Brojevi i izrazi koji čine originalni izraz mogu se zamijeniti identično jednakim izrazima. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji mu je identično jednak.

Na primjer, u izrazu 3+x, broj 3 se može zamijeniti zbrojem 1+2, što će rezultirati izrazom (1+2)+x, koji je identično jednak originalnom izrazu. Drugi primjer: u izrazu 1+a 5, stepen a 5 može se zamijeniti identično jednakim proizvodom, na primjer, oblika a·a 4. Ovo će nam dati izraz 1+a·a 4 .

Ova transformacija je nesumnjivo umjetna i obično je priprema za neke daljnje transformacije. Na primjer, u zbiru 4 x 3 +2 x 2, uzimajući u obzir svojstva stepena, pojam 4 x 3 može se predstaviti kao proizvod 2 x 2 2 x. Nakon ove transformacije, originalni izraz će poprimiti oblik 2 x 2 2 x+2 x 2. Očigledno, članovi u rezultirajućem zbiru imaju zajednički faktor 2 x 2, tako da možemo izvršiti sljedeću transformaciju - zagrada. Nakon toga dolazimo do izraza: 2 x 2 (2 x+1) .

Sabiranje i oduzimanje istog broja

Još jedna umjetna transformacija izraza je dodavanje i istovremeno oduzimanje istog broja ili izraza. Ova transformacija je identična jer je u suštini ekvivalentna dodavanju nule, a dodavanje nule ne mijenja vrijednost.

Pogledajmo primjer. Uzmimo izraz x 2 +2·x. Ako mu dodate jedan i oduzmete jedan, to će vam omogućiti da izvršite još jednu identičnu transformaciju u budućnosti - kvadrat binoma: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografija.

• algebra: udžbenik za 7. razred opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 17. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: udžbenik za 8. razred. opšte obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uređeno od S. A. Telyakovsky. - 16. ed. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ill. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 sati Prvi dio. Udžbenik za studente obrazovne institucije/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dop. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.

Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

Obrazovne ustanove

„Gomel Državni univerzitet njima. F. Skorina"

Matematički fakultet

Odjel MPM

Identične transformacije izraza i metode podučavanja učenika kako da ih izvode

Izvršilac:

Student Starodubova A.Yu.

naučni savjetnik:

Cand. fizike i matematike nauka, vanredni profesor Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Uvod

1 Glavne vrste transformacija i faze njihovog proučavanja. Faze ovladavanja upotrebom transformacija

Zaključak

Književnost

Uvod

Najjednostavnije transformacije izraza i formula, zasnovane na svojstvima aritmetičkih operacija, izvode se u osnovna škola i 5. i 6. razredi. Formiranje vještina i sposobnosti za izvođenje transformacija odvija se na kursu algebre. To je zbog naglog povećanja broja i raznolikosti transformacija koje se provode, kao i zbog kompliciranja aktivnosti na njihovom opravdavanju i razjašnjavanju uslova primjenjivosti, identifikacije i proučavanja generaliziranih koncepata identiteta, identične transformacije, ekvivalentna transformacija.

1. Glavne vrste transformacija i faze njihovog proučavanja. Faze ovladavanja upotrebom transformacija

1. Počeci algebre

Koristi se nepodeljeni sistem transformacija, predstavljen pravilima za izvođenje radnji na jednom ili oba dela formule. Cilj je postići tečnost u izvršavanju zadataka za rješavanje jednostavnih jednačina, pojednostavljivanje formula koje definiraju funkcije i racionalno izvođenje proračuna na osnovu svojstava radnji.

Tipični primjeri:

Riješite jednačine:

A) ; b) ; V) .

Identična transformacija (a); ekvivalentan i identičan (b).

2. Formiranje vještina primjene specifičnih vrsta transformacija

Zaključci: formule za skraćeno množenje; transformacije povezane sa eksponencijalnošću; transformacije povezane s različitim klasama elementarnih funkcija.

Organizacija integralnog sistema transformacija (sinteza)

Cilj je stvoriti fleksibilan i moćan aparat pogodan za korištenje u rješavanju različitih obrazovnih zadataka. Prelazak na ovu fazu se vrši tokom završnog ponavljanja kursa u toku razumijevanja već poznatog gradiva naučenog u dijelovima, a za određene vrste transformacija prethodno proučavanim tipovima se dodaju transformacije trigonometrijskih izraza. Sve ove transformacije se mogu nazvati “algebarskim”; “analitičke” transformacije uključuju one koje se zasnivaju na pravilima diferencijacije i integracije i transformacije izraza koji sadrže prelaze do granica. Razlika ovog tipa je u prirodi skupa kroz koji prolaze varijable u identitetima (određeni skupovi funkcija).

Identiteti koji se proučavaju podijeljeni su u dvije klase:

I – identiteti skraćenog množenja koji vrijede u komutativnom prstenu i identiteti

fer na terenu.

II – identiteti koji povezuju aritmetičke operacije i osnovne elementarne funkcije.

2 Osobine organizacije sistema zadataka pri proučavanju transformacija identiteta

Glavni princip organizovanja sistema zadataka je da ih predstavi od jednostavnih do složenih.

Ciklus vježbanja– kombinovanje u nizu vežbi nekoliko aspekata učenja i tehnika slaganja gradiva. Prilikom proučavanja transformacija identiteta ciklus vježbi povezuje se sa proučavanjem jednog identiteta, oko kojeg se grupišu ostali identiteti koji su s njim u prirodnoj vezi. Ciklus, uz izvršne, uključuje zadatke, zahtijevajući priznavanje primjenjivosti dotičnog identiteta. Identitet koji se proučava koristi se za izvođenje proračuna na različitim numeričkim domenima. Zadaci u svakom ciklusu podijeljeni su u dvije grupe. TO prvo To uključuje zadatke koji se obavljaju tokom početnog upoznavanja sa identitetom. Služe kao edukativni materijal za nekoliko uzastopnih lekcija objedinjenih jednom temom.

Druga grupa vježbe povezuje identitet koji se proučava s različitim aplikacijama. Ova grupa ne čini kompoziciono jedinstvo - vježbe su ovdje raštrkane na različite teme.

Opisane strukture ciklusa odnose se na fazu razvoja vještina za primjenu specifičnih transformacija.

U fazi sinteze ciklusi se mijenjaju, grupe zadataka se kombinuju u pravcu usložnjavanja i spajanja ciklusa vezanih za različite identitete, čime se povećava uloga radnji u prepoznavanju primjenjivosti određenog identiteta.

Primjer.

Ciklus zadataka za identitet:

I grupa zadataka:

a) prisutan u obliku proizvoda:

b) Provjerite jednakost:

c) Proširite zagrade u izrazu:

.

d) Izračunajte:

e) Faktorizirati:

f) pojednostavite izraz:

.

Učenici su se upravo upoznali sa formulacijom identiteta, njegovim pisanjem u obliku identiteta i njegovim dokazom.

Zadatak a) povezan je sa fiksiranjem strukture identiteta koji se proučava, sa uspostavljanjem veze sa numeričkim skupovima (upoređivanje znakovnih struktura identiteta i izraza koji se transformiše; zamena slova brojem u identitetu). U posljednjem primjeru još ga moramo svesti na formu koja se proučava. U sljedećim primjerima (e i g) postoji komplikacija uzrokovana primijenjenom ulogom identiteta i složenošću znakovne strukture.

Zadaci tipa b) imaju za cilj razvijanje zamjenskih vještina na . Uloga zadatka c) je slična.

