki niso polinomi.

Pretvarjanje števca in imenovalca racionalnega ulomka

Števec in imenovalec katerega koli ulomka sta samozadostna matematične izraze, pri racionalnih ulomkih so to polinomi, v posameznem primeru pa monomi in števila. Zato lahko enake transformacije izvedemo s števcem in imenovalcem racionalnega ulomka, kot z vsakim izrazom. Z drugimi besedami, izraz v števcu racionalnega ulomka lahko nadomestimo z enako enakim izrazom, tako kot imenovalec.

V števcu in imenovalcu racionalnega ulomka lahko izvedete enake transformacije. Na primer, v števcu lahko združujete in zmanjšujete podobne člene, v imenovalcu pa zmnožek več števil nadomestite z njegovo vrednostjo. In ker sta števec in imenovalec racionalnega ulomka polinoma, je z njimi mogoče izvesti transformacije, značilne za polinome, na primer redukcijo na standardno obliko ali predstavitev v obliki izdelka.

Zaradi jasnosti razmislimo o rešitvah več primerov.

Primer.

Pretvori racionalni ulomek tako da je v števcu polinom standardne oblike, v imenovalcu pa produkt polinomov.

rešitev.

Zmanjšanje racionalnih ulomkov na nov imenovalec se uporablja predvsem pri seštevanju in odštevanju racionalnih ulomkov.

Spreminjanje predznaka pred ulomkom, pa tudi v njegovem števcu in imenovalcu

Glavno lastnost ulomka lahko uporabimo za spreminjanje predznakov članov ulomka. Dejansko je množenje števca in imenovalca racionalnega ulomka z -1 enakovredno spreminjanju njunih predznakov, rezultat pa je ulomek, ki je identično enak danemu. To transformacijo je treba pogosto uporabljati pri delu z racionalnimi ulomki.

Če torej istočasno spremenite predznak števca in imenovalca ulomka, boste dobili ulomek, ki je enak prvotnemu. Na to trditev odgovarja enakost.

Dajmo primer. Racionalni ulomek lahko nadomestimo z enako enakim ulomkom s spremenjenima predznakoma števca in imenovalca oblike.

Z ulomki lahko izvedete še eno enako transformacijo, pri kateri se spremeni predznak števca ali imenovalca. Navedimo ustrezno pravilo. Če predznak ulomka zamenjamo s predznakom števca ali imenovalca, dobimo ulomek, ki je identično enak prvotnemu. Pisna izjava ustreza enakostim in .

Dokazovanje teh enakosti ni težko. Dokaz temelji na lastnostih množenja števil. Dokažimo prvo izmed njih: . S podobnimi transformacijami je enakost dokazana.

Ulomek lahko na primer nadomestimo z izrazom oz.

Za zaključek te točke predstavljamo še dve uporabni enačbi in . To pomeni, da če spremenite predznak samo števca ali samo imenovalca, bo ulomek spremenil predznak. na primer in .

Obravnavane transformacije, ki omogočajo spreminjanje predznaka členov ulomka, se pogosto uporabljajo pri transformaciji ulomkov racionalnih izrazov.

Zmanjševanje racionalnih ulomkov

Naslednja transformacija racionalnih ulomkov, imenovana redukcija racionalnih ulomkov, temelji na isti osnovni lastnosti ulomka. Ta transformacija ustreza enakosti , kjer so a, b in c nekateri polinomi, b in c pa različna od nič.

Iz zgornje enakosti postane jasno, da zmanjševanje racionalnega ulomka pomeni, da se znebimo skupnega faktorja v njegovem števcu in imenovalcu.

Primer.

Prekliči racionalni ulomek.

rešitev.

Takoj je viden skupni faktor 2, naredimo redukcijo z njim (pri pisanju je priročno prečrtati skupne faktorje, ki jih reduciramo). Imamo . Ker je x 2 =x x in y 7 =y 3 y 4 (glejte, če je potrebno), je jasno, da je x skupni faktor števca in imenovalca dobljenega ulomka, tako kot y 3. Zmanjšajmo s temi dejavniki: . S tem je zmanjšanje končano.

Zgoraj smo izvedli redukcijo racionalnih ulomkov zaporedno. Ali pa je bilo možno izvesti redukcijo v enem koraku in takoj zmanjšati ulomek za 2 x y 3. V tem primeru bi rešitev izgledala takole: .

odgovor:

Pri zmanjševanju racionalnih ulomkov je glavna težava v tem, da skupni faktor števca in imenovalca ni vedno viden. Poleg tega ne obstaja vedno. Če želite najti skupni faktor ali preveriti njegovo odsotnost, morate faktorizirati števec in imenovalec racionalnega ulomka. Če skupnega faktorja ni, prvotnega racionalnega ulomka ni treba zmanjševati, sicer se izvede zmanjševanje.

V procesu zmanjševanja racionalnih ulomkov lahko nastanejo različne nianse. Glavne podrobnosti so obravnavane v članku z zmanjševanjem algebraičnih ulomkov s primeri in podrobno.

Ob zaključku pogovora o zmanjšanju racionalnih ulomkov ugotavljamo, da je ta transformacija enaka, glavna težava pri njeni izvedbi pa je faktoriziranje polinomov v števcu in imenovalcu.

Predstavitev racionalnega ulomka kot vsote ulomkov

Precej specifična, a v nekaterih primerih zelo uporabna, je transformacija racionalnega ulomka, ki je sestavljena iz njegove predstavitve kot vsote več ulomkov ali vsote celotnega izraza in ulomka.

Racionalni ulomek, katerega števec vsebuje polinom, ki predstavlja vsoto več monomov, lahko vedno zapišemo kot vsoto ulomkov z enaki imenovalci, katerih števci vsebujejo ustrezne monome. na primer . Ta predstavitev je pojasnjena s pravilom za seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z enakimi imenovalci.

Na splošno lahko vsak racionalni ulomek predstavimo kot vsoto ulomkov na veliko različnih načinov. Na primer, ulomek a/b lahko predstavimo kot vsoto dveh ulomkov - poljubnega ulomka c/d in ulomka, ki je enak razliki med ulomkoma a/b in c/d. Ta trditev drži, saj enakost velja . Na primer, racionalni ulomek je mogoče predstaviti kot vsoto ulomkov na različne načine: Predstavljajmo si prvotni ulomek kot vsoto izraza celega števila in ulomka. Če s stolpcem delimo števec z imenovalcem, dobimo enakost . Vrednost izraza n 3 +4 za poljubno celo število n je celo število. In vrednost ulomka je celo število, če in samo če je njegov imenovalec 1, −1, 3 ali −3. Te vrednosti ustrezajo vrednostim n=3, n=1, n=5 oziroma n=−1.

odgovor:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografija.

Algebra: učbenik za 8. razred. Splošna izobrazba institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredil S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M .: Izobraževanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovič A. G. Algebra. 7. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 13. izd., rev. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 str .: ilustr. ISBN 978-5-346-01198-9.
Mordkovič A. G. Algebra. 8. razred. V 2 urah 1. del Učbenik za študente splošnoizobraževalnih ustanov / A. G. Mordkovich. - 11. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
Gusev V. A., Mordkovič A. G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Proc. dodatek.- M.; višje šola, 1984.-351 str., ilustr.