Primjeri tipa d), u kojima je potrebno odabrati jedan od pravaca transformacije, upotpunjuju razvoj ove ideje.

Zadaci grupe I usmjereni su na ovladavanje strukturom identiteta, operacijom zamjene u najjednostavnijim, fundamentalno najvažnijim slučajevima, te idejom reverzibilnosti transformacija koje provodi identitet. Obogaćivanje jezičkih sredstava koja pokazuju različite aspekte identiteta takođe je veoma važno. Tekstovi zadataka daju predstavu o ovim aspektima.

II grupa zadataka.

g) Koristeći identitet za , faktor polinom .

h) Ukloniti iracionalnost u nazivniku razlomka.

i) Dokaži da ako je neparan broj, onda je djeljiv sa 4.

j) Funkcija je data analitičkim izrazom

.

Riješite se znaka modula razmatranjem dva slučaja: , .

k) Riješite jednačinu .

Ovi zadaci imaju za cilj što potpunije korištenje i sagledavanje specifičnosti ovog konkretnog identiteta, pretpostavljaju formiranje vještina korištenja identiteta koji se proučava za razliku kvadrata. Cilj je produbiti razumijevanje identiteta razmatranjem njegovih različitih primjena različite situacije, u kombinaciji s korištenjem materijala koji se odnosi na druge teme u predmetu matematike.

ili .

Karakteristike ciklusa zadataka koji se odnose na identitete za elementarne funkcije:

1) proučavaju se na osnovu funkcionalnog materijala;

2) identiteti prve grupe se pojavljuju kasnije i proučavaju se koristeći već razvijene vještine za provođenje transformacija identiteta.

Prva grupa zadataka u ciklusu treba da uključi zadatke za uspostavljanje veza između ovih novih numeričkih područja i izvorne oblasti racionalnih brojeva.

Primjer.

Izračunati:

;

.

Svrha ovakvih zadataka je ovladavanje karakteristikama zapisa, uključujući simbole novih operacija i funkcija, te razvijanje matematičkih govornih vještina.

Značajan dio upotrebe transformacija identiteta povezanih s elementarnim funkcijama pada na rješavanje iracionalnih i transcendentalnih jednačina. Redoslijed koraka:

a) pronaći funkciju φ za koju se data jednadžba f(x)=0 može predstaviti kao:

b) zamijeniti y=φ(x) i riješiti jednačinu

c) riješiti svaku od jednačina φ(x)=y k, gdje je y k skup korijena jednačine F(y)=0.

Kada se koristi opisana metoda, korak b) se često izvodi implicitno, bez uvođenja zapisa za φ(x). Osim toga, studenti često preferiraju Različiti putevi dovodeći do pronalaženja odgovora, odaberite onaj koji brže i lakše vodi do algebarske jednadžbe.

Primjer. Riješite jednačinu 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (korak a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2 x (2 x -3)=0; 2 x -3=0. (korak b)

Primjer. Riješite jednačinu:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Predložite samostalno rješenje.)

Klasifikacija zadataka u ciklusima koji se odnose na rješavanje transcendentalnih jednadžbi, uključujući eksponencijalnu funkciju:

1) jednadžbe koje se svode na jednačine oblika a x =y 0 i imaju jednostavan, opći odgovor:

2) jednačine koje se svode na jednačine oblika a x = a k, gdje je k cijeli broj, ili a x = b, gdje je b≤0.

3) jednačine koje se svode na jednačine oblika a x =y 0 i zahtijevaju eksplicitnu analizu oblika u kojima je eksplicitno napisan broj y 0.

Zadaci u kojima se transformacije identiteta koriste za konstruiranje grafova uz pojednostavljivanje formula koje definiraju funkcije su od velike koristi.

a) Grafikujte funkciju y=;

b) Riješite jednačinu lgx+lg(x-3)=1

c) na kom skupu je formula log(x-5)+ log(x+5)= log(x 2 -25) identitet?

Upotreba transformacija identiteta u proračunima (Časopis za matematiku u školi, br. 4, 1983, str. 45)

Zadatak br. 1. Funkcija je data formulom y=0,3x 2 +4,64x-6. Pronađite vrijednosti funkcije na x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Zadatak br. 2. Izračunajte dužinu jedne katete pravokutnog trokuta ako je dužina njegove hipotenuze 3,6 cm, a druge katete 2,16 cm.

Zadatak br. 3. Kolika je površina parcele pravougaonog oblika, dimenzija a) 0,64 m i 6,25 m; b) 99,8m i 2,6m?

a)0,64*6,25=0,8 2 *2,5 2 =(0,8*2,5) 2;

b)99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Ovi primjeri omogućavaju identifikaciju praktične primjene transformacija identiteta. Student treba da bude upoznat sa uslovima izvodljivosti transformacije (vidi dijagrame).

-

slika polinoma, gdje se bilo koji polinom uklapa u okrugle konture (dijagram 1)

-

dat je uslov izvodljivosti transformacije proizvoda monoma i izraza koji dozvoljava transformaciju u razliku kvadrata. (šema 2)

-

ovdje sijene označavaju jednake monome i dat je izraz koji se može pretvoriti u razliku kvadrata (Shema 3)

-

izraz koji dozvoljava zajednički faktor.

Učeničke vještine u prepoznavanju stanja mogu se razviti na sljedećim primjerima:

Koji se od sljedećih izraza može transformirati izvlačenjem zajedničkog faktora iz zagrada:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2 ;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x 2 +3x 2 +5y 2 ;

7) 0,21+0,22+0,23.

Većina proračuna u praksi ne zadovoljava uslove zadovoljivosti, pa su studentima potrebne vještine da ih svedu na oblik koji omogućava izračunavanje transformacija. U ovom slučaju prikladni su sljedeći zadaci:

kada proučavate uzimanje zajedničkog faktora iz zagrada:

pretvorite ovaj izraz, ako je moguće, u izraz koji je prikazan na dijagramu 4:

4) 2a*a 2 *a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Prilikom formiranja koncepta „identične transformacije“, treba imati na umu da to ne znači samo da dati i rezultirajući izraz kao rezultat transformacije uzimaju jednake vrijednosti za bilo koje vrijednosti slova uključenih u njega, ali i da tokom identične transformacije prelazimo sa izraza koji definira jedan način izračunavanja na izraz koji definira drugi način izračunavanja iste vrijednosti.

Shema 5 (pravilo za pretvaranje proizvoda monoma i polinoma) može se ilustrirati primjerima

0,5a(b+c) ili 3,8(0,7+).

Vježbe za učenje kako izvući zajednički faktor iz zagrada:

Izračunajte vrijednost izraza:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc na a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) sa a=1,4; b=2,8; c=5.2.

Ilustrirajmo primjerima formiranje vještina u proračunima i transformacijama identiteta (Časopis za matematiku u školi, br. 5, 1984, str. 30).

1) veštine i sposobnosti se stiču brže i duže zadržavaju ako se njihovo formiranje odvija na svesnoj osnovi (didaktički princip svesti).

1) Možete formulisati pravilo za sabiranje razlomaka sa sličnim nazivnicima ili prvo razmotriti suštinu sabiranja sličnih udjela koristeći konkretne primjere.

2) Prilikom faktoringa vađenjem zajedničkog faktora iz zagrada, važno je vidjeti ovaj zajednički faktor, a zatim primijeniti zakon raspodjele. Prilikom izvođenja prvih vježbi korisno je svaki član polinoma napisati kao proizvod, jedan od faktora što je uobičajeno za sve termine:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Posebno je korisno to učiniti kada se jedan od monoma polinoma izvadi iz zagrada:

II. Prva faza formiranje veštine - ovladavanje veštinom (vežbe se izvode sa detaljna objašnjenja i zapisi)

(pitanje znaka se prvo rješava)

Druga faza– faza automatizacije vještine eliminacijom nekih međuoperacija

III. Jačina vještina postiže se rješavanjem primjera koji su raznoliki i po sadržaju i po obliku.

Tema: “Izbacivanje zajedničkog faktora iz zagrada.”

1. Zapišite faktor koji nedostaje umjesto polinoma:

2. Faktorizirajte tako da ispred zagrada stoji monom sa negativnim koeficijentom:

3. Faktor tako da polinom u zagradama ima cjelobrojne koeficijente:

4. Riješite jednačinu:

IV. Razvoj vještina je najefikasniji kada se neki srednji proračuni ili transformacije izvode usmeno.

(usmeno);

V. Vještine i sposobnosti koje se razvijaju moraju biti dio prethodno formiranog sistema znanja, vještina i sposobnosti učenika.

Na primjer, kada podučavate kako da činite polinome koristeći skraćene formule za množenje, nude se sljedeće vježbe:

Faktoriziraj:

VI. Potreba za racionalnim izvođenjem proračuna i transformacija.

V) pojednostavi izraz:

Racionalnost leži u otvaranju zagrada, jer

VII. Pretvaranje izraza koji sadrže eksponente.

br. 1011 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

br. 1012 (Alg.9) Uklonite množitelj ispod znaka korijena:

br. 1013 (Alg.9) Unesite faktor ispod predznaka korijena:

br. 1014 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

U svim primjerima, prvo izvršite ili faktorizaciju, ili oduzimanje zajedničkog faktora, ili “vidite” odgovarajuću formulu redukcije.

br. 1015 (Alg.9) Smanjite razlomak:

Mnogi učenici imaju određene poteškoće u transformaciji izraza koji sadrže korijene, posebno kada proučavaju jednakost:

Stoga, ili detaljno opišite izraze oblika ili ili idite na stepen sa racionalnim eksponentom.

br. 1018 (Alg.9) Pronađite vrijednost izraza:

br. 1019 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

2.285 (Skanavi) Pojednostavite izraz

a zatim nacrtajte funkciju y Za

br. 2.299 (Skanavi) Provjerite valjanost jednakosti:

Transformacija izraza koji sadrže stepen je generalizacija stečenih vještina i sposobnosti u proučavanju identičnih transformacija polinoma.

br. 2.320 (Skanavi) Pojednostavite izraz:

Kurs Algebra 7 daje sljedeće definicije.

Def. Za dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za vrijednosti varijabli se kaže da su identično jednaki.

Def. Jednakost je istinita za sve vrijednosti pozvanih varijabli. identitet.

br. 94 (Alg.7) Je li jednakost:

a)

c)

d)

Definicija opisa: Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza. Identične transformacije izraza sa varijablama izvode se na osnovu svojstava operacija nad brojevima.

br. (Alg.7) Među izrazima

pronađite one koji su identično jednaki.

Tema: “Identične transformacije izraza” (tehnika pitanja)

Prva tema "Algebre-7" - "Izrazi i njihove transformacije" pomaže da se konsoliduju računske vještine stečene u razredima 5-6, sistematiziraju i generaliziraju informacije o transformacijama izraza i rješenjima jednačina.

Pronalaženje značenja brojčanih i slovnih izraza omogućava da se sa učenicima ponavljaju pravila rada sa racionalnim brojevima. Sposobnost izvođenja aritmetičkih operacija s racionalnim brojevima je fundamentalna za cijeli kurs algebre.

Kada se razmatraju transformacije izraza, formalne i operativne vještine ostaju na istom nivou koji je postignut u 5-6 razredima.

Međutim, ovdje se studenti dižu na novi nivo u savladavanju teorije. Uvode se pojmovi „identično jednaki izrazi“, „identičnost“, „identične transformacije izraza“, čiji će se sadržaj neprestano otkrivati ​​i produbljivati ​​proučavanjem transformacija različitih algebarskih izraza. Ističe se da su u osnovi transformacije identiteta svojstva operacija nad brojevima.

Prilikom proučavanja teme „Polinomi“ formiraju se formalne operativne vještine identičnih transformacija algebarskih izraza. Formule skraćenog množenja doprinose daljem procesu razvijanja sposobnosti izvođenja identičnih transformacija cijelih izraza; sposobnost primjene formula za skraćeno množenje i faktorizaciju polinoma koristi se ne samo u transformaciji cijelih izraza, već i u operacijama s razlomcima, korijenima , potencije s racionalnim eksponentom .

U 8. razredu se uvježbavaju stečene vještine transformacije identiteta u radnjama sa algebarski razlomci, kvadratni korijen i izrazi koji sadrže stepene sa celobrojnim eksponentom.

U budućnosti će se tehnike transformacije identiteta ogledati u izrazima koji sadrže stepen sa racionalnim eksponentom.

Posebna grupa identične transformacije su trigonometrijski izrazi i logaritamski izrazi.

Obavezni ishodi učenja za kurs algebre u 7-9 razredu uključuju:

1) transformacije identiteta celobrojnih izraza

a) zagrade za otvaranje i zatvaranje;

b) dovođenje sličnih članova;

c) sabiranje, oduzimanje i množenje polinoma;

d) faktoring polinoma stavljanjem zajedničkog faktora iz zagrada i skraćenih formula za množenje;

e) faktorizacija kvadratnog trinoma.

“Matematika u školi” (B.U.M.) str.110

2) identične transformacije racionalnih izraza: sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka, kao i primjena navedenih vještina pri izvođenju jednostavnih kombinovanih transformacija [str. 111]

3) učenici treba da budu u stanju da izvrše transformacije jednostavnih izraza koji sadrže stepene i korene. (str. 111-112)

Razmotrene su glavne vrste problema, sposobnost rješavanja kojih omogućava studentu da dobije pozitivnu ocjenu.

Jedan od najvažnijih aspekata metodologije proučavanja transformacija identiteta je učenikovo razvijanje ciljeva za izvođenje transformacija identiteta.

1) - pojednostavljenje numeričke vrijednosti izraza

2) koju od transformacija treba izvršiti: (1) ili (2) Analiza ovih opcija je motivacija (poželjno (1), budući da je u (2) opseg definicije sužen)

3) Riješite jednačinu:

Faktoring pri rješavanju jednačina.

4) Izračunajte:

Primijenimo skraćenu formulu množenja:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Pronađite vrijednost izraza:

Da biste pronašli vrijednost, pomnožite svaki razlomak s konjugatom:

6) Grafikujte funkciju:

Odaberimo cijeli dio: .

Sprečavanje grešaka pri izvođenju transformacija identiteta može se postići različitim primjerima njihove implementacije. U ovom slučaju se praktikuju “male” tehnike koje su kao komponente uključene u veći proces transformacije.

Na primjer:

U zavisnosti od pravca jednačine, može se razmotriti nekoliko problema: množenje polinoma s desna na levo; s lijeva na desno - faktorizacija. Lijeva strana je višekratnik jednog od faktora na desnoj strani, itd.

Osim variranja primjera, možete koristiti apologija između identiteta i brojčanih jednakosti.

Sljedeća tehnika je objašnjenje identiteta.

Da bismo povećali interesovanje učenika, možemo uključiti pronalaženje na razne načine rješavanje problema.

Lekcije o proučavanju transformacije identiteta postat će zanimljivije ako im se posvetite traženje rješenja problema .

Na primjer: 1) smanjite razlomak:

3) dokazati formulu "složenog radikala"

Uzmite u obzir:

Hajde da se transformišemo desna strana jednakost:

-

zbir konjugiranih izraza. Mogli bi se pomnožiti i podijeliti njihovim konjugatom, ali takva operacija bi nas dovela do razlomka čiji je imenilac razlika radikala.

Imajte na umu da je prvi član u prvom dijelu identiteta broj veći od drugog, tako da možemo kvadrirati oba dijela:

Praktična lekcija br. 3.

Tema: Identične transformacije izraza (tehnika pitanja).

Literatura: “Radionica o MPM”, str. 87-93.

Znak visoke kulture proračuna i transformacije identiteta među studentima je snažno poznavanje svojstava i algoritama operacija nad tačnim i približnim veličinama i njihova vješta primjena; racionalne metode proračuna i transformacija i njihova verifikacija; sposobnost opravdavanja upotrebe metoda i pravila proračuna i transformacija, automatske vještine izvršavanja računskih operacija bez grešaka.

U kom razredu bi učenici trebali početi raditi na razvijanju navedenih vještina?

Linija identičnih transformacija izraza počinje primjenom tehnika racionalnog izračunavanja, a počinje primjenom tehnika racionalnog izračunavanja vrijednosti numeričkih izraza. (5. razred)

Prilikom proučavanja takvih tema školski kurs treba im dati matematiku Posebna pažnja!

Svjesna implementacija transformacija identiteta kod učenika je olakšana razumijevanjem činjenice da algebarski izrazi ne postoje sami, već su u neraskidivoj vezi sa određenim numeričkim skupom generalizovani zapisi brojčanih izraza. Analogije između algebarskih i numeričkih izraza (i njihovih transformacija) su logične; njihova upotreba u nastavi pomaže u sprečavanju učenika da prave greške.

Identične transformacije nisu posebna tema u školskom predmetu matematike, već se izučavaju kroz cijeli kurs algebre i početke matematičke analize.

Program matematike za 1-5 razred je propedevtički materijal za proučavanje identičnih transformacija izraza sa promenljivom.

Na kursu algebre 7. razreda. uvodi se definicija identiteta i transformacije identiteta.

Def. Pozivaju se dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli. identično jednake.

ODA. Jednakost koja vrijedi za bilo koju vrijednost varijabli naziva se identitet.

Vrijednost identiteta leži u činjenici da dozvoljava da se dati izraz zamijeni drugim koji mu je identično jednak.

Def. Zamjena jednog izraza drugim identično jednakim izrazom se zove identična transformacija ili jednostavno transformacija izrazi.

Identične transformacije izraza sa varijablama izvode se na osnovu svojstava operacija nad brojevima.

Osnovom transformacija identiteta mogu se smatrati ekvivalentne transformacije.

ODA. Pozivaju se dvije rečenice, od kojih je svaka logična posljedica druge. ekvivalentno.

ODA. Poziva se rečenica s varijablama A. posljedica rečenice sa varijablama B, ako je domen istine B podskup domena istine A.

Može se dati još jedna definicija ekvivalentnih rečenica: dvije rečenice sa varijablama su ekvivalentne ako im se domeni istinitosti podudaraju.

a) B: x-1=0 preko R; A: (x-1) 2 preko R => A~B, jer područja istine (rješenja) se poklapaju (x=1)

b) A: x=2 nad R; B: x 2 =4 preko R => domena istine A: x = 2; domen istine B: x=-2, x=2; jer domen istinitosti A sadržan je u B, tada je: x 2 =4 posljedica tvrdnje x = 2.

Osnova transformacije identiteta je sposobnost predstavljanja istog broja u različite forme. Na primjer,

-

Ova reprezentacija će vam pomoći prilikom proučavanja teme "Osnovna svojstva razlomaka".

Veštine izvođenja transformacije identiteta počinju da se razvijaju prilikom rešavanja primera sličnih sledećim: „Nađi brojčanu vrednost izraza 2a 3 +3ab+b 2 sa a = 0,5, b = 2/3,” koji se nude učenicima u razredu. 5 i omogućavaju propedeutički koncept funkcije.

Prilikom proučavanja skraćenih formula za množenje treba obratiti pažnju na njihovo duboko razumijevanje i snažnu asimilaciju. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeću grafičku ilustraciju:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Pitanje: Kako na osnovu ovih crteža učenicima objasniti suštinu datih formula?

Uobičajena greška je brkanje izraza "kvadrat zbira" i "zbir kvadrata". Nastavnikova naznaka da se ovi izrazi razlikuju po redoslijedu radnji ne čini se značajnim, jer učenici vjeruju da se te radnje izvode na istim brojevima i samim tim se rezultat ne mijenja promjenom redoslijeda radnji.

Zadatak: Napravite usmene vježbe za razvijanje vještina učenika u korištenju gornjih formula bez grešaka. Kako možemo objasniti kako su ova dva izraza slična i po čemu se razlikuju jedan od drugog?

Širok izbor identičnih transformacija otežava učenicima da se orijentišu u svrhu za koju se izvode. Nejasno znanje o svrsi izvođenja transformacija (u svakom konkretnom slučaju) negativno utiče na njihovu svijest i služi kao izvor masovnih grešaka među učenicima. To sugerira da je objašnjavanje učenicima ciljeva izvođenja različitih identičnih transformacija važan dio metodologije za njihovo proučavanje.

Primjeri motivacije za transformaciju identiteta:

1. pojednostavljenje nalaženja numeričke vrijednosti izraza;

2. odabir transformacije jednadžbe koja ne dovodi do gubitka korijena;

3. Prilikom izvođenja transformacije, možete označiti njeno područje izračunavanja;

4. korištenje transformacija u proračunima, na primjer, 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Da bi upravljao procesom odlučivanja, važno je da nastavnik ima sposobnost da tačno opiše suštinu greške koju je napravio učenik. Tačne karakteristike greške su ključ za pravi izbor naknadne radnje koje je preduzeo nastavnik.

Primjeri učeničkih grešaka:

1. izvođenje množenja: učenik je dobio -54abx 6 (7 ćelija);

2. Dizanjem na stepen (3x 2) 3 učenik je dobio 3x 6 (7 ocjena);

3. pretvaranjem (m + n) 2 u polinom učenik dobija m 2 + n 2 (7. razred);

4. Smanjenjem razlomka koji je učenik dobio (8 ocjena);

5. izvođenje oduzimanja: , učenik zapisuje (8. razred)

6. Predstavljajući razlomak u obliku razlomaka, učenik dobija: (8 razreda);

7. Izvlačenjem aritmetičkog korijena učenik je dobio x-1 (ocjena 9);

8. rješavanje jednačine (9. razred);

9. Transformacijom izraza učenik dobija: (9. razred).

Zaključak

Proučavanje transformacija identiteta provodi se u bliskoj vezi sa numeričkim skupovima koji se proučavaju u određenom razredu.

U početku biste trebali zamoliti učenika da objasni svaki korak transformacije, da formuliše pravila i zakone koji se primjenjuju.

U identičnim transformacijama algebarskih izraza koriste se dva pravila: zamjena i zamjena jednakima. Najčešće se koristi zamjena, jer Na njoj se zasniva proračun po formulama, tj. naći vrijednost izraza a*b sa a=5 i b=-3. Vrlo često učenici zanemaruju zagrade prilikom izvođenja operacija množenja, vjerujući da se podrazumijeva znak množenja. Na primjer, moguć je sljedeći unos: 5*-3.

Književnost

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Funkcionalne i grafičke metode za rješavanje ispitnih zadataka”, Mn..Aversev, 2004.

2. O.N. Piryutko „Tipične greške u centralizovano testiranje“, Mn..Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Zadaci zamke u centralizovanom testiranju”, Mn..Aversev, 2006

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov “Metode rješavanja trigonometrijskih problema”, Mn..Aversev, 2005.

Numerički i algebarski izrazi. Pretvaranje izraza.

Šta je izraz u matematici? Zašto su nam potrebne konverzije izraza?

Pitanje je, kako kažu, zanimljivo... Činjenica je da su ovi pojmovi osnova svake matematike. Sva matematika se sastoji od izraza i njihovih transformacija. Nije jasno? Dopusti mi da objasnim.

Recimo da imate pred sobom zao primjer. Veoma velika i veoma složena. Recimo da ste dobri u matematici i da se ničega ne bojite! Možete li odmah dati odgovor?

Moraćeš odlučiti ovaj primjer. Dosljedno, korak po korak, ovaj primjer pojednostaviti. By određena pravila, naravno. One. uradi konverzija izraza. Što uspješnije provodite ove transformacije, to ste jači u matematici. Ako ne znate kako napraviti prave transformacije, nećete ih moći izvesti u matematici. Ništa...

Da biste izbjegli tako neugodnu budućnost (ili sadašnjost...), ne škodi razumjeti ovu temu.)

Prvo, hajde da saznamo šta je izraz u matematici. Šta se desilo numerički izraz i šta je algebarski izraz.

Šta je izraz u matematici?

Izraz u matematici- ovo je veoma širok koncept. Gotovo sve čime se bavimo u matematici je skup matematičkih izraza. Bilo koji primjeri, formule, razlomci, jednadžbe i tako dalje - sve se sastoji od matematički izrazi.

3+2 je matematički izraz. s 2 - d 2- ovo je takođe matematički izraz. I zdrav razlomak, pa čak i jedan broj - to je sve matematički izrazi. Na primjer, jednadžba je:

5x + 2 = 12

sastoji se od dva matematička izraza povezana znakom jednakosti. Jedan izraz je lijevo, drugi desno.

IN opšti pogled izraz " matematički izraz"koristi se, najčešće, da se izbjegne pjevušenje. Pitat će te šta je na primjer običan razlomak? A kako odgovoriti?!

Prvi odgovor: "Ovo je... mmmmmm... takva stvar... u kojoj... Mogu li napisati razlomak bolje? Koji želiš?"

Drugi odgovor: " Obična frakcija- ovo je (veselo i radosno!) matematički izraz , koji se sastoji od brojnika i nazivnika!"

Druga opcija će biti nekako impresivnija, zar ne?)

Ovo je svrha fraze " matematički izraz „Vrlo dobro. I korektno i čvrsto. Ali za praktična primjena treba biti dobro upućen specifične vrste izraza u matematici .

Konkretna vrsta je druga stvar. Ovo To je sasvim druga stvar! Svaka vrsta matematičkog izraza ima moj skup pravila i tehnika koje se moraju koristiti prilikom donošenja odluke. Za rad sa razlomcima - jedan set. Za rad sa trigonometrijskim izrazima - drugi. Za rad sa logaritmima - treći. I tako dalje. Negdje se ta pravila poklapaju, negdje se oštro razlikuju. Ali nemojte se plašiti ovih strašnih reči. Savladavaćemo logaritme, trigonometriju i druge misteriozne stvari u odgovarajućim rubrikama.

Ovdje ćemo savladati (ili - ponoviti, ovisno o tome ko...) dvije glavne vrste matematičkih izraza. Numerički izrazi i algebarski izrazi.

Numerički izrazi.

Šta se desilo numerički izraz? Ovo je vrlo jednostavan koncept. Sam naziv nagoveštava da se radi o izrazu sa brojevima. To je tako. Matematički izraz sastavljen od brojeva, zagrada i aritmetičkih simbola naziva se numerički izraz.

7-3 je numerički izraz.

(8+3,2) 5,4 je takođe numerički izraz.

I ovo čudovište:

takođe numerički izraz, da...

Običan broj, razlomak, bilo koji primjer računanja bez X i drugih slova - sve su to numerički izrazi.

Glavni znak numerički izrazi - u njemu nema slova. Nema. Samo brojevi i matematički simboli (ako je potrebno). Jednostavno je, zar ne?

A šta možete učiniti s numeričkim izrazima? Numerički izrazi se obično mogu prebrojati. Da biste to učinili, dešava se da morate otvoriti zagrade, promijeniti znakove, skratiti, zamijeniti pojmove - tj. uradi konverzije izraza. Ali više o tome u nastavku.

Ovdje ćemo se pozabaviti tako smiješnim slučajem kada s numeričkim izrazom ne morate ništa da radite. Pa, baš ništa! Ova prijatna operacija - da ne radim ništa)- se izvršava kada je izraz nema smisla.

Kada numerički izraz nema smisla?

Jasno je da ako vidimo nekakvu abrakadabru ispred sebe, npr

onda nećemo ništa uraditi. Jer nije jasno šta da se radi o tome. Neka vrsta gluposti. Možda prebrojite pluseve...

Ali ima spolja sasvim pristojnih izraza. Na primjer ovo:

(2+3) : (16 - 2 8)

Međutim, i ovaj izraz nema smisla! Iz jednostavnog razloga što u drugim zagradama - ako računate - dobijate nulu. Ali ne možete podijeliti sa nulom! Ovo je zabranjena operacija u matematici. Dakle, ni sa ovim izrazom nema potrebe ništa raditi. Za svaki zadatak s takvim izrazom, odgovor će uvijek biti isti: "Izraz nema značenje!"

Da bih dao takav odgovor, naravno, morao sam izračunati šta bi bilo u zagradama. A ponekad ima puno stvari u zagradama... Pa, tu ništa ne možete učiniti.

U matematici nema toliko zabranjenih operacija. U ovoj temi postoji samo jedan. Deljenje sa nulom. Dodatna ograničenja koja se javljaju u korijenima i logaritmima razmatraju se u odgovarajućim temama.

Dakle, ideja šta je to numerički izraz- dobio. Koncept numerički izraz nema smisla- shvatio. Idemo dalje.

Algebarski izrazi.

Ako se slova pojavljuju u numeričkom izrazu, ovaj izraz postaje... Izraz postaje... Da! Postaje algebarski izraz. Na primjer:

5a 2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Takvi izrazi se takođe nazivaju doslovni izrazi. Or izrazi sa varijablama. To je praktično ista stvar. Izraz 5a +c, na primjer, i literalni i algebarski, i izraz s varijablama.

Koncept algebarski izraz -širi od numeričkih. To uključuje i sve numeričke izraze. One. numerički izraz je takođe algebarski izraz, samo bez slova. Svaka haringa je riba, ali nije svaka riba haringa...)

Zašto abecedno- To je jasno. Pa, pošto postoje slova... Fraza izraz sa varijablama Takođe nije mnogo zbunjujuće. Ako shvatite da su brojevi skriveni ispod slova. Ispod slova se mogu sakriti svakakvi brojevi... I 5, i -18, i bilo šta drugo. To jest, pismo može biti zamijeniti on različiti brojevi. Zato se slova zovu varijable.

U izrazu y+5, Na primjer, at- varijabilna vrijednost. Ili samo kažu " varijabla", bez riječi "veličina". Za razliku od pet, što je konstantna vrijednost. Ili jednostavno - konstantan.

Termin algebarski izraz znači da za rad s ovim izrazom morate koristiti zakone i pravila algebra. Ako aritmetika onda radi sa određenim brojevima algebra- sa svim brojevima odjednom. Jednostavan primjer za pojašnjenje.

U aritmetici to možemo napisati

Ali ako takvu jednakost zapišemo kroz algebarske izraze:

a + b = b + a

odmah ćemo odlučiti Sve pitanja. Za svi brojevi moždani udar. Za sve beskonačno. Jer ispod slova A I b implicirano Sve brojevi. I ne samo brojevi, već i drugi matematički izrazi. Ovako funkcioniše algebra.

Kada algebarski izraz nema smisla?

Sve u vezi sa numeričkim izrazom je jasno. Tamo ne možete podijeliti sa nulom. A da li se slovima može saznati po čemu se dijelimo?!

Uzmimo za primjer ovaj izraz sa varijablama:

2: (A - 5)

Ima li smisla? Ko zna? A- bilo koji broj...

Bilo koji, bilo koji... Ali postoji jedno značenje A, za koji je ovaj izraz upravo nema smisla! A koji je ovo broj? Da! Ovo je 5! Ako je varijabla A zamijenite (kažu “zamjena”) brojem 5, u zagradama dobijate nulu. Koje se ne mogu podijeliti. Tako ispada da je naš izraz nema smisla, Ako a = 5. Ali za druge vrijednosti A ima li smisla? Možete li zamijeniti druge brojeve?

Svakako. U takvim slučajevima jednostavno kažu da je izraz

2: (A - 5)

ima smisla za sve vrijednosti A, osim a = 5 .

Cijeli skup brojeva koji Može zamjena u dati izraz se zove raspon prihvatljivih vrijednosti ovaj izraz.

Kao što vidite, nema ničeg škakljivog. Pogledajmo izraz sa varijablama i shvatimo: pri kojoj vrijednosti varijable se dobija zabranjena operacija (podjela na nulu)?

A onda svakako pogledajte pitanje zadatka. Šta pitaju?

nema smisla, naše zabranjeno značenje će biti odgovor.

Ako pitate po kojoj vrijednosti varijabilni izraz ima značenje(osjetite razliku!), odgovor će biti svi ostali brojevi osim zabranjenog.

Zašto nam je potrebno značenje izraza? On je tu, nije... Koja je razlika?! Poenta je da ovaj koncept postaje veoma važan u srednjoj školi. Izuzetno važno! Ovo je osnova za takve čvrste koncepte kao što je domena prihvatljivih vrijednosti ili domena funkcije. Bez toga nećete moći uopće riješiti ozbiljne jednačine ili nejednakosti. Volim ovo.

Pretvaranje izraza. Transformacije identiteta.

Upoznali smo se sa numeričkim i algebarskim izrazima. Shvatili smo šta znači izraz „izraz nema značenje“. Sada treba da shvatimo šta je to transformacija izraza. Odgovor je jednostavan, do sramote.) Ovo je svaka radnja sa izrazom. To je sve. Ove transformacije radite od prvog razreda.

Uzmimo cool numerički izraz 3+5. Kako se može pretvoriti? Da, vrlo jednostavno! Izračunati:

Ovaj proračun će biti transformacija izraza. Isti izraz možete napisati drugačije:

Ovdje nismo ništa računali. Samo zapisao izraz u drugačijoj formi. Ovo će takođe biti transformacija izraza. Možete to napisati ovako:

I ovo je također transformacija izraza. Takvih transformacija možete napraviti koliko god želite.

Bilo koji akcija na izražavanje bilo koji zapisivanje u drugom obliku naziva se transformacija izraza. I to je sve. Sve je vrlo jednostavno. Ali postoji jedna stvar veoma važno pravilo. Toliko važno da se može bezbedno nazvati glavno pravilo sva matematika. Kršenje ovog pravila neizbežno dovodi do grešaka. Da li ulazimo u to?)

Recimo da smo svoj izraz nasumično transformirali, ovako:

Konverzija? Svakako. Izraz smo napisali u drugom obliku, šta tu nije u redu?

Nije tako.) Poenta je da su transformacije "nasumce" uopšte ih ne zanima matematika.) Sva matematika je izgrađena na transformacijama u kojima izgled, ali se suština izraza ne menja. Tri plus pet se može napisati u bilo kom obliku, ali mora biti osam.

transformacije, izrazi koji ne mijenjaju suštinu su pozvani identičan.

Upravo transformacije identiteta i dozvoli nam da se, korak po korak, transformiramo složen primjer u jednostavan izraz, čuvanje suštinu primjera. Ako pogriješimo u lancu transformacija, napravimo NE identičnu transformaciju, onda ćemo odlučiti drugi primjer. Uz druge odgovore koji nisu u vezi s tačnim.)

Ovo je glavno pravilo za rješavanje svih zadataka: održavanje identiteta transformacija.

Dao sam primjer sa numeričkim izrazom 3+5 radi jasnoće. U algebarskim izrazima transformacije identiteta su date formulama i pravilima. Recimo da u algebri postoji formula:

a(b+c) = ab + ac

To znači da u bilo kojem primjeru možemo umjesto izraza a(b+c) slobodno napišite izraz ab + ac. I obrnuto. Ovo identična transformacija. Matematika nam daje izbor između ova dva izraza. A koju pisati ovisi o konkretnom primjeru.

Još jedan primjer. Jedna od najvažnijih i najvažnijih transformacija je osnovno svojstvo razlomka. Više detalja možete pogledati na linku, ali ovdje ću vas samo podsjetiti na pravilo: Ako se brojnik i imenilac razlomka pomnože (podijele) istim brojem, ili izrazom koji nije jednak nuli, razlomak se neće promijeniti. Evo primjera transformacije identiteta pomoću ovog svojstva:

Kao što ste verovatno pretpostavili, ovaj lanac se može nastaviti u nedogled...) Vrlo važna imovina. To je ono što vam omogućava da sve vrste primjera čudovišta pretvorite u bijela i pahuljasta.)

Postoje mnoge formule koje definiraju identične transformacije. Ali najvažnijih je sasvim razuman broj. Jedna od osnovnih transformacija je faktorizacija. Koristi se u čitavoj matematici - od osnovne do napredne. Počnimo s njim. U sledećoj lekciji.)

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učimo - sa interesovanjem!)

Možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Važne napomene!
1. Ako vidite gobbledygook umjesto formula, obrišite keš memoriju. Kako to učiniti u vašem pretraživaču piše ovdje:
2. Prije nego počnete čitati članak, najviše obratite pažnju na naš navigator koristan resurs Za

Često čujemo ovu neprijatnu frazu: "pojednostavite izraz." Obično vidimo neku vrstu čudovišta poput ovog:

„Mnogo je jednostavnije“, kažemo, ali takav odgovor obično ne funkcioniše.

Sada ću vas naučiti da se ne plašite takvih zadataka.

Štaviše, na kraju lekcije, sami ćete pojednostaviti ovaj primjer na (samo!) običan broj (da, dovraga s ovim slovima).

Ali prije nego što započnete ovu aktivnost, morate biti u mogućnosti rukovati razlomcima I faktorski polinomi.

Stoga, ako to ranije niste radili, svakako savladajte teme “” i “”.

Jeste li ga pročitali? Ako jeste, onda ste sada spremni.

Idemo! (Idemo!)

Operacije pojednostavljenja osnovnih izraza

Pogledajmo sada osnovne tehnike koje se koriste za pojednostavljenje izraza.

Najjednostavniji je

1. Donošenje sličnog

Šta su slični? Uzeli ste ovo u 7. razredu, kada su se u matematici prvi put pojavila slova umjesto brojeva.

Slično- ovo su pojmovi (monomi) sa istim slovnim dijelom.

Na primjer, u zbroju, slični pojmovi su i.

Sjećaš li se?

Dajte slično- znači dodavanje nekoliko sličnih pojmova jedan drugom i dobijanje jednog pojma.

Kako možemo spojiti slova? - pitate.

Ovo je vrlo lako razumjeti ako zamislite da su slova neka vrsta objekata.

Na primjer, pismo je stolica. Čemu je onda izraz jednak?

Dvije stolice plus tri stolice, koliko će to biti? Tako je, stolice: .

Sada pokušajte s ovim izrazom: .

Kako biste izbjegli zabunu, neka različita slova predstavljaju različite objekte.

Na primjer, - je (kao i obično) stolica, a - je stol.

stolice stolovi stolovi stolovi stolice stolice stolovi

Zovu se brojevi kojima se množe slova u takvim terminima koeficijenti.

Na primjer, u monomu koeficijent je jednak. I u njemu je jednako.

Dakle, pravilo za donošenje sličnih je:

primjeri:

Dajte slične:

odgovori:

2. (i slično, jer, dakle, ovi pojmovi imaju isti slovni dio).

2. Faktorizacija

Ovo je obično najvažniji dio u pojednostavljivanju izraza.

Nakon što ste dali slične, najčešće je potreban rezultujući izraz faktorisati, odnosno predstavljen u obliku proizvoda.

Posebno ovo važno u razlomcima: na kraju krajeva, da bismo mogli smanjiti razlomak, Brojnik i imenilac moraju biti predstavljeni kao proizvod.

Detaljno ste prošli kroz metode faktoringa izraza u temi “”, tako da ovdje samo trebate zapamtiti šta ste naučili.

Da biste to učinili, riješite nekoliko primjera (morate ih faktorizirati)

primjeri:

rješenja:

3. Smanjenje razlomka.

Pa, što bi moglo biti ugodnije nego precrtati dio brojnika i nazivnika i izbaciti ih iz svog života?

To je ljepota smanjenja broja zaposlenih.

jednostavno je:

Ako brojnik i nazivnik sadrže iste faktore, oni se mogu smanjiti, odnosno ukloniti iz razlomka.

Ovo pravilo proizlazi iz osnovne osobine razlomka:

Odnosno, suština operacije redukcije je to Brojilac i imenilac razlomka dijelimo istim brojem (ili istim izrazom).

Da biste smanjili razlomak potrebno vam je:

1) brojilac i imenilac faktorisati

2) ako brojilac i imenilac sadrže zajednički faktori, mogu se precrtati.

primjeri:

Mislim da je princip jasan?

Želeo bih da vam skrenem pažnju na jednu stvar tipična greška prilikom ugovaranja. Iako je ova tema jednostavna, mnogi ljudi sve rade pogrešno, a da to ne razumiju smanjiti- ovo znači podijeliti brojilac i imenilac su isti broj.

Nema skraćenica ako je brojilac ili nazivnik zbir.

Na primjer: trebamo pojednostaviti.

Neki ljudi rade ovo: što je apsolutno pogrešno.

Drugi primjer: smanjiti.

"Najpametniji" će uraditi ovo:

Reci mi šta nije u redu? Čini se: - ovo je množitelj, što znači da se može smanjiti.

Ali ne: - ovo je faktor samo jednog člana u brojiocu, ali sam brojilac u cjelini nije faktoriziran.

Evo još jednog primjera: .

Ovaj izraz je faktorizovan, što znači da ga možete smanjiti, odnosno podijeliti brojilac i imenilac sa, a zatim sa:

Možete ga odmah podijeliti na:

Da biste izbjegli takve greške, zapamtite lak način kako odrediti da li je izraz faktoriziran:

Aritmetička operacija koja se izvodi posljednja prilikom izračunavanja vrijednosti izraza je “master” operacija.

Odnosno, ako zamijenite neke (bilo koje) brojeve umjesto slova i pokušate izračunati vrijednost izraza, onda ako poslednja akcija doći će do množenja, što znači da imamo proizvod (izraz je faktoriziran).

Ako je posljednja radnja zbrajanje ili oduzimanje, to znači da izraz nije faktoriziran (i stoga se ne može smanjiti).

Da biste to pojačali, sami riješite nekoliko primjera:

primjeri:

rješenja:

4. Sabiranje i oduzimanje razlomaka. Svođenje razlomaka na zajednički nazivnik.

Sabiranje i oduzimanje obične frakcije- operacija je dobro poznata: tražimo zajednički imenilac, pomnožimo svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i saberemo/oduzmemo brojioce.

prisjetimo se:

odgovori:

1. Imenioci i su relativno prosti, odnosno nemaju zajedničke faktore. Stoga je LCM ovih brojeva jednak njihovom proizvodu. Ovo će biti zajednički imenilac:

2. Ovdje je zajednički imenilac:

3. Ovdje, prije svega, pretvaramo miješane razlomke u nepravilne, a zatim prema uobičajenoj shemi:

Potpuno je druga stvar ako razlomci sadrže slova, na primjer:

Počnimo s nečim jednostavnim:

a) Imenioci ne sadrže slova

Ovdje je sve isto kao i kod običnih numerički razlomci: pronađite zajednički nazivnik, pomnožite svaki razlomak sa faktorom koji nedostaje i dodajte/oduzmi brojioce:

Sada u brojiocu možete dati slične, ako ih ima, i razložiti ih:

Probajte sami:

odgovori:

b) Imenioci sadrže slova

Prisjetimo se principa pronalaženja zajedničkog nazivnika bez slova:

· prije svega utvrđujemo zajedničke faktore;

· zatim ispisujemo sve zajedničke faktore jedan po jedan;

· i pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Da bismo odredili zajedničke činioce nazivnika, prvo ih činimo u proste faktore:

Istaknimo uobičajene faktore:

Sada napišimo uobičajene faktore jedan po jedan i dodajmo im sve neuobičajene (nepodvučene) faktore:

Ovo je zajednički imenitelj.

Vratimo se pismima. Imenioci su dati na potpuno isti način:

· faktor imenilaca;

· odrediti zajedničke (identične) faktore;

· jednom ispisati sve zajedničke faktore;

· pomnožite ih sa svim drugim neuobičajenim faktorima.

Dakle, redom:

1) razdijelite imenitelje na faktore:

2) odrediti zajedničke (identične) faktore:

3) napišite sve zajedničke faktore jednom i pomnožite ih sa svim ostalim (nepodvučenim) faktorima:

Dakle, ovde postoji zajednički imenitelj. Prvi razlomak se mora pomnožiti sa, drugi - sa:

Usput, postoji jedan trik:

Na primjer: .

Vidimo iste faktore u nazivnicima, samo svi sa različitim pokazateljima. Zajednički imenilac će biti:

do stepena

do stepena

do stepena

do stepena.

Zakomplikujmo zadatak:

Kako napraviti da razlomci imaju isti imenilac?

Prisjetimo se osnovnog svojstva razlomka:

Nigdje se ne kaže da se isti broj može oduzeti (ili dodati) od brojnika i nazivnika razlomka. Jer to nije istina!

Uvjerite se sami: uzmite bilo koji razlomak, na primjer, i dodajte neki broj brojniku i nazivniku, na primjer, . šta si naučio?

Dakle, još jedno nepokolebljivo pravilo:

Kada razlomke svodite na zajednički nazivnik, koristite samo operaciju množenja!

Ali sa čim trebate pomnožiti da biste dobili?

Dakle, pomnožite sa. I pomnoži sa:

Izraze koji se ne mogu rastaviti na faktore ćemo nazvati "elementarnim faktorima".

Na primjer, - ovo je elementarni faktor. - Isto. Ali ne: može se faktorizirati.

Šta je sa izrazom? Da li je osnovno?

Ne, jer se može faktorizirati:

(o faktorizaciji ste već čitali u temi “”).

Dakle, elementarni faktori na koje rastavljate izraz sa slovima su analogni jednostavnim faktorima na koje rastavljate brojeve. I sa njima ćemo se nositi na isti način.

Vidimo da oba imenioca imaju množitelj. Ići će na zajednički imenilac do stepena (sjećate li se zašto?).

Faktor je elementaran i nemaju zajednički faktor, što znači da će se prvi razlomak jednostavno morati pomnožiti s njim:

Drugi primjer:

Rješenje:

Prije nego što panično pomnožite ove imenitelje, morate razmisliti o tome kako ih rastaviti na faktore? Obojica predstavljaju:

Odlično! onda:

Drugi primjer:

Rješenje:

Kao i obično, hajde da faktorizujemo nazivnike. U prvom nazivniku jednostavno ga stavljamo iz zagrada; u drugom - razlika kvadrata:

Čini se da nema zajedničkih faktora. Ali ako bolje pogledate, oni su slični... I istina je:

Pa da napišemo:

Odnosno, ispalo je ovako: unutar zagrade smo zamijenili pojmove, a istovremeno se znak ispred razlomka promijenio u suprotan. Imajte na umu, ovo ćete morati često raditi.

Sada da to dovedemo do zajedničkog imenioca:

Jasno? Hajde da to sada proverimo.

Zadaci za samostalno rješavanje:

odgovori:

5. Množenje i dijeljenje razlomaka.

Pa, najteži dio je sada gotov. A pred nama je ono najjednostavnije, ali ujedno i najvažnije:

Procedura

Koja je procedura za brojanje? numerički izraz? Zapamtite tako što ćete izračunati značenje ovog izraza:

Jeste li brojali?

Trebalo bi da radi.

Dakle, da vas podsjetim.

Prvi korak je izračunavanje stepena.

Drugi je množenje i dijeljenje. Ako postoji više množenja i dijeljenja u isto vrijeme, mogu se izvršiti bilo kojim redoslijedom.

I na kraju, vršimo sabiranje i oduzimanje. Opet, bilo kojim redoslijedom.

Ali: izraz u zagradama se vrednuje van redova!

Ako se nekoliko zagrada međusobno pomnoži ili podijeli, prvo izračunamo izraz u svakoj od zagrada, a zatim ih množimo ili podijelimo.

Šta ako ima više zagrada unutar zagrada? Pa, razmislimo: neki izraz je napisan unutar zagrada. Prilikom izračunavanja izraza, šta prvo treba da uradite? Tako je, izračunajte zagrade. Pa, shvatili smo: prvo izračunamo unutrašnje zagrade, pa sve ostalo.

Dakle, procedura za gornji izraz je sljedeća (trenutna radnja je označena crvenom bojom, odnosno radnja koju trenutno izvodim):

Ok, sve je jednostavno.

Ali ovo nije isto što i izraz sa slovima?

Ne, to je isto! Samo umjesto aritmetičkih operacija, morate raditi algebarske, odnosno radnje opisane u prethodnom odjeljku: donoseći slično, zbrajanje razlomaka, smanjenje razlomaka i tako dalje. Jedina razlika će biti djelovanje faktoringa polinoma (ovo često koristimo kada radimo sa razlomcima). Najčešće, da biste rastavili na faktore, trebate koristiti I ili jednostavno staviti zajednički faktor iz zagrada.

Obično je naš cilj da izraz predstavimo kao proizvod ili količnik.

Na primjer:

Hajde da pojednostavimo izraz.

1) Prvo, pojednostavljujemo izraz u zagradama. Tu imamo razliku razlomaka, a cilj nam je da je predstavimo kao proizvod ili količnik. Dakle, dovodimo razlomke na zajednički nazivnik i dodajemo:

Nemoguće je dalje pojednostavljivati ​​ovaj izraz, svi faktori su ovde elementarni (sećate li se još šta to znači?).

2) Dobijamo:

Množenje razlomaka: šta može biti jednostavnije.

3) Sada možete skratiti:

OK, sve je gotovo. Ništa komplikovano, zar ne?

Drugi primjer:

Pojednostavite izraz.

Prvo pokušajte sami to riješiti, pa tek onda pogledajte rješenje.

Rješenje:

Prije svega, odredimo redoslijed radnji.

Prvo, dodajmo razlomke u zagradama, tako da umjesto dva razlomka dobijemo jedan.

Zatim ćemo uraditi dijeljenje razlomaka. Pa, dodajmo rezultat sa zadnjim razlomkom.

Šematski ću numerisati korake:

Na kraju ću vam dati dva korisna savjeta:

1. Ako ima sličnih, moraju se odmah doneti. Kad god se kod nas pojave slični, preporučljivo je odmah ih pokrenuti.

2. Isto važi i za smanjenje razlomaka: čim se pojavi prilika za smanjenje, treba je iskoristiti. Izuzetak su razlomci koje dodajete ili oduzimate: ako sada imaju isti imenioci, onda smanjenje treba ostaviti za kasnije.

Evo nekoliko zadataka koje možete sami riješiti:

I ono što je obećano na samom početku:

odgovori:

Rješenja (ukratko):

Ako ste se snašli s barem prva tri primjera, onda ste savladali temu.

Sada na učenje!

PRETVARANJE IZRAZA. SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE

Osnovne operacije pojednostavljivanja:

• Dovođenje sličnih: da biste dodali (smanjili) slične pojmove, potrebno je sabrati njihove koeficijente i dodijeliti dio slova.
• Faktorizacija: stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada, njegova primjena, itd.
• Smanjenje razlomka: Brojilac i imenilac razlomka mogu se pomnožiti ili podijeliti istim brojem koji nije nula, što ne mijenja vrijednost razlomka.
  1) brojilac i imenilac faktorisati
  2) ako brojilac i imenilac imaju zajedničke činioce, mogu se precrtati.

  VAŽNO: samo se množitelji mogu smanjiti!

• Sabiranje i oduzimanje razlomaka:
  ;
• Množenje i dijeljenje razlomaka:
  ;

Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.

Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!

Sada najvažnija stvar.

Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.

Problem je što ovo možda nije dovoljno...

Za što?

Za uspješan završetak Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.

Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...

Ljudi koji su primili dobro obrazovanje, zarađuju mnogo više od onih koji to nisu dobili. Ovo je statistika.

Ali to nije glavna stvar.

Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...

Ali razmislite sami...

Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?

STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.

Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.

Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.

A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.

To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.

Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rešenjima, detaljna analiza i odluči, odluči, odluči!

Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.

Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.

Kako? Postoje dvije opcije:

1. Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
2. Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR

Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.

Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.

U zakljucku...

Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.

“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.

Pronađite probleme i riješite ih!